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第三章 中值定理与导数的应用
1. 验证拉格朗日中值定理对函数x x f ln )(=在区间[]e ,1上的正确性。
解：函数()ln f x x =在区间[1,]e 上连续，在区间(1,)e 内可导，故()f x 在[1,]e 上满足
拉格朗日中值定理的条件。又x
x f 1
)(=
'，解方程,111,1)1()()(-=--=
'e e f e f f ξξ即得),1(1e e ∈-=ξ。因此，拉格朗日中值定理对函数()ln f x x =在区间[1,]e 上是正确的。
2．不求函数)4)(3)(2)(1()(----=x x x x x f 的导数，说明方程0)('
=x f 有几个实根，并指出它们所在的区间。
解：函数上连续，分别在区间[3,4][2,3],2],,1[)(x f 上在区间(3,4)(2,3),2),,1(可导，
且(1)(2)(3)(4)0f f f f ====。由罗尔定理知，至少存在),2,1(1∈ξ),3,2(2∈ξ
),4,3(3∈ξ使),3,2,1( 0)(=='i f i ξ即方程'()0f x =有至少三个实根。又因方程
'()0f x =为三次方程，故它至多有三个实根。因此，方程'()0f x =有且只有三个实根，
分别位于区间(1,2),(2,3),(3,4)内。
3．若方程 011
10=+++--x a x a x a n n n Λ有一个正根,0x 证明:
方程0)1(1211
0=++-+---n n n a x n a nx
a Λ必有一个小于0x 的正根。
解：取函数()1
011n
n n f x a x a x
a x --=+++L 。0()[0,]f x x 在上连续，在0(0,)x 内可导，
且0(0)()0,f f x ==由罗尔定理知至少存在一点()00,x ξ∈使'()0,f ξ=即方程
12011(1)0n n n a nx a n x a ---+-++=L 必有一个小于0x 的正根。
4．设,11<<<-b a 求证不等式： .arcsin arcsin b a b a -≥-
证明：取函数)(,arcsin )(x f x x f =在[a ,b ]上连续，在（a , b ）内可导，
由拉格朗日中值定理知，至少存在一点),,(b a ∈ξ，使()()'()()f a f b f a b ξ-=-， 即
arcsin arcsin )a b a b -=
-，
故.11arcsin arcsin 2
b a b a b a -≥--=-ξ
5．设)(x f 在)0](,[b a b a <<上连续，在),(b a 内可导，证明存在),,(b a ∈ξ使
.3)()()()(2
'
22ξξf b ab a a b a f b f ++=-- 证明：取函数3
()g x x =，则()g x 在[,](0)a b a b <<上连续，在(,)a b 内可导，由柯西中值定理知，存在ξ∈(a,b)，使
333
()()'()
f b f a f b a ξξ-=-，
即
222
()()'()
()3f b f a f a ab b b a ξξ-=++-。
6．证明恒等式: .2
cot arctan π
=
+x arc x
证明：取函数()arctan arccot f x x x =+，则22
11
'()011f x x x =
-=++. 则).()(为常数c c x f =因为(1)arctan1cot12
f arc π
=+=
，故(1)()2
f f x π
==
。
7．证明：若函数)(x f 在),(+∞-∞内满足关系式),()('
x f x f =且,1)0(=f 则
x e x f =)(.
证明：,0)
()()()()(,)()(2=-'=-'='=
x
x x x x e x f x f e e x f e x f x F e x f x F 因取故
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C x F =)(，又()()
()(0)1,1,1,.x x x F F x f x e e
====f 故即故
8．用洛必达法则求下列极限
（1） n
n m
m a x a x a x --→lim
解：()11lim lim 0.m m m m n
n
n n x a x a x a mx m a a x a nx n ---→→-==≠- （2） x
b a x
x x -→0lim
解：00ln ln lim
lim ln ln 1
x x x x x x a b a a b b
a b x →→--==- （3）2
2
)
2(sin ln lim
x x
x -→
ππ
解： 81
8csc lim )2(4cot lim )2(sin ln lim 22
2
22
-=-=--=-→
→→x x x x x x x x πππππ
（4）)0,1(log lim
>>+∞→αα
a x x
a x
解： 0ln 1lim ln 1
lim log lim 1===+∞→-+∞→+∞→α
ααααax x a x x x x x a x （5）)
2ln(tan )
7ln(tan lim
0x x x +→
解：22sec 21
7
7sec 71
lim 22sec 2tan 177sec 7tan 1lim )2ln(tan )
7ln(tan lim 2202200⋅⋅=⋅⋅=+→+→+→x x
x x x x x x x x x x x
12
2sec 77
7sec 2lim 220=⋅⋅=+→x x x
