2017年考研数学一真题
一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．
１．若函数1cos 0(),0x
x f x b x ⎧->⎪
=⎪≤⎩
在0x =处连续，则 （A ）12ab =
（B ）1
2
ab =-（C ）0ab =（D ）2ab = 【详解】0001112lim ()lim lim 2x x x x
x f x ax ax a +++→→→-===
，0lim ()(0)x f x b f -→==，要使函数在0x =处连续，必须满足11
22
b ab a =⇒=．所以应该选（A ）
2．设函数()f x 是可导函数，且满足()()0f x f x '>，则
（A ）(1)(1)f f >- （B ）11()()f f <- （C ）11()()f f >- （D ）11()()f f <- 【详解】设2
()(())g x f x =，则()2()()0g x f x f x ''=>，也就是()2
()f x 是单调增加函数．也就得到
()
()2
2
(1)(1)(1)(1)f f f f >-⇒>-，所以应该选（C ）
3．函数2
2
(,,)f x y z x y z =+在点(1,2,0)处沿向量(1,2,2)n =的方向导数为
（A ）12 （B ）6 (C ）4 （D ）2 【详解】
22,,2f f f
xy x z x y z
∂∂∂===∂∂∂，所以函数在点(1,2,0)处的梯度为()4,1,0gradf =，所以22(,,)f x y z x y z =+在点(1,2,0)处沿向量(1,2,2)n =的方向导数为
()01
4,1,0(1,2,2)23f gradf n n
∂=⋅=⋅=∂u u r r 应该选（D ）
４．甲、乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位：米）处，如图中，实线表示甲的速度曲线1()v v t =（单位：米/秒），虚线表示乙的速度曲线2()v v t =（单位：米/秒），三块阴影部分的面积分别为10,20,3，计时开始后乙追上甲的时刻为0t ，则（ ） （A ）010t = （B ）01520t << （C ）025t = （D ）025t >
【详解】由定积分的物理意义：当曲线表示变速直线
运动的速度函数时，2
1
()()T T S t v t dt =
⎰
表示时刻[]12,T T 内所走的路程．本题中的阴影面积123,,S S S -分别
表示在时间段[][][]0,10,10,25,25,30内甲、乙两人所走路程之差，显然应该在25t =时乙追上甲，应该选（C ）．
5．设α为n 单位列向量，E 为n 阶单位矩阵，则
（A ）T E αα-不可逆 （B ）T
E αα+不可逆 （C ）2T E αα+不可逆 （D ）2T
E αα-不可逆
【详解】矩阵T
αα的特征值为1和1n -个0，从而,,2,2T
T
T
T
E E E E αααααααα-+-+的特征
值分别为0,1,1,1L ；2,1,1,,1L ；1,1,1,,1-L ；3,1,1,,1L ．显然只有T
E αα-存在零特征值，所以不可逆，应该选（A ）．
6．已知矩阵200021001A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，210020001B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，100020002C ⎛⎫
⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
，则
（A ）,A C 相似，,B C 相似 （B ）,A C 相似，,B C 不相似 （C ）,A C 不相似，,B C 相似 （D ）,A C 不相似，,B C 不相似
【详解】矩阵,A B 的特征值都是1232,1λλλ===．是否可对解化，只需要关心2λ=的情况．
对于矩阵A ，0002001001E A ⎛⎫
⎪
-=- ⎪ ⎪⎝⎭
，秩等于1 ，也就是矩阵A 属于特征值2λ=存在两个线性无关的特
征向量，也就是可以对角化，也就是~A C ．
对于矩阵B ，010*******E B -⎛⎫ ⎪
-= ⎪ ⎪⎝⎭
，秩等于2 ，也就是矩阵A 属于特征值2λ=只有一个线性无关的特
征向量，也就是不可以对角化，当然,B C 不相似故选择（B ）．
7．设,A B 是两个随机事件，若0()1P A <<，0()1P B <<，则(/)(/)P A B P A B >的充分必要条件是
（A ）(/)(/)P B A P B A > （B ）(/)(/)P B A P B A < （C ）(/)(/)P B A P B A > （D ）(/)(/)P B A P B A <
【详解】由乘法公式：()()(/),()()((/)P AB P B P A B P AB P B P A B ==可得下面结论：
()()()()
(/)(/)()()()()1()()
P AB P AB P A P AB P A B P A B P AB P A P B P B P B P B ->⇔
>=⇔>-
类似，由()()(/),()()(/)P AB P A P B A P AB P A P B A ==可得
()()()()
(/)(/)()()()()1()()
P AB P AB P B P AB P B A P B A P AB P A P B P A P A P A ->⇔
>=⇔>- 所以可知选择（A ）．
8．设12,,,(2)n X X X n ≥L 为来自正态总体(,1)N μ的简单随机样本，若1
1n
i i X X n ==∑，则下列结论中不
正确的是（ ）
（A ）
21
()n
i i X μ=-∑服从2χ分布 （B ）()2
12n X X -服从2χ分布
（C ）
21
()n
i
i X
X =-∑服从2χ分布 （D ）2()n X μ-服从2χ分布
解：（1）显然22
()~(0,1)()~(1),1,2,i i X N X i n μμχ-⇒-=L 且相互独立，所以
21
()n
i
i X
μ=-∑服从
2()n χ分布，也就是（A ）结论是正确的；
（2）
2
22
22
1
(1)()(1)~(1)n
i
i n S X
X n S n χσ
=--=-=
-∑，所以（C ）结论也是正确的；
（3）注意2
21
~(,)()~(0,1)()~(1)X N X N n X n
μμμχ⇒-⇒-，所以（D ）结论也是正确的；
（4）对于选项（B ）
：22111
()~(0,2)~(0,1)()~(1)2n n X X N N X X χ-⇒
⇒-，所以（B ）结
论是错误的，应该选择（B ）
二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） 9．已知函数2
1()1f x x
=
+，则(3)
(0)f = ． 解：由函数的马克劳林级数公式：()0
(0)()!
n n
n f f x x n ∞
==∑
，知()(0)!n n f n a =，其中n a 为展开式中n x 的系数． 由于[]2422
1()1(1),1,11n n
f x x x x x x
=
=-+-+-+∈-+L L ，所以(3)(0)0f =． 10．微分方程230y y y '''++=的通解为 ．
【详解】这是一个二阶常系数线性齐次微分方程，特征方程2
230r r ++=有一对共共轭的
根
1r =-
，所以通解为12()x y e C C -=+
