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材料力学第12章 能量法

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材料力学 能量法

材料力学 能量法

3
13 Pa 12 EI
3
M
能量法
例：图示梁，抗弯刚度为EI，承受均布载荷q及
集中力X作用。用图乘法求： (1)集中力作用端挠度为零时的X值； (2)集中力作用端转角为零时的X值。
能量法
解：(1)
ql / 8
2
1 wC EI
Xal 2a Xa 2 2a ql 3 a 2 3 2 3 12 2
l P 2 得：P wC1 m 2E I 2 ml 由此得： C wC1 8E I
2
能量法
例：长为 l 、直径为 d 的圆杆受一对横向压力 P 作用，
求此杆长度的伸长量。已知E和m。
能量法
解：由位移互等定理知，①杆的伸长量等于 ②杆直径的减小量
l
①
d
②
e d e d
4 P P d d E AE
能量法
例：已知简支梁在均布载荷 q 作用下，梁的中点挠
度
5ql w 384E I
4
。求梁在中点集中力P作用下(见
图)，梁的挠曲线与梁变形前的轴线所围成的面积A。
A
能量法
A
5ql q A P 384E I
能量法
4

可用于线弹性材料，也可用于非线弹性材料。
能量法
§12-7 单位载荷法 莫尔积分
P1
P2
C

用虚功原理可以导出计算结构一点位移的单位载荷法
能量法
P1
P2
C
Fs ( x)

C
M ( x)
1 M ( x)d
M ( x) d dx EI
P0 1 Fs ( x)

材料力学 第12章 能量方法及应用

材料力学 第12章 能量方法及应用

一、杆件应变能计算
1、轴向拉伸和压缩
U W
1 Pl 1 P l P 2 EA 2
2 2 N
P
F l Pl 2 EA 2 EA
l
P
l
FN 或A变化时 2 FN ( x) V dx U 2EA( x) l
2、扭转
m

m


2 2 1 MT l ml 1 m l T U W m m 2 2 G I p 2G I p 2 G I p
结论：
1、杆件应变能在数值上等于变形过程中外力所 做的功。 2、线弹性范围内，若外力从0缓慢的增加到最 终值： 1 其中： F-----广义力 U W Fi i Δ-----广义位移 2 FN l F FN 轴力 拉、压： l EA MT l 扭转： F MT 扭矩 EIP 弯曲： Ml
' ' ' ' ' F11 Δ21 F12 Δ22 F1n Δ2n F21 Δ11 F22 Δ12 F2m Δ1' m
功的互等定理：第一组力在第二组力引起的位移上所 做的功，等于第二组力在第一组力引起的位移上所做的功。
假如第一组力只有 F11 ，第二组力只有 F22 则
• 例12-13 如图12-24a所示，单位厚度的任意形状弹性平 板，面积为A。该平板由弹性模量E及泊松比μ的材料制成， 受相距a的共线两载荷（F、F）作用，试求平板面积的改 变量ΔA。 • 解：此题显然无法直接求解，互等定理求解。为此构造虚 △ 拟的载荷系统——如图12-24b所示的静水压力p；亦即反 向共线力（F、F）为实载荷（第一载荷系统），静水压力 △ p为虚载荷（第二载荷系统）。

材料力学 第12章 能量方法及应用PPT课件

材料力学 第12章 能量方法及应用PPT课件

给一个增量d，外力做元功为
d W F 1 1 d F 2 2 d F n n d
( F 1 1 F 2 2 F n n )d
可得
W(F11F22
Fnn)
1d
0
12F1112F22 12Fnn
根据功能原理，物体的应变能应为
U W 1 2F 1 11 2F 2 2 1 2F n n
例：试求图示悬臂梁的应变能，并利用功能原理求自由
端B的挠度。
A x
解：
M (x)Px
U M 2(x)dx l 2EI
l (Px)2 dx
0 2EI
P 2l3 6EI
W
1 2
P
fB
由UW,得f B
Pl3 3EI
例：试求图示梁的应变能，并利用功能原理求C截面的挠 度。
解： U
l
M 2(x)dx 2EI
第十二章 能量原理及其应用
§12-1 杆件的应变能
在弹性范围内，弹性体在外力作用下发生变 形而在体内积蓄的能量，称为弹性应变能，简 称应变能。
物体在外力作用下发生变形，物体的应变能 在数值上等于外力在加载过程中在相应位移上 所做的功，即
UW (功能原理）
能量法：从功和能的角度出发，分析
杆件的内力、应力和位移。
一、杆件应变能计算
1、轴向拉伸和压缩
UW
1 2
P
l
1 2
P
Pl EA
P2l FN2l 2EA 2EA
FN或A变化时
UV
l
FN2 (x) 2 EA( x)
dx
P
l l
P
2、扭转
m
m
UW 1 m 1mml m2l MTT 2l

材料力学第12章 能量方法

材料力学第12章 能量方法

9
(2)剪切变形时的应变能及应变能密度 工程中的剪切变形，一般是与其他变形相伴存 在的，且横截面上的切应力是不均匀分布的。在计 算其应变能时，应以单元体为基础。
图12.3
10
剪切变形时的应变能密度为
可见，剪切变形的应变能密度在数值上等于三 角形OAB的面积。 杆件的剪切应变能为
11
(3)圆轴扭转时的应变能 圆轴扭转时，如果材料应力应变关系处于线弹 性范围，则扭矩MT与扭转角φ的关系也是一条直线 ，如图12.4（b）所示。仿照杆件拉伸应变能的证 明，则变形过程中扭矩所做的功在数值上等于三角 形OAB的面积。有
4
那么，在外力从F1增加到F1+dF1的过程中， 外力功的增量为 当外力从零开始逐渐增加到F值时，则外力功 为 代入 ，得
5
图12.1
6
根据功能原理公式（12.1），则应变能为
式（12.3）为等截面直杆在轴力为常量条件下 的应变能计算公式。如果杆件的轴力FN分段为常 量时，应变能应为各段应变能的总和，即
7
积分可得整个杆件的应变能Vε为 为了更全面地了解应变能，还要知道单位体积 内的应变能，即应变能密度（strainenergy dens ity）由式（a）得应变能密度vε
8
显然，应变能密度vε的数值等于如图12.1（c） 所示三角形oab的面积。这样，又可以将上式的应 变能密度和应变能式（12.5）改写为
第12章
第一节 概述
能量方法
在工程结构分析中，经常需要计算结构和构件 的变形。使用一般的方法（如积分法）进行变形计 算时，需要分析结构和构件的具体变形形式，计算 工作量大。特别是对于刚架、桁架和曲杆等变形复 杂的超静定结构，一般方法根本无法完成。工程上 通常采用能量原理完成结构和构件的变形分析。

材料力学2-12能量法

材料力学2-12能量法
M BC ( x1 ) P( L x1 )
②将内力对Px 求偏导后，令Px=0
M AB ( x) x1 x P 0 x Px
M BC ( x) Px

Px 0 0
③变形（ 注意：Px=0）
U M ( x ) M ( x ) f ( x) dx L Px EI Px
U
L
2 M 2 ( x) N 2 ( x) Mn ( x) dx dx dx L L 2 EA 2GI P 2 EI


0
P 2 R 2 (sin j ) 2 P 2 R 2 (1 cos j )2 Rdj Rdj 0 2GI P 2 EI
3P 2 R 3 P 2 R 3 4GI P 4 EI
Px 2 dx EI 0
PL3AB PLAB LAC LAB 3EI GI P
60 0.33 12 60 0.3 0.5 32 3 3 10 0 . 3 10 3 210 5 103 0.4 210 204
8.22mm
§12–3 卡氏定理
第十二章
§12–1 §12–2 §12–3
能量方法
应变能的普遍表达式 莫尔定理(单位力法) 卡氏定理
§12–1 一、能量原理：
应变能的普遍表达式
弹性体内部所贮存的变形能，在数值上等于外力所作
1
的功，即
U W
Fd
0
利用这种功能关系分析计算可变形固体的位移、变形
和内力的方法称为能量方法。
1 EI
P( L x )( x
1 0
x
1
x )dx1
P x3 ( L x) x 2 ( Lx2 ) EI 3 2

材料力学课件：12 第十二章 能量法(一)

材料力学课件：12 第十二章 能量法(一)

广义位移： 线位移，角位移，相对线位移，相对角位移等。
7
第十二章 能量法(一）
例：试确定图a均布载荷q 对应的广义位移，图b铰链两侧
横截面相对转角 对应的广义力。
q
F
A
B
l
A
B
C
(a)
(b)
l
相应广义位移：面积
MM
对应广义力：一对力偶 M
8
第十二章 能量法(一）
➢ 克拉比隆定理：(线弹性体上作用有多个广义力的情况)
引言
弹性体的能量原理
在外载荷作用下， 构件发生变形
载荷在相应位移上做功 构件因变形储存了能量
F
F
能量守恒
从零开始， 缓慢加载
忽略动能与 热能的损失
V W
能量原理：是固体力学的重要原理
4
第十二章 能量法(一）
§12-1 外力功与应变能的一般表达式
一、计算外力功的基本公式
刚体 线性弹簧
W F
V
M2( x )y2
2EI
2 z
dxdydz
1 2
M 2(x ) dx
l EIz
非对称弯曲沿两主轴分解计算应变能
Vε =
M
2 y
(x)dx
l 2EI y
M
2 z
(x)dx
l 2EIz
注：忽略了弯曲剪力的应变能
l
C
z
F y
18
第十二章 能量法(一）
利用功能原理计算应变能
•单向拉压
dVε
dW
FN (x)dδ 2
第十二章 能量法(一）
求节点A的铅垂位移 的两条研究途径
FN1 F sin（拉）, FN2 F tan（压）

材料力学(能量法)

材料力学(能量法)

弹性变形阶段
01
外力作用下，材料发生弹性变形，此时外力所做的功全部转化
为应变能储存于材料内部。
塑性变形阶段
02
当外力继续增加，材料进入塑性变形阶段，部分应变能转化为
热能散失到环境中。
断裂破坏阶段
03
当材料达到强度极限时发生断裂破坏，此时储存的应变能迅速
释放并转化为断裂表面的新表面能和其他形式的能量。
非圆截面扭转时的能量可以通过实验或数值模拟等方法进 行计算，以获得准确的能量值。
扭转变形过程中能量转化
弹性变形能
在扭转变形过程中，部分能量以弹性变形能的形式储存在材料中。 当外力去除后，这部分能量可以释放并使材料恢复原状。
塑性变形能
当扭转变形超过材料的弹性极限时，部分能量会以塑性变形能的形 式消耗在材料中。这部分能量不可逆转，导致材料产生永久变形。
压缩过程中能量变化
外力做功
在压缩过程中，外力对杆件做 功，使其产生压缩变形和位移 。外力做功的大小与外力的大 小和杆件的位移成正比。
内力耗能
杆件在压缩过程中，材料内部 会产生应力和应变，从而消耗 能量。内力耗能的大小与材料 的应力-应变关系有关。
弹性势能
杆件在压缩过程中，由于材料 的弹性变形，会储存一定的弹 性势能。弹性势能的大小与材 料的弹性模量和变形量有关。
结构稳定性分析方法
能量准则
通过比较结构失稳前后的能量变 化，判断结构的稳定性。若失稳 后能量降低，则结构不稳定。
平衡路径跟踪法
通过逐步增加荷载或位移，跟踪 结构的平衡路径，观察结构从稳 定到不稳定的转变过程。
特征值分析法
基于结构刚度矩阵和质量矩阵， 求解特征值和特征向量，分析结 构的振动特性和稳定性。

材料力学 第十二章 能量法精品PPT课件

材料力学 第十二章 能量法精品PPT课件

应变能只与外力的最终值有关与加载过程和加载次序无关。
13
注意：
1、注意常力做功与变力做功的区别；
2、多个外力引起的同种变形能不能简单叠加而是要算出合 内力后，再用变形能公式计算；如果各外力相互独立，即引 起的变形互不相同，此时不同的变形能可以叠加。
3、功能原理只能计算构件只作 用一个力，力的作用点沿力作用 F 线方向的位移。
纯弯曲
U M e2l 2EI
T 2(x)
U
dx
l 2GIp (x)
横力弯曲
U Me2(x)dx l 2EI(x)
变形能等于内力的平方乘以构件的长度再除以2倍的刚 度，若内力或刚度为变量时，将长度取为微量再积分
5
4、组合变形的变形能
截面上存在几种内力，力独立作用原理成立，各个内 力只对其相应的位移做功。
端B的挠度。
F
解：
A
B
M(x) F x
x l
U
M 2(x )
dx
l ( Fx)2 dx
F 2l3
2EI
0 2EI
6EI
1 W 2 F wB
Fl3 由U=W 得： w B 3 E I
7
例12-2、试求图示梁的变形能，并利用功能原理求C截面的挠度。
解：
F
U
M 2(x )
2EI
dx
A
W3
F1δB2
F 1F 2a EA
所以应变能为：
U 1 W W1W2W3 F12aF22(ab)F1F2a 2EA 2Eb C
W1
F
2 1
a
2EA
F2
W2
F22(a b) 2EA
12

材料力学2--能量法

材料力学2--能量法

因仅与第i个荷载相应的位移有一微小增量, 而与其余各荷载相应 的位移保持不变，因此，对于位移的微小增量d i ，仅Fi 作了外 力功，外力功的变化为：
d W Fi di
注意到上式与下式在数值上相等
V d V d i i
从而有：
V Fi i
（卡氏第一定理 ）22l l 2 l l 2 FN EA
F F F Fl FN 2 sin 2 tan 2 l 2
F 代入前一式得： l EA
3
F F= ( /l )3 EA
或： F EA
l
3
（几何非线性弹性问题）
O
其F-间的非线性关系曲线为： 应变能为：
所以有
V vV v Al
应变能的特征：
（1）应变能恒为正的标量，与坐标系的选取无关； （2）由能量守恒原理可以证明：应变能仅与荷载的 最终值有关，而与加载的顺序无关； （3）在线弹性范围之内，应变能为内力（或位移） 的二次函数，因此力的叠加原理不再适用；
例1：弯曲刚度为 EI 的简支梁受均布荷载 q 作用，如图所 示。 试求梁内的应变能 。
由于外力余功在数值上等于余能，得
d V c d Wc
V c 解得： i Fi
（称为“余能定理”）
特别：对线弹性体，由于力与位移成正比，应变能 V 在数值上等于余能V c ， 此时上式变为：
V i Fi
（称为“卡氏第二定理”）
式中的Fi 和i分别为广义力和广义位移。
应用卡氏第一定理得
V EA 4 2 2 ( 1 2) 0 1 2l 2 2 V EA 2 ( 1 2) F 2 2l 2

材料力学 第十二章 能量法(一)

材料力学 第十二章 能量法(一)

C
l
F x
2
x
1
M A
0
B
l
Page21
第十二章
V
能量法(一）
32 16 2 2 2 3 2 2 2 3 (3 M l 3 M Fl 2 F l ) ( M l 2 M Fl F l（ ) 1） 0 0 0 0 4 4 3 E d G d
•单独计算各载荷对应的应变能。
1 T 2 (x ) Vε dx l 2 GI t
Page13
非圆截面轴扭转应变能
第十二章 • 弯曲 应变能密度 拉压杆应变能
V v dxdydz
M( x )y (x)= Iz
Vε =
2 My (x )dx l
能量法(一）
d
M(x)
vε
2
2E
dxdydz
2
2G
Page11
第十二章 2. 基本变形的应变能 •拉压 应变能密度 拉压杆应变能
FN ( x ) (x)= , A
能量法(一）
vε
2
2E
FN(x)
dx
V v dxdydz
2
2E
dxdydz
dydz A
2 1 n FN i li Vε 2 i 1 Ei Ai
i i F1 , F2， , Fn
Page 7
第十二章
能量法(一）
例：试确定图a均布载荷q 对应的广义位移，图b铰链两侧 横截面相对转角 对应的广义力。
q
A B
F
B A C
l
(a)

(b)
l
相应广义位移：面积
M

材料力学第12章 能量方法

材料力学第12章 能量方法

例： 试用下述三种方式， 试用下述三种方式， 计算图示简支梁的 应变能。 应变能。 (1)同时由零开始逐 (1)同时由零开始逐 渐加载至F、M； 渐加载至 、 ； (2)先加载至 ，再加 先加载至F， 载至M； 载至M； (3)先加载至 ，再 先加载至M， 加载至F。 加载至 。 应变能只与荷载的最 终值有关， 终值有关，而与加载 的中间过程或加载的 先后次序无关。 先后次序无关。
F N2 i l i = ∑ i =1 2 E i Ai
n
△l
△l1
△l
(b)
d(△l1)
图12.1
Vε
杆件轴线的轴力为变量
2 N
FN ( x)
时
F ( x) Vε = ∫ l dx 2 EA( x)
FN
例 V 求， ε
vε
注：应变能(比能) 应变能(比能) 的计算一般不能用 叠加原理。 叠加原理。
F1
二、功能原理（Principle for work and energy） 功能原理（ ） 在弹性体受力变形过程中，不考虑动力效应，能量损耗， 在弹性体受力变形过程中，不考虑动力效应，能量损耗， 则外力所作的功，就全部转换为弹性体内部积蓄的应变能， 则外力所作的功，就全部转换为弹性体内部积蓄的应变能， 其表达式如下： 其表达式如下：
2 2 2 M y ( x) FN ( x) M T ( x) M z2 ( x ) Vε = ∫ l dx + ∫ l dx + ∫ l dx + ∫ l dx 2 EA 2GI t 2 EI y 2 EI z
组合变形时的应变能
FN M M Vε = ∫ [ + + ]dx l 2 EA 2 EI z 2GI p

孙训方《材料力学》(第6版)笔记和课后习题(含考研真题)详解-能量法(圣才出品)

孙训方《材料力学》(第6版)笔记和课后习题(含考研真题)详解-能量法(圣才出品)

第12章能量法12.1 复习笔记由于弹性体的变形具有可逆性，因此外力在相应位移上做功在数值上等于在物体内积蓄的应变能。

利用功和能的概念求解可变形固体的位移、变形和内力等的方法，称为能量法。

能量法是有限元法求解固体力学问题的基础。

本章首先介绍了应变能和余能的概念及计算方法，在此基础上讨论了卡氏定理，最后介绍了能量法在求解超静定问题中的应用。

本章应重点掌握卡氏定理内容及能量法求解超静定问题的应用。

一、应变能和余能（见表12-1-1）表12-1-1 应变能和余能二、卡氏定理（见表12-1-2）表12-1-2 卡氏定理三、能量法求解超静定系统（见表12-1-3）表12-1-3 能量法求解超静定系统12.2 课后习题详解12-1 图12-2-1（a）、（b）所示各杆均由同一种材料制成，材料为线弹性，弹性模量为E。

各杆的长度相同。

试求各杆的应变能。

图12-2-1（a）图12-2-1（b ）解：（1）图12-2-1中（a ）杆的应变能为：222112212222222222231842112(2)24478Ni i i F l F l F l V EA EA EA l F F lE d E dF l Ed ==⨯+⎛⎫⋅⋅ ⎪⎝⎭=⨯+⋅⋅=∑επππ（2）图12-2-1中（b ）杆上距离下端x 处截面上的轴力为：F N （x ）＝F ＋fx ＝F ＋（F/l ）x ，故杆件的应变能为：2002220()d d 214d 23llN l F x V V xEAF F x F l l x EA Ed ==⎛⎫+ ⎪⎝⎭==⎰⎰⎰εεπ12-2 拉、压刚度为EA的等截面直杆，上端固定、下端与刚性支承面之间留有空隙Δ，在中间截面B处承受轴向力F作用，如图12-2-2所示。

杆材料为线弹性，当F＞EAΔ/l时，下端支承面的反力为：F C＝F/2－（Δ/l）（EA/2）。

于是，力F作用点的铅垂位移为：ΔB＝（F－F C）l/EA＝Fl/（2EA）＋Δ/2。

《材料力学》第十二章-求变形的能量法

《材料力学》第十二章-求变形的能量法

3 虚功的计算 外力：P1, P2,……, 虚位移：a1, a2,……., 外力虚功： 内力：N, M,… 虚变形：
We=P1a1+P2a2+……..
内力虚功：
由 We=Wi
虚功原理是最一般的功能原理
对于梁，施加单位力P=1, 力P产生的内力 则有：
莫尔定理
小结： 1 变形位能的概念 2 卡氏定理 3 莫尔定理 4 互等定理 5 虚功原理 作业：12.19, 12.20
2 ( x)
2G
L
dv
2 w ( x)
L
2E
dv
内力表达的变形位能
应力表达的变形位能
结
论
1. 变形位能是状态函数 （同最终的力和变形有关）
11
2. 变形位能的计算不能用叠加原理
如何解释交叉项？ 单独作用时 则 交叉项是两个载荷相互作用的外力功
〈解释1〉
载荷
在载荷
引起的位移上做的功
⑤ 莫尔积分必须遍及整个结构
例
A
求等截面直梁C点的挠度和转角（例 12.3 [P356]）
q B x a C
A
P0 =1
B
a
a
C
a
解：①画单位载荷图 ②求内力
qx2 M ( x ) aqx 2
③变形
q A x a C B A P0 =1 B
a
a
C
a
对称性
④求转角，重建坐标系（如图）
q
A
§12–3 莫尔定理 Mohr Theory
q(x)
A
在实载荷下得到
相应内力如弯矩为M(x) 如何计算任一点A的位移？ 1、 在A点加虚单位力

材料力学12 能量法

材料力学12 能量法
P
P
P 1
Wc
P1
a
W
dP
o
P
1
(d)

其大小为曲面OP1a的面积如图d所示。Wc 和外力功W 具有相同 的量纲，且Wc 为矩形OP1a1 的面积与曲面Oa1 的面积（W） 之差（图d）,故称Wc 为余功。Wc只有几何图形上的意义，无物
理概念，即没有什么力作的功为Wቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 。
13
12.1 应变能与余能
N 2 ( x) d x M t2 ( x) d x M 2 ( x) d x 2EA 2GI p 2EI
杆的应变能为
M t2 ( x) d x N 2 ( x) d x M 2 ( x) d x U dU l l l l 2EA 2GI p 2EI
8
12.1 应变能与余能
12.1 应变能与余能
n 1 1
uc
K (n 1)
n
B
D
N1 1 A
P1 N1 2 cos
n 1
1 P1 ( ) uc n k (n 1) 2 A cos
P1
由于轴向拉伸杆内各点的应力状态相同，因此
l P n1 U C uc dV uc (2lA) ( 1 ) V (2 A) n k n (n 1) cos
l
5
12.1 应变能与余能
可以把应变能统一写成
U W
1 PΔ 2
式中，P为广义力，可以代表一个力,一个力偶,一对力或一 对力偶等。为广义位移，可以代表一个线位移,一个角位移,
一对线位移或一对角位移等。
6
12.1 应变能与余能
（2） 组合变形（用内力形式表示的应变能）

第十二章：能量方法 材料力学课件(授课型)

第十二章：能量方法 材料力学课件(授课型)

1 T 2L 2 GI P
——用“内力”表示
1
GI
2
P1
2L
——用“变形”表示
12
同样，对于一般情况，有：
1 T2(x)dx
U
2 l GIP(x)
U Vudv
u 1
2
12
3.弯曲变形能
（1）纯弯曲
θ
θρ θ
M
M
O
L
MM
12
对于线弹性材料，变形能为：
U W 1M ——用外力功表示
2
——加载过程中P1在P2产生的位移上做的功
1 2P2
P E1LA12P2L1
——加载过程中P2在P1产生的位移上做的功
12
变形能不能叠加的力学本质： 一种荷载在另一种荷载引起的 位移上做了功。
12
2.扭转变形能
T M0 T1
L
对于线弹性材料，变形能为： O
φ1 φ
UW0 1Td1 2M 01——用外力功表示
B E
δ1
D δ2
B’
45
°
C
12
均匀变形：
AB
lAB lAB
1
L
BC lB lBCC
22(21)(21)
2L
2L
u A B 0 AB d 0 AB B d 2 3 B A 2 3 B 2 3 B (L 1 ) 2 3
ΔL=ΔL1+ΔL2
P=P1+P2
12
U1P2L1(P1P2)2L1P12L1P22L 2 EA 2 EA 2 EA 2 EA
P1EP2A LU1U2P1EP2A LU1U2
所以，变形能不能叠加。
12

材料力学能量法最经典解析PPT课件

材料力学能量法最经典解析PPT课件

能量法——利用定理求变形
极坐标方程是给一 个角度能够确定一 个挠度。因此该问 题是求任意位置角 的径向变形。
注意2个角度φ和θ的意义。 Φ用于表 示力F作用下任意位置上的弯矩。而θ 是用于表示任意位置的挠度，单位力 作用的位置。摩尔积分应该是对Φ积 分。 Φ在0到360度变化。
能量法——利用定理求变形
能量法——其他
超静定——与拉压杆相关
每根杆都沿杆的方 向线变形，后旋转 到变形后的位置。 变形用作垂线代替。
超静定——与拉压杆相关
此处注意CD杆
变形转换后是 BC杆变形的一 半。
超静定——与拉压杆相关
超静定——与拉压杆相关
广义胡克定律的应用。 每一点的应力状态为
p p
超静定——弯扭相关
此题仍然是有两个变 量，x是所求任意截面 的挠度值，而ξ是任意 截面的弯矩值，摩尔 积分是对ξ积分。
超静定——弯扭相关
超静定——弯扭相关
此类题目重点是分析圆盘 及2根杆的受力情况及变 形情况。
超静定——弯扭相关
该表达式上课过 程中没有出现过， 但是很容易推导 出来。
超静定——弯扭相关
超静定——弯扭相关
超静定——弯扭相关
超静定——弯扭相关
超静定——弯扭相关
此题目的重点是分析的方法和思路。由弹簧变 形与力和力矩之间的关系找到变形协调方程求 解超静定问题。
能量法——利用力做功求变形
能量法——利用力做功求变形
应力已知，计算应变能从而得到外力 功，最终获得力作用下的变形。
能量法——利用力做功求变形
能量法——利用力做功求变形
能量法——互等定理
该表达式上课过 程中没有出现过， 但是很容易推导 出来。积分求得 挠曲线后可得到 弯矩方程，进而 计算应变能。

材料力学 第12章_能量法

材料力学 第12章_能量法


由
W Vε
B V
Fl 1 2 2 EA
返回


§12.3 卡氏定理
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一、卡氏定理
可以证明，应变能对任一载荷Fi的一阶偏导数， 等于Fi的作用点沿Fi作用方向的位移 Δi。 V Δi Fi
说明： 1. 卡氏定理中的载荷Fi与位移Δi都是广义的； 2. 卡氏定理仅适用于线弹性结构。
解：1. 梁的应变能 弯矩方程
M x M e
梁的应变能
M 2 x V dx 2 EI

l

2 M M e dx e l 0 2 EI 2 EI
l 2
返回
例12-1 悬臂梁如图所示 已知:梁的抗弯刚度为常量 试:计算其应变能以及B截面的转角 2 Me l 解：1. 梁的应变能 V 2 EI
返回
四、外力功与应变能的关系 对于在静载作用下的完全弹性体，外力从零 缓慢增加到最终值，可不考虑其他能量的损失， 外力在相应位移上作的功，在数值上等于积蓄在 物体内的应变能。 根据能量守恒原理，有：
W Vε
返回
§12.2 杆件应变能的计算
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一、外力功
在线弹性范围内，F与Δ成正比1 W Fd' F 2 0
第12章
能量法
第12章
能量法
§12.1 能量法概述
§12.2 杆件应变能的计算 §12.3 卡氏定理
§12.4 莫尔定理与单位载荷法
§12.1 能量法概述
返回总目录
一、能量法 利用功能原理 W= Vε 来求解可变形固体的位移、 变形和内力等的方法。 二、外力功（W） 固体在外力作用下变形，引起力的作用点 沿力作用方向位移，外力因此作功 。 三、变形能或应变能 （Vε） 弹性固体因变形而储备了能量 ，称为变形 能或应变能。
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范围内工作时，其轴线弯曲成为一段圆弧，如图12.5（a）所示。两端横截
面有相对转动，其夹角为θ ，由第7章求弯曲变形的方法可以求出
图12.5 与前面的情况相似，在线弹性范围内，当弯曲外力偶矩由零逐渐增加到M0时
，梁两端截面相对于转动产生的夹角也从零逐渐增加到θ ，M0与θ 的关系也
是斜直线，如图12.5（b）所示，所以杆件纯弯曲变形时的应变能为
dW在图12.2（a）中以阴影面积来表示。拉力从零增加到FP的整个加载过程
中所做的总功则为这种单元面积的总和，也就是说是△OAB的面积，即
可以将以上的分析推广到其他受力情况，因而静载荷下外力功的计算式可以
写为 式中的 F是广义力，它可以是集中力或集中力偶；Δ 是与广义力F相对应的
位移，称为广义位移，它可以是线位移或角位移。式（12.2）表明，当外力
在工程实际中，最常遇到的是横力弯曲的梁。这时梁横截面上同时有剪力和
弯矩，所以梁的应变能应包括两部分：弯矩产生的应变能和剪力产生的应变 能。在细长梁的情况下，剪切应变能与弯曲应变能相比，一般很小，可以不
计，常只计算弯曲应变能。另外，此时弯矩通常均随着截面位置的不同而变
化，类似于式（12.5）与式（12.9），梁的弯曲应变能为
表面上的剪力与相应的位移方向垂直，没有做功。因此，单元体各表面上的 剪切力在单元体变形过程中所做的功为
故单元体内积蓄的应变能为
则单元体内积蓄的应变比能为
下
这表明，vε 等于γ 直线
的面积。由剪切胡克定律=Gγ ,比能又可以写成下列形式
（3）扭转 如图12.4（a）所示的受扭圆轴，若扭转力偶矩由零开始缓慢增加到最终值T
，积蓄在弹性体内的应变能Vε 及能量耗损Δ E在数值上应等于载荷所做的功 ，既 如果在加载过程中动能和其他形式的能量耗损不计，应有
12.2.3杆件基本变形时的应变能 （1）轴向拉伸或压缩
当拉（压）杆的变形处于线弹性范围内时，外力所做的功为
在图12.1中，杆内的应变能为 杆件任一横截面上的轴力
考虑到胡克定律有
12.2外力功与应变能计算 12.2.1外力功
固体在外力作用下变形,引起力作用点沿力作用方向位移,外力因此而作功,
则称为外力功。物理学中，一个恒定的外力F，在沿力方向的位移Δ L上所做 的功为
图12.1
图12.2
如果材料服从胡克定律，那么外力FP与位移Δ l成线性关系（见图12.2（a） ）。设FP1表示加载过程中拉力的一个值，相应的位移为Δ l1，这时将拉力 增加一微量dFP1，设其产生相应的位移增量d(Δ l)，这时已经作用在杆上的 拉力FP1将在该位移增量上做功，其值为
因切应力
，代入上式得
可见，利用比能计算全杆内积蓄的应变能应用范围更广，该方法适用于杆的 各个横截面上内力变化，且横截面上各点处的应力也有不同的情况。
（4）弯曲
如图12.5（a）所示的悬臂梁在纵向对称平面的左端受到外力偶M0作用而发 生纯弯曲。在加载过程中，梁的各横截面上的弯矩均有M=M0，故梁在线弹性
12.2.4复杂受力情况下应变能计算的两个重要原则
下面首先以如图12.6（a）所示的拉杆为例说明在计算应变能时叠加原理的 应用原则。
拉杆在FP1,FP2同时作用下的应变能为
而当FP1,FP2单独作用时如图12.7(b)、(c)所示，杆的应变能分别为
显然
图12.6
可见，对如图12.6(a)所示的情况不能用叠加原理计算应变能。其原因是各 个载荷所做的功是相互影响的，即载荷除在其自身引起的位移上做功外，在
其他载荷引起的位移上也要做功，所以不能将各载荷单独分析。
以上结论可归结为:引起同一基本变形的一组荷载在杆件内产生的应变能，
不等于各荷载分别作用产生的应变能的叠加。
下面仍然用上例加以说明。若先将作用在拉杆上，杆件有伸长Δ l1，则FP1 所做的功为 在FP1不卸除的情况下，再施加FP2，杆件又伸长了Δ l2，此时力FP1与力FP2 所做的功分别为
由零逐渐增加到静载荷时，在胡克定律的范围内，外力在其相应位移上所做 的功等于外力最终值FP与相应位移最终值Δ 乘积的一半。
12.2.2功与能
弹性体在载荷的作用下将发生形变，同时弹性体内将积蓄能量，这是因为在 加载过程中，载荷在其相应的位移上作功。将载荷逐渐卸除时，该能量又将
重新释放出来做功，使弹性体恢复到以前的形状。根据物理学中的功能原理
则整个加载过程外力所做的功为
将式（c）转化为应变能则同样得到式（a）。 对于上述的拉杆，若先施加FP2再施加FP1，通过类似的计算可以证明，杆件 内积蓄的应变能与上述分析结果一样，当然也与FP1,FP2同时作用时一样。
第12章 能量法
12.1压杆稳定的概念 当作用在弹性体上的载荷，由零缓慢地增加至最终值时，弹性体的变形也由
零增至其最终值，载荷的作用点随之发生位移，载荷在其相应位移上做功，
称为外力功。不计其他能量损耗，外力功全部以能量形式储存于弹性体中， 成为弹性应变能（简称应变能），应变能Vε 在数值上等于外力功W，即
，则在线弹性范围内对扭转角φ 与扭转力偶M间的关系是一条直线，如图
12.4（b）所示。
图12.4
与拉伸相似，扭转应变能应为
由于圆轴横截面上的扭矩=M，且
因此受扭转圆轴的应变能为
当扭矩T沿轴线为变量时，式（12.8）变为
实际上，受扭圆轴中各点的应力状态均为纯剪切应力状态，因此可以直接采
用式（12.7）求积分，即得杆件的应变能。即
可见，应变比能vε 的数值也可以用ζ ε 图中△Oab的面积来表示，如图
12.2（b）所示。根据胡克定律ζ =Eε ，比能又可写成下列形式
（2）纯剪切
为了分析的方便，从受剪切杆中截取如图12.3（a）所示的单元体。
当材料在线弹性范围内工作时，其与γ 成正比，如图12.3（b）所示。上下
图12.3
因此拉压杆的应变能为 若外力较为复杂，轴力沿杆件轴线为变量N(x)，可以先计算长度为dx微段内
的应能，再按积分的方法计算整个杆件的应变能，即
对于承受均匀拉压的杆，如图12.1所示，杆内各部分的受力和变形情况相同 ，所以每单位体积内积蓄的应变能相等，可用杆的应变能Vε 除以杆的体积V
来计算。这种单位体积内的应变能，称为应变比能,并用vε 表示，可得