材料力学第12章 能量法

由零逐渐增加到静载荷时，在胡克定律的范围内，外力在其相应位移上所做 的功等于外力最终值FP与相应位移最终值Δ 乘积的一半。
12.2.2功与能
弹性体在载荷的作用下将发生形变，同时弹性体内将积蓄能量，这是因为在 加载过程中，载荷在其相应的位移上作功。将载荷逐渐卸除时，该能量又将
重新释放出来做功，使弹性体恢复到以前的形状。根据物理学中的功能原理
12.2.4复杂受力情况下应变能计算的两个重要原则
下面首先以如图12.6（a）所示的拉杆为例说明在计算应变能时叠加原理的 应用原则。
拉杆在FP1,FP2同时作用下的应变能为
而当FP1,FP2单独作用时如图12.7(b)、(c)所示，杆的应变能分别为
显然
图12.6
可见，对如图12.6(a)所示的情况不能用叠加原理计算应变能。其原因是各 个载荷所做的功是相互影响的，即载荷除在其自身引起的位移上做功外，在
其他载荷引起的位移上也要做功，所以不能将各载荷单独分析。
以上结论可归结为:引起同一基本变形的一组荷载在杆件内产生的应变能，
不等于各荷载分别作用产生的应变能的叠加。
下面仍然用上例加以说明。若先将作用在拉杆上，杆件有伸长Δ l1，则FP1 所做的功为 在FP1不卸除的情况下，再施加FP2，杆件又伸长了Δ l2，此时力FP1与力FP2 所做的功分别为
dW在图12.2（a）中以阴影面积来表示。拉力从零增加到FP的整个加载过程
中所做的总功则为这种单元面积的总和，也就是说是△OAB的面积，即
可以将以上的分析推广到其他受力情况，因而静载荷下外力功的计算式可以
写为 式中的 F是广义力，它可以是集中力或集中力偶；Δ 是与广义力F相对应的
位移，称为广义位移，它可以是线位移或角位移。式（12.2）表明，当外力
则整个加载过程外力所做的功为
将式（c）转化为应变能则同样得到式（a）。 对于上述的拉杆，若先施加FP2再施加FP1，通过类似的计算可以证明，杆件 内积蓄的应变能与上述分析结果一样，当然也与FP1,FP2同时作用时一样。
第12章 能量法
12.1压杆稳定的概念 当作用在弹性体上的载荷，由零缓慢地增加至最终值时，弹性体的变形也由
零增至其最终值，载荷的作用点随之发生位移，载荷在其相应位移上做功，
称为外力功。不计其他能量损耗，外力功全部以能量形式储存于弹性体中， 成为弹性应变能（简称应变能），应变能Vε 在数值上等于外力功W，即
在工程实际中，最常遇到的是横力弯曲的梁。这时梁横截面上同时有剪力和
弯矩，所以梁的应变能应包括两部分：弯矩产生的应变能和剪力产生的应变 能。在细长梁的情况下，剪切应变能与弯曲应变能相比，一般很小，可以不
计，常只计算弯曲应变能。另外，此时弯矩通常均随着截面位置的不同而变
化，类似于式（12.5）与式（12.9），梁的弯曲应变能为
表面上的剪力与相应的位移方向垂直，没有做功。因此，单元体各表面上的 剪切力在单元体变形过程中所做的功为
故单元体内积蓄的应变能为
则单元体内积蓄的应变比能为
下
这表明，vε 等于γ 直线
的面积。由剪切胡克定律=Gγ ,比能又可以写成下列形式
（3）扭转 如图12.4（a）所示的受扭圆轴，若扭转力偶矩由零开始缓慢增加到最终值T
范围内工作时，其轴线弯曲成为一段圆弧，如图12.5（a）所示。两端横截
面有相对转动，其夹角为θ ，由第7章求弯曲变形的方法可以求出
图12.5 与前面的情况相似，在线弹性范围内，当弯曲外力偶矩由零逐渐增加到M0时
，梁两端截面相对于转动产生的夹角也从零逐渐增加到θ ，M0与θ 的关系也
是斜直线，如图12.ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ（b）所示，所以杆件纯弯曲变形时的应变能为
可见，应变比能vε 的数值也可以用ζ ε 图中△Oab的面积来表示，如图
12.2（b）所示。根据胡克定律ζ =Eε ，比能又可写成下列形式
（2）纯剪切
为了分析的方便，从受剪切杆中截取如图12.3（a）所示的单元体。
当材料在线弹性范围内工作时，其与γ 成正比，如图12.3（b）所示。上下
图12.3
因切应力
，代入上式得
可见，利用比能计算全杆内积蓄的应变能应用范围更广，该方法适用于杆的 各个横截面上内力变化，且横截面上各点处的应力也有不同的情况。
（4）弯曲
如图12.5（a）所示的悬臂梁在纵向对称平面的左端受到外力偶M0作用而发 生纯弯曲。在加载过程中，梁的各横截面上的弯矩均有M=M0，故梁在线弹性
，则在线弹性范围内对扭转角φ 与扭转力偶M间的关系是一条直线，如图
12.4（b）所示。
图12.4
与拉伸相似，扭转应变能应为
由于圆轴横截面上的扭矩T=M，且
因此受扭转圆轴的应变能为
当扭矩T沿轴线为变量时，式（12.8）变为
实际上，受扭圆轴中各点的应力状态均为纯剪切应力状态，因此可以直接采
用式（12.7）求积分，即得杆件的应变能。即
12.2外力功与应变能计算 12.2.1外力功
固体在外力作用下变形,引起力作用点沿力作用方向位移,外力因此而作功,
则称为外力功。物理学中，一个恒定的外力F，在沿力方向的位移Δ L上所做 的功为
图12.1
图12.2
如果材料服从胡克定律，那么外力FP与位移Δ l成线性关系（见图12.2（a） ）。设FP1表示加载过程中拉力的一个值，相应的位移为Δ l1，这时将拉力 增加一微量dFP1，设其产生相应的位移增量d(Δ l)，这时已经作用在杆上的 拉力FP1将在该位移增量上做功，其值为
因此拉压杆的应变能为 若外力较为复杂，轴力沿杆件轴线为变量N(x)，可以先计算长度为dx微段内
的应能，再按积分的方法计算整个杆件的应变能，即
对于承受均匀拉压的杆，如图12.1所示，杆内各部分的受力和变形情况相同 ，所以每单位体积内积蓄的应变能相等，可用杆的应变能Vε 除以杆的体积V
来计算。这种单位体积内的应变能，称为应变比能,并用vε 表示，可得
，积蓄在弹性体内的应变能Vε 及能量耗损Δ E在数值上应等于载荷所做的功 ，既 如果在加载过程中动能和其他形式的能量耗损不计，应有
12.2.3杆件基本变形时的应变能 （1）轴向拉伸或压缩
当拉（压）杆的变形处于线弹性范围内时，外力所做的功为
在图12.1中，杆内的应变能为 杆件任一横截面上的轴力
考虑到胡克定律有