第一章 矢量分析总结

矢量分析与张量初步第一章矢量分析U STU STU ST标量（数量）：有大小，没方向的物理量。

矢量：既具有大小又具有方向的物理量，矢量又称为向量。

矢量与标量的根本区别是：有没有方向性。

如：温度、质量、角度、长度等。

如：力、速度、电场强度、力矩等。

矢量的模：矢量的大小。

矢量的模记为：或。

A K A ||A KU STU STU ST自由矢量：矢量平移后，其作用效果不变。

即自由矢量就是具有平移不变性的矢量。

FK 只考虑刚体的质心运动，作用力可以平移。

能不能平移？下面只讨论自由矢量。

如果要考虑刚体的转动，则作用力不能平移。

U STU STU ST始端在坐标原点的矢量常称为矢径，显然矢径的末端与直角坐标系中的三个坐标分量之间具有一一对应的关系，则矢径可用其末端的空间坐标来表示：①在直角坐标中的表示对矢量，始端平移到坐标原点，表示为：A Kr xi yj zk=++KK K K、、：单位矢量，分别指向三个坐标轴的正向。

i K j K k K x y z A A i A j A k=++K K K KU STU STU ST其中：为矢量的模，为指向矢量方向上的单位矢量。

R A A e A 三个：、和。

R βαcos cos cos A e i j kαβγ=++K K K KAKRxy zO因为222cos cos cos 1αβγ++=的直角坐标表示为A e K有几个独立坐标量？A Kr e =KU STU STU STOxe ρρK zA kK A K cos sin e i j ρϕϕ=+K K K三个：、和。

ρϕz 的直角坐标表示为e ρK在矢量的球坐标及柱坐标表示中，只要分别把单位矢量和的直角坐标表示代入，即得到矢量的直角坐标表示。

e ρKr e K 有几个独立坐标量？A K第一章矢量分析U STU ST U ST U STU STcos xA Aα=cos yA Aβ=cos zA A γ=(cos cos cos )A A i j k αβγ=++K K K K④方向余弦表示：设矢量与直角坐标三个坐标轴正向的夹角分别为、和，则：αγβA K用方向余弦（）表示矢量：A Kcos ,cos ,cos αβγcos x A A α=这实际上就是直角坐标表示，因为：cos y A A β=cos z A A γ=U STU STU ST不能按大小排列）。

第1章 矢量分析§1.1 标量场与矢量场一、场的概念如果某物理量在空间每一时刻和每一位置都有一个确定的值，则称在此空间中确定了该物理量的场。

二、标量场与矢量场标量场：若所研究的物理量是一个标量，则称该物理量的场为标量场，例如：温度场、密度场、电位场。

),(t r u u =矢量场：若所研究的物理量是一个矢量，则称该物理量的场为矢量场，例如：力场、速度场、电场。

),(t r A A =三、静态场和时变场静态场：若物理量不随时间变化，则称该物理量所确定的场为静态场。

)(r u u =)(r A A =时变场：若物理量随时间变化，则称该物理量所确定的场称为动态场或时变场。

),(t r u u=),(t r A A =标量场在空间的变化规律由其梯度来描述，矢量场在空间的变化规律由矢量场的散度和旋度来描述。

§1.2 矢量场的通量 散度一、矢量线 矢量场的通量 1、矢量线(1)矢量场的表示在矢量场中，各点的场量是随空间位置变化的矢量。

矢量场可以用一个矢量函数)(r A来表示。

在直角坐标系中表示为：),,()(z y x A r A=(2)矢量线在矢量场中，为了形象直观地描述矢量在空间的分布状况，引入了矢量线的概念。

矢量线：是一条空间曲线，在它上面每一点的场矢量都与其相切，并且用箭头来表示矢量线的正方向。

例如，静电场中的电力线、磁场中的磁力线等。

(3)矢量线方程0)(=⨯r A r d在直角坐标系下为：)()()(r A dzr A dy r A dx z y x == 2、矢量场的通量 通过面积元的通量：S d r A d⋅=Φ)(通过有限面积的通量：⎰⋅=ΦSS d r A)(通过闭合曲面的通量：⎰⋅=ΦS S d r A)(二、矢量场的散度 1、散度的定义在矢量场)(r A中的任意一点M 处作一个包围该点的任意闭合曲面S ，所限定的体积为τ∆。

矢量场)(r A 在点M 处的散度记作A div，其定义为：ττ∆⋅=⎰→∆SS d r A A div)(lim 0 2、散度在坐标系下的表示A A div ⋅∇=定义哈密顿算符：ze y e x e z y x ∂∂+∂∂+∂∂=∇(1)在直角坐标系中的表示zu y u x u A ∂∂+∂∂+∂∂=⋅∇(2)在圆柱坐标系中的表示()zA A A A z ∂∂+∂∂+∂∂=⋅∇φρρρρφρ11 (3)在球坐标系中的表示()()φθθθθφθ∂∂+∂∂+∂∂=⋅∇A r A r A r r r A r sin 1sin sin 11223、散度的性质(1)散度是通量源的密度；0>⋅∇A表示该点有发出通量线的正通量源； 0<⋅∇A表示该点有接收通量线的负通量源；0=⋅∇A表示该点无通量源。

第1章 矢量分析 在矢量代数中，曾经讨论过模和方向都保持不变的矢量，这种矢量称为常矢。

然而，在科学和技术的许多问题中，也常遇到模和方向改变或其中之一会改变的矢量，这种矢量称为变矢。

如非等速及非直线运动物体的速度就是变矢量的典型例子。

变矢量是矢量分析研究的重要对象。

本章主要讨论变矢与数性变量之间的对应关系——矢函数及微分、积分和它们的一些主要性质。

§1.1 矢函数与普通数量函数的定义类似，我们引进矢性函数（简称矢函数）的概念，进而结出矢函数的极限与连续性等概念。

1、矢函数的概念定义1.1.1 设有数性变量t 和变矢A ，如果对于t 在某个范围D 内的每一个数值，A 都以一个确定的矢量和它对应，则称A 为数性变量t 的矢量函数，记作A =A)(t（1.1.1）并称D 为矢函数A 的定义域。

在Oxyz 直角坐标系中，用矢量的坐标表示法，矢函数可写成 A {})(),(),()(t A t A t A t z y x =（1.1.2）其中)(),(),(t A t A t A z y x 都是变量t 的数性函数，可见一个矢函数和三个有序的数性函数构成一一对应关系。

即在空间直角坐标系下，一个矢函数相当于三个数性函数。

本章所讲的矢量均指自由矢量，所以，以后总可以把A )(t 的起点取在坐标原点。

这样当t 变化时，A )(t 的终点M 就描绘出一条曲线l （图1.1），这样的曲线称为矢函数A )(t 的矢端曲线，也称为矢函数A )(t 的图形。

同时称（1.1.1）式或（1.1.2）式为此曲线的矢量方程。

愿点O 也称为矢端曲线的极。

由于终点为),,(z y x M 的矢量OM 对于原点O 的矢径为zk yj xi r ++==当把A )(t 的起点取在坐标原点时，A )(t 实际上就成为其终点),,(z y x M 的矢径，因此)(t A 的三个坐标)(),(),(t A t A t A z y x 就对应地等于其终点M 的三个坐标z y x ,,，即)(),(),(t A z t A y t A x z y x ===（1.1.3）此式就是曲线l 的参数方程。

第一章:矢量分析1.1矢量代数矢量和标量标量矢量矢量的加法、减法、矢量混合积、点乘、叉乘的运算加法定义计算式几何意义平行四边形法则减法定义：计算式几何意义三角形法则矢量混合积计算方法：先算叉乘，再算点乘结果：标量重要矢量恒等式：A×B·C=B×A·C=C×A·B几何意义：斜立方体的体积，叉乘大小表示底面积，点乘朝叉乘方向投影是高度点乘定义计算式几何意义叉乘定义计算式几何意义1.2三种常用的坐标系直角坐标系一、圆柱坐标系二、球坐标系三、点，线、面、体、算符、应用1.3标量场的梯度标量场的等值面一、定义：标量场仅有大小，具有相同函数数值的点的集合，这些点组成一个曲面，该曲面称为等值面。

方程：T=T(X,Y,Z,T)=C方向导数二、定义式计算式直角坐标系梯度三、计算式直角坐标系圆柱坐标系球坐标系计算法则：按求导记忆概要1.4矢量场的通量与散度矢量场的矢量线一、定义：矢量场不仅有大小也具有方向，一般用一些有向线来形象地表示他的空间分布，这些有向称为矢量线。

方程：A=A(X,Y,Z,T)=Ax+A y+A z通量二、定义：开曲面闭曲面散度三、定义计算方法直角坐标系圆柱坐标系球坐标系散度（高斯定理）概要1.5矢量场的环量（流）与旋度环量（流）一、旋度二、计算式直角坐标系圆柱坐标系球坐标系斯托克斯定理（旋度定理）三、概要1.6无旋场与无散场无旋场一、无散场二、1.7拉普拉斯运算与格林公式拉普拉斯运算一、格林定理二、1.8亥姆霍兹定理力的解矢量场分析方程的建立。

矢量分析的知识点总结一、矢量的定义和表示1.1 矢量的定义矢量是指在空间中具有大小和方向的量，它可以用来表示物理量的大小和方向，如力、速度等。

矢量通常用箭头表示，箭头的长度表示矢量的大小，箭头的方向表示矢量的方向。

1.2 矢量的表示矢量可以用不同的方式表示，常见的表示方法有坐标表示和分量表示。

坐标表示是指用矢量所在空间的坐标系来表示矢量，分量表示是指将矢量在坐标系中的投影表示为一组数值。

1.3 矢量的运算矢量的运算包括加法、减法、数量乘法和点乘等。

加法和减法的运算结果是一个新的矢量，数量乘法是指将矢量的长度进行缩放，点乘是指将两个矢量的长度和夹角进行运算得到一个标量。

二、矢量的微积分2.1 矢量的导数矢量的导数是指对矢量的每个分量分别求导，得到的是一个新的矢量。

矢量的导数在物理学中有着广泛的应用，如速度、加速度等物理量都可以用矢量的导数来表示。

2.2 矢量场矢量场是指在空间中的每个点都有一个矢量与之对应的场，它可以用来描述流体的速度场、电场、磁场等。

矢量场的微积分可以用来研究矢量场的性质和行为。

2.3 曲线积分曲线积分是指对沿着曲线的矢量场进行积分，得到的是一个标量。

曲线积分在物理学中有着重要的应用，如对力沿着曲线的功的计算等。

2.4 曲面积分曲面积分是指对矢量场在曲面上的投影进行积分，得到的是一个标量。

曲面积分在物理学中也有着广泛的应用，如对电场在闭合曲面上的通量计算等。

三、矢量分析的应用3.1 物理学中的应用矢量分析在物理学中有着广泛的应用，如在力学中用于描述力、速度、加速度等物理量；在电磁学中用于描述电场、磁场等物理量。

3.2 工程学中的应用矢量分析在工程学中也有很多应用，如在流体力学中用于描述流体的速度场、压力场等；在航空航天工程中用于描述飞行器的运动状态、姿态等。

3.3 计算机科学中的应用矢量分析在计算机科学中也有着重要的应用，如在图形学中用于描述图像的旋转、平移等运动；在机器学习中用于描述数据的特征、相似度等。

第一章 矢量分析§1 场的概念 一. 矢量与标量1.概念标量 实数域内只有大小的量。

如：电压、温度、时间、电荷等。

矢量 实数域内既有大小又有方向的量，且加法运算遵循平行四边形法则。

如：力F 、电场强度E 、磁场强度H、速度等。

常矢：矢量的模和方向都不变。

如：x e 、y e 、z e。

变矢：模和方向或两者之一变化的矢量(在实际问题中遇到的更多)。

如：r e 、θe 、ϕe 、ρe。

物理量 标量或矢量被赋予物理单位，成为有物理意义的量。

2.矢量的表示印刷 黑体 A ；A(白体)表示A的模。

手写 模和方向均表示出。

表示A 的方向(模为1)。

A 表示矢量A 的模。

▪ 零矢（空矢）：模为零的矢量。

0▪单位矢量：模为1的矢量。

如直角坐标系坐标轴方向x e 、y e 、z e （参考书）。

也有用x a、y a 、z a或i 、j 、k 或 x ˆ、y ˆ、z ˆ 等表示。

若三个相互垂直的坐标轴上的分量已知，一个矢量就确定了。

如直角坐标系中，矢量A的三个分量模值分别是A x , A y , A z ，则直角坐标系： A的模为 A的单位矢量为判断以下手写表示是否正确：（矢量≠标量） （标量≠矢量） ☹ 常见手写表示错误： Aa A 0=A A a=0zz y y x x A e A e A e A ++=222z y x A A A A ++=γβcos cos cos ˆ0z y x zz y y x x A e e a e A A e A A e A A e A A a A++=++===5=E 5x e E=5x e E =765zy x e e e E ++= 765z y x e e e E++=二. 矢量的代数运算1.矢量的加减法2.矢量的乘法a.标量积(点乘) 结果为标量！b.矢量积(叉乘) 结果为矢量！直角坐标系：∙ 点乘 垂直 平行点乘符合交换律： ∙ 叉乘平行 垂直注意：z x y e e e-=⨯ 叉乘不符合交换律： 三.矢量场与标量场1.场在某一空间区域内的每一点，都对应着某个物理量的一个确定的值，则称在此区域内确定了该物理量的一个场。