与球有关的切、接问题(有答案)

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与球有关的切、接问题

1.球的表面积公式:S =4πR 2;球的体积公式V =43πR 3 2.与球有关的切、接问题中常见的组合: (1)正四面体与球:如图,设正四面体的棱长为a ,内切球的半径为r ,

外接球的半径为R ,取AB 的中点为D ,连接CD ,SE 为正四面体的高,在

截面三角形SDC 内作一个与边SD 和DC 相切,圆心在高SE 上的圆.因为

正四面体本身的对称性,内切球和外接球的球心同为O .此时,CO =OS =R ,OE =r ,SE = 23a ,CE =33

a ,则有R +r = 23a ,R 2-r 2=|CE |2=a 23,解得R =64a ,r =612a . (2)正方体与球:

①正方体的内切球:截面图为正方形EFHG 的内切圆,如图所

示.设正方体的棱长为a ,则|OJ |=r =a 2

(r 为内切球半径). ②与正方体各棱相切的球:截面图为正方形EFHG 的外接圆,

则|GO |=R =22

a . ③正方体的外接球:截面图为正方形ACC 1A 1的外接圆,则|A 1O |=R ′=

32a . (3)三条侧棱互相垂直的三棱锥的外接球:

①如果三棱锥的三条侧棱互相垂直并且相等,则可以补形为一个正方

体,正方体的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心.即三棱锥A 1-AB 1D 1

的外接球的球心和正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的外接球的球心重合.如图,设

AA 1=a ,则R =32

a . ②如果三棱锥的三条侧棱互相垂直但不相等,则可以补形为一个长方体,长方体的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心.R 2=

a 2+

b 2+

c 24=l 24

(l 为长方体的体对角线长). 角度一:正四面体的内切球

1.(2015·长春模拟)若一个正四面体的表面积为S 1,其内切球的表面积为S 2,则S 1S 2

=________.

解析:设正四面体棱长为a ,则正四面体表面积为S 1=4·34·a 2=3a 2,其内切球半径为正四面体高的14,即r =14·63a =612a ,因此内切球表面积为S 2=4πr 2=πa 26,则S 1S 2=3a 2π6

a 2=63π

. 角度二:直三棱柱的外接球

2.(2015·唐山统考)如图,直三棱柱ABC -A 1B 1C 1的六个顶点都在半径

为1的半球面上,AB =AC ,侧面BCC 1B 1是半球底面圆的内接正方形,则

侧面ABB 1A 1的面积为( )

A .2

B .1 C. 2 D.22

解析:选C 由题意知,球心在侧面BCC 1B 1的中心O 上,BC 为截

面圆的直径,∴∠BAC =90°,△ABC 的外接圆圆心N 是BC 的中点,同理△

A 1

B 1

C 1的外心M 是B 1C 1的中心.设正方形BCC 1B 1的边长为x ,Rt △OMC 1

中,OM =x 2,MC 1=x 2

,OC 1=R =1(R 为球的半径),∴⎝⎛⎭⎫x 22+⎝⎛⎭⎫x 22=1,即x =2,则AB =AC =1,∴S 矩形ABB 1A 1=2×1= 2.

角度三:正方体的外接球

3.一个正方体削去一个角所得到的几何体的三视图如图所示(图中

三个四边形都是边长为2的正方形),则该几何体外接球的体积为

________.

解析:依题意可知,新的几何体的外接球也就是原正方体的外接球,要求的直径就是

正方体的体对角线;∴2R =23(R 为球的半径),∴R =3,∴球的体积V =43

πR 3=43π. 答案:43π

角度四:四棱锥的外接球

4.(2014·大纲卷)正四棱锥的顶点都在同一球面上,若该棱锥的高为4,底面边长为2,则该球的表面积为( )

A.81π4 B .16π C .9π D.27π4

解析:选A 如图所示,设球半径为R ,底面中心为O ′且球心为O ,∵正四棱锥P -ABCD 中AB =2,∴AO ′= 2.

∵PO ′=4,∴在Rt △AOO ′中,AO 2=AO ′2+OO ′2,∴R 2=(2)2+(4-R )2,解得R

=94

,∴该球的表面积为4πR 2=4π×⎝⎛⎭⎫942=81π4,故选A. [类题通法]

“切”“接”问题的处理规律

1.“切”的处理

解决与球的内切问题主要是指球内切多面体与旋转体,解答时首先要找准切点,通过作截面来解决.如果内切的是多面体,则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作.

2.“接”的处理

把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的外接问题.解决这类问题的关键是抓住外接的特点,即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径.

[牛刀小试]

1.(2015·云南一检)如果一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图都是半径等于5的圆,那么这个空间几何体的表面积等于( )

A .100π B.100π3 C .25π D.25π3

解析:选A 易知该几何体为球,其半径为5,则表面积为S =4πR 2=100π.

2.(2014·陕西高考)已知底面边长为1,侧棱长为2的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上,则该球的体积为( )

A.32π3 B .4π C .2π D.4π3

解析:选D 因为该正四棱柱的外接球的半径是四棱柱体对角线的一半,所以半径r =1

212+12+(2)2=1,所以V 球=4π3×13=4π3

.故选D. 3.已知正六棱柱的12个顶点都在一个半径为3的球面上,当正六棱柱的底面边长为6时,其高的值为( )