《立体几何》专题(文科)
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2012-2018年新课标全国卷Ⅰ文科数学汇编立 体 几 何一、选择题【2017,6】如图,在下列四个正方体中,A ,B 为正方体的两个顶点,M ,N ,Q 为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直接AB 与平面MNQ 不平行的是( )【2016,7】如图所示,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是28π3,则它的表面积是( ) A .17π B . 18π C . 20π D . 28π【2016,11】平面α过正方体1111ABCD A B C D -的顶点A ,α∥平面11CB D ,α平面ABCD m =,α平面11ABB A n =,则,m n 所成角的正弦值为( )A .32 B .22 C .33 D .13【2015,6】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书 中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺,问”积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,米堆的体积和堆放的米各位多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米有( ) A .14斛 B .22斛 C .36斛 D .66斛【2015,11】圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体,该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示,若该几何体的表面积为16+20π,则r =( ) B A .1 B .2 C .4 D .8【2015,11】 【2014,8】 【2013,11】 【2012,7】【2014,8】如图,网格纸的各小格都是正方形,粗实线画出的一个几何体的三视图,则这个几何体是( ) A .三棱锥 B .三棱柱 C .四棱锥 D .四棱柱【2013,11】某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ).A .16+8πB .8+8πC .16+16πD .8+16π【2012,7】如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则此几何体的体积为A .6B .9C .12D .15【2012,8】平面α截球O 的球面所得圆的半径为1,球心O 到平面α的距离为2,则此球的体积为( )A .6πB .43πC .46πD .63π【2018,5】已知圆柱的上、下底面的中心分别为O 1,O 2,过直线O 1O 2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形,该圆柱的表面积为A. 12πB. 12πC. 8πD. 10π【2018,9】某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如右图,圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ,圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ,则在此圆柱侧面上,从M 到N 的路径中,最短路径的长度为A. 2B.C. 3D.2【2018,10】在长方形ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AB=BC=2,AC 1与平面BB 1C 1C 所成的角为30°,则该长方体的体积为A. 8B. 6C. 8D.8二、填空题【2017,16】已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上,SC 是球O 的直径.若平面SCA SCB ⊥平面,SA AC =,SB BC =,三棱锥S ABC -的体积为9,则球O 的表面积为_______. 【2013,15】已知H 是球O 的直径AB 上一点,AH ∶HB =1∶2,AB ⊥平面α,H 为垂足,α截球O 所得截面的面积为π,则球O 的表面积为______.三、解答题【2017,18】如图,在四棱锥P ABCD -中,AB ∥CD ,且90BAP CDP ∠=∠=︒.(1)证明:平面PAB ⊥平面PAD ;(2)若PA PD AB DC ===,90APD ∠=︒,且四棱锥P ABCD -的体积为83,求该四棱锥的侧面积.【2016,18】如图所示,已知正三棱锥P ABC -的侧面是直角三角形,6PA =,顶点P 在平面ABC 内的正投影为点D ,D 在平面PAB 内的正投影为点E .连结PE 并延长交AB 于点G . (1)求证:G 是AB 的中点;(2)在题图中作出点E 在平面PAC 内的正投影F (说明作法及理由),并求四面体PDEF 的体积.PABD CGE【2015,18】如图四边形ABCD 为菱形,G 为AC 与BD 交点,BE ⊥平面ABCD ,(Ⅰ)证明:平面AEC ⊥平面BED ; (Ⅱ)若∠ABC =120°,AE ⊥EC , 三棱锥E - ACD 6【2014,19】如图,三棱柱111C B A ABC -中,侧面C C BB 11为菱形,C B 1的中点为O ,且⊥AO 平面C C BB 11.(1)证明:;1AB C B ⊥(2)若1AB AC ⊥,,1,601==∠BC CBB 求三棱柱111C B A ABC -的高.【2013,19】如图,三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,CA =CB ,AB =AA 1,∠BAA 1=60°.(1)证明:AB ⊥A 1C ;(2)若AB =CB =2,A 1C 6,求三棱柱ABC -A 1B 1C 1的体积.【2012,19】如图,三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,侧棱垂直底面,90ACB ∠=︒,AC=BC=21AA 1,D 是棱AA 1的中点.(1)证明:平面BDC 1⊥平面BDC ; (2)平面BDC 1分此棱柱为两部分,求这两部分体积的比.【2018,18】如图,在平行四边形ABCM 中,AB=AC=3,∠ACM=90°,以AC 为折痕将△ACM 折起,使点M 到达点D 的位置,且AB ⊥DA 。
专题12:文科立体几何高考真题大题(全国卷)赏析(解析版) 题型一:求体积1,2018年全国卷Ⅲ文数高考试题如图,矩形ABCD 所在平面与半圆弧CD 所在平面垂直,M 是CD 上异于C ,D 的点. (1)证明:平面AMD ⊥平面BMC ;(2)在线段AM 上是否存在点P ,使得MC ∥平面PBD ?说明理由.【答案】(1)证明见解析 (2)存在,理由见解析 【详解】分析:(1)先证AD CM ⊥,再证CM MD ⊥,进而完成证明. (2)判断出P 为AM 中点,,证明MC ∥OP ,然后进行证明即可. 详解:(1)由题设知,平面CMD ⊥平面ABCD ,交线为CD .因为BC ⊥CD ,BC ⊂平面ABCD ,所以BC ⊥平面CMD ,故BC ⊥DM . 因为M 为CD 上异于C ,D 的点,且DC 为直径,所以DM ⊥CM . 又BC ∩CM =C ,所以DM ⊥平面BMC . 而DM ⊂平面AMD ,故平面AMD ⊥平面BMC . (2)当P 为AM 的中点时,MC ∥平面PBD .证明如下:连结AC 交BD 于O .因为ABCD 为矩形,所以O 为AC 中点. 连结OP ,因为P 为AM 中点,所以MC ∥OP .MC ⊄平面PBD ,OP ⊂平面PBD ,所以MC ∥平面PBD .点睛:本题主要考查面面垂直的证明,利用线线垂直得到线面垂直,再得到面面垂直,第二问先断出P 为AM 中点,然后作辅助线,由线线平行得到线面平行,考查学生空间想象能力,属于中档题.2,2018年全国普通高等学校招生统一考试文科数学(新课标I 卷)如图,在平行四边形ABCM 中,3AB AC ==,90ACM ∠=︒,以AC 为折痕将△ACM 折起,使点M 到达点D 的位置,且AB DA ⊥. (1)证明:平面ACD ⊥平面ABC ;(2)Q 为线段AD 上一点,P 为线段BC 上一点,且23BP DQ DA ==,求三棱锥Q ABP -的体积.【答案】(1)见解析. (2)1. 【解析】分析:(1)首先根据题的条件,可以得到BAC ∠=90,即BA AC ⊥,再结合已知条件BA ⊥AD ,利用线面垂直的判定定理证得AB ⊥平面ACD ,又因为AB ⊂平面ABC ,根据面面垂直的判定定理,证得平面ACD ⊥平面ABC ;(2)根据已知条件,求得相关的线段的长度,根据第一问的相关垂直的条件,求得三棱锥的高,之后借助于三棱锥的体积公式求得三棱锥的体积. 详解:(1)由已知可得,BAC ∠=90°,BA AC ⊥.又BA ⊥AD ,且AC AD A =,所以AB ⊥平面ACD .又AB ⊂平面ABC ,所以平面ACD ⊥平面ABC .(2)由已知可得,DC =CM =AB =3,DA =32.又23BP DQ DA ==,所以22BP =. 作QE ⊥AC ,垂足为E ,则QE = 13DC .由已知及(1)可得DC ⊥平面ABC ,所以QE ⊥平面ABC ,QE =1. 因此,三棱锥Q ABP -的体积为1111322sin451332Q ABP ABPV QE S-=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯︒=. 点睛:该题考查的是有关立体几何的问题,涉及到的知识点有面面垂直的判定以及三棱锥的体积的求解,在解题的过程中,需要清楚题中的有关垂直的直线的位置,结合线面垂直的判定定理证得线面垂直,之后应用面面垂直的判定定理证得面面垂直,需要明确线线垂直、线面垂直和面面垂直的关系,在求三棱锥的体积的时候,注意应用体积公式求解即可. 3.2019年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标Ⅱ)如图,长方体ABCD –A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形,点E 在棱AA 1上,BE ⊥EC 1.(1)证明:BE ⊥平面EB 1C 1;(2)若AE =A 1E ,AB =3,求四棱锥11E BB C C -的体积. 【答案】(1)见详解;(2)18 【分析】(1)先由长方体得,11B C ⊥平面11AA B B ,得到11B C BE ⊥,再由1BE EC ⊥,根据线面垂直的判定定理,即可证明结论成立;(2)先设长方体侧棱长为2a ,根据题中条件求出3a =;再取1BB 中点F ,连结EF ,证明EF ⊥平面11BB C C ,根据四棱锥的体积公式,即可求出结果. 【详解】(1)因为在长方体1111ABCD A B C D -中,11B C ⊥平面11AA B B ;BE ⊂平面11AA B B ,所以11B C BE ⊥,又1BE EC ⊥,1111B C EC C ⋂=,且1EC ⊂平面11EB C ,11B C ⊂平面11EB C ,所以BE ⊥平面11EB C ;(2)设长方体侧棱长为2a ,则1AE A E a ==,由(1)可得1EB BE ⊥;所以22211EB BE BB +=,即2212BE BB =, 又3AB =,所以222122AE AB BB +=,即222184a a +=,解得3a =;取1BB 中点F ,连结EF ,因为1AE A E =,则EF AB ∥; 所以EF ⊥平面11BB C C , 所以四棱锥11E BB C C -的体积为1111111136318333E BB C C BB C C V S EF BC BB EF -=⋅=⋅⋅⋅=⨯⨯⨯=矩形.【点睛】本题主要考查线面垂直的判定,依据四棱锥的体积,熟记线面垂直的判定定理,以及四棱锥的体积公式即可,属于基础题型.4.2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学(新课标2卷) 四棱锥P ABCD -中,侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ,01,90.2AB BC AD BAD ABC ==∠=∠= (1)证明:直线//BC 平面PAD ;(2)若△PCD 面积为27,求四棱锥P ABCD -的体积.【答案】(Ⅰ)见解析(Ⅱ)43【分析】试题分析:证明线面平有两种思路,一是寻求线线平行,二是寻求面面平行;取AD 中点M ,由于平面PAD 为等边三角形,则PM AD ⊥,利用面面垂直的性质定理可推出PM ⊥底面ABCD ,设BC x =,表示相关的长度,利用PCD ∆的面积为27.试题解析:(1)在平面内,因为,所以又平面平面故平面(2)取的中点,连接由及得四边形为正方形,则.因为侧面为等边三角形且垂直于底面,平面平面,所以底面因为底面,所以,设,则,取的中点,连接,则,所以,因为的面积为,所以,解得(舍去),于是所以四棱锥的体积【详解】题型二:求距离5.2018年全国普通高等学校招生统一考试文数(全国卷II )如图,在三棱锥P ABC -中,22AB BC ==,4PA PB PC AC ====,O 为AC 的中点.(1)证明:PO ⊥平面ABC ;(2)若点M 在棱BC 上,且2MC MB =,求点C 到平面POM 的距离.【答案】(1)详见解析(245【解析】分析:(1)连接OB ,欲证PO ⊥平面ABC ,只需证明,PO AC PO OB ⊥⊥即可;(2)过点C 作CH OM ⊥,垂足为M ,只需论证CH 的长即为所求,再利用平面几何知识求解即可.详解:(1)因为AP =CP =AC =4,O 为AC 的中点,所以OP ⊥AC ,且OP =3 连结OB .因为AB =BC 2AC ,所以△ABC 为等腰直角三角形,且OB ⊥AC ,OB =12AC =2. 由222OP OB PB +=知,OP ⊥OB . 由OP ⊥OB ,OP ⊥AC 知PO ⊥平面ABC .(2)作CH⊥OM,垂足为H.又由(1)可得OP⊥CH,所以CH⊥平面POM.故CH的长为点C到平面POM的距离.由题设可知OC=12AC=2,CM=23BC=423,∠ACB=45°.所以OM=25,CH=sinOC MC ACBOM⋅⋅∠=45.所以点C到平面POM的距离为45.点睛:立体几何解答题在高考中难度低于解析几何,属于易得分题,第一问多以线面的证明为主,解题的核心是能将问题转化为线线关系的证明;本题第二问可以通过作出点到平面的距离线段求解,也可利用等体积法解决.6.2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学(新课标Ⅰ)如图,三棱柱中,侧面为菱形,的中点为,且平面.(1)证明:(2)若,求三棱柱的高.【答案】(1)详见解析;(2)三棱柱111ABC A B C -的高为21. 【解析】试题分析:(1)根据题意欲证明线线垂直通常可转化为证明线面垂直,又由题中四边形是菱形,故可想到连结1BC ,则O 为1B C 与1BC 的交点,又因为侧面11BB C C 为菱形,对角线相互垂直11B C BC ⊥;又AO ⊥平面11BB C C ,所以1B C AO ⊥,根据线面垂直的判定定理可得:1B C ⊥平面ABO ,结合线面垂直的性质:由于AB ⊂平面ABO ,故1B C AB ⊥;(2)要求三菱柱的高,根据题中已知条件可转化为先求点O 到平面ABC 的距离,即:作OD BC ⊥,垂足为D ,连结AD ,作OH AD ⊥,垂足为H ,则由线面垂直的判定定理可得OH ⊥平面ABC ,再根据三角形面积相等:OH AD OD OA ⋅=⋅,可求出OH 的长度,最后由三棱柱111ABC A B C -的高为此距离的两倍即可确定出高. 试题解析:(1)连结1BC ,则O 为1B C 与1BC 的交点. 因为侧面11BB C C 为菱形,所以11B C BC ⊥. 又AO ⊥平面11BB C C ,所以1B C AO ⊥, 故1B C ⊥平面ABO.由于AB ⊂平面ABO ,故1B C AB ⊥.(2)作OD BC ⊥,垂足为D ,连结AD ,作OH AD ⊥,垂足为H. 由于,BC OD ⊥,故BC ⊥平面AOD ,所以OH BC ⊥, 又OH AD ⊥,所以OH ⊥平面ABC.因为0160CBB ∠=,所以1CBB ∆为等边三角形,又1BC =,可得3OD. 由于1AC AB ⊥,所以11122OA B C ==,由OH AD OD OA ⋅=⋅,且2274AD OD OA =+=,得2114OH , 又O 为1B C 的中点,所以点1B 到平面ABC 的距离为217. 故三棱柱111ABC A B C -的高为217. 考点:1.线线,线面垂直的转化;2.点到面的距离;3.等面积法的应用 7.2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学(全国Ⅱ卷)如图,四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为矩形,PA ⊥面ABCD ,E 为PD 的中点. (1)证明://PB 平面AEC ; (2)设1AP =,3AD =,三棱锥P ABD -的体积 34V =,求A 到平面PBC 的距离.【答案】(1)证明见解析 (2) A 到平面PBC 的距离为31313【详解】试题分析:(1)连结BD 、AC 相交于O ,连结OE ,则PB ∥OE ,由此能证明PB ∥平面ACE .(2)以A 为原点,AB 为x 轴,AD 为y 轴,AP 为z 轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出A 到平面PBD 的距离试题解析:(1)设BD 交AC 于点O ,连结EO . 因为ABCD 为矩形,所以O 为BD 的中点. 又E 为PD 的中点,所以EO ∥PB 又EO平面AEC ,PB平面AEC所以PB ∥平面AEC . (2)136V PA AB AD AB =⋅⋅=由,可得. 作交于. 由题设易知,所以故, 又31313PA AB AH PB ⋅==所以到平面的距离为法2:等体积法136V PA AB AD AB =⋅⋅= 由,可得.由题设易知,得BC假设到平面的距离为d ,又因为PB=所以又因为(或),,所以考点 :线面平行的判定及点到面的距离8.2019年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标Ⅰ)如图,直四棱柱ABCD –A 1B 1C 1D 1的底面是菱形,AA 1=4,AB =2,∠BAD =60°,E ,M ,N 分别是BC ,BB 1,A 1D 的中点.(1)证明:MN ∥平面C 1DE ;(2)求点C 到平面C 1DE 的距离.【答案】(1)见解析;(2)41717. 【分析】(1)利用三角形中位线和11//A D B C 可证得//ME ND ,证得四边形MNDE 为平行四边形,进而证得//MN DE ,根据线面平行判定定理可证得结论;(2)根据题意求得三棱锥1C CDE -的体积,再求出1C DE ∆的面积,利用11C CDE C C DE V V --=求得点C 到平面1C DE 的距离,得到结果.【详解】(1)连接ME ,1B CM ,E 分别为1BB ,BC 中点 ME ∴为1B BC ∆的中位线1//ME B C ∴且112ME B C = 又N 为1A D 中点,且11//A D B C 1//ND B C ∴且112ND B C = //ME ND ∴ ∴四边形MNDE 为平行四边形//MN DE ∴,又MN ⊄平面1C DE ,DE ⊂平面1C DE//MN ∴平面1C DE(2)在菱形ABCD 中,E 为BC 中点,所以DE BC ⊥, 根据题意有3DE =,117C E =,因为棱柱为直棱柱,所以有DE ⊥平面11BCC B ,所以1DE EC ⊥,所以113172DEC S ∆=⨯⨯, 设点C 到平面1C DE 的距离为d ,根据题意有11C CDE C C DE V V --=,则有11113171343232d ⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯, 解得41717d ==, 所以点C 到平面1C DE 的距离为417. 【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题,涉及到的知识点有线面平行的判定,点到平面的距离的求解,在解题的过程中,注意要熟记线面平行的判定定理的内容,注意平行线的寻找思路,再者就是利用等积法求点到平面的距离是文科生常考的内容.题型三:求面积9.2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学(新课标1卷)如图,在四棱锥P ABCD -中,AB CD ∥,且90BAP CDP ∠=∠=︒.(1)证明:平面PAB ⊥平面PAD ;(2)若PA PD AB DC ===,90APD ∠=︒,且四棱锥P ABCD -的体积为83,求该四棱锥的侧面积.【答案】(1)证明见解析;(2)623+.【详解】 试题分析:(1)由90BAP CDP ∠=∠=︒,得AB AP ⊥,CD PD ⊥.从而得AB PD ⊥,进而而AB ⊥平面PAD ,由面面垂直的判定定理可得平面PAB ⊥平面PAD ;(2)设PA PD AB DC a ====,取AD 中点O ,连结PO ,则PO ⊥底面ABCD ,且22,AD a PO a ==,由四棱锥P ABCD -的体积为83,求出2a =,由此能求出该四棱锥的侧面积.试题解析:(1)由已知90BAP CDP ∠=∠=︒,得AB AP ⊥,CD PD ⊥.由于AB CD ∥,故AB PD ⊥,从而AB ⊥平面PAD .又AB 平面PAB ,所以平面PAB ⊥平面PAD .(2)在平面PAD 内作PE AD ⊥,垂足为E .由(1)知,AB ⊥面PAD ,故AB PE ⊥,可得PE ⊥平面ABCD .设AB x =,则由已知可得2AD x =,22PE x =. 故四棱锥P ABCD -的体积31133P ABCD V AB AD PE x -=⋅⋅=. 由题设得31833x =,故2x =. 从而2PA PD ==,22AD BC ==22PB PC ==.可得四棱锥P ABCD -的侧面积为111222PA PD PA AB PD DC ⋅+⋅+⋅ 21sin606232BC +︒=+10.2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学(新课标Ⅰ)如图四边形ABCD 为菱形,G 为AC 与BD 交点,BE ABCD ⊥平面,(I )证明:平面AEC ⊥平面BED ;(II )若120ABC ∠=,,AE EC ⊥ 三棱锥E ACD -的体积为6,求该三棱锥的侧面积.【答案】(1)见解析(2)5【分析】(1)由四边形ABCD 为菱形知AC ⊥BD ,由BE ⊥平面ABCD 知AC ⊥BE ,由线面垂直判定定理知AC ⊥平面BED ,由面面垂直的判定定理知平面AEC ⊥平面BED ;(2)设AB =x ,通过解直角三角形将AG 、GC 、GB 、GD 用x 表示出来,在Rt ∆AEC 中,用x 表示EG ,在Rt ∆EBG 中,用x 表示EB ,根据条件三棱锥E ACD -6求出x ,即可求出三棱锥E ACD -的侧面积.【详解】(1)因为四边形ABCD 为菱形,所以AC ⊥BD ,因为BE ⊥平面ABCD ,所以AC ⊥BE ,故AC ⊥平面BED .又AC ⊂平面AEC ,所以平面AEC ⊥平面BED(2)设AB =x ,在菱形ABCD 中,由 ∠ABC =120°,可得AG =GC =32x ,GB =GD =2x .因为AE ⊥EC ,所以在 Rt ∆AEC 中,可得EG =3x . 连接EG ,由BE ⊥平面ABCD ,知 ∆EBG 为直角三角形,可得BE =22x .由已知得,三棱锥E -ACD 的体积3116632243E ACD V AC GD BE x -=⨯⋅⋅==.故 x =2 从而可得AE =EC =ED 6.所以∆EAC 的面积为3, ∆EAD 的面积与∆ECD 的面积均为 5故三棱锥E -ACD 的侧面积为3+25【点睛】本题考查线面垂直的判定与性质;面面垂直的判定;三棱锥的体积与表面积的计算;逻辑推理能力;运算求解能力.11.2019年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标Ⅲ)图1是由矩形,ADEB Rt ABC ∆和菱形BFGC 组成的一个平面图形,其中1,2AB BE BF ===, 60FBC ∠=,将其沿,AB BC 折起使得BE 与BF 重合,连结DG ,如图2.(1)证明图2中的,,,A C G D 四点共面,且平面ABC ⊥平面BCGE ;(2)求图2中的四边形ACGD 的面积.【答案】(1)见详解;(2)4.【分析】(1)因为折纸和粘合不改变矩形ABED ,Rt ABC 和菱形BFGC 内部的夹角,所以//AD BE ,//BF CG 依然成立,又因E 和F 粘在一起,所以得证.因为AB 是平面BCGE 垂线,所以易证.(2) 欲求四边形ACGD 的面积,需求出CG 所对应的高,然后乘以CG 即可.【详解】(1)证://AD BE ,//BF CG ,又因为E 和F 粘在一起.∴//AD CG ,A ,C ,G ,D 四点共面.又,AB BE AB BC ⊥⊥.AB ∴⊥平面BCGE ,AB ⊂平面ABC ,∴平面ABC ⊥平面BCGE ,得证.(2)取CG 的中点M ,连结,EM DM .因为//AB DE ,AB ⊥平面BCGE ,所以DE ⊥平面BCGE ,故DE CG ⊥,由已知,四边形BCGE 是菱形,且60EBC ∠=得EM CG ⊥,故CG ⊥平面DEM . 因此DM CG ⊥.在Rt DEM △中,DE=1,3EM =,故2DM =.所以四边形ACGD 的面积为4.【点睛】很新颖的立体几何考题.首先是多面体粘合问题,考查考生在粘合过程中哪些量是不变的.再者粘合后的多面体不是直棱柱,最后将求四边形ACGD的面积考查考生的空间想象能力.。
【考点1】空间角,距离的求法 【备考知识梳理】 1.空间的角(1)异面直线所成的角:如图,已知两条异面直线,a b ,经过空间任一点O 作直线','a a b b .则把'a 与'b 所成的锐角(或直角)叫做异面直线与所成的角(或夹角).异面直线所成的角的范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦. (2)平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的角.①直线垂直于平面,则它们所成的角是直角;②直线和平面平行,或在平面内,则它们所成的角是0︒的角.直线与平面所成角的范围是0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦.(3)二面角的平面角:如图在二面角l αβ--的棱上任取一点O ,以点O 为垂足,在半平面α和β内分别作垂直于棱的射线OA 和OB ,则AOB ∠叫做二面角的平面角.二面角的范围是[]0,π.(4)等角定理:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行,并且方向相同,那么这两个角相等. 推论:如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等. 3.空间距离:(1)两条异面直线的距离:两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度,叫做两条异面直线的距离;常有求法①先证线段AB 为异面直线b a ,的公垂线段,然后求出AB 的长即可.②找或作出过且与平行的平面,则直线到平面的距离就是异面直线b a ,间的距离.③找或作出分别过b a ,且与,分别平行的平面,则这两平面间的距离就是异面直线b a ,间的距离.(2)点到平面的距离:点P到直线的距离为点P到直线的垂线段的长,常先找或作直线所在平面的垂线,得垂足为A,过A作的垂线,垂足为B连PB,则由三垂线定理可得线段PB即为点P到直线的距离.在直角三角形PAB中求出PB的长即可.常用求法①作出点P到平面的垂线后求出垂线段的长;②转移法,如果平面α的斜线上两点A,B到斜足C的距离AB,AC的比为n m :,则点A,B到平面α的距离之比也为n m :.特别地,AB=AC时,点A,B到平面α的距离相等;③体积法(3)直线与平面的距离:一条直线和一个平面平行,这条直线上任意一点到平面的距离,叫做这条直线和平面的距离;(4)平行平面间的距离:两个平行平面的公垂线段的长度,叫做两个平行平面的距离. 【规律方法技巧】1.空间中各种角包括:异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角. (1)异面直线所成的角的范围是]2,0(π.求两条异面直线所成的角的大小一般方法是通过平行移动直线,把异面问题转化为共面问题来解决具体步骤如下:①利用定义构造角,可固定一条,平移另一条,或两条同时平移到某个特殊的位置,顶点选择在特殊的位置上;②证明作出的角即为所求的角;③利用三角形来求角; ④补形法:将空间图形补成熟悉的、完整的几何体,这样有利于找到两条异面直线所成的角θ. (2)直线与平面所成的角的范围是]2,0[π.求线面角方法:①利用面面垂直性质定理,巧定垂足:由面面垂直的性质定理,可以得到线面垂直,这就为线面角中的垂足的确定提供了捷径. ②利用三棱锥的等体积,省去垂足,在构成线面角的直角三角形中,其中垂线段尤为关键.确定垂足,是常规方法.可是如果垂足位置不好确定,此时可以利用求点面距常用方法---等体积法.从而不用确定垂足的位置,照样可以求出线面角.因为垂线段的长度实际就是点面距h,利用三棱锥的等体积,只需求出h ,然后利用斜线段长h =θsin 进行求解.③妙用公式,直接得到线面角 课本习题出现过这个公式:21cos cos cos θθθ=,如图所示:21,,θθθ=∠=∠=∠OBC ABO ABC .其中1θ为直线AB 与平面所成的线面角.这个公式在求解一些选择填空题时,可直接应用.但是一定要注意三个角的位置,不能张冠李戴.(3)确定点的射影位置有以下几种方法:①斜线上任意一点在平面上的射影必在斜线在平面的射影上;②如果一个角所在的平面外一点到角的两边距离相等,那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上;如果一条直线与一个角的两边的夹角相等,那么这一条直线在平面上的射影在这个角的平分线上;③两个平面相互垂直,一个平面上的点在另一个平面上的射影一定落在这两个平面的交线上;④利用某些特殊三棱锥的有关性质,确定顶点在底面上的射影的位置:a.如果侧棱相等或侧棱与底面所成的角相等,那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的外心;b. 如果顶点到底面各边距离相等或侧面与底面所成的角相等,那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的内心(或旁心);c. 如果侧棱两两垂直或各组对棱互相垂直,那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的垂心;(4)二面角的范围[]0,π,解题时要注意图形的位置和题目的要求.求二面角的方法:①直接法.直接法求二面角大小的步骤是:一作(找)、二证、三计算.即先作(找)出表示二面角大小的平面角,并证明这个角就是所求二面角的平面角,然后再计算这个角的大小. 用直接法求二面角的大小,其关键是确定表示二面角大小的平面角.而确定其平面角,可从以下几个方面着手:①利用三垂线定理(或三垂线定理的逆定理)确定平面角,自二面角的一个面上一点向另一面引垂线,再由垂足向棱作垂线得到棱上的点(即垂足),斜足与面上一点连线和斜足与垂足连线所夹的角,即为二面角的平面角;;②利用与二面角的棱垂直的平面确定平面角, 自空间一点作与棱垂直的平面,截二面角得两条射线,这两条射线所成的角就是二面角的平面角;③利用定义确定平面角, 在棱上任取一点,过这点在两个平面内分别引棱的垂线,这两条射线所成的角,就是二面角的平面角;DBA Cα②射影面积法.利用射影面积公式cos θ=S S';此方法常用于无棱二面角大小的计算;对于无棱二面角问题还有一条途径是设法作出它的棱,作法有“平移法”“延伸平面法”等. 【考点针对训练】1. .【2016高考浙江文数】如图,在三棱台ABC-DEF 中,平面BCFE ⊥平面ABC ,∠ACB =90°,BE=EF=FC =1,BC =2,AC =3.(I )求证:BF ⊥平面ACFD ;(II )求直线BD 与平面ACFD 所成角的余弦值.2. 【2016届湖北省武汉市武昌区高三5月调研】如图,PA 垂直圆O 所在的平面,C 是圆O 上的点,Q 是PA 的中点,G 为AOC ∆的重心,AB 是圆O 的直径,且22AB AC ==.(1)求证://QG 平面PBC ; (2)求G 到平面PAC 的距离. 【考点2】立体几何综合问题 【备考知识梳理】空间线、面的平行与垂直的综合考查一直是高考必考热点.归纳起来常见的命题角度有: 以多面体为载体综合考查平行与垂直的证明. 探索性问题中的平行与垂直问题. 折叠问题中的平行与垂直问题. 【考点针对训练】1. 【2016届宁夏高三三轮冲刺】如图,在三棱锥P ABC -中,平面PAC ⊥平面ABC ,PA AC ⊥,AB BC ⊥.设,D E 分别为,PA AC 中点.(1)求证://DE 平面PBC ; (2)求证:BC ⊥平面PAB ;(3)试问在线段AB 上是否存在点F ,使得过三点D ,,E F 的平面内的任一条直线都与平面PBC 平行?若存在,指出点F 的位置并证明;若不存在,请说明理由.2. 【2016届四川南充高中高三4月模拟三】如图,在正方形ABCD 中,点,E F 分别是,AB BC 的中点,将,AED DCF ∆∆分别沿DE 、DF 折起, 使,A C 两点重合于P .(Ⅰ)求证:平面PBD ⊥平面BFDE ; (Ⅱ)求四棱锥P BFDE -的体积. 【应试技巧点拨】 1.如何求线面角(1)利用面面垂直性质定理,巧定垂足:由面面垂直的性质定理,可以得到线面垂直,这就为线面角中的垂足的确定提供了捷径. (2)利用三棱锥的等体积,省去垂足在构成线面角的直角三角形中,其中垂线段尤为关键.确定垂足,是常规方法.可是如果垂足位置不好确定,此时可以利用求点面距常用方法---等体积法.从而不用确定垂足的位置,照样可以求出线面角.因为垂线段的长度实际就是点面距h !利用三棱锥的等体积,只需求出h ,然后利用斜线段长h=θsin 进行求解.(3)妙用公式,直接得到线面角 课本习题出现过这个公式:21cos cos cos θθθ=,如图所示:21,,θθθ=∠=∠=∠OBC ABO ABC .其中1θ为直线AB 与平面所成的线面角.这个公式在求解一些选择填空题时,可直接应用.但是一定要注意三个角的位置,不能张冠李戴. 2.如何求二面角(1)直接法.直接法求二面角大小的步骤是:一作(找)、二证、三计算.即先作(找)出表示二面角大小的平面角,并证明这个角就是所求二面角的平面角,然后再计算这个角的大小. 用直接法求二面角的大小,其关键是确定表示二面角大小的平面角.而确定其平面角,可从以下几个方面着手:①利用三垂线定理(或三垂线定理的逆定理)确定平面角;②利用与二面角的棱垂直的平面确定平面角;③利用定义确定平面角;(2)射影面积法.利用射影面积公式cos θ=S S';此方法常用于无棱二面角大小的计算;对于无棱二面角问题还有一条途径是设法作出它的棱,作法有“平移法”“延伸平面法”等. 3.探索性问题探求某些点的具体位置,使得线面满足平行或垂直关系,是一类逆向思维的题目.一般可采用两个方法:一是先假设存在,再去推理,下结论;二是运用推理证明计算得出结论,或先利用条件特例得出结论,然后再根据条件给出证明或计算.4.在推证线面平行时,一定要强调直线不在平面内,否则,会出现错误.5.在解决直线与平面垂直的问题过程中,要注意直线与平面垂直定义,判定定理和性质定理的联合交替使用,即注意线线垂直和线面垂直的互相转化.6.面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据.我们要作一个平面的一条垂线,通常是先找这个平面的一个垂面,在这个垂面中,作交线的垂线即可. 【三年高考】1. 【2016高考新课标1文数】平面α过正文体ABCD —A 1B 1C 1D 1的顶点A ,11//CB D α平面,ABCD m α=平面,11ABB A n α=平面,则m ,n 所成角的正弦值为( )(A )2 (B )2 (C )3(D )132. 【2016高考浙江文数】如图,已知平面四边形ABCD ,AB =BC =3,CD =1,AD ADC =90°.沿直线AC 将△ACD 翻折成△CD 'A ,直线AC 与D 'B 所成角的余弦的最大值是______.3. 【2016高考北京文数】如图,在四棱锥ABCD P -中,⊥PC 平面ABCD ,,AB DC DC AC ⊥∥(I )求证:DC PAC ⊥平面; (II )求证:PAB PAC ⊥平面平面;(III )设点E 为AB 的中点,在棱PB 上是否存在点F ,使得//PA 平面C F E ?说明理由.4. 【2016高考天津文数】如图,四边形ABCD 是平行四边形,平面AED ⊥平面ABCD ,EF||AB ,AB=2,BC=EF=1,DE=3,∠BAD=60º,G 为BC 的中点.(Ⅰ)求证://FG 平面BED ;(Ⅱ)求证:平面BED ⊥平面AED ;(Ⅲ)求直线EF 与平面BED 所成角的正弦值.5. 【2016高考新课标1文数】如图,在已知正三棱锥P -ABC 的侧面是直角三角形,PA =6,顶点P 在平面ABC 内的正投影为点E ,连接PE 并延长交AB 于点G . (I )证明G 是AB 的中点;(II )在答题卡第(18)题图中作出点E 在平面PAC 内的正投影F (说明作法及理由),并求四面体PDEF 的体积.PABD CGE6. 【2015高考浙江,文7】如图,斜线段AB 与平面α所成的角为60,B 为斜足,平面α上的动点P 满足30∠PAB =,则点P 的轨迹是( )A .直线B .抛物线C .椭圆D .双曲线的一支7.【2015高考福建,文20】如图,AB 是圆O 的直径,点C 是圆O 上异于,A B 的点,PO 垂直于圆O 所在的平面,且1PO =OB =.(Ⅰ)若D 为线段AC 的中点,求证C A ⊥平面D P O ; (Ⅱ)求三棱锥P ABC -体积的最大值;(Ⅲ)若BC =E 在线段PB 上,求CE OE +的最小值.8.【2015高考四川,文18】一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示. (Ⅰ)请按字母F ,G ,H 标记在正方体相应地顶点处(不需要说明理由) (Ⅱ)判断平面BEG 与平面ACH 的位置关系.并说明你的结论. (Ⅲ)证明:直线DF ⊥平面BEGAB FHED C G CD EAB9.【2015高考重庆,文20】如题(20)图,三棱锥P-ABC 中,平面PAC ⊥平面ABC ,∠ABC=2π,点D 、E 在线段AC 上,且AD=DE=EC=2,PD=PC=4,点F 在线段AB 上,且EF//BC. (Ⅰ)证明:AB ⊥平面PFE.(Ⅱ)若四棱锥P-DFBC 的体积为7,求线段BC 的长.题(20)图AC10. 【2014高考重庆文第20题】如题(20)图,四棱锥P ABCD -中,底面是以O 为中心的菱形,PO ⊥底面ABCD ,2,3AB BAD π=∠=,M 为BC 上一点,且12BM=. (Ⅰ)证明:BC⊥平面POM ;(Ⅱ)若MP AP ⊥,求四棱锥P ABMO -的体积.11. 【2014高考全国1文第19题】如图,三棱柱111C B A ABC -中,侧面C C BB 11为菱形,C B 1的中点为O ,且⊥AO 平面C C BB 11. (1)证明:;1AB C B ⊥(2)若1AB AC ⊥,,1,601==∠BC CBB求三棱柱111C B A ABC -的高.12.【2014高考江西文第19题】如图,三棱柱111C B A ABC -中,111,BB B A BC AA ⊥⊥. (1)求证:111CC C A ⊥;(2)若7,3,2===BC AC AB ,问1AA 为何值时,三棱柱111C B A ABC -体积最大,并求此最大值.【一年原创真预测】1.已知AB ⊥平面ACD ,DE ⊥平面ACD ,ACD ∆为等边三角形,22AD DE AB ===,F 为CD 的中点.(Ⅰ)求证:平面平面BCE DCE ⊥; (Ⅱ)求B CDE 点到平面的距离.2.如图,直三棱柱111ABC A B C -中,底面ABC △是等腰直角三角形,且AB CB ==,且AA 1=3,D 为11AC 的中点,F 在线段1AA 上,设11A F tAA =(102t <<),设11=B C BC M .MFDC 1B 1A 1CBA(Ⅰ)当取何值时,CF ⊥平面1B DF ;(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,求四面体1F B DM -的体积.3.如图,三棱锥P ABC -中,BC ⊥平面PAB ,PA PB AB BC 6====,点M ,N 分别为PB,BC 的中点.(I )求证:AM ⊥平面PBC ; (Ⅱ)E 是线段AC 上的点,且AM 平面PNE .①确定点E 的位置;②求直线PE 与平面PAB 所成角的正切值.4.如图,在直角三角形ABC 中,∠BAC=60°,点F 在斜边AB 上,且AB=4AF ,D ,E 是平面ABC 同一侧的两点,AD ⊥平面ABC ,BE ⊥平面ABC ,AD=3,AC=BE=4.(Ⅰ)求证:CD ⊥EF ;(Ⅱ)若点M 是线段BC 的中点,求点M 到平面EFC 的距离.5. 如图所示,在边长为12的正方形11ADD A 中,点,B C 在线段AD 上,且3,4AB BC ==,作11//BB AA ,分别交111,A D AD 于点1B ,P .作11//CC AA ,分别交111,A D AD 于点1C ,Q .将该正方形沿11,BB CC 折叠,使得1DD 与1AA 重合,构成如图的三棱柱111ABC A B C -.(1)求证:AB ⊥平面11BCC B ; (2)求四棱锥A BCQP -的体积.【考点1针对训练】 1.2.【考点2针对训练】 1.又因为EF ⊄平面PBC ,BC ⊂平面PBC ,所以//EF PBC .又因为DE EF E =,所以平面//DEF 平面PBC ,所以平面DEF 内的任一条直线都与平面PBC 平行.2.【三年高考】 1. 【答案】A//',//'m m n n ,则,m n 所成的角等于','m n 所成的角.延长AD ,过1D 作11//D E B C ,连接11,CE B D ,则CE 为'm ,同理11B F 为'n ,而111//,//BD CE B F A B ,则','m n 所成的角即为1,A B BD 所成的角,即为60 ,故,m n所成角的正弦值为2,故选A. 2.3. 【解析】(I )因为C P ⊥平面CD AB ,所以C DC P ⊥.又因为DC C ⊥A ,所以DC ⊥平面C PA . (II )因为//DC AB ,DC C ⊥A ,所以C AB ⊥A .因为C P ⊥平面CD AB ,所以C P ⊥AB .所以AB ⊥平面C PA .所以平面PAB ⊥平面C PA .(III )棱PB 上存在点,使得//PA 平面C F E .证明如下:取PB 中点,连结F E ,C E ,CF .又因为E 为AB 的中点,所以F//E PA .又因为PA ⊄平面CF E ,所以//PA 平面C F E .4.5.6. 【答案】C【解析】由题可知,当点运动时,在空间中,满足条件的AP绕AB旋转形成一个圆锥,用一个与圆锥高成60角的平面截圆锥,所得图形为椭圆.故选C.7.解法二:(I)、(II)同解法一.8.【解析】(Ⅰ)点F ,G ,H 的位置如图所示9.【解析】如题(20)图.由,DE EC PD PC ==知,E 为等腰PDC D 中DC 边的中点,故PE AC ^,又平面PAC ⊥平面ABC ,平面PAC 平面ABC AC =,PE Ì平面PAC ,PE AC ^,所以PE ^平面ABC ,从而PE AB ^.因ABC=,,AB EF 2EF BC p衈故. 从而AB 与平面PFE 内两条相交直线PE ,EF 都垂直,所以AB ^平面PFE .(2)解:设BC=x ,则在直角ABC D中,从而11S AB BC=22ABC D =?由EFBC ,知23AF AE AB AC ==,得AEF ABC DD ,故224()S 39AEF ABC S D D ==,即4S 9AEF ABC S D D =.FCDEAB GHO由1AD=2AE ,11421S S =S S 22999AFB AFE ABC ABC D D D D =?=从而四边形DFBC 的面积为DFBC11S S -=29ABC ADF S D D =718=(1)知,PE PE ^平面ABC ,所以PE 为四棱锥P-DFBC 的高.在直角PEC D 中,=体积DFBC 117S 73318P DFBC V PE -=鬃=?,故得42362430x x -+=,解得2297x x ==或,由于0x >,可得3x x ==或.所以3BC =或BC =10.11.12.【解析】(1)证明:由1AA BC ⊥知1BB BC ⊥,又11BB A B ⊥,故1BB ⊥平面1,BCA 即11BB AC ⊥,又11//BB CC ,所以11.AC CC ⊥(2)设1,AA x =在11Rt A BB ∆中1BA同理1AC 在1A BC ∆中,2222111111cos 2A B AC BC BAC BAC A B AC +-∠==∠=⋅11111sin 2A BCS A B A C BA C ∆=⋅∠=从而三棱柱111ABC A B C -的体积为11133A BC V BB S ∆=⨯⨯=因=故当x =时,即1AA =时,体积V取到最大值【一年原创真预测】1.【解析】(Ⅰ)DE ⊥平面ACD ,F A ⊂平面CD A ∴DE AF ⊥,又等边三角形ACD 中AF CD ⊥, D CD D E =,D E ⊂平面CD E ,CD ⊂平面CD E ,∴平面AF ECD ⊥,取CE 的中点M ,连接BM,MF ,则MF 为△CDE 的中位线,故1////,2MF DE AB MF DE AB ==,所以四边形ABMF 为平行四边形,即MB//AF,MB⊂平面C B E ,F A ⊄平面C B E ,//BCE 平面AF ∴,平面平面BCE DCE ∴⊥.(Ⅱ)因为AB ⊥平面ACD ,DE ⊥平面ACD ,所以AB //DE ,故AB //平面DCE ,B CDE 点到平面的距离h 等于A CDE 点到平面的距离d ,由体积相等A DCE E ACD V V --=得,1133DCE ADC S d S DE ∆∆⋅=⨯,011112222sin 6023232d ⋅⨯⨯⋅=⨯⨯⨯⨯,解得h d ==.2.(Ⅱ)由已知得111111==22F B DM M B DF C B DF B CDF V V V V ----=,因为FD FC 1=22CDF S DF FC ⋅=△,由(Ⅰ)得1B D ⊥平面DFC ,故112=21=33B CDF V -⨯⨯,故1F B DM -的体积为13.3.②作EH AB ⊥于H ,则EH //BC ,∴EH ⊥平面PAB ,∴EPH ∠是直线PE 与平面PAB 所成的角.∵1AH AB 23==,π6=3PA PAH =∠, ∴PH ==1EH BC 23==,∴EH tan EPH PH 7∠==,即直线PE 与平面PAB 所成角的正切值为7.4.5.。
专题四:立体几何 【一、基础知识归类:】1、三视图画法规则:高平齐:主视图与左视图的高要保持平齐 长对正:主视图与俯视图的长应对正 宽相等:俯视图与左视图的宽度应相等2、空间几何体三视图:正视图(从前向后的正投影);侧视图(从左向右的正投影); 俯视图(从上向下正投影). 3、空间几何体的直观图——斜二测画法特点:①斜二测坐标系的y 轴与x 轴正方向成 45角; ②原来与x 轴平行的线段仍然与x 平行,长度不变; ③原来与y 轴平行的线段仍然与y 平行,长度为原来的一半. 常用结论:平面图形面积与其斜二侧直观图面积之比为22:1. 4、特殊几何体表面积公式(c 为底面周长,h 为高,'h 为斜高,l 为母线):ch S =直棱柱侧面积 rh S π2=圆柱侧 '21ch S =正棱锥侧面积 rl S π=圆锥侧面积 ')(2121h c c S +=正棱台侧面积 l R r S π)(+=圆台侧面积 ()l r r S +=π2圆柱表 ()l r r S +=π圆锥表()22R Rl rl r S +++=π圆台表 S 球面=24R π5、柱体、锥体、台体和球的体积公式:V Sh =柱 2V Sh r h π==圆柱 13V S h =锥 h r V 231π=圆锥'1()3V S S h =台'2211()()33V S S h r rR R h π=++=++圆台V 球=343R π 6、空间线面的位置关系①直线与直线:相交、平行、异面(不同在任何一个平面内的两条直线); ②直线与平面:属于a ⊂α、相交a∩α=A 、平行a ∥α;③ 平面与平面:平行—没有公共点:α∥β、相交—有一条公共直线:α∩β=b . 7、垂直和平行证明问题的解决方法须熟练掌握两类相互转化关系: ① 平行转化 ② 垂直转化同时注意结合运用中位线定理、勾股定理、等腰(等边)三角形“三线合一”; 平行四边形两组对边分别平行且相等,对角线互相平分;菱形对边平行且四边相等,对角线互相垂直平分并平分对角; 矩形对边平行且相等,四个角为直角,以及对角线互相平分且相等;正方形对边平行且四边相等,四个角为直角,对角线互相垂直平分且相等并平分对角; 梯形上底和下底平行; 圆直径对应圆周角为直角、垂径定理、过切点的半径垂直于切线等. 8、立体几何中体积的求法:直接法、割补法、等积转化等方法. 等积转化在三棱锥求体积或求点到面的距离问题中经常运用.【二、专题练习:】一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,总分60分)1.(2009天津重点学校二模) 如图,直三棱柱的主视图面积为2a 2,则左视图的面积为( )A .2a 2B .a 2C .23a D .243a2.(2009枣庄市二模)一个几何体的三视图如图所示, 则这个几何体的体积等于( ) A .361a B .321a C .332a D .365a 3.(2009青岛二模)下图为长方体木块堆成的几何体三视图,则组成此几何体的长方体木块块数共有( )A .3块B .4块C .5块D .6块4.(2009广东省恩城中学)半径为2cm 的半圆纸片做成圆锥放在桌面上,一阵风吹倒它,它的最高处距桌面( )A .4cmB .2cmC .cm 32D .cm 3aaa5.(2005全国卷Ⅰ)如图,在多面体ABCDEF 中,已知ABCD 是边长为1的正方形,且BCF ADE ∆∆、均为正三角形,EF ∥AB ,EF=2,则该多面体的体积为 ( ) A.32B .33 C .34 D .23 6.一个棱锥的三视图如图,则该棱锥的全面积(单位:2cm )为( ) A.48+ B.48+C.36+ D.36+7.(2009汕头一模)在空间中,有如下命题:①互相平行的两条直线在同一个平面内的射影必然是互相平行的两条直线; ②若平面α∥平面β,则平面α内任意一条直线m ∥平面β;③若平面α与平面β的交线为m ,平面α内的直线n ⊥直线m ,则直线n ⊥平面β; ④若平面α内的三点A, B, C 到平面β的距离相等,则α∥β. 其中正确命题的个数为( )个.A .0B .1C .2D .38.(2007宁夏理)已知某个几何体的三视图如下,根据图中标出的尺寸(单位:cm ),可得这个几何体的体积是( ) A .34000cm 3 B .38000cm 3C .32000cmD .34000cm 9.(2009泰安一模)一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的 体积等于( )A .4B .6C .8D .12正视图侧视图俯视图66663334410.设b a ,是两条直线,βα,是两个平面,则b a ⊥的一个充分条件是( ) A .βαβα⊥⊥,//,b a B .βαβα//,,⊥⊥b a C .βαβα//,,⊥⊂b a D .βαβα⊥⊂,//,b a11.(2009玉溪市民族中学第四次月考)若球O 的半径为1,点A 、B 、C 在球面上,它们任意两点的球面距离都等于,2π则过A 、B 、C 的小圆面积与球表面积之比为 ( ) A .121 B .81 C .61 D .4112.正六棱锥P -ABCDEF 中,G 为PB 的中点,则三棱锥D -GAC 与三棱锥P -GAC 体积之比为( )A .1:1B .1:2C .2:1D .3:2二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,总分16分)13.如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底面为045,腰和上底均为1的等腰梯形,那么原平面图形的面积是 .14.在半径为13的球面上有A , B , C 三点,AB=6,BC=8,CA=10,则球心到平面ABC 的距离为 . 15.图2中实线围成的部分是长方体(图1)的平面展开图,其中四边形ABCD 是边长为1的正方形.若向虚线围成的矩形内任意抛掷一质点,它落在长方体的平面展开图内的概率是14,则此长方体的体积是 .16.如图,在长方形ABCD 中,2AB =,1BC =,E 为DC 的中点,F 为线段EC (端点除外)上一动点.现将AFD ∆沿AF 折起,使平面ABD ⊥平面ABC .在平面ABD 内过点D ,作DK AB ⊥,K 为垂足.设AK t =,则t 的取值范围是 .三、解答题(本大题共6小题,总分74分)17.右图为一简单组合体,其底面ABCD 为正方形,PD ⊥平面ABCD ,//EC PD ,且2P D A D E C ===2.(1)答题卡指定的方框内已给出了该几何体的俯视图,请在方框内画出该几何体的正(主)视图和侧(左)视图;(2)求四棱锥B -CEPD 的体积; (3)求证://BE 平面PDA .18.如图,在三棱锥P ABC -中,⊿PAB 是等边三角形,∠P AC =∠PBC =90 º. (Ⅰ)证明:AB ⊥PC ;(Ⅱ)若4PC =,且平面PAC ⊥平面PBC ,求三棱锥P ABC -体积.PABCDEDABC俯视图19.如图,平面ABEF ⊥平面ABCD ,四边形ABEF 与ABCD 都是直角梯形,∠BAD =∠F AB =90°,BC =12AD ,BE =12F A ,G 、H 分别为F A 、FD 的中点.(1)证明:四边形BCHG 是平行四边形; (2)C 、D 、F 、E 四点是否共面?为什么? (3)设AB =BE ,证明:平面ADE ⊥平面CDE .20.如图,已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1的所有棱长都相等,且侧棱垂直于底面,由B 沿棱柱侧面经过棱CC 1到点A 1的最短路线长为CC 1的交点为D . (1)求三棱柱ABC -A 1B 1C 1的体积;(2)在平面A 1BD 内是否存在过点D 的直线与平面ABC 平行?证明你的判断;(3)证明:平面A 1BD ⊥平面A 1ABB 1.DC 1B 1A 1CBA21.(2009届广东省重点中学高三模拟)如图:已知四棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面是正方形,O1.O分别是上.下底面的中心,A1O⊥平面ABCD.(1)求证:平面O1DC⊥平面ABCD;(2)若点E在棱AA1上,且AE=2EA1,问在棱BC上是否存在点F,使得EF⊥BC?若存在,求出其位置;若不存在,说明理由.22.(2007-2008汕头市金山中学)已知等腰梯形PDCB 中(如图1),PB=3,DC=1,PD=BC =2,A 为PB 边上一点,且P A=1,将△P AD 沿AD 折起,使面P AD ⊥面ABCD (如图2). (Ⅰ)证明:平面P AD ⊥PCD ;(Ⅱ)试在棱PB 上确定一点M ,使截面AMC 把几何体分成的两部分1:2: MACB PD CMA V V ; (Ⅲ)在M 满足(Ⅱ)的情况下,判断直线PD 是否平行面AMC .正视图侧视图俯视图【参考答案】一、选择题1—5:C D B D A6.答案:A 解析:棱锥的直观图如右,则有PO =4,OD =3,由勾股定理,得PD =5,AB =62,全面积为:21×6×6+2×21×6×5+21×62×4=48+122,故选A . 7—9:B B A10.答案:C 解析:由b β⊥,α∥β得b α⊥,又a α⊂,可知b a ⊥,故a b ⊥的一个充分条件是C . 11.答案 C12.【解析】选C .由于G 是PB 的中点,故P -GAC 的体积等于B -GAC 的体积 在底面正六边形ABCDER 中,BH =ABtan30°AB 而BD故DH =2BH 于是V D -GAC =2V B -GAC =2V P -GAC . 二、填空题13.恢复后的原图形为一直角梯形1(11)222S =+⨯=+ 14.答案:12解析:由ABC ∆的三边大小易知此三角形是直角三角形,所以过,,A B C 三点小圆的直径即为10,也即半径是5,设球心到小圆的距离是d ,则由222513d +=,可得12d =.15.【解析】向虚线围成的矩形内任意抛掷一质点,它落在长方体的平面展开图内的概率是14,设长方体的高为x ,则()()42122214x x x +=++,所以3x =,所以长方体的体积为3.16.【解析】此题的破解可采用二个极端位置法,即对于F 位于DC 的中点时,1t =,随着F 点到C 点时,因,,CB AB CB DK CB ⊥⊥∴⊥平面A D B ,即有CB BD ⊥,对于2,1,CD BC BD ==∴,又1,2AD AB ==,因此有AD BD ⊥,则有12t =,因此t 的取值范围是1,12⎛⎫⎪⎝⎭. 三、解答题17.解:(1)该组合体的主视图和侧视图如右图示:-----3分 (2)∵PD ⊥平面ABCD ,PD ⊂平面PDCE ∴平面PDCE ⊥平面ABCD∵BC CD ⊥ ∴BC ⊥平面PDCE ----------5分 ∵11()32322S PD EC DC =+⋅=⨯⨯=梯形PDCE --6分∴四棱锥B -CEPD 的体积1132233B CEPD PDCE V S BC -=⋅=⨯⨯=梯形.----8分 (3)证明:∵//EC PD ,PD ⊂平面PDA ,EC ⊄平面PDA∴EC//平面PDA ,------------------------------------10分 同理可得BC//平面PDA ----------------------------11分∵EC ⊂平面EBC,BC ⊂平面EBC 且ECBC C =∴平面BEC //平面PDA -----------------------------13分又∵BE ⊂平面EBC ∴BE//平面PDA------------------------------------------14分 18.解析:(Ⅰ)因为PAB ∆是等边三角形,90PAC PBC ∠=∠=︒, 所以Rt PBC Rt PAC ∆≅∆,可得AC BC =. 如图,取AB 中点D ,连结PD ,CD ,则PD AB ⊥,CD AB ⊥, 所以AB ⊥平面PDC , 所以AB PC ⊥.(Ⅱ)作BE PC ⊥,垂足为E ,连结AE . 因为Rt PBC Rt PAC ∆≅∆,所以AE PC ⊥,AE BE =.由已知,平面PAC ⊥平面PBC ,故90AEB ∠=︒.因为Rt AEB Rt PEB ∆≅∆,所以,,AEB PEB CEB ∆∆∆都是等腰直角三角形. 由已知4PC =,得2AE BE ==, AEB ∆的面积2S =. 因为PC ⊥平面AEB , 所以三角锥P ABC -的体积1833V S PC =⨯⨯=.19.证明:(1)由题设知,FG =GA ,FH =HD ,所以GH =12AD .又BC =12AD ,故GH =BC ,所以四边形BCHG 是平行四边形. (2)C 、D 、F 、E 四点共面.理由如下:由BE =12AF ,G 是F A 的中点知,BE =GF ,所以EF ∥BG ,由(1)知BG ∥CH ,所以EF ∥CH ,故EC 、FH 共面. 又点D 直线FH 上,所以C 、D 、F 、E 四点共面.(3)连结EG ,由AB =BE ,BE =AG ,及∠BAG =90°知ABEG 是正方形,O B 2DC 1B 1A 1CBA故BG ⊥EA .由题设知,F A 、AD 、AB 两两垂直,故AD ⊥平面F ABE , 因此EA 是ED 在平面F ABE 内的射影,∴BG ⊥ED . 又EC ∩EA =E ,所以BG ⊥平面ADE . 又BG ∥CH ,所以CH ⊥平面ADE故由CH ⊂平面CDFE ,得平面ADE ⊥平面CDE .20.解:(1)如图,将侧面BB 1C 1C 绕棱CC 1旋转120°使其与侧面AA 1C 1C 在同一平面上,点B 运动到点B 2的位置,连接A 1B 2,则A 1B 2就是由点B 沿棱柱侧面经过棱CC 1到点A 1的最短路线。
专题五 立体几何第一讲 空间几何体1.棱柱、棱锥 (1)棱柱的性质侧棱都相等,侧面是平行四边形;两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形;过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形;直棱柱的侧棱长与高相等且侧面与对角面是矩形. (2)正棱锥的性质侧棱相等,侧面是全等的等腰三角形,斜高相等;棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影构成一个直角三角形;棱锥的高、侧棱和侧棱在底面内的射影也构成一个直角三角形;某侧面的斜高、侧棱及底面边长的一半也构成一个直角三角形;侧棱在底面内的射影、斜高在底面内的射影及底面边长的一半也构成一个直角三角形. 2.三视图(1)三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线.画三视图的基本要求:正俯一样长,俯侧一样宽,正侧一样高; (2)三视图排列规则:俯视图放在正视图的下面,长度与正视图一样;侧视图放在正视图的右面,高度和正视图一样,宽度与俯视图一样. 3.几何体的切接问题(1)解决球的内接长方体、正方体、正四棱柱等问题的关键是把握球的直径即棱柱的体对角线长.(2)柱、锥的内切球找准切点位置,化归为平面几何 问题.4.柱体、锥体、台体和球的表面积与体积(不要求记忆) (1)表面积公式①圆柱的表面积 S =2πr (r +l ); ②圆锥的表面积S =πr (r +l );③圆台的表面积S =π(r ′2+r 2+r ′l +rl ); ④球的表面积S =4πR 2. (2)体积公式①柱体的体积V =Sh ;②锥体的体积V =13Sh ;③台体的体积V =13(S ′+SS ′+S )h ;④球的体积V =43πR 3.1. (2013·广东)某四棱台的三视图如图所示,则该四棱台的体积是( )A .4 B.143C.163D .6答案 B解析 由三视图知四棱台的直观图为由棱台的体积公式得:V =13(2×2+1×1+2×2×1×1)×2=143.2. (2013·四川)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的直观图可以是( )答案 D解析由三视图可知上部是一个圆台,下部是一个圆柱,选D.3. (2013·江西)如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上,且AB∥CD,正方体的六个面所在的平面与直线CE,EF相交的平面个数分别记为m,n,那么m+n=( )A.8 B.9 C.10 D.11答案 A解析取CD的中点H,连接EH,HF.在四面体CDEF中,CD⊥EH,CD⊥FH,所以CD⊥平面EFH,所以AB⊥平面EFH,所以正方体的左、右两个侧面与EF平行,其余4个平面与EF相交,即n=4.又因为CE与AB在同一平面内,所以CE与正方体下底面共面,与上底面平行,与其余四个面相交,即m=4,所以m+n=4+4=8.4. (2013·新课全国Ⅱ)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),画该四面体三视图中的正视图时,以zOx平面为投影面,则得到正视图可以为( )答案 A解析根据已知条件作出图形:四面体C1-A1DB,标出各个点的坐标如图(1)所示,可以看出正视图为正方形,如图(2)所示.故选A.5. (2013·福建)已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体,如果该组合体的正视图、侧视图、俯视图均如图所示,且图中的四边形是边长为2的正方形,则该球的表面积是________.答案12π解析由三视图知,该几何体为正方体和球组成的组合体,正方体的对角线为球的直径.所以2R=23,即R=3,球的表面积为S=4πR2=12π.题型一空间几何体的三视图例1(1)(2012·广东)某几何体的三视图如图所示,它的体积为( )A.12πB.45πC.57πD.81π(2)(2012·陕西)将正方体(如图(1)所示)截去两个三棱锥,得到如图(2)所示的几何体,则该几何体的左(侧)视图为( )审题破题根据三视图先确定原几何体的直观图和形状,然后再解题.答案(1)C (2)B解析 (1)由三视图知该几何体是由圆柱、圆锥两几何体组合而成,直观图如图所示. 圆锥的底面半径为3,高为4,圆柱的底面半径为3,高为5,∴V =V 圆锥+V 圆柱=13Sh 1+Sh 2=13×π×32×4+π×32×5=57π.(2)还原正方体后,将D 1,D ,A 三点分别向正方体右侧面作垂线.D 1A 的射影为C 1B ,且为实线,B 1C 被遮挡应为虚线.反思归纳 将三视图还原成直观图是解答该类问题的关键,其解题技巧是对常见简单几何体及其组合体的三视图,特别是正方体、长方体、圆柱、圆锥、棱柱、棱锥、球等几何体的三视图分别是什么图形,数量关系有什么特点等都应该熟练掌握,会画出其直观图,然后由三视图验证.变式训练1 若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的体积是________ cm 3.答案 18解析 由几何体的三视图可知,该几何体由两个直四棱柱构成,其直观图如图所示.上底面直四棱柱的长是3 cm ,宽是3 cm ,高是1 cm ,故其体积为9 cm 3,下底面直四棱柱的高是3 cm ,长是1 cm ,宽是3 cm ,其体积为9 cm 3.故该几何体的体积为V =18 cm 3. 题型二 空间几何体的表面积和体积例2 如图所示,已知E 、F 分别是棱长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱A 1A 、CC 1的中点,求四棱锥C 1—B 1EDF 的体积.审题破题 本题可从两个思路解题:思路一:先求出四棱锥C 1—B 1EDF 的高及其底面积,再利用棱锥的体积公式求出其体积; 思路二:先将四棱锥C 1—B 1EDF 化为两个三棱锥B 1—C 1EF 与D —C 1EF ,再求四棱锥C 1—B 1EDF 的体积.解 方法一 连接A 1C 1,B 1D 1交于点O 1,连接B 1D ,过O 1作。
1 / 5D1C1A1CB常规几何图形的立体几何问题1.如图,在长方体1111ABCD A B C D -中,点E 在棱1CC 的延11112CC C E BC AB ====.(Ⅰ)求证:1D E ∥平面1ACB ; (Ⅱ)求证:平面11D B E ⊥平面1DCB ;2.如图,四棱锥P ABCD -中,四边形ABCD 为矩形,PAD ∆为等腰三角形,90APD ∠=,平面PAD ⊥ 平面ABCD ,且1,2,AB AD E ==.F 分别为PC 和BD 的中点.(1)证明://EF 平面PAD ;(2)证明:平面PDC ⊥平面PAD ; (3)求四棱锥P ABCD -的体积.3.如图,已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是菱形,PA ⊥平面ABCD , 点F 为PC 的中点. (Ⅰ)求证://PA 平面BDF ;(Ⅱ)求证:平面PAC ⊥平面BDF .4.如图,在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -中,O C B BC =⋂11,H 点为点O 在平面11DCC D 内的正投影. (1)求以A 为顶点,四边形CH 1D D 为底面的四棱锥的体积; (2)求证:⊥1BC 平面CD B A 11;5. 如图,一简单几何体的一个面ABC 内接于圆,O AB 是圆O 的直径,四边形DCBE 为平行四边形,且DC ⊥平面ABC .(1)证明:平面ACD ⊥平面ADE ;(2)若2AB =,1BC =,tan 2EAB ∠=,试求该几何体的体积V .6. 在长方体1111ABCD A B C D -中, 11,2AB BC AA ===, (1) 求证:AD ∥面BC D 1;AFP DCBC 1DCD 1B 1A 1ABH 4题5题2 / 5VB C ED甲DCBAF E乙DCBA(2) 证明:1BD AC ⊥;(3) 一只蜜蜂在长方体1111ABCD A B C D -中飞行,求它飞入三棱锥ABC D -1内的概率. 7.如图甲,在平面四边形ABCD 中,已知45,90,A C ∠=∠=105ADC ∠=,AB BD =,现将四边形ABCD 沿BD 折起,使平面ABD ⊥平面BDC (如图乙),设点E 、F 分别为棱AC 、AD 的中点. (1)求证:DC ⊥平面ABC ;(2)设CD a =,求三棱锥A -BFE 的体积.8. 在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -中,E 、F 分别为1DD 、DB 的中点. (1)求证:EF//平面11D ABC ;(2)求证:EF C B 1⊥; (3)求三棱锥EFC B -1的体积V.9.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中,,,,E F G H 分别是棱1111,,,AB CC D A BB 的中点.(1)证明://FH 平面1A EG ; (2)证明:AH EG ⊥; (3)求三棱锥1A EFG -的体积.10.如上图:AB 是圆O 的直径,2AB =,点C 在圆O 上,且60ABC ∠=︒,点V 到圆O 所在平面的距离为3,且VC 垂直于圆O 所在的平面;,D E 分别是,VA VC 的中点. (1)求证:DE ⊥平面VBC ;(2)求三棱锥V ABC -的体积.11.如图,已知四棱锥ABCD P -中,底面ABCD 是直角梯形,//AB DC , 45=∠ABC ,1DC =,2=AB ,⊥PA 平面ABCD ,1=PA .(1)求证://AB 平面PCD ;(2)求证:⊥BC 平面PAC ;(3)若M 是PC 的中点,求三棱锥M —ACD 的体积. 12.如图6,正方形ABCD 所在平面与三角形CDE 所在平面相交于CD ,AE ⊥平面CDE ,且3AE =,6AB =. (1)求证:AB ⊥平面ADE ;(2)求凸多面体ABCDE 的体积. 13.如图所示,AD ⊥平面ABC ,CE ⊥平面ABC ,1AC AD AB ===,BC =ABCED 的体积为12,F 为BC 的中点. (Ⅰ)求证://AF 平面BDE ;A CA 1E FABC D P MABCD E图6第14图ABCDEF10题3 / 5BECBAS(Ⅱ)求证:平面BDE ⊥平面BCE .14.如图,已知AB ⊥平面ACD ,DE ⊥平面ACD ,△ACD 为正三角形,2AD DE AB ==,F 为CD 的中点. (1) 求证://AF 平面BCE ;(2) 求证:平面BCE ⊥平面CDE ;15.如图:直三棱柱ABC -A1B 1C 1中, AC =BC =AA 1=2,∠ACB =90︒.E 为BB 1的中点,D 点在AB 上且DE = 3 .(Ⅰ)求证:CD ⊥平面A 1ABB 1; (Ⅱ)求三棱锥A 1-C DE 的体积.16.如图,在底面是矩形的四棱锥ABCD P -中,⊥PA 面ABCD ,E 、F 为别为PD 、AB 的中点,且1==AB PA ,2=BC ,(Ⅰ)求四棱锥ABCD E -的体积;(Ⅱ)求证:直线AE ∥平面PFC . 17.如图,四棱锥P ABCD -中,PA ⊥平面ABCD ,四边形ABCD 是矩形,E 、F 分别是AB 、PD 的中点.若3PA AD ==,CD =(Ⅰ)求证://AF 平面PCE ; (Ⅱ) 求点F 到平面PCE 的距离;18.已知PA ⊥平面ABCD ,2PA AB AD ===,AC 与BD 交于E 点,2BD =,BC CD =,(1)取PD 中点F ,求证://PB 平面AFC .19.如图,四面体ABCD 中,O 、E 分别是BD 、BC 2,CA CB CD BD AB AD ======(I )求证:AO ⊥平面BCD ; (II )求点E 到平面ACD 的距离.20.如图,四棱锥ABCD S -的底面是正方形,⊥SA 底面ABCD ,E 是SC 上一点.(1)求证:面⊥EBD 面SAC ;(2)设4=SA ,2=AB ,求点A 到面SBD 的距离;21.如图,在正四棱锥P ABCD -中,点E 是PC 中点,且2PA =,直线PA 与平面ABCD 所成的角(即是PA 与其在面ABCD 上的射影的夹角)为60︒.(1)求证:PA ‖平面BDE ;(2)求正四棱锥P ABCD -的体积.PBCDA EF1618题ED CBAS20题ABCD 1A 1B 1C A)(C B 1B 22. 在三棱锥 S ABC -中,90SAB SAC ACB ∠=∠=∠=,1,AC BC SB ===.(1) 求三棱锥S ABC -的体积;(2)证明:BC SC ⊥;23.如图所示, 四棱锥P -ABCD 底面是直角梯形, ,,2,BA AD CD AD CD AB PA ⊥⊥=⊥底 24. 面ABCD , E 为PC 的中点, PA =AD =AB =1.(1)证明: //EB PAD 平面;(2)证明: BE PDC ⊥平面;(3)求三棱锥B -PDC 的体积V . 25.如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是边长为a 的正方形,侧面PAD ⊥且2PA PD AD ==,若E 、F 分别为PC 、BD 的中点.(1)求证:EF ∥平面PAD ;(2)求证:平面PDC ⊥平面PAD .26.如图,四棱锥P ABCD -的底面是边长为1的正方形,,1,PA CD PA PD ⊥==(Ⅰ)求证:PA ⊥平面ABCD ;(Ⅱ)求四棱锥P ABCD -的体积.27.如图,四棱锥P —ABCD 中,PA ⊥平面ABCD ,底面ABCD 是直角梯形,AB ⊥AD ,CD ⊥AD ,CD=2AB ,E 为PC 中点.(I) 求证:平面PDC ⊥平面PAD ;(II) 求证:BE//平面PAD .28.如图)1(5是一个水平放置的正三棱柱111C B A ABC -,D 是棱BC 的中点.正三棱柱的正(主)视图如图)2(5. ⑴求正三棱柱111C B A ABC -的体积;⑵证明:11//ADC B A 平面;⑶图)1(5中垂直于平面11B BCC 的平面有哪几个?(直接写出符合要求的平面即可,不必说明或证明)直观图和三视图如图所示29.一个三棱柱111ABC A B C -(主视图、俯视图都是矩形,左视图是直角三角形),设E 、F 分别为1AA 和11B C 的中点.(Ⅰ)求几何体11E B C CB -的体积; (Ⅱ)证明:1//A F 平面1EBC ;主视图_ D_ C_ B_ A_ PA B C D EP5 / 5(Ⅲ)证明:平面EBC 平面11EB C .。
专题四立体几何专题(文科)【重要内容】1. 空间几何体认识柱、锥、球等几何体的有关概念与性质,特别长方体,正方体中有的有关点面线角的关系。
了解有关几何体的表面积与体积的计算公式.会用平行投影和中心投影与三视图确定空间几何体与体中的几何关系.2.点、直线、与面的位置关系3.平行与垂直的几何证明第一课几何体面积体积视图【考纲解读】【知识整合】【真题回放】1.(2012广东理6)某几何体的三视图如图1所示,它的体积为A.12πB.45πC.57πD.81π【答案】C2.(2012广东 文7)某几何体的三视图如图1所示,它的体积为 A . 72π B . 48π C . 30π D . 24π 【答案】C【解析】几何体是半球与圆锥叠加而成它的体积为321413330233V πππ=⨯⨯+⨯⨯=3.(2011广东理7)如图,某几何体的正视图(主视图)是平行四边形,侧视图(左视图)和俯视图都是矩形,则该几何体的体积为A. C. 【答案】B【解析】如右图,该几何体的直观图是一个柱体,高是3122=- 底面是一个正方形 39333=⨯⨯=V启示:三视图与几何体的面积体积计算是立体几何小题的一个重要考点,考查了空间想象能力,几何体的计算能力,难度适中,考查中位置也较适中。
注意组合体的构成,不同视图中,线段与角的等量的变化。
【例题精析】题型一:三视图、直观图与几何体位置、几何量 例1.1)某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的表面积是A.28+B.30+C.56+D. 60+ 答案:选B分析:由给出的三视图得出各种长度与数量关系,由视图的要求得相应的边长,高,与垂直关系,线段的相交关系,形成直观图。
讲解时,要培养学生能发挥想象力,如何看,对应的线在哪里,先从什么地方入手构图。
解析:如图为直观图可证AD CD ⊥104521=⨯⨯===∆∆∆ACD BCD ABD S S S 52,41===AB BC AC56=∆ABC S ,5630+=表面积S2)一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的表面积是 .答案:322+解析:如右图直观图,可得,22=SO 再求2321==SO SO , ()3222122123212143+=⨯+⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯⨯++⨯⨯=表面积S3)已知四边形ABCD 的直观图是直角梯形1111D C B A ,1111112D A C B B A ==2=, 则四边形ABCD 的面积是 A .3 B .23 C .26 D .6 答案:选C分析:斜二侧画法中,各条边的变化,做题时要多画出与y x '',轴平行的直线.解析:26221111=⨯=D C B A S S4)某几何体的一条棱长为7,在该几何体的正视图中,这条棱的投影是长为6的线段,在该几何体的侧视图与俯视图中,这条棱的投影分别是长为a 和b 的线段,则a b +的最大值为( ) A .22 B .32 C .4 D .52答案:选C分析:该题条件与长方体的对角线在不同面,或方向的投影相联系。
专题6立体几何(文科)解答题30题1.(贵州省贵阳市2023届高三上学期8月摸底考试数学(文)试题)如图,在直三棱柱111ABC A B C -中,1CA CB ==,90BCA ∠=︒,12AA =,M ,N 分别是11A B ,1A A 的中点.(1)求证:1BN C M ⊥;(2)求三棱锥1B BCN -的体积.2.(广西普通高中2023届高三摸底考试数学(文)试题)如图,多面体ABCDEF中,∠=︒,FA⊥平面ABCD,//ED FA,且22 ABCD是菱形,60ABC===.AB FA ED(1)求证:平面BDE⊥平面FAC;(2)求多面体ABCDEF的体积.))如图所示,取中点G ,连接3.(江西省五市九校协作体2023届高三第一次联考数学(文)试题)如图多面体ABCDEF 中,四边形ABCD 是菱形,60ABC ∠=︒,EA ⊥平面ABCD ,//EA BF ,22AB AE BF ===.(1)证明:平面EAC ⊥平面EFC ;(2)求点B 到平面CEF 的距离.(2)设B 到平面CEF 的距离为因为EA ⊥平面ABCD ,AC 因为//EA BF ,EA ⊥平面ABCD 且BC ⊂平面ABCD ,所以BF 因为60ABC ∠=︒,2AB =4.(新疆乌鲁木齐地区2023届高三第一次质量监测数学(文)试题)如图,在四棱锥P ABCD -中,PA ⊥平面ABCD ,AD CD ⊥,AD BC ∥,且2PA AD CD ===,3BC =,E 是PD 的中点,点F 在PC 上,且2PF FC =.(1)证明:DF ∥平面PAB ;(2)求三棱锥P AEF -的体积.(2)作FG PD ⊥交PD 于点G 因为PA ⊥面ABCD ,所以PA 又AD CD ⊥,PA 与AD 交于点所以CD ⊥面PAD ,CD PD ⊥又FG PD ⊥,所以//FG CD ,所以所以PF FG PC CD =,得43FG =,因为E 为PD 中点,所以P AEF D AEF F ADE V V V ---===5.(新疆阿克苏地区柯坪湖州国庆中学2021-2022学年高二上学期期末数学试题)如图所示,已知AB ⊥平面BCD ,M ,N 分别是AC ,AD 的中点,BC CD ⊥.(1)求证://MN 平面BCD ;(2)求证:CD BM ⊥;【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析.【分析】1)根据中位线定理,可得//MN CD ,即可由线面平行的判定定理证明//MN 平面BCD ;(2)由已知推导出AB CD ⊥,再由CD BC ⊥,得CD ⊥平面ABC ,由此能证明CD BM ⊥;【详解】(1)M ,N 分别是AC ,AD 的中点,//MN CD ∴,MN ⊂/ 平面BCD ,且CD ⊂平面BCD ,//MN ∴平面BCD ;(2)AB ⊥Q 平面BCD ,M ,N 分别是AC ,AD 的中点,AB CD ∴⊥,BC CD ⊥ ,,AB BC B AB BC =⊂ ,平面ABC ,CD \^平面ABC ,BM ⊂ 平面ABC ,CD BM ∴⊥.6.(内蒙古乌兰浩特第一中学2022届高三全真模拟文科数学试题)如图在梯形中,//BC AD ,22AB AD BC ===,23ABC π∠=,E 为AD 中点,以BE 为折痕将ABE 折起,使点A 到达点P 的位置,连接,PD PC ,(1)证明:平面PED ⊥平面BCDE ;(2)当2PC =时,求点D 到平面PEB 的距离.因为PE PD =,F 为ED 因为平面PED ⊥平面BCDE 因为21122PF ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭设D 到平面PEB 的距离为7.(山西省运城市2022届高三5月考前适应性测试数学(文)试题(A 卷))如图,四棱柱1111ABCD A B C D -中,底面ABCD 为平行四边形,侧面11ADD A 为矩形,22AB AD ==,160D DB ∠=︒,1BD AA =(1)证明:平面ABCD ⊥平面11BDD B ;(2)求三棱锥11D BCB -的体积.8.(黑龙江省八校2021-2022学年高三上学期期末联合考试数学(文)试题)已知直三棱柱111ABC A B C -中,AC BC =,点D 是AB 的中点.(1)求证:1BC ∥平面1C AD ;(2)若底面ABC 边长为2的正三角形,1BB =11B A DC -的体积.【答案】(1)证明见解析(2)1【分析】(1)连接1AC 交1AC 于点E ,连接DE ,由三角形中位线定理,得1DE BC ∥,进而由线面平行的判定定理即可证得结论;(2)利用等体积转化1111B A DC C A B D V V --=,依题意,高为CD ,再求底面11A B D 的面积,进而求三棱锥的体积.【详解】(1)连接1AC 交1AC 于点E ,连接DE∵四边形11AAC C 是矩形,∴E 为1AC 的中点,又∵D 是AB 的中点,∴1DE BC ∥,又∵DE ⊂平面1C AD ,1BC ⊄平面1C AD ,∴1BC ∥面1C AD .(2)∵AC BC =,D 是AB 的中点,∴AB CD ⊥,9.(青海省西宁市2022届高三二模数学(文)试题)如图,V是圆锥的顶点,O是底面圆心,AB是底面圆的一条直径,且点C是弧AB的中点,点D是AC的中点,2AB=,VA=.2(1)求圆锥的表面积;又D 是AC 的中点,所以OD AC ⊥,又VO OD O ⋂=,VO ⊂平面VOD ,OD ⊂平面VOD所以AC ⊥平面VOD ,又AC ⊂平面VAC ,所以平面VAC ⊥平面VOD .10.(河南省郑州市2023届高三第一次质量预测文科数学试题)如图,在四棱锥P ABCD -中,PA ⊥底面ABCD ,AD ⊥AB ,AB DC ,2AD DC AP ===,1AB =,点E 为棱PC 的中点.(1)证明:平面PBC ⊥平面PCD ;(2)求四棱锥E ABCD -的体积;又点E 为棱PC 的中点,BE 由勾股定理得2AC AD =+∵△PAC 为直角三角形,E 111.(江西省部分学校2023届高三上学期1月联考数学(文)试题)如图,在正三棱柱111ABC A B C -中,12AA AB ==,D ,E 分别是棱BC ,1BB 的中点.(1)证明:平面1AC D ⊥平面1ACE .(2)求点1C 到平面1ACE 的距离.(2)连接1EC .因为1AA 由正三棱柱的性质可知因为ABC 是边长为2的等边三角形,所以故三棱锥11A CC E -的体积以15A E CE ==,1A E 则1ACE △的面积212S =12.(广西玉林、贵港、贺州市2023届高三联合调研考试(一模)数学(文)试题)在三棱锥-P ABC 中,底面ABC 是边长为2的等边三角形,点P 在底面ABC 上的射影为棱BC 的中点O ,且PB 与底面ABC 所成角为π3,点M 为线段PO 上一动点.(1)证明:BC AM ⊥;(2)若12PM MO =,求点M 到平面PAB 的距离.AO BC ∴⊥,点P 在底面ABC 上的投影为点PO ∴⊥平面ABC , PO BC ∴⊥,13.(广西南宁市第二中学2023届高三上学期第一次综合质检数学(文)试题)如图,D ,O 是圆柱底面的圆心,ABC 是底面圆的内接正三角形,AE 为圆柱的一条母线,P 为DO 的中点,Q 为AE 的中点,(1)若90APC ∠=︒,证明:DQ ⊥平面PBC ;(2)设2DO =,圆柱的侧面积为8π,求点B 到平面PAC 的距离.∴//,AQ PD AQ PD =,∴四边形AQDP 为平行四边形,∴//DQ PA .又∵P 在DO 上,而OD ∴O 为P 在ABC 内的投影,且ABC 是圆内接正三角形∴三棱锥-P ABC 为正三棱锥∴PAB PAC PBC △≌△≌△∴APB APC BPC ∠=∠=∠即,PA PC PA PB ⊥⊥.∵PC PB P = ,,PB PC14.(江西省吉安市2023届高三上学期1月期末质量检测数学(文)试题)如图,在四棱锥P -ABCD 中,AB CD ,12AD CD BC PA PC AB =====,BC PA ⊥.(1)证明:平面PBC ⊥平面PAC ;(2)若PB =D 到平面PBC 的距离.又BC PA ⊥,PA AC A = 所以BC ⊥平面PAC ,又BC (2)因为BC ⊥平面PAC ,由22PB =,BC PC =,得15.(江西省部分学校2023届高三下学期一轮复习验收考试(2月联考)数学(文)试题)如图,在长方体1111ABCD A B C D -中,1AB AD ==,1AA =E 在棱1DD 上,且1AE A D ⊥.(1)证明:1AE A C ⊥;(2)求三棱锥1E ACD -的体积.【答案】(1)证明见解析;)在平面11ADD A 中,由AE ⊥1AD DE AA AD =,所以12112A DE S DE AD =⋅= 16.(新疆兵团地州学校2023届高三一轮期中调研考试数学(文)试题)如图1,在等腰梯形ABCD 中,M ,N ,F 分别是AD ,AE ,BE 的中点,4AE BE BC CD ====,将ADE V 沿着DE 折起,使得点A 与点P 重合,平面PDE ⊥平面BCDE ,如图2.(1)证明:PC∥平面MNF.(2)求点C到平面MNF的距离.17.(宁夏银川市第一中学2023届高三上学期第四次月考数学(文)试题)如图1,在直角梯形ABCD 中,,90,5,2,3AB DC BAD AB AD DC ∠==== ∥,点E 在CD 上,且2DE =,将ADE V 沿AE 折起,使得平面ADE ⊥平面ABCE (如图2).(1)求点B 到平面ADE 的距离;(2)在线段BD 上是否存在点P ,使得CP 平面ADE ?若存在,求三棱锥-P ABC 的体积;若不存在,请说明理由..18.(陕西省汉中市2023届高三上学期教学质量第一次检测文科数学试题)如图,多面体ABCDEF 中,四边形ABCD 为菱形,60,ABC FA ∠=⊥ 平面,ABCD FA ED ∥,且22AB FA ED ===.(1)求证:BD FC ⊥;(2)求点A 到平面FBD 的距离.19.(内蒙古赤峰市2022届高三下学期5月模拟考试数学(文科)试题)如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是菱形,60PAB PAD BAD ∠=∠=∠= .(1)证明:BD ⊥平面PAC ;(2)若23AB PA ==,,求四棱锥P ABCD -的体积.解:如图,记AC 与BD 的交点为因为底面ABCD 为菱形,故又60PAB PAD BAD ∠=∠=∠=又PO AC O = ,故BD ⊥平面(2)解:因为2,3,AB PA ==∠20.(内蒙古2023届高三仿真模拟考试文科数学试题)如图,在四棱锥P ABCD -中,四边形ABCD 是直角梯形,AD AB ⊥,//AB CD ,22PB CD AB AD ===,PD =,PC DE ⊥,E 是棱PB 的中点.(1)证明:PD ⊥平面ABCD ;(2)若F 是棱AB 的中点,2AB =,求点C 到平面DEF 的距离.,AB AD=AB AD⊥,2BD∴=为棱PB中点,DE PBE∴⊥,又∴⊥平面PBC,又BC⊂平面DE在直角梯形ABCD中,取CD中点 ,DM AB=2CD AB∴=,又DM ∴四边形ABMD为正方形,BM∴∴===,又BC BM AD AB222BD DE⊂平面PBD ,,=BD DE D21.(山西省晋中市2022届高三下学期5月模拟数学(文)试题)如图,在三棱锥-P ABC中,PAB 为等腰直角三角形,112PA PB AC ===,PC ,平面PAB ⊥平面ABC .(1)求证:PA BC ⊥;(2)求三棱锥-P ABC 的体积.∴OP AB ⊥,22OP =,AB =又∵平面PAB ⊥平面ABC ,平面∴OP ⊥平面ABC .22.(山西省太原市2022届高三下学期三模文科数学试题)已知三角形PAD 是边长为2的正三角形,现将菱形ABCD 沿AD 折叠,所成二面角P AD B --的大小为120°,此时恰有PC AD ⊥.(1)求BD 的长;(2)求三棱锥-P ABC 的体积.∵PAD 是正三角形,∴PM AD ⊥,又∴,PC AD PC PM P⊥=I ∴AD ⊥平面PMC ,∴AD MC ⊥,故ACD 为等腰三角形23.(陕西省联盟学校2023届高三下学期第一次大联考文科数学试题)如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是长方形,22AD CD PD ===,PA 二面角P AD C--为120︒,点E 为线段PC 的中点,点F 在线段AB 上,且12AF =.(1)平面PCD ⊥平面ABCD ;(2)求棱锥C DEF -的高.824.(陕西省榆林市2023届高三上学期一模文科数学试题)如图,在四棱锥P ABCD -中,平面PAD ⊥底面,,60,ABCD AB CD DAB PA PD ∠=⊥ ∥,且2,22PA PD AB CD ====.(1)证明:AD PB ⊥;(2)求点A 到平面PBC 的距离.(2)因为AB CD ,所以∠2222BC BD CD BD CD =+-⋅由222BD BC CD =+,得BC 25.(陕西省宝鸡教育联盟2022-2023学年高三下学期教学质量检测(五)文科数学试题)如图,在三棱柱111ABC A B C -中,平面11ABB A ⊥平面ABC ,四边形11ABB A 是边长为2的菱形,ABC 为等边三角形,160A AB ∠=︒,E 为BC 的中点,D 为1CC 的中点,P为线段AC上的动点.AB平面PDE,请确定点P在线段AC上的位置;(1)若1//-的体积.(2)若点P为AC的中点,求三棱锥C PDE(2)解:如图,取AB 的中点∵四边形11ABB A 为边长为2∴12A B =,1AA B 为等边三角形,26.(山西省运城市2022届高三上学期期末数学(文)试题)如图,在四棱锥P -ABCD中,底面ABCD 是平行四边形,2APB π∠=,3ABC π∠=,PB =,24PA AD PC ===,点M 是AB 的中点,点N 是线段BC 上的动点.(1)证明:CM⊥平面PAB;(2)若点N到平面PCM BNBC的值.27.(2020届河南省许昌济源平顶山高三第二次质量检测文科数学试题)如图,四棱锥P ABCD -中,//AB CD ,33AB CD ==,2PA PD BC ===,90ABC ∠=︒,且PB PC =.(1)求证:平面PAD ⊥平面ABCD ;(2)求点D 到平面PBC 的距离.因为//AB CD ,33AB CD ==,所以四边形ABCD 为梯形,又M 、E 为AD 、BC 的中点,所以ME 为梯形的中位线,28.(青海省海东市2022-2023学年高三上学期12月第一次模拟数学(文)试题)如图,在直三棱柱111ABC A B C -中,ABC 是等边三角形,14AB AA ==,D 是棱AB 的中点.(1)证明:平面1ACD ⊥平面11ABB A .(2)求点1B 到平面1A CD 的距离.由题意可得11A B D △的面积因为ABC 是边长为4的等边三角形,且29.(河南省十所名校2022-2023学年高三阶段性测试(四)文科数学试题)如图,在四棱锥P —ABCD 中,PC BC ⊥,PA PB =,APC BPC ∠=∠.(1)证明:PC AD ⊥;(2)若AB CD,PD AD ⊥,PC =,且点C 到平面PAB AD 的长.∵PA PB =,APC BPC ∠=∠∴90PCA PCB ∠=∠=︒,即∵PC BC ⊥,AC BC = ∴PC ⊥平面ABCD ,又∵PA PB =,E 为AB 中点∴PE AB ⊥,由(1)知AC BC =,E 为∵PE CE E = ,,PE CE 30.(河南省部分重点中学2022-2023学年高三下学期2月开学联考文科数学试题)如图,在直三棱柱111ABC A B C -中,5AB AC ==,16BB BC ==,D ,E 分别是1AA 和1B C 的中点.(1)求证:平面BED ⊥平面11BCC B ;(2)求三棱锥E BCD -的体积.。
立体几何(文科)1、如图1。
4所示四棱锥P。
ABCD中,底面是以O为中心的菱形,PO⊥底面ABCD,AB=2,∠BAD=错误!,M为BC上一点,且BM=错误!.(1)证明:BC⊥平面POM;(2)若MP⊥AP,求四棱锥P。
ABMO的体积.516图42、四面体ABCD及其三视图如图14所示,平行于棱AD,BC的平面分别交四面体的棱AB,BD,DC,CA于点E,F,G,H。
图1。
4(1)求四面体ABCD的体积;错误!.(2)证明:四边形EFGH是矩形.3、如图1。
5,在三棱柱ABC .A1B1C1中,侧棱垂直于底面,AB⊥BC,AA1=AC=2,BC=1,E,F分别是A1C1,BC的中点.图1。
5(1)求证:平面ABE⊥平面B1BCC1;(2)求证:C1F∥平面ABE;(3)求三棱锥E。
ABC的体积.错误!.4、如图1.3,四棱锥P。
ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,E为PD的中点.(1)证明:PB∥平面AEC;(2)设AP=1,AD=错误!,三棱锥PABD的体积V=错误!,求A到平面PBC的距离.错误!图13。
5、如图16所示,三棱锥A . BCD 中,AB ⊥平面BCD ,CD ⊥BD 。
(1)求证:CD ⊥平面ABD ;(2)若AB =BD =CD =1,M 为AD 中点,求三棱锥A MBC 的体积.错误!图1。
66、如图1。
4所示,△ABC 和△BCD 所在平面互相垂直,且AB =BC =BD =2,∠ABC =∠DBC =120°,E ,F ,G 分别为AC ,DC ,AD 的中点.(1)求证:EF ⊥平面BCG ;(2)求三棱锥D 。
BCG 的体积.错误!。
7、如图, 四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形, O 为底面中心, A 1O ⊥平面ABCD, 1AB AA ==1A(Ⅰ) 证明: A 1BD // 平面CD 1B 1; (Ⅱ) 求三棱柱ABD -A 1B 1D 1的体积.8、如图,在四棱锥P ABCD -中,PD ABCD ⊥面,//AB DC ,AB AD ⊥,5BC =,3DC =,4AD =,60PAD ∠=。
立体几何专题高考展望立体几何是高考重点考查的内容之一,主要考查的知识点是:空间几何体的结构特征,三视图与直观图,空间点、线、面的位置关系,平行与垂直的判定,空间角与距离的计算。
对空间想象能力、逻辑思维能力、运算能力都有较高要求。
从近两年的高考题来看,对这部分内容一般考查1至2个小题及1道大题,小题多为中、低档题,大题则多为中档题;考查的热点是三视图、线面平行与垂直的判定与性质,空间角的计算及立体几何的综合应用等。
近两年的立体几何考题控制了难度,对基础的考查有所加强,向量方法在计算与证明中的作用较为突出,预计2012年高考对立体几何的考查,可能会持续这一态势。
类型一几何体的三视图例1(1)(2011安徽)一个空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为()(A)48 (B)32+817(C) 48+817(D) 80(2)(2010浙江)若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的体积是___________3cm.例一(1) 例一(2)变式1(1)变式1(2)变式1 (1)(2011陕西)某几何体的三视图如图所示,则它的体积是()(A)283π-(B)83π-(C)82π-(D)23π(2)(2010天津理数)一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为(3)把矩形ABCD沿对角线BD折起,形成的三棱锥C-ABD的正视图和俯视图如图所示,则侧视图的面积为类型二平行投影例2.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为BD1的中点,则∆ PAC在该正方体各个面上的射影可能是变式1(3)俯视图3443变式2 (2011黑龙江模拟)如图,E、F分别是正方体的面ADD1A1,面BCC1B1的中心,则四边形BFD1E在该正方体的各个面上的投影可能是(要求:把可能的图的序号都填上)类型三平行、垂直及几何体的体积和表面积-中,底面ABCD为平行四边形,例3.(2011全国新课标)如图,四棱锥P ABCDDAB∠=︒,60=,PD⊥底面ABCD.AB AD2⊥;(I)证明:PA BD(II)设PD=AD=1,求棱锥D-PBC的高.变式3(1)(2011北京模拟)已知某几何体的直观图(图1)与它的三视图(图2),其中俯视图为正三角形,其它两个视图是矩形.已知D是这个几何体的棱A1C1上的中点(Ⅰ)求出该几何体的体积;(Ⅱ)求证:直线BC1∥平面AB1D;(Ⅲ)求证:平面AB1D⊥平面AA1D.(2).在如图所示的几何体中,四边形ABCD是正方形,M A⊥平面ABCD,PD∥MA,且AD=PD=2MA,则三棱锥P-MAB与四棱锥P-ABCD的体积之比为类型四 线线角 线面角例4.(1)(2010黄冈模拟改编)已知正三棱柱ABC-A 1B 1C 1的所有棱长均相等,求A 1C 和AB 1所成角的余弦值。
1.如图,在四棱锥S ABCD -中,底面ABCD 是正方形,SA ⊥底面ABCD ,SA AB =, 点M 是SD 的中点,AN SC ⊥,且交SC 于点N . (I ) 求证: //SB 平面ACM ; (III )求证:平面SAC ⊥平面AMN . 解法一:(几何法)解法二:(空间向量法)2.如图,四棱锥ABCD P -中,底面ABCD 是边长为2的正方形,CD PD BC PB ⊥⊥,,且2=PA ,E 为PD 中点.(Ⅰ)求证:⊥PA 平面ABCD ; (Ⅱ)求证://PB 平面AEC解法二:(空间向量法)SNM D C B ASN M D C BAPA BCDEPADE4.如图,在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,E 为AB 的中点.(1)求直线B 1C 与DE 所成角的余弦值; (2)求证:平面EB 1D ⊥平面B 1CD ; (3)求EC 1与平面CD 1所成角的余弦值.5.如图,四棱锥P ABCD -中,PA ⊥底面ABCD ,PC ⊥AD .底面ABCD 为梯形,//AB DC ,AB BC ⊥.PA AB BC ==,点E 在棱PB 上,且2PE EB =. (Ⅰ)求证:平面PAB ⊥平面PCB ;(Ⅱ)求证:PD ∥平面EAC ;6.在直三棱柱111ABC A B C -中,190,1ABC AB BC BB ∠=︒===,点D 是1A C 的中点.(I )求11A B 与AC 所成的角的大小; (II )求证:BD ⊥平面1AB C ;7.如图,在三棱锥P ABC -中,P A P B =, PA PB ⊥, 30AB BC BAC ⊥∠=︒,,平面PAB ⊥平面ABC . (Ⅰ)求证:PA PBC ⊥平面 ;A CB D D1A 1C1BD C B A P8.在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中,∠BAC =90°,AB =BB 1,直线B 1C 与平面ABC 成30°角. (I )求证:平面B 1AC ⊥平面ABB 1A 1;(II )求直线A 1C 与平面B 1AC 所成角的正弦值;9.如图,三棱锥P —ABC 中, PC ⊥平面ABC ,PC=AC=2,AB=BC ,D 是PB 上一点,且CD ⊥平面PAB . (I) 求证:AB ⊥平面PCB ;10.已知如图(1),正三角形ABC 的边长为2a ,CD 是AB 边上的高,E 、F 分别是AC 和BC 边上的点,且满足CE CF k CA CB ==,现将△ABC 沿CD 翻折成直二面角A -DC -B ,如图(2). (Ⅰ) 试判断翻折后直线AB 与平面DEF 的位置关系,并说明理由;图(1)图(2)D BAF ED C B AF EDCB A12.如图,在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中,∠ABC =90,AB =BC =AA 1=2,D 是AB 的中点. (I )求AC 1与平面B 1BCC 1所成角的正切值; (II )求证:AC 1∥平面B 1DC ; .13.如图,梯形ABCD 中,CD//AB ,AB 21CB DC AD ===,E 是AB 的中点,将ADE ∆沿DE 折起,使点A 折到点P 的位置,且二面角C DE P --的大小为120°。
热点08 立体几何【命题趋势】立体几何一直在高中数学中占有很大的分值,未来的高考中立体几何也会持续成为高考的一个热点,文科高考中立体几何主要考查三视图的相关性质利用,简单几何体的体积,表面积以及外接圆问题.另外选择部分主要考查在点线面位置关系,简单几何体三视图.选择题主要还是以几何体的基本性质为主,解答题部分主要考查平行,垂直关系以及简单几何体的变面积以及体积.本专题针对高考高频知识点以及题型进行总结,希望通过本专题的学习,能够掌握高考数学中的立体几何的题型,将高考有关的立体几何所有分数拿到.【满分技巧】基础知识点考查:一般来说遵循三短一长选最长.要学会抽象问题具体会,将题目中的直线转化成显示中的具体事务,例如立体坐标系可以看做是一个教室的墙角证明线面垂直的方法:一是线面垂直的判定定理;二是利用面面垂直的性质定理;三是平行线法(若两条平行线中一条垂直于这个平面,则另一条也垂直于这个平面),解题时,注意线线、线面与面面关系的相互转化;另外,在证明线线垂直时,要注意题中隐含的垂直关系,如等腰三角形的底边上的高、中线和顶角的角平分线三线合一、矩形的内角、直径所对的圆周角、菱形的对角线互相垂直、直角三角形(或给出线段长度,经计算满足勾股定理)、直角梯形等等.有关外接圆问题:一般图形可以采用补形法,将几何体补成正方体或者是长方体,再利用不在同一个平面的四点确定一个立体平面原理,从而去求.内切圆问题:转化成正方体的内切圆去求.求点到平面的距离问题:采用等体积法.求几何体的表面积体积问题:应注意巧妙选取底面积与高.求空间多面体的外接球半径的常用方法:①补形法:侧面为直角三角形,或正四面体,或对棱二面角均相等的模型,可以还原到正方体或长方体中去求解;②利用球的性质:几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径,也即球的直径;③定义法:到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心,借助有特殊性底面的外接圆圆心,找其垂线,则球心一定在垂线上,再根据带其他顶点距离也是半径,列关系求解即可.【考查题型】选择,填空,解答题【限时检测】(建议用时:45分钟)1.(2020·全国高三专题练习(文))下列关于棱柱的说法正确的个数是()①四棱柱是平行六面体;②有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱;③有两个面平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体是棱柱;④底面是正多边形的棱柱是正棱柱.1234 A.B.C.D.【答案】A【分析】四棱柱的底面可以是任意四边形,而平行六面体的底面必须是平行四边形,故①不正确;有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体可能侧棱不平行,故②不正确;由棱柱的定义可得③正确;底面是正多边形的直棱柱是正棱柱,故④不正确.故选:A.2.(2020·湖北高三月考)已知是两条不同的直线,是三个不同的平面,则下,a b ,,αβγ列命题中正确的是( )A .若,,,则a αβ⋂=b βγ= //a b //αγB .若,,,则//a b a α⊥αβ⊥b β//C .若,,,则αβ⊥a αβ⋂=a b ⊥r rb α⊥D .若,则,,a b αβαβ⊥⊥⊥a b⊥r r 【答案】D【分析】:对于A :若,,,则或与相交,故A 错a αβ⋂=b βγ= //a b //αγαγ误;对于B :若,,,则与平行或,故B 错误;//a b a α⊥αβ⊥b βb β⊂对于C :若,,,则或与相交或平行,故C 错误;αβ⊥a αβ⋂=a b ⊥r rb α⊂b α对于D :若,如图,,a b αβαβ⊥⊥⊥设,过作,因为,,所以,所b B β= B BC l ⊥()l αβ= αβ⊥BC β⊂BC α⊥以,因为,所以,故D 正确;//BC a b BC ⊥b a ⊥故选:D3.(2020·全国高三专题练习(文))如图所示,正方体的棱长为,ABCD A B C D ''''-1、分别是棱、的中点,过直线、的平面分别与棱、交于、E F AA 'CC 'E F BB 'DD 'M N,设,,则下列命题中错误的是( )BM x =]1[0x ∈,A .平面平面MENF ⊥BDD B ''B .当且仅当时,四边形的面积最小12x =MENF C .四边形周长是单调函数MENF ()L f x =D .四棱锥的体积为常函数C MENF '-()V h x =【答案】C【分析】A 选项,∵,,,∴,∴//EF AC AC BD ⊥'⊥AC BB AC BDD B ⊥''EF ⊥平面,BDD B ''又∵平面,∴平面平面,A 对,EF ⊂MENF MENF ⊥BDD B ''B 选项,由面面,又面平面,面平//ABB A ''CDD C ''ABB A ''⋂ENFM EM =CDD C ''⋂面,ENFM FN =所以,同理,所以四边形为平行四边形.//EM FN //EN FM MENF由平面,平面,所以EF ⊥BDD B ''MN ⊂BDD B ''EF MN⊥所以四边形为菱形,∴,MENF 12MENF S EF MN =⋅又的面积最小,只需最小,EF =MENF MN 则当且仅当时,四边形的面积最小,B 对,12x =MENF C 选项,∵,,MF =()f x =∴在上不是单调函数,C 错,()f x [0]1,D 选项,,C MENF F MC E F C NE V V V -''-'-=+,点到平面的距离为,,11124C ME S C E '∆'=⋅=F C ME '11113412F C ME V -'=⋅=又,点到平面的距离为,,11124C NE S C E '∆'=⋅=F C NE '11113412F C NE V -'=⋅=∴为常函数,D 对,1()6h x =故选:C .4.(2020·云南高三其他模拟(文))某几何体的三视图如图所示(单位:),则该几cm 何体的表面积(单位:)是( )2cmA .8B .16C .32D .44【答案】C 【分析】:由三视图还原原几何体如图,该几何体为三棱锥,底面是直角三角形,底面.底面.所以PA ⊥ABC ,AB AC ⊂ABC,,所以,PA AB ⊥PA AC ⊥5PC ==PB ==因为,即22245+=222BC PC PB +=所以.BC PC ⊥该几何体的表面积.∴1(34543445)322S =⨯+⨯+⨯+⨯=故选:.C5.(2020·全国高三专题练习(文))已知四面体是球的内接四面体,且是ABCD O AB 球的一条直径,,,则下面结论错误的是()O 2AD =3BD =A .球的表面积为B .上存在一点,使得O 13πAC M //AD BMC .若为的中点,则D .四面体N CD ON CD⊥ABCD 【答案】B 【分析】∵是球的一条直径,∴,,AB OAC BC ⊥ADBD ⊥∴AB ===球的半径为,球的表面积为,A 正确,O12AB =O 2413ππ⨯=∵与平面相交,上找不到一点,使得,B 错误,AD ABC AC M //AD BM 连接、,∵,为的中点,∴,C 正确,OC OD OC OD =N CD ON CD ⊥易知点到平面的距离的最大值为球的半径,C ABD R ∴四面体体积的最大值为:D 正ABCD max 11123332ABD V S R =⋅⋅=⨯⨯⨯=A 确,故选:B .6.(2020·河南高三月考(文))已知点、、、在同一个球面上(球的半径为定A B C D 值),是等腰直角三角形,且体积的最大值ABC A AB BC ==ABCD 为,则该球的表面积为( )163A .B .C .D .25π254π1256π9π【答案】A 【分析】如图,因为是等腰直角三角形,且ABC AAB BC ==所以由勾股定理,得.4AC ==设球的半径为,球心到平面的距离为,O R O ABC d设当四面体体积取得最大值时,点到平面距离为,ABCD 163D ABC h 则,解得.1116323h ⨯⨯=4h =设的外接圆圆心为点,当四面体的体积取最大值时,ABC A 1O ABCD 点、、三点共线,且点在线段上,D O 1O O 1DO 所以,,即,解得.2222d R h AC d R +=⎧⎪⎨⎛⎫+= ⎪⎪⎝⎭⎩222442d R d R +=⎧⎪⎨⎛⎫+= ⎪⎪⎝⎭⎩5232R d ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故球的表面积为.22544252S R πππ⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭故选:A.7.(2020·河南开封市·高三一模(文))如图,将正四棱锥置于水平反射镜面P ABCD -上,得一“倒影四棱锥”.下列关于该“倒影四棱锥”的说法中,所有正确结论P ABCD Q --的编号是( )①平面;//PA BCQ ②平面;PQ ⊥ABCD ③若在同一球面上,则也在该球面上;,,,,P A B C D Q ④若该“倒影四棱锥”存在外接球,则AB PA=A .①③B .②④C .①②③D .①②④【答案】D 【分析】由题意四棱锥与四棱锥是两个相同的正四棱锥P ABCD -Q ABCD -连接相交于点,连接,AC BD O ,OP OQ 由四棱锥为正四棱锥,则平面.P ABCD -PO ⊥ABCD 根据题意四棱锥为正四棱锥,所以平面.Q ABCD -QO ⊥ABCD 均垂直于平面,所以三点共线.,PO OQ ABCD P O Q ,,所以平面,故②正确.PQ ⊥ABCD 由,根据题意AC PQ O ⋂=,,AP QC AO OC PO OQ ===所以与全等,所以APO △CQO A PAO OCQ ∠=∠所以,平面,平面,//AP QC AP ⊄QCB QC ⊂QCB 所以平面,故①正确.//PA BCQ 当在同一球面上,若正方形的外接圆不是球的大圆时,,,,,P A B C D ABCD根据对称性,则点不在此球面上,故③不正确.Q 若该“倒影四棱锥”存在外接球,根据对称性则正方形的外接圆是该球的大圆.ABCD 所以此时球的球心为正方形的对角线的交点,即点,设ABCD O 2AB a =则,OA =OA OP R ==所以,所以④正确.2AP a AB ===故选:D8.(2020·全国高三月考(文))已知,是空间中两条不同的直线,,是空间中m n αβ两个不同的平面,则下列命题正确的是().A .若,,则αβ⊥m α⊥m β⊥B .若,,则//αβ//m α//m βC .若,,,则m α⊥n β⊥//m n //αβD .若,,,,则m α⊂n ⊂α//m ββn////αβ【答案】C【分析】对于A ,若,,则或,故A 错误;αβ⊥m α⊥//m βm β⊂对于B ,若,,则或,故B 错误;//αβ//m α//m βm β⊂对于C ,若,,则,又因为,所以,故C 正确;m α⊥//m n n α⊥n β⊥//αβ对于D ,若,,,,则可能相交,故D 错误;m α⊂n ⊂α//m ββn//,αβ故选:C.9.(2020·宁夏银川市·银川一中高三月考(文))如图所示,在长方体,若,、分别是、 的中点,则下列结论中不1111ABCD A B C D -AB BC =E F 1AB 1BC 成立的是( )A .与垂直EF 1BB B .平面EF ⊥11BDD B C .与所成的角为EF 1C D 45︒D .平面//EF 1111D C B A 【答案】C【分析】连接、、,则为的中点,1A B 11A C 1A D E 1A B 对于A 选项,平面,平面,,1BB ⊥ 1111D C B A 11A C ⊂1111D C B A 111BB A C ∴⊥、分别为、的中点,则,E F 1A B 1BC 11//EF A C ,A 选项正确;1EF BB ∴⊥对于B 选项,四边形为正方形,则, 1111D C B A 1111AC B D ⊥又,,平面,111A C BB ⊥ 1111B D BB B ⋂=11A C ∴⊥11BDD B ,平面,B 选项正确;11//EF A C EF ∴⊥11BDD B 对于C 选项,易知为等腰三角形,11A C D A ,则与所成的角为,11//EF A C EF 1C D 11A C D ∠∵,∴始终是锐角,而,2221111A D C D A C +>11A DC ∠1111A C D C A D ∠=∠∴不可能成立.C 选项错误;1145A C D ∠=︒对于D 选项,,平面,平面,11//EF A C EF ⊄1111D C B A 11A C ⊂1111D C B A 平面,D 选项正确.//EF ∴1111D C B A故选:C .10.(2020·河南洛阳市·高三月考(文))我国古代数学名著《九章算术》中,将底面是直角三角形的直三棱柱(侧棱垂直于底面的三棱柱)称之为“堑堵”.如图,三棱柱为一个“堑堵”,底面是以为斜边的直角三角形且,111ABC A B C -ABC A AB 5AB =,点在棱上,且,当的面积取最小值时,三棱锥3AC =P 1BB 1PC PC ⊥1APC A 的外接球表面积为( )P ABC-A .BC .D .45π230π45π【答案】D 解法一:由“堑堵”的定义可知,为直角三角形,ABC A 故,4BC ==易知,又,,1AC PC ⊥1PC PC ⊥1PC PC P ⋂=所以平面,而平面,于是得.1PC ⊥APC AP ⊂APC 1AP PC ⊥设,,则,1BB z =BP t =1B P zt =-则AP ==1PC ==1AC ==由,得,整理得,1AP PC ⊥()222925161z t z +=+++-16z t t =+所以,()22212161616PC z t x =+-=+所以1112APC S AP PC =⋅==△,18≥=当且仅当,即的面积取得最小值18.22400t t =t =1APC A 此时AP ==设三棱锥的外接球半径为,P ABC -R 因为,,故线段为外接球的直径,AC CP ⊥AB BP ⊥AP 故所求外接球的表面积.454π45π4S =⨯=故选:D .解法二:令,则,,11PCB C PB θ∠==∠14sin C Pθ=4cos CP θ=AP ==又因为平面,所以,又.AC ⊥11CBB C 1AC C P ⊥1CP C P ⊥所以平面,所以.1C P ⊥ACP 190C PA ∠=︒的面积1APCA 1111422sin APC S C P AP θ=⋅=⋅=△===当且仅当时,取最小值,2210064tan tan θθ=1APCS △此时,.tan θ=AP ===在三棱锥中,因为,取中点为,P ABC -90ACP ABP ∠=∠=︒AP O 则,12OC OB AP OA OP ====故为三棱锥的外接球的球心,O P ABC -所以为外接球直径,.AP 224ππ45πO S R AP ===球故选:D .11.(2020·云南高三其他模拟(文))如图,在四棱锥中,底面四边形P ABCD -中,,,,,在中,ABCD //AD BC AD BC =AD CD =AD DC ⊥PAD △PA PD =,,平面平面.60APD ∠=oPAD ⊥PCD(1)证明:平面;AB ⊥PAD (2)若,为线段的中点,求三棱锥的体积.4AB =Q PB Q PCD -【答案】(1)证明见解析 ;(2.【分析】(1)如下图所示,取的中点,连接,PD O AO 在中,,,则为等边三角形,PAD △PA PD =60APD ∠=oPAD △因为为的中点,则,O PD AO PD ⊥平面平面,平面平面,平面, PAD ⊥PCD PAD PCD PD =AO ⊂PAD 平面,AO ∴⊥PCD 平面,,CD ⊂ PCD CD AO ∴⊥,,平面,CD AD ⊥ AO AD A =I CD \^PAD 在四边形中,且,所以,四边形为平行四边形,ABCD //AD BC AD BC =ABCD所以,,因此,平面;//AB CD AB ⊥PAD (2)由(1)知,四边形为平行四边形,ABCD 因为,,所以,四边形为正方形,,AD CD =AD CD ⊥ABCD 4AD AB ∴==所以,是边长为为等边三角形,PAD △4平面,所以到平面的距离,AO ⊥Q PCD APCD d AO ===,平面,平面,平面,//AB CD Q AB ⊄PCD CD ⊂PCD //AB ∴PCD 所以、两点到平面的距离相等,均为,A B PCD d 又为线段的中点,所以到平面的距离Q PB Q PCD 2d h ==由(1)知,平面,因为平面,所以,CD ⊥PAD PD ⊂PAD CDPD ⊥所以.11144332Q PCD PCD V S h -=⨯⨯=⨯⨯⨯=△12.(2020·通榆县第一中学校高三月考(文))如图,在四棱锥中,底面РABCD -是梯形,,点ABCD //,22,90AD BC AD AB BC PA PD ABC =====∠=︒N 为的中点,连接PD ,,.CN BN AN(1)求证:平面;//CN PAB (2)若平面平面,求点到平面的距离.PAD ⊥ABCD D ABN 【答案】(1)证明见解析;(2【分析】(1)证明:取中点,连接,如图所示:PA M ,MN BM 因为M 、N 为、的中点,所以是的中位线,PA PD MN PAD △所以,且//MN AD 12MN AD =因为,且,//BC AD 12BC AD =所以//,MN BC MN BC =,所以四边形是平行四边形.BCNM 所以//CN BM又平面平面,CN ⊄,PAB BM ⊂PAB 所以平面//CN PAB(2)取中点,连接,再取中点,连接、BD ,如图所示:AD O PO OD QQN 在中,点为的中点,点为中点,POD A N PD Q OD 所以1//,2NQ PO NQ PO =在中,,所以,PAD△2PA PD AD ===222PA PD AD +=所以,又点为中点,PA AD ⊥O AD 所以, 1.PO AD PO ⊥=所以,1,2NQ AD NQ ⊥=因为平面平面平面,平面平面PAD ⊥,ABCD NQ ⊂PAD PAD ABCD AD =,所以平面,NQ ⊥ABCD 又平面,AB ⊂ABCD 所以NQ AB⊥因为,所以.//,90AD BC ABC ︒∠=AD AB ⊥又平面,,,AD NQ Q AD NQ ⋂=⊂PAD 所以平面,AB ⊥PAD 又平面,所以,AN ⊂PAD AB NA ⊥在中,,PAD△2PA PD AD ===点为的中点,所以,N PD 222AN PA PN =+所以AN =设点到平面的距离为,由,D ABN d D ABN N ABD V V --=所以1133ABN ABD S d S NQ ⨯⨯=⨯⨯A A 又,,122ABN S =⨯=A 12222ABD S =⨯⨯=A 代入得到平面d =D ABN 13.(2020·通榆县第一中学校高三月考(文))在直三棱柱中,111ABC A B C -分别为棱的中点.,,,AB AC D E F =1,,BC AA AC(1)求证:1;AD BC ⊥(2)求证:平面//EF 1AB D 【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析.【分析】证明:在三角形中,是的中点,()1ABC ,AB AC D =BC 所以.AD BC ⊥由直三棱柱可知平面111ABC A B C -1BB ⊥,ABC 又平面,AD ⊂ABC 所以1AD BB ⊥因为平面,11,,BC BB B BC BB =⊂ 11BCC B 所以平面AD ⊥11BCC B 又平面,1BC ⊂11BCC B 所以1AD BC ⊥连接,连接交,于点,则是中点,连接()21A C 1A B 1AB O O 1A B OD由于分别是的中点,,E F 1,AA AC 所以1//.EF A C 由于分别是的中点,,O D 1,A B BC 所以1//OD A C所以//EF OD由于平面平面,EF ⊄1,AB D OD ⊂1AB D 所以平面//EF 1ABD 14.(2020·云南高三期中(文))在四棱锥中,底面是边长为2的正P ABCD -ABCD 方形,,E 为的中点.90,,60ADP PD AD PDC ∠==∠=PD (1)证明:平面.CE ⊥PAD (2)求三棱锥外接球的体积.E ABC -【答案】(1)证明见解析;(2【分析】(1)由知:,底面是正方形有,又90ADP ∠=AD DP ⊥ABCD AD DC ⊥,DP DC D =∴面,而面,即,AD ⊥DPC CE ⊂DPC AD CE ⊥∵,,PD AD DC ==60PDC ∠= ∴为等边三角形,E 为的中点,故,PDC △PD CE DP ⊥∵,DP AD D ⋂=∴平面.CE ⊥PAD(2)由(1)知:为等腰直角三角形且 ,有ABC A 2AB BC ==AC =在中,故,AEC A CE AE ==222AC CE AE =+AE CE ⊥∴由上知:、都是以为斜边的直角三角形,由直角三角形斜边中点O ABC A AEC A AC 到三顶点距离相等知:,即O 为三棱锥外接球的球心,OE OC OA OB ===E ABC -∴外接球的半径为,2AC =所以三棱锥外接球的体积为.E ABC -343V π=⨯=15.(2020·全国福建省漳州市教师进修学校高三二模(文))已知等腰梯形ADCE 中,,,,B 为EC 的中点,如图1,将三角形ABE //AD EC 224EC AD AE ===3E π∠=沿AB 折起到(平面ABCD ),如图2.ABE 'E '∉(1)点F 为线段的中点,判断直线DF 与平面的位置关系,并说明理由;AE 'BCE '(2)当的面积最大时,求的长.BCE 'A DE '【答案】(1)相交,理由见解析;(2)2.【分析】(1)解:直线DF 与平面相交,理由如下:BCE '因为平面ABCD ,所以平面,E '∉D ∉BCE '假设平面,设平面平面,如图所示,//DF BCE 'DCF BCE CM '=则,显然CM 与CB 不重合,//DF CM 又因为,平面,且DF ,AD 相交,均在平面内,所以平面//AD BC //AD BCE 'ADE ¢平面,但显然是两个平面的公共点,故矛盾,假设不成立,//ADE 'BCE 'E '所以直线DF 与平面相交;BCE '(2)证明:取AB 的中点O ,连接,BD ,E O '由等腰梯形ADCE 中,,,,知是等边//AD EC 224EC AD AE ===3E π∠=ABE △三角形,四边形是菱形,且,即和都是等边三角形.ADCB 60C ∠=°ABD △BCD △故,, 与相交于平面内,所以平面,E O AB '⊥⊥DO AB E O 'DO E OD 'AB ⊥E OD '所以.又,所以,E D AB '⊥//AB DC E D DC '⊥因为的面积为,BCE 'A 11sin 22sin 2sin 22BE BC E BC E BC E BC ''''⋅⋅∠=⨯⨯∠=∠所以当的面积最大时,,BCE 'A 90E BC '∠=︒所以,所以.E C '==2E D '==。
立体几何专题1.如图 4,在边长为 1 的等边三角形 ABC 中, D , E 分别是 AB, AC 边上的点, AD AE ,F 是 BC 的中点, AF 与 DE 交于点G ,将 ABF 沿 AF 折起,获取如图5 所示的三棱锥A BCF ,其中 BC2 .2(1) 证明: DE // 平面 BCF ;(2) 证明: CF 平面 ABF ;(3) 2时,求三棱锥 FDEG 的体积 V F DEG .当 AD3ADGEBFC图 4【剖析】( 1)在等边三角形ABC 中, ADAEAD AE ,A BCF 中DB在折叠后的三棱锥EC也成立, DE / / BC ,Q DE平面 BCF ,BC 平面 BCF ,DE / / 平面 BCF ;AGEDFCB图 5(2 )在等边三角形ABC 中, F 是 BC 的中点,所以 AFBC 1 ①, BF CF.2Q 在三棱锥 ABCF 中, BC2, BC 2 BF 2 CF 2 CF BF ②2Q BF CF F CF 平面 ABF ;( )由( )可知 GE / /CF ,结合( 2)可得 GE平面 DFG.3 1VF DEGV E1 11 1 1 1 3 13 DFG3 DG FG GF2 3 3 2332423【剖析】 这个题是入门级的题,除了立体几何的内容, 还观察了平行线分线段成比率这个平面几何的内容 .2.如图 5 所示,在四棱锥P-ABCD 中,AB平面PAD,AB CD,PD=AD,E是PB的中点,F是 DC 上的点且 DF= 1AB,PH 为PAD 中 AD 边上的高.2(1)证明: PH 平面 ABCD ;(2)若PH=1,AD= 2 ,FC=1,求三棱锥E-BCF 的体积;(3)证明:EF平面PAB.解: (1)PH 为PAD中的高PH AD又 AB面PAD,PH平面PADPH ABAB AD A所以PH平面ABCD(2):过 B 点做 BG BG CD ,垂足为 G ;连接 HB, 取 HB 中点 M ,连接 EM ,则 EM 是BPH 的中位线由(1)知: PH平面ABCDEM平面 ABCDEM平面 BCF即 EM 为三棱锥E - BCF底面上的高EM=1PH1 22SBCF 1FC ? BG =11 22 222 1V E BCF? S BCF ? EM1 2 13 2 2212.(3):取 AB 中点 N, PA 中点 Q,连接 EN , FN ,EQ, DQ AB // CD , CD平面PADAB平面PAD,PA平面PADAB PA又EN 是 PAB 的中位线EN // PAAB EN1又DF AB四边形NADF是距形AB FNEN FN NAB平面NEF又 EF平面NEFEF AB四边形NADF是距形AB NF 3、如图,已知三棱锥 A —BPC 中,AP ⊥ PC , AC ⊥ BC ,M为 AB 中点, D 为 PB 中点,且△ PMB 为正三角形。
高考数学最新真题专题解析—立体几何(文科)考向一 线面夹角【母题来源】2022年高考全国甲卷(文科)【母题题文】 在长方体1111ABCD A B C D -中,已知1B D 与平面ABCD 和平面11AA B B 所成的角均为30,则( ) A. 2AB AD =B. AB 与平面11AB C D 所成的角为30C. 1AC CB =D. 1B D 与平面11BB C C 所成的角为45︒ 【答案】D【试题解析】【详解】如图所示:不妨设1,,AB a AD b AA c ===,依题以及长方体的结构特征可知,1B D 与平面ABCD 所成角为1B DB ∠,1B D 与平面11AA B B 所成角为1DB A ∠,所以11sin 30c b B D B D==,即b c =,22212B D c a b c ==++2a c =. 对于A ,AB a ,AD b ,2AB AD =,A 错误;对于B ,过B 作1BE AB ⊥于E ,易知BE ⊥平面11AB C D ,所以AB 与平面11AB C D 所成角为BAE ∠,因为2tan c BAE a ∠==30BAE ∠≠,B 错误; 对于C ,223AC a b c =+=,2212CB b c c =+=,1AC CB ≠,C 错误; 对于D ,1B D 与平面11BB C C 所成角为1DB C ∠,112sin 22CD a DB C B D c ∠===,而1090DB C <∠<,所以145DB C ∠=.D 正确. 故选:D .【命题意图】本题主要考查直线与平面夹角,是一道容易题.【命题方向】这类试题在考查题型上选择题、填空题、解答题形式出现,试题难度不大,多为中低档题,重点考查线面夹角的求法问题. 【得分要点】(1)找斜线在平面中的射影; (2)求斜线与其射影的夹角; 考向二 线面平行、垂直的证明【母题来源】2022年高考全国乙卷(文科)【母题题文】 如图,四面体ABCD 中,,,AD CD AD CD ADB BDC ⊥=∠=∠,E 为AC 的中点.(1)证明:平面BED ⊥平面ACD ;(2)设2,60AB BD ACB ==∠=︒,点F 在BD 上,当AFC △的面积最小时,求三棱锥F ABC -的体积. 【试题解析】【小问1详解】由于AD CD =,E 是AC 的中点,所以AC DE ⊥.由于AD CD BD BD ADB CDB =⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩,所以ADB CDB ≅△△,所以AB CB =,故AC BD ⊥,由于DE BD D ⋂=,,DE BD平面BED ,所以AC ⊥平面BED ,由于AC ⊂平面ACD ,所以平面BED ⊥平面ACD . 【小问2详解】依题意2AB BD BC ===,60ACB ∠=︒,三角形ABC 是等边三角形, 所以2,1,3AC AE CE BE ====由于,AD CD AD CD =⊥,所以三角形ACD 是等腰直角三角形,所以1DE =.222DE BE BD +=,所以DE BE ⊥,由于AC BE E ⋂=,,AC BE ⊂平面ABC ,所以DE ⊥平面ABC . 由于ADB CDB ≅△△,所以FBA FBC ∠=∠,由于BF BF FBA FBC AB CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,所以FBA FBC ≅,所以AF CF =,所以EF AC ⊥,由于12AFCS AC EF =⋅⋅,所以当EF 最短时,三角形AFC 的面积最小值.过E 作EF BD ⊥,垂足为F ,在Rt BED △中,1122BE DE BD EF ⋅⋅=⋅⋅,解得32EF =,所以223131,2222DF BF DF ⎛⎫=-==-= ⎪ ⎪⎝⎭,所以34BF BD =. 过F 作FH BE ⊥,垂足为H ,则//FH DE ,所以FH ⊥平面ABC ,且34FH BF DE BD ==, 所以34FH =,所以11133233324F ABC ABCV SFH -=⋅⋅=⨯⨯=【命题意图】本题考查线面平行、垂直的证明.【命题方向】这类试题在考查题型多以解答题形式出现,多为中档题,是历年高考的必考题型. 常见的命题角度有:(1)线面平行的证明;(2)线面垂直的证明;(3)面面平行的证明;(4)面面垂直的证明. 【得分要点】(1)利用线面、面面平行的判定定理与性质定理; (2)利用线面、面面垂直的判定定理与性质定理. 真题汇总及解析 一、单选题1.(2022·内蒙古·乌兰浩特一中模拟预测(文))已知,αβ为空间的两个平面,直线,l ααβ⊄⊥,那么“l ∥α”是“l β⊥”的( )条件 A .必要不充分 B .充分不必要C .充分且必要D .不充分也不必要【答案】A 【解析】 【分析】根据空间线面位置关系,结合必要不充分条件的概念判断即可. 【详解】当直线,l ααβ⊄⊥,l ∥α,则l β//,l 与β相交,故充分性不成立; 当直线l α⊄,且αβ⊥,l β⊥时,l ∥α,故必要性成立, ⸫“l ∥α”是“l β⊥”的的必要不充分条件. 故选:A.2.(2022·贵州·贵阳一中模拟预测(文))在正方体1111ABCD A B C D -中,M 为1A D 的中点,则直线CM 与11A C 所成的角为( ) A .π2B .π3C .π4D .π6【答案】D 【解析】 【分析】11AC AC ∥,所求角为ACM∠,利用几何体性质,解CMA 即可【详解】设正方体棱长为1,连接11,,AC AC AC CM ∴与11A C 所成角即是CM 与AC 所成角,22222221162,,1,2222AC AM CM AM CM AC ⎛⎫⎛⎫===++=∴+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,CMA ∴为Rt △,1πsin ,26AM ACM ACM AC ∠∠==∴= 故选:D3.(2022·青海·模拟预测)已知四面体ABCD 的所有棱长都相等,其外接球的6π,则下列结论错误的是( ) A .四面体ABCD 的棱长均为2 B .异面直线AC 与BD 2 C .异面直线AC 与BD 所成角为60︒D .四面体ABCD 的内切球的体积等于6π27【答案】C 【解析】 【分析】对于A, 设该四面体的棱长为a ,表示出高,根据其外接球的体积等于6π,求得外接球半径,即可求得a ,判断A;对于B, 分别取BD,AC 的中点为E,F ,连接EF ,求得EF 的长,即可判断;对于C ,证明线面垂直即可证明异面直线AC 与BD 互相垂直,即可判断;对于D ,利用等体积法求得内切球半径,即可求得内切球体积,即可判断. 【详解】如图示,设该四面体的棱长为a ,底面三角形BCD 的重心为G ,该四面体的外接球球心为O ,半径为R ,连接AG ,GB,OB ,AG 为四面体的高,O 在高AG 上,在Rt AGB △中,2223336,()33BG AG a a ===-, 在Rt OGB △中,22263()()R R =-+,解得6R = , 6π,即34π6π3R ,故336R =故38,2a a == ,故A 正确; 分别取BD,AC 的中点为E,F ,连接EF ,正四面体ABCD 中,AE=EC ,故EF AC ⊥ ,同理EF BD ⊥, 即EF 为AC,BD 的公垂线,而3232CE =⨯= , 则2222(3)12EF CE CF =-=-= ,故B 正确;由于,AE BD CE BD ⊥⊥ , AE CE ⊂,平面ACE ,故BD ⊥平面ACE , 又AC ⊂平面ACE ,所以BD AC ⊥,即异面直线AC 与BD 所成角为90︒ ,故C 错误; 设四面体内切球的半径为r ,而263AG =,故11433BCDBCDSr SAG ⨯⨯⨯=⨯⨯,故646AG r a ==, 所以四面体ABCD 的内切球的体积等于3344666ππ()π3327r a ==,故D 正确, 故选:C4.(2022·湖北·华中师大一附中模拟预测)如图,正方体1111ABCD A B C D -中,P 是1A D 的中点,则下列说法正确的是( )A .直线PB 与直线1A D 垂直,直线PB ∥平面11B DC B .直线PB 与直线1D C 平行,直线PB ⊥平面11AC D C .直线PB 与直线AC 异面,直线PB ⊥平面11ADC B D .直线PB 与直线11B D 相交,直线PB ⊂平面1ABC【答案】A 【解析】 【分析】根据空间的平行和垂直关系进行判定. 【详解】连接11111,,,,DB A B D B D C B C ;由正方体的性质可知1BA BD =,P 是1A D 的中点,所以直线PB 与直线1A D 垂直;由正方体的性质可知1111//,//DB D B A B D C ,所以平面1//BDA 平面11B D C , 又PB ⊂平面1BDA ,所以直线PB ∥平面11B D C ,故A 正确;以D 为原点,建立如图坐标系,设正方体棱长为1,()111,1,,0,1,122PB D C ⎛⎫==- ⎪⎝⎭显然直线PB 与直线1D C 不平行,故B 不正确;直线PB 与直线AC 异面正确,()1,0,0DA =,102PB DA ⋅=≠,所以直线PB 与平面11ADC B 不垂直,故C 不正确;直线PB与直线B D异面,不相交,故D不正确;11故选:A.5.(2022·安徽·合肥市第八中学模拟预测)下列四个命题,真命题的个数为()(1)如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线,则这条直线垂直于该平面;(2)过空间一定点有且只有一条直线和已知平面垂直;(3)平行于同一个平面的两条直线平行;(4)a与b为空间中的两条异面直线,点A不在直线a,b上,则过点A有且仅有一个平面与直线a,b都平行.A.0 B.1 C.2 D.3【答案】B【解析】【分析】根据线面垂直的定义即可判断命题(1);根据线面垂直的性质定理即可判断命题(2);根据空间中线面的位置关系即可判断命题(3);结合图形即可判断命题(4). 【详解】命题(1):由直线垂直平面的定义可知,若直线垂直于一个平面的任意直线,则该直线垂直于该平面,故命题(1)错误;命题(2):由直线与平面垂直的性质定理可知,过空间一定点有且只有一条直线与已知平面垂直,故命题(2)正确;命题(3):平行于同一个平面的两条直线,可能平行,可能相交,也可能异面,故命题(3)错误;命题(4):如图,当点A在如图上底面时,不存在平面同时平行于直线a、b;点A不在异面直线a、b上,若点A在直线a、b之间,则可以确定一个平面同时平行于直线a、b;若点A在直线a、b的外侧,也可以确定一个平面同时平行于直线a、b,故命题(4)错误.故选:B.6.(2022·河南安阳·模拟预测(文))如图,在四面体ABCD中,90BCD AB∠=︒⊥,平面BCD,AB BC CD==,P为AC的中点,则直线BP与AD所成的角为()A.π6B.π4C.π3D.π2【答案】D【解析】【分析】根据给定条件,证明BP⊥平面ACD即可推理计算作答.【详解】在四面体ABCD中,AB⊥平面BCD,CD⊂平面BCD,则AB CD⊥,而90BCD∠=︒,即BC CD⊥,又AB BC B⋂=,,AB BC⊂平面ABC,则有CD⊥平面ABC,而BP⊂平面ABC,于是得CD BP ⊥,因P 为AC 的中点,即AC BP ⊥,而AC CD C =,,AC CD ⊂平面ACD ,则BP ⊥平面ACD ,又AD ⊂平面ACD ,从而得BP AD ⊥, 所以直线BP 与AD 所成的角为π2. 故选:D7.(2022·四川成都·模拟预测)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某三棱锥的三视图,A ,B ,C ,D 是该三棱锥表面上四个点,则直线AC 和直线BD 所成角的余弦为( )A .0B .13C .13-D 22【答案】A 【解析】 【分析】由三视图还原几何体,根据线面垂直的判定有BG ⊥面AGD ,线面垂直的性质可得BG AC ⊥,再由线面垂直的判定和性质得AC BD ⊥,即可得结果. 【详解】由三视图可得如下几何体:BG AG ⊥,BG DG ⊥,AG DG G =,则BG ⊥面AGD ,又AC ⊂面AGD ,则BG AC ⊥,而AC GD ⊥, 由BG GD G ⋂=,则AC ⊥面BGD ,又BD ⊂面BGD , 所以AC BD ⊥,故直线AC 和直线BD 所成角的余弦为0. 故选:A8.(2022·山东潍坊·三模)我国古代数学名著《九章算术》中给出了很多立体几何的结论,其中提到的多面体“鳖臑”是四个面都是直角三角形的三棱锥.若一个“鳖臑”的所有顶点都在球O 的球面上,且该“鳖臑”的高为2,底面是腰长为2的等腰直角三角形.则球O 的表面积为( ) A .12π B .43π C .6π D .26π【答案】A 【解析】 【分析】作出图形,设在三棱锥A BCD -中,AB ⊥平面BCD ,BC CD ⊥且2BC CD ==,2AB =,证明出该三棱锥的四个面均为直角三角形,求出该三棱锥的外接球半径,结合球体表面积公式可得结果. 【详解】 如下图所示:在三棱锥A BCD -中,AB ⊥平面BCD ,BC CD ⊥且2BC CD ==,2AB =, 因为AB ⊥平面BCD ,BC 、BD 、CD ⊂平面BCD ,则AB BC ⊥,AB BD ⊥,CD AB ⊥,CD BC ⊥,AB BC B ⋂=,CD平面ABC ,AC ⊂平面ABC ,AC CD ∴⊥,所以,三棱锥A BCD -的四个面都是直角三角形,且2222BD BC CD =+=,2223AD AB BD =+=,设线段AD 的中点为O ,则12OB OC AD OA OD ====, 所以,点O 为三棱锥A BCD -的外接球球心,设球O 的半径为R ,则132R AD ==,因此,球O 的表面积为2412R ππ=. 故选:A. 二、填空题9.(2022·四川成都·模拟预测(理))如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则此几何体的表面积为________.【答案】816283++ 【解析】 【分析】根据三视图可知这是一个四面体,根据长度即可根据三角形面积公式求每一个面的面积,进而可得表面积. 【详解】该几何体的直观图是正方体中的四面体ABCD ,4,42,43AB AD BD BC CD AC ======,()21113448,44282,44282,42832224ABD ABC ADC DBCS S SS =⨯⨯==⨯⨯==⨯⨯==⨯= 故答案为: 816283++.10.(2022·上海普陀·二模)已知一个圆锥的侧面积为2π,若其左视图为正三角形,则该圆锥的体积为________. 3π3 【解析】 【分析】由圆锥侧面积公式求得底面半径12r =3.【详解】由题设,令圆锥底面半径为r ,则体高为3r ,母线为2r , 所以12222r r ππ⨯⨯=,则12r =,故圆锥的体积为2133324r r ππ⨯⨯=. 故答案为:324π 11.(2022·黑龙江·佳木斯一中模拟预测(理))如图,在正方体1111ABCD A B C D -中,点F 是棱1AA 上的一个动点,平面1BFD 交棱1CC 于点E ,则下列正确说法的序号是___________.①存在点F 使得11A C ∥平面1BED F ; ②存在点F 使得1B D ∥平面1BED F ; ③对于任意的点F ,都有EF BD ⊥;④对于任意的点F 三棱锥1E FDD -的体积均不变. 【答案】①③④ 【解析】 【分析】①,找到点F 为1AA 的中点时,满足11A C ∥平面1BED F ;②,证明出11,BD B D 相交,得到不存在点F 使得1B D ∥平面1BED F ;③,作出辅助线,证明线面垂直,进而得到线线垂直; ④,得到三棱锥1E FDD -的体积等于正方体体积的16,为定值. 【详解】当点F 为1AA 的中点,此时点E 为1CC 的中点,此时连接EF ,可得:11A C EF , 因为11A C ⊄平面1BED F ,EF ⊂1BED F ,所以11A C ∥平面1BED F ,①正确;连接11,BD B D ,因为11//BB DD ,且11BB DD =,所以四边形11BB D D 为平行四边形, 所以11,BD B D 相交, 因为1BD ⊂平面1BED F ,所以不存在点F 使得1B D ∥平面1BED F ,②错误连接AC ,BD ,则AC ⊥BD ,又1AA ⊥平面ABCD ,BD ⊂平面ABCD , 所以1AA ⊥BD , 因为1AA AC A =, 所以BD ⊥平面11AAC C ,因为EF ⊂平面11AAC C , 所以BD ⊥EF ,③正确;连接DF ,EF ,ED ,则无论点F 在1A A 的何处,都有1112DFD SDD AD =⋅,是定值,为正方形11ADD A 面积的一半,又高等于CD ,故体积也为定值,为正方体体积的16,④正确.故选:①③④12.(2022·甘肃·武威第六中学模拟预测(文))如图,在长方体1111ABCD A B C D -中,E ,F 是棱CD 上的两个动点,点E 在点F 的左边,且满足122EF DC BC ==,给出下列结论:①11B D ⊥平面1B EF ;②三棱锥11D B EF -的体积为定值; ③1A A //平面1B EF ; ④平面11A ADD ⊥平面1B EF . 其中所有正确结论的序号是______. 【答案】②④ 【解析】 【分析】根据线面位置关系、面面位置关系判断命题①③④,由棱锥体积公式判断②. 【详解】11B D 与11D C 显然不垂直,而11//EF C D ,因此11B D 与EF 显然不垂直,从而11B D ⊥平面1B EF 是错误的,①错;1111D B EF B D EF V V --=,三棱锥11B D EF -中,平面1D EF 即平面11CDD C ,1B 到平面11CDD C 的距离为11B C 是定值,1D EF 中,EF 的长不变,1D 到EF 的距离不变,面积为定值,因此三棱锥体积是定值,②正确;平面1B EF 就是平面11B A DC ,而1AA 与平面11B A DC 相交,③错;长方体中CD ⊥平面11A D DA ,CD ⊂平面11B A DC ,所以平面11A D DA ⊥平面11B A DC ,即平面11A ADD ⊥平面1B EF ,④正确. 故答案为:②④.三、解答题13.(2022·四川成都·模拟预测(文))如图,四棱锥P ABCD -中,四边形ABCD 为直角梯形,,PB PD 在底面ABCD 内的射影分别为,AB AD ,222PA AB AD CD .(1)求证:PC BC ⊥; (2)求D 到平面PBC 的距离. 【答案】(1)证明见解析 3【解析】 【分析】(1)由题意可证AD PA ⊥、AB PA ⊥,则可得PA ⊥面ABCD ,即可知PA BC ⊥,又AC BC ⊥则可得BC ⊥面PAC ,即可证PC BC ⊥.(2)分别计算出BCD S 与PBC S ,再利用等体积法D PBC P BCD V V --=即可求出答案. (1)因为PB 在底面ABCD 内的射影为AB ,所以面PAB ⊥面ABCD , 又因为AD AB ⊥,面PAB ⋂面ABCD AB =,AD ⊂面ABCD 所以AD ⊥面PAB ,又因PA ⊂面PAB 因此AD PA ⊥, 同理AB PA ⊥,又AB AD A ⋂=,AD ⊂面ABCD ,AB 面ABCD 所以PA ⊥面ABCD ,又BC ⊂面ABCD ,所以PA BC ⊥,连接AC ,易得2AC =45BAC ∠=,又2AB =, 故AC BC ⊥,又PA AC A =,PA ⊂面PAC ,PA ⊂面PAC 因此BC ⊥面PAC , 又PC ⊂面PAC 即PC BC ⊥;(2)在RT PAC 中426PC =+=在RT ACB 中422BC =-把D 到平面PBC 的距离看作三棱锥D PBC -的高h , 由等体积法得,D PBC P BCD V V --=,故1133PBC BCD S h S PA ,即123213622BCD PBCS PA h S ,故D 到平面PBC 的距离为33. 14.(2022·青海·海东市第一中学模拟预测(文))如图,在四棱锥P ABCD -中,平面PCD ⊥平面ABCD ,PCD 为等边三角形,22CD AB ==,2AD =,90BAD ADC ∠=∠=︒,M 是棱PC 上一点.(1)若2MC MP =,求证://AP 平面MBD .(2)若MC MP =,求点P 到平面BDM 的距离.【答案】(1)证明见解析22 【解析】【分析】(1)连接AC ,记AC 与BD 的交点为H ,连接MH ,先证明//AP MH ,再由线面平行的判定定理即可证明.(2)由等体积法B DMP P BMD V V --=,即可求出点P 到平面BDM 的距离.(1)连接AC ,记AC 与BD 的交点为H ,连接MH .由90BAD ADC ∠=∠=︒,得//AB CD ,12AB AH CD HC ==,又12PM MC =,则AH PM HC MC =, ∴//AP MH ,又MH ⊂平面MBD ,PA ⊄平面MBD ,∴//AP 平面MBD .(2) 由已知易得3BD DM ==,3BM =,所以在等边BMD 中,BM 边上的高为32h =,所以BMD 的面积为13333224BMD S =⨯⨯=△, 易知三棱锥B PDM -的体积为116132326B DMP V -=⨯⨯⨯⨯=, 又因为B DMP P BMD V V --=,所以点P 到平面BDM 的距离为3223P BMD BMD V d S -==△. 15.(2022·贵州·贵阳一中模拟预测(文))如图,四棱锥P ABCD -中,平面,PAB ABCD ⊥平面,AB CD ∥,AB AD ⊥3,3,2,60AB AD AP CD PAB ====∠=︒.M 是CD 中点,N 是PB 上一点.(1)若3,BP BN =求三棱锥P AMN -的体积;(2)是否存在点N ,使得MN 平面PAD ,若存在求PN 的长;若不存在,请说明理由.【答案】(1)1;(2)存在,73=PN . 【解析】 【分析】 (1)证得点M 到平面PAB 的距离是3AD =,进而可求出结果; (2)证得//MN PE ,进而可证出MN //平面PAD ,从而可求出PN 的长.(1)P AMN M PAN V V --=, 由面PAB ⊥面ABCD 且交线是AB ,又DA AB ⊥,DA ⊂面PAB , 所以DA ⊥平面PAB ,又MD //AB , ∴点M 到平面PAB 的距离是3AD =, 又3BP BN =,则22123sin603332APN APB S S ==⨯⨯⨯⨯=, ∴三棱锥P AME -的体积13313=⨯⨯=. (2)存在.//,3,2AB DC AB CD==,连接BM并延长至于AD交于点E,//DM AB,∴在EAB中:13 EM DMEB AB==,∴在PBE△中:在PB上取点N,使得23 BN BMBP BE==,而13PN PB=,则//MN PE,又MN⊄平面PAD,PE⊂平面PAD,MN∴//平面PAD,在PAB△中,2212322372PB=+-⨯⨯⨯=7PN∴=。
高三文科数学第二轮复习资料
——《立体几何》专题
一、空间基本元素:直线与平面之间位置关系的小结.如下图:
二、练习题:
1.
1∥ 2,a ,b 与 1, 2都垂直,则a ,b 的关系是
A .平行
B .相交
C .异面
D .平行、相交、异面都有可能
2.三棱柱ABC —A 1B 1C 1的体积为V ,P 、Q 分别为AA 1、CC 1上的点,且满足AP=C 1Q ,则四棱锥B —APQC 的体积是 A .
V 21 B .V 31 C .V 41 D .V 3
2
3.设α、β、γ为平面, m 、n 、l 为直线,则m β⊥的一个充分条件是
A .,,l m l αβα
β⊥=⊥ B .,,m αγαγβγ=⊥⊥
C .,,m αγβγα⊥⊥⊥
D .,,n n m αβα⊥⊥⊥ 4.如图1,在棱长为a 的正方体ABCD A B C D -1111中, P 、Q 是对角
D
1 B 1
线A C 1上的点,若a
PQ =2
,则三棱锥P BDQ -的体积为
A .a 3336
B .a 3318
C .a 3
324
D .不确定
5.圆台的轴截面面积是Q ,母线与下底面成60°角,则圆台的内切球的表面积是 A 12
Q B 23Q C 2πQ D 23π
Q
6.在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,E 、F 、G 、H 分别为棱BC 、CC 1、C 1D 1、AA 1的中点,O 为AC 与BD 的交点(如图),求证: (1)EG ∥平面BB 1D 1D ; (2)平面BDF ∥平面B 1D 1H ; (3)A 1O ⊥平面BDF ; (4)平面BDF ⊥平面AA 1C .
7.如图,斜三棱柱ABC —A ’B ’C ’中,底面是边长为a 的正三角形, 侧棱长为 b ,侧棱AA ’与底面相邻两边AB 、AC 都成450
角,求 此三棱柱的侧面积和体积.
8.在三棱锥P —ABC 中,PC=16cm ,AB=18cm ,PA=PB=AC=BC=17cm ,求三棱锥的体积V P-ABC .
9.如图6为某一几何体的展开图,其中ABCD 是边长为6的正方形,SD=PD=6,CR=SC ,AQ=AP ,点S 、D 、A 、Q 及P 、D 、C 、R 共线.
沿图中虚线将它们折叠起来,使P 、Q 、R 、S 四点重合,请画出其直观图,试问需要几个这样的几何体才能拼成一个棱长为6的正方体ABCD A B C D -1111?
10. 如图10,在正四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AB=a , AA 1=2a ,M 、N 分别是BB 1、DD 1的中点. (1)求证:平面A 1MC 1⊥平面B 1NC 1;
(2)若在正四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1的体积为V , 三棱锥M-A 1B 1C 1的体积为V 1,求V 1:V 的值.
11.直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,BC AB ⊥,E 是A 1C 的中点,
ED A C ⊥1且交AC 于D ,A A AB BC 12
2
==
(如图11) . (I )证明:B C 11//平面A BC 1; (II )证明:A C 1⊥平面EDB .
A Q
B P
D
S C
R
图6
图11
D
E A 1
C B
A
C 1
B 1 A N
B
C
D A 1 B 1
C 1
D 1
图 10 M
参考答案
1.D 2.B 3.D 4.A 5.D
6.解析:(1)欲证EG ∥平面BB 1D 1D ,须在平面BB 1D 1D 内找一条与EG 平行的直线,构造辅助平面BEGO ’及辅助直线BO ’,显然BO ’即是.
(2)按线线平行⇒线面平行⇒面面平行的思路, 在平面B 1D 1H 内寻找B 1D 1和O ’H 两条关键的相交直线, 转化为证明:B 1D 1∥平面BDF ,O ’H ∥平面BDF .
(3)为证A 1O ⊥平面BDF ,由三垂线定理,易得BD ⊥A 1O , 再寻A 1O 垂直于平面BDF 内的另一条直线.
猜想A 1O ⊥OF .借助于正方体棱长及有关线段的关系 计算得:A 1O 2
+OF 2
=A 1F 2
⇒A 1O ⊥OF . (4)∵ CC 1⊥平面AC ,∴ CC 1⊥BD
又BD ⊥AC ,∴ BD ⊥平面AA 1C
又BD ⊂平面BDF ,∴ 平面BDF ⊥平面AA 1C
7.解析:在侧面AB ’内作BD ⊥AA ’于D ,连结CD .
∵ AC=AB ,AD=AD ,∠DAB=∠DAC=450
∴ △DAB ≌△DAC
∴ ∠CDA=∠BDA=900
,BD=CD ∴ BD ⊥AA ’,CD ⊥AA ’
∴ △DBC 是斜三棱柱的直截面 在Rt △ADB 中,BD=AB ·sin450
=
a 2
2
∴ △DBC 的周长=BD+CD+BC=(2+1)a ,△DBC 的面积=4
a 2
∴ S 侧=b(BD+DC+BC)=(2+1)ab ∴ V=DBC S ∆·AA ’=4
b
a 2
8.解析:取PC 和AB 的中点M 和N
∴ AMB AMB C AMB P ABC P S PC 3
1
V V V ∆---⋅⋅=
+= 在△AMB 中,AM 2
=BM 2
=172
-82
=25×9 ∴ AM=BM=15cm ,MN 2
=152
-92
=24×6 ∴ S △AMB =
21×AB ×MN=2
1×18×12=108(cm 2
) ∴ V P-ABC =3
1×16×108=576(cm 3
)
9.解:它是有一条侧棱垂直于底面的四棱锥(如图).
需要3个这样的几何体可以拼成一个正方体.
10.解:(1)取CC 1的中点P ,联结MP 、NP 、D 1P(图18), 则A 1MPD 1为平行四边形 ∴ D 1P ∥A 1M ,∵A 1B 1C 1D 1是边长 为a 的正方形,又C 1P=a ,
∴C 1PND 1也是正方形,∴C 1N ⊥D 1P .∴C 1N ⊥A 1M . 又 C 1B 1⊥A 1M ,∴ A 1M ⊥平面B 1NC 1,又A 1M ⊂平面A 1MC 1, ∴平面A 1MC 1⊥平面B 1NC 1;
(2)V=3
2a ,V M-A 1B 1C 1=V C-MA 1B 1=23111326a a a ⋅=,∴ V 1:V =112
11.证明:(I )证: 三棱柱ABC A B C -111中B C BC 11//,
又BC ⊂平面A BC 1,且B C 11⊂/平面A BC 1,
∴B C 11//平面A BC 1
(II )证: 三棱柱ABC A B C -111中A A AB 1⊥,
∴Rt A AB ∆1中,AB A B =
2
2
1,∴=∴BC A B A BC 11,∆是等腰三角形. E 是等腰∆A BC 1底边A C 1的中点,
∴⊥A C BE
1①
又依条件知 A C ED
1⊥② 且ED BE E
=③
由①,②,③得A C 1⊥平面EDB .
A Q
B
P
D
S C
R
第九题
图11
D
E A 1
C B
A
C 1 B 1 A N
B
C
D A 1 B 1
C 1
D 1
图 10
M
A
B C
D E
H
G
A 1
B 1
C 1
D 1
第九题。