线性代数期末复习提纲

【主要内容】 1、向量的内积、长度、夹角等概念及其计算方法。 2、向量的正交关系及正交向量组的含义。 3、施密特正交化方法。 4、方阵的特征值与特征向量的概念及其计算方法。
（ 1）特征值求法：解特征方程 A E 0 ；
（ 2）特征向量的求法：求方程组 A E X 0 的基础解系。
5、相似矩阵的定义 （ P 1 AP B ）、性质 ( A, B 相似
称矩阵，可逆矩阵，伴随矩阵，正交矩阵）的特殊性质。 2、熟悉矩阵的加法，数乘，乘法，转置等运算法则，会求方阵的行列式。 3、熟悉矩阵初等变换与初等矩阵，并知道初等变换与初等矩阵的关系。 4、掌握矩阵可逆的充要条件，会求矩阵的逆矩阵。 5、掌握矩阵秩的概念，会求矩阵的秩。 6、掌握分块矩阵的概念，运算以及分块矩阵求逆矩阵。
14、 设 A, B 为三阶矩阵 , A
2, B
1
,
则 2( BA) 1 =
4
(A) 4
(来自百度文库) 1
(C) 16
1
(D)
2
15、下列说法不正确的是
(A ）相似矩阵有相同的特征值。
(B ） n 阶矩阵可对角化的充要条件是它有 n 个不同的特征值。
(C） n 元齐次线性方程组 Ax 0有非零解的充要条件是 R( A) n 。
一、单项选择题
★★线性代数练习题
1 1、行列式 4
0
20 3 8 中，元素 a22 的代数余子式是 12
10
（A）
02
10
（B ）
02
（C ）
10 02
（D ）
10 02
a a2
2、二阶行列式
b
的值为
b2
(A) a 3b 3
(B) ab(b a)
(C) a 3 b 3
(D) a 2 b 2
k 21
21、下列说法正确的是 ( )。 (A) 任何矩阵经过初等行变换都可化为单位矩阵。 (B) 设方阵 A 是非奇异性的， A 经过初等行变换得到阶梯阵 B，则方阵 B 为奇异的。 (C) 初等矩阵都是可逆的。 (D) 矩阵经过初等行变换后，其秩会发生改变。
则 AB T
（ A） 1
（ B） -1
13、下列命题正确的是 B .
（ C） 2
（ D） -2
（ A）若矩阵 A, B 满足 AB O ，则有 A O 或 B O
（ B）若矩阵 A, B 满足 AB E ，则矩阵 A,B 都可逆。
（ C）若 A* 是 n 阶矩阵 A 的伴随矩阵，则 A*
n
A
（ D）若 A O ，则 A 0
线性无关；
ks s 0 只有零解
向量组 1, 2 , , s
（2）向量方程 k1 1 k2 2
性相关。
ks s 0 有非零解
向量组 1 , 2 , , s 线
方法二：求向量组的秩 R( 1, 2, , s )
（ 1）秩 R( 1 , 2 , , s ) 小于个数 s 向量组 1, 2 , , s 线性相关
式。
解法：以向量组 A ： 1 , 2 , , n 以及向量 b 或向量组 B : 1 , 2 , , m 为列向量构成
矩阵，并对其进行初等行变换化为简化阶梯型矩阵，最终断定。 2、向量组的线性相关性
判别向量组 1 , 2, , s 的线性相关、线性无关的常用方法：
方法一：（ 1）向量方程 k1 1 k 2 2
n
n
(A)
a ij Aij 0
(B)
aij Aij 0
i1
j1
n
(C)
aij Aij D
(D)
j1
n
ai1 Ai 2 D
i1
7、设 A, B 均为 n阶可逆矩阵，则下列各式成立的是
（ A） ( AB)T BT AT
(B)
(C) AB BA
(D)
(AB) 1 A 1B 1 AB A B
8、设 A 为 3 阶方阵，且行列式 A 1 ，则 2A
【要求】 1、掌握行列式的定义，熟记特殊行列式的值。 2、掌握排列与逆序的定义，会求一个排列的逆序数。 3、能熟练应用行列式的性质、展开法则准确计算行列式的值。 4、知道并会用克莱姆法则。
第二部分
矩阵
【主要内容】
1、矩阵的概念、运算性质、特殊矩阵及其性质。
2、方阵的行列式。
3、可逆矩阵的定义、性质、求法（公式法、初等变换法、分块对角阵求逆）
（ 2）秩 R( 1 , 2 , , s ) 等于个数 s 向量组 1, 2 , , s 线性无关。
（ 3）特别的，如果向量组的向量个数与向量的维数相同，
则向量组线性无关
以向量组 1 , 2 , , s 为列向量的矩阵的行列式非零；
向量组线性相关
以向量组 1, 2 , , s 为列向量的矩阵的行列式为零。
3、向量组的极大无关组的概念（与向量空间的基、齐次线性方程组的基础解系的关系） 及其求法。 基本题型： 判断向量组的相关性以及求出向量组的极大无关组。
4、等价向量组的定义、性质、判定。 5、向量组的秩与矩阵的秩之关系。 【要求】
1、掌握向量组、线性组合和线性表示的概念，知道两个向量组等价的含义。 2、掌握向量组线性相关、线性无关的定义，并会判断一个具体向量组的线性相关性。 3、知道向量组的秩与矩阵的秩的关系，会求一个具体向量组的秩及其极大无关组。 4、掌握向量空间及其基和维数的概念。
【主要内容】
第三部分 向量组的线性相关性
1、向量、向量组的线性表示：设有单个向量 b ，向量组 A ： 1 , 2 , , n ，向量组 B ： 1 , 2 , , m ，则
（ 1）向量 b 可被向量组 A 线性表示
R( 1, 2 , , n ) R( 1, 2 , , n ,b)
（ 2）向量组 B 可被向量组 A 线性表示
第四部分 线性方程组 【主要内容】
1、齐次线性方程组 Ax 0 只有零解 系数矩阵 A 的秩 未知量个数 n； 2、齐次线性方程组 Ax 0 有非零解 系数矩阵 A 的秩 未知量个数 n. 3、非齐次线性方程组 Ax b 无解 增广矩阵 B ( A, b) 秩 系数矩阵 A 的秩；
4、非齐次线性方程组 Ax b 有解 增广矩阵 B ( A, b) 秩 系数矩阵 A 的秩
（D） 1
ab
（A）
1
a
b
c d 2 2a c 2b d
a b1 a1 b1
（ B）
c d1 c1 d1
2a 2b a b
（C）
2
2c 2d c d
ab 1 a 1 b 1
（D）
cd 1 c 1 d 1
6、设 n阶行列式 D = aij
，
n
Ai
j是 D
中元素
ai
j 的代数余子式，则下列各式中
正确的是
（ C） ( A B) 1 A 1 B 1
（ D） A 1 A A*
11、设矩阵 A 1 2 3 ， B
1 0 ，则 BA 2
123 (A) 0 0 0
246
1 (B) 0
6
(C) （ 1,0,6）
(D) 7
12、设行矩阵 A a1 ,a2 , a3 , B b1, b2 ,b3 ， 且 AT B
12 1 013 4 22
特别地， 1）增广矩阵 B ( A,b) 的秩 系数矩阵 A 的秩 未知量个数 n
非齐次线性方程组 Ax b 有唯一解；
2）增广矩阵 B ( A,b) 的秩 系数矩阵 A 的秩 未知量个数 n 非齐次 线性方程组 Ax b 有无穷多解。
【要求】 1、掌握齐次线性方程组解的性质、基础解系的求法， 2、掌握非齐次线性方程组解的结构，熟悉非齐次线性方程组有解的等价条件。 3、知道齐次与非齐次线性方程组的解之间的关系。 4、会求解非齐次线性方程组。 第五部分 相似矩阵及二次型
★ 线性代数基本内容与方法
第一部分
行列式
【主要内容】
1、行列式的定义、性质、展开定理、及其应用——克莱姆法则
2、排列与逆序
3、方阵的行列式
4、几个重要公式： （ 1） A AT ； （ 2） A 1
1
；
（ 3） kA
kn A ；
A
（ 4） A *
n1
A ； （5） AB
A0 A B ； （6）
*B
A* 0B
3、设行列式 2 k 0 0 ，则 k 的取值为（
）
1 11
（A ）2
（B）- 2 或 3
（ C） 0
（D）- 3 或 2
a1 a2 a3
c1 c2 c3
4、若行列式 b1 b2 b3 =1，则 b1 b2 b3 =
c1 c2 c3
a1 a 2 a3
（A ）1
（B）2
（C）0
5、设 a， b， c， d 为常数，则下列等式成立的是
AB；
n
（ 7） aij Aij
i1
A，i 0， i
j
n
； （8） aij Aij
j
j1
A， i j 0，i j
（其中 A, B 为 n 阶方阵， k 为常数）
5、行列式的常见计算方法： （ 1）利用性质化行列式为上（下）三角形； （ 2）利用行列式的展开定理降阶； （ 3）根据行列式的特点借助特殊行列式的值
有相同的特征值 ) 。
R( A) R(B) 、 A B 、 A, B
6、判断矩阵是否可以对角化以及对角化的步骤，找到可逆矩阵 阵。
P 使得 P 1 AP 为对角矩
7、用正交变换法化二次型为标准形的步骤 : （将实对称矩阵对角化）
（ 1）写出二次型的矩阵 A . （ 2）求出 A 的所有特征值 1 , 2, , n
即得二次型的标准形 f
1 y1 2
2 y2 2
n yn2
8、正定二次型的定义及其判定方法 常用判定二次型正定的方法： （ 1）定义法 （ 2）特征值全大于零 （ 3）顺序主子式全大于零
【要求】 1 、掌握向量的内积、长度、夹角，正交向量组的性质，会利用施密特正交化方法化线 性无关向量组为正交向量组。 2、掌握方阵特征值、特征向量的概念、求法， 3、了解相似矩阵的概念、掌握化对称矩阵为对角矩阵的方法。 4、掌握二次型的概念、会用正交变换化二次型为标准形。 5、了解二次型的分类，知道正定二次型等概念及其判定方法。
R( 1, 2, , n ) R( 1, 2, , n , 1, 2, , m )
（ 3） 向量组 A 与向量组 B 等价的充分必要条件是： R( 1 , 2 , , n ) R( 1, 2 , , m ) R( 1, 2 , , n , 1, 2 , , m )
（ 4）基本题型 ：判断向量 b 或向量组 B 是否可由向量组 A 线性表示？如果能， 写出表达
0 B1 （ C） A 1 0
A1 0
（D）
0
B1
19、设 A
1a 1 ，B
20 1
1b 3 0 ，且 A 11
B T ，则
(A) a 1,b 2
(B) a 3, b 0
(C) a 3,b 2
20、设 A 可逆，则 XA B 的解是
(A) AB
(B) BA
(D) a 1,b 0
1
(C) A B
1
(D) BA
(D) 1, 2 , s 中任何一个都不能由其它向量线性表出
17、向量组 1
1
1
，
1
2
3
1 3 5 ，3 1
3
2
2
6
，
1
4
的秩为
10
.
4
2
（ A） 1
（ B） 2
（C） 3
（D） 4
0A
18、设 A, B 均为 n 阶可逆矩阵，则分块矩阵
的逆矩阵是
.
B0
0 A1
（ A）
B1 0
B1 0
（ B）
0 A1
（ D）正交的向量组一定是线性无关的。
16、 n 维向量组 1, 2 , s (3 s n) 线性无关的充要条件是
(A) 存在一组不全为零的数 k1, k2, k s使 k1 1 k2 2
ks s 0
(B) 1, 2 , s 中任意两个向量线性无关
(C) 1, 2 , s 中存在一个向量可由其它向量线性表出
(A) - 8
(B) - 2
(C) 2
(D)8
9、设 A , B 为 n 阶方阵且满足 AB O ，则
(A) A O 或 B O
(B) A B O
(C) A 0 或 B 0
(D) A B 0
10、设 A , B 为 n 阶可逆方阵，则下列各式必成立的是
（ A ） ( AB)T AT BT
（ B ） AB A B
（ 3）解方程组 ( i E A) X 0 （ i 1,2, , n ）求对应于特征值 1, 2 , , n 的特 征向量 1 , 2 , , n
（ 4）若特征向量组 1, 2 , , n 不正交，则先将其正交化，再单位化，得标准正交
的向量组 1 , 2 , , n ，记 P ( 1 , 2 , , n ) ，对二次型做正交变换 x Py ,
。
4、 n 阶矩阵 A 可逆
A0
A 为非奇异 (非退化 )的矩阵。
R(A) n A 为满秩矩阵。
AX 0 只有零解 AX b 有唯一解 A 的行（列）向量组线性无关 A 的特征值全不为零。
A 可以经过初等变换化为单位矩阵。 A 可以表示成一系列初等矩阵的乘积。
5、矩阵的初等变换与初等矩阵的定义、性质及其二者之间的关系。 6、矩阵秩的概念及其求法（ 1）定义法；（ 2）初等变换法； （ 3）向量组法。 7、矩阵的分块，分块矩阵的运算：加法，数乘，乘法以及分块矩阵求逆。 【要求】 1、 掌握矩阵的定义，熟悉几类特殊矩阵（单位矩阵，对角矩阵，上、下三角形矩阵，对