材料力学总复习(2013)

E σp
σ p ≤ σ cr = a − bλ ≤ σ s
λ0
=
a
−σs b
压杆稳定计算
压杆稳定
z 安全系数法
解决三类问题:
σ ≤ σ cr [nw ]
或
n = σ cr σ
≥ [nw ]
z 折减系数法
(1)稳定性校核 (2)确定承载力
(强度与稳定)
σ = F ≤ ϕ [σ ]
A
(3)截面设计 (试算法)
W
W = πd3
32
σ r4 =
σ
2 M
+
3τ
2 Mn
≤ [σ ]
σ r4 =
M
2
+
0.75M
2 n
≤ [σ ]
W
4
2014/1/1
压杆稳定
粗短压杆-------强度破坏 理想压杆 中长压杆-------失稳破坏
细长压杆-------失稳破坏
实际压杆 ---存在’偶然偏心’
临界力
两端铰支
μ= 1
一固定一自由 μ= 2
θ = θ ( x) －转角方程
挠度与转角的关系: θ = dy dx
挠曲线微分方程:
y′′ ⎡⎣1+ y′2 ⎤⎦ 3/2
= ± M (x) EI
2014/1/1
近似: y′′ = − M (x) EI
积分法和叠加法
2
2014/1/1
平面应力状态分析 强度理论
应力状态: 通过受力构件内一点反映该点所有截面上的 应力变化情况，称为一点的应力状态.
相当应力σ i = ?
2014/1/1
平面应力状态分析 强度理论
广义虎克定律:
εx
=
1 E
[σ
x
−
μ (σ
y
+ σ z )]
ε
y
=
1 [σ E
y
−
μ (σ
z
+
σ
x
)]
εz
=
1 E
[σ
z
−
μ(σ x
+σ
y )]
适用范围：各向同性材料，线弹性小变形范围内
2014/1/1
平面应力状态分析 强度理论
强度理论： 脆性断裂: (1)最大拉应力理论
两端固定
μ= 0.5
一固定一铰支 μ= 0.7
材料性 质
截面几何性质
Iy , Iz
Fcr
=
π 2 EI (μl)2
=
π 2 EA λ2
长细比
长度系数 (杆端约束)
杆件几何 长度
2014/1/1
临界应力总图
压杆稳定
小柔度杆 中柔度杆
大柔度杆
2014/1/1
临界应力总图
σcr
=
π2E λ2
≤
σp
λp = π
得: FN1 = 18.12kN , FN 2 = 25.62kN
(2)变形计算:
Δl1
=
FN1l1 EA1
,
Δl2
=
FN 2l2 EA2
(3)位移计算: A点变形后到达A3点.
FN1
45°
A
30°
F N2
F
A点受力图
则A点在垂直方向的位移为线段AA5.
AA5 = AA6 − A5 A6 = ΔL1 / cos 450 − A3 A6 cos 450
试求：（1）设计轴的直径D；（2）若轴的直径
D0=105mm，试计算轴的扭转角 ϕ D−A
根据给定的强 度和刚度条件
设计截面
2014/1/1
习题
解: (1)受力分析----得出最大扭矩 (关键点)
(2)由强度条件设计截面:
取较大值 (3)由刚度条件设计截面:
(4)变形计算:
M n(kNm) 4.5
+
2014/1/1
习题 图示结构，已知杆AB和AC为实心圆截面钢杆， 其直径分别为d1=12mm和d2=15mm，弹性模量 E=210GPa，荷载P=35kN。试求A点在垂直方向 的位移。 求解思路:静定结构 (1)受力分析 (2)变形计算 (3)位移计算
2014/1/1
习题
解:(1)受力分析: ∑ XA =0, ∑ YA =0
σ
y
±
⎜⎛ σ ⎝
x
− 2
σ
y
⎟⎞2 ⎠
+τ
2 x
tan2α 0
=
− σ
2τ x x −σ
y
τ max τ min
⎫ ⎬ ⎭
=
±
⎜⎛ σ ⎝
x
− 2
σ
y
⎟⎞2 ⎠
+τ
2 x
tan2α1
=
σ
x −σ 2τ x
y
2014/1/1
α1
=
α0
±
π 4
平面应力状态分析 强度理论
主应力: 主平面上的正应力 σ 1 ≥ σ 2 ≥ σ 3（按代数值排列）
Iz
=
bh3 12
Wz
=
bh3 12
2 h
=
bh2 6
圆形截面
∫ Ip = A ρ 2dA = Iz + I y Ip = 2Iz
Iz
=
Ip 2
= πd4 64
Wz
=
πd4 64
2 d
=
πd3 32
Wz 为抗弯截面模量
2014/1/1
弯曲变形
挠度: 横截面形心在垂直于梁轴方向的位移.
y = f (x) －挠曲线方程 转角: 横截面的角位移
解决三类问题
变形及 Δl = FNl ≤ [Δl] ε = Δl ε' = −με
刚度条件 EA
l
拉压超静定问题
∗ 应力、弹性模量及剪切模量的单位：
1Pa=1N/m2 , 1MPa=106Pa , 1GPa=109Pa。
节点变形图
2014/1/1
剪切
联接件的实用计算
剪切
τ = FQ ≤ [τ ]
AQ
危险点处－单向应力
σ+ max
≤ [σ + ]
σ− max
≤ [σ − ]
组合变形
弯扭组合：
危险截面－截面A
危险点－ a 与 b
σ
M
=
M W
τ Mn
=
Mn Wp
=
Mn 2W
应力状态－单向＋纯剪切
强度条件（塑性材料, 圆截面）
σ r3 =
σ
2 M
+
4τ
2 Mn
≤ [σ ]
σ r3 =
2014/1/1
M 2 + M n2 ≤ [σ ]
2014/1/1
σ max
=
FN A
+
M max Wz
危险点处－单向应力
σ max ≤ [σ ]
偏心压缩：
组合变形
外力向形心简化→ 压弯组合 M y = Fez Mz = Fey
σN
=
−
F A
σM
=
−
Myz Iy
−
Mz Iz
y
σ = − F − Fez z − Fey y
2014/1/1
A Iy
Iz
______,_______,_______,_______,四个阶段. (4)材料性能的三个基本假定为:______,_____,___.
2014/1/1
轴向拉伸与压缩
外力 F 外力合力的作用线沿杆件轴线方向
内力FN 轴力(离开截面为正)-- 截面法求解
应力及 σ = FN ≤ [σ ]
强度条件
A
2014/1/1
材料力学总复习
考试时间: 2014-1-16 13:30-15:30
考试地点: B201, B203, B214 注意: 带好计算器, 钢笔, 铅笔, 尺子
2014/1/1
材料力学
变形体静力学
(14- 22章)
变形体动力学
(23章)
2014/1/1
研究对象
变形体静力学（14-22章） 构件(一维)
弯拉(压）组合分析：
□ 应力一般公式
σ = Myz + Mzy
Iy
Iz
□ 中性轴方程
σ = Myz + Mz y =0
Iy
Iz
2014/1/1
□ 最大应力位置
位于离中性轴 最远点a与b 处
外载荷 内力 应力
强度
内力－FN，Mmax
σN
=
FN A
σM
=
M max y Iz
σ
=σN
+σM
=
FN A
+ M max y Iz
2014/1/1
a ≥ Pb = 60mm 2[τ ]t
习题
图示为装有四个带轮的一根实心圆轴的计算简图。已
知T1=1.5kN-m，T2=3kN-m，T3=9kN-m，T4=4.5kN-m；各
轮的间距为l1=0.8m，l2 =1.0m，l3 =1.2m；材料
[τ ] = 80MPa,[θ ] = 0.3° / m ,G=8×104MPa。
2014/1/1
安全系数
习题
解: (1)破坏载荷: Pb = σ b A
(2)剪切强度条件:
d1 ≥
2Pb = 19.55mm π[τ ]
(3)挤压强度条件:
d2
≥
Pb [σ c ]t
=
37.5mm
(4)净截面强度条件:
b ≥ Pb + d = 115mm [σ ]t
(5)端部剪切强度条件:
d ≥ max{d1, d2} = 37.5mm
− σ1 )2
⎤ ⎦
≤
[σ
]
3
平面应力状态分析 强度理论
一种常见应力状态的强度条件---单向、纯剪切联合作用
组合变形
2014/1/1
塑性材料：
σ r3 = σ 2 + 4τ 2 ≤ [σ ], σ r4 = σ 2 + 3τ 2 ≤ [σ ]
2014/1/1
2014/1/1
斜弯曲：
组合变形
组合变形
习题 在图示结构中，AB为刚性杆，1和2杆EA相同。试 写出求解两杆内力的方程。 解: 一次超静定结构. 求解思路: (1)受力分析—列平衡方程 (2)建立变形协调条件 (3)联立求解内力
2014/1/1
5
2014/1/1
习题
矩形截面(30mm×5mm)低碳钢拉伸试件如图所示。试件 两端开有圆孔，孔内插有销钉，载荷通过销钉传递至 试件。试件和销钉材料相同，其抗拉强度σb=400MPa 许用应力[σ]＝160MPa [τ]＝100MPa [σc]=320MPa 在试验中为了确保试件在端部不被破坏，试设计试件 端部的尺寸a、b和销钉的直径d 。
2014/1/1
_ 1.5
4.5
扭矩图
x(m)
习题
直径d=100mm两段机轴用法兰和螺栓联接成传动轴。轴 受扭时的最大剪应力为70Ma，螺栓的直径d1=20mm，布 置 在 D0=200mm 的 圆 周 上 。 设 螺 栓 的 许 用 剪 应
,τ max
=
Mn Wp
≤
[τ
⎧ ]⎨
I
p
⎩
=
πd 4 32
,Wp
=
πd 3 ⎫ ⎬
16 ⎭
ϕ=
Mnl , GIp
⎛ ⎜⎜⎝
Mn GIp
⎞ ⎟⎟⎠max
≤ [θ ]
z 注意单位换算:
1 rad / m = 180 (o )/m π
2014/1/1
解决三类问题
弯曲内力
z 剪力FS 及弯矩M: 截面法, 注意正负号规定.
σ r1 = σ1 ≤ [σ ]
(2)最大伸长线应变理论
σ r2 = σ1 −ν (σ 2 + σ 3 ) ≤ [σ ]
塑性流动: (3)最大切应力理论
σ r3 = σ1 − σ 3 ≤ [σ ]
(4)形状改变比能理论
2014/1/1
σr4 =
1 2
⎡⎣(σ1
−σ2
)2
+
(σ 2
−σ3
)2
+
(σ 3
2014/1/1
dFs (x ) = q(x )
dx
dM (x) dx
=
Fs ( x)
dM 2(x) dx2
=
q( x)
注意： q 向上为正 x 向右为正
弯曲应力
z 弯曲正应力及强度条件:
σ (y) = My Iz
σ max
=M Wz
≤
[σ
]
⎧[σ ⎨⎩[σ
t c
] ]
非对称截面注
意验算上下边 缘
z 弯曲切应力及强度条件:
研究方法: 环绕研究点切取微元体. 研究目的: 为构件的强度分析，提供更广泛的理论基础
仅在微元体四个侧面作用应力 －平面应力状态
2014/1/1
平面应力状态 的一般形式
平面应力状态分析 强度理论
分析方法: 图解法和数解法 斜截面定义：方位用α表示；应力为 σα , τα 符号规定：
n 正应力－拉应力为正; 切应力τ －使微体沿 3 旋转者为正
o 方位角 α － 以 x 轴为始边、4 者为正
σα
=
σx
+σy 2
+σx
−σ y 2
cos2α
−τ xsin2α
τα
=
σx
−σ y 2
sin2α
+τ xcos2α
2014/1/1
平面应力状态分析 强度理论
主应力: 主平面上的正应力
用公式时注 意应力正负
号
σ max σ min
⎫ ⎬ ⎭
=
σ
x
+ 2
τ
(y)
=
FQ
S
* z
Izb
τ max ≤ [τ ]
仅用于矩 形和工字
型截面
z σ 与τ 联合作用强度条件:
σ r3 = σ 2 +4τ 2 ≤[σ ] σ r4 = σ 2 + 3τ 2 ≤[σ ]
仅用于 工字型
截面
2014/1/1
计算中注意 单位换算
弯曲应力
z 与弯曲应力计算有关的截面几何性质
矩形截面
=
ΔL1 cos 450
−
A4 A6 sin 750
sin 600
=
ΔL1 cos 450
−
AA6 − AA4 sin 750
sin
600
= ΔL1 − ΔL2 / cos 450 − ΔL1 / cos 300 sin 600 = 1.37mm
cos 450
sin 750
2014/1/1
A点位移图
挤压
σc源自文库=
Fc Ac
≤ [σ c ]
σc
≈
Fc δd
净截面强度
σ
j
=
F Aj
≤ [σ ]
2014/1/1
剪切面
1
2014/1/1
扭转
外力偶矩T: 内力扭矩Mn:
{T }N⋅m
=
{P} 9549 {n} kW
r / min
截面法, 注意正负号规定
应力及 强度条件 变形及 刚度条件
τρ
=
Mnρ Ip
Fs(+)
Fs(+)
Fs(–)
Fs(–)
M(+)
M(+) M(–)
M(–)
z 内力图中控制截面 (极值处,载荷变化处,梁端截 面等)的数值必须标明.内力单位需注明.
2014/1/1
弯曲内力
q、Fs和M三者的微分关系： q(x)
x dx
y
q(x)
M(x)
Fs(x)+dFs (x) A
Fs(x) dx M(x)+d M(x)
可能的变形
轴向拉压
剪切 扭转 弯曲
拉杆 压杆
承 载 能 力
强度 刚度
强度 刚度 稳定
2014/1/1
强度 强度 刚度
组合变形
强度 刚度
强度
变形体静力学 习题: (1)所谓______,是材料或构件抵抗破坏的能力;
所谓______,是构件抵抗变形的能力. (2)构件的承载力包括___,___和___三个方面. (3)低碳钢在拉伸过程中,依次表现为