曲面积分与高斯公式
1、第一类曲面积分
(１）问题得提出
设有一块光滑得金属曲面Ｓ 。它得密度就是不均匀得。在其点(ｘ,y ，z)处密度为f(x,y,z),并设ｆ在Ｓ上连续,则金属曲面S 得质量M
说明: 第一类曲面积分与曲面得方向(侧）无关
(2）第一类曲面积分得计算
（代入法）设S 就是一个光滑曲面, S 得方程就是Z=f(x,y) ,
当 ｆ1时可得空间曲面面积得计算公式,即
例1.I=，S 就是半球面（)。
解:,
,
⎰⎰⎰⎰⎰⎰-=--+=+πθ2002222222221R D s rdr r R r d R dxdy y x R R y x ds y x
＝
２、 第二类曲面积分
(1）问题得提出
磁通量问题。表示
说明:第二类曲面积分与方向(侧）有关,改变方向,积分变号
(２)计算（代入法) 用带入法计算时，一般应分成三个计算：
①(如果曲面积分取得上侧取号,如果曲面积分取得下侧取-号)、
类似有
②(如果曲面积分取得前侧取号,如果曲面积分取得后侧取-号)。
③(如果曲面积分取得右侧取号,如果曲面积分取得左侧取-号)、
例２：计算曲面积分,其中就是圆面下侧。
分析： 由于在上， ,所以
π22)2()2(2)(2⎰⎰⎰⎰⎰⎰-=-=-=-+++∑∑D
dxdy dxdy z dxdy z xydzdx dydz x z
评论：本题展示得化简积分得方法就是非常重要得。
例3:计算曲面积分,其中就是旋转抛物面介于平面及之间得下侧
分析:
可直接代公式计算, 而需要分成前后两部分分别计算、
解:(略)
(3)高斯公式
设 Ｄ 就是Ｒ内得一个有界闭区域，其边界由光滑曲面或逐片光滑曲面组成,方向就是外侧(相对于区域Ｄ而言）。又设函数P ，Ｑ，Ｒ都在D 内关于 x,ｙ,z 有连续偏导数,则下列高斯公式成立：
由Gau ｓs 公式可计算某些空间立体积分
V=
例４ 计算, 式中Ｓ为球面得内侧
解 由高斯公式 知
=
例5：计算曲面积分
其中为曲面得上侧。
【分析】(补面法)本题曲面不封闭,可考虑先添加一平面域使其封闭,在封闭曲面所围成得区域内用高斯公式,而在添加得平面域上直接投影即可。
【详解】 补充曲面：，取下侧、 则
＝
其中为与所为成得空间区域，D 为平面区域
、
由于区域Ｄ关于x 轴对称，因此、
又 =
其中、 【评注】 （1）注意在计算过程中尽量利用对称性进行简化。本题也可通过直接投影进行计算,但计算过程比较复杂。
(２）本题中得三重积分计算用“先二后一”法,若用“先一后二”法计算量就是大得
例６:计算
外侧。
分析：该题，它们在S 所包围得区域内不连续(在原点没定义,偏导数不存在)，所以不能用高斯公式。
详解：
由积分表达式及S 得对称性知
所以
记上半球（上侧)为S 上,记下半球(下侧)为S 下
⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰--=------=+=D
D S D S S y x a dxdy y x a dxdy y x a dxdy z dxdy z dxdy z dxdy 2222222222下上
所以
