初中数学培优讲座3 三数和的完全平方公式
三个数和的平方公式:ca bc ab c b a c b a 222)(2222+++++=++
证明：
222
2
)(2)(])[()(c c b a b a c b a c b a ++++=++=++
ca bc ab c b a c bc ac b ab a 2222222222
22+++++=+++++=
∴等式成立
语言描述：三数和的平方，等于这三个数的平方和加上每两数的积的2倍。
一般地，我们有
即三个数的和的平方，等于它们的平方和，再加上每两个数的积的2倍。
这个公式叫做（乘法的）三数和的完全平方公式。
扩展：几个数的和的平方，等于这几个数中每个数的平方和加上其中每两个数的积的2倍。 练习：运用三数和的完全平方公式计算：
（1）2
()a b c -+；
（2）2()a b c +-；
（3）2()a b c --；
（4）2()a b c --+。
例1 运用三个数的完全平方公式计算：
（1）2(2)x y z ++； （2）（a-2b+c ）2； （3）2(3)m n --。
解：（1）2222(2)(2)2(2)2(2)2x y z x y z x y y z z x ++=+++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ 2224442x y z xy yz xz =+++++；
（2）2222
(2)(2)2(2)2(2)2a b c a b c a b b c c a -+=+-++⨯⨯-+⨯-⨯+⨯⨯ 2224442a b c ab bc ac =++--+；
（3）2
(3)m n -- 222()(3)2()2()(3)2(3)()m n m n n m =+-+-+⨯⨯-+⨯-⨯-+⨯-⨯
229266m n mn n m =++-+-222669m mn n m n =-+-++。
例2 已知4a b c ++=，4ab bc ac ++=，求222a b c ++的值．
解： 2222()2()8a b c a b c ab bc ac ++=++-++=．
例3 运用三数和的完全平方公式计算：
（1）2213； （2）2
128。
解：（1）22222213(200103)200103220010210323200=++=+++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ 4000010094000601200=+++++
45369=；
（2）22
128(100302)=+- 22210030(2)210030230(2)2(2)100=++-+⨯⨯+⨯⨯-+⨯-⨯
1000090046000120400=+++--
16384=。
强化训练：
1．运用三数和的完全平方公式计算：
（1）2(3)x y z --； （2）2(14)y z +-；
（3）2(32)a b c --+； （4）22(2)x x -+；
（5）2(234)x y z ++； （6）2(34)x y z --。
2．下面各式的计算错在哪里？应该怎样改正？
（1）2222()
222a b c a b c ab bc ca ---=------； （2）2
222()222a b c a b c ab bc ca -++=-++-+-。 3．运用三数和的完全平方公式计算：
（1）2142； （2）2128。
4．已知1113,4,5201020
a x
b x
c x =+=+=+，求代数式222222a b c ab bc ac ++--+的值．
5．已知,,a b c 为三角形的三边，2228a b c ++=，4ab bc ac --=，求a b c +-的值．
6.有理数a 、b 、c 满足下列条件:a+b+c=0且abc<0,那么
111a b c
++的值是( ). (A)是正数 (B)是零
(C)是负数 (D)不能确定是正数、负数或0
知识拓展：
因为ca bc ab c b a a c c b b a 222222)()()(222222---++=-+-+-
=)(2222ca bc ab c b a ---++
所以ca bc ab c b a ---++222=2
1])()()[(222a c c b b a -+-+-（熟记该公式）
应用举例：
【例4】已知2002007a x =+，2002008b x =+，2002009c x =+，求多项式222a b c ab bc ac ++---的值． 解：因为ca bc ab c b a ---++222=
21])()()[(222a c c b b a -+-+- 又a-b =－1,b-c=－1,c-a=2
所以ca bc ab c b a ---++222=
21])()()[(222a c c b b a -+-+- =2
1]2)1()1[(222+-+-=3 【例5】．已知三角形 ABC 的三边长分别为a,b,c 且a,b,c 满足等式22223()()a b c a b c ++=++，请说明
该三角形是什么三角形？
解：∵22223()()a b c a b c ++=++
∴ 3（)222c b a ++=ca bc ab c b a 222222+++++
即)(2222ca bc ab c b a ---++=0
所以2
22)()()(a c c b b a -+-+-=0
因为三个非负数的和为0，则每个都等于0
所以a=b=c,所以△ABC 是等边三角形.
练习：
7.如果-1,那么x 2+y 2+z 2-xy-yz-zx=____________
8.已知a 十x 2=2011，b ＋x 2=2012,c ＋x 2=2013，且abc=24，则
c
b a ab
c ac b bc a 111---++=______________.
9.若a,b,c 是实数,且2+b 2+c 2=4,则(a-2b+c)1994=______.
10.如果：a ≠0，14(a 2+b 2+c 2)=(a+2b+3c) 2，那么，a ∶b ∶c=______．
