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水静力学

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1 水静力学

1 水静力学

△
作用在ABD上 的静水压力 △ FPy 图 微元四面体受力分析
• ①表面力：
（只有各面上的垂直压力即周围液体的静水压力）
dPx dPy dPz dPn
1 px dAx px dydz 2 1 p y dAy p y dxdz 2 1 pz dAz pz dxdy 2 pn dAn
dU fxdx fydy fzdz dp ( fxdx fydy fzdz )
故，dp dU 积分得，p U C 若已知平衡液体边界压强为p0 , 力势函数为U 0，则积分常数为 C p0 U 0 则p （U U 0） p0
巴斯加原理：平衡液体中，边界上的压强
②.自由液面
2 C gz0 1 2 2 r g ( z z0 ) 2 1 2 2 r g ( zs z0 ) 2
式中， (x,y,z) 为液面任意点坐标
为使 z 坐标与液体内部点(x,y,z)区分，用
zs 表示自由液面的铅垂坐标
③.静水压强的分布规律
p p0 g ( zs z) p0 gh
液体的平衡状态
1 静止状态：相对于地球没有相对运动，处于相对静止状态；
2 相对平衡状态：整个液体对于地球而言具有相对运动，但是
液体对于容器或者液体内部质点之间没有相对运动，处于相对
平衡。
dv 0 da 0
水静力学中，无需区分理想液体与实际液体。
1-1 静水压强及其特性
一、静水压强
静水压力：是指液体内部相邻两部分之间相互作用的力或指液体对固
(3)在静止液体中，位于同一深度(h＝常数)的各点的静压 强相等，即任一水平面都是等压面。

水力学 水静力学 水静力学

水力学 水静力学 水静力学
0
压力中心位置：
0.6
Ph D dP h

1 h 2 [0.5 2 (0.6 h) cot 600 ]dh 0.37m P 0
1 hD dP h P0
h
受压面为梯形，是对称图形，所以其压力中心位于对称轴上。
§2.5 平面上静水总压力计算 2.5.1 图解法（矩形平面）
PyD ydP gyy sin dA
A
g sin y 2 dA g sin I x
A
yD
g sin I x
P

g sin I x I x g sin yc A yc A
2 （惯性矩平行移轴定理 ） I x I C Ayc
yD
2 I xC Ayc I yc C yc A yc A
dx 1 p pM p x , y, z p dx 2 2 x dx 1 p pN p x , y, z p dx 2 2 x
质量力在x轴的分量为：
fx dx dy dz
X方向的平衡方程：
1 p 1 p dx dydz p dx dydz f x dxdydz 0 p 2 x 2 x
2.3
重力场中流体静压强的分布规律
液体中任一点的压强为：
dp ( f x dx f y dy f z dz )
质量力只有重力：fx＝ fy ＝0， fz ＝－g，可得：
dp gdz
p c z c 积分可得： p gz g g p C 也可变形为 z g
微小面元dA上水压力
dP pdA ghdA
作用在平面上的总水压力 是平行分布力的合力

第二章 水静力学

第二章 水静力学

第二章 水静力学水静力学（Hydrostatics ）是研究液体处于静止状态时的力学规律及其在实际工程中的应用。

“静止”是一个相对的概念。

这里所谓“静止状态”是指液体质点之间不存在相对运动，而处于相对静止或相对平衡状态的液体，作用在每个液体质点上的全部外力之和等于零。

绪论中曾指出，液体质点之间没有相对运动时，液体的粘滞性便不起作用，故静止液体质点间无切应力；又由于液体几乎不能承受拉应力，所以，静止液体质点间以及质点与固壁间的相互作用是通过压应力（称静水压强）形式呈现出来。

水静力学的主要任务是根据力的平衡条件导出静止液体中的压强分布规律，并根据其分布规律，进而确定各种情况下的静水总压力。

因此，水静力学是解决工程中水力荷载问题的基础，同时也是学习水动力学的基础。

§2-1 静水压强及其特性1．静水压强的定义 在静止的液体中，围绕某点取一微小作用面，设其面积为ΔA ，作用在该面积上的压力为ΔP ，则当ΔA 无限缩小到一点时，平均压强A P ∆∆/便趋近于某一极限值，此极限值便定义为该点的静水压强(Hydrostatic Pressure)，通常用符号p 表示，即dA dP A P p A =∆∆=→∆0lim (2-1) 静水压强的单位为2/m N (Pa(帕))，量纲为[][]21--=T ML p 。

2．静水压强的特性静水压强具有两个重要的特性：(1)静水压强方向与作用面的内法线方向重合。

在静止的液体中取出一团液体，用任意平面将其切割成两部分，则切割面上的作用力就是液体之间的相互作用力。

现取下半部分为隔离体，如图2-1所示。

假如切割面上某一点M 处的静水压强p 的方向不是内法线方向而是任意方向，则p 可以分解为切应力τ和法向应力p n 。

从绪论中知道，静止的液体不能承受剪切力也不可能承受拉力，否则将平衡破坏，与静止液体的前提不符。

所以，静水压强唯一可能的方向就是和作用面的内法线方向一致。

(2)静水压强的大小与其作用面的方位无关，亦即任何一点处各方向上的静水压强大小相等。

第二部分 水静力学

第二部分 水静力学

§2—2 液体平衡的微 分方程及其积分
1．液体平衡的微分方程
设正交六面体中心 点处的静水压强为p，是 坐标的连续函数，即 p=p(x,y,z)，用泰勒级数 展开得M和N点的压强为
pM

p 1 p dx 2 x
pN

p
1 p dx 2 x
ABCD面上的力（p 1 p dx)dydz 2 x
dp=ρ(Xdz+Ydy+Zdz)
积分：p= —ρ（a x +g z）+ C
由边界条件x = z = 0 ,p = p0 C = P0对任一点B（x ，y ）
p p0 (ax gz)

p0

(a g
x

z)

p0

a g
x z
p0 (z z ) p0 h
pc p0 h2 p0 h1 (h2 h1) pA h
p p0 h
水静力学基本方程常用表达式 说明：
(1) 静水压强随深度按线性规律增加。
(2) 液体内任一点的静水压强由两部分组成， 一部分是自由液面上的表面压强po； 另一部分是单位面积上的垂直液柱重量γh 。
§2-3重力作用下静水压强的分布规律
思考： 点A质量为M的液体： 静止时有重力Mg，方向？与Z轴方向？？在X、Y轴方向的投影为？ 则：单位质量力为Mg / M = g ，方向？？
任一点的单位质量力均为g，方向？？
1 ．水静力学基本方程
dp=ρ(Xdz+Ydy+Zdz)
液体平衡微分方程综合式
X 0, Y 0, Z g
思考： 平面上各点的静水压力方向？？ 曲面上各点的静水压力方向？？

2第二章 水静力学

2第二章 水静力学
Байду номын сангаас
A
p0 h z z0
式中，h=z0-z 表示该点在自由面以下的液柱高度。 上式即计算静水压强的基本公式。它表明，静止液体内任 意点的静水压强由两部分组成：一部分是自由面上的气体 压强p0（当自由面与大气相通时， p0=pa ，为当地大气压 强），另一部分是γh ，相当于单位面积上高度为 h 的水柱 重量。
∆P dP = ∆A→0 ∆A dA lim
静水压力的单位为N或kN； 静水压强的单位为Pa或kPa 。
• 二、静水压强的特性
静水压强有两个重要的特性： 1．静水压强的方向与受压面垂直并指向受压面（垂直指向性）
在平衡液体中静水压强的方向与作用面垂直并指向作用面， 即静水压力只能是垂直的压力。
2．静水压强各向同性（各向等值性）：任一点静水压强的大 小和受压面方向无关，或者说作用于同一点上个方向的静水压 强大小相等。
dp = ρ(−adx − gdz) 积分得 p = ρ(−ax − gz) + C
当x=z=0时，p=p0，故C=p0，从而 a p = ρ(−ax − gz) + C 或 p = p0 + γ (− x − z)
g
令p0=98kPa，x=-1.5m，z=-1.0m，代入上式，得Ａ点压强为
p A = 98 + 9.8[− 0.98 (−1.5) − (−1.0)] = 109.27kPa 9.8
例题分析
一洒水车，以0.98m/s2的等加速度向前行驶，设以水面中心点为 原点，建立xOz坐标系，试求自由表面与水平面的夹角θ；又自 由表面压强p0=98kPa，车壁某点A的坐标为x=-1.5m，z=-1.0m， 求A点的压强。
例题分析

水力学课件 第一章 水静力学

水力学课件 第一章 水静力学

§1.1 静水压强及其特征
联立上面各式代入后得：
1 2
pxyz
1 2
pnyz
1 6
xyzf x
0
1 2
p y xz
1 2
pnxz
1 6
xyzf y
0
1 2
pz xy
1 2
pnxy
1 6
xyzf z
0
联立上面各式代入后得：
1 2
pxyz
1 2
pnyz
1 6
xyzf x
0
1 2
p y xz
1 2
pnxz
§1.4 等压面
一、等压面(Isobaric Surface)：在平衡的液体中， 由压强相等的各点所组成的面叫做等压面。 等压面的重要特性是： 1.在静止的或相对平衡的液体中，等压面同时也是
等势面(Isopotential Surface)。 dp dU
2.在相对平衡的液体中，等压面与质量力正交。
条件：只适用于静止、同种、连续液体
三、气体压强计算
p p0
§ 1.5几种质量力同时作用下的液体平衡
z
gm h z
zs
o
x
以z轴为对称轴的旋转抛物面方程：
R
o
r
x
m
F
y 1 2rBiblioteka gz C 2§ 1.5几种质量力同时作用下的液体平衡 平衡微分方程： dp ( fxdx f ydy fzdz) 质量力：离心惯性力和重力 F m 2r, mg 单位质量力： fx 2 x, f y 2 y, fz g 自由面上压强不变为大气压： dp 0
§ 1.5几种质量力同时作用下的液体平衡
2、圆筒中液体内任一点静水压强分布规律：

水力学-第二章水静力学

水力学-第二章水静力学
在压强的变化。
13
水力学 液体平衡的全微分方程 2.
Xdx Ydy Zdz
第 二 章 水 静 力 学
3、等压面
1

dp
Xdx Ydy Zdz 0
W X x W Y y W Z z
力势函数
W W W dx dy dz dp x y z
p g (
2r 2
2g
z) c
由边界条件：x = y = z = 0，p = p0 则得
Ｃ＝p0
p p 0 g (
则
r
2 2
2g
z)
47
水力学
静水总压力Static Surface Forces
第 二 章 水 静 力 学
平面压力Forces on plane areas
水力学
相对压强
第 二 章 水 静 力 学
pr pabs pa
真空压强
pv pa pabs
A
A点相 对压强 大气压强 pa A点绝 对压强
压强
相对压强基准
B
B点真空压强
B点绝对压强 绝对压强基准
O
O
水力学
p 3、 z C 的物理意义和几何意义 g
第 二 章 水 静 力 学
p dxdydz Xdxdydz 0 x
10
水力学
以ρdxdydz 除以上式各项，并化简，
第 二 章 水 静 力 学
得x方向的液体平衡微分方程。同 理可得出其他两个方向的液体平衡微分 方程
（Differential equation of liquid equilibrium)。
11
作用 点…… 记住了 吗？ ？

[理学]2第二章水静力学

[理学]2第二章水静力学

2. 若平衡液体具有与大气相接触的自由表面，则自由表面 为等压面，因为自由表面上各点的压强都等于大气压强。 3. 不同流体的交界面也是等压面。 此外，应用等压面概念时，必须注意等压面以下的液体是相 连通的同种液体。
实际应用：
对于相连通的同一种连续介质，淹没深度相同的各点静水压强 相等，故水平面即是等压面。但必须注意，这一结论只适用于 质量力只有重力的同一种连续介质。对于不连续的液体（如液 体被阀门隔开），或者一个水平面穿过了两种不同介质，则位 于同一水平面上的各点，压强并不相等，即水平面不一定是等 压面。
• 1. 表面力
作用于六面体的表面力，为周围液体对六面体各表面上 所作用的静水压力。 垂直于 x 轴的左右两 个平面中心点上的静 水压强分别为：
p 1 p 1 p dx 和 p dx 2 x 2 x
则静水压力分别为：
1 p p dx dydz 和 2 x 1 p dx dydz p 2 x
p A 98 9.8[ 0.98 (1.5) (1.0)] 109 .27 kPa 9.8
a x z )中的p=p0，得自由表面方程为ax+gz=0 g
再令
p p 0 (
从而它与水平面的夹角为 a 0.98 q arctg arctg 543 g 9.8
章节设置
• • • • • 第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 静水压强 液体平衡微分方程 重力作用下的静力学基本方程 作用在平面壁上的静水总压力 作用在曲面壁上的静水总压力
学习要点
• 1、静水压强的两个重要的特性和等压面的性 质。 • 2、静水压强基本公式和物理意义，静水压强 计算。 • 3、静水压强的单位和三种表示方法： 绝对压强、相对压强和真空度；理解位置 水头、压强水头和测压管水头的物理意义和几 何意义。

水静力学

水静力学
A
O φ ZD D
B
解：闸门前水深为
h R sin 2 sin 45 1.414m

h
α
R
水平分力： Px pc Ax hc Ax 9.8
1 1 2 铅直分力： Pz V ( R h h)b 22.34kN 8 2 P Px2 Pz2 45.11kN 静水总压力的大小：
表示在重力作用下静止流体中各点的测 压管都相等
例题2-1（见教材）
2-2
重力作用下的液体平衡
等压面：静水压强值相等的点连接成的 面，质量力仅为重力时，为水平面。 两水平面为等压面的判定条件 A、质量力仅为重力 B、两水平面被同一种液体联通
找出下列4组水平面中的等压面？
油 8 6 9 7
3
1 4 水 2 5
例题2-2（见教材）
2-4
作用在平面上的静水总压力
p p0 gh
作用在矩形平面上的静水总压力-图解法 作用在任意平面上的静水总压力-解析法
2-4
作用在平面上的静水总压力
作用在矩形平面上的静水总压力-图解法 1、静水压强分布图 静水压强p与水深h呈线性关系，把受压面上压 强与水深的这种函数关系表示成图形，称为静水 压强分布图。其绘制原则为： （1）用箭头长度代表该点静水压强的大小。 （2）用箭头的方向表示静水压强的方向，必须 垂直并指向受压面。 步骤：选择矩形平面水面下的上下两点，计算 压强大小，定性绘出两点的箭杆长度，连接箭杆 尾端，标注两点压强大小，图形中间以箭头填充。
2-2
2
h1
重力作用下的液体平衡
Z：位置水头， 单位位能
h2
静水压强基本方程式
p

第2章水静力学

第2章水静力学
+13598×9.8×0.3-9.8×800×0.2 +13598×9.8×0.25-9.8×1000×0.6 =67805.2（Pa）=67.8(KPa)
第二章 水静力学
例题图示
第二章 水静力学
二、静水压强分布图
根据静水力学基本方程及静水压 强的两个特性，可用带箭头的直线表 示压强的方向，用直线的长度表示压 强的大小，将作用面上的静水压强分 布规律形象而直观地画出来。
w
FP pc w
w w
依力矩定理， P yD y dP y gy sin dw g sin y 2 dw
2 2 I I y y dw 其中 为平面对Ob轴的面积惯性矩，记为 x c c w
整理可得静水总压力的压心位置： yD yc
dP ghdw gy sin dw
P dP gy sin dw
w w
P dP
O （b） α h C dw M（x,y） C D YC
hc
D
g sin ydw
w
y
x
其中 为平面对Ox轴的面积矩 P g sin yc w ghc w 所以静水总压力的大小为
1 0.1 12h 6
得
4 h m 3
第二章 水静力学
【例题】一垂直放置的圆形平板闸
门如图所示，已知闸门半径R=1m， 形心在水下的淹没深度hc=8m，试用 解析法计算作用于闸门上的静水总压 力。 解：
R4pc w ghc R2 9.8 8 12 246kN
水静力学的主要内容
§2-1 静水压强 §2-2 静水压强的分布规律 §2-3 作用在平面上的静水总压力 §2-4 作用在曲面上的静水总压力

水静力学

水静力学

yzp ⊿⊿⊿zx xp p ynp xz ynACB 0证：取图示微分四面体，四个面上的平均静水压强分别为n z y x p p p p ,,,，则⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧∆∆∆∆∆∆∆sp y x p z x p z y p n z y x 212121 表面力⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∆∆∆∆∆∆∆∆∆z y x Z z y x Y z y x X 616161ρρρ 沿x 方向力的平衡方程：031=∆+-x X p p n x ρ取微分四面体无限缩至o 点的极限n x p p =同理n z y x n z n y p p p p p p p p ===∴==故任意点压强仅是空间坐标的函数而与受压面方位无关。

§2-2重力作用下静水压强的分布规律 一、水静力学的基本方程质量力只有重力：g Z Y X -===,0,0 或γγ2211p z p z +=+——重力作用下水静力学的基本方程。

对于液面点与液体内任意点h p p pz p h z γγγ+=→+=++00——水静力学基本方程的常用表达式说明：（1）当 2121z z p p ><，位置较低点压强恒大于位置较高点压强。

液面压强0p由γh 产生的压强（3）p 随h 作线性增大。

（4）常用a a p h p p ,γ+=为大气压强，取p a =1个工程大气压=98kN/m 2。

（5）h p p ∆+=γ12二、等压面1、定义：在同一种连续的静止液体中压强相等的点组成的面2、等压面方程：0=dp 0=++Zdz Ydy Xdx质量力（2）任一点压强由两部分组成 相互独立3、特性：（1）平衡液体中等压面即是等势面。

C W dW dp =→==0ρ （2）等压面与质量力正交证明：作用在等压面上的单位质量力k Z j Y i X f ρρρρ++=沿微小位移k dz j dy i dx s d ρρρρ++=移动所做功0=++=•Zdz Ydy Xdx s d f ρρ，即f ρ与s d ρ垂直。

第2章水静力学

第2章水静力学
p pabs pa pv 7 104 Pa
例2：若当地大气压强相当于700mm汞柱高，试将绝对压强 pabs=19.6×104N/m2用其不同的单位表示。 解: (1)对于绝对压强 ①用水柱高度表示
h水 10m 4 9.8 10 Pa 19.6 104 Pa
10 19.6 104 h水 = =20m 4 9.8 10
p2/γ z2
p1/γ
z1
1 2
2、静水压强分布图
定义：用带有箭头的直线表示压强的方向，用直线
长度表示压强的大小，将作用面上的静水压强分布
规律形象直观地画出来，此几何图形就是静水压强
分布图。 绘制的规则：
（1）按一定比例，用线段长度代表该点静水压强的大小。
（2）用箭头表示静水压强的方向，并与作用面垂直。 方法： 只要绘出两端点的压强，即可确定静水压强的直线分布。
形式1：
p p0 gh
形式2：
z
p C g
z
水静力学基本方程的物理意义
z p
pa

C
p0
p/γ
Δm Δmgz Δmgz z Δmg
z
Δm
z0
单位液重所具有的位能
z
水静力学基本方程的物理意义
z p
pa

C
p0
p/γ
Δm Δmg Δmg p

p
z
Δm
z0

Δmg

p

单位液重所具有的压能
计量的压强，用pabs表示,工程大气压98KPa 用p表示。
相对压强 ——以当地大气压作为零点计量的压强，
若将当地大气压强用pa表示，则有
p pabs pa

水力学(2)水静力学

水力学(2)水静力学
武汉理工大学 土木工程与建筑学院
金溪
水力学
2.1 静水压强及其特性
第 二 章 水 静 力 学
一、定义 水静力学：研究液体处于静止状态下的平衡规律和液体与 固体边界间的作用力及其在工程中的应用。 二、核心问题 所谓静止包含两种情况：绝对静止、相对静止。 绝对静止：液体与地球之间没有相对运动，液体内部质点之 间没有相对运动。 相对静止：液体与地球之间存在相对运动，液体与容器之间 没有相对运动，液体质点之间不存在相对运动。
绝对静止 V=0,a=0 相对静止 V ≠ 0,a恒定且不为0 相对静止 V ≠ 0,a =0
2.1 静水压强及其特性
第 二 章 水 静 力 学
三、本章基本内容 水静力学的核心问题是根据平衡条件来求 得静水压强在空间的分布规律，进而确定 静水压力的方向、大小和作用点。



平衡条件：受力的平衡 压强分布规律：水静力学基本方程 压力的求解：方向、大小、作用点
sin J x sin yc A
Jx yc A
Jx= JC＋yC2A，
★ yD＞ yC ，即D点一般 在C点的下面。
Jc yc yc A
2.6 作用在平面壁上的静水总压力
第 二 章 水 静 力 学
2.6 作用在平面壁上的静水总压力
例2-4
第 二 章 水 静 力 学
同一静止液体中，不论哪一点 z+p/r总是常数。（能量守恒）
2.2 重力作用下静水压强的分布规律
2.2.2 静水压强基本方程的另一种形式及意义
第 二 章 一、几何意义和水力学意义 1. z —位置水头（计算点位置高度） 2. p/r —压强水头（压强高度或测压管高度） 3. z+p/r —测压管水头 4. z＋p/r＝C—静止液体中各点 位置高度与压强高度之和不变

第二章水静力学_水力学

第二章水静力学_水力学

p = p0 + ρgh 绘出的
二、图解法
适用于矩形平面，上下边与水平面平行
p 1、大小：
= Ω×b
压强分布图面积，相当于单位宽度上的静水总压力
《水力学》精品课程多媒体课件 水力学》
2、方向： 垂直指向受压面 3、作用点（压力中心）D 在纵对称轴，归结为求
P1 P e P2 l 1 1 p1l × + (p2 − p1 ) × l l 2 2 3
2、熟悉真空现象
p 水静压强：
等压面： p
= p c + γh
相对压强： c p
= −γh < 0 真空度：p cv = γ h
= pa
真空高度：
h cv =
p cv
γ
=h
《水力学》精品课程多媒体课件 水力学》
说
明： ① 在真空作用下，液面上升h高度， 这就是真空想象。 ② h是真空大小的直观表示
三、水头和单位势能 p 由 z + = c 进一步引出水头的单位势能的概念，从而表明水
γ
静力学基本方程的几何意义和物理意义
几何意义： 几何意义： 静止液体中，各点的测压水头相等。 位置水头+压强水头=测压管水头 强 调： ① 必须对应同一基准面 ② 测压水头为铅锤距离 ③ 均质的同一液体
《水力学》精品课程多媒体课件 水力学》
（2-12）
离心惯性力：X 利 用：
dp= ρ(Xdx+ ydy+ Zdz )
2 2
积分得：
dp= ρ(ω xdx+ω ydy− gdz ) 1 p = ρω 2 (x 2 + y 2 ) - ρgz + c
2
《水力学》精品课程多媒体课件 水力学》

水力学课件水静力学

水力学课件水静力学

压力容器设计
为了确保液体容器的安全使用，需要合理设 计容器的结构和材料。压力容器设计需要考 虑液体的压力、容器的承载能力、材料的强 度等因素，以确保容器在使用过程中不会发
生破裂或变形。
水坝压力计算
要点一
水坝压力
水坝是拦河筑坝，用来调节水位、控制流量、蓄水发电等 。水坝的压力与水的高度和水库的容量有关。根据水静力 学原理，水坝受到的压力等于水柱重量对坝体的作用力。 因此，可以通过测量水的高度和水的密度，计算出水坝受 到的压力。
船只的稳定性
船只在水中保持平衡状态的能力称为稳定性。 船只的稳定性与船只的形状、大小、重量分 布等因素有关。通过合理设计船只的结构和 重量分布，可以提高船只的稳定性，减少翻 船的风险。
液体容器压力计算
液体容器压力
液体容器内的压力与液体的深度和液体的密 度有关。根据水静力学原理，液体容器内的 压力等于液柱重量对底部产生的压力。因此 ，可以通过测量液体的深度和密度，计算出 液体容器内的压力。
表面张力原理
总结词
表面张力原理是水静力学中的重要原理之一，它描述了液体 表面受到的力的情况。
详细描述
表面张力是液体表面受到的收缩力，它使得液体表面尽可能 地收缩。当液体表面受到外部作用力时，表面张力会与外力 相互作用，影响液体的运动和平衡状态。
毛细现象原理
总结词
毛细现象原理是水静力学中的重要原理之一，它描述了液体在细小管道中流动的规律。
02
水静力学的基本原理
液体平衡原理
总结词
液体平衡原理是水静力学的基本原理之一，它描述了液体在静止状态下的受力 平衡情况。
详细描述
当液体处于静止状态时，它受到重力、压力和反作用力等力的作用，这些力相 互平衡，使得液体保持静止状态。重力作用使得液体向下压，而反作用力则向 上支撑液体，压力则由液体的侧壁和底部传递。

第一章 水静力学

第一章 水静力学
的静水总压力。 1.9： 已知闸门宽 b ，h1 、h2 、L 、α 。
h1
h2
α
L
54
解： 绘制受压面的静水压强分布图。 受压面形心点的压强 pc ：
h1 + h2 pc = γhc = γ 2
受压面的面积 A ：
γh1
A = b⋅L
静水总压力 P ：
γh2
c
55
L
=V
43
（2）静水总压力的作用点 ） 静水总压力的作用线与受压面的交点为静水总压 力的作用点，简称压心，以 D 表示。
P
D
受压面
44
静水总压力的作用线通过静水压强分布图的形 心C。
H
P
P
C
H 3
C
H 2
静水压强分布图
45
当静水压强分布图为梯形时，可将其分为一个三 S 角形和一个矩形，面积分别为 S 1 、 2 。 相应的两个静水压力为 P1 、 2 。 P 因 P = P1 + P2
b
L
b
矩形平面
γL
压强分布图
γL
压强分布图的立体图
42
0
b
dA
L
矩形平面受到静水总压力：
p = γL
P = ∫ pdA
A
c
1 = ∫ γ L ⋅ bdL = γ bL 2 0 2 1 = ( γ L )( bL ) = p c A 2
L
L
b
1 2 = γL b 2
= Ap ⋅ b
γL
测点
γ1
b
h
γ 2 h − γ 1b = p
γ2
27
三、差压计 用于测量两点的压强差。

水静力学

水静力学

式(2-3)是重力作用下流体平衡方程的又一重要形式。由 它可得到三个重要结论：
(1)在重力作用下的静止水体中，静压强随深度按线 性规律变化，即随深度的增加，静压强值成正比增大。 (2)在静止液体中，任意一点的静压强由两部分组成： 一部分是自由液面上的压强p0；另一部分是该点到自由液 面的单位面积上的液柱重量ρgh。 (3)在静止液体中，位于同一深度(h＝常数)的各点的 静压强相等，即任一水平面都是等压面。
流体静力学着重研究流体在外力作用下处于 平衡状态的规律及其在工程实际中的应用。 这里所指的静止包括绝对静止和相对静止两 种。以地球作为惯性参考坐标系，当流体相对于 惯性坐标系静止时，称流体处于绝对静止状态； 当流体相对于非惯性参考坐标系静止时，称流体 处于相对静止状态。 流体处于静止或相对静止状态，两者都表现 不出黏性作用，即切向应力都等于零。所以，流 体静力学中所得的结论，无论对实际流体还是理 想流体都是适用的。
pj pc 100% H 100% 1 pa pa
(2-8)
式中H通常称为真空度。 为了正确区别和理解绝对压强、相对（计示）压 强和真空之间的关系，可用图2-8来说明。 当地大气压强是某地气压表上测得的压强值，它 随着气象条件的变化而变化，所以当地大气压强 线是变动的。
第一节
流体பைடு நூலகம்压强及其特性
静止液体作用在每单位受压面积上的压力称为静 水压强，单位为（N/ m2），也称为帕斯卡（Pa）。
流体静压强有两个基本特性。
（1）流体静压强的方向与作用面垂直，并指向作用面。 这一特性可由反证法给予证明：
假设在静止流体中，流体静压强方向不与作用面相垂直， 而与作用面的切线方向成α角，如图2-1所示。
pn
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yzp ⊿⊿⊿zx xp p ynp xz ynACB 0证：取图示微分四面体，四个面上的平均静水压强分别为n z y x p p p p ,,,，则⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧∆∆∆∆∆∆∆sp y x p z x p z y p n z y x 212121 表面力⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∆∆∆∆∆∆∆∆∆z y x Z z y x Y z y x X 616161ρρρ沿x 方向力的平衡方程：031=∆+-x X p p n x ρ取微分四面体无限缩至o 点的极限n x p p =同理n z y x n z n y p p p p p p p p ===∴==故任意点压强仅是空间坐标的函数而与受压面方位无关。

§2-2重力作用下静水压强的分布规律 一、水静力学的基本方程质量力只有重力：g Z Y X -===,0,0 或γγ2211p z p z +=+——重力作用下水静力学的基本方程。

对于液面点与液体内任意点h p p pz p h z γγγ+=→+=++00——水静力学基本方程的常用表达式说明：（1）当 2121z z p p ><，位置较低点压强恒大于位置较高点压强。

液面压强0p由γh 产生的压强（3）p 随h 作线性增大。

（4）常用a a p h p p ,γ+=为大气压强，取p a =1个工程大气压=98kN/m 2。

（5）h p p ∆+=γ12二、等压面1、定义：在同一种连续的静止液体中压强相等的点组成的面2、等压面方程：0=dp 0=++Zdz Ydy Xdx质量力 （2）任一点压强由两部分组成 相互独立3、特性：（1）平衡液体中等压面即是等势面。

C W dW dp =→==0ρ （2）等压面与质量力正交证明：作用在等压面上的单位质量力k Z j Y i X f ρρρρ++=沿微小位移k dz j dy i dx s d ρρρρ++=移动所做功0=++=•Zdz Ydy Xdx s d f ρρ，即f ρ与s d ρ垂直。

只有重力作用的静止液体，就局部范围而言，等压面必是水平面。

4、举例三、绝对压强、相对压强、真空值1、绝对压强：以设想没有大气存在的绝对真空状态作为零点计量的压强p '。

2、相对压强：以当地大气压强作为零点计量的压强p （可 正可负）。

二者关系：相差一个当地大气压p a ，p '=p +p a 或p =p '-p a 如图：若0p 为相对压强，a A A p rh p p rh p p ++=+=10/1若p 0为绝对压强，a A Ap h p p h p p -+=+=1010/γγ若开口（不封闭）1/1h p p h p a A A γγ+==以后无特殊说明，指相对压强。

3、真空值：当液体中某一点的绝对压强小于当地大气压强时，则称该点存在真空。

真空值p p p p a v ='-=（该点绝对压强小于当地大气压强的数值） 四、静水压强分布图根据静水压强的两个特性绘制压强随水深变化的几何图形， 称为静水压强分布图。

一般要求绘制相对压强分布图。

1、公式h p hp p γγ=+=02、原则：（1）按比例用线段长度表示某点静水压强的大小。

（2）用箭头表示静水压强的方向（垂直指向被作用面） （3）直线方程，两点可连线。

3、举例：五、测压管高度、测压管水头、真空度γhBhAA1h P 01、测压管高度γAA p h =——测压管高度γAA p z +——测压管水头（z A 为位置高度）γγBB AA p z p z +=+=常数压强表示方法：1个工程大气压=98kN/m 2=10m 水柱=736mm 水银柱 2、真空度：真空值的液柱高表示当0='p 时称完全真空，此时m h v 10=，为理论上的最大真空度，实际不存在。

思考题：图示1γ和2γ两种液体（2γ>1γ），试问处于同一水平线上的1、2、3、4、5点哪点压强最大哪点最小哪些点相等（P 3=P 4>P 1=P 2>P 5）§2-3测量压强的仪器在工程实践中，常根据水静力学基本原理设计和制造液体测压计。

液体测压计具有构造简单、直观、使用方便和精度较高等优点。

下面介绍几种简单的液体测压计。

一、测压管利用测压管量测某点压强是一种最简单的液柱式测压计，如图2-3-1所示。

当欲测容器中A 点的压强时，可在与A 点相同高度的器壁上开一小孔，并安装一根上端开口的玻璃管。

根据管内液面上升的高度h ，就可测出A 点的绝对压强或相对压强。

由静水压强基本方程可得h p p Aabs γ+=0或h p A γ=测得A 点压强后，再通过基本方程就可求得容器中任一点的静水压强。

为保证量测精度，测压管内径d 不宜太小，一般取d>10mm ，这样可消除毛细现象影响。

测压管的缺点是不能量测较大压强。

当压强超过(工程大气压)时，则需要长度2m 以上的测压管，使用很不方便。

所以量测较大压强时，一般采用U 形水银测压计。

二、水银测压计水银测压计的构造也很简单，是将装有水银的U 形管安装在需要量测压强的器壁上，管子一端与大气相通，如图2-3-2所示。

根据等压面条件，n —n 为等压面，则1、2两点压强相等，即12p p =。

从图中还可看出，1、2两点的相对压强分别为 所以 或在测压计上量得m h 和z 值，即可求得A 点压强，并可推算其他各点压强。

三、水银差压计用水银差压计可测出液体中两点的压强差。

图2-3-3所示水银差压计，U 形管内装有水银，使用时将U 形管两端分别与欲测点相接，待水银柱面稳定后即可施测。

其关系推导如下。

由图知根据等压面原理，12p p =。

于是得A 、B 两点压差为若预测两点位于同一高程上，则A B z z =，式(2-3-2)有如下形式，即 四、真空测压计水流在通过建筑物的某些部位时，有可能会产生真空。

量测真空压强的设备称为真空测压计，如图2-3-4所示，容器中液面压强小于大气压强，即0a p p <。

从容器外接一玻璃管插入水箱水面以下，在大气压强作用下，管内液面上升一高度v h ，如图2-3-4(a )所示，则A 点绝对压强为所以容器内液面压强(绝对压强)为 由上式得液面的真空值 则真空度为v vh p =γ（2－3－5）由图2-3-4可以看出，真空度即为测压管液面在自由液面以上的上升高度。

如果需要量测较大真空值，可采用U 形水银真空计，如图2-3-4(b )所示。

若容器内B 点压强小于大气压强，按上述分析方法，可得B 点的真空值总之，液柱式测压计具有构造简单，量测精度较高等优点，是实验室中的常备仪器。

其缺点是量测范围小，携带不方便等。

此外，还有金属测压计以及电测仪器等，本书不再作介绍。

§2-4作用在平面上的静水总压力 一、图解法（适用于矩形平面）1、大小小长条面积h p bdhd γω==（∵dh 无限小）结论：P =压强分布图的面积×平面宽2、方向：由平行力系合成原理，合力与各分力方向一致，垂直指向被作用面。

3、作用点（压力中心）：通过压强分布图的形心作用在受压面的纵对称轴上。

利用图解法求作用点位置常采用合力矩定理。

合力矩定理：合力对某一轴（点）之矩等于各分力对该轴（点）之矩的代数和。

图示：2111λ==e lb h P γ 注意：三心区别（受压面形心，压强分布图形心。

压力中心） 思考题：绘出下列第一图三心的位置；求第二图AB 平面上的静水总压力。

二、解析法（适用于任意形状的平面）首先复习材力知识 静矩=ωωωc y yd =⎰ 惯性矩ωωω22c c x y J d y J +==⎰1、大小ωγhd dP =（d ω很小，近似认为各点压强相等） p=形心点的压强⨯受压面的面积。

2、方向：垂直指向被作用面。

3、作用点：用合力矩定理说明各项意义，一般情况下D 在C 下方实际工程中的受压面多是轴对称面，总压力P 的作用点必位于对称轴上，这就完全确定了D 的位置。

例题：如图所示，闸门宽，铰在A 点，压力表G 的读数为BP2P1AP5.5m2.0m油A水1.5mP=0GB解：一、图解法kNP04.472.12196001=⨯⨯=，ml11=（距A）kNP52.232.12)1960039200(211=⨯⨯-='，ml342=右侧：2/1666083302mNpB=⨯=右（压强分布图）解得P=二、解析法：首先找出p=0的面-14700+γy=0 y=左侧：2/294005.4980014700mNpc=⨯+-=右侧：2/833018330mNpc=⨯=233.1992.1911.156.700⨯+⨯=⨯=∑PM解得P=P=0BBP 0<0CAγ1γ2V 1A B A抵消部分V 2⎰zz hd ωω——曲面AB 所托的液体的体积，称为压力体，其体积用V 表示作用在曲面上静水总压力的垂直分力z P 等于其压力体的重量。

2、压力体的绘制和z P 的方向其上为大气压（1）压力体是由曲面本身、过曲面边缘的铅直面、自由液面（或自由液面的延长面）包围而成的体积。

（2）压力体不一定由实际水体构成，故分为实压力体和虚压力体。

实压力体： 虚压力体：压力体和液 压力体和液 体处于曲面 体处于曲面的同一侧 的两侧（3）z P 的作用线通过压力体的体积形心 3、举例复杂柱面将曲 不同容重部分的 存在真空的情况面分成几部分 压力体应单独计算 （1）首先确定自由液面绘制，再叠加2211v v p z γγ+=（2）再按原则绘制四、静水总压力大小：22z x P P P +=方向xzP P tg =αBB AA5、绘图找AB 平面形心、压力中心绘静压分布图绘压力体 压强分布图形心二、复习第二章主要内容Z AP B /γZ BA B Z CP A /γp 0C0P C /γ气h 121Ahh 2水银133B2酒精ALLGHθeGo标出图示容器内A 、B 、C 三点的位置高度、测压管高度和测 压管水头，C 点的相对压强为负值。

1、 如图所示，已测得A 球压 力表读数为个工程大气压，测 压计内汞面之间充满酒精。

已知：h 1=20cm h 2=25cm h=70cm 求：?=Bp解：121h p h p pA 汞γγ+=+=3、一重量为G=19600N的闸门，用无摩擦的铰O 联接在岸墩上，闸门宽b=8m ，H=1m ，=30。

，为保持闸门的平衡，试计算闸门的长度L=解：P=b H b H H 2sin 21γθγ=⨯θsin 3H e p = G=19600N θcos 2L e G =00=∑M 解得：m G PH L 16.6cos sin 32==θθ 4、 如图所示一封闭水箱，下端有一1/4圆弧的钢板AB ，宽b=1m ，半径R =1m ，h 1=2m ，h 2=3m 。

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