二项式定理的应用--求系数

2.增减性：
n
①当n为偶数时，展开式中间的一项
C2 n
取得最大
n 1
n 1
②当n为奇数时，展开式中间的两项
C2 n
，Cn 2
相等
且同时取得最大
左右对称抛物线 左增右减中间大
组合数的性质
3.拆并性： 拆并要连同 上大下＋1
①
Cnr
Cnr1
C r1 n1
②
Crr
Cr r 1
Cr r2
Cr n-1
Cr1 n
(a b)n Cn0an Cn1an1b Cnra b nr r Cnnbn
注1：相关概念： ①项与项数： 类似于学号与同学的关系
②系数与二项式系数：Cnr 称为二项式系数 ;容斥关系
注2：上下前后及某项 知四有一两头同(中间差)
组合数的性质
1.对称性： Cnr
C nr n
与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等
注2. 常用的排列数： An0 1 An1 n Ann n！
注3.常用的组合数： Cn0 1 Cn1 n Cnn 1
两理两数四原则 十大题型递推法
排列与组合的关联：
① 排列有序，组合无序，可用特值法来验证有无顺序
② 先组后排：排列可以看作是先取组合，再做全排列
Anm Cnm m!
两理两数四原则 十大题型递推法
“分步”要连续完整；各步间要关联独立
两理两数四原则 十大题型递推法
1.阶乘： n!1 23 n
A 2.排列数： m n! n • (n 1) • (n 2) (n m 1) n (n m)!
C C 3.组合数：
m n
nm Anm
n
m!
注1.一般的，乘积式用于计算，阶乘式用于证明
(3)不同元素的均匀分组：
①将2n个不同元素均匀的分成2组,共有 C2nnCnn 种分法
2!
②将3n个不同元素均匀的分成3组,共有 C3nnC2nnCnn 种分法 (4)不同元素的混合分组：先均匀后非均匀 3!
9.分配：
(1)不同元素的分配： 先分组后分配
(2)相同元素的分配(分组)：0—1法
10.染色问题：
§251 二项式定理的应用——求系数
一、求指定项的系数(等价于求指定项)：
1. (a b)n 型： 2.(a b)m ○* (c d)n 型： 3. (a b c)n 型：
4.导数型：
二、求系数和(差) ：
1.赋值法： 2.其他法：
计数问题知识网络
复杂的计数问题 简单的计数问题
组合数的性质
①先理后数 ②先组后排 ③特殊优先 ④正难则反
两理两数四原则 十大题型递推法
①相邻——捆绑法
②不邻(相离) ——插空法
③在与不在
④含与不含 ⑤至多与至少
——
特殊优先直接法 正难则反间接法
⑥分组
相同元素——0-1法 不同元素——公式法
⑦分配
均匀分配 非均匀分配
先分组后分配
⑧错排：二元1种；三元2种；四元9种……
4.可和性：
系数求和赋值法 方法要熟正负1
① C0n C1n C2n C3n Cnn 2n ② C0n C2n C4n C1n C3n C5n 2n-1
§251 二项式定理的应用——求系数
一、求指定项的系数(等价于求指定项)：
1. (a b)n 型： 2.(a b)m ○* (c d)n 型： 3. (a b c)n 型：
再把重复计算的数目排斥出去,这种计数的方法
化大为小是共性 顾名思义是区分
共同点 都是采用“分”的手法，将大事件化为小事件
“分类”是指完成事件共有n类办法 每类办法都能独立地完成这件事
类似于物理中的并联电路
不同点
“分步”是指完成事件共有n个步骤 每一步都不能独立完成这件事
类似于物理中的串联电路
说明
最终结果“分类” 用“加 法 最”终结果“ 分步”用“乘 “法分”类”要不重不漏；各类间要互斥独立
要求每个区域染一种颜色，相邻的区域不同色，
则不同的染色方法有多少种？
法3：环型域递推法：
h1 k h2 k(k 1)
A1 An
A2
An1
A3
A4
h3 k(k 1)(k 2)
hn (k 2)hn1 (k 1)hn2 (n 4)
注：二三环型点算法 四块以上递推法
异色插入第一类 同色剪开第二类
二项式的展开式
(a b)n Cn0an Cn1an1b Cnranrbr Cnnbn
注1：(前项)后n 项C“n0+n”相Cn1连n1 展开共 C有nrn n+rr Cnnn
1 三块组成每一项 前降后升和为n
注2：(1 )n Cn0 Cn1 Cn22 Cnnn
杨辉三角形——二项式系数表
则不同的染色方法有多少种？
法1：通项公式：
hn (k 1)n (1)n (k 1)
法2：化环型域为条型域：
h1 k
A1 An
A2
An1
A3
A4
h2 k(k 1) , h3 k(k 1)(k 2)
tn hn hn1 (n 4)
注：思路显然，但操作量过大
2.环型域： ①无心环型域: 如图，用k种不同的颜色,涂圆中n块区域
⑨定序——倍缩法(等概率法)；插空法
⑩染色——递推法
1.相邻问题捆绑法：
先捆可邻成大元 次变个数全排列
2.不邻(相离)问题插空法：
先排可邻后插空 多元切忌间接法
二元可用间接法 亮灯空位是变式
引：相间问题位置法
相邻相离综合体 一般解法位置法
3.在与不在 4.含与不含 5.至多与至少
——
特殊优先直接法 正难则反间接法
4.导数型：
二、求系数和(差) ：
1.赋值法： 2.其他法：
练习1.求指定项的系数
(1)(2012年全国)若 (x 1)n 的展开式中第3项与第7项的
x
二项式系数相等，则该展开式中
1 x2
的系数为____
析:由题意56得 Cn2 Cn6 ,解n 得2 n=62+68=8
故 Tr1 C8r x8r ,令 8 82r2r 2 ，2 得r r5 5
x
为－20，则自然数n＝_______
法3：因
(x 1 2)n x
(1 x)2n xn
由题意得 (1)n C2nn 20
由验根法，逐个验证 n=1，3，5 …… n=3
二、求系数和(差) ：
1.赋值法：
若 f (x) a0a1x a2x2 a3x3 anxn ,则
① f (0) a0
② f (1) a0a1a2a3 an
lnim[(a0 a2 a4 ... a2n )2 (a1 a3 a5 ... a2n1)2 ] ____
析①:ln因im[(a0 a2 a4 ... a2n )2 (a1 a3 a5 ... a2n1)2 ]
(a0a1a2a3 a2n)(a0a1a2a3 a2n)
故所求系数为 C85 56
(2)(2013年新课标Ⅱ)已知
的展开式中
的系数为5，则a =
A.-4
B.-3
C.-2
D. -1
析:由题意得 C52 aC51 5 ，解得a = -1
(3)(2004年安徽春考)若 (x 1 2)n 的展开式中常数项
x
为－20，则自然数n＝_______
法1：因 (x 1 2)n [(x 1 ) 2]n
x
为－20，则自然数n＝_______
法2：由多项式乘法法则，结合组合的知识可得
(x 1 2)n x
的通项为
Cnk
Cnrk
x
k
(
1 x
)r
(2)nk
r
Cnk
Cr nk
x
k
r
(2)
nk
r
由题意得
kr 0
Cnk
Cr nk
(2)
nk
r
20
后续工作等同法1，操作量较大……
(3)(2004年安徽春考)若 (x 1 2)n 的展开式中常数项
故所有项的系数和为1+2+3+2+1=9
法2：设 f (x) (1 x x2 )2 a 0a1x a 2 x2 a 3 x3 a 4 x4
故所有项的系数和为 f (1) (111)2 9
(6)(2009年湖北)设（
2 2
x)2n
a0
a1x
a 2
x2
...
a x2n1 2n1
a2n x2n
(1)条型域：
如图，Biblioteka Baidu 2 3 … n ,用k种颜色染n块区域，相邻
区域不能同色, 则共有 tn k(k 1)n1 种染法
注1：染色基础是条型 方法多多随爱好 从头到尾逐个染 乘法原理显神功
注2：隐含了颜色有剩余
2.环型域： ①无心环型域: 如图，用k种不同的颜色,涂圆中n块区域
要求每个区域染一种颜色，相邻的区域不同色，
f (1) a0a1a2a3a4a5 (a0a2a4 ) (a1a3a5 )
③
a0a2a4
f (1) f (1) 2
a1a3a5 f (1) f (1)
2.其他法：
2
练习2.求系数和(差) ：
(4)(2012年上海春考)若 (2x 1)5 a0a1x a2x2 a5x5
则 a0a1a2 a5 _______
对称性 拆并性 增减性 可和性
计数原理型 排列组合型 十大题型
计数问题总述： 两理两数四原则 十大题型递推法
①
②
③
④
⑤
注①：分类加法及分步乘法计数原理：
化大为小是共性 顾名思义是区分
注②：排列数与组合数： 注③：①○先理后数②○先组后排③○特殊优先④○正难则反
注④：①○相邻(捆绑法)
②○不邻(插空法)
6.错排：①背诵法：a2=1；a3=2；a4=9；a5=44……
②递推法： ①〇 an (n 1)(an1 an2 )
②〇 Ann Cn0a1 Cn1a1 Cn2a2 Cnnan
7.定序：
①倍缩法(等概率法)：N n! m!
8.分组：
②插空法：N
Anm n
(1)相同元素的分组：参分配 (2)不同元素的非均匀分组：常规法处理
那么完成这件事共有 N=m1+m2+…+mn种不同的方法
2.分步乘法计数原理： 完成一件事需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同
的方法，做第2步有m2种不同的方法……,做第n步有mn种 不同的方法 那么完成这件事共有 N=m1×m2×…×mn种不同的方法
3.容斥计数原理: 先把包含于某内容中的所有对象的数目计算出来
③○在与不在 ④○含与不含 ⑤○至多与至少
直接法 间接法
⑦○分配 均匀分配 非均匀分配
⑨○定序
⑥○分组
相同元素 不同元素
二元1种 ⑧○错排 三元2种
⑩○染色 四元9种
注⑤：设n元某计数问题共有an种方法 若求an的通项公式有难度，可考虑求其递推公式
1.分类加法计数原理：
完成一件事有n类方式, 在第一类方式中有m1种不同 的方法,在第二类方式中有m2种不同的方法……,在第n类 方式中有mn种不同的方法.
析:令 x=1，代入 (2x 1)5 a0a1x a2x2 a5x5 得 a0a1a2 a5 (211)5 1
(5) (1 x x2 )2 的展开式中所有项的系数和为______
法1：因 (1 x x2 )2 1 x2 x4 2x 2x3 2x2 1 2x 3x2 2x3 x4
11 121 1331 14641 1 5 10 10 5 1
C10 C11
C
0 2
C12
C
2 2
C
0 3
C13
C
2 3
C
3 3
C
0 4
C14
C
2 4
C
3 4
C
4 4
C
0 5
C
1 5
C
2 5
C
3 5
C
4 5
C
5 5
幂的运算性质
③ amn am an
④ amn am an
⑤ amn (am )n (an )m
x
x
故
(x 1 2)n x
的通项为
Tk 1
Cnk
(x
1 )nk x
(2)k
而
(x
1 )nk 的通项为
x
Cnrk
x
nk
r
(
1 x
)
r
C x r nk 2r nk
n k 2r 0
由题意得
Cnk
Cr nk
(2)k
20
后续工作，操作量较大，三元问题……
(3)(2004年安徽春考)若 (x 1 2)n 的展开式中常数项
析②:令
x=1，代入（
2 2
x)2n
a0
a1x a2 x2
... a2n1x2n1
a2n x2n
得
a 0 a1a 2 a3
a2n
(
2 1)2n 2
析③:令x=-1，代入（
2 2
x)2n
a0
a1x
a 2
x2
...
a x2n1 2n1
a2n
x2n
得
a 0 a1a 2 a3
a2n (
2 1)2n 2
特殊幂
① a0
1②
an
1 an
⑦ an bn (当n 2,3时，背诵之)
⑧
(a b)n
当 当nn
42时,3时, 二，项背式诵定之理
⑨ (a b)n an bn
m
⑥ a n n am
同底幂
⑩
( a )n b
an bn
异底幂
二项式定理——通项公式
Tr1 Cnr anrbr
T上1 C下上前下上后上
析④:即求 lim [( 2 1)2n ( 2 1)2n ] lim ( 1 )n 0
2 n
2
n 4
(7)化简：
C1 2014
2C22014
3C23014
2014C22001144
法1：因 kCnk nCnk11 (参课本P：25 练习5)