选修2-1(空间向量)

高二数学选修2-1第三章空间向量的数量积运算知识点高二数学向量的数量积是《向量》这一章的重要内容，下面是店铺给大家带来的高二数学选修2-1第三章空间向量的数量积运算知识点，希望对你有帮助。

高二数学空间向量的数量积运算知识点定义：两个非零向量的夹角记为〈a，b〉，且〈a，b〉∈[0，π]。

定义：两个向量的数量积(内积、点积)是一个数量，记作a·b。

若a、b不共线，则a·b=|a|·|b|·cos〈a，b〉;若a、b共线，则a·b=+-∣a∣∣b∣。

向量的数量积的坐标表示：a·b=x·x'+y·y'。

向量的数量积的运算率a·b=b·a(交换率);(a+b)·c=a·c+b·c(分配率);向量的数量积的性质a·a=|a|的平方。

a⊥b 〈=〉a·b=0。

|a·b|≤|a|·|b|。

向量的数量积与实数运算的主要不同点1、向量的数量积不满足结合律，即：(a·b)·c≠a·(b·c);例如：(a·b)^2≠a^2·b^2。

2、向量的数量积不满足消去律，即：由a·b=a·c (a≠0)，推不出b=c。

3、|a·b|≠|a|·|b|4、由 |a|=|b| ，推不出 a=b或a=-b。

高中数学学习方法(1)记数学笔记，特别是对概念理解的不同侧面和数学规律，教师在课堂中拓展的课外知识。

记录下来本章你觉得最有价值的思想方法或例题，以及你还存在的未解决的问题，以便今后将其补上。

(2)建立数学纠错本。

把平时容易出现错误的知识或推理记载下来，以防再犯。

争取做到：找错、析错、改错、防错。

达到：能从反面入手深入理解正确东西;能由果朔因把错误原因弄个水落石出、以便对症下药;解答问题完整、推理严密。

高二数学选修2－1 第三章 第1节 空间向量及其运算人教实验B 版（理）【本讲教育信息】一、教学内容：选修2—1 空间向量及其运算二、教学目标：1．理解空间向量的概念，掌握其表示方法；会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律。

2．理解共线向量定理和共面向量定理及其意义。

3．掌握空间向量的数量积的计算，掌握空间向量的线性运算，掌握空间向量平行、垂直的充要条件及向量的坐标与点的坐标的关系；掌握夹角和距离公式。

三、知识要点分析： 1．空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量注：向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量2．空间向量的运算定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下（如图）b a AB OA OB+=+=b a-=-=)(R a OP ∈=λλ运算律：（1）加法交换律：a b b a+=+（2）加法结合律：)()(c b a c b a++=++（3）数乘分配律：b a b aλλλ+=+)(3．共线向量定理：对于空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a //b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb .4．共面向量定理：如果两个向量b a ,不共线，那么向量p 与向量b a ,共面的充要条件是存在有序实数组),(y x ，使得b y a x p +=。

5．空间向量基本定理：如果三个向量c ,b ,a 不共面，那么对空间任一向量p ，存在唯一的有序实数组（x ，y ，z ），使c z b y a x p ++= 6．夹角定义：b a ,是空间两个非零向量，过空间任意一点O ，作b OB a OA ==,，则AOB ∠叫做向量a 与向量b 的夹角，记作><b a , 规定：π>≤≤<b a ,0特别地，如果0,>=<b a ，那么a 与b 同向；如果π>=<b a ,，那么a 与b 反向；如果90b ,a >=<，那么a 与b 垂直，记作b a ⊥。

AA 1DCB B 1C 1图高二数学（选修2-1）空间向量试题姓名：_________班级：________ 得分：________一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共60分）． 1．在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若AB ＝2BB 1，则AB 1与C 1B 所成的角的大小为（ ）A ．60°B ．90°C ．105°D ．75°2．如图，ABCD —A 1B 1C 1D 1是正方体，B 1E 1＝D 1F 1＝411B A ，则BE 1与DF 1所成角的余弦值是（ ）A ．1715 B ．21 C ．178 D ．23 3．如图，A 1B 1C 1—ABC 是直三棱柱，∠BCA =90°，点D 1、F 1分别是A 1B 1、A 1C 1的中点，若BC =CA =CC 1，则BD 1与AF 1所成角的余弦值是（ ）A ．1030 B ．21 C ．1530 D ．1015 4．正四棱锥S ABCD -的高2SO =，底边长2AB =，则异面直线BD 和SC 之间的距离（ ）A ．515 B ．55 C ．552 D ．105 5．已知111ABC A B C -是各条棱长均等于a 的正三棱柱，D 是侧棱1CC 的中点．点1C 到平面1AB D 的距离（ ）A ．a 42 B ．a 82 C ．a 423 D ．a 22 6．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，则平面1AB C 与平面11A C D 间的距离（ ）A ．63 B ．33 C ．332 D ．23 图图7．在三棱锥P －ABC 中，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝21PA ，点O 、D 分别是AC 、PC 的中点，OP ⊥底面ABC ，则直线OD 与平面PBC 所成角的正弦值（ ）A ．621B ．338 C60210 D ．302108．在直三棱柱111C B A ABC -中，底面是等腰直角三角形，90=∠ACB ，侧棱21=AA ，D ，E分别是1CC 与B A 1的中点，点E 在平面AB D 上的射影是ABD ∆的重心G ．则B A 1与平面AB D 所成角的余弦值（ ）A ．32 B ．37C ．23 D ．73 9．正三棱柱111C B A ABC -的底面边长为3，侧棱3231=AA ，D 是C B 延长线上一点，且BC BD =，则二面角B AD B --1的大小（ ）A ．3π B ．6πC ．65πD ．32π10．正四棱柱1111D C B A ABCD -中，底面边长为22，侧棱长为4，E ，F 分别为棱AB ，CD 的中点，G BD EF =⋂．则三棱锥11EFD B -的体积V （ ）A ．66 B ．3316 C ．316D ．1611．有以下命题：①如果向量b a ,与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么b a ,的关系是不共线； ②,,,O A B C 为空间四点，且向量OC OB OA ,,不构成空间的一个基底，则点,,,O A B C 一定共面；③已知向量c b a ,,是空间的一个基底，则向量c b a b a ,,-+也是空间的一个基底。

高二数学选修2－1 空间向量的运算及空间向量的基本定理 北师大版（理） 【本讲教育信息】 一、教学内容：选修2－1 空间向量的运算及空间向量的基本定理二、教学目标：1. 理解并掌握空间两个向量的夹角、直线的方向向量、平面的法向量、共面向量等基本概念。

2. 熟练地掌握空间向量的加减运算、数乘运算、空间向量坐标运算的运算法则、运算律及空间向量的数量积的几何意义及性质。

3. 熟练地掌握共线向量定理、空间向量的基本定理，并能利用它们讨论证明空间的线面关系。

4. 体会用类比的数学思想、方程的数学思想、等价转化的数学思想解决问题。

三、知识要点分析：（一）平面向量与空间向量的相同点：1. 向量夹角：过空间一点O 作AOB ,OB b ,OA a ∠==则是向量a 与向量b 的夹角。

X 围：[0，]π2. 加减运算：加减运算法则：向量的平行四边形法则（三角形法则） 运算律：结合律：)()(c b a c b a ++=++，交换律：a b b a +=+3. 数乘运算法则：向量a 与实数λ的乘积是一个向量，记作：a λ，满足（i ）||||λλ=a ||a ，（ii ）当0>λ时，a λ与a 方向相同，反之，相反。

0a 0=λ=λ时，。

运算律：（i ）).(,R a a ∈=λλλ（ii ）)R ,(,a a a )(,b a )b a (∈μλμ+λ=μ+λλ+λ=+λ.（iii ）),(),()(R a a ∈=μλμλλμ4. 空间向量的数量积：θ⋅=⋅cos |b ||a |b a 。

θ>=<b a ,。

运算律：交换律：a b b a ⋅=⋅分配律：c a b a )c b (a ⋅+⋅=+⋅，(λ)b a ⋅=b )a (⋅λ)b (a λ⋅=性质：（1）a a |a |⋅，（2）0b a b a =⋅⇔⊥，（3）|b ||a ||b a |⋅≤⋅注：向量的数量积运算不满足乘法的结合律。

3．1空间向量的标准正交分解与坐标表示3．2空间向量基本定理明目标、知重点 1.理解空间向量坐标的概念，会确定一些简单几何体的顶点坐标.2.理解向量a在向量b上的投影的概念，了解向量的数量积的几何意义.3.理解空间向量基本定理，并能用基本定理解决一些几何问题．1．标准正交基在给定的空间直角坐标系中，x轴，y轴，z轴正方向的单位向量i，j，k叫作标准正交基．2．标准正交分解与向量的坐标设i，j，k为标准正交基，对空间任意向量a，存在唯一一组三元有序实数(x，y，z)，使得a ＝x i＋y j＋z k，则把a＝x i＋y j＋z k叫作a的标准正交分解．(x，y，z)叫作向量a的坐标．3．向量坐标与投影(1)一般地，若b0为b的单位向量，则称a·b0＝|a|cos〈a，b〉为向量a在向量b上的投影．(2)向量的坐标等于它在坐标轴正方向上的投影．4．空间向量基本定理(1)如果向量e1，e2，e3是空间三个不共面的向量，a是空间任一向量，那么存在唯一一组实数λ1，λ2，λ3，使得a＝λ1e1＋λ2e2＋λ3e3.(2)空间中不共面的三个向量e1，e2，e3叫作这个空间的一个基底，a＝λ1e1＋λ2e2＋λ3e3表示向量a关于基底e1，e2，e3的分解．探究点一空间向量的标准正交分解与坐标表示思考1类比平面向量的正交分解，空间向量也可以正交分解，请思考此时的基底应满足什么条件．答 此时可选用单位正交基底，如果空间一个基底的三个基向量互相垂直，且长度都为1，则这个基底叫做单位正交基底，通常用i ，j ，k 表示．单位——三个基向量的长度都为1；正交——三个基向量互相垂直． 思考2 在空间直角坐标系中，向量OP →和点P 的坐标有何关系？ 答 O 为坐标原点，OP →与P 点的坐标相同．例1 已知P A 垂直于正方形ABCD 所在的平面，M 、N 分别是AB ，PC 的三等分点且PN ＝2NC ，AM ＝2MB ，P A ＝AB ＝1，求MN →的坐标．解 ∵P A ＝AB ＝AD ＝1，且P A 垂直于平面ABCD ，AD ⊥AB ， ∴可设AD →＝i ，AB →＝j ，AP →＝k .以i ，j ，k 为单位正交基建立如图所示的空间直角坐标系． ∵MN →＝MA →＋AP →＋PN → ＝－23AB →＋AP →＋23PC →＝－23AB →＋AP →＋23(－AP →＋AD →＋AB →)＝13AP →＋23AD →＝23i ＋13k ，∴MN →＝⎝⎛⎭⎫23，0，13. 反思与感悟 空间直角坐标系的建立必须寻求三条两两垂直的直线．在空间几何体中不具备此条件时，建系后要注意坐标轴与几何体中相关直线的夹角．跟踪训练1 在直三棱柱ABO —A 1B 1O 1中，∠AOB ＝π2，AO ＝4，BO ＝2，AA 1＝4，D 为A 1B 1的中点，则在如图所示的空间直角坐标系中，求DO →，A 1B →的坐标．解 ∵DO →＝－OD →＝－(OO 1→＋O 1D →) ＝－[OO 1→＋12(OA →＋OB →)]＝－OO 1→－12OA →－12OB →.又|OO 1→|＝4，|OA →|＝4，|OB →|＝2， ∴DO →＝(－2，－1，－4)，∵A 1B →＝OB →－OA 1→＝OB →－(OA →＋AA 1→)＝OB →－OA →－AA 1→. 又|OB →|＝2，|OA →|＝4，|AA 1→|＝4， ∴A 1B →＝(－4,2，－4)． 探究点二 向量的投影思考1 什么是向量a 在坐标轴正方向上的投影？答 设a ＝x i ＋y j ＋z k ，我们把a·i ＝x ，a·j ＝y ，a·k ＝z 分别称为向量a 在x 轴、y 轴、z 轴正方向上的投影．思考2 什么是向量a 在向量b 上的投影？答 若b 0为b 的单位向量，称a·b 0＝|a |cos 〈a ，b 〉为向量a 在向量b 上的投影． 思考3 怎样利用数量积来求向量a 在向量b 方向上的投影？ 答 ∵b 0＝b |b |，∴a·b 0＝|a|·|b |·cos θ|b |＝a·b|b |.例2 如图，已知单位正方体ABCD — A ′B ′C ′D ′.求： (1)向量CA ′→在CD →上的投影； (2)向量CA ′→在DC →上的投影． 解 (1)CA ′→在CD →上的投影是 |CA ′→|cos ∠A ′CD ＝|CD →|＝1； (2)CA ′→在DC →上的投影是|CA ′→|cos(π－∠A ′CD )＝－|DC →|＝－1.反思与感悟 (1)求向量a 在向量b 上的投影，应先求出|a |，再求出两个向量a 与b 的夹角，最后计算|a |cos 〈a ，b 〉，即为向量a 在向量b 上的投影，它可正、可负，也可以为零． (2)也可利用数量积计算向量的投影．跟踪训练2 如图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ＝4，AD ＝AA 1＝2，求向量AC 1→在向量AD 1→上的投影．解 向量AC 1→在向量AD 1→上的投影是|AC 1→|cos ∠C 1AD 1＝|AD 1→|＝22＋22＝2 2.探究点三 空间向量基本定理思考1 类比平面向量基本定理，思考怎样表示任何一个空间向量？答 如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在三元有序实数(x ，y ，z )，使得p ＝x a ＋y b ＋z c .三个不共面的向量a 、b 、c 叫做这个空间的一个基底． 思考2 用基底表示向量应注意哪些问题？答 (1)明确目标．向量表示过程中可能出现新的向量，要逐步拆分，都用基向量表示； (2)结合图形的几何性质，利用向量的线性运算；(3)只要基底选定，空间任一向量用基底表达的形式是唯一的．思考3 设x ＝a ＋b ，y ＝b ＋c ，z ＝c ＋a ，且a ，b ，c 是空间的一个基底，给出下列向量组：①a ，b ，x ，②x ，y ，z ，③b ，c ，z ，④x ，y ，a ＋b ＋c ，其中可以作为空间的基底的向量组有________(写出序号)． 答案 ②③④解析 如图所示，设a ＝AB →，b ＝AA 1→，c ＝AD →，则x ＝AB 1→，y ＝AD 1→，z ＝AC →，a ＋b ＋c ＝AC 1→，由A 、B 1、C 、D 1四点不共面，可知向量x 、y 、z 也不共面，同理可知b 、c 、z 不共面，x 、y 、a ＋b ＋c 也不共面．例3 如图，在平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，M 是平行四边形A ′B ′C ′D ′的对角线的交点，N 是棱BC 的中点．如果AB →＝a ，AD →＝b ，AA ′→＝c ，试用a ，b ，c 表示MN →. 解 因为MN →＝MC ′→＋C ′C →＋CN →， 而MC ′→＝12A ′C ′→＝12AC →＝12(a ＋b )，C ′C →＝－c ， CN →＝12CB →＝－12b ，所以MN →＝12(a ＋b )－c －12b＝12a －c . 反思与感悟 用基底表示未知向量关键是结合图形，从所求向量出发，进行合理的分解． 跟踪训练3 在平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，AB →＝a ，AD →＝b ，AA ′→＝c ，P 是CA ′的中点，M 是CD ′的中点，N 是C ′D ′的中点，点Q 是CA ′上的点，且CQ ∶QA ′＝4∶1， 用基底{a ，b ，c }表示以下向量：(1)AP →； (2)AM →； (3)AN →； (4)AQ →. 解 连接AC 、AD ′、AC ′.(1)AP →＝12(AC →＋AA ′→)＝12(AB →＋AD →＋AA ′→) ＝12(a ＋b ＋c )； (2)AM →＝12(AC →＋AD ′→)＝12(AB →＋2AD →＋AA ′→)＝12a ＋b ＋12c ； (3)AN →＝12(AC ′→＋AD ′→)＝12[(AB →＋AD →＋AA ′→)＋(AD →＋AA ′→)] ＝12(AB →＋2AD →＋2AA ′→)＝12a ＋b ＋c ； (4)AQ →＝AC →＋CQ →＝AC →＋45(AA ′→－AC →)＝15AB →＋15AD →＋45AA ′→＝15a ＋15b ＋45c .1．已知i ，j ，k 为标准正交基底，a ＝i ＋2j ＋3k ，则a 在i 方向上的投影为( ) A ．1 B ．－1 C.14 D ．－14 答案 A解析 a·i ＝|a|·|i |·cos 〈a ，i 〉，则|a |·cos 〈a ，i 〉＝a·i |i |＝(i ＋2j ＋3k )·i ＝i 2＝1.2．已知e 1，e 2，e 3是空间直角坐标系中分别与x 轴，y 轴，z 轴同向的单位向量，且p ＝e 1＋2e 2－3e 3，则p 的坐标是( ) A ．(1,2,3) B ．(－1，－2,3) C ．(1,2，－3) D ．(1，－2，－3)答案 C3．已知点A 在基底a ，b ，c 下的坐标为(8,6,4)，其中a ＝i ＋j ，b ＝j ＋k ，c ＝k ＋i ，则点A在基底i ，j ，k 下的坐标是( ) A ．(12,14,10) B ．(10,12,14) C ．(14,12,10) D ．(4,3,2)答案 A解析 设点A 在基底a ，b ，c 下对应的向量为p ，则p ＝8a ＋6b ＋4c ＝8i ＋8j ＋6j ＋6k ＋4k ＋4i ＝12i ＋14j ＋10k ，故点A 在基底i ，j ，k 下的坐标为(12,14,10)．4．从空间一点P 引出三条射线P A ，PB ，PC ，在P A ，PB ，PC 上分别取PQ →＝a ，PR →＝b ，PS →＝c ，点G 在PQ 上，且PG ＝2GQ ，H 为RS 的中点，则GH →＝________________.(用a ，b ，c 表示)答案 －23a ＋12b ＋12c解析 GH →＝PH →－PG →＝12(b ＋c )－23a .[呈重点、现规律]1．空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底；基底选定后，任一向量可由基底唯一表示．2．向量的坐标是在单位正交基底下向量的表示．在表示向量时，要结合图形的几何性质，充分利用向量的线性运算．一、基础过关1．以下四个命题中正确的是( )A ．空间的任何一个向量都可用其它三个向量表示B ．若a ，b ，c 为空间向量的一个基底，则a ，b ，c 全不是零向量C ．△ABC 为直角三角形的充要条件是AB →·AC →＝0 D ．任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一个基底 答案 B解析 使用排除法．因为空间中的任何一个向量都可用其他三个不共面的向量来表示，故A 不正确；△ABC 为直角三角形并不一定是AB →·AC →＝0，可能是BC →·BA →＝0，也可能是CA →·CB →＝0，故C 不正确；空间向量基底是由三个不共面的向量组成的，故D 不正确． 2．下列说法中不正确的是( )A ．只要空间的三个向量的模为1，那么它们就能构成空间的一个单位正交基底B ．竖坐标为0的向量平行于x 轴与y 轴所确定的平面C ．纵坐标为0的向量都共面D ．横坐标为0的向量都与x 轴上的基向量垂直 答案 A解析 单位正交基底除要求模为1外，还要求三个向量两两垂直．3．O 、A 、B 、C 为空间四点，且向量OA →，OB →，OC →不能构成空间的一个基底，则( ) A.OA →、OB →、OC →共线 B.OA →、OB →共线C.OB →、OC →共线 D ．O 、A 、B 、C 四点共面答案 D解析 由OA →、OB →、OC →不能构成基底知OA →、OB →、OC →三向量共面，所以O 、A 、B 、C 四点共面．4．在空间直角坐标系中，下列说法正确的是( ) A ．向量AB →与点B 的坐标相同 B ．向量AB →与点A 的坐标相同 C ．向量AB →与向量OB →的坐标相同 D ．向量AB →与向量OB →－OA →的坐标相同 答案 D解析 ∵AB →＝OB →－OA →， ∴AB →与OB →－OA →的坐标相同．5．如图，长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AC 与BD 的交点为M ，设A 1B 1→＝a ，A 1D 1→＝b ，A 1A →＝c ，则下列向量中与B 1M →相等的向量是______________．答案 －12a ＋12b ＋c解析 B 1M →＝B 1B →＋BM →＝B 1B →＋12BD →＝B 1B →＋12(BA →＋BC →)＝B 1B →＋12(－A 1B 1→＋A 1D 1→)＝－12a ＋12b ＋c .6.如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中建立空间直角坐标系，若正方体的棱长为1，则AB →的坐标为__________，DC 1→的坐标为__________，B 1D →的坐标为__________．答案 (1,0,0) (1,0,1) (－1,1，－1) 解析 DC 1→＝AA 1→＋AB →，B 1D →＝B 1A 1→＋B 1C 1→＋B 1B →＝－AB →＋AD →－AA 1→.7.如图所示，在正方体AC 1中，取AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c 作为基底． (1)求BD 1→；(2)若M ，N 分别为边AD ，CC 1的中点，求MN →. 解 (1)BD 1→＝BD →＋DD 1→＝BA →＋AD →＋DD 1→＝－a ＋b ＋c . (2)MN →＝MC →＋CN →＝MD →＋DC →＋12CC 1→＝12AD →＋AB →＋12AA 1→ ＝a ＋12b ＋12c .二、能力提升8．一个向量p 在基底a ，b ，c 下的坐标为(1,2,3)，则p 在a ＋b ，a －b ，c 下的坐标为__________． 答案 ⎝⎛⎭⎫32，－12，3 9．正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点E 、F 分别是底面A 1C 1和侧面CD 1的中心，若EF →＋λA 1D →＝0 (λ∈R )，则λ＝______. 答案 －12解析 如图，连接A 1C 1，C 1D ，则E 在A 1C 1上，F 在C 1D 上易知EF 綊12A 1D ，∴EF →＝12A 1D →，即EF →－12A 1D →＝0，∴λ＝－12.10．若{a ，b ，c }是空间的一个基底，且存在实数x ，y ，z 使得x a ＋y b ＋z c ＝0，则x ，y ，z 满足的条件是________． 答案 x ＝y ＝z ＝0解析 若x ≠0，则a ＝－y x b －zxc ，即a 与b ，c 共面．由{a ，b ，c }是空间的一个基底，知a ，b ，c 不共面，故x ＝0，同理y ＝z ＝0. 11．平行六面体OABC —O ′A ′B ′C ′，且OA →＝a ，OC →＝b ，OO ′→＝c . (1)用a ，b ，c 表示向量AC ′→；(2)设G ，H 分别是侧面BB ′C ′C 和O ′A ′B ′C ′的中心，用a ，b ，c 表示GH →.解 (1)AC ′→＝AC →＋CC ′→＝OC →－OA →＋OO ′→＝b ＋c －a . (2)GH →＝GO →＋OH →＝－OG →＋OH → ＝－12(OB →＋OC ′→)＋12(OB ′→＋OO ′→)＝－12(a ＋b ＋c ＋b )＋12(a ＋b ＋c ＋c )＝12(c －b )．12．已知P A ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，AB ＝2，P A ＝3，求向量PC →在向量CD →和向量CB →上的投影．解 如图，∵P A ⊥平面ABCD . ∴P A ⊥CD ，又CD ⊥AD ， ∴CD ⊥平面P AD ， ∴CD ⊥PD ，故PC →在CD →上的投影为|PC →|·cos(π－∠PCD )＝－|CD →|＝－2. 同理PC →在CB →上的投影为|PC →|·cos(π－∠PCB )＝－|CB →|＝－2. 三、探究与拓展13.如图所示，在四棱锥P —ABCD 中，侧棱P A ⊥底面ABCD ，AB ＝1，BC ＝3，∠ABC ＝60°，P A ＝2，求向量PB →在AC →上的投影． 解 ∵P A ⊥底面ABCD ， ∴P A ⊥AB ，P A ⊥BC ， 则P A →·AB →＝0，P A →·BC →＝0. 又∠ABC ＝60°，∴AB →·BC →＝|AB →||BC →|·cos 〈AB →，BC →〉 ＝3cos 120°＝－32.又∵AC →·PB →＝(AB →＋BC →)·(P A →＋AB →) ＝AB →·P A →＋|AB →|2＋BC →·P A →＋BC →·AB → ＝|AB →|2－32＝1－32＝－12.AC →＝AB →＋BC →，∴|AC →|＝(AB →＋BC →)2＝AB →2＋BC →2＋2AB →·BC → ＝1＋9＋2×3cos 120°＝ 7，∴向量PB →在AC →上的投影为 PB →·AC →|AC →|＝－127＝－714.。

利用空间向量求空间角
一、高考考纲要求：
能用向量方法解决异面直线夹角、线面角、面面角问题。

体会向量法在立体几何中的应用。

二、命题趋势：
在高考中，本部分知识是考查的重点内容之一，主要考查异面直线所成角、线面角、面面角的计算，属中档题，综合性较强，与平行垂直联系较多。

三、教学目标
知识与技能：能用向量法熟练解决异面直线的夹角、线面角、面面角的计算问题，了解向量法在研究立体几何问题中的应用；
过程与方法：通过向量这个载体，实现“几何问题代数化”的思想，进一步发展学生的空间想象能力和几何直观能力；
情感态度价值观：通过数形结合的思想和方法的应用，进一步让学生感受和体会空间直角坐标系，方向向量，法向量的魅力。

四、教学重难点
重点：复习向量法求空间角的方法与步骤。

(重点)
难点：强化向量法求空间角公式的理解。

(难点)
五、教学过程
板书设计：
课题
思维导图
例题例题板演。

空间向量及应用1、空间向量基本定理：若三个向量a ，b ，c 不共面，则对空间任一向量p ，存在实数组{},,x y z ，使得p xa yb zc =++．2、三个向量a ，b ，c 不共面，则所有空间向量组成的集合是{},,,p p xa yb zc x y z R =++∈．这个集合可看作是由向量a ，b ，c 生成的，{},,a b c 称为空间的一个基底，a ，b ，c 称为基向量．空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底． 3、设()111,,a x y z =，()222,,b x y z =，则()1()121212,,a b x x y y z z +=+++． ()2()121212,,a b x x y y z z -=---． ()3()111,,a x y z λλλλ=． ()4121212a b x x y y z z ⋅=++．()5若a 、b 为非零向量，则12121200a b a b x x y y z z ⊥⇔⋅=⇔++=． ()6若0b ≠，则121212//,,a b a b x x y y z z λλλλ⇔=⇔===． ()721a a a x =⋅=+()821cos ,x a b a b a bx ⋅〈〉==+()9()111,,x y z A ，()222,,x y z B =，则(d x AB =AB =4、在空间中，取一定点O 作为基点，那么空间中任意一点P 的位置可以用向量OP 来表示．向量OP 称为点P 的位置向量．5、空间中任意一条直线l 的位置可以由l 上一个定点A 以及一个定方向确定．点A 是直线l 上一点，向量a 表示直线l 的方向向量。

6、平面的法向量：（1）定义：直线l 垂直α，取直线l 的方向向量a ，则向量a 称为平面α的法向量． （2）求法：①设出平面的法向量为),,(z y x n =②找出（求出）平面内的两个不共线的向量的坐标),,(321a a a a =，),,(321b b b b =③根据法向量的定义建立关于z y x ,,的方程组⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00b n a n ④解方程组，取其中的一个解作为法向量，由于一个平面的法向量有无数多个，故可在方程组解中取一个最简单的作为平面的法向量。

§3.1.1 空间向量及其加减运算【学习要求】1．经历向量及其运算由平面向空间推广的过程，了解空间向量的概念．2．掌握空间向量的加法、减法运算．【学法指导】结合平面向量的相关性质，类比学习空间向量的概念与运算．通过对空间向量的学习进一步体会数形结合的思想．【知识要点】1．空间向量（1）空间向量的定义在空间，把具有______和______的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的________或______． （2）空间向量及其模的表示方法空间向量用有向线段表示，有向线段的________表示向量的模．如图，a 的起点是A ，终点是B ，则a 也可记作________，其模记为_____或________． （3）特殊向量2．空间向量的加法、减法类似平面向量，定义空间向量的加、减法运算(如图)： OB →＝OA →＋OC →＝__________；CA →＝OA →－OC →＝__________. 3．空间向量加法的运算律（1）交换律 a ＋b ＝________；（2）结合律 (a ＋b )＋c ＝__________.【问题探究】探究点一 空间向量的概念问题1 观察正方体中过同一个顶点的三条棱所表示的三个向量OA →，OB →，OC →，它们和以前所学的向量有什么不同？问题2 空间向量和平面向量有什么区别？它有什么作用？问题3 向量可以用有向线段表示，是否可以说向量就是有向线段？ 问题4 “空间中任何两个向量都是共面向量”，这个结论是否正确？ 例1 给出下列命题：①两个空间向量相等，则它们起点相同，终点也相同； ②若空间向量a ，b ，满足|a |＝|b |，则a ＝b ；③在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，必有AC →＝A 1C 1→； ④若空间向量m ，n ，p 满足m ＝n ，n ＝p ，则m ＝p ； ⑤空间中任意两个单位向量必相等． 其中不正确的命题的个数是 ( )A ．1B ．2C ．3D ．4 跟踪训练1 下列说法中正确的是( )A ．若|a |＝|b |，则a 、b 的长度相同，方向相同或相反B ．若向量a 是向量b 的相反向量，则|a |＝|b |C ．空间向量的减法满足结合律D ．在四边形ABCD 中，一定有AB →＋AD →＝AC →探究点二 空间向量的加减运算问题1 怎样计算空间两个向量的和与差？问题2 使用三角形法则和平行四边形法则有哪些要求？例2 如图，已知长方体ABCD —A ′B ′C ′D ′，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量．（1）AA ′→－CB →； （2）AA ′→＋AB →＋B ′C ′→.跟踪训练2 化简：（1）(AB →－CD →)－(AC →－BD →)； （2）(AB →＋CD →)－(AC →＋BD →)．【当堂检测】1．下列命题中，假命题是 ( )A ．向量AB →与BA →的长度相等 B ．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同 C ．只有零向量的模等于0 D ．共线的单位向量都相等2．如图所示，平行四边形ABCD 的对角线交点是O ，则下列等式成立的是 ( )A ．OA →＋OB →＝AB → B ．OA →＋OB →＝BA →C ．AO →－OB →＝AB →D ．OA →－OB →＝CD →3．下列说法中正确的是 ( )A ．若|a |<|b |，则a <bB ．若向量a 是向量b 的相反向量，则a ＋b ＝0C ．如果两向量平行，则两向量相等D ．在四边形ABCD 中，一定有AB →－AD →＝DB →4．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，已知下列各式：①(AB →＋BC →)＋CC 1→；②(AA 1→＋A 1D 1→)＋D 1C 1→；③(AB →＋BB 1→)＋B 1C 1→；④(AA 1→＋A 1B 1→)＋B 1C 1→.其中运算的结果为AC 1→的有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【课堂小结】1．空间向量的概念和平面向量类似，向量的模，零向量，单位向量，相等向量等都可以结合平面向量理解． 2．向量可以平移，任意两个向量都是共面向量．因此空间两个向量的加减法运算和平面向量完全相同，可以利用平行四边形法则和三角形法则来进行.【课后作业】一、基础过关1．两个非零向量的模相等是两个向量相等的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 2．已知空间四边形ABCD 中，AB →＝a ，BC →＝b ，AD →＝c ，则CD →等于( )A ．a ＋b －cB ．c －a －bC ．c ＋a －bD ．c ＋a ＋b 3．判断下列各命题的真假：①向量a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反；②两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同； ③两个有公共终点的向量，一定是共线向量；④有向线段就是向量，向量就是有向线段． 其中假命题的个数为( ) A ．2B ．3C ．4D ．54．已知向量AB →，AC →，BC →满足|AB →|＝|AC →|＋|BC →|，则( )A ．AB →＝AC →＋BC → B ．AB →＝－AC →－BC → C ．AC →与BC →同向D ．AC →与CB →同向 5．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，向量表达式DD 1→－AB →＋BC →化简后的结果是( ) A ．BD 1→B ．D 1B →C ．B 1D →D ．DB 1→6．已知空间四边形ABCD ，连接AC ，BD ，则AB →＋BC →＋CD →为( )A ．AD →B ．BD →C ．AC →D ．07．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，化简向量表达式AB →＋CD →＋BC →＋DA →的结果为________． 8．在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若CA →＝a ，CB →＝b ，CC 1→＝c ，则A 1B →＝____________. 9．已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的中心为O ，①OA →＋OD →与OB 1→＋OC 1→是一对相反向量；②OB →－OC →与OA 1→－OD 1→是一对相反向量； ③OA →＋OB →＋OC →＋OD →与OA 1→＋OB 1→＋OC 1→＋OD 1→是一对相反向量； ④OA 1→－OA →与OC →－OC 1→是一对相反向量．则上述结论正确的有__________(填写正确命题的序号)． 二、能力提升10．如图所示，在长、宽、高分别为AB ＝3，AD ＝2，AA 1＝1的长方 体ABCD —A 1B 1C 1D 1且以八个顶点的两点为始点和终点的向量中，（1）单位向量共有多少个？ （2）试写出模为5的所有向量； （3）试写出与AB →相等的所有向量；（4）试写出AA 1→的相反向量．11．在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，化简DA →－DB →＋B 1C →－B 1B →＋A 1B 1→－A 1B →.12．在平行六面体ABCD —A ′B ′C ′D ′中，用AB →，AD →，AA ′→表示AC ′→.三、探究与拓展13．如图所示，已知空间四边形ABCD ，连接AC ，BD ，E ，F ，G分别是BC ，CD ，DB 的中点，请化简 （1）AB →＋BC →＋CD →；（2）AB →＋GD →＋EC →，并标出化简结果的向量．§3.1.2 空间向量的数乘运算【学习要求】1．掌握空间向量数乘运算的定义和运算律，了解共线(平行)向量、共面向量的意义．2．能理解共线向量定理和共面向量定理及其推论，并能运用它们证明空间向量的共线和共面问题．【学法指导】利用空间向量的数乘运算，理解和表示共线向量和共面向量，充分体现向量的工具性.【知识要点】1．空间向量的数乘运算 （1）向量的数乘：实数λ与空间向量a 的乘积仍然是一个向量，记作_______，称为_______________．当λ>0时，λa 与向量a 方向________；当λ<0时，λa 与向量a 方向________；λa 的长度是a 的长度的________倍． （2）空间向量的数乘运算满足分配律与结合律：分配律：________________，结合律：______________ 2．共线向量（1）共线向量定义表示空间向量a ，b 的有向线段所在的直线_______，则向量a ，b 叫做______或_______，记作________． （2）两向量共线的充要条件对于空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ，使__________ （3）共线向量的推论如果l 为经过点A 平行于已知非零向量a 的直线，那么对于空间任一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ，使OP →＝OA →＋ta ，①其中a 叫直线l 的____________．在l 上取AB →＝a ，则①式可化为____________．此推论可以用来判断三点共线． 3．共面向量（1）共面向量的概念平行于______________的向量，叫做共面向量． (2)三个向量共面的充要条件若两个向量a ，b 不共线，则向量p 与向量a ，b 共面的充要条件是存在惟一的有序实数对(x ，y )，使_____【问题探究】探究点一 空间向量的数乘运算问题1 思考实数λ和空间向量a 的乘积λa 的意义？ 问题2 空间向量的数乘运算满足哪些运算律？例1 设A 是△BCD 所在平面外的一点，G 是△BCD 的重心．求证：AG →＝13(AB →＋AC →＋AD →)．探究点二 向量共线问题问题1（1）两向量共线时，它们的方向有什么关系？ （2）在两向量共线的充要条件中，为什么要求b ≠0? 问题2 向量共线在几何中有什么应用？例2 如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 在A 1D 1上，且A 1E →＝2ED 1→，F 在对角线A 1C 上，且A 1F →＝23FC →.求证：E ，F ，B 三点共线． 跟踪训练2 如图所示，四边形ABCD 是空间四边形，E ，H 分别是边AB ，AD 的中点， F ，G 分别是边CB ，CD 上的点，且CF →＝23CB →，CG →＝23CD →.求证：四边形EFGH 是梯形．探究点三 向量共面问题问题1 如何理解向量与平面平行？问题2 在三个向量共面的充要条件中，若两向量a 、b 共线，那么结论是否还成立？问题3 已知空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，满足向量关系式OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(其中x ＋y ＋z ＝1)的点P 与点A ，B ，C 是否共面？ 问题4 向量共面在几何中有什么应用？问题5 已知A 、B 、M 三点不共线，对于平面ABM 外的任一点O ，确定在下列各条件下，点P 是否与A 、B 、M 一定共面？（1）OB →＋OM →＝3OP →－OA →；（2）OP →＝4OA →－OB →－OM →.例3 如图所示，已知平行四边形ABCD ，过平面AC 外一点O 作射线OA ，OB ， OC ，OD ，在四条射线上分别取点E ，F ，G ，H ，并且使OE OA ＝OF OB ＝OG OC ＝OHOD ＝k ，求证：E ，F ，G ，H 四点共面．跟踪训练3 如图所示，已知矩形ABCD 和矩形ADEF 所在的平面互相垂直，点M ，N 分别在对角线BD ，AE 上，且BM ＝13BD ，AN ＝13AE .求证：向量MN →，CD →，DE →共面．【当堂检测】1．下列命题中是真命题的是 ( ) A ．分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量 B ．若|a |＝|b |，则a ，b 的长度相等而方向相同或相反C ．若向量AB →，CD →满足|AB →|>|CD →|，且AB →与CD →同向，则AB →>CD →D ．若两个非零向量AB →与CD →满足AB →＋CD →＝0，则AB →∥CD →2．空间的任意三个向量a ，b,3a －2b ，它们一定是 ( )A ．共线向量B ．共面向量C ．不共面向量D ．既不共线也不共面向量3．对于空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C 有6OP →＝OA →＋2OB →＋3OC →，则( ) A ．四点O ，A ，B ，C 必共面 B ．四点P ，A ，B ，C 必共面 C ．四点O ，P ，B ，C 必共面 D ．五点O ，P ，A ，B ，C 必共面4．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F .若AC →＝a ，BD →＝b ，则AF →＝______________【课堂小结】空间向量的数乘运算和平面向量完全相同；利用数乘运算可判定两个向量共线，三个向量共面问题，在几何中可以解决一些点共线、点共面、线面平行问题.【课后作业】一、基础过关1．已知空间四边形ABCD ，连接AC 、BD ，设M 、G 分别是BC 、CD 的中点，则MG →－AB →＋AD →等于 ( ) A ．32DB →B ．3MG →C ．3GM →D ．2MG →2．设M 是△ABC 的重心，记BC →＝a ，CA →＝b ，AB →＝c ，则AM →等于()A ．b －c 2B ．c －b 2C ．b －c 3D ．c －b33．已知向量a 、b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则一定共线的三点是 ( ) A ．A 、B 、DB ．A 、B 、C C ．B 、C 、DD ．A 、C 、D4．下列条件，能说明空间不重合的A 、B 、C 三点共线的是( )A ．AB →＋BC →＝AC → B ．AB →－BC →＝AC → C ．AB →＝BC →D ．|AB →|＝|BC →| 5．在下列等式中，使点M 与点A ，B ，C 一定共面的是( )A ．OM →＝25OA →－15OB →－15OC → B ．OM →＝15OA →＋13OB →＋12OC →C ．MA →＋MB →＋MC →＝0D ．OM →＋OA →＋OB →＋OC →＝06．如图所示，空间四边形OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，点M 在OA 上，且OM ＝2MA ，N 为BC 中点，则MN →等于( )A ．12a －23b ＋12cB ．－23a ＋12b ＋12cC ．12a ＋12b －12cD ．－23a ＋23b －12c7．已知A ，B ，C 三点不共线，O 是平面ABC 外任一点，若由OP →＝15OA →＋23OB →＋λOC →确定的一点P 与A ，B ，C 三点共面，则λ＝________.8．在四面体O —ABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE →＝________(用a ，b ，c 表示)．9.如图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，A 1E →＝14A 1C 1→，若AE →＝xAA 1→＋y (AB →＋AD →)，则x ＝________，y ＝________. 二、能力提升10．设e 1，e 2是平面上不共线的向量，已知AB →＝2e 1＋k e 2，CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2，若A ，B ，D 三点共线，试求实数k 的值11．已知A 、B 、C 三点不共线，对平面ABC 外一点O ，有OP →＝25OA →＋15OB →＋25OC →.求证：P 、A 、B 、C四点共面．12．已知A 、B 、C 三点不共线，对平面ABC 外一点O ，当OP →＝2OA →－OB →－OC →时，点P 是否与A 、B 、C 共面？三、探究与拓展13．如图所示，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，O 是B 1D 1的 中点，求证：B 1C →，OD →，OC 1→是共面向量．§3.1.3 空间向量的数量积运算【学习要求】1．掌握空间向量夹角的概念及表示方法，掌握两个向量的数量积的概念、性质和计算方法及运算规律．2．掌握两个向量的数量积的主要用途，会用它解决立体几何中一些简单的问题．【学法指导】数量积是向量最重要的运算，利用数量积可以求向量的模、两个向量的夹角；通过类比平面向量的数量积，学习空间两向量的数量积，通过向量积的运用，培养数学应用意识．【知识要点】1想一想：〈a ，2．空间向量的数量积（1）定义：已知两个非零向量a ，b ，则_________________叫做a ，b 的数量积，记作a·b . （2）数量积的运算律（3【问题探究】探究点一 空间向量的数量积运算问题1 空间两个向量的夹角是怎样定义的，范围怎样规定？问题2 类比平面向量的数量积，说出空间向量的数量积a·b 的定义？ 问题3 请你类比平面向量说出a·b 的几何意义． 问题4 给出下列各式：①|a·b |＝|a||b |；②(a·b )c ＝a (b·c )；③m·(a －b )＝m·a －m·b ；④m·a ＝m·b ⇒a ＝b ；⑤若a·b ＝3，则a ＝3b.其中正确的式子是________例1 已知长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AA 1＝2，AD ＝4，E 为侧面AB 1的中心，F 为A 1D 1的中点．试计算：（1）BC →·ED 1→；（2）BF →·AB 1→；（3）EF →·FC 1→. 跟踪训练1 已知正四面体OABC 的棱长为1.求：（1）OA →·OB →； （2）(OA →＋OB →)·(CA →＋CB →)； （3）|OA →＋OB →＋OC →|.探究点二 利用数量积求夹角问题1 怎样利用数量积求直线夹角或余弦值？ 问题2 利用数量积怎样证明两个向量垂直？证明：(三垂线定理)在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂 直，那么它也和这条斜线垂直．已知：如图，PO ，P A 分别是平面α的垂线、斜线，AO 是P A 在平面α内的射影，l ⊂α，且l ⊥OA ，求证：l ⊥P A .跟踪训练2 如图所示，已知平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是菱形， 且∠C 1CB ＝∠C 1CD ＝∠BCD ＝60°. 求证：CC 1⊥BD .探究点三 利用数量积求距离问题 类比平面向量，说出利用数量积求长度或距离的方法．例3 已知a ，b ，c 中每两个的夹角都是π3，且|a |＝4，|b |＝6，|c |＝2，试计算|a ＋b ＋c |.跟踪训练3 如图所示，已知线段AB 在平面α内，线段AC ⊥α，线段BD ⊥AB ，线段 DD ′⊥α于D ′，如果∠DBD ′＝30°，AB ＝a ，AC ＝BD ＝b ，求CD 的长．【当堂检测】1．设a 、b 、c 是任意的非零平面向量，且它们相互不共线，下列命题：①(a·b )·c －(c·a )·b ＝0； ②|a |－|b |<|a －b |； ③(b·a )·c －(c·a )·b 与c 垂直； ④(3a ＋2b )·(3a －2b )＝9|a |2－4|b |2. 其中正确的有 ( ) A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．②④2．已知a ，b 均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a ＋3b |等于( )A ．7B ．10C ．13D ．4 3．如图所示，已知P A ⊥平面ABC ，∠ABC ＝120°，P A ＝AB ＝BC ＝6，则PC 等于( ) A ．6 2B ．6C ．12D ．144【课堂小结】空间向量的数量积要找到两个向量的模和夹角；利用数量积求两异面直线所成的角，关键在于在异面直线上构造向量，找出两向量的关系；证明两向量垂直可转化为证明两个向量的数量积为零，求线段长度转化为求向量的数量积．【课后作业】一、基础过关1．若a ，b 均为非零向量，则a·b ＝|a||b |是a 与b 共线的( )A ．充分不必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件 2．在棱长为1的正四面体ABCD 中，E ，F 分别是BC ，AD 的中点，则AE →·CF →等于( ) A ．0B ．12C ．－34D ．－123．已知|a |＝2，|b |＝3，〈a ，b 〉＝60°，则|2a －3b |等于( )A ．97B ．97C ．61D ．614．若非零向量a ，b 满足|a |＝|b |，(2a ＋b )·b ＝0，则a 与b 的夹角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°5．如果e 1，e 2是两个夹角为60°的单位向量，则a ＝e 1＋e 2与b ＝e 1－2e 2的夹角为________． 6．已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，且a 与b 的夹角为π3，则|a ＋b |＝________.7．在平行四边形ABCD 中，AD ＝4，CD ＝3，∠D ＝60°，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝6，求PC 的长． 二、能力提升8．已知a 、b 是异面直线，A 、B ∈a ，C 、D ∈b ，AC ⊥b ，BD ⊥b ，且AB ＝2，CD ＝1，则a 与b 所成的角是( ) A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°9．正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的各棱长都为2，E 、F 分别是AB 、A 1C 1的中点，则EF 的长是 ( ) A ．2B ． 3C ． 5D ．710．向量(a ＋3b )⊥(7a －5b )，(a －4b )⊥(7a －2b )，则a 与b 的夹角是________． 11．如图所示，在四棱锥P —ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，AB ⊥BC ， AB ⊥AD ，且P A ＝AB ＝BC ＝12AD ＝1，求PB 与CD 所成的角．12．已知在空间四边形OACB 中，OB ＝OC ，AB ＝AC ，求证：OA ⊥BC . 三、探究与拓展13．如图所示，如果直线AB 与平面α交于点B ，且与平面α内的经过点B的三条直线BC 、BD 、BE 所成的角相等．求证：AB ⊥平面α.§3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示【学习要求】1．理解空间向量基本定理，并能用基本定理解决一些几何问题．2．理解基底、基向量及向量的线性组合的概念．3．掌握空间向量的坐标表示，能在适当的坐标系中写出向量的坐标．【学法指导】从空间向量的正交分解到空间向量基本定理，是特殊到一般的思想．把空间向量用不共面的三个向量表示是利用向量解决几何问题的基础.【知识要点】1．空间向量基本定理定理：如果三个向量a ，b ，c ________，那么对于空间任一向量p ，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝_________.其中__________叫做空间的一个基底，__________都叫做基向量． 2．空间向量的正交分解及其坐标表示 （1）单位正交基底三个有公共起点O 的____________的单位向量e 1，e 2，e 3称为单位正交基底． （2）空间直角坐标系以e 1，e 2，e 3的公共起点O 为______，分别以___________的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz .（3）空间向量的坐标表示对于空间任意一个向量p ，一定可以把它________，使它的起点与原点O 重合，得到向量OP →＝p .由空间向量基本定理可知，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝______________把__________称作向量p 在单位正交基底e 1，e 2，e 3下的坐标，记作____________.【问题探究】探究点一 空间向量的基底问题1 平面向量的基底要求二个基向量不共线，那么构成空间向量基底的三个向量有什么条件？ 问题2 基向量和基底一样吗？0能否作为基向量？问题3 类比平面向量的正交分解，空间向量也可以正交分解，请思考此时的基底应满足什么条件？ 例1 若{a ，b ，c }是空间的一个基底．试判断{a ＋b ，b ＋c ，c ＋a }能否作为该空间的一个基底？ 跟踪训练1 设x ＝a ＋b ，y ＝b ＋c ，z ＝c ＋a ，且{a ，b ，c }是空间的一个基底，给出下列向量组：①{a ，b ，x }，②{x ，y ，z }，③{b ，c ，z }，④{x ，y ，a ＋b ＋c }，其中可以作为空间的基底的向量组有 ( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个探究点二 用基底表示向量问题1 和平面向量基本定理类似，请你思考怎样用空间的基底来表示任何一个空间向量？问题2 用基底表示向量应注意哪些问题？例2 如图所示，空间四边形OABC 中，G 、H 分别是△ABC 、△OBC 的重心，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c .试用向量a ，b ，c 表示向量GH →.跟踪训练2 在平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，AB →＝a ，AD →＝b ，AA ′→＝c ，P 是CA ′的中点，M 是CD ′的中点，N 是C ′D ′的中点，点Q 是CA ′上的点，且CQ ∶QA ′＝4∶1，用基底{a ，b ，c }表示以下向量：（1）AP →； （2）AM →； （3）AN →； （4）AQ →.探究点三 空间向量的坐标表示问题1 怎样把空间向量用坐标表示？问题2 空间向量的坐标表示和利用空间向量基本定理表示向量是什么关系？例3 已知P A 垂直于正方形ABCD 所在的平面，M 、N 分别是AB 、PC 的中点，并且P A ＝AD ＝1，求向量MN →、DC →的坐标．跟踪训练3 在直三棱柱ABO —A 1B 1O 1中，∠AOB ＝π2，AO ＝4，BO ＝2，AA 1＝4，D为A 1B 1的中点，则在如图所示的空间直角坐标系中，求DO →，A 1B →的坐标．【当堂检测】1．O 、A 、B 、C 为空间四点，且向量OA →，OB →，OC →不能构成空间的一个基底，则 ( ) A ．OA →、OB →、OC →共线 B ．OA →、OB →共线 C ．OB →、OC →共线D ．O 、A 、B 、C 四点共面2．已知e 1，e 2，e 3是空间直角坐标系中分别与x 轴、y 轴、z 轴同向的单位向量，且p ＝e 1＋2e 2－3e 3，则p 的坐标是 ( )A ．(1,2,3)B ．(－1，－2,3)C ．(1,2，－3)D ．(1，－2，－3)3．已知点A 在基底{a ，b ，c }下的坐标为(8,6,4)，其中a ＝i ＋j ，b ＝j ＋k ，c ＝k ＋i ，则点A 在基底{i ，j ，k }下的坐标是 ( )A ．(12,14,10)B ．(10,12,14)C ．(14,12,10)D ．(4,3,2)4．从空间一点P 引出三条射线P A ，PB ，PC ，在P A ，PB ，PC 上分别取PQ →＝a ，PR →＝b ，PS →＝c ，点G 在PQ 上，且PG ＝2GQ ，H 为RS 的中点，则GH →＝______________.(用a ，b ，c 表示)【课堂小结】1．空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底；基底选定后，任一向量可由基底唯一表示． 2．向量的坐标是在单位正交基底下向量的表示．在表示向量时，要结合图形的几何性质，充分利用向量的线性运算.【课后作业】一、基础过关1．以下四个命题中正确的是( )A ．空间的任何一个向量都可用其它三个向量表示B ．若{a ，b ，c }为空间向量的一组基底，则a ，b ，c 全不是零向量C ．△ABC 为直角三角形的充要条件是AB →·AC →＝0 D ．任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一个基底 2．下列说法中不正确的是( )A ．只要空间的三个向量的模为1，那么它们就能构成空间的一个单位正交基底B ．竖坐标为0的向量平行于x 轴与y 轴所确定的平面C ．纵坐标为0的向量都共面D ．横坐标为0的向量都与x 轴上的基向量垂直3．设O —ABC 是四面体，G 是△ABC 的重心，若OG →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，则(x ，y ，z )为 ( ) A ．⎝⎛⎭⎫13，13，13B ．⎝⎛⎭⎫14，14，14C ．⎝⎛⎭⎫23，23，23 D ．(1,1,1) 4．在空间直角坐标系Oxyz 中，下列说法正确的是( )A ．向量AB →与点B 的坐标相同 B ．向量AB →与点A 的坐标相同 C ．向量AB →与向量OB →的坐标相同 D ．向量AB →与向量OB →－OA →的坐标相同 5．如图，长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AC 与BD 的交点为M ， 设A 1B 1→＝a ，A 1D 1→＝b ，A 1A →＝c ，则下列向量中与B 1M →相等的 向量是( )A ．－12a ＋12b ＋cB ．12a ＋12b ＋cC ．12a －12b ＋cD ．－12a －12b ＋c6．如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中建立空间直角坐标系， 若正方体的棱长为1，则AB →的坐标为__________，DC 1→的坐标 为__________，B 1D →的坐标为__________．7．一个向量p 在基底{a ，b ，c }下的坐标为(1,2,3)，则p 在{a ＋b ，a －b ，c }下的坐标为__________． 8．正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点E 、F 分别是底面A 1C 1和侧面CD 1的中心，若EF →＋λA 1D →＝0 (λ∈R )，则λ＝______ 二、能力提升9．如图所示，在正方体AC 1中，取AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c 作为基底． （1）求BD 1→；（2）若M ，N 分别为边AD ，CC 1的中点，求MN →.10．平行六面体OABC —O ′A ′B ′C ′，且OA →＝a ，OC →＝b ，OO ′→＝c . （1）用a ，b ，c 表示向量AC ′→；（2）设G ，H 分别是侧面BB ′C ′C 和O ′A ′B ′C ′的中心，用a ，b ，c 表示GH →.11．已知P A 垂直于正方形ABCD 所在的平面，M 、N 分别是AB 、PC 的三等分点且PN ＝2NC ，AM ＝2MB ，P A ＝AB ＝1，求MN →的坐标．三、探究与拓展12．如图所示，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别在 B 1B 和D 1D 上，且BE ＝13BB 1，DF ＝23DD 1.（1）证明：A 、E 、C 1、F 四点共面； （2）若EF →＝xAB →＋yAD →＋zAA 1→，求x ＋y ＋z .【课后作业】一、基础过关1．在空间直角坐标系Oxyz 中，已知点A 的坐标为(－1，2,1)，点B 的坐标为(1,3,4)，则 ( ) A ．AB →＝(－1,2,1) B ．AB →＝(1,3,4) C ．AB →＝(2,1,3) D ．AB →＝(－2，－1，－3) 2．与向量m ＝(0,2，－4)共线的向量是( )A ．(2,0，－4)B ．(3,6，－12)C ．(1,1，－2)D.⎝⎛⎭⎫0，12，－1 3．设A (3,3,1)、B (1,0,5)、C (0,1,0)，则AB 的中点M 到C 的距离|CM |的值为 ( ) A ．534B ．532C ．532D ．1324．已知A (2，－5,1)，B (2，－2,4)，C (1，－4,1)，则向量AB →与AC →的夹角为 ( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°5．已知a ＝(2，－1,3)，b ＝(－4,2，x )，c ＝(1，－x,2)，若(a ＋b )⊥c ，则x 等于( ) A ．4B ．－4C ．12D ．－66．已知a ＝(2，－1,2)，b ＝(2,2,1)，则以a 、b 为邻边的平行四边形的面积为 ( ) A ．65B ．652C ．4D ．87．与a ＝(2，－1,2)共线且满足a·z ＝－18的向量z ＝________________. 二、能力提升8．已知2a ＋b ＝(0，－5,10)，c ＝(1，－2，－2)，a·c ＝4，|b |＝12，则〈b ，c 〉＝________.9．在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，BC ＝1，DD 1＝3，则AC 与BD 1所成角的余弦值是__________． 10．单位向量a ＝(x ，y,0)与向量c ＝(1,1,1)的夹角为π4，求：x ＋y 与xy 的值．11．已知空间三点A (0,2,3)，B (－2,1,6)，C (1，－1,5)．（1）求以向量AB →，AC →为一组邻边的平行四边形的面积S ；（2）若向量a 分别与向量AB →，AC →垂直，且|a |＝3，求向量a 的坐标．12．已知正四棱锥S —ABCD 的侧棱长为2，底面的边长为3，E 是SA 的中点，求异面直线BE 与SC所成的角．三、探究与拓展13．如图所示，在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别 为AB 和BC 的中点，试在棱B 1B 上找一点M ，使得D 1M ⊥平面 EFB 1.§3.2 立体几何中的向量方法第1课时 空间向量与平行关系【学习要求】1．理解直线的方向向量和平面的法向量．2．能用向量语言表述线线、线面、面面平行关系．【学法指导】在学习用空间向量方法证明平行关系、垂直关系时，应先复习必修二中学习的线面、面面平行与垂直的判定定理，将这种位置关系的判断转化为向量间的代数运算，体现向量的工具性作用.【知识要点】12设直线l ，m【问题探究】探究点一 利用方向向量和法向量判定线面的位置关系问题1 对于一条确定的直线和一个确定的平面，它的方向向量及法向量有几个？ 问题2 怎样求一个平面的法向量？试一试 已知A (1,0,1)，B (0,1,1)，C (1,1,0)，求平面ABC 的一个法向量． 例1 根据下列条件，判断相应的线、面位置关系：（1）直线l 1，l 2的方向向量分别是a ＝(1，－3，－1)，b ＝(8,2,2)； （2）平面α，β的法向量分别是u ＝(1,3,0)，v ＝(－3，－9,0)；（3）直线l 的方向向量，平面α的法向量分别是a ＝(1，－4，－3)，u ＝(2,0,3)； （4）直线l 的方向向量，平面α的法向量分别是a ＝(3,2,1)，u ＝(－1,2，－1)． 跟踪训练1 根据下列条件，判断相应的线、面位置关系：（1）直线l 1与l 2的方向向量分别是a ＝(2,3，－1)，b ＝(－6，－9,3)； （2）直线l 1与l 2的方向向量分别是a ＝(－2,1,4)，b ＝(6,3,3)； （3）平面α与β的法向量分别是u ＝(1，－1,2)，v ＝⎝⎛⎭⎫3，2，－12； （4）平面α与β的法向量分别是u ＝(2，－3,4)，v ＝(4，－2,1)；（5）直线l 的方向向量，平面α的法向量分别是a ＝(0，－8,12)，u ＝(0,2，－3)．探究点二 用向量法证明立体几何定理例2 证明：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行．已知：直线l ，m 和平面α，β，其中l ，m ⊂α，l 与m 相交，l ∥β，m ∥β，求证：α∥β.跟踪训练2 用向量方法证明：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行．已知：直线l ，m 和平面α，其中l ⊄α，m ⊂α，且l ∥m ，求证：l ∥α.探究点三 利用空间向量证明平行关系问题 怎样利用向量证明空间中的平行关系？例3 已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E 、F 分别是BB 1、DD 1的中点， 求证：（1）FC 1∥平面ADE ； （2）平面ADE ∥平面B 1C 1F .跟踪训练3 如图，在四棱锥S —ABCD 中，底面ABCD 为正方形，侧棱SD ⊥底面ABCD ，E 、F 分别为AB 、SC 的中点． 证明：EF ∥平面SAD .【当堂检测】1．若a ＝(1,2,3)是平面γ的一个法向量，则下列向量中能作为平面γ的法向量的是 ( ) A ．(0,1,2) B ．(3,6,9) C ．(－1，－2,3) D ．(3,6,8)2．若A (－1,0,1)，B (1,4,7)在直线l 上，则直线l 的一个方向向量为( ) A ．(1,2,3) B ．(1,3,2) C ．(2,1,3) D ．(3,2,1)3．若两个不同平面α，β的法向量分别为u ＝(1,2，－1)，v ＝(－3，－6,3)，则 ( ) A ．α∥β B ．α⊥β C ．α，β相交但不垂直 D ．以上均不正确 4．已知l ∥α，且l 的方向向量为(2，m,1)，平面α的法向量为⎝⎛⎭⎫1，12，2，则m ＝______ 5．正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，证明：平面A 1BD ∥平面CB 1D 1.【课堂小结】1．利用向量解决立体几何问题的“三步曲”：（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（2）进行向量运算，研究点、直线、平面之间的关系(距离和夹角等)； （3）根据运算结果的几何意义来解释相关问题．2．证明线面平行问题，可以利用直线的方向向量和平面的法向量之间的关系；也可以转化为线线平行，利用向量共线来证明.【课后作业】一、基础过关1．已知a ＝(2,4,5)，b ＝(3，x ，y )分别是直线l 1、l 2的方向向量．若l 1∥l 2，则 ( ) A ．x ＝6，y ＝15 B ．x ＝3，y ＝152C ．x ＝3，y ＝15D ．x ＝6，y ＝1522．直线l 的方向向量为a ，平面α内两共点向量OA →，OB →，下列关系中能表示l ∥α的是( ) A ．a ＝OA → B ．a ＝kOB → C ．a ＝pOA →＋λOB →D ．以上均不能3．若n ＝(2，－3,1)是平面α的一个法向量，则下列向量中能做平面α法向量的是( ) A ．(0，－3,1)B ．(2,0,1)C ．(－2，－3,1)D ．(－2,3，－1)4．如图，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 、P 、Q 分别为棱AB 、 CD 、BC 的中点，若平行六面体的各棱长均相等，则 ①A 1M ∥D 1P ；②A 1M ∥B 1Q ；③A 1M ∥平面DCC 1D 1； ④A 1M ∥平面D 1PQB 1.以上结论中正确的是 ( ) A ．①③④B ．①②③④C ．①③D ．③④5．设平面α的法向量为(1,2，－2)，平面β的法向量为(－2，－4，k )，若α∥β，则k 等于 ( ) A ．2B ．－4C ．4D ．－26．设直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为b ，若a·b ＝0，则( )A ．l ∥αB ．l ⊂αC ．l ⊥αD ．l ⊂α或l ∥α7．已知直线l 1的一个方向向量为(－7,3,4)，直线l 2的一个方向向量为(x ，y,8)，且l 1∥l 2， 则x ＝______，y ＝______.8．若平面α的一个法向量为u 1＝(－3，y,2)，平面β的一个法向量为u 2＝(6，－2，z )，且α∥β，则y ＋z ＝________9．已知A (4,1,3)，B (2,3,1)，C (3,7，－5)，点P (x ，－1，3)在平面ABC 内，则x ＝______. 二、能力提升10．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是BB 1，DC 的中点，求证：AE →是平面A 1D 1F 的法向量．11．如图，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直， AB ＝2，AF ＝1，M 是线段EF 的中点．求证：AM ∥平面BDE .12．如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是C 1C 、B 1C 1的中点．求证：MN ∥平面A 1BD .三、探究与拓展13．如图所示，在正方体AC 1中，O 为底面ABCD 中心，P 是DD 1的中点，设Q 是CC 1上的点，问：当点Q 在什么位置时，平面D 1BQ ∥平面P AO?第2课时 空间向量与垂直关系【学习要求】1．能利用向量叙述线线、线面、面面的垂直关系．2．进一步体会直线的方向向量，平面法向量的作用．【学法指导】在平行关系的基础上，利用直线的方向向量和平面的法向量判定立体几何中的垂直关系，体现了转化的数学思想.【知识要点】空间垂直关系的向量表示【问题探究】探究点一证明线线垂直问题怎样证明两条直线互相垂直？例1如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4，求证：AC⊥BC1.跟踪训练1在棱长为a的正方体OABC—O1A1B1C1中，E、F分别是AB、BC上的动点，且AE＝BF，求证：A1F⊥C1E.探究点二证明线面垂直问题怎样利用向量方法证明线面垂直？例2如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点．求证：A1O⊥平面GBD.跟踪训练2如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点．求证：EF⊥平面B1AC.探究点三证明面面垂直问题怎样证明两个平面垂直？例3在四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，BC＝CD，∠BCD＝90°，∠ADB＝30°，E、F分别是AC、AD的中点，求证：平面BEF⊥平面ABC.跟踪训练3如图所示，在六面体ABCD—A1B1C1D1中，四边形ABCD是边长为2的正方形，四边形A1B1C1D1是边长为1的正方形，DD1⊥平面A1B1C1D1，DD1⊥平面ABCD，DD1＝2.求证：（1）A1C1与AC共面，B1D1与BD共面；（2）平面A1ACC1⊥平面B1BDD1. 【当堂检测】1．若直线l1、l2的方向向量分别为a＝(1,2，－2)，b＝(－2,3,2)，则()A．l1∥l2B．l1⊥l2C．l1、l2相交但不垂直D．不能确定2．若直线l的方向向量为a＝(1,0,2)，平面α的法向量为u＝(－2,0，－4)，则()A．l∥αB．l⊥αC．l⊂αD．l与α斜交3．平面α的一个法向量为(1,2,0)，平面β的一个法向量为(2，－1,0)，则平面α与平面β的位置关系是()A．平行B．相交但不垂直C．垂直D．不能确定4.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，P A⊥平面ABCD，AP＝AB＝2，BC＝22，E，F分别是AD，PC的中点．证明：PC⊥平面BEF.【课堂小结】1．用空间向量法解决立体几何中的垂直问题，主要是运用直线的方向向量与平面的法向量，同时也可借助空间中已有的一些关于垂直的定理．2．用法向量来解决有关直线与平面、平面与平面的关系问题，思路清楚，不必考虑图形的位置关系，只需通过向量运算，就可得到要证明的结果．【课后作业】一、基础过关1．若平面α、β的法向量分别为u＝(2，－3,5)，v＝(－3，1，－4)，则() A．α∥βB．α⊥βC．α、β相交但不垂直 D．以上均不正确2．若直线l的一个方向向量为a＝(2,5,7)，平面α的一个法向量为u＝(1,1，－1)，则() A．l∥αB．l⊥αC．l⊂αD．A、C均有可能3．已知平面α内有一个点A(2，－1,2)，α的一个法向量为n＝(3,1,2)，则下列点P中，在平面α内的是()A．(1，－1,1) B．⎝⎛⎭⎫1，3，32C．⎝⎛⎭⎫1，－3，32D．⎝⎛⎭⎫－1，3，－324．如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，若E为A1C1的中点，则直线CE垂直于()A．AC B．BD C．A1D D．A1A5．已知A(1,0,0)、B(0,1,0)、C(0,0,1)，则平面ABC的一个单位法向量是() A．⎝⎛⎭⎫33，33，－33B．⎝⎛⎭⎫33，－33，33C．⎝⎛⎭⎫－33，33，33D．⎝⎛⎭⎫－33，－33，－336．已知平面α和平面β的法向量分别为a＝(1,1,2)，b＝(x，－2，3)，且α⊥β，则x＝________ 7．下列命题中：①若u，v分别是平面α，β的法向量，则α⊥β⇔u·v＝0；②若u是平面α的法向量且向量a与α共面，则u·a＝0；③若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直．。

3.1.3 空间向量的数量积运算一、教学目标（一）核心素养通过本节课的学习，同学们能掌握空间向量数量积运算的法则及运算律，能借助图形进行空间向量的运算，并通过空间几何体加深对运算的理解．会利用数量积的性质求空间向量的夹角和模，并能熟练应用于立体几何证明与求值．（二）学习目标1．了解向量夹角的定义，掌握空间向量数量积的运算法则及运算律．2．掌握利用数量积求空间向量夹角和模的方法．3．培养学生数形结合的思想和空间想象能力，并能解决向量的综合问题．（三）学习重点1．空间向量的数量积运算法则及运算律．2．空间向量的模长公式和夹角公式．3．空间向量数量积在立体几何中的应用．（四）学习难点1．利用空间向量的数量积求模与夹角．2．将立体几何问题转化为空间向量的数量积问题．二、教学设计（一）课前设计1．预习任务（1）读一读：阅读教材第90页至第91页，填空： 已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作a OA =，b OB =，则AOB ∠叫做向量a ，的夹角，记作><,． 如果2,π>=<，那么向量，互相垂直，记作⊥． 已知两个非零向量，，则><b a b a ,cos ||||叫做，的的数量积，记作⋅． 零向量与任何向量数量积为0． 特别地，⋅=><,cos ||||2||=．（2）写一写：和平面向量类似，空间向量的数量积满足哪些运算律？ ①数乘结合律：)()(b a b a ⋅=⋅λλ， ②交换律：⋅=⋅， ③分配率：⋅+⋅=+⋅)(．和平面向量类似，空间向量的数量积有哪些性质？ ①若为单位向量，则⋅=><,cos ||； ②若，⊥⇔⋅0=； ③==a ||；④若，为非零向量，则>=<,cos ||||a ba b ⋅； ⑤||||||≤⋅（当且仅当a ，b 共线时等号成立）． 2．预习自测（1）已知向量，满足：3||=，2||=，⋅6-=，则>=<,（ ）A ．0B ．3πC ．2πD ．π 【知识点】空间向量的夹角公式．【解题过程】∵6cos ,123||||a b a b a b ⋅-<>===-⨯rr r r r r ，∴>=<b a ,π．【思路点拨】理解并熟记空间向量的夹角公式．【答案】D ．（2）在正三棱柱111C B A ABC -中，若12BB AB =，则1AB 与B C 1所成角的大小为（）A ． 60B ． 90C ． 75D ． 105【知识点】空间向量的垂直．【解题过程】设m BB =||1，则m AB 2||=，∴C AB 11⋅)()(11C BB +⋅+=C BB 11⋅+⋅= 180cos 60cos 22⋅⋅+⋅⋅=m m m m 022=-=m m ，故1AB 与B C 1所成角的大小为 90．【思路点拨】空间向量的垂直的充要条件数量积等于0．【答案】B ．（3）在平行六面体1111D C B A ABCD -中，4=AB ，3=AD ，51=AA ， 90=∠BAD ，6011=∠=∠DAA BAA ，则=||1AC ．【知识点】空间向量的模长． 【解题过程】=21||AC 2121)(AA AC ++=112122222AA AA AA ⋅+⋅+⋅+++=21532215420534222⨯⨯⨯+⨯⨯⨯++++=85=，故=||1AC 85．【思路点拨】利用空间向量的模长公式，转化为数量积的运算． 【答案】85．（4）已知线段AB ，BD 在平面α内，AB BD ⊥，线段α⊥AC ，且a AB =，b BD =，c AC =，则C ，D 间的距离为 ．【知识点】空间向量的模长． 【解题过程】222)(||++==⋅+⋅+⋅+++=222222000222+++++=c b a 222c b a ++=，故C ，D 间的距离为222c b a ++．【思路点拨】利用空间向量的模长公式，转化为数量积的运算． 【答案】222c b a ++．(二)课堂设计1．知识回顾（1）空间向量线性运算法则和运算律；（2）共线向量定理的两种表达形式；（3）共面向量定理的两种表达形式．2．问题探究探究一 由平面向量类比空间向量的数量积运算★●活动① 类比提炼概念前面我们说过，两个非零向量a r ，b r 一定是共面向量．那在平面向量中，我们是怎样定义两个向量的夹角的呢？（抢答） 已知两个非零向量，，在空间任取一点O ，作OA a =uu r r ，OB b =uu u r r ，则AOB ∠叫做向量，的夹角，记作><,．如果2,π>=<，那么向量，互相垂直，记作⊥．也就是说，两个空间向量夹角的定义与平面向量一致．【设计意图】两个非零向量一定是共面，因此向量夹角的概念自然地从平面到空间，让学生体会概念的类比过程，为数量积的定义作好准备．●活动② 巩固理解，深入探究同样的，那数量积的定义呢？（抢答） 已知两个非零向量a ，b ，则><,cos ||||叫做a ，b 的的数量积（inner product ），记作a b ⋅r r ．零向量与任何向量数量积为0．特别地，2=||||cos ,||a a a a a a a ⋅<>=r r r r r r r ．【设计意图】通过抢答，使学生深入探究，进而得到数量积定义．●活动③ 深入探究，发现规律和平面向量类似，空间向量的数量积满足哪些运算律？（抢答） ①数乘结合律：)()(⋅=⋅λλ， ②交换律：⋅=⋅， ③分配率：⋅+⋅=+⋅)(．【设计意图】类比平面向量，得出空间向量数量积的运算律，理解更加深入．探究二 探究空间向量数量积的性质★▲●活动① 类比探究，研究性质和平面向量类似，空间向量的数量积有哪些性质？（抢答） ①若为单位向量，则=||cos ,a e a a e ⋅<>r r r r r ；（解释：1||=，转化为投影） ②若，为非零向量，则0a b a b ⊥⇔⋅=r r r r ；（解释：,cos 022a b ππ<>==r r ，）③||==；（解释：,0cos 01a b <>==r r ，） ④若，为非零向量，则||||,cos b a b a >=<；（解释：定义的变形式） ⑤||||||≤⋅（当且仅当，共线时等号成立）．（解释：,[0,]cos ,[1,1]a b a b π<>∈<>∈-r r r r ，）【设计意图】通过类比，得到空间向量数量积的各种性质，并给予合理解释，突破难点． ●活动② 巩固理解，深入探究以上五个性质中，大家认为最重要的有哪些，它们有什么作用？（抢答）第②条，0a b a b ⊥⇔⋅=r r r r ，可用于证明空间向量垂直；第③条，||=，是空间向量的模长公式；第④条，||||,cos b a b a >=<，是空间向量的夹角公式．【设计意图】让学生进行思考，在深刻理解性质的同时，指出公式的作用，为后面的计算打好基础．探究三 探究空间向量数量积的具体应用★▲●活动① 归纳梳理、理解提升通过前面的学习，由于两个向量必然共面，所以空间向量数量积的运算法则和运算律和平面向量基本一致．同时，我们理解了数量积的三个重要应用是？（抢答）模长、垂直、夹角．它们都是向量a ，b 的二次运算，是非线性的．【设计意图】通过学生归纳知识点和定理，培养学生数学对比、归类、整理意识． ●活动② 互动交流、初步实践例1 设，，是任意的非零向量，且它们相互不共线，下列命题中：①()()0a b c c a b ⋅-⋅=r r r r r r ；②=||22a b b a =r r r r ； ④22||4||9)23()23(-=-⋅+．正确的是（ ）A ．①②B ．②③C ．③④D ．②④【知识点】空间向量的数量积运算法则和运算律．【数学思想】转化思想．【解题过程】向量的数量积不满足结合律，所以①不正确；由向量的数量积的定义知，②正确；，不一定共线，向量不一定相等，所以③不正确；利用数量积的运算律，④正确．【思路点拨】空间向量数量积运算不满足结合律．【答案】D ．同类训练 已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线长都等于a ，点E ，F ，G 分别为AB ，AD ，DC 的中点，则以下运算结果为2a 的是（ ）A ．⋅2B ．⋅2C ．CA FG ⋅2D ．CB EF ⋅2【知识点】空间几何体中向量的数量积运算．【数学思想】数形结合思想． 【解题过程】由已知可得3,π>=<， 所以><=⋅,cos ||||22223cos 2a a ==π． 【思路点拨】在空间几何体中先找出向量的夹角再根据定义计算．【答案】B ．【设计意图】通过空间几何体中的向量，让学生对数量积的定义和运算更加熟练． 活动③ 巩固基础、检查反馈例2 已知空间四边形OABC 中，OB =OC ，且3π=∠=∠AOC AOB ，则><BC OA ,cos 的值为（ ）A ．0B ．21C ．22D ．23 【知识点】空间向量的线性表示及夹角公式．【数学思想】数形结合思想． 【解题过程】设a OA =，b OB =，c OC =，由已知得3,,π>=>=<<，且||||=． 所以()OA BC a c b a c a b ⋅=⋅-=⋅-⋅uu r uu u r r r r r r r r 3cos ||||3cos ||||ππ-=0|)||(|||21=-=， 所以0||||,cos =>=<BC OA ．【思路点拨】求向量夹角的重点就是求数量积和模长．【答案】A ．同类训练 已知空间向量，，两两夹角为 60，其模都为1，则|2|+-等于（ ）A ．5B ．5C ．6D ．6【知识点】空间向量的模长公式．【数学思想】转化思想． 【解题过程】∵1||||||===c b a ， 60,,,>=>=<>=<<a c c b b a ，∴21=⋅=⋅=⋅， ∴2|2|+-a c c b b a c b a ⋅+⋅-⋅-++=4424222214214212411⨯+⨯-⨯-++=5=， ∴|2|+-5=． 【思路点拨】先计算⋅，⋅，⋅，再利用模长公式展开计算．【答案】A ．【设计意图】运用向量的夹角和模长公式，学生对数量积的运算更加熟练，基础更加牢固． ●活动④ 强化提升、灵活应用例3 已知PO ，P A 分别是平面α的垂线、斜线，AO 是P A 在平面α内的射影，α⊂l 且OA l ⊥，求证：PA l ⊥．【知识点】利用空间向量数量积解决直线垂直问题．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】取直线l 的方向向量，同时取向量PA ，，∵OA l ⊥，∴0=⋅．∵α⊥PO ，且α⊂l ，∴PO l ⊥，∴0=⋅． 又∵=⋅)(+⋅0=⋅+⋅=，∴PA l ⊥．【思路点拨】将向量用，来表示，从而利用数量积解决垂直问题．这是三垂线定理的向量证法，同理也可用来证明：若PA l ⊥，则OA l ⊥．【答案】见解题过程．同类训练 已知m ，n 是平面α内的两条相交直线，如果m l ⊥，n l ⊥，求证：α⊥l ．【知识点】利用空间向量数量积解决线面垂直问题．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】在α内任作一直线g ，分别在l ，m ，n ，g 上取非零向量l ，m ，，． ∵m 与n 相交，∴向量，不平行，由向量共面的充要条件知，存在唯一的有序实数对),(y x ，使y x +=． ∵0=⋅m l ，0=⋅n l ，∴y x ⋅+⋅=⋅0=，即g l ⊥．∴l 垂直于α内的任意直线，∴α⊥l ．【思路点拨】将α内的任意直线的方向向量表示为，的线性组合，从而利用数量积证明0=⋅g l ，再由线面垂直的定义可证．这是线面垂直判定定理的向量证法．【答案】见解题过程．【设计意图】垂直问题的证明是常见题型，通过数量积的计算，避免了立体几何中辅助线的添加，极大地降低了难度．3. 课堂总结知识梳理（1）已知两个非零向量，，在空间任取一点O ，作=，=，则AOB ∠叫做向量，的夹角，记作><,．如果2,π>=<b a ，那么向量，互相垂直，记作⊥． （2）已知两个非零向量，，则><,cos ||||叫做，的的数量积（inner product ），记作⋅．零向量与任何向量数量积为0．特别地，⋅=><,cos ||||2||=．空间向量的数量积满足的运算律有：①数乘结合律：)()(⋅=⋅λλ，②交换律：⋅=⋅，③分配率：⋅+⋅=+⋅)(．（3）空间向量的数量积的性质有：①若e 为单位向量，则a e ⋅=><,cos ||；②若a ，b 为非零向量，则a b ⊥⇔a b ⋅0=；③||==a ，b 为非零向量，则||||,cos b a >=<；⑤||||||≤⋅（当且仅当，共线时等号成立）．重难点归纳（1）空间向量的数量积是向量的二维计算，是三个实数的乘积，不满足结合律．（2）空间向量的数量积主要解决向量的垂直，模长和夹角问题，在立体几何中应用非常广泛．（三）课后作业基础型 自主突破1．下列命题中正确的是（ ）A ．222)(⋅=⋅ B ．||||||≤⋅C ．)()(⋅⋅=⋅⋅D ．若)(-⊥，则0=⋅=⋅【知识点】向量数量积的概念和运算．【数学思想】转化思想． 【解题过程】对于A 项，><=⋅,cos )(222222≤，故A 错误；对于C 项，数量积不满足结合律，故C 错误；对于D 项，有0)(=-⋅，所以⋅=⋅，但不一定等于0，故D 错误．B 项是数量积的性质．【思路点拨】深刻理解各种概念和运算．【答案】B ． 2．已知，为单位向量，其夹角为 60，则=⋅-)2(（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．2【知识点】向量数量积的运算．【数学思想】转化思想． 【解题过程】∵1||||==，>=<, 60， ∴=⋅-)2(22-⋅0||60cos ||||22=-= ．【思路点拨】熟练掌握空间向量数量积的运算法则．【答案】B ． 3．在三棱锥BCD A -中，2===AD AC AB ， 90=∠BAD ， 60=∠BAC ，则=⋅（ ）A ．2-B ．2C ．32-D ．32 【知识点】空间向量数量积的运算．【数学思想】数形结合思想． 【解题过程】=⋅)(-⋅⋅-⋅= 60cos 220⨯⨯-=2-=．【思路点拨】在空间几何体中找到夹角再根据定义计算.【答案】A ．4．在三棱锥ABC D -中，已知)()2(AC AB DA DC DB -⋅-+0=，则ABC ∆是（ ）A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形 【知识点】空间向量数量积的运算．【数学思想】转化思想． 【解题过程】∵)()2(-⋅-+)()(-⋅-+-=0)()(22=-=-⋅+=AC AB AC AB AC AB ，∴22||||AC AB =，即AC AB =．【思路点拨】熟练掌握空间向量数量积的各种变形．【答案】B ．5．已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若+=与的夹角 为 ．【知识点】空间向量的夹角．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】∵+=，∴点O 是BC 中点，故BC 为直径，根据圆的性质，有 90=∠BAC ，即<AB ,> 90=．【思路点拨】利用几何性质，点O 是BC 中点，BAC ∠是直角所对的圆周角．【答案】 90． 6．已知，，中每两个向量的夹角都是3π，且4||=a ，6||=b ，2||=c ，试求出||++的值．【知识点】向量模长公式．【数学思想】转化思想． 【解题过程】∵2||++⋅+⋅+⋅+++=222222422664264222⨯+⨯+⨯+++=100=，∴||++10=． 【思路点拨】利用模长公式进行数量积的计算．【答案】10．能力型 师生共研7．已知23|=a ，4|=b ，+=，λ+=，43,π>=<，若⊥， 则=λ ．【知识点】向量垂直与数量积的关系． 【数学思想】转化思想．【解题过程】∵⊥，∴0=⋅，即⋅+)(0)(=+λ，则0)1(22=⋅+++λλ，即043cos 234)1(4)23(22=⨯⨯⨯+++πλλ，∴064=+λ，23-=λ． 【思路点拨】利用向量垂直的性质，列出方程求解．【答案】23-． 8．直三棱柱111C B A ABC -中， 90=∠BCA ，M ，N 分别是11B A ，11C A 的中点，1CC CA BC ==，则BM 与AN 所成角的余弦值为（ ）A ．101 B ．52 C ．1030 D ．22 【知识点】向量夹角公式求空间几何体中异面直线所成角． 【数学思想】数形结合思想．【解题过程】设=．=，CC =1，1||||||===，∴0=⋅=⋅=⋅，∵BM +=，+=，∴BM ⋅432=+=，又∵26||=BM ，25||=AN ，∴<cos ⋅>||||AN BM =1030252643=⨯=． 【思路点拨】将与用．，表示，再利用向量夹角公式得到所求角的余弦值．【答案】C ．探究型 多维突破9．在正三棱柱111C B A ABC -中，若侧面对角线11BC AB ⊥，求证：11AB C A ⊥． 【知识点】在空间几何体中利用数量积解决直线垂直问题． 【数学思想】数形结合思想．【解题过程】设=，=，BB =1，m ==||||，n =||， ∵11BC AB ⊥，且11BB AB AB +=+-=，=1BC +， ∴11BC AB ⋅⋅+-=)()(+2+⋅-=02122=-=m n ，∴222n m =， ∴A AB 11⋅⋅+-=)()(1BC AB A A ++⋅+-=)()(+--b a c a ⋅--=22021222=--=m n m ，∴11AB C A ⊥． 【思路点拨】将1AB ，1BC ，C A 1用，，表示，再把垂直关系与数量积为零进行转化． 【答案】见解题过程．10．三棱柱111 C B A ABC -中，2221===AC AB AA ， 6011=∠=∠=∠BAC AC A AB A ，在平行四边形C C BB 11内是否存在一点O ，使得⊥O A 1平面C C BB 11？若存在，试确定O 点的位置；若不存在，说明理由．【知识点】利用数量积运算解决动点存在性问题． 【数学思想】数形结合思想．【解题过程】设a AB =，b AC =，AA =1，假设存在点O ，使得⊥O A 1平面C C BB 11，不妨设n BB m +=1，则)(n m -+=m n n ++-=，而+=m n n ++-=)1(，∴11AA A -=m n n )1()1(-++-=， 要使⊥O A 1平面C C BB 11，只需⊥O A 11BB ，⊥O A 1BC ，即01=⋅A ，0)(1=-⋅A ， ∴])1()1[(m n n -++-0=⋅c ，])1()1[(m n n -++-0)(=-⋅，解得43=m ，21=n ，+=O ，使得⊥O A 1平面C C BB 11．【思路点拨】在平面C C BB 11内将表示为n BB m +1，利用垂直条件列式解出m ，n 的值，从而确定点O 的位置．【答案】见解题过程．自助餐1．下列命题中，①a =||m m ⋅=⋅)()(λλ；③⋅+=+⋅)()(；④a b b a 22=． 其中真命题的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【知识点】向量数量积的概念和运算． 【数学思想】转化思想．【解题过程】①②③正确，④不正确，因为与的方向不一定相同，故不一定相等． 【思路点拨】深刻理解各种概念和运算． 【答案】C ．2．已知向量，满足2||=，2||=，且与-2互相垂直，则>=<, ．【知识点】向量数量积的运算，夹角公式． 【数学思想】转化思想．【解题过程】∵与a b -2互相垂直，∴0)2(=-⋅，即022=-⋅，∴2=⋅b a ，∴22||||,cos =>=<b a ，故 45,>=<b a ． 【思路点拨】先求出b a ⋅，再利用向量夹角公式．【答案】 45．3．设A ，B ，C ，D 是空间不共面的四点，且满足0=⋅，0=⋅，0=⋅，则BCD ∆（ ）A ．是钝角三角形B ．是锐角三角形C ．是直角三角形D ．无形状不确定【知识点】数量积定义的应用．【数学思想】转化思想【解题过程】∵⋅)()(-⋅-=2+⋅-⋅-⋅=02>=，∴0||||,cos >>=<BD BC ，故CBD ∠为锐角，同理BCD ∠与BDC ∠均为锐角． 【思路点拨】锐角、钝角可由数量积的正负进行判定． 【答案】B ．4．已知a ，b 是两异面直线，A ，a B ∈，C ，b D ∈，b AC ⊥，b BD ⊥，且2=AB ，1=CD ，则直线a ，b 所成的角为（ ） A ． 30B ． 60C ． 90D ． 45【知识点】利用向量夹角公式计算异面直线所成角． 【数学思想】数形结合思想．【解题过程】∵++=，∴⋅++=⋅)(12==，故21||||,cos =>=<CD AB ，即 60,>=<CD AB ． 【思路点拨】先求出⋅，再利用向量夹角公式． 【答案】B ．5．在一个直二面角βα--l 的棱上有两点A ，B ，AC ，BD 分别是这个二面角的两个面内垂直于l 的线段，且4=AB ，6=AC ，8=BD ，则CD 的长为 ． 【知识点】向量模长的计算． 【数学思想】转化思想．【解题过程】∵++=，∴22)(++=⋅+⋅+⋅+++=222222116864222=++=，∴292||=CD ．【思路点拨】将拆分成已知长度的向量，再使用向量模长公式． 【答案】292．6．在长方体1111D C B A ABCD -中，设11==AA AD ，2=AB ，P 是11D C 的中点，则C B 1与A 1所成角的大小为 ．【知识点】向量夹角公式的运用． 【数学思想】数形结合思想．【解题过程】∵A B 11⋅()(1AA ⋅+-=2=1=，由题意得211==C B PA ，则21||||,cos 1111=>=<P A C B A B ，故 60,11>=<P A C B ． 【思路点拨】灵活运用向量夹角公式，关键是计算出A B 11⋅．【答案】 60．。

空间向量与立体几何教材分析在必修2中，我们已经学习了空间中线面、面面平行与垂直的判定定理和性质定理，但必修2中没有证明空间中的距离，点点距、点线距、点面距等、空间中的角，包括异面直线所称的角、线面教、二面角，在必修2中也都只介绍了有关概念，以及很简单的求解题．为了能更好的解决空间中的几何元素的位置、距离、角度问题，教材在这里引入了空间向量．用空间向量处理某些几何问题，为我们提供新的视角，在空间特别是空间直角坐标系中引入空间向量，可以为解决三维图形的形状、大小及位置关系的几何问题增加一种理想的代数工具，从而提高学生的空间想象能力和学习效率．向量知识的引进，使我们能用代数的观点和方法解决立体几何问题，用计算代替逻辑推理和空间想象，用数的规范性代替形的直观性，具体、可操作性强，从而大大降低了立体几何的求解难度．本章是选修2-1的第3章，包括空间向量的基本概念和运算，以及用空间向量解决直线、平面的位置关系的问题等内容．通过本章的学习，我们要体会向量方法在研究几何图形中的作用，进一步培养我们的空间想象能力．在空间向量的学习中，我们要注意类比、推广、特殊化、化归等思想方法的应用，充分利用空间向量与平面向量之间的内在联系，通过类比，将平面向量中的概念、运算以及处理问题的方法推广到空间，既使相关的内容相互沟通，又学习了类比、推广、特殊化、化归等思想方法，体会数学探索活动的基本规律，提高对向量的整体认识水平．空间向量的引进、运算、正交分解、坐标表示、用空间向量表示空间中的几何元素等，都是通过与平面向量的类比完成的．在空间向量运算中，还要注意与数的运算的对比．另外，通过适当的例子，对解决空间几何问题的三种方法，即向量方法、解析法、综合法进行比较，对各自的优势以及面临问题时应当如何做出选择进行正确的分析．本章突出了用空间向量解决立体几何问题的基本思想．根据问题的特点，以适当的方式（例如构造基向量、建立空间直角坐标系）用空间向量表示空间图形中的点、线、面等元素，建立空间图形与空间向量的联系，然后通过空间向量的运算，研究相应元素之间的关系（平行、垂直、角和距离等），最后对运算结果的几何意义作出解释，从而解决立体几何的问题．教材还通过例题，引导学生对解决例题几何问题的三种方法（向量方法、解析法、综合法）进行了比较，分析各自的优势，因题而异作出适当的选择，从而提高综合运用数学知识解决问题的能力．《普通高中数学课程标准》对《空间向量与立体几何》内容的要求如下：（1）空间向量及其运算①经历向量及其运算由平面向空间推广的过程．②了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．③掌握空间向量的线性运算及其坐标表示．④掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直．（2）空间向量的应用①理解直线的方向向量与平面的法向量．②能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系．③能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）（参见例1、例2、例3）．④能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用．通过一定的训练，我们应该达到以下意识和习惯：凡能用向量解决的立体几何问题尽可能用向量解决；另外在解题过程中必须写出规范的格式和必要的步骤，例如建立空间直角坐标系的表述、有关向量的坐标表示等．本章课时安排：3.1空间向量及其运算5课时；3.2立体几何中的向量方法5课时；章末复习课1课时．共11课时。