初三期中数学试题及答案

初三数学期中考试试卷及答案第一卷：选择题（共80分）一、选择题（每小题1分，共40分）1. 下列各组函数中，相等的是（）a) y = x^2 - 2x + 1，y = (x - 1)^2b) y = |2x - 1|，y = -(2x - 1)c) y = |2x - 1|，y = 2|x| - 1d) y = 2|x + 1|，y = -2|x + 1|2. 单项式 2x^3 y z^2 的次数是（）a) 2 b) 3 c) 4 d) 53. 若 a:b = 7:5，b:c = 4:3，求 a:b:c =a) 7:5:3 b) 7:4:5 c) 7:10:12 d) 28:20:154. 圆心坐标为 (-4, 2)，半径为 5 的圆方程是（）a) (x + 4)^2 + (y - 2)^2 = 5^2b) (x - 4)^2 + (y + 2)^2 = 5^2c) (x + 4)^2 + (y + 2)^2 = 5^2d) (x - 4)^2 + (y - 2)^2 = 5^2...第二卷：非选择题（共70分）五、计算题（共30分）1. 化简：(3a^2b)^3 / (6a^5b^2) =2. 解方程：4x - 5 = 3x + 73. 已知图中三角形 ABC，其中∠B = 90°，AC = 8cm，BC = 6cm。

求 sin A 和 cos C 的值。

...八、解答题（共20分）1. 某商店购进一批相同的商品，第一天卖出了商品总数的 1/4，第二天又卖出了剩余商品总数的1/3 ，已知最后剩下的商品总数是60 件，求原先购进的商品总数。

2. 一辆汽车从 A 地开往 B 地，全程 300 km，开了 4 个小时到达终点。

第二天，汽车原路返回，回到 A 地用了 6 个小时。

求汽车在去程和返程时的平均速度。

...第三卷：答题卡（共10分）请将你的答案填写在答题卡上。

注意事项：1. 请认真核对试卷上的题号和试卷形式，确保填涂无误。

2023北京东直门中学初三（上）期中数 学考试时间：120分钟 总分100分一、选择题（本题共16分，每小题2分）1. “瓦当”是中国古建筑中覆盖檐头筒瓦前端的遮挡，主要有防水、排水、保护木制飞檐和美化屋面轮廓的作用．瓦当上的图案设计优美，字体行云流水，极富变化，是中国特有的文化艺术遗产．下面“瓦当”图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A. B. C. D. 2. 抛物线()213y x =−+的顶点坐标为( )A. ()1,3B. ()1,3−C. ()1,3−−D. ()3,1 3. 在△ABC 中，CA CB =，点O 为AB 中点．以点C 为圆心，CO 长为半径作⊙C ，则⊙C 与AB 的位置关系是（ ）A. 相交B. 相切C.相离D. 不确定 4. 如图，四边形ABCD 是O 的内接四边形，70B ∠=︒，则D ∠的度数是( )A. 110°B. 90°C. 70°D. 50°5. 若一个扇形的圆心角为90°，半径为6，则该扇形的面积为（ ） A. 32π B. 3π C. 6π D. 9π6. 一元二次方程2630kx x −+=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ ）A. 3k <B. 3k <且0k ≠C. 3k ≤D. 3k ≤且0k ≠ 7. 如图，将ABC 绕着点C 顺时针旋转50︒后得到A B C '''．若40,110A B ∠=∠='︒︒，则BCA '∠的度数是（ ）A. 90︒B. 80︒C. 50︒D. 30︒8. 如图，线段AB ＝5，动点P 以每秒1个单位长度的速度从点A 出发，沿线段AB 运动至点B ，以点A 为圆心，线段AP 长为半径作圆．设点P 的运动时间为t ，点P ，B 之间的距离为y ，⊙A 的面积为S ，则y 与t ，S 与t 满足的函数关系分别是（ ）A. 正比例函数关系，一次函数关系B. 一次函数关系，正比例函数关系C. 一次函数关系， 二次函数关系D. 正比例函数关系，二次函数关系二、填空题（本题共16分，每小题2分）9. 在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（﹣2，3），若点A 与点B 关于原点O 对称，则B 点的坐标为____．10. 请写出一个开口向上，且经过点(0,1)−的二次函数解析式：________．11. 参加足球联赛的每两个队都进行2场比赛，共要比赛90场，共有多少个队参加比赛？设参加比赛的有x 个队，根据题意，可列方程为________．12. 把抛物线2112y x =+向右平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式为________． 13. 如图，在O 中AB 是直径，CD AB ⊥，30BAC ∠=︒，2OD =，那么DC 的长等于________．14. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，点()31A −，，()11B −，，若抛物线()20y ax a =>与线段AB 有公共点，则a 的取值范围是___________．15. 如图所示的网格是正方形网格，线段AB 绕点A 顺时针旋转α（0°＜α＜180°）后与⊙O 相切，则α的值为_____．16. 某快递员负责为A ，B ，C ，D ，E 五个小区取送快递，每送一个快递收益1元，每取一个快递收益2元，某天5个小区需要取送快递数量下表．30件，最少取快递15件，写出一种满足条件的方案______（写出小区编号）；（2）在（1）的条件下，如果快递员想要在上午达到最大收益，写出他的最优方案______（写出小区编号）．三、解答题（本题共68分，17题5分，18题每小题4分，第19—25题，每小题5分，26题6分，第27、28题，每小题7分）17. 计算：02cos30|(π+−−︒．18. 解一元二次方程：（1）解方程：250x x +=（2）解方程：261x x −=（配方法）19. 下面是小亮设计的“过圆上一点作已知圆的切线”的尺规作图过程．已知：点A 在O 上．求作：直线P A 和O 相切． 作法：如图，①连接AO ；②以A 为圆心，AO 长为半径作弧，与O 的一个交点为B ； ③连接BO ；④以B 为圆心，BO 长为半径作圆；⑤作B 的直径OP ；⑥作直线P A ．所以直线P A 就是所求作的O 的切线．根据小亮设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明：证明：在O 中，连接BA ．∵OA OB =，AO AB =，∴OB AB =．∴点A 在B 上． ∵OP 是B 的直径，∴90OAP ∠=︒（______）（填推理的依据）．∴OA AP ⊥．又∵点A 在O 上， ∴P A 是O 的切线（______）（填推理的依据）．20. 如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O 为圆心的圆的一部分．如果M 是O 中弦CD 的中点，EM 经过圆心O 交O 于点E ，6CD =，9EM =，求O 的半径．21. 已知二次函数243y x x =−+．（1）二次函数243y x x =−+图象与x 轴的交点坐标是 ，y 轴的交点坐标是 ，顶点坐标是 ； （2）在平面直角坐标系xOy 中，画出二次函数243y x x =−+的图象；（3）当14x <<时，结合函数图象，直接写出y 的取值范围 ．22. 如图，点A 的坐标为(3，2)，点B 的坐标为(3，0)，作如下操作：以点A 为旋转中心，将ABO 顺时针方向旋转90°，得到AB 1O 1．（1）在图中画出AB1O 1．（2）请接写出点B 1的坐标 ．（3）请直接写出点B 旋转到点B 1所经过的路径长 ．23. 已知关于x 的一元二次方程220x x m −+−=有两个不相等的实数根．（1）求m 的取值范围；（2）若m 为正整数，且该方程的根都是整数，求m 的值．24. 如图，AB 为O 的直径，BD CD ，过点A 作O 的切线，交DO 的延长线于点E ．（1）求证：AC DE ∥；（2）若2AC =，1tan 2=E ，求OE 的长． 25. 原地正面掷实心球是北京市初中学业水平考试体育现场考试的选考项目之一．实心球被掷出后的运动路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系xOy ，实心球从出手到陆的过程中，它的直高度y （单位：m ）与水距x （单位：m ）近似满足函数关系2()(0)y a x h k a =−+<．小明进行了两次掷实心球训练．（1）第一次训练时，实心球的水平距离x 与竖直高度y 的几组数据如下：①实心球竖直高度的最大的值是________m ；②求出函数解析式________；（2）第二次训练时，实心球的竖直高度y 与水平距离x 近似满足函数关系20.09(4) 3.6y x =−−+，记第一次训练实心球的着陆点的水平距离为1d ，第二次训练实心球的陆点的水平距离为2d ，则1d ________2d （填“>”，“=”或“<”）26. 已知关于x 的二次函数222y x tx =−+．（1）求该抛物线的对称轴（用含t 的式子表示）；（2）若点()3,M t m −，()5,N t n +在抛物线上，则m _________n ；（填“＞”，“＜”或“=”） （3）()11,P x y ，()22,Q x y 是抛物线上的任意两个点，若对于113x −≤<且23x =，都有12y y ≤，求t 的取值范围．27. 已知正方形ABCD 和一动点E ，连接CE ，将线段CE 绕点C 顺时针旋转90︒得到线段CF ，连接BE ，DF ．（1）如图1，当点E 在正方形ABCD 内部时，①依题意补全图1；②求证：BE DF =；（2）如图2，当点E 在正方形ABCD 外部时，连接AF ，取AF 中点M ，连接AE ，DM ，用等式表示线段AE 与DM 的数量关系，并证明．28. 在平面直角坐标系xOy 中，O 的半径为1，P 是O 外一点，给出如下的定义：若在O 上存在一点T ，使得点P 关于某条过点T 的直线对称后的点Q 在O 上，则称Q 为点P 关于O 的关联点． （1）当点P 在直线2y x =上时，①若点()1,2P ，在点122Q ⎛⎫−− ⎪ ⎪⎝⎭，()20,1Q ，()31,0Q 中，点P 关于O 的关联点是______； ②若P 关于O 的关联点Q 存在，求点P 的横坐标p 的取值范围；（2）已知点32,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，动点M 满足1AM ≤，若M 关于O 的关联点N 存在，直接写出MN 的取值范围．参考答案一、选择题（本题共16分，每小题2分）1. 【答案】B【分析】根据圆的性质和轴对称图形与中心对称图形的定义解答．【详解】A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，选项错误；B、既是轴对称图形又是中心对称图形，故选项正确；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，选项错误；D、不是轴对称图形，是中心对称图形，选项错误．故选B．【点睛】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．2. 【答案】A【分析】根据顶点式的特点可直接写出顶点坐标．【详解】因为y=（x-1）2+3是抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（1，3）．故选A．【点睛】本题考查了二次函数的性质：顶点式y=a（x-h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是x=h，此题考查了学生的应用能力．3. 【答案】B⊥，根据三角形切线的判定即可判断AB是C 【分析】根据等腰三角形的性质，三线合一即可得CO AB的切线，进而可得⊙C与AB的位置关系【详解】解：连接CO,=，点O为AB中点．CA CB∴⊥CO ABCO为⊙C的半径，∴是C的切线，AB∴⊙C与AB的位置关系是相切故选B【点睛】本题考查了三线合一，切线的判定，直线与圆的位置关系，掌握切线判定定理是解题的关键． 4. 【答案】A【分析】先根据圆内接四边形的对角互补得出180D B ∠+∠=︒，即可解答． 【详解】解：四边形ABCD 是O 的内接四边形，180D B ∴∠+∠=︒， 18070110D ∴∠=︒−︒=︒，故选：A ．【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形对角互补的性质是解答此题的关键． 5. 【答案】D【分析】根据扇形公式S 扇形=2360n R π，代入数据运算即可得出答案． 【详解】解：由题意得，n=90°，R=6，S 扇形=229069360360n R πππ==， 故选：D ．【点睛】本题主要考查了扇形的面积计算，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握扇形的面积公式，另外要明白扇形公式中，每个字母所代表的含义．6. 【答案】B【分析】根据一元二次方程的定义和一元二次方程根的判别式求解即可；【详解】解：由题意得：2(6)1200k k ⎧−−>⎨≠⎩ 解得：3k <且0k ≠故选：B ．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，同时要满足该方程的二次项系数不为0；熟练运用根的判别式是解题关键．7. 【答案】B【分析】先利用旋转的性质得到50110ACA B B ''∠=︒==︒，∠∠，再利用三角形内角和计算出30ACB ∠=︒，然后计算BCA ACA '∠+∠即可．【详解】解： ABC 绕着点C 顺时针旋转50︒后得到A B C '''，50110ACA B B ''∴∠=︒==︒，∠∠，40A ∠=︒，18030ACB A B ∴∠=︒−︒−=∠∠，305080BCA BCA ACA ''∴∠=∠+∠=︒+︒=︒．故选：B ．【点睛】本题考查了三角形内角和定理，旋转的性质，熟知旋转的性质是解题的关键：旋转图形对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等． 8. 【答案】C【分析】根据题意分别列出y 与t ，S 与t 的函数关系，进而进行判断即可．【详解】解：根据题意得AP t =，5PB AB AP t =−=−，即5y t =−()05t ≤≤，是一次函数；⊙A 的面积为S =22AP t ππ⨯=，即2S t π=()05t ≤≤，是二次函数故选C【点睛】本题考查了列函数表达式，一次函数与二次函数的识别，根据题意列出函数表达式是解题的关键．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9. 【答案】（2，﹣3）【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的对应坐标符号相反可直接得到答案．【详解】解：∵点A 和点B 关于原点对称，点A 的坐标为（﹣2，3），∴点B 的坐标为（2，﹣3），故答案为：（2，﹣3）．【点睛】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律．10. 【答案】21y x =−【分析】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的各种形式，利用特殊点代入求得答案即可．根据二次函数的性质，二次项系数大于0时，开口方向向下，再利用过点(0,1)−得出即可． 【详解】解：开口向上，且经过点(0,1)−的二次函数解析式，设顶点坐标为(0,1)−，故解析式为21y x =−．故答案为：21y x =−．11. 【答案】(1)90x x −=【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出方程是解题的关键．利用比赛的总场数=参赛队伍数(⨯参赛队伍数1)−即可得到答案．【详解】解：由题意得(1)90x x −=，故答案为：(1)90x x −=．12. 【答案】21(2)12y x =−+ 【分析】本题主要考查二次函数图像的与几何变换，熟记“上加下减，左加右减”是解题的关键．根据“上加下减，左加右减”解题即可．【详解】解：抛物线2112y x =+向右平移2个单位长度， 得21(2)12y x =−+， 故答案为：21(2)12y x =−+．13. 【答案】【分析】本题考查垂径定理、勾股定理和30︒所对的直角边等于斜边的一半，根据30BAC ∠=︒，得出DCA ∠，结合同弧所对的圆周角等于圆心角一半得到DOA ∠，推出30ODE ∠=︒，再结合30︒所对的直角边等于斜边的一半和勾股定理，即可求解．【详解】解：记CD AB ⊥于点E ，O 中AB 是直径，DE EC ∴=，90AED AEC ∠=∠=︒，30BAC ∠=︒，60DCA ∴∠=︒，AD AD =，120DOA ∴∠=︒，60DOE ∴∠=︒，30ODE ∴∠=︒，12OE OD ∴=， 2OD =，1OE ∴=，DE ∴==DC ∴=．故答案为：14. 【答案】119a ≤≤##119a ≥≥【分析】分别把A 、B 点的坐标代入2y ax =得a 的值，根据二次函数的性质得到a 的取值范围．【详解】解：把()31A −，代入2y ax =得19a =； 把()11B −，代入2y ax =得1a =，∴a 的取值范围为119a ≤≤． 故答案为：119a ≤≤． 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质．15. 【答案】60°或120 °【分析】线段AB 绕点A 顺时针旋转α（0°＜α＜180°）后与⊙O 相切，切点为C′和C″，连接OC′、OC″，根据切线的性质得OC′⊥AB′，OC″⊥AB″，利用直角三角形30度的判定或三角函数求出∠OAC′=30°，从而得到∠BAB′=60°，同理可得∠OAC″=30°，则∠BAB″=120°．【详解】线段AB 绕点A 顺时针旋转α（0°＜α＜180°）后与⊙O 相切，切点为C′和C″，连接OC′、OC″， 则OC′⊥AB′，OC″⊥AB″，在Rt △OAC′中，∵OC′=1，OA=2∴∠OAC′=30°，∴∠BAB′=60°，同理可得∠OAC″=30°，∴∠BAB″=120°，综上所述，α的值为60°或120°．故答案为60°或120°．【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了旋转的性质和直角三角形的性质．16. 【答案】 ①. A ，B ，C (答案不唯一) ②. A ，B ，E【分析】（1）根据三个小区需送快递总数量30≥，需取快递总数量15≥，求解即可；（2）先求出第个小区总收益，再比较，选择收益最多的，且又满足需送快递总数量30≥，需取快递总数量15≥的三个小区即可．【详解】解：（1）∵A 小区需送快递数量15，需取快递数量6，B 小区需送快递数量10，需取快递数量5，C 小区需送快递数量8，需取快递数量5，∴若前往A 、B 、C 小区，需取快递数量为151083330++=>，需取快递数量为6551615++=>，∴前往A ，B ，C 小区满足条件，故答案为：A ，B ，C (答案不唯一)；（2）前往A 小区收益为：1516228⨯+⨯=(元)，前往B 小区收益为：1015220⨯+⨯=(元)，前往C 小区收益为：815218⨯+⨯=(元)，前往D 小区收益为：417218⨯+⨯=(元)，前往E 小区收益为：1314221⨯+⨯=(元)，∵28212018>>>，15101330++>，65415++=，∴他的最优方案是前往A 、B 、E 小区收益最大，故答案为∶A ，B ，E ．【点睛】本题考查有理数混合运算，有理数比较大小，属基础题目，难度不大．三、解答题（本题共68分，17题5分，18题每小题4分，第19—25题，每小题5分，26题6分，第27、28题，每小题7分）17. 【答案】-1【分析】根据实数的计算，把各个部分的值求出来进行计算即可．【详解】解：原式=212⨯+−−1−=-1．【点睛】本题考查了实数的混合运算，准确记忆特殊角的锐角三角函数值、绝对值化简、零指数幂、二次根式的化简是解题的关键．18. 【答案】（1）10x =，25x =−（2）13x =+，23x =【分析】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．（1）根据因式分解法解一元二次方程即可；（2）根据配方法解一元二次方程即可；【小问1详解】解：250x x +=， (5)0x x +=，10x =，25x =−；【小问2详解】解：261x x −=，26919x x −+=+，2(3)10x −=，3x −=，13x =+，23x =．19. 【答案】（1）见解析 （2）直径所对的圆周角是直角；经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线【分析】（1）根据题意作出图形即可；（2）根据圆周角定理得到∠OAP ＝90°，根据切线的判定定理即可得到结论．【小问1详解】解：补全的图形如图所示；【小问2详解】证明：在O 中，连接BA ．∵OA OB =，AO AB =，∴OB AB =．∴点A 在B 上． ∵OP 是B 的直径，∴90OAP ∠=︒（直径所对的圆周角是直角）（填推理的依据）．∴OA AP ⊥．又∵点A 在O 上， ∴P A 是O 的切线（经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线）（填推理的依据）． 故答案为：直径所对的圆周角是直角；经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线【点睛】本题考查了作图，切线的判定，圆周角定理，正确的作出图形是解题的关键．20. 【答案】5【分析】本题主要考查了垂径定理，构造直角三角形是解题的关键．连接OC ，由垂径定理得出EM CD ⊥，则2CM DM ==，根据勾股定理求解即可．【详解】解：连接OC ，M 是O 中弦CD 的中点，EM 经过圆心O ，EM MD ∴⊥，CM MD ∴=，6CD =，3CM ∴=，设OC x =，则9OM x =−，在Rt COM △中，根据勾股定理可得，2223(9)x x +−=，解得5x =．故O 的半径为5．21. 【答案】（1）()1,0，()3,0；()0,3；(2,1)−（2）见解析 （3）13y −≤<【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，画二次函数图象；（1）把一般式配成顶点式得到抛物线的顶点坐标，分别令0,0x y ==求得与坐标轴的交点坐标； （2（3）结合二次函数图象，写出当14x <<时对应的y 的取值范围．【小问1详解】解：令0y =，则2430x x −+=，解得：121,3x x ==，∴二次函数243y x x =−+图象与x 轴的交点坐标是()1,0，()3,0，令0x =，解得：3y =，∴二次函数243y x x =−+图象与y 轴的交点坐标是()0,3； ∵2243(2)1y x x x =−+=−−，∴该二次函数图象顶点坐标为(2,1)−；故答案为：()1,0，()3,0；()0,3；(2,1)−．【小问2详解】解：列表：；【小问3详解】解：由图象可知，当14x <<时，13y −≤<．故答案为：13y −≤<．22. 【答案】（1）见解析，（2）（1，2），（3）π【分析】（1）利用网格和旋转的性质画出点B 、O 的对应点B 1、O 1，从而得到△AB 1O 1；（2）由（1）得到点B 1的坐标；（3）根据弧长公式求解即可．【详解】解：（1）如图，△AB 1O 1为所作；（2）点B 1的坐标为（1，2）；故答案为（1，2）；（3）点B 旋转到点B 1所经过的路线长＝902180π⋅⋅＝π 故答案为：π．【点睛】本题考查了作图﹣旋转变换和弧长公式，解题关键是根据旋转的性质作出对应点．23. 【答案】（1）94m <（2）2m =【分析】本题主要考查根的判别式和解一元二次方程，熟练掌握根的判别式是解题的关键．（1）根据题意0∆>，代入求解即可；（2）求出1m =或2，代入方程求解即可．【小问1详解】解：依题意得224(1)41(2)0b ac m ∆=−=−−⨯⨯−> 94m ∴<； 【小问2详解】 解：m 为正整数，∴1m =或2，当1m =时，方程为210x x −−=的根12x =不是整数， 当2m =时，方程为20x x −=的根120,1x ==，都是整数，故2m =．24. 【答案】（1）见解析 （2）5【分析】（1）根据同圆中，等弧相等性质可得BAD CAD ∠=∠，再利用等边对等角及等量代换即可证得CAD D ∠=∠从而证得结论．（2）连接BC ，利用直径所对的圆周角是直角结合（1）中平行线的性质可求得B E ∠=∠，从而得到tan tan B E =，根据直角三角形的锐角三角函数的值结合勾股定理即可求得答案．【小问1详解】证明：BD CD =，∴BAD CAD ∠=∠，∵OA OD =，∴D BAD ∠=∠，∴CAD D ∠=∠，∴AC DE ∥．【小问2详解】如图，连接BC ，∵AB 为O 的直径，∴90C ∠=︒，∵AC DE ∥，∴∠=∠BAC AOE ，∵AE 是O 的切线，∴OA AE ⊥，∴90∠=∠=︒C OAE ，∴B E ∠=∠， ∴1tan tan 2==B E ， 在Rt OAE △中，1tan 2B =，2AC =， ∴21tan 2AC B BC BC ===，解得4BC =，AB ∴===，∴OA =∵在Rt OAE △中，1tan 2E =，∴1tan 2AO E AE AE ===，解得AE =，∴5OE ===．【点睛】本题考查了平行线的判定及性质、切线的性质、圆周角定理、锐角三角函数值及勾股定理解直角三角形的应用，熟练掌握圆周角定理及平行线的判定及锐角三角函数值及勾股定理解直角三角形的应用是解题的关键．25. 【答案】（1）①3.6；②20.1(4) 3.6y x =−−+（2）<【分析】本题主要考查了二次函数的应用，待定系数法求函数关系式，读懂题意是解题的关键．（1）①根据表中的数据找出顶点坐标即可；②用待定系数法求函数解析式；（2）分别将0y =代入第一次和第二次的函数关系式，求出着陆点的横坐标，用表示出1d 和2d 进行比较即可．【小问1详解】解：①根据表格中的数据可得竖直高度的最大值是3.6m ，故答案为：3.6m ；②由①可知，顶点坐标为(4,3.6)，故函数关系为2(4) 3.6(0)y a x a =−+<，把(0,2.0)代入2(4) 3.6y a x =−+得，16 3.62a +=，0.1a ∴=−，故函数解析式为20.1(4) 3.6y x =−−+；【小问2详解】解：由（1）可知函数解析式为20.1(4) 3.6y x =−−+，当0y =时，10x =（负值舍去），110m d ∴=，在20.09(4) 3.6y x =−−+中，令0y =得20.09(4) 3.60x −−+=，解得4x =（负值舍去），24)m d ∴=+，102104<+，12d d ∴<．26. 【答案】（1）x =t （2）＜（3）t ≤1【分析】（1）根据对称轴的表达式直接求解即可；（2）利用抛物线的对称性和增减性进行判断即可；（3）根据二次函数的增减性进行判断解答即可． 【小问1详解】解：二次函数的对称轴为：222b t x t a −=−=−= 【小问2详解】解：∵a 10＞，∴x t ＜时y 随x 的增大而减小，x t ＞，y 随x 的增大而增大根据抛物线的对称性可知：M 点关于对称轴对称的点为：()3,t m +，∵35t t t ++＜＜∴m n ＜故答案为：<【小问3详解】解：若对于113x −≤<且23x =，都有12y y ≤，∴点P 在Q 点的左侧，且对称轴在P ，Q 中间∴对称轴一定在水平距离上距离2x 更远或相等 ∴122x x +≥t （距离相等时122x x t +=，x 2更远时122x x +>t ） ∴332+>t 且312−≥t ∴3>t 且1≥t∴t ≤1．【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，熟记二次函数对称轴的表达式，以及二次函数的增减性是解题的关键．27.【答案】（1）①见解析；②见解析（2）2=AE DM ；理由见解析【分析】（1）①根据题意补全图形即可；②证明()SAS BCE DCF ≌△△，根据全等三角形对应边相等得出结果即可；（2）连接BE 、DF ，延长DM ，使MN DM =，连接AN ，延长AD 交CF 于点G ，证明()SAS BCE DCF ≌△△，得出BE DF =，CBE CDF ∠=∠，证明()SAS AMN DMF ≌，得出AN DF =，MAN MFD ∠=∠，证明()SAS AND BEA ≌，得出AE DN =，即可证明结论．【小问1详解】解：①依题意补全图1，如图所示：②∵四边形ABCD 为正方形，∴BC CD =，90BCD ∠=︒，根据旋转可知，CE CF =，90ECF ∠=︒，∴90BCE ECD ECD DCF ∠+∠=∠+∠=︒，∴BCE DCF ∠=∠，∴()SAS BCE DCF ≌△△，∴BE DF =；【小问2详解】解：2=AE DM ；理由如下：连接BE 、DF ，延长DM ，使MN DM =，连接AN ，延长AD 交CF 于点G ，如图所示：∵四边形ABCD 为正方形，∴AB BC CD AD ===，90BCD ABC ADC ∠=∠=∠=︒，根据旋转可知，CE CF =，90ECF ∠=︒，∴90BCE ECD ECD DCF ∠+∠=∠+∠=︒，∴BCE DCF ∠=∠，∴()SAS BCE DCF ≌△△，∴BE DF =，CBE CDF ∠=∠，∵90CBE ABC ABE ABE ∠=∠+∠=︒+∠，90CDF CDG FDG FDG ∠=∠+∠=︒+∠，∴FDG ABE ∠=∠，∵点M 为AF 的中点，∴AM MF =，∵DM MN =，AMN DMF ∠=∠，∴()SAS AMN DMF ≌，∴AN DF =，MAN MFD ∠=∠，∴AN DF ∥，∴FDG NAD ∠=∠，∵FDG ABE ∠=∠，∴NAD ABE ∠=∠，∵AN DF =，BE DF =，∴AN BE =，∵AD AB =，∴()SAS AND BEA ≌，∴AE DN =，∵2DN DM =，∴2AE DM =．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，旋转的性质，平行线的判定和性质，解题的 关键是作出辅助线，构造全等三角形，熟练掌握三角形全等的判定方法．28. 【答案】（1）①1Q ，2Q ；②55p −≤≤ （2）存在，14MN ≤≤【分析】（1）①根据新定义，画出图形，进而即可求解；②设2y x =与O 交于点M N ，，过点,N P 分别作x 轴的垂线，垂足分别为,A B ，根据勾股定理得出221x y +=，联立直线解析式，得出交点坐标，进而根据平行线分线段成比例得出p =p 的最小值为5−，即可求解； （2）依题意，关于O 的关联点在半径为3的圆内，进而根据点与圆的位置关系，求得MN 的最值，即可求解．【小问1详解】解：如图所示，1PQ 连线的中点在O 的内部， 2PQ 的中点的纵坐标为1，则点2,P Q 关于1y =对称点P 关于O 的关联点是1Q ，2Q ，故答案为：1Q ，2Q ．②如图所示，设2y x =与O 交于点M N ，，过点,N P 分别作x 轴的垂线，垂足分别为,A B ，∵设O 上的点的坐标为(),x y ，则221x y +=，联立2212x y y x⎧+=⎨=⎩解得：x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 当P 点的对称点为M 时，点P 的横坐标最大，∵1,123ON OP ==+=,NA PB ∥， ∴N Px ON OP x =,∴5p =, 同理可得p的最小值为5−∴p ≤≤【小问2详解】 解：依题意，关于O 的关联点在半径为3的圆内，如图所示，∵1AM ≤，则M 在半径为1的A 上以及圆内，M 关于O 的关联点N∴MN 的最大值为314OM ON +=+=，如图所示，当M 在线段OA 上时，MN 取最小值，∵52OA == ∴511122MT OM OT OA AM OT =−=−−=−−= ∴21MN MT ==∴14MN ≤≤【点睛】本题考查了坐标与图形，勾股定理，平行线分线段成比例，解一元二次方程，点与圆的位置关系求最值问题，熟练掌握以上知识是解题的关键．。

初三数学期中试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个数是无理数？A. 3.14B. √2C. 0.33333...D. 0答案：B2. 一个数的相反数是-5，这个数是：A. 5B. -5C. 1/5D. -1/5答案：A3. 以下哪个方程是一元一次方程？A. x^2 + 2x - 3 = 0B. 2x - 3y = 5C. 3x + 4 = 7x - 2D. x/2 + 3 = 5答案：C4. 一个等腰三角形的底角是45°，那么顶角是：A. 45°B. 90°C. 135°D. 无法确定答案：B5. 一个数的立方根是2，那么这个数是：A. 2B. 4C. 8D. 6答案：C6. 以下哪个函数是正比例函数？A. y = 2x + 3B. y = 3x^2C. y = 5/xD. y = 4x答案：D7. 如果一个角的补角是120°，那么这个角是：A. 60°B. 120°C. 180°D. 240°答案：A8. 以下哪个图形是中心对称图形？A. 等边三角形B. 等腰梯形C. 正方形D. 圆答案：D9. 一个数的绝对值是5，那么这个数可能是：A. 5B. -5C. 5或-5D. 以上都不是答案：C10. 以下哪个选项是不等式？A. 3x + 2 = 7B. 2x - 3 > 5C. x^2 - 4x + 4 = 0D. 3x - 2 ≤ 7答案：D二、填空题（每题3分，共30分）11. 一个数的平方是36，这个数是____。

答案：±612. 如果一个角的余角是30°，那么这个角是____。

答案：60°13. 一个等腰三角形的周长是18cm，底边长6cm，那么腰长是____。

答案：6cm14. 一个数的算术平方根是4，那么这个数是____。

答案：1615. 如果一个数的立方根是-2，那么这个数是____。

2024北京西城外国语学校初三（上）期中数 学2024.11班级 姓名 学号 成绩第一部分 选择题一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.1．如图，A ，B ，C 是⊙O 上的三个点，若∠C ＝40°，则∠AOB 的度数为A ．40°B ．60°C ．80°D ．140°2．下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是A ．B ．C ．D ．3．将抛物线y =-2x 2先向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是A ．()2213y x =−++ B ．()2213y x =−−− C ．()2213y x =−+− D ．()2213y x =−−+4．如图，在△ABC 中，以C 为中心，将△ABC 顺时针旋转25°得到△DEC ，边ED ，AC 相交于点F ，若∠A =35°，则∠EFC 的度数为 A ．50° B ．60° C ．70°D ．120°5．下列关于二次函数y =3x 2的说法正确的是A ．它的图象经过点（-1，-3）B ．它的图象的对称轴是直线x =3C ．当x =0时，y 有最大值为0BC AE DFD ．当x <0时，y 随x 的增大而减小6．已知二次函数y =ax 2+bx +c 的部分图象如图所示，则使得函数值y 大于2的自变量x 的取值可以是 A ．2B ．0C ．-2D ．-47．如图，AB 为半圆O 的直径，现将一块等腰直角三角板PMN 如图放置，锐角顶点M 在半圆上，斜边MN 过点B ，一条直角边交该半圆于点C ，连接BC . 若AB =2，则线段BC 的长为A ．1 BC．2D ．128．已知点A (x 1, y 1)在直线y =3x +19上，点B (x 2, y 2)，C (x 3, y 3)在抛物线y =x 2+4x -1上，若y 1=y 2=y 3，x 1<x 2<x 3，则x 1+x 2+x 3的取值范围是 A ．-12<x 1+x 2+x 3<-9 B ．-8<x 1+x 2+x 3<-6 C ．-9<x 1+x 2+x 3<0 D ．-6<x 1+x 2+x 3<1第二部分 非选择题二、填空题（共16分，每题2分） 9．一元二次方程x 2-36=0的解是______．10．如图，将△ABC 绕点A 逆时针旋转90°得到△ADE ，点C 和点E 是对应点，若AB，则BD 的长为______．N11．已知关于x 的一元二次方程kx 2-6x+3=0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是______．12．如图，正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，⊙O 的半径为6，则AB⏜的长为______．13．如图，P A ，PB 是⊙O 的切线，切点分别是点A ，点B ，AC 是⊙O 的直径．若∠P ＝60°，P A ＝6，则BC 的长为______．14．如图，点O 是正五边形ABCDE 的中心，分别以各边为直径向正五边形的外部作半圆，组成了一幅美丽的图案．这个图案绕点O 至少旋转______度后能与原来的图案互相重合．15．如图，抛物线2y ax bx =+与直线y mx n =+相交于点A(-3, -6)，B (1, -2)，则关于x 的方程2ax bx mx n +=+的解为______．ED =BF ，直线EF 交BD 于点O ，过点B 作BG ⊥EF ，垂足为点G ，连接CG ，则CG 的最A DE BCEP小值为______．三、解答题（共68分，第17-18题，每题5分，第19题6分，第20-23题，每题5分，第24-26题，每题6分，第27-28题，每题7分） 17．解方程：2x 2+2x -3＝0．18．下面是小亮设计的“过圆上一点作已知圆的切线”的尺规作图过程．已知：如图，点A 在⊙O 上． 求作：直线P A 和⊙O 相切．作法：①连接AO ，以A 为圆心，AO 长为半径作弧，与⊙O 的一个交点为B （点B 在点A 右侧）； ②连接BO ，以B 为圆心，BO 长为半径作圆； ③作⊙B 的直径OP ； ④作直线P A ．所以直线P A 就是所求作的⊙O 的切线．根据小亮设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明： 证明：连接AB ．∵OA =OB ，AO =AB ， ∴OB =AB ． ∴点A 在⊙B 上． ∵OP 是⊙B 的直径，∴∠OAP = ① º（ ② ）（填推理的依据）． ∴OA ⊥AP ． ∵OA 是⊙O 半径，∴P A 是⊙O 的切线（ ③ ）（填推理的依据）．BA DCGFOE19．已知二次函数223y x x =−−．（1）将223y x x =−−化成2()y a x h k =−+的形式，并写出它的顶点坐标； （2）画出此函数的图象；（3）当-1＜x ＜2时，结合图象，直接写出函数值y 的取值范围．20．如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O 为圆心的圆的一部分. 如果M 是⊙O 中弦CD 的中点，EM 经过圆心O 交⊙O 于点E ，并且CD =4 m ，EM =6 m. 求⊙O 的半径．21．已知关于x 的一元二次方程210x mx m ++−=．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）如果方程有一个根为正数，求m 的取值范围．22．如图，等腰三角形ABC 中，BA =BC ，∠ABC=α. 作CD ⊥AB 于点D ，将线段BD 绕着点B逆时针旋转角α后得到线段BE ，连接AE . （1）求∠E 的度数；（2）若BE =1，AD =2，求CD 的长．23．如图，某农场有一块长40 m ，宽32 m 的矩形种植地，为方便管理，准备沿平行于两边的方向纵、横各修建一条等宽的小路，要使种植面积为1140 m 2，求小路的宽．24．如图，在△ABC 中，AB =AC ，以AB 为直径的⊙O 交BC 于点D ，过点D 作DE ⊥AC ，垂足为点E ，延长CA 交⊙O 于点F ，连接BF .ABED（1）求证：DE 是⊙O 的切线；（2）连接OE ，若BF=FC =10，求OE 的长．25．排球场的长度为18 m ，球网在场地中央且高度为2.24 m. 排球出手后的运动路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，排球运动过程中的竖直高度y (单位：m)与水平距离x (单位：m) 近似满足函数关系y ＝a (x -h )2+k (a ＜0) ．（1）某运动员第一次发球时，测得水平距离x 与竖直高度y 的几组数据如下：①根据上述数据，求这些数据满足的函数关系y ＝a (x -h )2+k (a ＜0)； ②判断该运动员第一次发球能否过网，并说明理由．（2）该运动员第二次发球时，排球运动过程中的竖直高度y (单位：m) 与水平距离x (单位：m) 近似满足函数关系y ＝-0.02(x -4)2+2.88，请问该运动员此次发球是否出界，并说明理由．26．在平面直角坐标系xOy 中，已知A (x 1, y 1), B (x 2, y 2)是抛物线y =ax 2-2ax +c(a >0)上的两个点．（1）求该抛物线的对称轴；（2）若对于-2<x 1<-1，2<x 2<3，都有y 1·y 2<0，求证：3a +c =0；（3）若对于x 1=m -4，m <x 2<m +1，都有y 1>y 2>c ，求m 的取值范围． 27．在△ABC 中，∠BAC =90º，AB =AC ．（1）如图1，△ABC 的角平分线BD ，CE 交于点Q ，请判断“QB QA ”是否正确：______（填“是”或“否”）；（2）点P 是△ABC 所在平面内的一点，连接P A ，PB ，且PB P A ．①如图2，点P 在△ABC 内，∠ABP =30°，求∠P AB 的大小；C②如图3，点P 在△ABC 外，连接PC ，设∠APC =α，∠BPC =β，用等式表示α，β之间的数量关系，并证明你的结论．图1 图2图328．在平面直角坐标系xOy 中，已知⊙O 的半径为1，点A 的坐标为(-1, 0)．点B 是⊙O 上的一个动点（点B 不与点A 重合）．若点P 在射线AB 上，且AP =2AB ，则称点P 是点A 关于⊙O 的2倍关联点．（1）若点P 是点A 关于⊙O 的2倍关联点，且点P 在x 轴上，则点P 的坐标为______； （2）直线l 经过点A ，与y 轴交于点C ，∠CAO =30°．点D 在直线l 上，且点D 是点A 关于⊙O 的2倍关联点，求D 点的坐标；（3）直线y=x +b 与x 轴交于点M ，与y 轴交于点N ，若线段MN 上存在点A 关于⊙O 的2倍关联点，直接写出b 的取值范围．EDQB CA PB CAPB CA参考答案一、选择题（共16分，每题2分）二、填空题（共16分，每题2分）三、解答题（共68分，第17-18题，每题5分，第19题6分，第20-23题，每题5分，第24-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）17. 解：a =2，b =2，c =−3． …………………………………………………1分△=b 2-4ac =28. …………………………………………………2分222x −±=⨯ …………………………………………………3分=. ∴112x −+=，212x −=. ……………………………………5分18. 解：（1）补全图形，如图所示； …………………2分（2）90，直径所对的圆周角是直角； ………………………………………4分经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.…………………5分 19．解：（1）223y x x =−− 22113x x =−+−−2(1)4x =−−． …………………1分顶点坐标是（1，-4）； …………………2分（2）图象如图所示； ······························ 4分（3）-4≤y＜0． ···································· 6分20．解：连接CO ．∵M 为CD 中点，EM 过圆心O ，∴EM ⊥CD ． ………………………………1分 设⊙O 半径为r ，则OC =OE =r ． ∵CD =4，EM =6，∴122CM CD ==，OM =6-r ．……………………………2分 ∵在Rt △OCM 中，222OC CM OM =+，∴22226r r =+−（）．………………………………………4分r =103． ∴⊙O 的半径为103m ． …………………………………5分 21．（1）证明：()()22224411442b ac m m m m m ∆=−=−⨯⨯−=−+=−. ………1分∵()220m −≥， ∴0∆≥．∴方程总有两个实数根． ……………………2分（2）解：()22m m x −±−=，11x =−，21x m =−． ……………………4分∵方程有一个根为正数， ∴10m −>.∴1m <． ……………………5分22．解：（1）∵线段BD 绕点B 逆时针旋转角α得到线段BE ，∴.BD BE DBE α=∠=， ………………………………………1分 ∵ABC α∠=， ∴.ABC DBE ∠=∠∵CD ⊥AB ， ∴90.CDB ∠=︒ 在△CBD 与△ABE 中， ,,,BC BA CBD ABE BD BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△CBD ≌△ABE . ………………………………………2分∴90.AEB CDB ∠=∠=︒ ………………………………………3分 （2）∵BD =BE =1，∴AB=AD+BD =3.∴BC=AB =3. …………………………………4分 ∵∠CDB =90º，∴CD=分23. 解：设小路的宽为x m. …………………………1分 (40-x )(32-x )=1140 …………………………3分 x 2-72x +140=0x 1=2，x 2=70（不合题意，舍去） ……………………4分 答：小路的宽应是2 m ． …………………………5分 24.（1）连接OD . ∵OB=OD∴∠OBD =∠ODB ∵AB=AC ∴∠ABC =∠C ∴∠ODB =∠C∴OD ∥AC ……………………1分 ∵DE ⊥AC ∴OD ⊥DE ∵OD 是⊙O 半径∴DE 是⊙O 的切线 ……………………2分 （2）延长DO 交BF 于点G∵AB 是直径∴∠F =90º ……………………3分C∵∠F =∠FED =∠EDG =90º ∴四边形GDEF 是矩形 ∴∠FGD =90º，DE=GF ∵OG 过圆心∴12GF BF ==∴DE =GF 分 设AB =AC =x ，则AF =10-x ∵BF 2+AF 2=AB 2∴222(10)x x +−=x =6∴AB =6 ……………………5分 ∴OD =3∴OE = ……………………6分25. 解：（1）①由表中数据可得顶点（4，2.8）设2(4) 2.8(0)y a x a =−+< ……………………1分 把（0，2.48）代入得a=-0.02∴所求函数关系为20.02(4) 2.8y x =−−+ …………………2分 ②能. ……………………3分当x ＝9时，y ＝-0.02(9-4)2+2.8＝2.3＞2.24 …………………4分 ∴该运动员第一次发球能过网.（2）判断：没有出界. ……………………5分令y =0，解得18x =−（舍），162 x∵162 x ＜18 ……………………6分 ∴没有出界.26．（1）解：抛物线的对称轴212ax a−=−=． ……………………1分 （2）证明：设点22B x y （,）关于对称轴的对称点为22B x y ''（,）.∵抛物线的对称轴1x =，223x <<， ∴210x '−<<．∵点A ，B′在对称轴左侧，a ＞0，且12210x x '−<<−<<， 根据二次函数性质，x <1时，y 随x 的增大而减小， ∴12y y >．∵y 1·y 2<0， ∴10y >，20y <．∴当x =-1时，y =0． ………………………2分 把（-1，0）代入解析式得3a +c =0． ………………………3分（3）解：∵a >0，∴对称轴x =1右侧，y 随x 的增大而增大；对称轴x =1左侧，y 随x 的增大而减小. ∵0<1∴点(0, c )在直线x =1左侧，其对称点为(2, c ). ∵x 1=m -4，m <x 2<m +1， ∴x 1<x 2. ∵y 1>y 2，∴点A (m -4, y 1)在直线x =1左侧，其对称点为(6-m , y 1). ……………………4分 ①当点B (x 2, y 2)在直线x =1右侧时（如图1） ∵y 1>y 2>c ∴{612m m m −≥+≥解得2≤m ≤52……………………………5分 ②当点B (x 2, y 2)在直线x =1左侧时（如图2） ∵y 1>y 2>c ∴m +1≤0解得m ≤-1 ……………………………6分 综上：m ≤-1或2≤m ≤5227．解：（1）否. …… ……………………1分x =1C'(2,)A'(6-m ,y 1)A (m -4,y 1)C (0,c )B (x 2,y 2)图1 图2x =1C'(2,)A'(6-m ,y 1)A (m -4,y 1)C (0,c )B (x 2y 2)（2）①作PD ⊥AB 于D ，则∠PDB =∠PDA =90°，∵∠ABP =30°， ∴12PD BP =. …… ……………………2分∵PB =，∴2PD PA =. ∴AD=DP=2PA . ∴∠P AB =45º. …… ……………………3分②45αβ+=︒. …………………………4分 证明：作AD ⊥AP ，并取AD =AP ，连接DC ，DP .∴∠DAP =90°. ∵∠BAC =90°，∴∠BAC +∠CAP =∠DAP +∠CAP . 即∠BAP =∠CAD . ∵AB =AC ，AD =AP ， ∴△BAP ≌△CAD .∴∠1=∠2，PB =CD . ……………………5分 ∵∠DAP =90°，AD =AP ，∴PD =，∠ADP =∠APD =45°.∵PB =，∴PD =PB =CD . ………………………6分 ∴∠DCP =∠DPC . ∵∠APC =α，∠BPC =β，∴45DPC α∠=+︒，12αβ∠=∠=−. ∴31802902DPC α∠=︒−∠=︒−. ∴139045ADP αβ∠=∠+∠=︒−−=︒. ∴45αβ+=︒. …………………………7分28. 解：（1）（3，0） ………………………………1分 （2）当直线l 与y 轴正半轴交于点C 时∵点D 在直线l 上，且点D 是点A 关于⊙O 的2倍关联点，∴直线l 与⊙O 的另一个交点为点B ，点D 在射线AB 上，满足AD =2AB 过点O 作OE ⊥ABB∴AB =2AE在Rt △AOE 中，∠CAO =30°，OA=1∴OE =12∴AE ==∴AB =2 ∵AD =2AB∴AD = ……………………2分 过点D 作DF ⊥x 轴，交x 轴于点F ∵在Rt △AOE 中，∠CAO =30°∴DF 3AF ==∴OF =2∴D （2 ………………………………3分同理可证，当直线l 与y 轴负半轴交于点C 时，D （2， …………4分综上所述，D 点坐标为（2）或（2，（3）1b −≤≤ 或 11b <≤ ……………………7分。

2024北京二中初三（上）期中数 学考查目标1.知识：人教版九年级上册《一元二次方程》、《二次函数》、《旋转》、《圆》的全部内容.2.能力：数学运算能力，逻辑推理能力，阅读理解能力，实际应用能力，数形结合能力，分类讨论能力.一、选择题（以下每题只有一个．．．．正确的选项，每小题2分，共16分） 1.数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列平面直角坐标系中的数学曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A. B.C. D. 2.抛物线()2225y x =−−−的顶点坐标是（ ）A.()2,5−B.()2,5C.()2,5−−D.()2,5−3.若关于x 的方程2210ax ax −+=的一个根是1−，则a 的值是（ ）A.1B.1−C.13− D.3−4.下表是用计算器探索函数253y x x =+−时所得的数值：x 0 0.25 0.5 0.75 1y 3− 1.69− 0.25− 1.31 3则方程2530x x +−=的一个解x 的取值范围为（ ）A.00.25x <<B.0.250.5x <<C.0.50.75x <<D.0.751x << 5.已知圆锥的底面半径为3cm ，母线长为6cm ，则圆锥的侧面积是（ ）A.218cm πB.227cm πC.218cmD.227cm 6.如图，将ABC △绕点C 顺时针旋转90°得到EDC △.若点A ，D ，E 在同一条直线上，30ACB ∠=°，则ADC ∠的度数是（ ）A.60°B.65°C.70°D.75°7.在一次聚会上，每两个人之间都互相赠送了一份礼物，若一共送出了90份礼物，则参加聚会的人有（ ）A.9人B.10人C.11人D.12人8.如图，等边ABC △的边长为2，点O 是ABC △的中心，120FOG ∠=°绕点O 旋转FOG ∠，分别交线段AB ，BC 于D ，E 两点，连接DE ，给出下列四个结论：①OD OE =； ②DOE △的面积等于BDE △的面积；③四边形DBEO 的面积始终保持不变； ④BDE △的周长的最小值为3.上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）A.①③B.①②④ C .②③④ D .①③④第Ⅱ卷（非选择题共84分）二、填空题（共16分，每题2分）9.点()1,2−关于原点对称的点坐标是______.10.写出一个开口向上，并且与y 轴交于点()0,1的抛物线的解析式______.11.已知关于x 的一元二次方程220x x a −−=有两个相等的实数根，则a 的值是______.12.把抛物线21y x =−向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为______.13.如图，某品牌扫地机器人的形状是“莱洛三角形”，它的三“边”分别是以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径的三段圆弧，若该等边三角形的边长为3，则这个“莱洛三角形”的周长是______.14.已知二次函数21y x x =−−，当x m <时，y 随x 的增大而减小，则m 的取值范围是______.15.如图，P A ，PB 分别切O 于A ，B 两点，40P ∠=°，点C 是O 上一点，则ACB ∠的度数为______.16.2024年4月1日，北京二中喜迎300年华诞，小元和小聪两名同学合作制作四个主题为“春”“夏”“秋”“冬”的书签，为校庆献礼，每个书签都先由小元进行绘画，然后再由小聪题字，两位同学完成每个书签各自的工序需要的时间（单位：分钟）如下表所示：______分钟；（2）若想用最短的时间完成这四个书签的制作，制作的顺序应该是______.三、解答题（共68分，其中第17—22题每题5分，第23—26题每题6分，第27—28题每题7分）17.解方程：2280x x −−=.18.如图，在平面直角坐标系中，ABC △三个顶点的坐标分别为()4,4A ，()2,3B ，()5,2C .（1）①以点B 为旋转中心，画出将ABC △按顺时针方向旋转90°后的11A BC △；②以原点O 为旋转中心，画出将ABC △按逆时针方向旋转180°后的222A B C △；（2）在（1）的条件下，222A B C △可以由11A BC △绕某点按顺时针方向旋转得到，则该点坐标为______，旋转角的度数为______.（3）ABC △的外接圆半径长______.19.如图1所示，圆形拱门屏风是中国古代家庭中常见的装饰隔断，既美观又实用，彰显出中国元素的韵味.图2是一款拱门的示意图，其中拱门最下端18AB =分米，C 为AB 中点，D 为拱门最高点，圆心O 在线段CD 上，27CD =分米，求拱门所在圆半径的长.图1 图220.下面是小宁设计的“作三角形的高”的尺规作图过程.已知：ABC △.求作：AD BC ⊥，垂足为D .作法：如图所示，①分别以点A 和点C 为圆心，大于12AC 的长为半径作弧，两弧相交于P ，Q 两点； ②作直线PQ ，交AC 于点O ；③以点O 为圆心，OA 长为半径作圆，交线段BC 于点D （点D 不与点C 重合），连接AD .所以线段AD 就是所求作的高.根据小宁设计的尺规作图过程，解决问题：（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明.证明：AP CP =，AQ =___①___，∴点P 、Q 都在线段AC 的垂直平分线上，∴直线PQ 为线段AC 的垂直平分线，∴O 为AC 中点.∵AC 为直径，O 与线段BC 交于点D ，∵∠ADC=___②___°.（___③___）（填推理的依据）AD BC ∴⊥.21.第十七届北京国际茶业及茶艺博览会于2024年9月6日至9日在北京全国农业展览馆举办，展览馆工作人员利用一边靠墙（墙长26米）的空旷场地为提前到场的观众设立面积为300平方米的封闭型长方形等候区，如图，为了方便观众进出，在两边空出两个宽各为1米的出入口，共用去隔栏绳48米.请问，工作人员围成的这个长方形的相邻两边长分别是多少米？22.已知二次函数()20y ax bx c a =++≠的y 与x 的部分对应值如表： x … 3− 1− 1 3 …y … 3− 0 1 0 …（1）求这个二次函数表达式；（2）在平面直角坐标系中画出这个函数图象；（3）当x 的取值范围为______时，3y >−.23.已知关于x 的一元二次方程()2430x m x m +−+−=. （1）求证：该方程总有两个实数根；（2）若该方程只有一个实数根为负数，求m 的取值范围.24.如图，AB 为O 的直径，C 为O 上一点，D 是弧BC 的中点，过点D 作AC 的垂线，交AC 的延长线于点E ，连接AD .（1）求证：DE 是O 的切线；（2）连接CD ，若30CDA ∠=°，2AC =，求CE 的长.25.2024年巴黎奥运会8月6日单人10米决赛中，全红婵以425.60分的总分夺得金牌，陈芋汐获得银牌，在精彩的比赛过程中，全红婵选择了一个极，具难度的207C （向后翻腾三周半抱膝），如图2所示，建立平面直角坐标系xOy ，如果她从点A 起跳后的运动路线可以看作抛物线的一部分，从起跳到入水的过程中，她的竖直高度y （单位：米）与水平距离x （单位：米）近似满足二次函数关系.图1 图2（1）在平时训练完成一次跳水动作时，全红婵的水平距离x 与竖直高度y 的几组数据如下表： 水平距离x /m 3 h 4 4.5竖直高度y /m 10 11.25 10 6.25根据表中数据，直接写出h 的值为______，满足的二次函数关系式为：______；（2）在（1）的条件下，记全红婵训练时入水点的水平距离为1d ；比赛当天的某一次跳水中，全红婵的竖直高度y 与水平距离x 近似满足二次函数关系：254068y x x =−+−，记比赛当天入水点的水平距离为2d ，判断1d 与2d 的大小关系，并说明理由.26.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()()22130y ax a x a =−++>的对称轴为直线x t =. （1）t =______（用含a 的式子表示）；（2）已知点12,y a ⎛⎫− ⎪⎝⎭，25,y a ⎛⎫ ⎪⎝⎭在抛物线上，若12y y =，求出a 的值； （3）已知点()12,y −，()21,y ，334,y a ⎛⎫+⎪⎝⎭在抛物线上，比较1y ，2y ，3y 的大小，并说明理由. 27.如图，ABC △中，ACB α∠=，AC BC =，点D 在AB 上（不与A ，B 重合），取AD 的中点F ，连结CD ，CF ，将线段CD 绕点C 顺时针旋转180α−°得到线段CE ，连结AE ，BE .（1）依题意，请补全图形；（2）判断BE 与CF 的数量关系，并证明；（3）当90α=°，4AC BC ==时，设BE 与CF 相交于点H ，则点D 在AB 上运动的过程中，线段AH 的最小值为______.28.在平面直角坐标系xOy 中，设O 的半径为r ，对于O 外一点P ，给出如下定义：若O 上存在点M ，使点P 绕点M 逆时针旋转120°后的对应点Q 落在O 的内部或O 上，则称点P 是点M 关于O 的“逆转点”.备用图（1）如图，当1r =，()1,0M 时，①点()2,1A −，3,22B ⎛ ⎝⎭，()3,0C 中，点______是点M 关于O 的“逆转点”； ②若点P 是点M 关于O 的“逆转点”，则点P 的横坐标的最大值是______；（2）当r =P 是直线3y =+P 的横坐标为t ，当点P 是点M 关于O 的“逆转点”时，求出t 的取值范围.北京二中教育集团2024—2025学年度第一学期初三数学期中考试参考答案一、选择题（共16分，每小题2分）1-5．BACCA 6-8．DBD二、填空题（共16分，每小题2分）9． (1，-2) 10．例如21y x =+ 11．-1 12．2(1)2y x =++ 13．3π 14．12m ≤ 15．70︒或110︒ 16．35，夏秋春冬三、解答题（共68分，其中第17-22题每题5分，第23-26题每题6分， 第27-28题每题7分）17．解：(4)(2)0x x -+= ………………………………………… 3分 ∴1242x x ==-， ………………………………………… 5分18．（1）略 ………………………………………… 2分（2）(-3，2)，90° ………………………………………… 4分 （3）102 ………………………………………… 5分19．解：连接AO ，CD 过圆心，C 为AB 的中点，CD AB ∴⊥， ……………………… 1分18AB =，C 为AB 的中点，9AC BC ∴==， ……………………… 2分设圆的半径为x 分米，则OA OD x ==分米，27CD =，27OC x ∴=-，在Rt OAC ∆中，222AC OC OA +=， …………………………………… 3分 2229(27)x x ∴+-=，15x ∴=（分米）， …………………………………… 4分 答：拱门所在圆的半径是15分米． ………………………………… 5分 20．（1）图略 ………………………………………………… 1分 （2）①CQ ………………………………………………… 2分②90°………………………………………………… 3分 ③直径所对的圆周角是直角 ……………………………… 5分21．解：设封闭型长方形等候区的边AB 为x 米， …………… 1分由题意得，x(48−2x +2)=300， …………… 2分 整理得，x 2−25x +150=0，解得x 1=10，x 2=15， …………… 3分 当x =10时，BC =30>26;当x =15时，BC =20<26， ∴x =10不合题意，应舍去． …………… 4分 答：封闭型长方形等候区的边AB 为15米，BC 为20米． …… 5分22．解：（1）设二次函数的表达式为(1)(3)y a x x =+-，把(1,1)代入得12(2)a =⨯⨯-， 解得14a =-，∴二次函数的表达式为1(1)(3)4y x x =-+-， 即2113424y x x =-++； ……………………………… 2分 （或顶点式：21(1)14y x =--+） （2）如图，……………………………… 3分（3）35x -<< ……………………………… 5分23．（1）证明：由题意得，∆＝24-b ac ＝2(4)41(3)--⨯⨯-m m＝244-+m m ＝2(2)-m ≥0，……………………………… 1分 ∴该方程总有两个实数根． ……………………………… 2分（2）解：2(4)30x m x m +-+-=，解得 1=3-x m ，2=1-x ． ……………………………… 3分 ∵只有一个实数根为负数，∴3-m ≥0， ……………………………… 4分 ∴m ≥3． ……………………………… 5分24．（1）证明：连接OD ，D 是BC 的中点，BAD CAD ∴∠=∠，………………… 1分 OA OD =，OAD ODA ∴∠=∠，即BAD ODA ∠=∠，CAD ODA ∴∠=， //OD AE ∴， …………………………………… 2分 DE AC ⊥，∴∠ODE =180°-∠AED =90° DE OD ∴⊥半径，DE ∴是O 的切线； ……………………………… 3分（2）解：连接OC ，CD ，30CDA ∠=︒，223060AOC CDA ∴∠=∠=⨯︒=︒， OA OC =，AOC ∴是等边三角形， AC OA OD ∴==， ∵由(1)可得//OD AC ，∴四边形ACDO 是菱形，2CD AC ∴==，60CDO CAO ∠=∠=︒， DE 是O 的切线，90ODE ∴∠=︒，906030CDE ∴∠=︒-︒=︒， 112CE CD ∴==． ……………………………… 6分 （或连接BC 构造小矩形，酌情给分）25．（1）3.5，25( 3.5)11.25y x =--+； ……………………………… 3分（2）d 1＜d 2 ……………………………… 4分25( 3.5)11.25y x =--+，当0y =时：205( 3.5)11.25x =--+， 解得：5x =或2x =（不合题意，舍去）； ……………… 5分 15d ∴=米；254068y x x =-+-，当0y =时：2540680x x -+-=， 解得：21545x =+或21545x =-+（不合题意，舍去）； ∴2215455d =+>，12d d ∴< ……………………………… 6分26．（1）1a a+ ………………………………1分 （2）∵y 1=y 2∴点(2a -，y 1)，(5a，y 2)关于直线x=t 对称 ∴ 5a -1a a +=1a a +-(2a-) ……………………………2分 解得12a = ……………………………3分 （3）111a t a a+==+ ，∵a ＞0 ∴t ＞1 ……………………………4分∵(34a +，y 3)关于直线x=t 对称点为(12a--，y 3) ∴1221t a ---＜＜＜ ∵当x ＜t 时，y 随x 的增大而减小 ……………………………5分 ∴y 3＞y 1＞y 2 ……………………………6分 （或代数法直接做差，对一个给2分）27．（1）………………………………………1分（2）BE =2CF ………………………………………2分 证明：延长EC 至M ，使CM =CE ，连接BM∵F 是AD 的中点∴CF ∥DM ，2CF=DM∵∠ACB =α∴∠BCM =180°-∠ACB=180°-α=∠ECD∴∠BCM +∠BCD =∠ECD +∠BCD即∠DCM=∠ECB∴在△DCM 和△ECB 中CD CE DCM ECB CM CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DCM ≌△ECB (SAS ) ………………………………… 6分∴BE =DM= 2CF（或倍长中线，第一个全等给1分，倒角给2分，第二个全等给1分）（3）2 ………………………………………8分28．（1）①B ………………………………1分 ②52………………………………3分 （2）如图，点M 关于⊙O 的“逆转点”所形成的区域是圆环，外圆半径为3+……………………………4分直线3y =+y 轴交点M (0，3+……………5分 连接ON ，则ON =OM ，且∠MON =120° ……………………6分 作NH ⊥x 轴于点H ，则∠NOH =30°故N x=3322+-=-∴32+-≤t ≤0 ………………………………7分。

2024北京北师大附中初三（上）期中数 学考生须知1．本试卷有三道大题，共10页．考试时长120分钟，满分100分． 2．考生务必将答案填写在答题纸上，在试卷上作答无效． 3．考试结束后，考生应将答题纸交回． 一、选择题（共8小题，共16分）1. 2023年5月30日神舟十六号载人飞船发射取得圆满成功，此次任务是我国载人航天工程进入空间站应用与发展阶段的首次载人飞行任务．下列有关航天的4个图标图案中是中心对称图形的是（ ）A. B. C. D .2. 把抛物线2y x =−向上平移3个单位长度，则乎移后抛物线的解析式为（ ） A. ()23y x =−+ B. ()23y x =−− C. 23y x =−+D. 23=−−y x3. 将一元二次方程2810x x −+=通过配方转化为()2x a b +=的形式，下列结果中正确的是（ ） A. ()2826x −= B. ()286x −= C. ()246x −=− D. ()246x −=4. 如图，在ABC 中，80B ∠=︒，65C =︒∠，将ABC 绕点A 逆时针旋转得到AB C ''△．当AB '落在AC 上时，BAC '∠的度数为（ ）A. 65︒B. 70︒C. 80︒D. 85︒5. 如图，已知正六边形ABCDEF 的外接圆半径为2cm ，则该正六边形的边心距是（ ）A. 1cmB. 2cm6. 如图所示，用10米的铁丝网围成一个面积为15的矩形菜地，菜地的一边靠墙（不使用铁丝），如果设平行于围墙的一边为x 米，那么可列方程（ ）A. ()1015xx −=B.()10152xx −= C. 110152x x ⎛⎫−= ⎪⎝⎭D.()102152xx −= 7. 下面是“作ABC 的外接圆”的尺规作图方法．ABC 的外接圆O ．上述方法由，得到OA OB OC ==，从而知O 经过A ，，三点．其中获得OA OB =的依据是（ ）A. 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等B. 与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上C. 角平分线上的点到角的两边的距离相等D. 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上8. 二次函数()20y ax bx c a =++≠的对称轴是2x =−，该抛物线与x 轴的一个交点在点(4,0)−和点(3,0)−之间，其部分图象如图所示，下列结论：①40a b −=，②0a b c ++<，③2324b b ac +>，④若点()5,n −在二次函数的图像上，则关于x 的不等式20ax bx c n ++−>的解集是51x −<<，其中正确的是（ ）A. ①③B. ③④C. ①③④D. ①②③④二、填空题（共8小题，共16分）9. 若关于x 的一元二次方程220x x m +−=有一个根为1，则m 的值为_______． 10. 如图，点A ，B ，C 在O 上，55BAC ∠=︒，则BOC ∠的度数为_______︒．11. 若点()2,a ，()3,b 都在二次函数y =(x −1)2−1的图象上，则a _______b ．（填<，=或>）． 12. 请你写出一个二次函数，其图象满足条件：①开口向下，②顶点在y 轴上．此二次函数的解析式可以是_______．13. 如图，PA PB ，是O 的两条切线，切点分别为A ，B ，连接OA AB ，，若35OAB ∠=︒，则P ∠=________︒．14. 如图，抛物线2y ax bx =+与直线y mx n =+相交于点(3,6)A −−，(1,2)B −，则关于x 的方程2ax bx mx n +=+的解为_______________ .15. 无论非零实数m 取何值，抛物线()2211y mx m x =++−一定经过的定点的坐标是________．16. 如图，AB 是O 的直径，C 为O 上一点，AB OC ⊥，P 为圆上一动点，M 为AP 的中点，连接CM ，若O 的半径为4，则CM 长的最大值是________．三、解答题（共12小题，共68分．其中第17题8分，第18题4分，第19，21，22，23，25题每小题5分，第20，24，26，27题每小题6分，第28题7分）17. 解方程：（1）210x x +−=． （2）()()3121x x x +=+18. 如图，AB 是O 的弦，半径OC AB ⊥，垂足为D ，AB =（1）BD =________． （2）若D 为OC 中点，求O 的半径．19. 已知关于x 的一元二次方程()22210x m x m m −+++=． （1）求证：该方程总有两个不相等的实数根； （2）当该方程的两个实数根的和为0时，求m 的值． 20. 已知二次函数 2=23y x x −−．（1）求该二次函数的顶点坐标；（2）在平面直角坐标系 xOy 中，画出二次函数 2=23y x x −−的图象； （3）结合函数图象：直接写出当12x −<<时，y 的取值范围．21. 如图，在边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点0A ，B ，C 均为格点（每个小正方形的顶点叫做格点）．（1）作点()01,1A −−关于原点O 的对称点A ； （2）连接AC ，AB 得ABC ，将ABC 绕点A 逆时针旋转90°得11AB C △．画出旋转后的11AB C △；（3）在（2）的条件下，点1B 的坐标是________，边AC 扫过区域的面积为________． 22. 下面是小于同学设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．（1）使用直尺和圆规，完成作图；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明，并在括号中填推理的依据： 证明：连接DP ， ∵CP DQ = ∴________DQ = ∴PDC________．∴PQ l ∥（________）．23. 如图1，某公园在入园处搭建了一道“气球拱门”，拱门两端落在地面上．若将拱门看作抛物线的一部分，建立如图2所示的平面直角坐标系．当拱门上的点到O 点的水平距离为x （单位：m ）时，它距地面的竖直高度为y （单位：m ）．（1）经过对拱门进行测量，发现x 与y 的几组数据如下：离），并求y 与x 满足的函数关系式．（2）在一段时间后，公园重新维修拱门．在同样的坐标系下，新拱门上的点距地面的竖直高度y （单位：m ）与它到O 点的水平距离x （单位：m ）近似满足函数关系()20.187.30y x h =−−+，若记原拱门的跨度为1d ，新拱门的跨度为2d ，则1d ______2d （填“>”，“=”或“<”）． 24. 如图，AB 为O 的直径，点C 在O 上，ACB ∠的平分线CD 交O 于点D ，过点D 作DE AB ∥，交CB 的延长线于点E ．（1）求证：DE 是O 的切线；（2）若60ADC ∠=︒，4BC =，求CD 的长． 25. 【项目式学习】 项目主题：车轮的形状项目背景：在学习完圆的相关知识后，九年级某班同学通过小组合作方式开展项目式学习，深入探究车轮制作成圆形的相关原理． 【合作探究】（1）探究A 组：车轮做成圆形的优点是：车轮滚动过程中轴心到地面的距离始终保持不变．另外圆形车轮在滚动过程中，最高点到地面的距离也是不变的．如图1，圆形车轮半径为4cm ，其车轮最高点到地面的距离始终为______cm ；（2）探究B 组：正方形车轮在滚动过程中轴心到地面的距离不断变化．如图2，正方形车轮的轴心为O ，若正方形的边长为6cm ，车轮轴心O 距离地面的最高点与最低点的高度差为______cm ；（3）探究C 组：如图3，有一个正三角形车轮，边长为6cm ，车轮轴心为O （三边垂直平分线的交点），车轮在地面上无滑动地滚动一周，求点O 经过的路径长．探究发现：车辆的平稳关键看车轮轴心是否稳定，即车轮的轴心是否在一条水平线上运动．【拓展延伸】如图4，分别以正三角形的三个顶点A ，B ，C 为圆心，以正三角形的边长为半径作60︒圆弧，这样形成的曲线图形叫做“莱洛三角形”．“莱洛三角形”在滚动时始终位于一组平行线之间，因此放在其上的物体也能够保持平衡，但其车轴中心O 并不稳定．（4）探究D 组：使“莱洛三角形”以图4为初始位置沿水平方向向右滚动．在滚动过程中，其“最高点”和“车轮轴心O ”均在不断移动位置，那么在“莱洛三角形”滚动一周的过程中，其“最高点”和“车轮轴心O ”所形成的图形按上、下放置，应大致为______．26. 在平面直角坐标系xOy 中，点()1,m −，()3n ,在抛物线()2<0y ax bx c a =++上，设抛物线的对称轴为x t =．（1）当5c =，m n =时，求抛物线与y 轴交点的坐标及t 的值；（2）点()()00,3x n x ≠在抛物线上，若m n c <<，求t 的取值范围及0x 的取值范围．27. 如图，在Rt ABC △中，90ABC ∠=︒，()030BAC a α∠=︒<<︒．将射线AC 绕点A 逆时针旋转2α得到射线l ，射线l 与射线BC 的交点为M ．在射线BC 上截取MD AC =（点D 在点M 左侧），（1）如图1，当点D 与点C 重合时，此时α=_________°，ACB ∠的度数为_________°．（2）当点D 与点C 不重合时，在线段MA 上截取2ME BC =，连接DE ．依题意补全图2，用等式表示EDM ∠与BAC ∠的数量关系，并证明．28. 在平面直角坐标系xOy 中，给定图形W 和点P ，若图形W 上存在两个不同的点S ，T 满足2ST PM =．其中点M 为线段ST 的中点，则称点P 是图形W 的相关点．（1）已知点(2A ，0)①在点1234113(,),(,(2,1)2222P P P P −−中，线段OA 的相关点是_______； ②若直线y x b =+上存在线段OA 的相关点，求b 的取值范围．（2）已知点(3Q −，0)，线段的长度为d ，当线段CD 在直线2x =−上运动时，如果总能在线段CD 上找到一点K ，使得在y 轴上存在以QK 为直径的圆的相关点，直接写出d 的取值范围．参考答案一、选择题（共8小题，共16分）1. 【答案】C【分析】本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．【详解】解：选项A 、B 、D 不都能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．选项C 能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以是中心对称图形． 故选：C ． 2. 【答案】C【分析】本题考查了二次函数图象的平移，掌握平移规律是解题的关键．根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可．【详解】解：把抛物线2y x =−向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为23y x =−+ 故选：C ． 3. 【答案】D【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．先把常数项移到方程右边，再把方程两边加上16 【详解】解：移项得2810x x −=−，配方得22284104x x −+=−+，即2(4)6x −=． 故选：D ． 4. 【答案】B【分析】本题主要考查了旋转的性质，三角形内角和定理，由旋转的性质可得B AC BAC ''∠=∠， 由三角形内角和定理可得出35B AC BAC ∠=∠=''︒，最后根据角的和差关系即可得出答案． 【详解】解：由旋转的性质可得出B AC BAC ''∠=∠， ∵180BAC B C ∠+∠+∠=︒， ∴180806535BAC ∠=︒−︒−︒=︒， ∴35B AC BAC ∠=∠=''︒，∴70BAC BAC B AC ∠=∠+''∠='︒， 故选：B ． 5. 【答案】D【分析】该题主要考查了正多边形与圆，构建直角三角形，利用直角三角形的边角关系求解是解题的关键．连接OA ，作OM AB ⊥，构造出直角OAM △，且根据正六边形的性质可知30AOM ∠=︒，即可解答； 【详解】解：连接,OA OB ，作OM AB ⊥于点M ， ∵正六边形ABCDEF 的外接圆半径为2cm ， ∴正六边形的半径为2cm ， 即2cm OA =，在正六边形ABCDEF 中，360660AOB ∠=︒÷=︒， ∴30AOM ∠=︒，∴正六边形的边心距是)cos302cm 2OM OA =︒⨯=⨯=， 故选：D ．6. 【答案】B【分析】平行于围墙的一边为x 米，则垂直于围墙的一边为()1102x −米，再根据矩形的面积公式列方程即可．()10152xx −=． 故选：B ．【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，正确列出方程是解题的关键． 7. 【答案】A【分析】本题考查作图-复杂作图，线段的垂直平分线，解题的关键熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．【详解】解：由作图可知直线1l 是线段AB 的垂直平分线，则OA OB =的依据是线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等， 故选：A ． 8. 【答案】D【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，熟练掌握对称轴，最值，相应方程的根是解题关键．根据抛物线的对称轴可判断①对错；根据图像利用抛物线的顶点坐标，得到2434ac b a−=，即可判断③对错；抛物线的对称性可知，当0x =时，0y <，得到0c <，即可判断②对错；根据二次函数2(0)y ax bx c a =++≠和直线y n =的交点，即可判断④对错．【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线22b x a=−=−， 4b a ∴=，∴40a b −=，①正确；∵抛物线的顶线坐标为(2,3)−，2434ac b a−∴=， 2124b a ac ∴+=，4b a =，234b b ac ∴+=，0a <，40b a ∴=<，∴2b 2>b ，∴2b 2+b 2+2b >b +b 2+2b ，∴3b 2+2b >b 2+3b ，∴3b 2+2b >b 2+3b =4ac ，成立，故③正确；∵抛物线与x 轴的一个交点在点(4,0)−和点(3,0)−之间，∴由抛物线的对称性可知，另一个交点在(1,0)−和(0,0)之间，0x ∴=时，0y <，0c ∴<，0a <，40b a ∴=<，∴0a b c ++<，②正确；∵抛物线的顶线坐标为(2,3)−，点()5,n −在二次函数的图像，∴抛物线与直线y n =有两个交点，∴交点的横坐标即为方程2ax bx c n ++=的两个实数根，∵点()5,n −在二次函数的图像，∴5−为其中一个实数根，根据函数图像对称性，对称轴2x =−，∴另一个实数根是1，∴关于x 的不等式20ax bx c n ++−>的解集是51x −<<，∴④正确，故选：D ．二、填空题（共8小题，共16分）9. 【答案】3【分析】本题考查了方程根的定义即使方程左右两边相等的未知数的值，转化求解是解题的关键． 把1x =代入220x x m +−=，转化为m 的方程求解即可．【详解】解：把1x =代入220x x m +−=，得210m +−=，解得：3m =，故答案为：3．10. 【答案】110【分析】本题考查的知识点是圆周角定理，熟记定理内容是解题的关键．根据同圆中同弧所对的圆周角等于圆心角的一半解答即可．【详解】解：∵点A 、B 、C 在O 上，55BAC ∠=︒，2110BOC A ∴∠=∠=︒，故答案为：110．11. 【答案】<【分析】本题考查了二次函数2()y a x h k =−+图象的性质，掌握二次函数2()y a x h k =−+图象的性质是解题的关键．根据二次函数的解析式求得对称轴以及开口方向，根据点与对称轴的距离越远函数值越大即可判断,a b 的大小关系．【详解】解：∵二次函数2(,1011)y x a =−=>−，开口向上，对称轴为1x =，当x >1时，y 随x 增大而增大，又点()2,a ，()3,b 都在二次函数y =(x −1)2−1的图象上，211,312−=−=，a b ∴<，故答案为：<．12. 【答案】23y x =−+（答案不唯一）【分析】本题考查了二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，利用二次函数的性质及二次函数图象上点的坐标特征，找出0a <，0b =是解题的关键．根据二次函数的性质可得出0a <，利用二次函数图象顶点在y 轴上的特征可得出0b =，取取1a =−，0b =，c 为任何数即可得出结论．【详解】解：设二次函数的解析式为2y ax bx c =++．∵抛物线开口向下，∴0a <．∵抛物线顶点在y 轴上，∴0b =，c 为任何数，则取1a =−，0b =，3c =时，二次函数的解析式为23y x =−+．故答案为：23y x =−+（答案不唯一）．13. 【答案】70【分析】先根据等边对等角和三角形内角和定理求出110AOB ∠=︒，再根据切线的性质得到90OAP OBP ∠=∠=︒，再根据四边形内角和定理求出P ∠的度数即可．【详解】解：∵OA OB =，∴35OAB OBA ∠=∠=︒，∴180110AOB OAB OBA ∠=︒−∠−∠=︒，∵PA PB ，是O 的两条切线，∴90OAP OBP ∠=∠=︒，∴36070P AOB OAP OBP =︒−−−=︒∠∠∠∠，故答案为：70．【点睛】本题主要考查了切线的性质，等边对等角，三角形内角和定理，四边形内角和定理，熟知切线的性质是解题的关键．14. 【答案】x 1＝﹣3，x 2＝1【分析】关于x 的方程ax 2+bx =mx +n 的解为抛物线y =ax 2+bx 与直线y =mx +n 交点的横坐标，由此即可得到答案．【详解】∵抛物线y =ax 2+bx 与直线y =mx +n 相交于点A （﹣3，﹣6），B （1，﹣2），∴关于x 的方程ax 2+bx =mx +n 的解为x 1=﹣3，x 2=1．故答案为x 1=﹣3，x 2=1．【点睛】本题考查了抛物线与直线的交点问题：把求二次函数y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）与x 轴的交点坐标问题转化解关于x 的一元二次方程即可求得交点横坐标．也考查了二次函数的性质． 15. 【答案】(2,3)−−，()01−，【分析】本题考查二次函数图象过定点问题，解决此类问题：首先根据题意，化简函数式，提出未知的常数，化简后再根据具体情况判断．把含m 的项合并，只有当m 的系数为0时，不管m 取何值抛物线都通过定点，可求x 、y 的对应值，确定定点坐标．【详解】解：∵()2211y mx m x =++−， ()222121y mx mx x m x x x ∴=++−=++−，∴当220x x +=时，与m 的取值无关，即0x =或2x =−时，不管m 取何值时都通过定点，当2x =−时，()422113y m m =−+−=−，当x =0时，1y =−，故不管m 取何值时都通过定点(2,3)−−或()01−，． 故答案为：(2,3)−−，()01−，．16. 【答案】2+【分析】本题考查圆周角定理，勾股定理，由90OMA ∠=︒得出点M 的移动轨迹，再根据圆外一点到圆上一点最大距离进行计算即可．【详解】解：如图，取OA 中点O '，连接O C '，O M '，OM ，∵M 为AP 的中点，∴90OMA ∠=︒， ∴122O M O A O O OA '''====， ∴当点P 在O 上移动时，AP 的中点M 的轨迹是以OA 为直径的O '，∴'CO 交O '于点M ，此时CM 的值最大，由题意得，4OA OB OC ===，122OO OA O M ''===， 在Rt O OC '中，4OC =，2OO '=，∴O C '==，∴2CM CO O M ''=+=，故答案为：2+．三、解答题（共12小题，共68分．其中第17题8分，第18题4分，第19，21，22，23，25题每小题5分，第20，24，26，27题每小题6分，第28题7分）17. 【答案】（1）112x −=，212x −−= （2）11x =−，223x = 【分析】此题考查了一元二次方程的求解，解题的关键是掌握一元二次方程的求解方法．（1）利用公式法求解即可；（2）移项，利用因式分解法求解即可．【小问1详解】解：∵1,1,1a b c ===−，∴122b x a −−===，则112x −+=，212x −=； 【小问2详解】解：()()3121x x x +=+()()31210x x x +−+=()()1320x x +−=∴10x +=或320x −= 则11x =−，223x =． 18. 【答案】（1）√3 （2）2【分析】本题考查垂径定理，勾股定理．（1）根据垂径定理即可得到12AD BD AB ==即可得出结果； （2）连接OA ，设O 的半径为r ，在Rt AOD 中，利用勾股定理即可求解． 【小问1详解】解：∵AB 是O 的弦，半径OC AB ⊥，垂足为D ，AB =∴12AD BD AB === 【小问2详解】 解：连接OA ，如图所示：设O 的半径为r ，即OA OC r ==， 若D 为OC 中点，1122OD OC r ∴==，由（1）知12AD BD AB ===在Rt AOD 中，由勾股定理可知222AD OA OD =−，即22212r r ⎛⎫=− ⎪⎝⎭， 解得2r =（负值舍去）， ∴O 的半径为2．19. 【答案】（1）见详解 （2）12m =− 【分析】本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是掌握根与系数的关系及根的判别式．（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出10∆=>，进而即可证出：方程总有两个不相等的实数根； （2）用根与系数的关系列式求得m 的值即可．【小问1详解】证明：∵[]22(21)41()10m m m ∆=−+−⨯⨯+=>．即0∆>，∴方程总有两个不相等的实数根．【小问2详解】解：设方程的两根为a 、b ，利用根与系数的关系得：210a b m +=+=， 解得：12m =−． 20. 【答案】（1）()1,4−（2）见解析 （3）40y −≤＜【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，做题的关键是通过数形结合去解题．（1）将二次函数表达式化为顶点式，即可进行解答；（2）由五点作图法即可画出二次函数图象；（3）根据图象即可求得y 的范围；【小问1详解】()222314y x x x =−−=−−， ∴该二次函数的顶点坐标为()1,4−；【小问2详解】列表如下，=23y x x 的图象如图，【小问3详解】由图象可知，当1x =−时，y 取得最大值，y 的最大值为0，当1x =时，y 取得最小值，y 的最小值为-4，∴当12x −<<时，y 的范围为40y −≤＜．21. 【答案】（1）()1,1A（2）见详解 （3）()12,3B −，94π 【分析】本题主要考查对称性和旋转的性质．（1）根据一点关于原点对称点的性质即可求解；（2）结合旋转的性质即可得到旋转后的图形；（3）结合点A 的坐标和旋转的性质即可求得点1B ，利用旋转的性质和面积公式即可．【小问1详解】解：∵()01,1A −−，∴()1,1A ；【小问2详解】解：如图，【小问3详解】解：根据旋转得，13AC AC ==，12BC B C ==，∵点()1,1A ，∴点()12,3B −，∵将ABC 绕点A 逆时针旋转90°得11AB C △．∴边AC 扫过区域的面积为229019·336044AC πππ⨯=⨯=． 22. 【答案】（1）作图见解析（2）CP ，DPQ ∠，内错角相等，两直线平行【分析】本题考查的作已知直线的平行线，圆周角定理的应用，平行线的判定；（1）根据题干的作图语言逐步作图即可；（2）证明CP DQ =，可得PDC DPQ ∠=∠，结合平行线的判定可得结论．【小问1详解】解：如图，作图如下：．【小问2详解】证明：连接DP ，∵CP DQ =，∴CP DQ =，∴PDC DPQ ∠=∠．∴PQ l ∥（内错角相等，两直线平行）．23. 【答案】（1）该拱门的高度为7.2m ，跨度为12m ，()20.267.2y x =−−+（2）<【分析】本题考查了二次函数的实际应用，（1）由表格得当0x =时，0y =，当12x =时，0y =，从而可求对称轴和顶点坐标，进而可求出拱门的高度和跨度，再把解析式设为顶点式利用待定系数法即可求解；（2）先把()0,0代入()20.187.30y x h =−−+中，求出h 的值，则可求出2d ，进行比较即可． 【小问1详解】解：由表格可知抛物线经过()0,0和()12,0，∴抛物线的对称轴为直线6x =，∵当6x =，7.2y =，∴该拱门的高度为7.2m ，∵12012−=，∴跨度为12m ；设抛物线解析式为()267.2y a x =−+，把()2,4代入()267.2y a x =−+中得：()2267.24a −+=， 解得：0.2a =−，∴()20.267.2y x =−−+；【小问2详解】解：把()0,0代入()20.187.30y x h =−−+中得()200.1807.30h =−−+，解得3h =或3h =−（舍去），∴抛物线()20.187.30y x h =−−+与x 轴的另一个交点坐标为,03⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴2m 3d =， 由（1）可得110m d =， ∵222114601009d d =>=， ∴21d d >，故答案为：<．24. 【答案】（1）证明见解析（2）【分析】（1）连接OD ．根据直径所对的圆周角是直角得90ACB ∠=︒，再根据角平分线得45ACD BCD ∠=∠=︒，进而得45ABD ACD ∠=∠=︒，又由45ODB OBD ∠=∠=︒，从而根据平行线的性质得45BDE OBD ︒∠=∠=，于是90ODE ODB BDE ∠=∠+∠=︒，得OD DE ⊥，根据切线的判定即可证明结论成立；（2）如图2，过点B 作BF CD ⊥于点F ，先证明BF CF =．再根据勾股定理得BF CF ==，根据直角三角形的性质得2BD BF ==【小问1详解】证明，如图1，连接OD ．AB 是O 的直径，90ACB ∴∠=︒， CD 平分ACB ∠，45ACD BCD ∴∠=∠=︒45ABD ACD ∴∠=∠=︒OD OB =，45ODB OBD ∴∠=∠=︒， DE AB ∥，45BDE OBD ︒∴∠=∠=，90ODE ODB BDE ︒∴∠=∠+∠=， OD DE ∴⊥ OD 为O 的半径，∴直线DE 是O 的切线．【小问2详解】解：如图2，过点B 作BF CD ⊥于点F ，90BFC BFD ︒∴∠=∠=， ∵AB 为O 的直径，∴90ACB ∠=︒，∵ACB ∠的平分线CD 交O 于点D ， ∴45ACD BCD ∠=∠=︒， 45CBF ∴∠=︒，BF CF ∴=．在Rt BFC △中，4BC =，根据勾股定理，得42BF CF ==⨯= ∵60ABC ADC ∠=∠=︒，∴906030BAC ∠=︒−︒=︒， BC BC =，30CDB BAC ︒∴∠=∠=，2BD BF ∴==在Rt BFD 中，根据勾股定理，得DF ==CD CF DF ∴=+=．【点睛】本题主要考查了勾股定理、圆周角角定理、直径所对的圆周角是直角、切线的判定以及平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握圆周角角定理、直径所对的圆周角是直角以及切线的判定是解题的关键．25. 【答案】8；3−；；A【分析】本题主要考查圆的综合应用，主要考查了弧长公式，正方形的性质，等边三角形的性质，理解题意并画出图形是解题的关键．（1）利用正方形的性质解答即可；（2）画出图形，找到最高点和最低点即可得到答案； （3）分别求出三部分一定的距离，然后相加即可；（4）由题意知：最高点与水平面距离不变，即可得到结论． 【详解】解：（1）圆形车轮与地面始终相切，∴车轮轴心O 到地面的距离始终等于圆的直径，圆形车轮半径为4cm ，故车轮最高点到地面的距离始终为8cm ，故答案为：8；（2）如图所示，OC 为正方形车轮的轴心O 移动的部分轨迹，点D 为车轮轴心O 的最高点，点C 为车轮轴心O 的最低点，由题意得车轮轴心O 距离地面的最低高度为AD OA ==∴车轮轴心O 距离地面的最高点与最低点的高度差为3)cm ，故答案为：3)；（3）点O 的运动轨迹为圆，以点C 为圆心，23=运动距离为2π⨯=故答案为：； （4）由题意知，当“莱洛三角形”在滚动时始终位于一组平行线之间，因此放在其上的物体也能够保持平衡，故“最高点”和“最低点所形成的图案大致是”A ，故答案为：A ．26. 【答案】（1）抛物线与y 轴交点的坐标为()0,5，1t =（2）010x −<<【分析】本题考查了二次函数图像的性质；运用二次函数的增减性按要求列出相应的不等式是解题的关键．（1）将5c =代入()20y ax bx c a =++<中，可得抛物线与y 轴交点的坐标，再根据m n =可得点()1,m −与()3,n 关于抛物线的对称轴对称，即132t −+=计算即可； （2）根据m n c <<，可确定出2a >−b >3a ， 结合20a <，可得对称轴的取值范围，再利用对称轴可表示为直线032x x +=，进而可确定0x 的取值范围． 【小问1详解】解：当5c =时，抛物线：25y ax bx =++当0x = 时，5y =；∴ 抛物线与y 轴交点的坐标为：()0,5；∵m n =，∴点()1,m −与()3,n 关于抛物线的对称轴对称， ∴1312x t −+===； 【小问2详解】解：∵m n c <<，∴93a b c a b c c −+<++<，解得23a b a −<<−，∴2a >−b >3a ， 而20a <， ∴3122b a <−<，即312t <<， ∵点()3,n ，()()00,3x n x ≠在抛物线上， ∴抛物线的对称轴为直线032x x +=， ∴033122x +<<， 解得：010x −<<，∴0x 的取值范围010x −<<．27. 【答案】（1）18︒，72°（2）补全图形见解析，2EDM BAC ∠=∠，证明见解析【分析】（1）当点D 与点C 重合时，由等腰三角形等边对等角，得到 2AMC CAM α∠=∠=，再根据直角三角形的性质可得590AMC CAM BAC α∠+∠+∠==︒，进而求出18α=︒，可求ACB ∠的度数； （2）根据题意补全图形，在CB 的延长线上截取BF BC =，连接AF ，在AF 上取点N ，使得CF CN =， 连接CN ， 证明DME ACN ≌可得EDM CAN ∠=∠，即可得到EDM ∠与BAC ∠的等量关系．【小问1详解】解：∵点D 与点C 重合，,2MD AC CAM α=∠=，∴2AMC CAM α∠=∠=，在Rt ABC △中,90ABC ∠=︒，∴90AMC MAB ∠+∠=︒，∵BAC α∠=，∴590AMC CAM BAC α∠+∠+∠==︒，∴18α=︒，∴236MAC AMC α∠=∠==︒，∴22472ACB MAC MAC a αα∠=∠+∠=+==︒；【小问2详解】解：补全图形如图；2EDM BAC ∠=∠，理由如下：如图， 在CB 的延长线上截取BF BC =，连接AF ，在AF 上取点N ，使得CF CN =， 连接CN ，∵,90BF BC ABC =∠=︒，∴AC AF =，∴22CAN BAC α∠=∠=， ∴()1180902AFC ACF CAN α∠=∠=︒−∠=︒−， ∵CF CN =，∴90CNF AFC α∠=∠=︒−，∴1802FCN AFC CNF α∠=︒−∠−∠=，∴903ACN ACF FCN α∠=∠−∠=︒−，∵22MAC BAC α∠=∠=，∴90903AMD MAC BAC α∠=︒−∠−∠=︒−，∴ACN AMD ∠=∠，∵2ME BC =，2CF CN BC ==，∴ME CN =，∵MD AC =，∴()SAS DME ACN ≌，∴22EDM CAN BAC α∠=∠==∠．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，直角三角形的性质．关键是添加辅助线构造全等三角形，找到线段的等量关系．28. 【答案】（1）①1P ，3P ；②1−b ≤≤1（2）d ≥【分析】（1）①根据新定义得出P 点在以OA 为直径的圆上及其内部，以OA 为直径，()1,0为圆心作圆，在圆上或圆内的点即为所求；②根据①可得P 点在以OA 为直径的圆上及其内部，作出图形，进而根据直线y x b =+上存在线段OA 的相关点，求得相切时的临界值，即可求解；（2）设点K 是直线2x =−上一点，且点K ，使得在y 轴上存在以QK 为直径的圆的唯一相关点，设()2,K k −，则以QK 为直径的圆上两点ST 为直径的圆与y 轴相切于点P ，且ST y ∥轴，当ST CP ⊥且ST PC =时，y 轴上存在以QK 为直径的圆的唯一相关点P ，勾股定理求得KB 的值，进而根据对称性可得当K 点在x 轴的下方时，符合题意，即可求解．【小问1详解】解：①∵(2A ，0)，∴2OA =，∵P 是线段OA 的相关点，∵2ST PM =，若点,S T 分别与点()()0,0,2,0A 重合，则中点为()1,0，∴P 在以OA 为直径的圆上，∵,S T 是线段OA 上的点，∴P 点在以OA 为直径的圆上及其内部，故答案为： 1P ，3P． ②由题意可得线段OA 的所有相关点都在以OA 为直径的圆上及其内部，如图．设这个圆的圆心是H ．(2A ，0)，∴ (1H ，0)．当直线y x b =+与H 相切，且0b >时，将直线y x b =+与x 轴的交点分别记为B ，则点B 的坐标是(b −，0)．∴ 1BH b =+．BH =，∴1b +=1b =．当直线y x b =+与H 相切，且0b <时，同理可求得1b =−．所以b 的取值范围是1−b ≤≤1．【小问2详解】解：设点K 是直线2x =−上一点，且点K ，使得在y 轴上存在以QK 为直径的圆的唯一相关点， 设()2,K k −，则以QK 为直径的圆上两点ST 为直径的圆与y 轴相切于点P ，且ST y ∥轴，如图所示，设以QK 为直径的圆，圆心是C ．则5,22k C ⎛⎫− ⎪⎝⎭， ∴52CP = M 是ST 的中点，2ST PM =，∴SP =当ST CP ⊥且ST PC =时，y 轴上存在以QK 为直径的圆的唯一相关点P ，在Rt CSM 中，52224CS CP ===，∴22QK CS ==，∴2KB ===， 根据对称性可得当K 点在x 轴的下方时，也符合题意，∴d ≥．【点睛】本题考查了几何新定义，切线的性质，垂径定理，勾股定理，理解新定义是解题的关键．。

初三数学期中试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个选项是无理数？A. 0.33333B. πC. 4.5D. 0.5答案：B2. 一个数的平方等于它本身，这个数可能是：A. 1B. -1C. 0D. 1或-1答案：D3. 如果一个三角形的两边长分别为3和4，那么第三边的长度可能是：A. 1B. 2C. 7D. 5答案：D4. 以下哪个图形是轴对称图形？A. 正方形B. 圆C. 正三角形D. 所有选项答案：D5. 一个数的绝对值是它本身，这个数可能是：A. 正数B. 负数C. 零D. 正数或零答案：D6. 以下哪个选项是二次根式？A. √2B. √(-1)C. √(0)D. √(4/9)答案：A7. 一个数的立方等于它本身，这个数可能是：A. 1B. -1C. 0D. 1或-1或0答案：D8. 在一个直角三角形中，如果一个锐角是30度，那么另一个锐角是：B. 90度C. 120度D. 30度答案：A9. 以下哪个选项是不等式？A. x + 3 = 7B. x - 5 > 2C. 4x = 16D. 3x ≤ 9答案：B10. 一个数的相反数是它本身，这个数是：A. 1B. -1C. 0D. 任何数答案：C二、填空题（每题4分，共20分）1. 一个数的相反数是-5，那么这个数是_______。

答案：52. 如果一个数的绝对值是8，那么这个数可能是_______或_______。

答案：8，-83. 一个数的平方根是4，那么这个数是_______。

4. 一个三角形的两边长分别为5和12，根据三角形的三边关系，第三边的长度应该大于_______而小于_______。

答案：7，175. 如果一个数的立方是27，那么这个数是_______。

答案：3三、解答题（每题10分，共50分）1. 已知一个数的平方是25，求这个数。

答案：这个数是±5。

2. 一个直角三角形的两条直角边长分别为6和8，求斜边的长度。

数学试卷班级__________ 姓名__________学号__________ 成绩__________一、选择题 (共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个. 1．下面四个标志中是中心对称图形的是（ ）.A ．B ．C ．D ．2．方程220x x -=的根是（ ）. A ．0x =B ．2x =C ．0x =或2x =D ．0x =或2x =-3．若1(3,)A y -，2(2,)B y -，3(3,)C y 为二次函数21y x =+（）图象上的三点，则1y ，2y ，3y 的大小关系是（ ）. A ．123y y y <<B ．213y y y <<C ．312y y y <<D ．132y y y <<4．二次函数(5)(7)y x x =-+的图象的对称轴是（）. A ．直线1x =- B ．直线1x =C ．直线2x =D ．直线6x =5．如图，AB 为O 直径，点C 、D 在O 上，如果70ABC ∠=︒，那么D ∠的度数为（ ）.A ．20︒B ．30︒C ．35︒D ．70︒6．2024年北京第一季度GDP 约为1.058万亿元，第三季度GDP 约为1.167万亿元，设2024年北京平均每季度GDP 增长率为x ，则可列关于x 的方程为（ ）. A ．21.058(1) 1.167x -= B ．1.058(12) 1.167x +=C ．21.058(1) 1.167x +=D ．21.167(1)1.058x -=7．如图是一个钟表表盘，连接整点2时与整点10时 的B 、D 两点并延长，交过整点8时的切线于点P ，若切线长2PC =，则表盘的半径长为（ ）.A ．3B． C ． D．A8．某农场用篱笆围成饲养室，一面靠现有墙（墙足够长），已知计划中的篱笆（不包括门）总长为12m ，现有四种方案（如图）中面积最大的方案为（ ）. A 方案为一个封闭的矩形B 方案为一个等边三角形，并留一处1m 宽的门C 方案为一个矩形，中间用一道垂直于墙的篱笆隔开，并在如图所示的三处各留1m 宽的门D 方案为一个矩形，中间用一道平行于墙的篱笆隔开，并在如图所示的四处各留1m 宽的门A. B.C. D.二、填空题（共16分，每题2分）9．在平面直角坐标系xOy 中，将抛物线23y x =向上平移1个单位，得到的抛物线表达式为 ．10．如图，四边形ABCD 内接于O ，E 为BC 延长线上一点，50A ∠=︒，则DCE ∠的度数为 ．11．抛物线256y x x =-+与y 轴的交点的坐标是 ．12．如图，PA 、PB 分别切O 于A 、B 两点，点C 为AB 上一点，过点C 作O 的切线分别交PA 、PB 于M 、N 两点，若△PMN 的周长为10，则切线长PA 等于 ．第10题图 第12题图13．已知22310a a -+=，则代数式2(3)(3)a a a -++的值为 ．14．“青山绿水，畅享生活”，人们经常将圆柱形竹筒改造成生活用具，图1所示是一个竹筒水容器，图2为该竹筒水容器的截面．已知截面的半径为10cm ，开口AB 宽为12cm ，这个水容器所能装水的最大深度．．．．是 cm ．图1 图2 第15题图15．二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的部分图象如图所示，图象过点(1,0)-， 对称轴为直线2x =，抛物线与y 轴交点在(0,1)A 和(0,2)B 之间（不与A 、B 重合）．下列结论：①0abc >； ②93a c b +>； ③40a b +=； ④当0y >时，15x -<<； ⑤a 的取值范围为2155a -<<-． 其中正确结论有 ．（填序号）16．如图，在直角三角形ABC 中，∠A =90°，D 是AC 上一点，BD =10， AB =CD ，则BC 的最大值为 ．三、解答题（共68分，第17题8分，第18、21、25题每题4分，第19、23、24题每题5分，第20、26题6分，第22、27、28题每题7分）17．解下列方程：（1）23610x x -+=； （2）2(3)3x x x -=-．18．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC 的三个顶点的坐标分别为(1,1)A -，(3,1)B -，(1,4)C -．将△ABC 绕着点B 顺时针旋转90︒后得到△11A BC ， （1）请在图中画出△11A BC ； （2）线段BC 旋转过程中所扫过的面积是 （结果保留π）．19．如图，D 是等边三角形ABC 内一点，将线段AD 绕点A 顺时针旋转60︒，得到线段AE ，连接CD ，BE ． （1）求证：△AEB ≌△ADC ； （2）连接DE ，若96ADC ∠=︒，求BED ∠的度数． 20．已知关于x 的一元二次方程22(8)40x k x k +--=．（1）求证：该方程总有两个实数根；（2）若该方程有一个根小于3，求k 的取值范围． 21．已知：如图O 及O 外一点P ．求作：直线PB ，使PB 与O 相切于点B ．李华同学经过探索，想出了两种作法．具体如下（已知点B 是直线OP 上方一点）：A ，A 交O 于点B ，则直线PB 是O 的切O 于点M ；②以点的长为半径作弧，交直线，交O 于点B PB 是O 的切线． 证明：如图1，连接OB ， A 直径，90PBO =︒．（ OB ． OB 是O 的半径，∴直线PB 是O 的切线．请仔细阅读，并完成相应的任务．（1）“作法一”中的“依据”是指 ； （2）请写出“作法二”的证明过程．NQ M P22．在平面直角坐标系xOy 中，二次函数2y x bx c =++的图象经过(0,2)A -，(2,0)B 两点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）填写表格并在给出的平面直角坐标系中画出这个函数的图象；（3）若一次函数y mx n =+的图象也 经过A ，B 两点，结合图象，直接写出 不等式2x bx c mx n ++<+的解集．23．如图，在Rt △ABC 中，90C ∠=︒，BE 平分ABC ∠交AC于点E ，点D 在AB 上，DE EB ⊥． （1）求证：AC 是△BDE 的外接圆的切线；（2）若2AD =，AE =，求EC 的长．24．如图1所示的某种发石车是古代一种远程攻击的武器．将发石车置于山坡底部O 处，以点O 为原点，水平方向为x 轴方向，建立如图2所示的平面直角坐标系，将发射出去的石块当作一个点看，其飞行路线可以近似看作抛物线2(20)y a x k =-+的一部分，山坡OA 上有一堵防御墙，其竖直截面为ABCD ，墙宽2BC =米，BC 与x 轴平行，点B 与点O 的水平距离为28米，竖直距离为6米．若发射石块在空中飞行的最大高度为10米． （1）求抛物线的解析式；（2）试通过计算说明石块能否飞越防御墙．25．如图1，线段AB 及一定点C ，P 是线段AB 上一动点，作直线CP ，过点A 作AQ CP ⊥于点Q ，已知7AB =cm ，设A 、P 两点间的距离为x cm ，A 、Q 两点间的距离为1y cm ，P 、Q 两点间的距离为2y cm ．小明根据学习函数的经验，分别对函数1y 、2y 随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究．下面是小明的探究过程：第一步：按照下表中自变量x 的值进行取点、画图、测量，分别得到了1y 、2y 与x 的几组对应值．1(,)x y ，2(,)x y ，并画出函数1y 、2y 的图象． 解决问题：（1）在给出的平面直角坐标系中（图2）补全函数2y 的图象；（2）结合函数图象，解决问题：当△APQ 中有一个角为30︒时，AP 的长度约为 cm ．图1图226．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线224(0)y ax a x a =-≠． （1）当1a =时，求抛物线的顶点坐标；（2）已知1(M x ，1)y 和2(N x ，2)y 是抛物线上的两点．若对于15x a =，256x ，都有12y y <，求a 的取值范围．27．已知，如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，∠ABC =45°，点D 在BC 的延长线上，点E 在CB 的延长线上，DC =BE ，连接AE ，过C 作CF ⊥AE 于F ，CF 交AB 于G ，连接DG ． （1）求证：∠AEB =∠ACF ；（2）用等式表示CG ，DG 和AE 的数量关系，并证明．28. 对于平面直角坐标系xOy 内的直线l 和点P ，若点A 关于l 作轴对称变换得到点1A ，点1A 关于点P 作中心对称变换得到点2A ，我们则称点2A 为点A 关于直线l 和点P 的“正对称点”． 已知B （-1,0），C （2,0），（1）写出B 关于y 轴和点C 的“正对称点”的坐标________；（2）已知点1C （2,m ）（102m ），存在过原点O 的直线1l ，使得点B 关于直线1l 和点1C 的“正对称点”在直线2l ：y =x+b 上，求b 的取值范围；（3）已知点H 是直线x =1上的一点，且点H 的纵坐标小于0，C （3,0），E 点在以C 为圆心1为半径的圆上，对于直线x =6上的点F （6,h ），以F 为圆心，1为直径作圆F ，若圆F 上存在点B 关于直线OH 和点E 的“正对称点”，直接写出h 的取值范围．备用图数学参考答案一、选择题1．D 2．C 3．B 4．A 5．A 6．C 7．B 8．C二、填空题9． 231y x =+ 10. 50° 11．(0,6) 12．5 13．8 14．18 15．③④⑤16. 5+ 补充说明：T15只有一个正确答案得1分，有错误答案不得分。

扬州市梅岭中学教育集团2023-2024学年第一学期期中考试试卷初三年级数学学科（时间：120分钟）注意事项：1．本试卷共6页，三大题，满分150分，考试时间为120分钟．请用黑色水笔做完整套试卷，画图必须用2B 铅笔．2．请把你认为正确的答案填写在答题纸相应位置，填在试卷上无效．一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题仅有一个答案正确，请把你认为正确的答案填写在答题纸相应位置．）1．下列属于一元二次方程的是（）A ．B ．C ．D ．2．若的半径为4，圆到直线的距离为5，则直线与的位置关系是（）A ．相离B ．相切C ．相交D ．无法确定3．已知5个数、、、、的平均数是a ，则数据，，，，的平均数为（）A ．B ．C．D ．4．若，且，则的值等于（）A ．5B ．C ．6D ．5．用配方法解一元二次方程，下列变形结果正确的是（）A ．B ．C ．D ．6．一组数据26，32，32，36，46，■7，52进行统计分析，其中一个两位数的十位上的数字被墨水涂污看不到，则下列统计量与被涂污数字无关的是（）A ．平均数B ．中位数C ．众数D ．方差7．将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C 在半圆上．点A 、B 的读数分别为86°、30°，则的大小为（）A ．15°B ．28°C ．29°D ．34°8．如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 是正方形对角线BD 所在直线上的一个动点，连接AE ，以AE 为斜边作等腰（点A ，E ，F 按逆时针排序），则CF 长的最小值为（）0.5mm 2320ax x -+=212x x x+=250x x +=2(4)3x x x -=O O O 1a 2a 3a 4a 5a 11a +21a +31a +41a +51a +1a +a56a 2a30a b +=0ab ≠2a bb+5-6-2430x x --=2(2)1x -=2(2)7x -=2(4)1x -=2(4)7x -=ABC ∠Rt AEF △AB ．C ．4D ．2二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，请把你认为正确的答案填写在答题纸相应位置．）9．若关于x 的方程是一元二次方程，则m 的取值范围是________．10．已知线段，，则a ，b 的比例中项是________．11．某公司决定招聘一名广告策划人员，某应聘者三项素质测试的成绩如下表：测试项目创新能力综合知识语言表达测试成绩/分708090将创新能力，综合知识和语言表达三项测试成绩按的比例计入总成绩，则该应聘者的总成绩是________分．12．已知点O 是的外心，且，则________．13．某公司2月份的利润为160万玩4月份的利润250万元，则平均每月的增长率为________．14．已知某组数据方差为，则x 的值为________．15．如图，平面直角坐标系中，正方形EFBG 和正方形ABCD 是以O 为位似中心的位似图形，位似比为，点F ，B ，C 在x 轴上，若，则点G 的坐标为________．16．若关于x 的一元二次方程的其中一根为，则关于x 的方程必有一根为________．17．如图，由4个边长为1的小正方形组成的图形，若经过其顶点A 、B 、C ，则圆心O 到AB 的距离为________．2(2)320m x x +-+=2a =8b =5:3:2ABC △ 6AO BO +=CO =222221(2(3(3)(84s x x x x ⎡⎤=-+-+-+-⎣⎦1:26AD =20(0)ax bx a ++=≠2023x =2(2)20a x bx b c ++++=O18．如图，E 是的直径AB 上一点，，，过点E 作弦，P 是ACB 上一动点，连接DP ，过点A 作，垂足为Q ，则OQ 的最小值为________．三、解答题（本大题共10小题，共96分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请把答案填写在答题纸相应位置．）19．（本题满分8分）解方程：（1）；（2）20．（本题满分8分）甲、乙两名运动员在相同条件下6次射击成绩的折线统计图如下：（1）填表（单位：环）平均数中位数众数甲的射击成绩①________8③________乙的射击成绩8②________④________（2）计算甲、乙射击成绩的方差，并判断哪位运动员的射击成绩更稳定？21．（本题满分8分）已知关于x 的一元二次方程．（1）证明：无论m 取何值，此方程必有实数根；（2）等腰三角形ABC 中，，AC 、B C 的长是此方程的两个根，求m 的值．22．（本题满分8分）直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现，每件小商品售价每降低5元，日销售量增加10件．（1）当每件的售价为50元时，日销量为________件；（2）若日利润为448元，为了尽快减少库存，每件售价应定为多少元？O 10AB =2BE =CD AB ⊥AQ PD ⊥2410x x +-=(1)(3)5(1)x x x -+=-2(3)30x m x m +--=1AB =23．（本题满分10分）请按下列要求作图．（1）如图1，在方格纸中，点A 在圆上，仅用无刻度直尺过点A 画出圆的切线；（2）如图2，已知，点Q 在外，用尺规作上所有过点Q 的切线．（保留作图痕迹）24．（本题满分10分）如图，在中，，点D 在AC 边上，以AD 为直径作交AB 于点E ，连接CE ，且．25．（本题满分10分）阅读材料，解答问题：我们在探究一元二次方程根与系数的关系中发现，如果关于x 的一元二次方程的两个根是，，那么由求根公式可以推出，；已知实数m ，n 满足，，且，则m ，n 是方程的两个不相等的实数根，由根与系数的关系可知，．根据上述材料，解决以下问题：（1）直接应用：已知实数a ，b 满足：，，且，则________，________；（2）直接应用：在（1）条件下，求的值；（3）拓展应用：已知实数m ，n 满足：，且，求的值．26．（本题满分10分）如图，在平面直角坐标系中，、、．（1）经过A 、B 、C 三点的圆弧所在圆的圆心的坐标为________；（2）这个圆的半径为________；2O 2O 2O Rt ABC △90ACB ∠=︒O CB CE =20ax bx c ++=1x 2x 12b x x a +=-12c x x a⋅=210m m --=210n n --=m n ≠210x x --=1m n +=1mn =-2710a a -+=2710b b -+=a b ≠a b +=ab =b aa b +2117m m +=27n n -=10mn +≠1n m-(0,4)A (4,4)B (6,2)C（3）直接判断点与的位置关系．点在________（填内、外、上）；（4）在方格中，连接AB ，AC ，BC ，将以原点O为位似中心，缩小为原来的，请在方格纸中画出缩小后的图形．27．（本题满分12分）【基础巩固】（1）如图1，在中，D 为AB 上一点，．求证：．【尝试应用】（2）如图2，在平行四边形ABCD 中，E 为BC 上一点，F 为CD 延长线上一点，．若，，求AD 的长．【拓展提高】（3）如图3，在菱形ABCD 中，E 是AB 上一点，F 是内一点，，，，，，则菱形ABCD 的边长为________．28．（本题满分12分）如图1，在矩形ABCD 中，，，点P 以的速度从点A 向点B 运动，点Q 以的速度从点C 向点B 运动．点P 、Q 同时出发，运动时间为t 秒（），是的外接圆．（1）当时，的半径是________cm ，与直线CD 的位置关系是________；（2）在点P 从点A 向点B 运动过程中，当与矩形ABCD 的边相切时，求t 的值；（3）连接PD ，交于点N ，如图2，当时，t 的值是________．(5,2)D -M (5,2)D -M ABC △12111A B C △ABC △ACD B ∠=∠2AC AD AB =⋅BFE A ∠=∠4BP =3BE =ABC △EF AC ∥2AC EF =12EDF BAD ∠=∠3AE =6DF =6cm AB =8cm BC =3cm/s 4cm/s 02t <<M PQB △1t =M M M M APP NBQ ∠=∠扬州市梅岭中学教育集团2023-2024学年第一学期期中考试答案初三年级数学学科（满分：150分；考试时间：120分钟）说明：本评分标准每题给出了一种解答供参考，如果考生的解法与本解答不同，参照本评分标准的精神酌情给分．一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分）题号12345678答案CAABBCBD二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）9．；10．4；11．77；12．3；13．25%；14．4；15．；16．；17．；18三、解答题（本大题共10小题，共96分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）19．（1），；………………4分2m ≠(6,3)2021x =11612x =-+22x =-（2），………………8分20．（1）①8；②；③8；④9；………………4分（2）甲射击成绩的方差为…………5分乙射击成绩的方差为…………6分∴………………7分∴乙运动员的射击成绩更稳定．21．（1），，∴∴无论m 取何值，方程必有实数根………………4分（2）………………8分22．（1）40；………………3分（2）54元；………………8分23．（1）………………5分（2）………………10分24．（1）连OE ，证，∴∵是的半径，∴是的切线………………5分（2）………………10分25．（1）7；1………………4分（2）47；………………7分（3）………………10分26．（1）………………2分（2）4分（3）内；………………6分11x =22x =8.5222222215(68)(78)(88)(88)(98)(108)63s ⎡⎤=-+-+-+-+-+-=⎣⎦甲222222214(68)(78)(88)(98)(98)(98)63s ⎡⎤=-+-+-+-+-+-=⎣⎦乙22s s <乙甲1a =3b m =-3c m=-2224(3)41(3)(3)0b ac m m m -=--⨯⨯-=+≥2m =-90OEC ∠=︒OE EC⊥OE O CE O 3r =1-(2,0)（3）………………10分27．（1）证∴∴………………4分（2）；………………8分（3）；………………12分28．（1）；相离；………………4分（2）或；………………8分（3）．………………12分ACD ABC △∽△AC AD AB AC=2AC AB AD =⋅163AD =35212t =29t =43。

一、选择题（每题1分，共5分）1. 在直角坐标系中，点P（2，3）关于x轴的对称点坐标是（）。

A.（2，3）B.（2，3）C.（2，3）D.（2，3）2. 已知一组数据：1，2，3，4，5，那么这组数据的众数、中位数、平均数分别是（）。

A. 3，3，3B. 3，3，3.5C. 3，3，4D. 3，3，4.53. 下列函数中，属于一次函数的是（）。

A. y=2x+1B. y=x^2C. y=2/xD. y=3sinx4. 已知正比例函数y=kx（k≠0），当x=2时，y=4，那么k的值为（）。

A. 2B. 4C. 2D. 45. 在平面直角坐标系中，点A（3，2），点B（3，2），那么线段AB的中点坐标是（）。

A.（0，0）B.（0，1）C.（0，1）D.（1，0）二、判断题（每题1分，共5分）1. 直角三角形的两个锐角互余。

（）2. 在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行。

（）3. 一元二次方程的根一定是实数。

（）4. 圆的周长与半径成正比。

（）5. 一组数据的方差越大，说明这组数据的波动越小。

（）三、填空题（每题1分，共5分）1. 在等腰三角形中，若底边长为10，腰长为13，则这个等腰三角形的周长是______。

2. 在平面直角坐标系中，点P（m，n）关于原点的对称点坐标是______。

3. 已知一元二次方程ax^2+bx+c=0（a≠0），若方程有两个相等的实数根，则判别式△=______。

4. 在等差数列{an}中，若a1=3，d=2，则第10项a10=______。

5. 在平面直角坐标系中，点A（m，n），点B（m，n），则线段AB的长度是______。

四、简答题（每题2分，共10分）1. 请简述一元二次方程的根的判别式。

2. 请简述圆的性质。

3. 请简述等差数列的性质。

4. 请简述三角形的内角和定理。

5. 请简述平行线的性质。

五、应用题（每题2分，共10分）1. 已知一个等腰三角形的底边长为8，腰长为5，求这个等腰三角形的周长。

2024北京八十中初三（上）期中数 学2024.11班级： 姓名： 考号： 总成绩：一、 选择题(每题3分，共24分)下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．下列各曲线是在平面直角坐标系xOy 中根据不同的方程绘制而成的，其中是中心对称图形的是(A) (B) (C) (D)2．将抛物线2y x =向上平移1个单位，得到的抛物线的解析式为（ ）A.21y x =+B.21y x =− C.()21y x =+D.()21y x =−3．在△ABC 中，CA CB =，点O 为AB 中点．以点C 为圆心，CO 长为半径作⊙C ，则⊙C 与AB 的位置关系是 A.相交 B.相切 C.相离D.不确定4．用配方法解方程2230x x −−=时，配方后得到的方程为（ ） A.2(1)=4x − B.2(1)4x −=− C.2(1)=4x + D.2(1)=4x +−5．如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，59ABD ∠=︒，则C ∠等于（ ） A. 29° B.31°C.59°D. 62°6．已知二次函数24y x x m =−+（m 为常数）的图象与x 轴的一个交点为(1,0)，则关于x 的一元二次方程240x x m −+=的两个实数根是（ ）A.121,1x x ==−B.121,2x x =−=C.121,0x x =−=D.121,3x x ==7．如图，A ，B ，C 是某社区的三栋楼，若在AC 中点D 处建一个5G 基站，其覆盖半径为300 m ，则这三栋楼中在该5G 基站覆盖范围内的是(A) A ，B ，C 都不在(B) 只有BxyO x y OxyO xyO OD CBA OCBACBA500 mD(C) 只有A ，C (D) A ，B ，C8. 二次函数228y x x m =−+满足以下条件：当21x −<<−时，它的图象位于x 轴的下方；当67x <<时，它的图象位于x 轴的上方，则m 的值为 A ．8B ．10−C ．42−D ．24−二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．如图，PA ，PB 分别与⊙O 相切于点A ，B ，连接AB .60APB ∠=︒，5AB =，则PA 的长是 ．10．若关于的一元二次方程240x x k −+=有两个相等的实数根，则的值为_________．11．已知点A (a-1,b +2)与B (-2,4)关于原点对称，则a = _________, b =_________.12．已知O 为△ABC 的外接圆圆心，若O 在△ABC 外，则△ABC 是________（填“锐角三角形”或“直角三角形”或“钝角三角形”）．13．石拱桥是中国传统桥梁四大基本形式之一，它的主桥拱是圆弧形． 如图，已知某公园石拱桥的跨度AB =16米，拱高CD =4米，那么桥拱所在圆的半径OA = 米．14．已知二次函数的图象经过点(0,1)，且顶点坐标为(2,5)，则此二次函数的解析式为 ． 15. 如图，直线b kx y+=与抛物线322++−=xxy 交于点A ，B ，且点A 在y 轴上，点B 在x 轴上，则不等式322++−xx >b kx +的解集为 .16. 当x >0时，均有[(a +1)x −1][x 2−ax −1]≥0，则实数a 的所有可能值为____________．三、解答题（ 17—18题每题4分，19—26题每题5分，27—28题每题6分） 17．解方程：2310x x +−=． 18. 解方程：.74)6(21+=−xxx 19．如图，在等腰直角△ABC 中，∠BAC =90°，D 是BC 边上任意一点（不与B ，C 重合），将线段AD 绕点A 逆时针旋转90°得到线段AE ，连接CE ，DE . （1）求∠ECD 的度数；（2）若AB =4，BD =√2，求DE 的长. 20．已知二次函数.322−−=xxy （1）求二次函数322−−=xxy 图象的顶点坐标； （2）在平面直角坐标系xOy 中，画出二次函数322−−=xxy 的图象； （3）结合图象直接写出自变量0≤x ≤3时，函数的最大值和最小值.x k21．用长为6米的铝合金条制成如图所示的窗框，若窗框的高为x 米，窗户的透光面积为y 平方米（铝合金条的宽度不计）．（1）y 与x 之间的函数关系式为 （不要求写自变量的取值范围）；（2）如何安排窗框的高和宽，才能使窗户的透光面积最大？并求出此时的最大面积．22．如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的一条弦，AB ⊥CD ，连接AC ，OD ．（1）求证：∠BOD ＝2∠A ；（2）连接DB ，过点C 作CE ⊥DB ，交DB 的延长线于点E ，延长DO ，交AC 于点F ．若F 为AC 的中点，求证：直线CE 为⊙O 的切线． 23．已知关于x 的一元二次方程2(2)10x m x m +−+−=．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若0m <，且此方程的两个实数根的差为3，求m 的值．24．装有水的水槽放置在水平台面上，其横截面是以AB 为直径的半圆O ，AB =50cm ．如图①和图②所示，MN 为水面截线，GH 为台面截线，MN ∥GH ． 计算 在图①中，已知MN =48cm ，作OC ⊥MN 于点C ．（1）求OC 的长．操作 将图①中的水槽沿GH 向右作无滑动的滚动，使水流出一部分，当∠ANM =30°时停止滚动，如图②．其中，半圆的中点为Q ，GH 与半圆的切点为E ，连接OE 交MN 于点D ． 探究 在图②中．（2）操作后水面高度下降了多少？（3）连接OQ 并延长交GH 于点F ，求线段EF 的长度．x米25．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，O 为AC 上一点，以点O 为圆心，OC 为半径的圆恰好与AB 相切，切点为D ，⊙O 与AC 的另一个交点为E ．（1）求证：BO 平分∠ABC ；（2）若∠A =30°，AE =1，求BO 的长．26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y ax bx c =++（0a >）的对称轴为x t =，点1()2A t m ，，(2)B t n ，，00()C x y ，在抛物线上． （1）当2t =时，直接写出m 与n 的大小关系；（2）若对于067x <<，都有0m y n <<，求t 的取值范围．27．如图，在△ABC 中，∠ABC =90°，BA =BC ．将线段AB 绕点A 逆时针旋转90°得到线段AD ，E 是边BC上的一动点，连接DE 交AC 于点F ，连接BF ． （1）求证：FB =FD ；（2）点H 在边BC 上，且BH =CE ，连接AH 交BF 于点N ．①判断AH 与BF 的位置关系，并证明你的结论；②连接CN ．若AB =4，请直接写出线段CN 长度的最小值．备用图28．对于平面直角坐标系xOy 中的线段MN 和点P ，给出如下定义：点A 是线段MN 上一个动点，过点A作线段MN 的垂线l ，点P 是垂线l 上的另外一个动点．如果以点P 为旋转中心，将垂线l 沿逆时针方向旋转60°后与线段MN 有公共点，我们就称点P 是线段MN 的“关联点”． 如图，M （1，2），N （4，2）．（1）在点P 1（1，3），P 2（4，0），P 3（3，2）中，线段MN 的“关联点”有 ；（2）如果点P 在直线1y x =+上，且点P 是线段MN 的“关联点”，求点P 的横坐标x 的取值范围； （3）如果点P 在以O （1，1−）为圆心，r 为半径的⊙O 上，且点P 是线段MN 的“关联点”，直接写出⊙O 半径r 的取值范围．备用图北京市第八十中学2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷参考答案一.选择题1.C2.A3.B4.A5.B6.D7.D8.D二.填空题9.510.411.3 -612.钝角三角形13.1014.15.三．.解答题18.19.20.21.22.23.24.25.26.27.（2）（3）28.。

2024北京陈经纶初三（上）期中数 学时间：90分钟 满分：100分一、选择题：本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．1. 抛物线()212y x =−+的顶点坐标是（ ） A. ()1,2 B. ()1,2− C. ()1,2− D. ()1,2−− 2. 用配方法解方程242x x +=，变形后结果正确的是（ ）A. ()223x −=B. ()223x +=C. ()226x −=D. ()226x += 3. 图中的五角星图案，绕着它的中心O 旋转n ︒后，能与自身重合，则n 的值至少是（ ）A. 144B. 72C. 60D. 504. 若关于x 的一元二次方程240x x m −=有两个相等的实数根，则实数m 的值为（ ）A. 4B. 4−C. 4±D. 25. 将抛物线231y x =+的图象向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线是（ ）A. ()2323y x =+−B. ()2322y x =+− C. ()2323y x =−− D. ()2322y x =−− 6. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC 顶点的横、纵坐标都是整数．若将△ABC 以某点为旋转中心，顺时针旋转90°得到△DEF ，其中A 、B 、C 分别和D 、E 、F 对应，则旋转中心的坐标是（ ）A. （0，0）B. (1,0)C. (1,1)−D. ()0.5,0.5 7. 11(,)2A y −，2(1,)B y ，3(4,)C y 三点都在二次函数2(2)y x k =−−+的图像上，则123,,y y y 的大小关系为（ ） A. 123y y y << B. 132y y y <<C. 312y y y <<D. 321y y y << 8. 四位同学在研究二次函数()260y ax bx a =+−≠时，甲同学发现函数图象的对称轴是直线1x =；乙同学发现当3x =时，y =−6；丙同学发现函数的最小值为8−；丁同学发现3x =是一元二次方程()2600ax bx a +−=≠的一个根，已知这四位同学中只有一位同学发现的结论是错误的，则该同学是( )A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁二、填空题：本大题共8个小题，每小题3分，共24分．9. 方程260x x −=的解是_____．10. 请写出一个开口向上，并且与y 轴交于点()0,1−的抛物线的表达式______．11. 如图，将OAB △绕点O 逆时针旋转80︒，得到OCD ，若2100A D ∠=∠=︒，则α∠的度数__________．12. 如图，已知二次函数210y ax bx c a ++≠=（）与一次函数20y kx b k +≠=（）的图象相交于点(24),82A B ﹣，（，），则2ax bx c kx b +++=的解是 _____．13. 杭州亚运会的吉祥物“江南忆”出自唐朝诗人白居易的名句“江南忆，最忆是杭州”，它融合了杭州的历史人文、自然生态和创新基因．经统计，某商店吉祥物“江南忆”6月份的销售量为1200件，8月份的销售量为1452件，设吉祥物“江南忆”6月份到8月份销售量的月平均增长率为x ，则可列方程为______． 14. 若关于x 的一元二次方程()221310k x x k −++−=的一个根为0，则k 的值为___________． 15. 汽车刹车后行驶的距离y （单位：m ）关于行驶的时间x （单位：s ）的函数解析式是：2156s x x =−，汽车刹车后前进了______米才能停下来．16. 车间里有五台车床同时出现故障．已知第一台至第五台修复的时间如下表：（1）若只有一名修理工，且每次只能修理一台车床，则下列三个修复车床的顺序：①D B E A C →→→→；②D A C E B →→→→；③C A E B D →→→→中，经济损失最少的是______（填序号）；（2）若由两名修理工同时修理车床，且每台车床只由一名修理工修理，则最少经济损失为______元．三．解答题：共52分，第17-24题，每题5分，第25-26题，每题6分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17. 解方程22730x x −+=．18. 若a 是关于x 的一元二次方程2390x x −+=的根，求代数式()()()4431a a a +−−−的值． 19. 如图，ABC 是直角三角形，90C ∠=︒，将ABC 绕点C 顺时针旋转90︒．（1）试作出旋转后的DCE △，其中B 与D 是对应点；（2）在作出的图形中，已知5,3AB BC ==，求BE 的长．20. 已知抛物线()20y ax bx c a =++≠图象上部分点的横坐标x 与纵坐标y 的对应值如下表：（1）并画出图象；（2）求此抛物线的解析式；（3）结合图象，直接写出当03x <<时y 的取值范围．21. 已知关于x 的一元二次方程2(2)10x m x m −+++=．（1）求证：无论m 取何值，方程总有两个实数根；（2）若方程的一个实数根是另一个实数根的两倍，求m 的值．22. 景区内有一块58⨯米的矩形郁金香园地（数据如图所示，单位：米），现在其中修建一条花道（阴影所示），供游人赏花．若改造后观花道的面积为12平方米，求x 的值．23. 数学活动课上，老师提出一个探究问题：制作一个体积为310dm ，底面为正方形的长方体包装盒，当底面边长为多少时，需要的材料最省（底面边长不超过3dm ，且不考虑接缝）．某小组经讨论得出：材料最省，就是尽可能使得长方体的表面积最小．下面是他们的探究过程，请补充完整：（1）设长方体包装盒的底面边长为x dm ，表面积为2dm y 、可以用含x 的代数式表示长方体的高为210dm x．根据长方体的表面积公式：长方体表面积=2×底面积+侧面积． 得到y 与x 的关系式：_________（03x <≤）；（2）列出y 与x 的几组对应值：（说明：表格中相关数值精确到十分位）（3）在下面的平面直角坐标系xOy 中，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象：（4）结合画出的函数图象，解决问题：长方体包装盒的底面边长约为_______dm 时，需要的材料最省．24. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线 (²0)y ax bx c a =++>的对称轴为 x t =，点(),A t m −，()2,B t n ， ()00,C x y 在抛物线上．（1）当2t =时，直接写出m 与n 的大小关系；（2）若对于 056x << 都有 0m y n >> 求t 的取值范围．25. 在ABC 中，AB AC =，090BAC ︒<∠<︒，将线段AC 绕点A 逆时针旋转α得到线段AD ，连接BD ，CD ．（1）如图1，当BAC α∠=时，则ABD ∠=______（用含有α的式子表示）；（2）如图2，当90α=︒时，作BAD ∠的角平分线交BC 的延长线于点F ，交BD 于点E ，连接DF ． ①依题意在图2中补全图形，并求DBC ∠的度数；②用等式表示线段AF ，CF ，DF 之间的数量关系，并证明．26. 对于平面直角坐标系xOy 内的点P 和图形M ，给出如下定义：如果点P 绕原点O 顺时针旋转90︒得到点P '，点P '落在图形M 上或图形M 围成的区域内，那么称点P 是图形M 关于原点O 的“伴随点”．已知点()()()1,1,3,1,3,2A B C ．（1）在点()()()1232,0,1,1,1,2P P P −−−中，点______是线段AB 关于原点O 的“伴随点”；（2）如果点(),2D m 是ABC 关于原点O 的“伴随点”，直接写出m 的取值范围；（3）已知抛物线()21y x n =−−+上存在ABC 关于原点O 的“伴随点”，求n 的最大值和最小值．参考答案一、选择题：本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．1. 【答案】A【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握利用顶点式解析式写出顶点坐标的方法是解题的关键．根据抛物线的顶点解析式写出顶点坐标即可． 【详解】解：顶点式()2y a x h k =−+顶点坐标是(),h k ，∴抛物线()212y x =−+的顶点坐标是()1,2， 故选：A ．2. 【答案】D【分析】本题考查配方法，根据配方法的步骤：一除二移三配方，进行配方即可．【详解】解：242x x +=24424x x ++=+∴()226x +=；故选D ．3. 【答案】B【分析】五角星图案，可以被平分成五部分，因而每部分被分成的圆心角是72︒，并且圆具有旋转不变性，因而旋转72度的整数倍，就可以与自身重合．【详解】该图形被平分成五部分，旋转72度的整数倍，就可以与自身重合，∴旋转的度数至少为72︒，故选：B ．【点睛】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．4. 【答案】A【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的根与24b ac ∆=−有如下关系：①0∆>，方程有两个不相等的实数根，②0∆=，方程有两个相等的实数根，③0∆<，方程没有实数根．由题意得出()2440m ∆=−−=，计算即可得出答案．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程240x x m −+=有两个相等的实数根，∴()2440m ∆=−−=，解得：4m =．5. 【答案】B【分析】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．【详解】解：将抛物线231y x =+向左平移2个单位所得直线解析式为：()2321y x =++；再向下平移3个单位为：()()223213322y x x =++−=+−．故选：B ．6. 【答案】C【分析】根据对应点连接线段的垂直平分线的交点即为旋转中心，作出旋转中心，可得结论；【详解】如图，点Q 即为所求，(1,1)Q −；故选C ．7. 【答案】B【分析】由二次函数解析式可得函数对称轴和增减性，再根据离对称轴的远近的点的纵坐标的大小比较，即可得出123,,y y y 的大小关系．【详解】解：二次函数2(2)y x k =−−+的图像开口向下，对称轴为2x =，∴3(4,)C y 关于对称轴的对称点为3(0,)C y '，∵在对称轴左侧，y 随x 的增大而增大， 又∵10122−<<<， ∴132y y y <<．故选：B ．【点睛】本题主要考查了比较函数值的大小，解决此题的关键是理解当二次函数开口向下时，在函数图像上距离对称轴越远的点，函数值越小；当二次函数开口向上时，在函数图像上距离对称轴越远的点，函数值越大．【分析】分别根据四个人的信息得到相应的关系式，假设其中一个不对时，判断其它三个条件是否同时成立．【详解】解：当甲同学的结论正确，即当函数的对称轴是直线1x =时，12b a−=，即2b a =−． 当乙同学的结论正确，即当3x =时，y =−6时，9366a b +−=−，可得3b a =−．当丙同学的结论正确，即当函数的最小值为8−时，22424844ac b a b a a−−−==−，可得28b a =． 当丁同学的结论正确，即当3x =是一元二次方程()2600ax bx a +−=≠的一个根时，9360a b +−=，可得23b a =−．根据3b a =−和23b a =−不能同时成立，可知乙同学和丁同学中有一位的结论是错误的，假设丁同学的结论错误，联立2b a =−和3b a =−，得0a =，0b =，不满足0a ≠，故假设不成立； 假设乙同学的结论错误，联立2b a =−和23b a =−，得2a =，4b =−，此时满足28b a =，故假设成立；故选：B ．【点睛】本题主要考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数抛物线的对称轴、顶点坐标与系数的关系是解题的关键．二、填空题：本大题共8个小题，每小题3分，共24分．9. 【答案】10x =，26x =【分析】利用因式分解法解答即可．【详解】解：260x x −=，∴()60x x −=，∴0x =或60x −=，解得：10x =，26x =．【点睛】本题主要考查了利用因式分解法解一元二次方程，熟练掌握因数分解法解一元二次方程是解题的关键．10. 【答案】221y x x =−−【分析】此题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数性质是解本题的关键．写出一个二次函数，使其二次项系数为正数，常数项为1−即可．【详解】解：根据题意得：221y x x =−−（答案不唯一），故答案为：221y x x =−−（答案不唯一）11. 【答案】50︒【分析】根据旋转的性质可得D B ∠=∠，80BOD ∠=︒，求出B ∠，再利用三角形内角和定理求出AOB ∠，进而可求α∠的度数．【详解】解：由旋转得：D B ∠=∠，80BOD ∠=︒，∵2100A D ∠=∠=︒，∴50∠=∠=︒B D ，∴18030AOB A B ∠=︒−∠−∠=︒，∴803050BOD AOB α∠=∠−∠=︒−︒=︒，故答案为：50︒．【点睛】本题考查了旋转的性质，三角形内角和定理，熟练掌握旋转前后的对应角相等，旋转角的定义是解题的关键．12. 【答案】2x =−或=8x【分析】根据图象，2ax bx c kx b +++=的解就是二次函数210y ax bx c a ++≠=（）与一次函数20y kx b k +≠=（）的图象交点的横坐标，据此解答即可．【详解】解：由图形可得，2ax bx c kx b +++=的解就是二次函数210y ax bx c a ++≠=（）与一次函数20y kx b k +≠=（）的图象交点的横坐标，所以2ax bx c kx b +++=的解是2x =−或=8x ，故答案为：2x =−或=8x【点睛】本题考查了二次函数与一次函数交点问题，解决本题的关键是熟练掌握用数形结合解决二次函数与一次函数交点问题．13. 【答案】()2120011452x +=【分析】本题考查了一元二次方程的应用；设月平均增长率为x ，根据增长率问题的等量关系列方程即可．【详解】解：设月平均增长率为x ，根据题意得：()2120011452x +=，故答案为：()2120011452x +=．14. 【答案】1−【分析】本题考查了一元二次方程的解及定义，把x =0代入一元二次方程，再根据一元二次方程的定义可得10k −≠，由此即可求解．【详解】解：把x =0代入一元二次方程得，210k −=，且10k −≠，解得，1k =±，且1k ≠，∴1k =−，故答案为：1− ．15. 【答案】758 【分析】本题考查了二次函数的应用，根据二次函数的解析式求得顶点，再利用二次函数的性质求出s 的最大值即可得出结论． 【详解】解：60<，∴函数有最大值．∴()201575468s −==⨯−最大值，即汽车刹车后前进了758米才能停下来． 故答案为：758． 16. 【答案】 ①. ① ②. 1010【分析】本题考查了有理数的混合运算，找出方案是解题的关键．（1）因为要经济损失最少，就要使总停产的时间尽量短，显然先修复时间短的即可；（2）一名修理工修按D ，E ，C 的顺序修，另一名修理工修按B ，A 的顺序修，修复时间最短，据此计算即可．【详解】解：（1）①总停产时间：574831021529156⨯+⨯+⨯+⨯+=分钟，②总停产时间：574153292108210⨯+⨯+⨯+⨯+=分钟，③总停产时间：529415310287258⨯+⨯+⨯+⨯+=分钟，故答案为：①；（2）一名修理工修按D ，E ，C 的顺序修，另一名修理工修按B ，A 的顺序修，7514936223101⨯+⨯+⨯+⨯+=分钟，101101010⨯=（元）故答案为：1010．三．解答题：共52分，第17-24题，每题5分，第25-26题，每题6分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17. 【答案】13x =，212x = 【分析】直接代入求根公式求解即可．【详解】解：2a =，7b =−，3c =因为224(7)423250b ac −=−−⨯⨯=>所以754x ±== 所以13x =，212x = 【点晴】本题考查了一元二次方程的解法，熟练记住求根公式是解题的关键．18. 【答案】22−【分析】将x a =代入2390x x −+=得2390a a −+=，由()()()24431313a a a a a +−−−=−−即可求解；【详解】解：将x a =代入2390x x −+=得2390a a −+=，∴239a a −=−，()()()244311633a a a a a +−−−=−−+2313a a =−−913=−−22=−【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，根据所求代数式进行变换求解是解题的关键.19. 【答案】（1）见解析 （2）7【分析】（1）根据题意作出旋转图形即可；（2）由勾股定理得出4AC =，再由旋转的性质结合图形求解即可．【小问1详解】解：如图所示；【小问2详解】解：∵5,3,90AB BC C ==∠=︒，∴4AC ==，∵DCE △由ABC 旋转而成， ∴4CE AC ==，∵90DCE ACB ∠=∠=︒，∴B 、C 、E 共线，∴347BE BC CE =+=+=．【点睛】题目主要考查旋转图形的作法，勾股定理解三角形，熟练掌握运用这些基础知识点是解题关键． 20. 【答案】（1）见解析；（2）2=23y x x −−；（3）40y −≤<．【分析】本题考查了待定系数法求抛物线解析式，描点法画函数图象，根据图像求函数值范围，熟练掌握待定系数法和描点法画函数图象是解题关键．（1）再利用描点法画函数图象；（2）根据表格得出抛物线过点()1,4−、()1,0−、()3,0，将点坐标代入抛物线解析式求出a 、b 、c 即可，（3）分别求出，x =0，13x x ==，时的函数值，利用图象可直接得到答案．【小问1详解】解：抛物线图象如图，【小问2详解】解：∵设二次函数的解析式为2(0)y ax bx c a =++≠，由题意得：当0x =时，=3y −，∴3c =−,∵1x =时，4y =−，当1x =−时，0y =，∴3034a b a b −−=⎧⎨+−=−⎩， 解得12a b =⎧⎨=−⎩， ∴2=23y x x −−；【小问3详解】解：∵()22=23=14y x x x −−−−，∴当x =1时4y =−，当x =0时，2=0203=3y −−−⨯，当3x =时，2=3233=0y −−⨯，∴由图象可得，当03x <<时，40y −≤<． 21. 【答案】（1）见详解 （2）12−或1 【分析】（1）根据24b ac ∆=−即可证明；（2）根据公式法即可得()()122222m m xx ++==，再根据方程的一个实数根是另一个实数根的两倍即可求解；【小问1详解】解：根据题意，()()22Δ42410b ac m m m ⎡⎤=−=−+−+=≥⎣⎦，∴无论m 取何值，方程总有两个实数根.【小问2详解】由题意，根据公式法得，()222m b x a +−==，∴()()122222m m x x +++==，∴()()22222m m +++−=⋅， 解得：12112m m =−=，．【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，掌握相关知识是解题的关键．22. 【答案】1x =【分析】本题考查一元二次方程解决实际问题，根据面积公式可得园地修建花道后剩余的面积为()()85x x −−平方米，根据花道面积等于整个园地面积减去剩余的面积即可列出方程，求解即可． 【详解】解：根据题意，得()()185285122x x ⨯−⨯−−=， 整理，得213120x x −+=，解得：11x =，212x =，∵园地的宽为5米，而2125x =>，∴212x =不合题意，舍去．答：x 的值为1．23. 【答案】（1）2402y x x =+（2）28（3）见解析 （4）2.2【分析】（1）根据长方体表面积公式即可求解；（2）将2x =代入（1）中所得函数关系式即可；（3）描点连线即可完成作图；（4）观察图象，找到图象最低点的横坐标即可．【小问1详解】 解：2221040242y x x x x x=+⨯=+，故答案为：2402y x x=+； 【小问2详解】 解：当2x =时，82028y =+=，故答案为：28；【小问3详解】解：如图所示：【小问4详解】解：观察图象可知，当x 约为2.2dm 时，需要的材料最省，故答案为：2.2．【点睛】本题考查了二次函数在几何中的实际应用．掌握函数的研究方法是解题关键．24. 【答案】（1）m n >（2）6t ≤−或522t ≤≤ 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质．熟练掌握二次函数的图象与性质并分情况求解是解题的关键． （1）由2(0)y ax bx c a =++>，可知图象开口向上，且抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，当2t =时，对称轴为2x =，()1,A m ，(4,)B n ，由4221−>−，可得m n <；（2）分当0t <，05t ≤<，56t ≤<， 6t ≥四种情况，作函数图象，根据抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，确定关于t 的不等式，然后求出满足要求的解即可．【小问1详解】解：∵2(0)y ax bx c a =++>，∴图象开口向上，则抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，当2t =时，对称轴为2x =，()2,A m −，(4,)B n ，∵()2242−−>−，∴m n >；【小问2详解】解：当0t <时，如图1，∴(),A t m −在抛物NQ 线段上，()2,B t n 在MN 段上，()00,C x y 在PQ 上，∵对于056x <<，都有0m y n >>，∴6t −≥且225t t t >≥−，且0t <，解得：6t ≤−；当05t ≤<时，如图2，∵对于056x <<，都有0m y n >>，∴26t t −≤−且025t <≤， 解得：522t ≤≤； 当56t ≤<时，如图3，∵对于056x <<，都有0m y n >>，又∵0y 在图象中已包含最小值，∴不存在0y n >的情况，即此种情况舍去；当6t ≥时，如图4，∵对于056x <<，都有0m y n >>，又∵225t t >−，∴0n y >，即此种情况与题意不符，舍去；综上所述，t 的取值范围为6t ≤−或522t ≤≤． 25. 【答案】（1）90α︒−（2）①图形见解析，45DBC ∠=︒．②DF CF +=，证明见解析．【分析】（1）本题由旋转的性质可知AC AD =，结合AB AC =推出AB AD =，再根据等腰三角形性质即可求解．（2）①本题考查等腰三角形性质，根据等腰三角形性质用BAC ∠表示出ABC ∠和ABD ∠，再利用DBC ABC ABD ∠=∠−∠即可解题．②延长CB ，取BM CF =，连接AM ，证明()ABM ACF SAS ≌，得到AF AM =，AFC AMB ∠=∠，利用AF 为BAD ∠的角平分线，再证明()AMC AFD SAS ≌，得到MC DF =，最后结合勾股定理即可解题．【小问1详解】解：由旋转的性质可知，DAC α∠=，AC AD =，AB AC =，BAC α∠=，AB AD ∴=，2BAD α∠=，ABD ∴为等腰三角形，1802902ABD αα︒−∴∠==︒−， 故答案为：90α︒−．【小问2详解】解：①补全图形如下：AB AC =，1802BAC ABC ACB ︒−∠∴∠=∠=， AC AD =， AB AD ∴=，90α=︒，()180902BAC ABD ADB ︒−∠+︒∴∠=∠=，()180901804522BAC BAC DBC ABC ABD ︒−∠+︒︒−∠∴∠=∠−∠=−=︒．②解：DF CF +=，证明如下：证明：延长CB ，取BM CF =，连接AM ，如图所示：AB AC =，,ABC ACB ∴∠=∠ABM ACF ∴∠=∠，()ABM ACF SAS ∴≌，AF AM ∴=，AFC AMB ∠=∠，AB AD =，AF 为BAD ∠的角平分线，AF BD ∴⊥，即90BEF ∠=︒，45DBC ∠=︒，45AMB AFC BEF DBC ∴∠=∠=∠−∠=︒，90MAF ∴∠=︒，AC AD =，90DAF CAF MAF CAF CAM ∠=︒−∠=∠−∠=∠，()AMC AFD SAS ∴≌，MC DF ∴=，222AF AM MF +=，()222AF MC CF ∴=+，即()222AF DF CF =+，整理得DF CF +=．【点睛】本题考查旋转的性质、等腰三角形性质和判定，角平分线性质、全等三角形性质和判定、勾股定理等，解题的关键在于旋转构造等腰三角形和全等三角形，再熟练运用其性质即可解题．26. 【答案】（1）2P 和3P（2）312m −≤≤− （3）最大值为12，最小值为5【分析】（1）根据“伴随点”的定义，画出每个点绕点O 旋转后的对应点，进行判断即可； （2）过点D 作DP x ⊥轴于点P ，过点D 作D Q x '⊥轴于点Q ，证明DPO OQD '≌，求出D 的坐标，再求出点D 在线段AC 上和在线段AB 上时，m 的值，即可得出结论；（3）将ABC 绕点O 逆时针旋转90︒得到A B C '''，根据抛物线上存在ABC 关于原点O 的“伴随点”，得到当抛物线过点A '时n C '时n 有最大值，即可得解．【小问1详解】解：∵()()1,1,3,1A B ，∴AB x ∥轴，如图所示，点()()()1232,0,1,1,1,2P P P −−−绕点O 顺时旋转90︒得到的对应点分别为：()()()1230,2,1,1,2,1P P P '''，其中点()()231,1,2,1P P ''，在线段AB 上， ∴2P 和3P 是线段AB 关于原点O 的“伴随点”；【小问2详解】解：∵()()()1,1,3,1,3,2A B C ， ∴ABC 在第一象限，∵点(),2D m 是ABC 关于原点O 的“伴随点”； ∴点D 在第二象限，过点D 作DP x ⊥轴于点P ，过点D 作D Q x '⊥轴于点Q ，则：90DPO D QO '∠=∠=︒，∵OD 绕点O 顺时针旋转90︒得到OD '， ∴OD OD '=，90DOD '∠=︒，∴90DOP OD Q D OQ ''∠=∠=︒−∠， ∴DPO OQD '≌，∴,OQ DP D Q OP '==，∵(),2D m ， ∴,2OQ DP m D Q OP '====， ∵ABC 在第一象限，∴()2,D m '−，设直线AC 的解析式为：y kx b =+，则： 132k b k b +=⎧⎨+=⎩， 解得：1212k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，第21页/共21页 ∴1122y x =+， 当D 在AC 上时，112m −=+，解得：32m =−； 当D 在AB 上时，1m −=，解得：1m =−； ∴当312m −≤≤−时，点(),2D m 是ABC 关于原点O 的“伴随点”； 【小问3详解】 解：如图：ABC 绕点O 逆时针旋转90︒得到A B C '''，其中()()()1,1,1,3,2,3A B C '''−−−．∵抛物线上存在ABC 关于原点O 的“伴随点”， ∴当()21y x n =−−+过A '，即()2111n =−−−+，解得：5n =，∴n 的最小值为5；同理，当()21y x n =−−+过C '，得到n 的最大值为12．【点睛】本题考查坐标与图形，旋转的性质，一次函数和二次函数的综合应用，解题的关键是理解并掌握“伴随点”的定义，利用数形结合的思想进行求解．。

2024年最新人教版初三数学(上册)期中试卷及答案(各版本)一、选择题：5道（每题1分，共5分）1. 下列数中，最大的数是（）A. 3B. 0C. 1D. 22. 一个等边三角形的周长是15cm，那么它的边长是（）A. 3cmB. 5cmC. 7.5cmD. 10cm3. 下列哪一个数是有理数（）A. √3B. πC. 1/2D. √14. 下列哪一个图形是正方体（）A. 长方体B. 球体C. 圆柱体D. 正方体5. 下列哪一个数是无理数（）A. 1/3B. √4C. 0.333D. √2二、判断题5道（每题1分，共5分）1. 任何两个实数的和都是实数。

（）2. 任何两个实数的积都是实数。

（）3. 0是正数。

（）4. 1是质数。

（）5. 任何两个奇数的和都是偶数。

（）三、填空题5道（每题1分，共5分）1. 一个等差数列的第1项是1，公差是2，第10项是______。

2. 一个等比数列的第1项是2，公比是3，第4项是______。

3. 下列数列的前5项是2, 4, 8, 16, 32，下一个数是______。

4. 下列数列的前5项是1, 3, 5, 7, 9，下一个数是______。

5. 下列数列的前5项是1, 4, 9, 16, 25，下一个数是______。

四、简答题5道（每题2分，共10分）1. 解释什么是等差数列？2. 解释什么是等比数列？3. 解释什么是无理数？4. 解释什么是函数？5. 解释什么是几何图形？五、应用题：5道（每题2分，共10分）1. 一个等差数列的第1项是3，公差是2，求第10项。

2. 一个等比数列的第1项是2，公比是3，求第6项。

3. 下列数列的前5项是2, 4, 8, 16, 32，求下一个数。

4. 下列数列的前5项是1, 3, 5, 7, 9，求下一个数。

5. 下列数列的前5项是1, 4, 9, 16, 25，求下一个数。

六、分析题：2道（每题5分，共10分）1. 给出一个等差数列的前5项，然后给出一个等比数列的前5项，比较它们的特点。

2023—2024学年第一学期期中联合教研质量监测九年级数学试题温馨提示：请将试题的正确答案填涂或书写在答题纸上，在本试卷上答题无效．一、精心选一选，你一定能选对！（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确选项的代号填在答题纸上．）1．下列关于的方程中，是一元二次方程的是（ ）A ．B ．C ．D．2．下列各组线段的长度成比例的是（ ）A ．1，2，3，4B ．2，3，4，6C ．3，4，5，6D ．5，10，15，203．如图，菱形中，连接AC ，BD ，若，则的度数为（）（第3题图）A ．B ．C ．D ．4．一个口袋中有红球、白球共10个，这些球除颜色外都相同．将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸了100次球，发现有40次摸到白球．请你估计这个口袋中有（ ）个红球．A ．2B ．3C ．6D ．85．已知，则的值为（ ）A ．B ．C ．D ．6．枣庄市要组织一次中学生篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都只赛一场），计划安排15场比赛．如果设邀请个球队参加比赛，那么根据题意可以列方程为（ ）A ．B ．C ．D ．7．如图，在中，D ，E ，F 分别是边AB ，AC ，BC 上的点，，，且，那么的值为（ ）x 220x x +=10x +=2ax bx c ++=211x =ABCD 120∠=︒2∠20︒60︒70︒80︒323x y y +=yx311-3113737-x 215x =(1)15x x +=(1)15x x -=(1)152x x -=ABC △DE BC ∥EF AB ∥:2:3AD DB =:CF BF第7题图A ．4：3B ．3：2C ．3：4D ．2：48．关于的一元二次方程有一根为0，则的值为（ ）A ．2B ．C ．2或D．9．如图，下列条件不能判定的是（）第9题图A ．B ．C ．D ．10．如图，已知正方形的边长为3，点是对角线BD 上的一点，于点于点，连接PC ，当时，则PC 等于（ ）第10题图AB ．2CD ．二、认真填一填，相信你能填对!（每小题3分，共18分．）11．写出以0和1为根且二次项系数为1的一元二次方程是______．12．如图，为估算某河的宽度，在河对岸选定一个目标点，在近岸取B ，C ，D 三点，使得，，点在BC 上，并且点A ，E ，D 在同一条直线上，若测得，则河的宽度为______．第12题图x 22(2)40m x x m +++-=m 2-2-12ADB ABC △△∽ABD ACB ∠=∠ADB ABC ∠=∠2AB AD AC=⋅AD ABAB BC=ABCD P PF AD ⊥,F PE AB ⊥E :1:2PE PF =52A AB BC ⊥CD BC ⊥E 20m,10m,20m BE CE CD ===13．若是关于的一元二次方程的解，则______．14．琪琪准备完成题目：解一元二次方程．若“”表示一个字母，且一元二次方程有实数根，则“”的最大值为，此时方程的解为______．15．如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点，过点作于点，连接，若菱形ABCD 的面积为，则CD 的长为______．第15题图16．如图，在矩形ABCD 中，E 是AD 边的中点，于点F ，则下列结论：①；②；③．其中正确结论的个数是______．第16题图三、解答题：（本题共7小题，满分72分．解答应写出必要的文字说明或演算步骤．）17．（本小题满分10分）用适当的方法解下列方程：（1）；（2）．18．（本小题满分10分）如图，点A 的坐标为，点B 的坐标为，点C 的坐标．（1）求出的面积；（2）请以点O 为位似中心作一个与位似的，使得的面积为18．1x =x 230x mx n ++=62m n +=260x x -+=□□260x x -+=□□O D DH AB ⊥H ,2OH OH =BE AC ⊥AEF CAB △△∽2BF EF =CD AD =23(3)12x -=2210x x --=()3,1-()1,1-()0,1-ABC △ABC △111A B C △111A B C △19．（本小题满分10分）如图，在中，，，，将沿着图示中的虚线剪开，使剪下的小三角形与相似，下面有四种不同的剪法．第19题① ② ③ ④（1）其中正确的剪法有中______（填序号）；（2）请选择其中一种剪法，并写出所选中两个三角形相似的证明过程．20．（本小题满分10分）人工智能是数字经济高质量发展的引擎，也是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动．人工智能市场分为决策类人工智能，人工智能机器人，语音类人工智能，视觉类人工智能四大类型，将四个类型的图标依次制成A ，B ，C ，D 四张卡片（卡片背面完全相同），将四张卡片背面朝上洗匀放置在桌面上．A ．决策类人工智能B ．人工智能机器人C ．语音类人工智能D ．视觉类人工智能．（1）随机抽取一张，抽到决策类人工智能的卡片的概率为______；（2）从中随机抽取一张，记录卡片的内容后放回洗匀，再随机抽取一张，请用列表或树状图的方法求抽取到的两张卡片内容一致的概率．21．（本小题满分10分）公安交警部门提醒市民，骑车由行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；（2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？22．（本小题满分10分）阅读下面的材料，回答问题：方程一个一元四次方程，ABC △72A ∠=︒4AB =6AC =ABC △ABC △()()22215140x x ---+=我们可以将看成一个整体，设，则原方程可化为①，解①得，．当时，当时，．原方程的解为（1）在由原方程得到方程（1）的过程中，是利用换元法达到_____的目的（填“降次”或“消元”），体现了数学的转化思想；（2）仿照上面的方法，解方程．23．（本小题满分12分）如图，已知：在四边形ABFC 中，的垂直平分线EF 交BC 于点，交AB 于点，且．第23题（1）求证：四边形BECF 是菱形；（2）当______°时，四边形BECF 是正方形；．（3）在（2）的条件下，若，求四边形ABFC 的面积．2023—2024学年第一学期期中联合教研质量监测九年级数学试题参考答案及评分标准一、选择题二、填空题（每题3分）11．（答案不唯一）12．40m 13．14．9；15．416．317．（1）；题目12345678910答案ABCCDDBADC21x -21x y -=2540y y -+=11y =24y =1y =211,x x -==4y =214,x x -==∴1234x x x x ====()()2224120x xx x ----=90,ACB BC ∠=︒D E CF AE ∥A ∠=4AC =20x x -=2-123x x ==125,1x x ==（2）1211x x =+=18．（1）解：（1）的面积；（2）如图，或为所作．19．解：（1）①③；（2）（答案丕唯一）（1），，；（3），．20．解：（1）共有4张卡片，从中随机抽取一张，抽到决策类人工智能的卡片的概率为；故答案为：；（2）解：根据题意画图如下：共有16种等可能的结果数，其中抽取到的两张卡片内容一致的结果数为4，所以抽取到的两张卡片内容一致的概率为．21．解：（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为，依题意，得：，解得：（不合题意，舍去）．答：该品牌头盔销售量的月增长率为．（2）设该品牌头盔的实际售价为元，依题意，得：，整理，得：，ABC △12222=⨯⨯=111A B C △A B C '''△72CDE A ∠=∠=︒ C C ∠=∠CDE CAB ∴△△∽A A ∠=∠ 4136364242AD AC AE AB -=====-CDE CAB ∴∽△△ ∴141441164=x 2150(1)216x +=120.220%, 2.2x x ===-20%y ()()30600104010000y y ⎡⎤---=⎣⎦213040000y y -+=解得：（不合题意，舍去），，答：该品牌头盔的实际售价应定为50元．22．解：（1）降次（2）设，原方程化为，解得，①当时，，解得，②当时，，，，此方程无解，所以原方程的解为．23．（1）证明：垂直平分BC ，，，，，，，，，，．，∴四边形BECF 是菱形；（2）解：当时，四边形BECF 是正方形；（3）解：由（2）知，四边形BECF 是正方形，，四边形ABFC．180y =250y =2y x x =-24120y y --=126,2y y ==-16y =26x x -=123,2x x ==-22y =-22x x -=-220x x ∴-+=141270∆=-⨯⨯=-< ∴123,2x x ==-EF BF FC ∴=BE EC =FCB FBC ∴∠=∠CF AE ∥FCB CBE ∴∠=∠FBC CBE ∴∠=∠90FDB EDB ∠=∠=︒ BD BD =(ASA)FDB EDB ∴≌△△BF BE ∴=BE EC FC BF ∴===45A ∠=︒AE BE CE ===∴12=。

初三数学期中试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个选项是方程x^2 - 4x + 4 = 0的解？A. x = 2B. x = -2C. x = 1D. x = -12. 如果一个数的平方根是2，那么这个数是多少？A. 4B. 2C. -4D. -23. 计算下列表达式的结果：(2x + 3)(2x - 3) = ?A. 4x^2 - 9B. 4x^2 + 9C. 4x^2 + 6x - 9D. 4x^2 - 6x + 94. 一个矩形的长是宽的两倍，如果宽是3厘米，那么矩形的周长是多少？A. 18厘米B. 12厘米C. 24厘米D. 30厘米5. 一个圆的半径是5厘米，那么这个圆的面积是多少？A. 78.5平方厘米B. 25π平方厘米C. 100π平方厘米D. 78.5π平方厘米6. 如果一个等腰三角形的底边长为6厘米，两腰长为5厘米，那么这个三角形的周长是多少？A. 16厘米B. 21厘米C. 26厘米D. 31厘米7. 一个数的绝对值是5，这个数可能是？A. 5B. -5C. 5或-5D. 08. 下列哪个选项是不等式3x - 2 > 5的解？A. x > 3B. x > 7/3C. x < 3D. x < 7/39. 计算下列表达式的结果：(a + b)^2 = ?A. a^2 + b^2B. a^2 + 2ab + b^2C. a^2 - 2ab + b^2D. a^2 + ab + b^210. 如果一个数的立方根是2，那么这个数是多少？A. 8B. 2C. -8D. -2二、填空题（每题3分，共15分）11. 一个数的相反数是-5，那么这个数是_________。

12. 一个数的倒数是2，那么这个数是_________。

13. 一个数的平方是9，那么这个数是_________或_________。

14. 一个数的立方是-27，那么这个数是_________。

2024年人教版初三数学下册期中考试卷(附答案)一、选择题：5道（每题1分，共5分）1. 下列哪个选项是勾股定理的正确表达？A. a^2 + b^2 = c^2B. a^2 b^2 = c^2C. a^2 + c^2 = b^2D. a^2 c^2 = b^22. 在平面直角坐标系中，点P(2,3)关于x轴的对称点是？A. P'(2,3)B. P'(2,3)C. P'(2,3)D. P'(2,3)3. 下列哪个选项是平行四边形的性质？A. 对角线相等B. 对角线互相垂直C. 对角线互相平分D. 对角线互相平行4. 下列哪个选项是二次函数的一般形式？A. y = ax^2 + bx + cB. y = ax^3 + bx^2 + cC. y = ax^2 + bx + dD. y = ax^3 + bx + d5. 下列哪个选项是圆的面积公式？A. A = πr^2B. A = 2πrC. A = πrD. A = 2πr^2二、判断题5道（每题1分，共5分）1. 一个等腰三角形的底角是60度，则顶角也是60度。

（）2. 一个数的平方根只有一个。

（）3. 任何两个圆都是相似的。

（）4. 两个相似的三角形，它们的对应边长之比相等。

（）5. 一个二次函数的图像是一个抛物线。

（）三、填空题5道（每题1分，共5分）1. 勾股定理中，斜边的长度是直角边的长度的平方和的平方根。

2. 在平面直角坐标系中，点P(x,y)关于y轴的对称点是P'( , )。

3. 平行四边形的对角线互相_________。

4. 二次函数的一般形式是y = ________。

5. 圆的面积公式是A = ________。

四、简答题5道（每题2分，共10分）1. 简述勾股定理的内容。

2. 简述平行四边形的性质。

3. 简述二次函数的一般形式。

4. 简述圆的面积公式。

5. 简述两个相似的三角形的性质。

五、应用题：5道（每题2分，共10分）1. 一个直角三角形的两条直角边分别是3cm和4cm，求斜边的长度。

2023北京清华附中初三（上）期中数学一、选择题（每题2分，共16分）1．下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．如图，点A，B，C均在⊙O上，∠BOC＝100°，则∠BAC的度数为（）A．70°B．60°C．50°D．40°3．将抛物线y＝向下平移1个单位长度，得到的抛物线是（）A．B．C．D．4．将一元二次方程x2﹣8x+10＝0通过配方转化为（x+a）2＝b的形式，下列结果中正确的是（）A．（x﹣4）2＝6B．（x﹣）2＝6C．（x﹣4）2＝﹣6D．（x﹣8）2＝545．一元二次方程kx2﹣6x+3＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＜3B．k＜3且k≠0C．k≤3D．k≤3且k≠06．如果点M（﹣2，y1），N（2，y2）在抛物线y＝﹣x2+2x上，那么下列结论正确的是（）A．y1＜y2B．y1＞y2C．y1＝y2D．无法确定7．如图，在同一坐标系中，二次函数y＝ax2+c与一次函数y＝ax+c的图象大致是（）A． B． C．D．8．使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量y（单位：m3）与旋钮的旋转角度x（单位：度）（0°＜x≤90°）近似满足函数关系y＝ax2+bx+c（a≠0）．如图记录了某种家用燃气灶烧开同一壶水的旋钮角度x 与燃气量y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮角度约为（）A．18°B．36°C．41°D．58°二、填空题（每题2分，共16分）9．点M（2，﹣4）关于原点对称的点的坐标是．10．写出一个二次函数，使其满足：①图象开口向下；②当x＞0时，y随着x的增大而减小，这个二次函数的解析式可以是．11．二次函数y＝x2﹣2x+m的图象与x轴只有一个公共点，则m的值为．12．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AB＝20，OE＝6，那么弦CD的长为．13．如图所示，在⊙O中，已知∠AOB＝100°，则∠ACB＝．14．廊桥是我国古老的文化遗产．如图，是某座抛物线型的廊桥示意图，已知抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+10，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面AB高为8米的点E，F处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离EF是米．（精确到1米）15．如图，在平面直角坐标系xOy中，△CDE可以看作是△AOB经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，写出一种由△AOB得到△CDE的过程：．16．某快餐店的价目表如下：元．三、解答题（17题8分，18题3分，19至23题每题5分，24至26题每题6分，27至28题每题7分）17．（8分）解方程：（1）x2﹣4x﹣5＝0；（2）2x2﹣2x﹣1＝0．18．（3分）已知x＝1是关于x的方程x2+2ax+a2＝3的一个根，求代数式a（a﹣1）+a2+5a的值．19．（5分）已知二次函数y＝x2﹣4x+3，（1）补全表格，并在平面直角坐标系中用描点法画出该二次函数的图象；．（3）根据图象回答：当0≤x＜3时，y的取值范围是．20．（5分）如图，D是等边三角形ABC内一点，将线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，连接CD，BE．DE，（1）依题意补全图形；（2）求证：△AEB≌△ADC；（3）若∠ADC＝105°，求∠BED的度数．21．（5分）已知关于x的一元二次方程x2+（2﹣m）x+（m﹣3）＝0．（1（2）若此方程有一个负数根，求m的取值范围．22．（5分）如图，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E．连接AC、OC、BC．（1）求证：∠CAO＝∠BCD；（2）若BE＝3，CD＝8，求⊙O的直径．23．（5分）如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且点A的坐标为（﹣3，0），点C的坐标为（0，﹣3），一次函数y2＝mx+n的图象过点A、C．（1）求二次函数的解析式；（2）直接写出二次函数的图象与x轴的另一个交点B的坐标；（3）根据图象，直接写出y2＜y1时，x的取值范围．24．（6分）如图，当∠ACB＝90°时，求作直线l上一点P，使∠APB＝45°．小高的做法为：①作出△ABC的外接圆，圆心为M；②作出线段AB的垂直平分线l1，l1与的交点为O；③以O为圆心，OA的长为半径画圆，⊙O与直线l交点就是使∠APB＝45°的点P．老师说小高的做法是正确的．根据小高设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：连接OA，OB，∵⊙M是△ABC的外接圆，又在⊙M中，，∴∠ACB＝∠＝90°，∵是AB的垂直平分线，∴OA＝OB（），（填写推理的依据）∴点B也在以O为圆心，以为半径的圆上，∴对于⊙O，AB＝AB，∴（）．（填写推理依据）25．（6分）排球场的长度为18m，球网在场地中央且高度为2.24m．排球出手后的运动路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，排球运动过程中的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）．（1）某运动员第一次发球时，测得水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：②判断该运动员第一次发球能否过网（填“能”或“不能”）．（2）该运动员第二次发球时，排球运动过程中的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝﹣0.02（x﹣4）2+2.88，请问该运动员此次发球是否出界，并说明理由．26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a≠0）过（3，0）．（1）求抛物线的对称轴；（2）求c的值（用含a的式子表示）；（3）若点M（x1，3），N（x2，3）为抛物线上不重合两点（其中x1＜x2），且满足x1（x2﹣5）≤0．①直接写出x1和x2的数量关系；②求a的取值范围．27．（7分）将线段AB绕点A逆时针旋转60°得到线段AC，继续旋转α（0°＜α＜120°）得到线段AD，连接CD．（1）连接BD，如图1，若α＝80°，则∠BDC的度数为；（直接写出结果）（2）如图2，以AB为斜边作直角三角形ABE，使得∠B＝∠ACD，连接CE，DE．若∠CED＝90°，求α的值．28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，线段AB＝4，点M，N在线段AB上，且MN＝2，P为MN的中点，如果任取一点Q，将点Q绕点P顺时针旋转180°得到点Q′，则称点Q′为点Q关于线段AB的“旋平点”．（1）如图1，已知A（﹣1，0），B（3，0），Q（1，2），如果Q′（a，b）为点Q关于线段AB的“旋平点”，画出示意图，写出a的取值范围；（2）如图2，⊙O的半径为3，点A，B在⊙O上，点Q（1，0），如果在直线x＝m上存在点Q关于线段AB的“旋平点”，求m的取值范围．参考答案一、选择题（每题2分，共16分）1．【分析】根据中心对称的定义得出结论即可．【解答】解：由题意知，A、C选项中的图形是轴对称图形，D选项中的图形既不是轴对称也不是中心对称图形，B选项是中心对称图形，故选：B．【点评】本题主要考查中心对称的知识，熟练掌握中心对称的定义是解题的关键．2．【分析】直接利用圆周角定理求解．【解答】解：∵∠BAC为所对的圆周角，∠BOC为所对的圆心角，∴∠BAC＝∠BOC＝×100°＝50°．故选：C．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．3．【分析】根据“上加下减”的规律进行解答即可．【解答】解：将抛物线y＝向下平移1个单位长度，得到的抛物线是：y＝x2﹣1，故选：A．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减是解题的关键．4．16，然后把方程作边写成完全平方形式即可．【解答】解：x2﹣8x＝﹣10，x2﹣8x+16＝6，（x﹣4）2＝6．故选：A．【点评】此题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．5．【分析】根据判别式即可求出答案．【解答】解：由题意可知：36﹣12k＞0且k≠0，∴k≠0且k＜3，故选：B．【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．6．【分析】由抛物线解析式可得抛物线开口方向及对称轴，根据M，N两点到对称轴的距离大小关系求解．【解答】解：∵y＝﹣x2+2x，∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝﹣＝1，∵点M（﹣2，y1），N（2，y2）在抛物线y＝﹣x2+2x上，且1﹣（﹣2）＞2﹣1，∴y1＜y2．故选：A．【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握二次函数的性质．7．【分析】先由一次函数y＝ax+c图象得到字母系数的正负，再与二次函数y＝ax2+c的图象相比较看是否一致．【解答】解：A、由抛物线可知，a＜0，由直线可知，a＞0，不一致；B、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＜0，不一致；都过点（0，c），正确；C、由抛物线可知，a＜0，由直线可知，a＜0，不交于y轴同一点，不一致；D、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＞0，都过点（0，c），一致；故选：D．【点评】主要考查了一次函数和二次函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．8．【分析】根据已知三点和近似满足函数关系y＝ax2+bx+c（a≠0）可以大致画出函数图象，并判断对称轴位置在36和54之间即可选择答案．【解答】解：由题意可知函数图象为开口向上的抛物线，由图表数据描点连线，补全图可得如图，∴抛物线对称轴在36和54之间，约为41°，∴旋钮的旋转角度x在36°和54°之间，约为41°时，燃气灶烧开一壶水最节省燃气．故选：C．【点评】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数图象的对称性质，判断对称轴位置是解题关键．二、填空题（每题2分，共16分）9．【分析】直接利用两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（﹣x，﹣y），进而得出答案．【解答】解：点M（2，﹣4）关于原点对称的点的坐标是（﹣2，4）．故答案为：（﹣2，4）．【点评】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确掌握关于原点对称点的性质是解题关键．10．【分析】首先由①得到a＜0；由②得到﹣≤0；只要举出满足以上两个条件的a、b、c的值即可得出所填答案．【解答】解：二次函数y＝ax2+bx+c，①开口向下，∴a＜0；②当x＞0时，y随着x的增大而减小，﹣≤0，即b≤0；∴只要满足以上两个条件就行，如a＝﹣1，b＝﹣2，c＝﹣1时，二次函数的解析式是y＝﹣x2﹣2x﹣1．故答案为：y＝﹣x2﹣2x﹣1．【点评】本题主要考查了二次函数的性质，熟练运用性质进行计算是解此题的关键．此题是一道开放型的题目．11．【分析】根据Δ＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点得到Δ＝（﹣2）2﹣4m＝0，然后解关于m 的方程即可．【解答】解：根据题意得Δ＝（﹣2）2﹣4m＝0，解得m＝1．故答案为1．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），Δ＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数：Δ＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．12．【分析】连接OC，根据垂径定理求出CE，根据勾股定理计算即可．【解答】解：如图，连接OC，∵AB是⊙O的直径，∴CE＝DE＝CD，∵AB＝20，∴OC＝AB＝10，在Rt△COE中，OE＝6，∴CE＝＝＝8，∴CD＝16，故答案为：16．【点评】此题考查了垂径定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键．13．【分析】本题考查了圆周角定理，作出圆周角同时结合圆内接四边形的性质解题．【解答】解：作圆周角∠ADB，∵∠AOB＝100°，∴∠D＝∠AOB＝×100°＝50°，在圆内接四边形ACBD中，∠ACB＝180°﹣∠D＝180°﹣50°＝130°．故答案为：130°．【点评】本题考查了圆周角定理，作出辅助线是解题的关键．14．【分析】由题可知，E、F两点纵坐标为8，代入解析式后，可求出二者的横坐标，F的横坐标减去E的横坐标即为EF的长．【解答】解：由“在该抛物线上距水面AB高为8米的点”，可知y＝8，把y＝8代入y＝﹣x2+10得：x＝±4，∴由两点间距离公式可求出EF＝8≈18（米）．【点评】以丽水市“古廊桥文化”为背景呈现问题，考查了现实中的二次函数问题，赋予传统试题新的活力，感觉不到“老调重弹”，在考查提取、筛选信息，分析、解决实际问题等能力的同时，发挥了让学生“熏陶文化，保护遗产”的教育功能．15．【分析】根据旋转的性质，平移的性质即可得到由△OCD得到△AOB的过程．【解答】解：将△AOB绕点O顺时针旋转90°，再沿x轴向右平移一个单位得到△CDE，故答案为：将△AOB绕点O顺时针旋转90°，再沿x轴向右平移一个单位【点评】考查了坐标与图形变化﹣旋转，平移，对称，解题时需要注意：平移的距离等于对应点连线的长度，对称轴为对应点连线的垂直平分线，旋转角为对应点与旋转中心连线的夹角的大小．16．【分析】买套餐最省钱，即分别讨论方案一：买5份C套餐，1份B套餐，4份汉堡花的钱，方案二：买5份A套餐，5份B套餐，1杯汽水花的钱，方案三：1份C套餐，5份B套餐，4份A套餐花的钱，结果要最少的钱即可．【解答】解：A套餐便宜21+9﹣28＝2（元），B套餐便宜21+12﹣30＝3（元），C套餐便宜21+9+12﹣38＝4（元），方案一：买5份C套餐，1份B套餐，4份汉堡，总共花：5×38+1×30+4×21＝304（元），方案二：买5份A套餐，5份B套餐，1杯汽水，总共花：5×28+5×30+12＝302（元），方案三：买1份C套餐，5份B套餐，4份A套餐，总共花：1×38+5×30+28×4＝300（元），即最低需要300元，故答案为300．【点评】本题考查分类讨论思想，解本题的关键要弄清楚有多少种方案较省钱，找出值最少的即可．三、解答题（17题8分，18题3分，19至23题每题5分，24至26题每题6分，27至28题每题7分）17．【分析】（1）先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；（2）先求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出即可．【解答】解：（1）x2﹣4x﹣5＝0，分解因式得：（x﹣5）（x+1）＝0，x﹣5＝0，x+1＝0，x1＝5，x2＝﹣1；（2）2x2﹣2x﹣1＝0，a＝2，b＝﹣2，c＝﹣1，Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×2×（﹣1）＝12＞0，方程有两个不相等的实数根＝，，．【点评】本题考查了解一元二次方程，能选项适当的方法解一元二次方程是解此题的关键．18．【分析】根据一元二次方程解的定义，把x＝1代入x2+2ax+a2＝3得到关于a的一元二次方程1﹣2a+a2＝3，然后解此一元二次方程即可．【解答】解：a（a﹣1）+a2+5a＝a2﹣a+a2+5a＝2a2+4a，∵x＝1是关于x的方程x2+2ax+a2＝3的一个根，∴1+2a+a2＝3．∴a2+2a＝2．∴原式＝2（a2+2a）＝4．【点评】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是正确理解一元二次方程的解的定义，本题属于基础题型．19．【分析】（1）求出x＝3，x＝4时y的对应值即可；（2）根据函数图象可直接得出结论；（3）根据函数图象可直接得出结论．【解答】解：（1）当x＝3时，y＝32﹣4×3+3＝9﹣12+3＝0；当x＝4时，y＝42﹣4×4+3＝16﹣16+3＝3．函数图象如图．故答案为：0，3；（2）由函数图象可知，该函数顶点坐标（2，﹣1）．故答案为：（2，﹣1）；（3）由函数图象可知，当0≤x＜3时，y的取值范围是﹣1≤y≤3．故答案为：﹣1≤y≤3．【点评】本题考查的是二次函数的性质及二次函数的图象，二次函数图象上点的坐标特征，根据题意画出函数图象，利用数形结合求解是解题的关键．20．【分析】（1）根据要求作出图形即可；（2）根据SAS证明三角形全等即可；（3）利用全等三角形的性质解决问题．【解答】（1）解：图数如图所示：（2）证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝60°，∵AE＝AD，∠DAE＝60°，∴∠EAD＝∠BAC，∴∠EAB＝∠CAD，在△EAB和△DAC中，，∴△EAB≌△DAC（SAS）；（3）解：∵△EAB≌△DAC，∴∠AEB＝∠ADC＝105°，∵∠AED＝60°，∴∠BEC＝∠AEB﹣∠AED＝105°﹣60°＝45°．【点评】本题考查作图﹣旋转变换，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是掌握旋转变换的性质，属于中考常考题型．21．【分析】（1）进行判别式的值得到Δ＝（m﹣4）2，利用非负数的性质得Δ≥0，然后根据判别式的意义可判断方程总有两个实数根；（2）先求出方程的解，再根据题意得出答案即可．【解答】（1）证明：依题意，得Δ＝（2﹣m）2﹣4×1×（m﹣3）＝（m﹣4）2．∵（m﹣4）2≥0，∴方程总有两个实数根；（2）x2+（2﹣m）x+（m﹣3）＝0，可得（x﹣1）（x﹣m+3）＝0，解得x1＝1，x2＝m﹣3，若方程有一个根为负数，则m﹣3＜0，故m＜3．【点评】本题考查了根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的个数与根的判别式之间的关系是解题的关键．22．【分析】（1）根据垂径定理和圆的性质，等弧的圆周角相等，即可求证．（2）根据垂径定理求出CE＝4，设⊙O的半径为R，则OE＝R﹣3，根据勾股定理及圆的性质求解即可．【解答】（1）证明：∵AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E，∴＝，∴∠CAO＝∠BCD；（2）解：设⊙O的半径为R，则OE＝OB﹣BE＝R﹣3，∵AB⊥CD，CD＝8，∴CE＝CD＝×8＝4，在Rt△CEO中，由勾股定理可得OC2＝OE2+CE2，∴R2＝（R﹣3）2+42，解得R＝，∴⊙O的直径为．【点评】本题考查圆周角定理、垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．23．【分析】（1）由待定系数法即可求解；（2）令y1＝0，得到x2+2x﹣3＝0，然后解一元二次方程即可得到二次函数的图象与x轴的另一个交点B的坐标；（3）观察图象可得当x＜﹣3或x＞0，抛物线都在直线的上方，即y2＜y1．【解答】解：（1）由题意得：，解得：∴抛物线的解析式为y1＝x2+2x﹣3；（2）令y1＝0，得x2+2x﹣3＝0，解这个方程，得x1＝﹣3，x2＝1，∴此二次函数的图象与x轴的另一个交点B的坐标为（1，0）；（3）观察图象可知，当x＜﹣3或x＞0，y2＜y1．定系数法确定函数解析式，学会利用图象法半径两个函数值的大小，属于中考常考题型．24．【分析】（1）根据要求作出图形；（2）利用圆周角定理解决问题即可．【解答】解：（1）图形如图所示：（2）连接OA，OB，∵⊙M是△ABC的外接圆，又在⊙M中，，∴∠ACB＝∠AOB＝90°，∵是AB的垂直平分线，∴OA＝OB（线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等），∴点B也在以O为圆心，以OA为半径的圆上，∴对于⊙O，AB＝AB，∴（同弧所对的圆周角等于这条弧所对圆心角的一半）．（填写推理依据）故答案为：∠AOB，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等，同弧所对的圆周角等于这条弧所对圆心角的一半．【点评】本题考查作图﹣复杂作图，圆周角定理，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．25．【分析】（1）①由表格中数据得出顶点坐标，设出函数解析式的顶点式，再把（0，2.48）代入解析式求出a即可•；②当x＝9时求出y的值与2.24比较即可；（2）令y＝﹣0.02（x﹣4）2+2.88中的y＝0，解方程求出x的值与18比较即可．【解答】解：（1）①由表中数据可得顶点（4，2.8），设y＝a（x﹣4）2+2.8（a＜0），把（0，2.48）代入得 16a+2.8＝2.48，解得：a＝﹣0.02，∴所求函数关系为y＝﹣0.02（x﹣4）2+2.8；②能．当x＝9时，y＝﹣0.02（9﹣4）2+2.8＝2.3＞2.24，∴该运动员第一次发球能过网，故答案为：能；（2）判断：没有出界．第二次发球：y＝﹣0.02（x﹣4）2+2.88，令y＝0，则﹣0.02（x﹣4）2+2.88＝0，，解得x1＝﹣8 （舍），x2＝16，∵x2＝16＜18，∴该运动员此次发球没有出界．【点评】本题考查二次函数的应用，关键是求出函数解析式．26．【分析】（1）由二次函数的对称轴公式，求出对称轴x＝1；（2）根据对称轴求出抛物线于x轴的交点坐标，即可得出结论；（3）先判断出点，M，N关于抛物线的对称轴对称，再用x1（x2﹣5）≤0，判断出x1≤﹣3或0≤x1≤1，再用判别式判断出a＞0或a＜﹣，用a表示出x1，再分两种情况解不等式（组），即可得出结论．【解答】解：（1）∵y＝ax2﹣2ax+c（a≠0），∴函数的对称轴为直线x＝﹣＝1；（2）由（1）知，抛物线的对称轴为直线x＝1，抛物线和x轴的一个交点为：（3，0），则另外一个交点为：（﹣1，0），∴y＝a（x+1）（x﹣3）＝ax2﹣2ax﹣3a，∴c＝﹣3a；（3）①∵点M（x1，3），N（x2，3）为抛物线上不重合两点（其中x1＜x2），∴点M，N关于对称轴x＝1对称，∴＝1，即x1+x2＝2；②由①知，x2＝2﹣x1，∵x1（x2﹣5）≤0，∴x1（2﹣x1﹣5）≤0，∴﹣x1（x1+3）≤0，∴x1（x1+3）≥0，∴x1≤﹣3或x1≥0，∵x1＜x2，∴x1＜1，∴x1≤﹣3或0≤x1＜1，∴x1、x2是方程ax2﹣2ax+c＝3的根，即ax2﹣2ax﹣3a﹣3＝0的两个根，∴Δ＝16a2+12a＝4a（4a+3）＞0，∴a＞0或a＜﹣，∴x＝＝，当a＞0时，解不等式≤﹣3得，0≤a≤；即0＜a≤；当a＜﹣时，解不等式组0≤＜1得，a≥﹣1，∴﹣1≤a＜﹣，即0≤a≤或﹣1≤a＜﹣．【点评】此题主要考查了二次函数综合运用，涉及到抛物线的对称轴公式，抛物线的性质，确定出点M，N关于对称轴对称是解本题的关键．27．【分析】（1）根据图形旋转的性质可知AB＝AC＝AD，再等腰三角形的性质即可得出结论；（2）过点A作AM⊥CD于点M，连接EM．先根据AAS定理得出△AEB≌△AMC，故可得出AE＝AM，∠BAE＝∠CAM，所以△AEM是等边三角形．根据AC＝AD，AM⊥CD可知CM＝DM．再根据三角形内角和定理可得出结论．【解答】解：（1）∵线段AC，AD由AB旋转而成，∴AB＝AC＝AD．∴△ABD中，∠ADB＝（180°﹣60°﹣80°）＝20°，△ACD中，∠ADC＝（180°﹣80°）＝50°，∴∠BDC＝50°﹣20°＝30°．故答案为：30°．（2）如图2，过点A作AM⊥CD于点M，连接EM．∵∠AMD＝90°，∴∠AMC＝90°．在△AEB与△AMC中，，∴△AEB≌△AMC（AAS）．∴AE＝AM，∠BAE＝∠CAM．∴∠EAM＝∠EAC+∠CAM＝∠EAC+∠BAE＝∠BAC＝60°．∴△AEM是等边三角形．∴EM＝AM＝AE．∵AC＝AD，AM⊥CD，∴CM＝DM．又∵∠DEC＝90°，∴EM＝CM＝DM．∴AM＝CM＝DM．∴∠ACM＝∠CAM，∠ADM＝∠DAM，∴△ACD中，α＝∠CAD＝×180°＝90°．【点评】本题考查的是图形旋转的性质、等边三角形的性质及等腰三角形的性质的运用，作辅助线构造全等三角形是解决问题的关键．28．【分析】（1）由题知，当点P在（0，0）时a最小值，当点P在（2，0）时，a有最大值，按题中定义解题即可．（2）由点Q在x轴上，当点P也在x轴上时，点Q′的横坐标有最值，由AB长求出弦心距长，在求出OP长，分两种情况求出点Q′坐标即可．【解答】解：（1）如图，当MN一端与A重合时，中点P与O重合，连接OP，将OQ绕点O顺时针旋转180°得到点Q′，由中心对称得点Q′坐标（﹣1，﹣2），当MN一端与B重合时，中点P在（2，0）上，连接PQ，将PQ绕点P顺时针旋转180°得到点Q′，由中心对称得点Q′坐标（3，﹣2），∴﹣1≤a≤3，（2）∵点Q在x轴上，∴当点P也在x轴上时，点Q′的横坐标有最值，如图，作弦心距OM，∴BM＝AM＝×4＝2，∵⊙O半径3，∴OM＝＝，∵PM＝1，∴OP＝＝，当点P在x轴负半轴时，PQ＝+1，∴QQ′＝2PQ＝2+2，∵1﹣（2+2）＝﹣2﹣1，∴Q′（﹣2﹣1，0）；当点P在x轴正半轴时，PQ＝﹣1，∴QQ′＝2PQ＝2﹣2，∵1+（2﹣2）＝2﹣1，∴Q′（2﹣1，0），∴﹣2﹣1≤m≤2﹣1．【点评】本题考查了圆的性质的综合应用，对新定义的理解及对称性质的应用是解题关键．。

注意事项：1、本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.全卷共8页，满分120分，考试时间120分钟.2、答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效.2023-2024学年第一学期九年级期中质量监测试题（卷）数学3、考试结束后，只收回答题卡.第Ⅰ卷选择题（共30分）一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该选项涂黑）1．下列方程是关于x 的一元二次方程的是A．B．02342=++xx 0122=--y x C．D．0122=++x ax ()024=-x x 2．如图，将含有30°角的三角尺ABC （∠BAC =30°），以点A 中心，顺时针方向旋转，使得点C ，A ，B ′在同一直线上，则旋转角的大小是A．30°B．60°C．120°D．150°3．方程的两个实数根是x x =2A．x 1=x 2=1B．x 1=1，x 2=-1C．x 1=0，x 2=1D．x 1=0，x 2=-14．将关于x 的方程配方成的形式，则的值是0862=+-x x ()p x =-23p A．1B．28C．17D．445．如果关于x 的一元二次方程有两个实数根，则k 的取值范围是032=+-k x x A．k≥B．k≤C．k＞D．k＜49494949C′B′CB A6．将二次函数的图象先向左平移2个单位，再向上平移1个单()2122---=x y 位，则所得到的二次函数的解析式是A．B．()1322---=x y ()1122-+-=x y C．D．()3122-+-=x y ()3322---=x y 7．冠状病毒属的病毒是具有囊膜、基因组为线性单股正链的RNA 病毒，是自然界广泛存在的一大类病毒，冠状病毒可感染多种哺乳动物、鸟类和人．在某次冠状病毒感染中，有3只动物被感染，后来经过两轮感染后共有363只动物被感染．若每轮感染中平均一只动物会感染x 只动物，则下面所列方程正确的是A．3x（x+1）=363B．3+3x+3x ²=363C．3（1+x）²=363D．3+3（1+x）+3（1+x）²=3638．已知二次函数（c 为常数）的图象与x 轴的一个交点为（1，0），c x x y +-=42则关于x 的一元二次方程的两个实数根是042=+-c x x A．x 1=1，x 2=-1B．x 1=-1，x 2=2C．x 1=-1，x 2=0D．x 1=1，x 2=39．二次函数的图象上部分点的坐标（x，y）对应值列表如下：c bx ax y ++=2则关于该二次函数的图象与性质，下列说法正确的是A．开口方向向上B．当x＞-2时，y 随x 增大而增大C．函数图象与x 轴没有交点D．函数有最小值是-210．在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图bx ax y +=2a bx y +=象可能是x …-3-2-101…y…-3-2-3-6-11…第Ⅱ卷非选择题（共90分）二、填空题（每小题3分，共15分）11．如图，在⊙O 中，AC =BC ，半径OC 与AB 交于点D ，若AB =8cm，OB =5cm，则CD =▲cm.13．已知点A （4，y 1）和点B （-1，y 212．2022年2月4日—2月20日，北京冬奥会隆重开幕，北京成为世界上第一个既举办过夏季奥运会，又举办过冬季奥运会的国家.下面图片是在北京冬奥会会徽征集过程中，征集到的一副图片，整个图片由“京字组成的雪花图案”、“beijing2022”、“奥运五环”三部分组成.对于图片中的“雪花图案”，至少旋转▲°能与原雪花图案重合.）是二次函数（m 为常数）()m x y +-=21-215．如图，在四边形ABCD 中，点E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，AD 的中点，若四边形EFGH 是矩形，且其周长是20，则四边形ABCD 的图象上两点，则y 1和y 2的大小关系是▲.14．2021年我国高速铁路总里程为2.9万公里，2023年我国高速铁路总里程达到3.8万公里，高速铁路已经覆盖了全国80%以上的大城市，形成以“八纵八横”主通道为骨架、区域连接线衔接、城际铁路补充的高速铁路网.若设2021年到2023年我国高速铁路总里程的平均年增长率为x，则依题意可列方程为▲.的面积的最大值是▲.HG FED CBA⌒⌒三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．解方程（每小题5分，共10分）（1）()910-=+x x （2）()12832+=+x x x 17．（本小题5分）如图，以□ABCD 的顶点A 为圆心，AB 为半径作⊙A ，分别交BC ，AD 于E ，F 两点，交BA 的延长线于点G .求证：EF =FG .18．（本小题8分）在平面直角坐标系中，△ABC 三个顶点的坐标分别为A （5，4），B （1，3），C （3，1）.点P （a，b）是△ABC 内的一点.（1）以点O 为中心，把△ABC 顺时针旋转90°，画出旋转后的△A 1B 1C 1，并写出A 1，B 1，C 1的坐标：A 1▲，B 1▲，C 1▲.注：点A 与A 1，B 与B 1，C 与C 1分别是对应点.（2）点P 的对应点P 1的坐标是▲；（3）若以点O 为中心，把△ABC 逆时针旋转则点P 的对应点P 2的坐标是▲，点P 1与点P2关于▲对称.（填写“x 轴、y 轴或原点”）⌒⌒19．（本小题8分）阅读下列材料，并完成相应学习任务：一元二次方程在几何作图中的应用如图1，在矩形ABCD 中，AB =3，BC =4.求作一个矩形，使其周长和面积分别是矩形ABCD 的周长和面积的2倍.因为矩形ABCD 的周长是14，面积是12，所以所求作的矩形周长是28，面积是24.若设所求作的矩形一边的长为x，则与其相邻的一边长为14-x.所以，得x（14-x）=24.解得x 1=2，x 2=12.当x=2时，14-x=12；当x=12时，14-x=2.所以求作的矩形相邻两边长分别是2和12.如图2，在边AB 的延长线取点G ，使得AG =4AB .在AD 上取AE =AD .21以AG 和AE 为邻边作出矩形AGFE .则矩形AGFE 的周长和面积分别是矩形ABCD 的周长和面积的2倍.学习任务：（1）在作出矩形AGFE 的过程中，主要体现的数学思想是▲；（填出序号即可）A.转化思想B.数形结合思想C.分类讨论思想D.归纳思想（2）是否存在一个矩形，使其周长与面积分别是矩形ABCD 的周长和面积的？21若存在，请在图1中作出符合条件的矩形；若不存在，请说明理由.图1 图2GFEDCBA D CB A20．（本小题9分）漪汾桥是太原市首座对称双七拱吊桥，每个桥拱呈大小相等的抛物线型，桥拱如长虹出水，屹立于汾河之上，是太原市地标性建筑之一．如图2所示，单个桥拱在桥面上的跨度OA =60米，在水面的跨度BC =80米，桥面距水面的垂直距离OE =7米，以桥面所在水平线为x 轴，OE 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系.（1）求桥拱所在抛物线的函数关系表达式；（2）求桥拱最高点到水面的距离是多少米？21．（本小题10分）下面是小明解决某数学问题的过程，请认真阅读并解决相应学习任务：数学问题：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：“，”现已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使每个星期的利润达到6080元，且顾客能够得到更大的实惠？解：设….根据题意，所列出方程：.()6080402300-20=⎪⎭⎫⎝⎛⨯+x x …根据小明所列方程，完成下列任务：（1）填空：数学问题中“”处短缺的条件是▲，小明所列方程中未知数x 的实际意义是▲.（2）请你重新设一个未知数，要求所设未知数与小明所列方程中未知数的意义不同，并结合所补充的条件，解决上面的数学问题.图1图222．（本小题12分）综合与实践问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在正方形ABCD 中，点E 是边CD 上一点，将△ADE 以点A 为中心，顺时针旋转90°，得到△ABF ，连接EF ．过点A 作AG ⊥EF ，垂足为G ．试猜想FG 与GE 的数量关系，并证明.（1）独立思考：请你解决老师所提出的问题；（2）拓展探究：智慧小组在老师所提问题的基础上，连接DG ，他们认为DG 平分∠ADC ．请你利用图2说明，智慧小组所提出的结论是否正确？请说明理由；（3）问题解决：在图2中，若AD +DE =28，则四边形AGED 的面积为▲.（直接写出答案即可）图1 图2AB CDEFGGFEDCBA23．（本小题13分）综合与探究已知抛物线与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 32-2-=x x y 轴交于点C ，点D 是y 轴右侧抛物线上一个动点.（1）求出点A ，B ，C 的坐标；（2）如图1，当点D 在第四象限时，求出△BCD 面积的最大值，并求出这时点D 坐标；（3）当∠DAB =∠ABC 时，求出点D的坐标.图1 备用图一、选择题：1—10：DDCAB BCDCC二、填空题：11.2；12.60°；13.y 1＜y 2；14.2.9（1+x）²=3.8；15.50.三、解答题：16.解：（1）x 1=-1，x 22023～2024学年第一学期九年级期中质量监测试题数学参考答案=-9；…………………………………………………………5分（2）x 1=，x 2=4.…………………………………………………………………5分23-注：阅卷组自行制定评分细则17.证明：∵AB=AE，∴∠B=∠AEB.……………………………………………………………………1分∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD∥BC，……………………………………………………………………2分∴∠B=∠GAF，∠FAE=∠AEB，……………………………………………………………………3分∴∠GAF=∠FAE，…………………………………………………………………4分∴EF=FG.……………………………………………………………………5分18.解：（1）画图略，画图正确.………………………………………………2分A 1（4，-5），B 1（3，-1），C 1（1，-3）.………………………………………5分（2）（b,-a）.……………………………………………………………………6分（3）（-b,a），原点.………………………………………………………………8分19.解：（1）B；…………………………………………………………………2分（2）不存在.……………………………………………………………………3分理由如下：若存在矩形，其周长与面积分别是矩形ABCD 的周长和面积的，21则所求的矩形周长为7，面积为6.………………………………………………4分设所求的矩形一边长为x，则与其相邻的另一边的长为-x.………………5分27所以，得x（-x）=6.……………………………………………………………6分27整理，得2x ²-7x+12=0.…………………………………………………………7分因为△=（-7）²-4×2×12=49-96＜0.所以该方程无解.…………………………………………………………8分所以，不存在矩形，其周长与面积分别是矩形ABCD 的周长和面积的……9分21⌒⌒20.解：（1）设桥拱所在抛物线的函数关系表达式为y=ax ²+bx.………………1分∵OA=60，∴A 点坐标为（60，0）.∵BC=80，根据对称性可知，点C 坐标为（70，-7）.…………………………2分把A（60，0），B（70，-7）代入y=ax ²+bx，得………3分⎩⎨⎧-=+=+77049000603600b a b a 解得………………………………………………………………4分⎪⎩⎪⎨⎧=-=531001b a ∴桥拱所在抛物线的函数关系表达式是.………………5分x x y 5310012+-=（2）∵x x y 5310012+-=……………………………………………………7分().93010012+--=x ∴该函数的顶点为（30，9）.……………………………………………………8分∵9+7=16.∴桥拱最高点到水面的距离是16米.…………………………………………9分21.解：（1）每件商品的售价每降价2元，每个星期的销售量可增加40件；每件商品的售价降了x 元.………………………………………………………………2分（2）设每件商品的定价为x 元，根据题意可列方程…………………………3分.………………………………………6分()60804026030040=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-+-x x 整理，得x ²-115x+3304=0.……………………………………………………7分解得x 1=59，x 2=56.……………………………………………………………8分为了让每位顾客得到更大的实惠，所以x=59舍去.…………………………9分答：每件商品的定价为56元，每个星期的利润能达到6080元，且顾客能够得到更大的实惠.…………………………………………………………………10分22.（1）FG=EG.………………………………………………………………1分证明：∵△ABF 是由△ADE 顺时针方向旋转90°得到的，∴△ABF≌△ADE，………………………………………………………………2分∴AF=AE.………………………………………………………………3分∵AG⊥EF，∴FG=EG.………………………………4分（2）连接CG.……………………………5分∵四边形ABCD 是正方形，∴AD=CD，∠FCE=90°.……………………6分由（1）可知，FG=EG，∴CG=EF.………………………………7分21∵∠EAF=90°，∴AG=EF.………………………………8分21∴AG=CG.∵DG=DG，∴△ADG≌△CDG，………………………………………………………………9分∴∠ADG=∠CDG，即DG 平分∠ADC.…………………………………………10分（3）196………………………………………………………………………12分23.解：（1）当y=0时，.032-2=-x x 解得x 1=-1，x 2=3.∴点A（-1，0），B（3，0）.……………………………………………………2分当x=0时，y=-3，∴点C（0，-3）……………………………………………………………………3分（2）如图，过点D 作DE⊥x 轴，垂足为E，并且交直线BC 于点F.过点C 作CH⊥DE，垂足为H.……………………4分设BC 的解析式为y=kx+b.把点B（3，0），点C（0，-3）代入，得，⎩⎨⎧-==+33b b k 解得k=1，b=-3.∴直线BC 的解析式为y=x-3.……………………5分设点D（m，m ²-2m-3），则点F（m，m-3）.则DF=m-3-（m ²-2m-3）=-m ²+3m.……………6分∵S △BCD =S △CDF +S △BDF =×DF×CH+×DF×BE=×DF（CH+BE）=21212121ACDEFG∴S △BCD =（-m ²+3m）×3=-m ²+m.………………………………7分212329=-（m-）²+.（0＜m＜3）…………………………………………8分2323827∵-＜0，∴当m=时，S △BCD 有最大值，S △BCD 的最大值为.………9分2123827（3）∵点B（3，0），点C（0，-3）.∴OB=OC.∵∠BOC=90°，∴∠OBC=∠OCB=45°.设点D（m，m ²-2m-3）.如图，当点D 在x 轴下方时，过点D 作DP⊥OB，垂足为P.∵∠DAB=∠ABC=45°，∠APD=90°.∴∠PDA=∠PAD，∴PA=PD.∴m-（-1）=-（m ²-2m-3）.……………………10分解得m=2或m=-1（舍去）.当m=2时，m ²-2m-3=-3.∴点D 坐标为（2，-3）.…………………………11分如图，当点D 在x 轴上方时，过点D 作DQ⊥OB，垂足为Q.∵∠DAB=∠ABC=45°，∠AQD=90°.∴∠QDA=∠QAD，∴QA=QD.∴m-（-1）=m ²-2m-3.…………………………………………………………12分解得m=4或m=-1（舍去）.当m=4时，m ²-2m-3=5.∴点D 坐标为（4，5）.∴当∠DAB=∠ABC 时，点D（2，-3）或（4，5） (13)分。

2024-2025学年度第一学期期中练习题年级：初三 科目：数学 班级：_________ 姓名：__________．．1. 在平面直角坐标系中，点A (3,4)-关于原点对称的点的坐标是（ ） A. (3，4) B. (3，-4) C. (-3，-4) D. (-4，3) 2.已知⊙O 的半径为4，如果OP 的长为3，则点P 在（ ）A ．⊙O 内B ．⊙O 上C ．⊙O 外D ．不确定3. 若关于x 的一元二次方程220x x m +-=有一个根为 1，则另一个根的值为（ ） A. 3B. 3-C. 32-D.124. 如图，在⊙O 中，弦AB ，CD 相交于点E ，∠AEC =74°，∠ABD =36°，则∠BOC 的度数为（ ）A. 100°B. 110°C. 148°D. 140°5. 在 圆、正六边形、平行四边形、等腰三角形、正方形这五个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的图形有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个 6. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y ax bx c =++如图所示，则关于x 的方程240++-=ax bx c 的根的情况为（ ）A.没有实数根B.有两个相等的实数根C. 有两个不相等的实数根D.有实数根 7. 如图，点O 为线段AB 的中点，∠ACB =∠ADB =90°， 连接OC，OD ．则下面结论不．一定成立的是（ ）A ．OC =ODB ．∠BDC =∠BAC C ．∠BCD+∠BAD =180° D ．AC 平分∠BAD第4题图 第6题图 第7题图8. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的顶点为P (-1，k )，且经过点 A (-3，0)，其部分图象如图所示，下面四个结论中， ①0abc >； ②2b a =-；③若点()N t n ,在此抛物线上且n c <，则02或><-t t ； ④对于任意实数t ，都有2(1)(1)0-++≤a t b t 成立． 正确的有（ ）个A. 0B. 1C. 2D. 3二、填空题（本题共16分，每小题2分）9. 写出一个开口向上，对称轴为1=x 的抛物线的表达式 ．10. 将抛物线2=y x 向下平移3个单位，向左平移1个单位，得到新的抛物线的表达式是 . 11. ⊙O 的直径为17cm ，若圆心O 与直线l 的距离为7.5cm ，则l 与⊙O 的位置关系是________（填“相交”、“相切”或“相离”）．12. 如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了2m ，另一边减少了3m ，剩余一块面积为20m 2的矩形空地，若原正方形空地边长是x m ，则可列关于x 的一元二次方程 ．第12题图 第13题图 第16题图13. 如图，P A ，PB 分别与⊙O 相切于点A ，B ，点C 为劣弧AB 上的点，过点C 的切线分别交P A ，PB 于点M ，N ．若P A =8，则△PMN 的周长为 ．14. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21(0)(3)a y a x +<=-的顶点坐标是 ；若点(2，1y )，(6，2y )在此抛物线上，则1y ，2y ，1的大小关系是 （用“<”号连接）. 15. 已知二次函数2(2)2y a x a =--， 当14x ≤≤ 时，函数值y 的最大值为4，则a 的值为 .16. 如图，以点G (0，1)为圆心，2为半径的圆与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C ，D 两点，E 为G 上一动点，CF AE ⊥于点F ，连接FG ，则弦AB 的长度为 ；点E 在G 上运动的过程中，线段FG 的长度的最小值为 .三、解答题（本题共68分，17题每小题 3分；18-19题每题 4 分； 20-21题每题6分；22题5分；23题7分；24题6分；25题5分；26题6分；27题7分；28题6分） 17. 解方程：（1） 2410x x --=； （2）2230+=x x .18. 已知：如图，△ABC 绕某点按一定方向旋转一定角度后得到△A 1B 1C 1，点A ，B ，C 分别对应点A 1，B 1，C 1．（1）请通过画图找到旋转中心，将其记作O ； （2）直接写出旋转方向 （填顺时针或逆时针），旋转角度 °； （3）在图中画出△A 1B 1C 1.19. 如图， AB 是⊙O 的弦，半径OD ⊥AB 于点C . 若AB =16，CD =2，求⊙O 的半径的长．20. 已知关于x 的一元二次方程220mx x --=有两个不相等的实数根. （1）求m 的取值范围；（2）当m 取最小的正整数时，求方程的根．B21. 已知二次函数y=ax ²+bx+c (a ≠0)图象上部分点的横坐标x ，纵坐标y 的对应值如下表所示：（1值为 （2）求此二次函数的解析式，并用描点法画出该二次函数的图象；（不用列表） （3）一次函数3=+y kx ，当03x <<时，对于x 的每一个值，都有23kx ax bx c +>++，直接写出k 的取值范围．22. 如图，△ABC 中，∠C =90°. 将△ABC 绕点B 逆时针旋转60°得到△''A BC .若'3BC =，AC =4，求'AA 的长.23. 小明在学习了圆内接四边形的性质“圆内接四边形的对角互补”后，想探究它的逆命题“对角互补的四边形的四个顶点在同一个圆上”是否成立. 他先根据命题画出图形，并用符号表示已知，求证.已知：如图，在四边形ABCD 中，∠B+∠ADC=180º．求证：点A ，B ，C ，D 在同一个圆上．他的基本思路是依据“不在同一直线上的三个点确定一个圆”，先作出一个过三个顶点A ，B ，C 的⊙O ，再证明第四个顶点D 也在⊙O 上. 具体过程如下：步骤一 利用直尺与圆规，作出过A ，B ，C 三点的⊙O ，并保留作图痕迹.图1步骤二用反证法证明点D也在⊙O上.假设点D不在⊙O上，则点D在⊙O内或⊙O外．（ⅰ）如图2，假设点D在⊙O内．延长CD交⊙O于点D1，连接AD1，∴∠B+∠D1=180º（①）．（填推理依据）∵∠ADC是△ADD1的外角，∴∠ADC=∠DAD1+∠D1．∴∠ADC＞∠D1．∴∠B+∠ADC＞180º．这与已知条件∠B+∠ADC=180º矛盾．∴假设不成立．即点D不在⊙O内．（ⅱ）如图3，假设点D在⊙O外．设CD与⊙O交于点D2，连接AD2，∴②+∠AD2C=180º．∵∠AD2C是△AD2D的外角，∴∠AD2C=∠DAD2+ ③.∴④＜∠AD2C．∴⑤+∠ADC＜180º．这与已知条件∠B+∠ADC=180º矛盾．∴假设不成立．即点D不在⊙O外．综上所述，点D在⊙O上．∴点A，B，C，D在同一个圆上.阅读上述材料，并解答问题：（1）根据步骤一，补全图1（要求：尺规作图，保留作图痕迹）；（2）填写推理依据：①_____________________________________________；（3）填空：②，③，④，⑤．24. 如图，点C在以AB为直径的⊙O上，CD平分∠ACB交⊙O于点D，交AB于点E，过点D作DF∥AB，交CO的延长线于点F.（1）求证：直线DF是⊙O的切线；（2）若A∠=30°，AC DF的长．图2图325. 投掷实心球是北京市初中学业水平考试体育现场考试的选考项目之一. 实心球被投掷后的运动的运动路线可以看作是抛物线的一部分. 建立如图所示的平面直角坐标系，实心球从出手（点A 处）到落地的过程中，其竖直高度y （单位：m ）与水平距离x （单位：m ）近似满足二次函数关系.小石进行了三次训练，每次实心球的出手点A 的竖直高度为2m ．记实心球运动路线的最 高点为P ，训练成绩（实心球落地点的水平距离）为d （单位：m ）．训练情况如下：（1）求第二次训练时满足的函数关系式； （2）小石第二次训练的成绩2d 为 m ； （3）直接写出训练成绩1d ，2d ，3d 的大小关系．26. 在平面直角坐标系xOy 中，二次函数2222(0)y ax a x a =-+≠的图象与y 轴交于点A ，与直线x =2交于点B.（1）若AB ∥x 轴，求二次函数解析式；（2）记抛物线在A ，B 之间的部分为图象G (包含A ，B 两点)，若对于图象G 上任意一点C (C x ，C y )，都有2C y ≤，求a 的取值范围.2OA27. 如图，Rt ABC∆中，∠B=90°，∠ACB=α(0°<α<45°)，点E是线段BC延长线上一点，点D为线段EC的中点，连接EA. 将射线EA绕点E顺时针旋转α得到射线EM，过点A作AF⊥EM，垂足为点F，连接FD.（1）用等式表示线段BD与DF之间的数量关系，并证明；（2）求∠FDB的大小（用含α的代数式表示）；（3）若点D满足BC=CD，直接写出一个α的值，使得CF⊥BE.28．在平面直角坐标系xOy 中，将对角线交点为T 的正方形记作正方形T ，对于正方形T 和点P （不与O 重合）给出如下定义：若正方形T 的边上存在点Q ，使得直线OP 与以TQ 为半径的⊙T 相切于点P ，则称点P 为正方形T 的“伴随切点”．（1）如图，正方形T 的顶点分别为点O ，A (2-，2)，B (4-，0)，C (2-，2-)．①在点1P (1-，1)，2P (1-，1-)，3P (2-，1)中，正方形T 的“伴随切点”是_____________；②若直线y x b =-+上存在正方形T 的“伴随切点”，求b 的取值范围；（2）已知点T (t ，1t -)，正方形T 的边长为2．若存在正方形T 的两个“伴随切点”M ，N ，使得OMN 为等边三角形，直接写出t 的取值范围．x第1页,共4页2024-2025学年度第一学期初三数学期中练习答案一、选择题(本题共16分，每小题2分)题号12345678答案BACDBCDD二、填空题(本题共16分，每小题2分)9．2(1)y x =-（答案不唯一）；10．2(1)3y x =+-；11.相交；12．(2)(3)20x x --=13．16；14．(3，1)；211y y <<；15.2或2-；16.1-.三、解答题（本题共68分，17题6分；18-19题每题4分；20-21题每题6分；22题5分；23题7分；24题6分；25题5分；26题6分；27题7分；28题6分）17.解：（1）2410x x --=；2(2)5x -=1222x x ==（2）2230x x +=.(23)0x x +=1230,2x x ==-18解：（1）如图；（2）顺时针；90（3）如图19.解：连接OA .∵OD ⊥AB ，AB =16，∴AC =12AB =8.设OA=x ，则OC=x -2.∵OD ⊥AB ，∴OC ²+AC ²=OA²，第2页,共4页∴(x -2)²+64=x ².解得，x =17，∴⊙O 的半径为17.20.解：（1）∵关于x 的一元二次方程220mx x --=有两个不相等的实数根，∴14(2)810m m ∆=-⋅-=+>，∴18m >-且m ≠0.（2）∵m 取最小的正整数，∴m =1.此时一元二次方程为：x ²-x -2=0，解得12x =，21x =-.21.（1）0；（2）设y =a (x -2)²-1.将点(1，0)代入，得a =1，即y =(x -2)²-1.（3）1k ≥-且0k ≠.22.解：∵将△ABC 绕点B 逆时针旋转60°得到△''A BC∴△ABC ≌△''A BC ，∠'A BA =60°，∴''3BC B C ==.∵∠C =90°，AC =4，∴AB =5.∵'AB A B =，∴△'A BA 为等边三角形，∴''AA A B ==5.23.解：（1）如图；（2）圆内接四边形对角互补；（3）∠B ；∠D ；∠D ；∠B .24.（1）证明：连接OD ，∵CD 平分∠ACB ，∴∠ACD =∠BCD ，∴∠AOD =∠BOD ，∵∠AOD +∠BOD =180°，∴∠AOD =90°，∴OD ⊥AB ，第3页,共4页∵FD ∥AB ，∴OD ⊥FD ，∴FD 为⊙O 的切线.（2）∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB =90°.∵∠A =30°，AC =∴AB =4，∴122OD AB ==.∴∠COB =2∠A =60°，∴∠AOF =∠COB =60°，∴∠FOD =30°.设DF=x ，OF =2x ，2=，∴3x =∴3DF =.25.（1）设2(4) 3.6y a x =-+，∵过点A (0,2)，∴20(04) 3.6a =-+，∴0.1a =-，∴20.1(4) 3.6y x =--+.（2）10；（3）312d d d <<26.（1）∵A (0，2)，AB ∥x 轴，∴B (2，2)，∴24422a a -+=,∵0a ≠，∴1a =.∴222y x x =-+.（2）∵对称轴为：x=a ，∴A (0，2)关于对称轴x=a 的对称点'A (2a ，2).若a >0，∵当02x ≤≤时，2C y ≤，第4页,共4页∴22a ≥，∴1a ≥.若a ＜0，当02x ≤≤时，y 随x 增大而减小，∴2C y ≤恒成立.综上，1a ≥或a ＜0.27．（1）BD=DF ；证明：延长EF ，使FN =EF ，连接AN ，NC .∵AF ⊥EN ，∴AE =AN ，①∴∠EAN =180°2α-.延长CB ，使CB =BH .∵∠ABC =90°，∴AC =AH ，②∴∠CAH =180°2α-，∴∠NAC =∠EAH ，③∴△NCA ≌△EAH ，∴CN =EH .∵ED =DC ，EF =FN ，∴CN =2FD .∵EH =2BD ，∴FD =BD .（2）解：由（1）可知，△EAH ≌△NCA ，∴∠NCA =∠A =α，∴∠NCH =2α.∵NH ∥FD ，∴∠FDB =∠NCH =2α.（3）30°28.（1）①1P ，2P ；②∴21b -≤≤.（2t ≤≤t ≤≤。

2024北京一六一中初三（上）期中数 学2024年11月班级______________姓名______________学号______________1.抛物线2(1)5=−+y x 的顶点坐标为A ．(1,5)B ．(0,5)C ．(1,8)D ．(0,8) 2.如果2m ＝3n （n ≠0），那么下列比例式中正确的是A ．23=m nB ．23=m n C ．32=m n D ．32=m n 3.将抛物线23=−y x 平移，得到抛物线23(2)1=−+−y x ，下列平移正确的是A ．先向左平移2个单位，再向上平移1个单位B ．先向左平移2个单位，再向下平移1个单位C ．先向右平移2个单位，再向上平移1个单位D ．先向右平移2个单位，再向下平移1个单位4.如图，点D 、E 分别在△ABC 的AB 、AC 边上，下列条件中：①∠ADE ＝∠C ；②=AE DE AB BC；③=AD AE AC AB ． 使△ADE 与△ACB 一定相似的是A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③ 5.已知关于x 的方程2340−+=mx x ，如果m <0，那么此方程的根的情况是A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．无实数根D ．不能确定 6.如图，△ABC 的顶点都在方格纸的格点上，那么sin A 的值为A ．32B ．34C ．35D ．457.如图，在ABCD 中，点E 在边AD 上，AC 与BE 交于点O ，:1:2=AE ED ，则△AOE 与△COB 的面积之比为A ．1:3 B ．1:9 C ．1:2 D ．1:48.已知二次函数22(1)=−−≤≤y x x x t ，当1=−x 时，函数取得最大值；当1=x 时，函数取得最小值，则t 的取值范围是A ．11−≤≤tB ．13−≤≤tC ．1≥tD ．13≤≤t二、填空题 （共16分，每题2分）9.如果tan αα=______． 10.如图，在△ABC 中，点D ，E 分别是边AB ，AC 上的点，DE ∥BC ，AD ＝1，BD ＝AE ＝2，则EC 的长为______．11.将二次函数225+=−y x x 用配方法化成2()=−+y a x h k 的形式为=y ______．12.点A (0，y 1)，B (5，y 2)在二次函数24−+=y x x c 的图象上，y 1与y 2的大小关系是______．13.我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除捷法》中记录了这样一个问题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何？”其大意是：矩形面积是864平方步，其中长与宽和为60步，问长比宽多多少步？若设长为x 步，则可列方程为______．14.如图，矩形纸片ABCD 中，AB ＞AD ，E ，F 分别是AB ，DC 的中点，将矩形ABCD 沿EF 所在直线对折，若得到的两个小矩形都和矩形ABCD 相似，则用等式表示AB 与AD 的数量关系为______．15.函数242−+=y x x m 满足以下条件：当23<<x 时，它的图象位于x 轴的下方；当21−<<−x 时，它的图象位于x 轴的上方，则m 的值为______．16.如图，已知△ABC 是等边三角形，3AB =，点D 在AC 上，2AD CD =，点E 在BC 的延长线上，将线段DE 绕D 逆时针旋转90︒得到线段DF ，连接AF ，若//AF BE ，则AF 的长是______．三、解答题 （共68分，第17题4分，第18题8分，第19－20题，每题4分，第21－22题，每题5分，第23－26题每6分，第27－28题每题7分）17.计算：sin 60cos30tan 45︒−︒+︒．18.解方程：（1）228=x ； （2）2610−−=x x ．19.若a 是关于x 的一元二次方程2231=−x x 的根，求代数式2(21)(25)−+−a a a 的值．20.如图，AD 与BC 交于O 点，∠A ＝∠C ，AO ＝4，CO ＝2，CD ＝3，求AB 的长．21.已知关于x 的一元二次方程2(4)30x m x m +−+−=．（1）求证：该方程总有两个实数根；（2）若该方程恰有一个实数根为非负数，求m 的取值范围．22.如图，在等腰△ABC 中，=AC AB ，90∠=︒CAB ，E 是BC 上一点，将E 点绕A 点逆时针旋转90︒到AD ，连接DE 、CD ．（1）求证：△ABE ≅△ACD ；（2）若20∠=︒CDE ，求∠CED 的度数．23.已知二次函数22=−−+y x x c ，它的图象过点(2,5)−A ，并且与x 轴负半轴交于点B .（1）求二次函数的解析式和点B 坐标；（2）当22−<<x 时，结合函数图象，直接写出函数值y 的取值范围；（3）若直线=+y kx b 经过A ，B 两点，直接写出关于x 的不等式22+>−−+kx b x x c 的解集．24.如图，在菱形ABCD 中，AC ，BD 交于点O ，延长CB 到点E ，使=BE BC ，连接AE ．（1）求证：四边形AEBD 为平行四边形；（2）连接OE ，若1tan 2∠=AEB ，AC =2，求OE 的长． 25.小明发现某乒乓球发球器有“直发式”与“间发式”两种模式．在“直发式”模式下，球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线；在“间发式”模式下，球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条直线，球第一次接触台面到第二次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线．如图1和图2分别建立平面直角坐标系xOy ．图1 直发式 图2 间发式通过测量得到球距离台面高度y （单位：dm ）与球距离发球器出口的水平距离x （单位：dm ）的相关数据，如下表所示：表1 直发式B AC DEO表2 间发式根据以上信息，回答问题：（1）表格中m =______，n =______；（2）求“直发式”模式下，球第一次接触台面前的运动轨迹的解析式；（3）若“直发式”模式下球第一次接触台面时距离出球点的水平距离为d 1，“间发式”模式下球第二次接触台面时距离出球点的水平距离为d 2，则d 1 ______ d 2（填“>”“=” 或“<”）．26. 在平面直角坐标系xOy 中，点(1,)−A m ，点(3,)B n 在抛物线2(0)=++>y ax bx c a 上．设抛物线的对称轴为直线=x t .（1）当2=t 时，①直接写出b 与a 满足的等量关系；②比较m ，n 的大小，并说明理由；（2）已知0(,)C x p 在该抛物线上，对于034<<x ，都有>>m p n ，求t 的取值范围．27. 如图，在ABC ∆中，AB AC =，120BAC ∠=︒．D 是AB 边上一点，DE AC ⊥交CA 的延长线于点E ．（1）用等式表示AD 与AE 的数量关系，并证明；（2）连接BE ，延长BE 至F ，使EF BE =．连接DC ，CF ，DF ．①依题意补全图形；②判断DCF ∆的形状，并证明．28. 在平面直角坐标系xOy 中，对于点A ，点B 和直线l ，点A 关于l 的对称点为点A '，点B 是直线l 上一点．将线段A B '绕点A '逆时针旋转90︒得到A C '，如果线段A C '与直线l 有交点，称点C 是点A 关于直线l 和点B 的“旋交点”．（1）若点A 的坐标为(1,2)，在点1(1,2)C −，2(1,0)C −，3(1,1)C −−中，是点A 关于x 轴和点B 的“旋交点”的是______；（2）若点B 的坐标是(0,2)−，点A 、C 都在直线2y x =+上，点C 是点A 关于y 轴和点B 的“旋交点”，求点A 的坐标；（3）点A 在以(0,)t 为对角线交点，边长为2的正方形M （正方形的边与坐标轴平行）上，直线l ：1=−y x ，若正方形M 上存在点C 是点A 关于直线l 和点B 的“旋交点”，直接写出t 的取值范围．参考答案一、选择题（共16分，每题2分）二、填空题（共16分，每题2分）1= ……………………3分 1= ……………………4分18. 解：（1） 228=x24=x12=−x ，22=x ……………………4分（2） 2610−−=x x26910−+=x x2(3)10−=x3−=x 13=x ，23=+x 分19. 解：根据题意知，2231−=a a ，所以2231−=−a a ，则：22222441256913(2(21)(5))123=−++−=−+=−+−+−a a a aa a a a a a a ……………………2分∴原式312=−+=−． ……………………4分20. 解：∠=∠A C ，AOB COD ∠=∠，AOB COD ∴∆∆∽，……………………2分 ∴AB AO CD CO =，即432AB =， 6AB ∴=． ……………………4分21.（1）证明：△22(4)41(3)(2)0m m m =−−⨯⨯−=−，∴此方程总有两个实数根． ……………………2分（2）解：212(4)30(1)(3)01,3+−+−=++−==−=−x m x m x x m x x m ， ……………………4分该方程恰有一个实数根为非负数，30m ∴−，3m ∴．……………………5分 22.解：（1）Rt △ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，45ABC ACB ∴∠=∠=︒，由旋转可知：AD AE =，90DAE ∠=︒，90∠+∠=∠+∠=︒BAE CAE CAD CAE ，∠=∠BAE CAD ，在△BAE 与△CAD 中，=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩AB AC BAE CAD AE AD ，∴△BAE ≅△CAD （SAS ） ……………………3分（2）△BAE ≅△CAD45∴∠=∠=︒ACD ABC ，454590ECD ∴∠=︒+︒=︒；90902070∴∠=︒−∠=︒−︒=︒CED CDE .……………………5分 23.解：（1）将A (2,5)−代入求得解析式为223=−−+y x x ……………………1分令y =0，解方程2230−−+=x x 得13=−x ，21=x 所以点B (3,0)−……………………2分 （2）54−<≤y……………………4分 （3）3<−x 或2>x……………………6分24.（1）证明：四边形ABCD 是菱形，∴AD ∥EB ，AD =BC ，BE =BC ，∴AD =BE ，∴四边形ABCD 是平行四边形． ……………………3分（2）解：四边形ABCD 是菱形，∴ OA=OC=112=AC ，AC ⊥BD ∴∠BOC=90°，四边形ABCD 是平行四边形∴AE ∥BD ，∴∠EAC =∠BOC =90°，在Rt △AEC 中，tan ∠AEB =12=AC AE ，AC =2， ∴AE =4，∴OE =分25. 解：（1）3.84，2.52； ……………………2分（2）由表1可知：“直发式”模式下，抛物线的顶点为(4,4)，∴设此抛物线的解析式为2(4)4(0)=−+<y a x a ，把(0,3.84)代入，得23.84(04)4=−+a ，解得：0.01=−a ， ……………………5分∴ “直发式”模式下，球第一次接触台面前运动轨迹的解析式为20.01(4)4y x =−−+；（3）=． ……………………6分26. 解：（1）①22=−=b t a，4b a ∴=−； ……………………1分 ②m >n . 理由如下：由①得24,4=−∴=−+b a y ax ax c点A (-1,m )、点B (3,n )在抛物线上，∴m=a +4a +c =5a +c ,n =9a -12a +c =-3a +c .∵a >0,∴5a >-3a .∴5a +c >-3a +c .∴m >n . ……………………3分（2） ∵a >0：当x ≥t 时，y 随x 的增大而增大，当x ≤t 时，y 随x 的增大而减小.当034<<x 时，0,3>∴≤<p n t x当t ≤-1时，t ≤-1<3,∴n >m ，不符合题意.当-1<t ≤3时，设点A (-1,m )关于抛物线对称轴x =t 的对称点为点''(,)A A x m ， 则',>A x t 可得'2 1.=+A x t由m >p 知021,+>t x当034<<x 时，214+≥t32∴≥t t ∴的取值范围是332≤≤t ．（结合图象分析） ……………………6分 27.解：（1）结论：2AD AE =．……………………1分 理由：DE ⊥AE ， 90E ∴∠=︒，∠BAC =120°，60DAE ∴∠=︒，30ADE ∴∠=︒，2AD AE ∴=；……………………2分 （2）①图形如图所示： ……………………3分②结论：DFC ∆是等边三角形．……………………4分理由：延长AE 到R ，使得ER AE =，连接BR ，RF ，DR ． ⊥DE AR ．AE ER =，DR DA ∴=，∠DAE =60°，ADR ∴∆是等边三角形，60ADR DRA ∴∠=∠=︒，=AE RE ，AEB REF ∠=∠，EB EF =，()AEB REF SAS ∴∆≅∆， ……………………5分 AB RF ∴=，60EAB ERF ∠=∠=︒，AB = AC ，RF AC ∴=，∠DRF =∠DAC =120°，RD AD =，()RFD ACD SAS ∴∆≅∆，DF DC ∴=，RDF ADC ∠=∠，60FDC RDA ∴∠=∠=︒，DFC ∴∆是等边三角形． ……………………7分28.解：（1）1C ，2C ；……………………2分 （2）做辅助线如图，可求证()A EC BDA AAS ''≅∆设(,2)A m m +，则(,2)A m m '−+，其中0m >，BD OG EF m ∴===，2A G m '=+，224CE A D m m ∴='=++=+，A E BD m '==，24FO EG A G A E m m m ∴=='+'=++=+，44CF EC EF m m ∴=−=+−=．(4,4)C m ∴+，424m ∴+=+，解得：2m =，(2,4)A ∴； ……………………4分（3）t 的取值范围为53−≤≤t ． ……………………7分。