高等数学A(习题精讲) - 深圳大学数学与计算科学学院

深圳大学高等数学A2慕课答案1、3．中国是最早采用正负数表示相反意义的量，并进行负数运算的国家．若零上10℃记作+10℃，则零下10℃可记作（）[单选题] *A．10℃B．0℃C.-10 ℃(正确答案)D．-20℃2、38．如果m2+m＝5，那么代数式m（m﹣2）+（m+2）2的值为（）[单选题] * A．14(正确答案)B．9C．﹣1D．﹣63、33．若x2﹣6x+k是完全平方式，则k的值是（）[单选题] *A．±9B．9(正确答案)C．±12D．124、下列说法正确的是[单选题] *A.一个数前面加上“-”号，这个数就是负数B.零既不是正数也不是负数(正确答案)C.零既是正数也是负数D.若a是正数，则-a不一定是负数5、48．如图，M是AG的中点，B是AG上一点．分别以AB、BG为边，作正方形ABCD和正方形BGFE，连接MD和MF．设AB＝a，BG＝b，且a+b＝10，ab＝8，则图中阴影部分的面积为（）[单选题] *A．46B．59(正确答案)C．64D．816、49、如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠ABC＝50°，若△EDC≌△ABC，且A，C，D在同一条直线上，则∠BCE＝（）[单选题] *A．20°(正确答案)B．30°C．40°D．50°7、8．如图，在数轴上表示的点可能是（）[单选题] *A．点PB．点Q(正确答案)C．点MD．点N8、f（x）=-2x+5在x=1处的函数值为（）[单选题] *A、-3B、-4C、5D、3(正确答案)9、40．若x+y＝2，xy＝﹣1，则（1﹣2x）（1﹣2y）的值是（）[单选题] * A．﹣7(正确答案)B．﹣3C．1D．910、x3??(m为正整数)可写成( ) [单选题] *A. x3＋x?B. x3－x?C. x3·x?(正确答案)D. x3?11、3．(2020·新高考Ⅰ，1,5分)设集合A={x|1≤x≤3}，B={x|2<x<4}，则A∪B=( ) [单选题] * A．{x|2<x≤3}B．{x|2≤x≤3}C．{x|1≤x<4}(正确答案)D．{x|1<x<4}12、已知2x=8,2y=4,则2x+y=（）[单选题] *A 、32(正确答案)B 、33C、16D、413、5.下列结论不正确的是[单选题] *A.若a > 0，b > 0，则a + b > 0B.若a < 0，b < 0，则a + b < 0C.若a > 0，b < 0，且|a| > |b|，则a + b > 0D.若a < 0，b > 0，且|a| > |b|，则a + b > 0(正确答案)14、48、如图，△ABC≌△AED，连接BE．若∠ABC＝15°，∠D＝135°，∠EAC＝24°，则∠BEA的度数为（）[单选题] *A．54°B．63°(正确答案)C．64°D．68°15、直线2x+y+m=0和x+2y+n=0的位置关系是（）[单选题] *A、平行B、平行C、相交但不垂直(正确答案)D、不能确定16、30°角是（）[单选题] *A、第一象限(正确答案)B、第一象限C、第三象限D、第四象限17、15．已知命题p:“?x∈R，ex－x－1≤0”，则?p为（）[单选题] *A．?x∈R，ex－x－1≥0B．?x∈R，ex－x－1>0C．?x∈R，ex－x－1>0(正确答案)D．?x∈R，ex－x－1≥018、下列函数中奇函数是（）[单选题] *A、y=2sin x(正确答案)B、y=3sin xC、y=2D、y=19、19．如果温度上升1℃记作℃，那么温度下降5℃，应记作（）[单选题] *A.+5℃B.-5℃(正确答案)C.+6℃D.-6℃20、18．下列各对数中，互为相反数的是（）[单选题] *A．﹣（+1）和+（﹣1）B．﹣（﹣1）和+（﹣1）(正确答案)C．﹣（+1）和﹣1D．+（﹣1）和﹣121、3．下列说法：①有理数中，0的意义仅表示没有；②整数包括正整数和负整数；③正数和负数统称有理数；④0是最小的整数；⑤负分数是有理数．其中正确的个数（）[单选题] *A．1个(正确答案)B．2个C．3个D．5个22、10．(2020·北京，1,4分)已知集合A={－1,0,1,2}，B={x|0<x<3}，则A∩B=( ) [单选题] * A．{－1,0,1}B．{0,1}C．{－1,1,2}D．{1,2}(正确答案)23、12．下列说法正确的是（）[单选题] *A．一个数前面加上“–”号这个数就是负数B．非负数就是正数C．0既不是正数，也不是负数(正确答案)D．正数和负数统称为有理数24、12.下列方程中，是一元二次方程的为（）[单选题] *A. x2+3xy=4B. x+y=5C. x2=6(正确答案)D. 2x+3=025、10. 如图所示，小明周末到外婆家，走到十字路口处，记不清哪条路通往外婆家，那么他一次选对路的概率是(? ? ?)．[单选题] *A．1/2B．1/3(正确答案)C．1/4D．126、13．设x∈R，则“x3（x的立方）>8”是“|x|>2”的( ) [单选题] *A．充分而不必要条件(正确答案)B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件27、260°是第（）象限角？[单选题] *第一象限第二象限第三象限(正确答案)第四象限28、30、等腰三角形ABC中,AB=2BC,且BC=12,则△ABC的周长为( ). [单选题]A. 48B. 60(正确答案)C. 48或60D. 3629、-120°用弧度制表示为（）[单选题] *-2π/3(正确答案)2π/3-π/3-2π/530、两个有理数相加，如果和小于每一个加数，那么[单选题] *A.这两个加数同为负数(正确答案)B.这两个加数同为正数C.这两个加数中有一个负数，一个正数D.这两个加数中有一个为零。

专业课原理概述部分一、选择题（每题1分，共5分）1. 微分学的中心概念是（）A. 极限B. 导数C. 微分D. 积分2. 函数f(x)在x=a处可导，那么f'(a)等于（）A. f(a)的值B. f(x)在x=a处的斜率C. f(a)的极限D. f(a)的平均变化率3.下列函数中，奇函数是（）A. f(x) = x²B. f(x) = x³C. f(x) = cos(x)D. f(x) = e^x4. 不定积分∫(1/x)dx的结果是（）A. ln|x| + CB. x + CC. 1/x + CD. e^x + C5. 多元函数f(x, y)的偏导数f_x表示（）A. 仅对x求导B. 对x和y同时求导C. x和y的乘积求导D. f对x的积分二、判断题（每题1分，共5分）1. 极限存在的充分必要条件是左极限和右极限相等。

（）2. 一切初等函数在其定义域内都可导。

（）3. 若函数f(x)在区间[a, b]上单调增加，则f'(x)≥0。

（）4. 二重积分可以转化为累次积分。

（）5. 泰勒公式是麦克劳林公式的推广。

（）三、填空题（每题1分，共5分）1. 函数f(x)在点x=a处的极限为______，记作______。

2. 若f(x) = 3x² 5x + 2，则f'(x) =______。

3. 不定积分∫sin(x)dx的结果是______。

4. 二重积分∬D dA表示______的面积。

5. 泰勒公式中，f(n)(a)表示______。

四、简答题（每题2分，共10分）1. 简述导数的定义。

2. 解释什么是函数的极值。

3. 简述定积分的基本思想。

4. 举例说明如何应用微分方程解决实际问题。

5. 简述多元函数求导的基本法则。

五、应用题（每题2分，共10分）1. 求函数f(x) = x²e^x的导数。

2. 计算定积分∫(从0到π) sin(x)dx。

大学数学A （1）课后复习题第一章一、选择题1.下列各组函数中相等的是. …….. ……..…………………………………………………………………………………….（ ） A .2ln )(,ln 2)(x x g x x f ==B .0)(,1)(x x g x f ==C .1)(,11)(2-=-⋅+=x x g x x x f D .2)(|,|)(x x g x x f ==2.下列函数中为奇函数的是. ……. …….. …………………………………………………………………………………….（ ）. A .)1ln()(2++=x x x f B .||)(x e x f = C .x x f cos )(= D .1sin )1()(2--=x xx x f3.极限⎪⎭⎫⎝⎛+++∞→22221lim n n n n n 的值为………………………………………………………………………..…….（ ） A ．0 B ．1 C ．21D ．∞ 4.极限xxx x sin lim+∞→的值为.. …….. ……..……………………………………………………………………………...…….（ ）A ．0B ．1C ．2D ．∞5.当0→x 时，下列各项中与 23x 为等价无穷小的是…………………………………………………….（ ）A ．)1(3-xe x B ．x cos 1- C ．x x sin tan - D ．)1ln(x + 6.设12)(-=xx f ，则当0→x 时，有…………………………………………………………………………..…….（ ）. A ．)(x f 与x 是等价无穷小 B ．)(x f 与x 同阶但非等价无穷小 C ．)(x f 是比x 高阶的无穷小 D ．)(x f 是比x 低阶的无穷小7.函数)(x f 在点x 0可导是)(x f 在点x 0连续的____________条件. ………...………………....…..（ ） A .充分不必要 B .必要不充分 C .充要 D .既不充分也不必要8.设函数⎪⎩⎪⎨⎧<≤--<≤≤≤-=01,110,21,2)(2x x x x x x x f ，则下述结论正确的是……………………………………….（ ）A ．在0=x ,1=x 处间断B ．在0=x ,1=x 处连续C ．在0=x 处间断，在1=x 处连续D ．在1=x 处间断，在0=x 处连续 9.极限xx x 10)1(lim -→-的值为.. …….. ……..…………………………………………………………………………………….（ ）A ．1B ．e -C ．e1D ．e 二、填空题10.函数ln y x =的定义域为（用区间表示） . 11. 函数xxy -+=11的定义域为（用区间表示） . 12. 已知x xx f +=1)(，则=))((x f f . 13. 函数x x y 2353+-=的反函数为 .14. =→xx x 1sin lim 20 .15. 当________=α时，αx 与x 2sin 是0→x 时的同阶无穷小.16. 设21)1(lim e kx xx =+→，则=k .17. 设1sin lim0-=→xkxx ，则=k .18. =⎪⎭⎫ ⎝⎛+++∞→11232lim x x x x .9. 设⎪⎩⎪⎨⎧≤+>=0,0,1sin )(2x x a x xx x f 在点0=x 处连续，则=a . 三、解答与证明题20. 求下列数列极限 （1）⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⨯++⨯+⨯∞→)1(1321211lim n n n （2）)12(lim +-+∞→n n n n （3）⎪⎭⎫⎝⎛++++++∞→n n n n n n n n 22221lim （4）n n n nx 10...21lim +++∞→ 21. 求下列函数极限（1）15723lim 2323+++-∞→x x x x x （2）134lim 22++∞→x x x（3）503020)12()23()32(lim ++-∞→x x x x （4）11lim 31--→x x x （5）28lim 32--→x x x （6）)1311(lim 31x x x ---→ （7）)1(lim x x x -++∞→ （8）xx x x ln )1(lim1-→（9）xx x sin ln lim 0→ （10）x xx 3sin 2sin lim 0→（11）30sin tan lim xx x x -→ （12）x x x 10)51(lim -→ 22. 若432lim23=-+-→x ax x x ，求a 的值. 23. 若已知411lim21=-++→x b a x x ，求a,b 值. 24. 当 a 取何值时，函数)(x f 在 x =0 处连续：（1）⎩⎨⎧≥+<=0,0,)(x x a x e x f x . （2）⎪⎩⎪⎨⎧≤+>-+=0),cos(0,11)(x x a x xx x f . 25. 证明（1）方程01423=+-x x 在区间)1,0(内至少有一个根.（2）方程x e x 3=在)1,0(内至少有一个根.第二章一、选择题1、设函数)(x f 在点0x 可导，则=-+→hx f h x f h )()2(lim000( )．（A ） )(0x f '-； (B) )(0x f '； (C) )(20x f '； (D) )(20x f '-． 2、设函数)(x f 是可导函数，且13)1()1(lim-=--→xx f f x ，则曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处切线的斜率是 ……………………………………………( )． (A) 3； (B) 1- ； (C) 13 ； (D) 3-．3、设)()()(x a x x f ϕ-=，其中)(x ϕ在a x =处连续，则)(a f '= ………( )． (A) )(a ϕ ； (B)0； (C)a ； (D))(a a ϕ．4、若0x 为函数)(x f 的极值点，则…………………………………………( )． (A)0)(0='x f ； (B)0)(0≠'x f ； (C)0)(0='x f 或不存在； (D))(0x f '不存在．5、设)0)(1ln(≠+=a ax y ，则y ''= ( )．(A)22)1(ax a +； (B)2)1(ax a +； (C)22)1(ax a +-； (D)2)1(ax a +-． 6、由方程5ln =-y xe y 确定的隐函数)(x y y =的导数=dxdy( )． (A)1-y y xe e ； (B)y y xe e -1； (C)yy e xe -1； (D)y y e xe 1-．7、)2sin sin (lim xx x x x +∞→＝ ……………………………………… ( )．(A)2； (B)1； (C)3； (D)极限不存在．8、设x x y =)0(>x 则='y ( )．(A)x x ； (B) x x x ln ； (C) 1-x x ； (D))1(ln +x x x ．9、曲线x y sin 1+=在点)1,0(处的切线方程是…………………………( )． (A)01=--y x (B)01=+-y x (C)01=++y x (D)01=-+y x 10．下列函数在所给区间满足罗尔定理条件的是……………………( )(A) 2(),[0,3]f x x x =∈ (B) 21(),[1,1]f x x x=∈-(C) (),[1,1]f x x x =∈-(D) ()[0,3]f x x =∈ 二、填空题11、 设x x y 2sin 2+=，则=dy ．12、已知x x y n ln )3(=-，(N n n ∈≥,3)，则)(n y ＝ ．13、已知过曲线24y x =-上点P 的切线平行于直线x y =，则切点P 的坐标为 . 14. 已知2)1(='f ，则=-+-→2)1()(lim31x x f x f x .15. 设x a y =(0>a 且1≠a ),则=)(n y .16. 曲线3)1(-=x y 的拐点是 ． 17.设函数)(x f 在0x 处可导，则xx x f x x f x ∆∆--∆+→∆)()(lim000= ．18.设⎩⎨⎧≥+<=0)(x x a x e x f x ，当a =_____时，)(x f 在x = 0处可导．19.若函数5)(23-+-=x x ax x f 在),(+∞-∞上单调递增，则a 的取值范围为 ．20. 设由参数方程⎩⎨⎧-=-=)cos 1()sin (t a y t t a x (其中0>a )确定的函数为)(x y y =，则=dxdy. 三、解答与证明题21.设e x x e y +=，求y '． 22.求下列函数的二阶导数.(1) 设x e y x sin =，求y ''. (2) 设1arctan1xy x-=+，求y ''23. 求曲线21x y =在点（4，2）处的切线方程和法线方程． 24. 讨论下列函数在点0=x 处的连续性和可导性：（1） 0 0 )1ln()(⎩⎨⎧<≥+=x x x x x f ， （2） 0 tan 01sin )(2⎪⎩⎪⎨⎧≤>=x x x xx x f ． 25. 求由方程ln xy x y x e -=所确定的隐函数y 的导数dxdy． 26. 求极限： （1）]1)1ln(1[lim 0x x x -+→； （2）30sin tan lim xx x x -→； （3）)arctan 2(lim x x x -+∞→π； （4）x x x +→0lim ；（5）)1sin 1(lim 0x x x -→； （6）200sin lim xdt t xx ⎰→． 27. 设函数)(x y y =由参数方程⎩⎨⎧-=+=tt y t x arctan )1ln(2所确定，求22dx yd ．28.求函数()(f x x =-. 29. 求函数32332y x x x =-++的凹凸区间、拐点． 30. 已知点)3,1(为曲线1423+++=bx ax x y 的拐点. (1) 求b a ,的值； (2)求函数1423+++=bx ax x y 的极值. 31. 设11xy x-=+，求()n y 32．设b a <<0，证明：a b ab ba a --<+ln ln 222. 33. 设0,()(0)0,x f x f ≥=连续，0'()x f x >当时,存在且'()f x 单调增加，证明：当0x >时函数()f x x 单调增加.34. 证明：当0>x 时，x x x x<+<+)1ln(1． 35. 证明:当0x >时,有1x x x e xe <-<成立.第三章一、选择题：1．下列凑微分正确的一个是 （ ） A ．)2(sin cos x d xdx = ； B. )11(arctan 2xd xdx += C ．)1(ln x d xdx = D. )1(12x d dx x -=2．若⎰+=,)(c x dx x f 则⎰-dx x f )32(= （ ）A ．2-3x+c ； B. c x +-31； C. x+c ； D. c x +-2)32(213．在以下等式中，正确的一个是 （ ） A ．⎰=')()(x f dx x f B. ⎰=')(])([x f dx x f C ．⎰=)(])([x f dx x f d D. ⎰='')(])([x f dx x f 4. 设x x f 3sin )(='，则⎰dx x f )(是 （ ）A ．cos3x ； B. cos3x+c ； C.c x +-3cos 31； D.2193sin c x c x++- 5. 若,0(),0x x x f x e x ≥⎧=⎨<⎩，则21()d f x x -=⎰（ ）. A. 13e -- B. 13e -+ C. 3e - D. 3e + 6. 下列定积分是负数的是（ ）（A ）dx x ⎰20sin π(B)dx x ⎰20cos π(C)dx x ⎰ππ2sin (D)dx x ⎰ππ2cos7. 若4)12(1=+⎰dx x a，则a = ( )(A) 3 (B) 2 (C) 0 (D) 48.若⎰∞-=31dx e kx ，则k=( ) (A)31 (B)-31(C) 3 (D)-3 9.=+⎰)1(212x dt t t dx d （ ） （A ）x x+12(B) 212-+x x(C) 241x x + (D) 2512x x +10.若,21)(21)(0-=⎰x f dt t f x且1)0(=f ，则=)(x f （ ） (A)2x e (B)x e 21 (C)x e 2 (D)x e 221 二、填空题： 1．x d xdx 3(arcsin ________312=-）.2．⎰=+________________912dx x .3．若⎰+=,3cos )(c x dx x f 则f （x ）= .4. ⎰='____________________)()(22dx x f x xf . 5. F(x ) =dt t x ⎰+223,则=')1(F _________.6. 极限020cos d limxx t t x→⎰= ；7. 23423sin 1x e xdx x x -++⎰= 8．设()f x 连续，(0)1f =，则曲线0()d xy f x x =⎰在()0,0处的切线方程是 ；三、解答题：1、2x dx 2、⎰-+322x x dx3、⎰+dx x x214、422331.1x x dx x ⎛⎫++ ⎪+⎝⎭⎰ 5、cos 2.cos sin xdx x x -⎰6、dx x x ⎰-42 7、⎰-+211xdx8、⎰xdx x arctan 29、1x ⎰10、10d e ex xx-+⎰11、10x ⎰12、22()e d xx x x --+⎰；13．40d 1cos2xx xπ+⎰；14.41x ⎰；15.1d ln x x x+∞⎰16.2203sin d limx x t t x→⎰；17.求曲线xxe y e y -==,及直线1=x 所围成的平面图形的面积.18. 求由曲线)cos 2(2θ+=a r 所围图形的面积19. 由曲线2y x =和2x y =所围成的图形绕y 轴旋转后所得旋转体体积. 20. 计算曲线)3(31x x y -=上相应于31≤≤x 的一段弧的弧长大学数学A （1）复习题参考答案第一章一、选择题1、D2、A3、C4、B5、C6、B7、A8、C9、D二、填空题10、]3,0( 11、)1,1[- 12、x x21+ 13、)23(2353≠-+=x x x y 14、0 15、1 16、2 17、-1 18、e 19、0三、解答与证明题20（1）⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⨯++⨯+⨯∞→)1(1321211lim n n n )1113121211(lim +-++-+-=∞→n n n 1)111(lim =+-=∞→n n . （2）2111211lim12lim )12(lim=+++=+++=+-+∞→∞→∞→nn n n n n n n n n n . （3）因为 1212222222+≤++++++≤+n n n n n n n n n n n n ，而 11lim lim 2222=+=+∞→∞→n n n n n n n ， 所以121lim 222=⎪⎭⎫⎝⎛++++++∞→n n n n n n nn . （4）因为n nn n n nn n n nn 101010...101010...211010=+++<+++<=，110lim 10lim 1==∞→∞→nn nn ，故1010...21lim =+++∞→n n n n n .21（1）15723lim2323+++-∞→x x x x x 33115723lim x xx x x +++-=∞→53=.（2）331341lim 134lim 2222=++=++∞→∞→xx x x x x . （3）503020)12()23()32(lim ++-∞→x x x x 503020122332lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∞→x x x x 503020)02()03()02(++-=3023⎪⎭⎫⎝⎛=. （4）11lim31--→x x x 1)1)(1(lim333231-++-=→x x x x x 3)1(lim 3321=++=→x x x .（5）12)42(lim 28lim2232=++=--→→x x x x x x . （6）112lim 131lim )1311(lim 2132131-=+++-=--++=---→→→xx x x x x x x x x x . （7）)1(lim x x x -++∞→011lim=++=+∞→xx x .（8）11)1(lim ln )1(lim11=--=-→→x x x x x x x x .（9）0sin lim ln sin lnlim 00==→→xxx x x x . （10）x xx 3sin 2sin lim0→3232lim 32lim 00===→→x x x x . （11）30sin tan limx x x x -→30)cos 1(tan lim x x x x -⋅=→3202lim x x x x ⋅=→21=. （12）xx x 1)51(lim -→ xt 51-== tt t 511lim -∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛+511lim -∞→⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=t t t 5-=e .22 解 由题意知 0)2(lim 23=+-→a x x x ，即06232=+⨯-a ，从而3-=a .23 解 因1→x 时, 012→-x , 而函数极限存在, 则)1(0→→++x b a x即 0lim 1=++→b a x x从而01=++b a （1）故原式=)1)(1)(1(1lim 11lim121a a x x x x x a a x x x ++++--=-+-+→→ aa a x x x +=++++=→141)1)(1(1lim1即41141=+a（2） 由（1）（2）解得1,0-==b a .24 解 （1）因为 a x a x f x x =+=++→→)(lim )(lim 0，1lim )(lim 0==--→→x x x e x f ，而 ,)0(a f = 故要使 )(lim 0x f x -→)(lim 0x f x +→=)0(f =，须且只须 1=a .所以当且仅当1=a 时，函数)(x f 在0=x 处连续．（2）因为 21111lim 11lim )(lim 00=++=-+=+++→→→x xx x f x x x ， a x a x f x x cos )cos(lim )(lim 00=+=--→→，而 ,cos )0(a f = 故要使 )(lim 0x f x -→)(lim 0x f x +→=)0(f =， 须且只须 21cos =a ，即32ππ±=k a )(Z k ∈. 所以当且仅当32ππ±=k a )(Z k ∈时，函数)(x f 在0=x 处连续．25 证 （1）令14)(23+-=x x x f ，则)(x f 在[0,1]上连续， 且,02)1(,01)0(<-=>=f f由零点定理知，),1,0(∈∃ξ使,0)(=ξf 即01423=+-ξξ，所以方程01423=+-x x 在(0,1)内至少有一个根.（2）设x e x f x3)(-=，则)(x f 在]1,0[上连续，且03)1(,01)0(<-=>=e f f ，故由零点定理知方程在)1,0(内至少有一个根.第二章一、选择题1、C2、D3、A4、C5、C6、B7、A8、D9、B 10、D 二、填空题11、dx x x )2cos 2(2+ 12、21x -13、)415,21(- 14、1215、n x a a )(ln 16、(1,0) 17、)(20x f ' 18、1． 19、),31(+∞ 20、t tcos 1sin -.三、解答与证明题21、解：1-+='e x ex e y ．22、解：(1)(sin cos )xy e x x '=+，(sin cos )(cos sin )2cos x x x y e x x e x x e x ''=++-=．(2) 2111111x y x x x '-⎛⎫'=⎪+⎝⎭-⎛⎫+ ⎪+⎝⎭()()2222(1)1(1)(1)(1)1x x x x x x -+--+=⋅+++- 22212(1)(1)x x --==++()1211y x -'⎡⎤''=-+⎢⎥⎣⎦()()22222121x x x x -=+⋅=+23、解：2121-='x y ，所以4121)4(421=='=-x x y ， 所以切线方程为)4(412-=-x y ，法线方程为)4(42--=-x y ． 24、解：（1）因为0)(lim 0=+→x f x ，0)(lim 0=-→x f x ，所以，0)(lim 0=→x f x ．且0)0(=f ，因此，函数在0=x 处连续．10lim 0)0()(lim )0(00'=--=--=++→→+x x x f x f f x x ，10)1ln(lim 0)0()(lim )0(00'=--+=--=+-→→-x x x f x f f x x ，所以函数在0=x 处可导． （2）因为0)(lim 0=+→x f x ，0)(lim 0=-→x f x ，所以，0)(lim 0=→x f x ．且0)0(=f ，因此，函数在0=x 处连续．01sin lim 001sinlim 0)0()(lim )0(0200'==--=--=+++→→→+xx x x x x f x f f x x x ， 10tan lim 0)0()(lim )0(00'=--=--=--→→-x x x f x f f x x ，所以函数在0=x 处不可导．25、解：两边同时对x 求导得，11ln ()xy y x y e y xy x ''--=+，所以，1ln xyxy yye x y x xe--'=+． 26、解：（1）原式＝)1ln()1ln(limx x x x x ++-→＝20)1ln(lim xx x x +-→＝xx x 2111lim 0+-→＝)1(21lim 0x x +→＝21．（2）30sin tan lim x x x x -→=30)1cos 1(sin lim xx x x -→=x x x x x cos )cos 1(sin lim 30⋅-→121lim 320⋅⋅=→x x x x =21． （3）)arctan 2(lim x x x -+∞→πx x x 1)arctan 2(lim -=+∞→π22111limxx x -+-=+∞→11lim 22=+=+∞→x x x .（4）xx x +→0lim =xx xx x x eeln lim ln 00lim +→+=→，0ln lim 0=+→x x x ，所以原极限10=e ．（5）)1sin 1(lim 0x x x -→ x x x x x sin sin lim 0-=→20sin lim xx x x -=→x x x 2cos 1lim 0-=→2sin lim 0x x →=0=． （6）2sin lim x dt t x x ⎰→=x x x 2sin lim 0→=21．27、解：22111221dy dy t dt t dx t dx dt t -+===+, 22221()12241d dy d y t dt dx dx t dx t dt t +===+.28、解：函数定义域为),(+∞-∞.'()f x =，令'()0f x =，得驻点1=x ，1x =-为不可导点.由上表可以看出，函数在),1(),1,(+∞--∞上单调上升,函数在(1,1)-上单调下降；函数在1-=x 处取得极大值0)1(=-f ，在1=x 处取得极小值343)1(-=f ， 29、解：函数定义域为),(+∞-∞.2363y x x '=-+,666(1)y x x ''=-=-， 令0y ''=,得x =1.当1x >时，0y ''>；当1x <时，0y ''<，所以函数的拐点为（1，3），在（-∞，1）上是凸的；在（1，+∞）上是凹的． 30、解：(1)b ax x y ++='232,a x y 26+=''.由条件，有⎩⎨⎧+=+++=ab a 2601413，解得9,3-=-=b a .(2)149323+--=x x x y ，函数定义域为),(+∞-∞.)3)(1(3963)(2-+=--='x x x x x f ，)1(666)(-=-=''x x x f .令0)(='x f ，得稳定点 11-=x ，32=x . 又012)1(<-=-''f ，012)3(>=''f故149323+--=x x x y 在点1-=x 处取极大值，极大值为19)1(=-f ， 在点3=x 处取极小值，极小值为13)3(-=f .31. 解：122111x y x x--+==-+++()2121(1)y x '=-+，()()()312121y x ''=--+ ()()()41212(3)1y x '''=---+…… ()n y()()1121!1nn n x +=-+32. 证明：令x x f ln )(=， 则)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导.所以由Lagrange 中值定理知，),(b a ∈∃ξ，使)()()(ξf ab a f b f '=--，即ξ1ln ln =--a b a b .又由),(b a ∈ξ，故22211ba ab +>>ξ.. 即222ln ln ba aa b a b +>--. 33. 证明：1）令()(0)f x F x x x=>()2'()()(2)'()xf x f x F x x-=2(0)0'()[()(0)]f xf x f x f x =-- 2'()'()(0)xf x xf x xξξ-<<微分中值定理 '()'()f x f xξ-=当0x >时，'()f x 单调增加 ∴'()'(),'()'()0f f x f x f ξξ<->即故有()'()0.(0,)f x F x x>+∞即在单调增加 34. 证明：令)1ln()(u u f +=，则)(u f 在],0[x 上满足Lagrange 中值定理条件，故),0(x ∈∃ξ，使)0)(()0()(-'=-x f f x f ξ，即)0(11)01ln()1ln(-+=+-+x x ξ，即ξ+=+1)1ln(x x . 又由),0(x ∈ξ，故x xx x <+<+ξ11，即x x xx <+<+)1ln(1. 35. 证明：令()[],0,t f t e t x =∈,()t f t e =在[]0,x 应用拉格朗日中值定理 ()00,0x e e e x x ξ-=-<ξ<x e 是单调增函数，0x e e e ξ∴<<，故有1xxx e xe <-<,0x > 证毕第三章一、选择题1-5 DCBDA 6-10 CBCDC 二、填空题 1．3 2． 11arctan 33x C + 3. -3sin3x 4． 221()+C 4f x5． -2 6． -1 7． 0 8．y x =三、解答题1. 572222=557x dx x dx dx x x C --=-+⎰⎰2.2111=23(3)(1)41311ln ||43dx dx dx dx x x x x x x x Cx ⎛⎫=- ⎪+-+--+⎝⎭-=++⎰⎰⎰⎰3. 22221(1)1=ln |1|+C 1212x d x dx x x x +=+++⎰⎰ 4. 42232233113arctan .11x x dx x dx x x C x x ⎛⎫++⎛⎫=+=++ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎰⎰5.22cos 2cos sin (cos sin )sin cos .cos sin cos sin x x x dx dx x x dx x x C x x x x-==+=-+--⎰⎰⎰ 6.dx x x ⎰-42=c xx +--)2arccos 24(tan 227.⎰-+211xdx =cxx x +-+-211arcsin8.⎰xdx x arctan 2=c x x x x +++-)1ln(6161arctan 312239．令t x tan =，则1x ⎰=3344111cos d ln sin 21cos t t t t ππππ-=+⎰=10. 10d e e x x x -+⎰=112200e 1d de e 1e 1x x x x x =++⎰⎰1arctan(e )arctan e 4xπ==-11.10x ⎰=102⎰2121216π===⎰12. 22()e d xx x x --+⎰=22220002e d 2de 2e2e d xxx x x x x x x ----=-=-+⎰⎰⎰262e =-13.40d 1cos2x x x π+⎰=442001d d tan 2cos 2x x x x x ππ=⎰⎰ 444000111ln 2tan tan d lncos 228284x x x x x πππππ=-=+=-⎰14. 41x⎰412ln x =⎰4112x x ⎤=-⎥⎦⎰124ln 2x ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎰ 14218ln 22d x x -=-⎰8ln24=-15. ee 11d d(ln )ln(ln )ln ln e x x x x xx +∞+∞+∞===+∞⎰⎰ 16. 22220322000sin d 2sin 22(2)8=333lim lim lim x x x x t t x x x x x →→→==⎰17.如图所示，解方程组xxy e y e -⎧=⎨=⎩，得交点(0,1)，所求面积为11100()d []2x x x x A e e x e e e e---=-=+=+-⎰18.解：∵1D ：⎩⎨⎧+<<<<)cos 2(200θπθa r∴12220141122[2(2cos3)]4[4(sin 3sin 6)1823212D D S S a d a a ππθθπθθθπ==+=+++=⎰19. 思路： 该平面图形绕y 轴旋转而成体积V 可看作1D ：⎩⎨⎧≤≤≤≤yx y 010绕y 轴旋转而成的体积1V ，减去2D ：⎩⎨⎧≤≤≤≤2010y x y 绕y 轴旋转而成的立体体积2V 所得，见图解： πππ103)()(102221021=-=-=⎰⎰dy y dy y V V V20.解：12y '==， ∴3432322(21)214)1(113123313122-=+=+=-+='+=⎰⎰⎰x x dx x x dx x x dx y s ba。

高等数学B （1）22试卷解答及评分标准一、选择与填空题（每题3分，共18分）.1．处连续的在点存在是极限0)()(lim 0x x f x f xx →( A ) ;;;A B C D ．必要条件 ．充分条件．充分必要条件 ．既非必要又非充分条件．2．高阶的无穷小量是时，比当x x 0→( D )sin 2 ln(1)(sin )A x B x C D x x x ++．；　．；．．3．(),( D ).f x 设可导且下列各极限均存在则成立000000000000000()(). lim()(2)(). lim ()()(). lim ()()(). lim ()x h x x x f x x f x x A f x xf x h f x B f x hf x f x C f x xf x x f x D f x x ∆→→→∆→+∆--∆'=∆+-'=-'=-+∆--'=-∆4．曲线12+=x x y 铅垂渐近线是_x=-1________。

5．若()sin ,f x dx x x c =+⎰则_sin cos x x x +_____。

6．()()f x dx F x c =+⎰若，则()d x x e f e x =⎰_____()x F e c + ___。

1． A 3分 4． X=-1 3分 2． D 3分 5． sin cos x x x + 3分 3． D 3分 6. ()x F e c + 3分二、计算下列各题：（每题6分，共48分）1．n →∞2. xx x 210)1(lim -→求函数极限n =分) 1112200lim(1)lim (1)xxx x x x --→→⎡⎤-=-⎢⎥⎣⎦(3分)=0n = (6分) =12e - (6分)3. 00(ln )lim ln lim1()x x x x x x ++→→'=' (2分) 4. )x 1(ln y 2+= 求dy=021l i m 1x x x+→- (4分) dx y dy '= （2分）=0lim ()0x x +→-= (6分) =dx x12x2+ （6分）5. 2()(),()f x f x y f x e y '=+设可导求 的导数6. 3 sin()0,'.x xy y y π+-=求2()[()][f x y f x e '''=+](3分) 3: + sin()0 x xy y x π-=解两边同时对求导 =()2()()()f x f x f x e f x ''⋅+⋅ (6分 ) 23cos()0x y xy y y ππ''++-⋅= (4分)23'cos()x yy y xππ+=-（6分）7. 211xdx x ++⎰； 8. arctan d .x x ⎰ 22111x dx dx x x =+++⎰⎰ (2分) =arctan arctan x x xd x -⎰ (3分) =()2211arctan 121x d x x +++⎰ (4分) =21arctan ln(1)2x x x c -++ (6分) =()21arctan ln 12x x c +++ (6分)三、设⎩⎨⎧≥-+<+=1)1sin(11 )(x x x a x x f ，讨论当a 取何值时)(x f 在1=x 处连续。

《高等数学A （二）》教学大纲一、课程基本情况课程基本情况课程中文名称课程中文名称：：高等数学A （二） 课程英文名称课程英文名称：：Advanced Mathematics A (II) 课程代码课程代码：：GG31002 学分/学时学时：： 4/102 开课学期开课学期：：第二学期课程类別课程类別：：必修；1年级；公共基础 适用专业适用专业：：理工科（非数学类） 先修课程先修课程：：高等数学A （一） 后修课程后修课程：：高等数学A （三）开课单位开课单位：：数学科学学院大学数学教学中心二、课程教学大纲课程教学大纲（一）课程性质与教学目标1. 课程性质课程性质：：《高等数学A(二)》是理工科（非数学）专业必修的公共基础课程，为后续学习其他专业课程提供数学基础知识和工具．2. 教学目标教学目标：：通过《高等数学A(二)》课程的学习，使学生掌握多变量微积分学的基础知识，同时培养学生具有抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力、运算能力和自学能力，还要特别注意培养学生具有综合运用所学知识去分析问题和解决问题的能力．（二）教学内容及基本要求教学内容及基本要求：：第9章 空间解析几何 （16学时） §9.1 空间直角坐标系 §9.2 向量代数§9.3 空间的平面与直线§9.4 几种常见的二次曲面本章的重点是单位向量、方向余弦、向量的坐标表达式以及用坐标表达式进行向量运算的方法；平面方程和直线方程及其求法；曲面方程的概念．难点是向量的向量积；利用平面、直线的相互关系解决有关问题；常见二次曲面的画法．本章要求学生掌握向量的运算（线性运算、数量积、向量积）；用坐标表达式进行向量运算的方法，平面方程和直线方程及其求法．会求平面与平面、平面与直线的夹角、直线与直线之间的夹角，并会利用平面、直线的相互关系解决有关问题；会求点到直线及点到平面的距离；会求简单柱面和旋转曲面的方程．本章习题：见配套习题册．第10章多元函数微分学（21学时）§10.1 多元函数的基本概念§10.2 偏导数与全微分§10.3 多元复合函数微分法§10.4 隐函数求导法则§10.5 偏导数在几何上的应用§10.6 多元函数的泰勒公式§10.7 多元函数的极值本章的重点是多元函数的概念；偏导数和全微分的概念；多元复合函数—阶、二阶偏导数的求法；多元函数极值和条件极值的概念．难点是复合函数的高阶偏导数；隐函数的偏导数；求曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线；求条件极值的拉格朗日乘数法．本章要求学生掌握多元复合函数—阶、二阶偏导数的求法；多元函数极值存在的必要条件．会求全微分；方向导数与梯度的计算；多元隐函数的偏导数；会求二元函数极值；会用拉格朗日乘数法求条件极值；会求简单多元函数最值，并会解决一些简单应用问题．本章习题：见配套习题册．第11章重积分（14学时）§11.1 二重积分的概念与性质§11.2 二重积分的计算§11.3 三重积分§11.4 重积分的应用本章的重点是二重、三重积分的概念，直角坐标系、极坐标系下二重积分的计算；直角坐标、柱面坐标、球面坐标下求解三重积分．难点是利用一般的变量代换求解二重、三重积分问题．本章要求学生掌握二重积分（直角坐标、极坐标）的计算方法；并会计算三重积分（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）．本章习题：见配套习题册．第12章曲线积分与曲面积分（24学时）§12.1 第一类曲线积分§12.2 第二类曲线积分§12.3 Green公式§12.4 第一类曲面积分§12.5 第二类曲面积分§12.6 Gauss公式§12.7 Stokes公式§12.8 场论初步本章的重点是两类曲线积分与曲面积分的概念与计算；曲线积分与路径无关；Green公式；Gauss公式．难点是曲面积分的计算；Green公式；Gauss公式；Stokes公式．本章要求学生掌握两类曲线积分的计算方法；掌握格林公式并会应用平面曲线积分与路径无关的条件，会求二元函数全微分的原函数；掌握两类曲面积分的计算方法；用高斯公式计算曲面积分的方法，并会用斯托克斯公式计算曲线积分；会用重积分、曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量（平面图形面积、体积、曲面面积、弧长、质量、形心、转动惯量、引力、功及流量等）．本章习题：见配套习题册．第13章无穷级数（18学时）§13.1 数项级数的概念与性质§13.2 数项级数的收敛判别法§13.3 幂级数§13.4 Fourier级数本章的重点是数项级数的概念与性质，几何级数和p—级数的收敛性，正项收敛的若干判别法，幂级数的收敛区间与收敛域的求法，函数的幂级数展开．难点是任意项级数的收敛性判别，幂级数的和函数，函数的幂级数与傅立叶级数展开．本章要求学生掌握收敛级数的基本性质及收敛的必要条件．几何级数与p-级数收敛与发散的条件，正项级数的比较判别法与比值法，交错级数的莱布尼兹判别法．幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法．掌握e x，sin x，cos x，ln(1+x) 及(1+x) α的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函数间接展开为幂级数．会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些数项级数的和．会将定义在[ -l, l ]上的函数展开为Fourier级数，会将定义在[0, l ]上的函数展开为正弦级数与余弦级数；会写出Fourier级数的和函数的表达式．本章习题：见配套习题册．（三）教学方法教学方法：：以课堂教学为主，习题课与讨论课为辅．（四）考核内容及方式考核方式为闭卷考试，实行教考分离．成绩由平时成绩（30%）和期末考试（70%）两部分组成．平时成绩含考勤、作业、课堂提问、小测验等．（五）教学安排及方式教学安排及方式：：周次学时数教学主要内容教学方式1 6 第9章空间解析几何§9.1-9.2讲授2 6 第9章空间解析几何§9.3 讲授、习题课3 6 第9章空间解析几何§9.4；第10章多元函数微分学§10.1讲授、习题课4 6 第10章多元函数微分学§10.2-§10.3讲授5 6 第10章多元函数微分学§10.4-§10.5讲授6 6 第10章多元函数微分学§10.6-§10.7讲授7 6 第10章多元函数微分学§10.7；第11章重积分§11.1讲授、习题课8 6 第11章重积分§11.2讲授9 6 第11章重积分§11.3-§11.4讲授、习题课10 6 第12章曲线积分与曲面积分§12.1-§12.2讲授11 6 第12章曲线积分与曲面积分§12.3-§12.4讲授12 6 第12章曲线积分与曲面积分§12.5-§12.6讲授13 6 第12章曲线积分与曲面积分§12.6-§12.7讲授、习题课14 6 第12章曲线积分与曲面积分§12.8讲授15 6 第13章无穷级数§13.1-§13.2讲授16 6 第13章无穷级数§13.2-§13.3讲授17 6 第13章 无穷级数 §13.4；总复习讲授、习题课（六）教材与参考资料教材与参考资料：： 1.1.教材教材教材《高等数学（下）》（理工类，第3版），杜先能，孙国正等，安徽大学出版社，2011年． 2.2.参考书目参考书目参考书目（1）《高等数学（下册）》（第7版），同济大学数学系编，高等教育出版社，2014年．（2）《高等数学习题全解指南（下册）》（第7版），同济大学数学系编，高等教育出版社，2014年．数学科学学院大学数学教学中心2015年9月。

专业课原理概述部分一、选择题（每题1分，共5分）1. 微分学的中心概念是（）。

A. 极限B. 导数C. 微分D. 积分A. f(x) = |x|B. f(x) = x^2 + 1C. f(x) = 1/xD. f(x) =√x3. 不定积分∫(1/x)dx的结果是（）。

A. ln|x| + CB. x + CC. x^2/2 + CD. e^x + C4. 多元函数f(x, y) = x^2 + y^2在点(1, 1)处的偏导数f_x'是（）。

A. 0B. 1C. 2D. 35. 线性方程组Ax=b有唯一解的条件是（）。

A. A为满秩矩阵B. A为方阵C. A为可逆矩阵D. A为零矩阵二、判断题（每题1分，共5分）1. 极限存在的充分必要条件是左极限等于右极限。

（）2. 任何连续函数都一定可导。

（）3. 二重积分可以转换为累次积分。

（）4. 拉格朗日中值定理是罗尔定理的推广。

（）5. 两个矩阵的乘积一定是方阵。

（）三、填空题（每题1分，共5分）1. 函数f(x) = e^x在x=0处的导数f'(0)等于______。

2. 若函数f(x)在区间[a, b]上连续，则该函数在该区间上______。

3. 微分方程y'' y = 0的通解是______。

4. 矩阵A的行列式记作______。

5. 向量组线性相关的充分必要条件是______。

四、简答题（每题2分，共10分）1. 请简要说明罗尔定理的内容。

2. 什么是函数的极值？如何求函数的极值？3. 简述泰勒公式的意义。

4. 什么是特征值和特征向量？5. 简述空间解析几何中直线的方程。

五、应用题（每题2分，共10分）1. 计算极限lim(x→0) (sin x)/x。

2. 求函数f(x) = x^3 3x的导数。

3. 计算不定积分∫(cos x)dx。

4. 求解微分方程y' = 2x。

5. 计算二重积分∬D (x^2 + y^2) dxdy，其中D是由x轴，y轴和直线x+y=1围成的区域。

文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持.深圳大学期末考试试卷开/闭卷 闭A/B 卷 A课程编号课程名称高等数学B(1)学分 4命题人(签字) 审题人(签字) 2006 年 12 月10日高等数学B （1）21试卷一.选择与填空题(每题3分，共18分)1.当0x →时，)sinx x (x +与2x 比较是（ ） A . 同阶但不等价无穷小 B . 等价无穷小 C . 高阶无穷小 D . 低阶无穷小2.曲线3x x y 3-=上切线平行于x 轴的点有（ ） A .(0,0) B .(1,2) C .(-1,2) D .(1,-2)3.若c e x dx )x (f -x 2+=⎰ 则=)x (f （ ）。

A . e x x B . x 2e x C . x 2xe D . )x -2x (e 2-x4.求极限3()1lim xx x x →∞+-=______________________。

5.设x e 是)x (f 的原函数，则⎰=dx )x (xf __________。

6.曲线2)1(12--=x x y 的铅垂渐近线是____________。

二.计算题：（每题6分，共48分）1.求极限4x 23x x lim 222x -+-→2.求极限)x1sinx 1(lim 0x -→ 3 .e sin tan x y x x =+ 求dxdy。

4. 设y x e x y +=,y 是x 的函数，求'y ；5.设()e f x y = 求y '' ；6. 322sin , x y x y =设　求d ；7. 求2ln(1)x dx +⎰； 8. 求⎰-dx e x 3x 2；三.设f (x )=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=<01sin 0 (0sin 1x x x x k x x x 常数） 问当k 为何值时，函数在x =0处连续？为什么？（7分）四、ln(1) 01xx x x x<+<>+ 利用拉格朗日中值定理证明不等式对一切成立．（7分） 五. 判定曲线x x e y -=的单调性、极值、凹向及拐点 （10分） 六. 某厂每批生产某种商品x 单位的费用为 2005x )x (C += （元） 得到的收益是201x .010x )x (R -= （元）求:1.生产10个单位时的边际成本和边际收益.2.每批应生产多少单位时才能使利润最大。

《高等数学A(2)》期末复习题一.填空题(每题3分，共24分)1.函数)122ln()arccos(2222-+++=y x y x u 的定义域是2.函数z y x xy z y x u 62332222--++++=在原点沿)1,2,1(=方向的方向导数 为3.过点)1,2,1(-且平行于直线13121-=-=+zy x 的直线方程是 4.设yxe z =，则=∂∂∂yx u25.设}|),{(222R y x y x D ≤+=，则积分⎰⎰=+-D y x dxdy e )(22 . 6.设⎩⎨⎧≤<+≤<--=.0,1,0,1)(2ππx x x x f ， 则其以π2为周期的傅里叶级数在π=x 处收敛于 .7. 已知 2)(=⋅⨯c b a ，则=⋅-⨯+c b a b a)]()[( . 8. 幂级数∑∞=-14)1(n n nnn x 的收敛半径是 .二.单项选择题：(每题3分，共24分) 1.下列各极限都存在,则(0,0)y f 定义为( ).A. x x f y x f x ∆∆+-∆+∆+→∆)0,0()0,0(lim 0B. xf x f x ∆-∆+→∆)0,0()0,0(lim 0 C. x f y x f x ∆-∆+∆+→∆)0,0()0,0(lim 0 D. x f y f x ∆-∆+→∆)0,0()0,0(lim 0 2 .函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处的两个一阶偏导数都连续是函数(,)f x y 在该点处连续的( )条件.A.必要非充分B.充分必要C. 充分非必要D.非充分也非必要 3. 设函数22)(2),(y x y x y x f -+-=的驻点为( ) A. )1,1( B. )1,1(- C. )1,1(- D. )1,1(--4. 函数)cos(y x x z -=，=dz ( ).A. dy y x x dx y x x y x )sin())sin()(cos(-+---B. dy y x x dx y x x y x )sin())sin()(cos(---+-C. dy y x x dx y x x y x )sin())sin()(cos(-+-+-D. dy y x x dx y x x y x )sin())sin()(cos(----- 5. =⎰⎰-dx y x f dy y 21010),(( ).A. dy y x f dx x ⎰⎰-21010),( B.dy y x f dx y ⎰⎰-1010),(2C. dy y x f dx x ⎰⎰-21010),( D.dy y x f dx x ⎰⎰+2101),(6. 设S 表示上半球面0 ,4222≥=++z z y x ，则曲面积分⎰⎰S d σ的几何意义是( )A.上半球体的体积B. z 平面上圆域0 ,422==+z y x 的面积C.上半球面0 ,4222≥=++z z y x 的表面积D. 以上选项都不对 7. 设∑∞=1n n a 是正项级数，则下列结论正确的是( )A. 若0lim=∞→n n na ，则级数 ∑∞=1n na收敛B. 若存在非零常数λ，使得λ=∞→n n na lim ， 则级数∑∞=1n n a 发散 C. 若级数∑∞=1n n a 收敛，则0lim 2=∞→n n a n D. 若级数∑∞=1n n a 发散，则存在非零常数λ，使得λ=∞→n n na lim 8. 微分方程x e x y y y 2444+=+'-''的特解具有形式( ) A. x e Bx A 22+ B. x e Cx B Ax 22++ C. x e Cx Bx Ax 222++ D. x Cxe B Ax 22++三．（8分） 设函数),(y x z 由方程z xy xyz 2)arctan(=+确定，求x z ∂∂，yz∂∂。

09高等数学A（上）习题册《高等数学A》习题册姓名：班级：学号： 1第一章函数与极限第一节映射与函数1、下列各题中，函数f(x)和g(x)是否相同？为什么？(1)f(x)?lgx2,g(x)?2lgx;f(x)?x，g(x)?x2.2、求函数y?3?x?arctan1x 的自然定义域。

3、已知f(x)?11?x，求f[f(x)]的定义域。

4、设f(x)??lgx,x?0?；g(x)??1,x?0?x?1,x?0?，求f[g(x)]。

1,x?05、已知f(x)?3x?5，且f[g(x)]?2x，求g(x)。

第二节数列的极限1、观察一般项xn如下的数列{xn}的变化趋势，判断它们是否存在极限。

如果存在极限，写出它们的极限，如果不存在极限，请写出原因：xn1n?(?1)n x1n?2?n2xn=(?1)n?1 xn?n=sin2(5)xn?n?1n x?1n?nn?1nxn?2?13nxn=(?1)n?1?n《高等数学A》习题册姓名：班级：学号： 2n2、证明数列354n?(?1)2，23，4，5?，的极限是1n3.根据数列极限的定义证明：limn2?9．n??n?1第三节函数的极限1、根据函数极限的定义证明：lim(3x?1)?8.x?32、根据函数极限的定义证明：lim1?x3??2x3?12. x3、求f(x)?xxx,g(x)?x当x?0时的左、右极限，并说明它们在x?0时的极限是否存在。

《高等数学A》习题册姓名：班级：学号： 34、证明：若limf(x)?A，则limf(x)?A，但反之不真。

第五节极限运算法则x?x0x?x0第四节无穷小与无穷大1、两个无穷小的商是否一定是无穷小？举例说明之。

2、求下列极限并说明理：lim5x?10 x??xlim4?x2x?22?x3、函数y?xcosx在内是否有界？这个函数是否为x 时的无穷大？为什么？1、计算下列极限：(1)lim(x?h)2?x2h?0h(2)lim(1?1?11n??24)2n(3)lim1?2?3(n?1)n??n2limxxxxx??《高等数学A》习题册姓名：班级：学号： 4limx2sin1x?0xlimn?3nx??(?2)n?1?3n?17）lim??1?1?x1?22?3??1?n(n?1)?? ?8）lim?xn?3n?n?n???第六节极限存在准则两个重要极限1、计算下列极限： limsin5xx?04xlimx?0cotxlimsinx3x?0(sinx)2lim(1?1x??x)kxlim?x?0?1?x?x?1?x?1、利用极限存在准则证明：limn(1?11)?n??n2??n2?2?n21。

大一高等数学a教材答案详解Chapter 1: Functions and Limits1.1 Introduction to FunctionsIn this chapter, we will explore the concept of functions and their properties. A function is a rule that assigns each element from one set to another set. It is represented by f(x), where x is an element from the domain and f(x) is the output value. Functions can be represented graphically, algebraically, or numerically.1.2 Limits and ContinuityLimits are used to describe the behavior of a function as x approaches a certain value. The limit of a function f(x) as x approaches a can be denoted as limₓ→a f(x). Continuity of a function is determined by the existence of a limit at a certain point and the value of the function at that point.1.3 DifferentiationDifferentiation is the process of finding the derivative of a function. The derivative represents the rate of change of a function at a particular point. It is denoted as f'(x) or dy/dx. The derivative can be used to find the slope of a tangent line, determine critical points, and analyze the behavior of functions.Chapter 2: Derivatives2.1 Basic Rules of DifferentiationIn this chapter, we will discuss the basic rules of differentiation. These rules include the power rule, product rule, quotient rule, and chain rule.These rules allow us to find the derivative of various functions by applying specific formulas and techniques.2.2 Applications of DerivativesDerivatives have various applications in real-life situations. They can be used to find maximum and minimum values, solve optimization problems, determine velocity and acceleration, and analyze growth and decay models. This chapter will address these applications and provide practical examples.2.3 Higher Order DerivativesHigher order derivatives refer to derivatives of derivatives. The second derivative represents the rate of change of the first derivative, while the third derivative represents the rate of change of the second derivative, and so on. Higher order derivatives can provide information about the curvature and concavity of a function.Chapter 3: Integration3.1 Antiderivatives and Indefinite IntegralsAntiderivatives are the opposite of derivatives. They represent the original function whose derivative is equal to a given function. The process of finding antiderivatives is called integration. The indefinite integral represents a family of functions, with the constant of integration accounting for the infinite number of antiderivatives.3.2 Definite IntegralsDefinite integrals are used to calculate the accumulated change of a function over a specific interval. The definite integral of a function f(x) froma tob is denoted as ∫[a, b] f(x) dx. It represents the area under the curve of the function between the limits a and b. This chapter will discuss the properties and techniques of definite integration.3.3 Applications of IntegrationIntegration has various applications, including calculating areas and volumes, solving differential equations, determining average values, and analyzing accumulation problems. These applications will be explored in this chapter, along with practical examples.Chapter 4: Techniques of Integration4.1 Integration by SubstitutionIntegration by substitution is a technique used to simplify integrals by replacing variables or functions. It involves choosing an appropriate substitution and applying the chain rule in reverse. This method can be used to solve complex integrals and make them more manageable.4.2 Integration by PartsIntegration by parts is another integration technique that allows us to find the integral of a product of two functions. It involves choosing one function to differentiate and the other function to integrate. This method is useful for integrating products of functions such as polynomials, exponentials, logarithms, and trigonometric functions.4.3 Trigonometric IntegralsTrigonometric integrals involve integrating functions that contain trigonometric functions like sine, cosine, tangent, secant, etc. These integralscan be solved using trigonometric identities and substitution techniques specific to trigonometric functions.In conclusion, the first-year high school mathematics A textbook provides a comprehensive introduction to functions, limits, derivatives, and integration. It covers the fundamental concepts and techniques necessary for further study in advanced mathematics. By understanding and applying the principles discussed in this textbook, students will acquire a solid foundation in calculus and its applications.。

高等数学A电子教案第一章：函数与极限1.1 函数的概念与性质定义：函数是一种关系，使一个集合（定义域）中的每个元素对应到另一个集合（值域）中的唯一元素。

性质：奇函数、偶函数、单调性、周期性等。

1.2 极限的概念极限的定义：当自变量x趋向于某一值a时，函数f(x)趋向于某一值L，称为f(x)当x趋向于a时的极限，记作lim(x→a)f(x)=L。

极限的性质：保号性、夹逼性、传递性等。

1.3 极限的计算极限的基本法则：1）lim(x→a)c=c2）lim(x→a)(f(x)+g(x))=lim(x→a)f(x)+lim(x→a)g(x)3）lim(x→a)(f(x)g(x))=lim(x→a)f(x)lim(x→a)g(x)（g(x)≠0）4）lim(x→a)(f(g(x)))=lim(x→a)f(g(x))1.4 无穷小与无穷大无穷小的定义：当自变量x趋向于某一值a时，如果存在一个正数M，使得对于任意的正数ε，总存在正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，有|f(x)|<M，则称f(x)为无穷小。

无穷大的定义：当自变量x趋向于某一值a时，如果存在一个正数M，使得对于任意的正数ε，总存在正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，有|f(x)|>M，则称f(x)为无穷大。

第二章：导数与微分2.1 导数的定义导数的定义：函数f(x)在x处的导数，记作f'(x)或df/dx，表示函数在某一点的瞬时变化率。

导数的几何意义：函数图像在某一点的切线斜率。

2.2 导数的计算导数的四则运算法则：1）(cf(x))'=cf'(x)2）((f(x)+g(x)))'=f'(x)+g'(x)3）((f(g(x)))'=f'(g(x))g'(x)4）((cf(x))'=c f'(x)2.3 微分微分的定义：函数f(x)在x处的微分，记作df(x)，表示函数在x处的变化量。