2011年安徽高考理科数学试题及答案

2011年安徽省高考数学试卷(理科)及解析.一、选择题(共10小题，每小题5分，满分50分) 1、(2011•安徽)设i 是虚数单位，复数12aii+﹣为纯虚数，则实数a 为( ) A 、2B 、﹣2C 、12﹣ D 、12考点：复数代数形式的混合运算。

专题：计算题。

分析：复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，化简后它的实部为0，可求实数a 的值． 解答：解：复数12ai i +﹣=(1)(2)(2)(2)ai i i i +++﹣=225a ai i++﹣，它是纯虚数，所以a =2， 故选A点评：本题是基础题，考查复数的代数形式的混合运算，考查计算能力，常考题型． 2、(2011•安徽)双曲线2x 2﹣y 2=8的实轴长是( ) A 、2 B 、22C 、4D 、42考点：双曲线的标准方程。

专题：计算题。

分析：将双曲线方程化为标准方程，求出实轴长． 解答：解：2x 2﹣y 2=8即为 22148x y =﹣ ∴a 2=4 ∴a =2 故实轴长为4 故选C点评：本题考查双曲线的标准方程、由方程求参数值．3、(2011•安徽)设f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，f (x )=2x 2﹣x ，则f (1)=( )A 、﹣3B 、﹣1C 、1D 、3考点：函数奇偶性的性质。

专题：计算题。

分析：要计算f (1)的值，根据f (x )是定义在R 上的奇函娄和，我们可以先计算f (﹣1)的值，再利用奇函数的性质进行求解，当x ≤0时，f (x )=2x 2﹣x ，代入即可得到答案． 解答：解：∵当x ≤0时，f (x )=2x 2﹣x ， ∴f (﹣1)=2(﹣1)2﹣(﹣1)=3， 又∵f (x )是定义在R 上的奇函数 ∴f (1)=﹣f (﹣1)=﹣3 故选A点评：本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，熟练掌握函数的奇偶性的性质是解答本题的关键．4、(2011•安徽)设变量x ，y 满足|x |+|y |≤1，则x +2y 的最大值和最小值分别为( ) A 、1，﹣1 B 、2，﹣2C 、1，﹣2D 、2，﹣1考点：简单线性规划。

2011年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（文科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1至第2页，第Ⅱ卷第3页至第4页。

全卷满分150分，考试时间120分钟。

考生注意事项：1． 答题前，务必在试题卷、答题卡规定填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致。

务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位。

2． 答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

3． 答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上．．．．书写，要求字体工整、笔迹清晰。

作图题可先用铅笔在答题卡．．．规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚。

必须在题号所指示的答题区域作答，超出书写的答案无效．．．．．．．．．，在试题卷．．．．、草稿纸上答题无效．．．．．．．．。

4． 考试结束后，务必将试题卷和答题卡一并上交。

参考公式：1、锥体体积公式：V=13Sh, 其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高。

2、若（x 1，y 1），（x 2，y 2）…，（x n ，y n ）为样本点，ˆy bx a =+为回归直线，则，1122211()()()n niii ii i nniii i x x y y x y nxyb x x xnx ====---==--∑∑∑∑， a y bx =-， 1111, n ni i i i x x y y n n ====∑∑第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）设i 是虚数单位，复数12aii+-为纯虚数，则实数a 为（ ） （A ） 2 （B ） -2 （C ） -12 （D ） 12（2）集合{1,2,3,4,5,6},U ={1,4,5},S ={2,3,4},T =则()U S C T 等于（ ） (A) {1,4,5,6} (B) {1,5} (C) {4} (D) {1,2,3,4,5} (3) 双曲线2228x y -=的实轴长是（ ）（A ）2 (B)（4）若直线30x y a ++=过圆22240x y x y ++-=的圆心，则a 的值为（ ） （A ）-1 （B ） 1 （C ）3 （D ）-3（5）若点(),a b 在lg y x =图像上，1a ≠，则下列点也在此图像上的是（ ） （A ）1, b a ⎛⎫⎪⎝⎭ （B ）()10, 1a b - （C ）10, 1b a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭（D ）2(, 2)a b （6）设变量x ，y 满足110x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则2x y +的最大值和最小值分别为（ ）（A ）1，-1 （B ）2， -2 （C ）1， -2 （D ）2，-1（7）若数列{}n a 的通项公式是(1)(32)n n a n =--,则12a a ++…10a +=（ ） （A ）15 (B)12 （C ）-12 (D) -15（8）一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ） （A ）48 （B ）32+（C ）48+（D ）80（9）从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于（ ） （A ）110 （B ）18 （C ）16 （D ）15（10）函数2()(1)n f x ax x =-在区间[]0,1上的图像如图所示，则n 可能是（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4第 Ⅱ卷 (非选择题 共100分)二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡的相应位置。

数学（理科）参考公式：如果事件A 与B 互斥，那么 锥体积V=13Sh, 其中S 为锥体的底面面积， P(A+B)=P(A)+P(B) h 为锥体的高如果事件A 与B 相互独立，那么P(AB)=P(A)P(B)第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）设i 是虚数单位，复数2i ai i+-为纯虚数，则实数a 为 （A ）2 （B ）-2 （C ）12- （D ）12 （2）双曲线2228x y -=的实轴长是（Ａ）２ （Ｂ） （Ｃ）４ （Ｄ）（３）设()f x 是定义在Ｒ上的奇函数，当0x ≤时，()22f x x x =-，则()1f =（Ａ）－３ （Ｂ）－１ （Ｃ）１ （Ｄ）３（４）设变量,x y 满足1,x y +≤则2x y +的最大值和最小值分别为（Ａ）１，－１ （Ｂ）２，－２ （Ｃ）１，－２ （Ｄ）２，－１ (5) 3π 到圆2cos ρθ= 的圆心的距离为（A ）2 (B) （（6）一个空间几何体得三视图如图所示，则该几何体的表面积为（A ）48（B ）32+8,17（C ）48+8,17（D ）50 (7)命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定．．是 （A ）所有不能被2整除的数都是偶数（B ）所有能被2整除的数都不是偶数（C ）存在一个不能被2整除的数都是偶数（D ）存在一个不能被2整除的数都不是偶数（8）设集合{}1,2,3,4,5,6,A ={}4,5,6,7,B =则满足S A ⊆且S B Z ≠ 的集合S 为（A ）57 （B ）56 （C ）49 （D ）8（9）已知函数()sin(2)f x x φ=+为实数，若()()6f x f π≤对x R ∈恒成立， 且()()2f f ππ>，则()f x 的单调递增区间是 （A ）,()36k k k Z ππππ⎧⎫-+∈⎨⎬⎩⎭ （B ）,()2k k k Z πππ⎧⎫+∈⎨⎬⎩⎭ （C ）2,()63k k k Z ππππ⎧⎫++∈⎨⎬⎩⎭ （D ）,()2k k k Z πππ⎧⎫-∈⎨⎬⎩⎭（10）函数()()1nm f x nx x =-在区间[]0,1上的图像如图所示，则,m n 得知可能是 （A ）1,1m n == (B) 1,2m n ==(C) 2,1m n == (D) 3,1m n ==第Ⅱ卷 （非选择题 共100分）考生注意事项：请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡．．．．上作答，在试题卷上答题无效．．．．．．．．．。

2011年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（文科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1至第2页，第Ⅱ卷第3页至第4页。

全卷满分150分，考试时间120分钟。

考生注意事项：1． 答题前，务必在试题卷、答题卡规定填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致。

务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位。

2． 答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

3． 答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上．．．．书写，要求字体工整、笔迹清晰。

作图题可先用铅笔在答题卡．．．规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚。

必须在题号所指示的答题区域作答，超出书写的答案无效．．．．．．．．．，在试题卷．．．．、草稿纸上答题无效．．．．．．．．。

4． 考试结束后，务必将试题卷和答题卡一并上交。

参考公式：1、锥体体积公式：V=13Sh, 其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高。

2、若（x 1，y 1），（x 2，y 2）…，（x n ，y n ）为样本点，ˆy bx a =+为回归直线，则，1122211()()()n niii ii i nniii i x x y y x y nxyb x x xnx ====---==--∑∑∑∑， a y bx =-， 1111, n ni i i i x x y y n n ====∑∑第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）设i 是虚数单位，复数12aii+-为纯虚数，则实数a 为（ ） （A ） 2 （B ） -2 （C ） -12 （D ） 12（2）集合{1,2,3,4,5,6},U ={1,4,5},S ={2,3,4},T =则()U SC T 等于（ ）(A) {1,4,5,6} (B) {1,5} (C) {4} (D) {1,2,3,4,5} (3) 双曲线2228x y -=的实轴长是（ ）（A ）2 (B) 22 (C)4 (D) 42（4）若直线30x y a ++=过圆22240x y x y ++-=的圆心，则a 的值为（ ） （A ）-1 （B ） 1 （C ）3 （D ）-3（5）若点(),a b 在lg y x =图像上，1a ≠，则下列点也在此图像上的是（ ）（A ）1, b a ⎛⎫⎪⎝⎭（B ）()10, 1a b - （C ）10, 1b a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ （D ）2(, 2)a b（6）设变量x ，y 满足110x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则2x y +的最大值和最小值分别为（ ）（A ）1，-1 （B ）2， -2 （C ）1， -2 （D ）2，-1（7）若数列{}n a 的通项公式是(1)(32)nn a n =--,则12a a ++…10a +=（ ）（A ）15 (B)12 （C ）-12 (D) -15（8）一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ） （A ）48 （B ）32+817 （C ）48+817 （D ）80（9）从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于（ ） （A ）110 （B ）18 （C ）16 （D ）15（10）函数2()(1)nf x ax x =-在区间[]0,1上的图像如图所示，则n 可能是（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4第 Ⅱ卷 (非选择题 共100分)二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡的相应位置。

2011年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）（1）设i 是虚数单位，复数2i aii+-为纯虚数，则实数a 为 （A ）2 （B ）-2 （C ）12- （D ）12（2）双曲线2228x y -=的实轴长是（Ａ）２ （Ｂ） （Ｃ）４ （Ｄ）（3）设()f x 是定义在Ｒ上的奇函数，当0x ≤时，()22f x x x =-，则()1f = （Ａ）－３ （Ｂ）－１ （Ｃ）１ （Ｄ）3 （4）设变量,x y 满足1x y +≤，则2x y +的最大值和最小值分别为（Ａ）１，－１ （Ｂ）２，－２ （Ｃ）１，－２ （Ｄ）２，－１(5) 3π到圆2cos ρθ= 的圆心的距离为（A ）2 (B C （D（6）一个空间几何体得三视图如图所示，则该几何体的表面积为 （A ）48（B ）32+（C ）48+（D ）50(7)命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定是 （A ）所有不能被2整除的数都是偶数 （B ）所有能被2整除的数都不是偶数 （C ）存在一个不能被2整除的数都是偶数 （D ）存在一个不能被2整除的数都不是偶数（8）设集合{1,2,3,4,5,6}A =，{4,5,6,7}B =，则满足S A ⊆，且S B Z ⋂≠的集合S 为 （A ）57 （B ）56 （C ）49 （D ）8（9）已知函数()sin(2)f x x ϕ=+为实数，若()6f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对x R ∈恒成立，且()2f f ππ⎛⎫> ⎪⎝⎭，则()f x 的单调递增区间是（A ）,()36k k k Z ππππ⎧⎫-+∈⎨⎬⎩⎭ （B ）,()2k k k Z πππ⎧⎫+∈⎨⎬⎩⎭（C ）2,()63k k k Z ππππ⎧⎫++∈⎨⎬⎩⎭ （D ）,()2k k k Z πππ⎧⎫-∈⎨⎬⎩⎭（10）函数()()1nm f x nx x =-在区间[0,1]上的图像如图所示，则,m n 得知可能是（A ）1,1m n == (B )1,2m n == (C )2,1m n == (D )3,1m n ==二、填空题：共5小题，每小题5分，共25分（11）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是 （12）设2122101221(1)x a a x a x a x -=++++ ，则1011a a += （13）已知向量a 、b 满足(2)()6a b a b +⋅-=-，且||1a =，||2b =，则a 与b 的夹角为（14）已知ABC ∆ 的一个内角为120，并且三边长构成公差为4的等差数列，则ABC ∆的面积为（15）在平面直角坐标系中，如果x 与y 就称点(,)x y 为整点，下列命题中正确的是 （写出所有正确命题的编号）。

2011年全国高考数学试题（安徽word 版）数学（理科）试题第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选题中，只有一项是符合题目要求的. （1）设i 是虚数单位，复数iai-+21为纯虚数，则实数a 为 (A)2(B) -2 (C) 21-(D)21 （2）双曲线8222=-y x 的实轴长是(A)2(B) 22(C) 4(D) 24（3）设)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0≤x 时，x x x f -=22)(,则=)1(f (A)-3 (B)-1 (C) 1 (D)3 （4）设变量x,y 满足|x|+|y |≤1，则x+2y 的最大值和最小值分别为(A) 1,-1 (B) 2,-2 (C)1,-2 (D)2,-1 （5）在极坐标系中，点)3,2(π到圆θρcos 2=的圆心的距离为(A) 2 (B)942π+(C)912π+(D)3（6）一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为(A)48(B) 17832+(C)17848+(D)80（7）命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定．．是 (A) 所有不能被2整除的整数都是偶数(B) 所有不能被2整除的整数都不是偶数 (C) 存在一个不能被2整除的整数是偶数(D) 存在一个能被2整除的整数不是偶数（8）设集合A={1,2,3,4,5,6},B={4,5,6,7,8}，则满足A S ⊆且φ≠B S 的集合S 的个数是(A)57(B) 56(C) 49(D)8（9）已知函数)2sin()(ϕ+=x x f ，其中ϕ为实数，若|)6(|)(πf x f ≤对R x ∈恒成立，且)()2(ππf f >，则)(x f 的单调递增区间是 (A) )(6,3Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-ππππ(B) )(2,Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+πππ(C) )(32,6Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππ(D) )(,2Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡-πππ （10）函数n m x ax x f )1()(-=在区间[0,1]上的图像如图所示，则m,n 的值可能是(A) m=1,n=1 (B) m=1,n=2 (C) m=2,n=1 (D) m=3,n=1第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

2011年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1至第2页，第Ⅱ卷第3页至第4页。

全卷满分150分，考试时间120分钟。

分钟。

考生注意事项：考生注意事项：1． 答题前，务必在试题卷、答题卡规定填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致。

务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位。

定的地方填写姓名和座位号后两位。

2． 答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

3． 答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上．．．．书写，要求字体工整、笔迹清晰。

作图题可先用铅笔在答题卡．．．规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚。

必须在题号所指示的答题区域作答，超出书写的答案无效．．．．．．．．．，在试．．题卷．．、草稿纸上答题无效．．．．．．．．。

4． 考试结束后，务必将试题卷和答题卡一并上交。

考试结束后，务必将试题卷和答题卡一并上交。

参考公式：参考公式：如果事件A 与B B 互斥，互斥，互斥， 椎体体积椎体体积13V Sh =，其中S 为椎体的底面积，为椎体的底面积， 那么()()()P A B P A P B +=+ h 为椎体的高为椎体的高. . 如果事件A 与B B 相互独立，那么相互独立，那么相互独立，那么()()()P AB P A P B =第Ⅰ卷(选择题 共50分)一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

(1) (1) 设设 i 是虚数单位，复数aii1+2-为纯虚数，则实数a a 为为 （（A ）2 (B) -2 (C) 1-2 (D) 12（1）A 【命题意图】本题考查复数的基本运算，属简单题. 【解析】设()aibi b R i1+Î2-=，则1+(2)2ai bi i b bi =-=+，所以1,2b a ==.故选A. （2） 双曲线x y 222-=8的实轴长是的实轴长是（A ）2 (B)22 (C) 4 (D) 42（2）C 【命题意图】本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的性质.属容易题. 【解析】x y 222-=8可变形为22148x y -=，则24a =，2a =，24a =.故选C. （3） 设()f x 是定义在R 上的奇函数，当x £0时，()f x x x 2=2-，则()f 1= （A ）-3 (B) -1 （Ｃ）１（Ｃ）１（Ｃ）１ （Ｄ）３（Ｄ）３ (3)A 【命题意图】本题考查函数的奇偶性，考查函数值的求法属容易题. 【解析】2(1)(1)[2(1)(1)]3f f =--=----=-.故选A. （４）设变量,x y 满足1,x y +£则2x y +的最大值和最小值分别为的最大值和最小值分别为（Ａ）１，－１（Ａ）１，－１ （Ｂ）２，－２（Ｂ）２，－２ （Ｃ）１，－２（Ｃ）１，－２ （Ｄ）２，－１（Ｄ）２，－１（Ｄ）２，－１ （4）B 【命题意图】本题考查线性规划问题【命题意图】本题考查线性规划问题..属容易题属容易题. . 【解析】不等式1x y +£对应的区域如图所示，对应的区域如图所示，当目标函数过点（0，－1），（0,1）时，分别取最小或最大值，所以2x y +的最大值和最小值分别为2，－，－2.2.2.故选故选B.B. (5) (5) 在极坐标系中，点在极坐标系中，点在极坐标系中，点 (,)p23到圆2cos r q = 的圆心的距离为的圆心的距离为（A ）2 (B) 249p +(C) 219p +（（D) 3(5)D (5)D【命题意图】本题考查极坐标的知识及极坐标与直角坐标的相互转化，考查两点间距离【命题意图】本题考查极坐标的知识及极坐标与直角坐标的相互转化，考查两点间距离【命题意图】本题考查极坐标的知识及极坐标与直角坐标的相互转化，考查两点间距离. .【解析】极坐标(,)p 23化为直角坐标为(2cos ,2sin )33p p ，即(1,3).圆的极坐标方程2cos r q =可化为22cos r r q =，化为直角坐标方程为222x y x +=，即22(1)1x y -+=，所以圆心坐标为（所以圆心坐标为（1,01,01,0）），则由两点间距离公式22(11)(30)3d =-+-=.故选D. (6)一个空间几何体得三视图如图所示，则该几何体的表面积为一个空间几何体得三视图如图所示，则该几何体的表面积为第（8）题图）题图（A ） 48 (B)32+817 (C) 48+817 (D) 80 (6)C 【命题意图】本题考查三视图的识别以及空间多面体表面积的求法. 【解析】由三视图可知几何体是底面是等腰梯形的直棱柱.底面等腰梯形的上底为2，下底为4，高为4，两底面积和为()12244242´+´=，四个侧面的面积为()44221724817++=+，所以几何体的表面积为48817+.故选C.(7)(7)命题“所有能被命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定．．是 （A ）所有不能被2整除的数都是偶数整除的数都是偶数 （B ）所有能被2整除的数都不是偶数整除的数都不是偶数 （C ）存在一个不能被2整除的数是偶数整除的数是偶数（D ）存在一个能被2整除的数不是偶数整除的数不是偶数（7）D 【命题意图】本题考查全称命题的否定【命题意图】本题考查全称命题的否定..属容易题属容易题. . 【解析】把全称量词改为存在量词，并把结果否定【解析】把全称量词改为存在量词，并把结果否定. .（8）设集合{}1,2,3,4,5,6,A ={}4,5,6,7,B =则满足S A Í且SB f ¹的集合S 的个数为（A ）57 57 （（B ）56 56 （（C ）49 49 （（D ）8（8）B 【命题意图】本题考查集合间的基本关系，考查集合的基本运算，考查子集问题，考查组合知识查组合知识..属中等难度题属中等难度题. .【解析】集合A 的所有子集共有6264=个，其中不含4,5,6,7的子集有328=个，所以集合S 共有56个.故选B.（9）已知函数()sin(2)f x x j =+，其中j 为实数，若()()6f x f p£对x R Î恒成立，且()()2f f p p >，则()f x 的单调递增区间是的单调递增区间是（A ）,()36k k k Z p p p péù-+Îêúëû （（B ）,()2k k k Z p p p éù+Îêúëû （C ）2,()63k k k Z p p p p éù++Îêúëû （（D ）,()2k k k Z p p p éù-Îêúëû （9）C 【命题意图】本题考查正弦函数的有界性，考查正弦函数的单调性【命题意图】本题考查正弦函数的有界性，考查正弦函数的单调性..属中等偏难题属中等偏难题. . 【解析】若()()6f x f p £对x R Î恒成立，则()sin()163f p pj =+=，所以,32k k Z ppj p +=+Î，,6k k Z pj p =+Î.由()()2f f pp >，（k Z Î），可知sin()sin(2)p j p j +>+，即s i n 0j<，所以(21),6k k Z p j p =++Î，代入()sin(2)f x x j =+，得()s i n (2)6f x x p =-+，由3222262k x k p ppp p +++剟，得263k x k p pp p ++剟，故选C.(10) 函数()()m n f x ax x =1-g 在区间〔0,1〕上的图像如图所示，则m ，n 的值可能是 （A ）1,1m n == (B) 1,2m n == (C) 2,1m n == (D) 3,1m n ==(10)B 【命题意图】本题考查导数在研究函数单调性中的应用，考查函数图像，考查思维的综合能力.难度大. 【解析】代入验证，当1,2m n ==，()()()f x ax x n x x x 232=1-=-2+g ，则()()f x a x x 2¢=3-4+1，由()()f x a x x 2¢=3-4+1=0可知，121,13x x ==，结合图像可知函数应在10,3æöç÷èø递增，在1,13æöç÷èø递减，即在13x =取得最大值，由()()f a 21111=´1-=3332g ，知a 存在.故选B. 第II 卷（非选择题卷（非选择题 共100分）分）考生注意事项：考生注意事项：请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上作答，在试题卷上答题无效．．．．．．．．．．．．．．．．．. 二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡的相应位置把答案填在答题卡的相应位置..（1111））（1111）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是 . .(11)15【命题意图】本题考查算法框图的识别，考查等差数列前n 项和. 【解析】由算法框图可知(1)1232k k T k +=++++=，若T ＝105，则K ＝14，继续执行循环体，这时k ＝15，T >105，所以输出的k 值为15. （1212）设）设()xa a x a x a x 2122101221-1=+++L ，则，则 .. （12)012)0【命题意图】本题考查二项展开式【命题意图】本题考查二项展开式【命题意图】本题考查二项展开式..难度中等难度中等. . 【解析】101110102121(1)a C C =-=-，111011112121(1)a C C =-=，所以a a C C 111010112121+=-=0.（13）已知向量a ，b 满足（a +2b ）·（a -b ）=－6，且a =，2b =，则a 与b 的夹角为的夹角为 . (13)60°【命题意图】本题考查向量的数量积，考查向量夹角的求法属中等难度的题. 【解析】()()26a b a b +×-=-，则2226a a b b +×-=-，即221226a b +×-´=-，1a b ×=，所以1cos ,2a b a b a b×áñ==×，所以,60a b áñ=. （14）已知ABC D 的一个内角为120o，并且三边长构成公差为4的等差数列，则ABC D 的面积为积为_______________ _______________（14)153【命题意图】本题考查等差数列的概念，考查余弦定理的应用，考查利用公式求三角形面积三角形面积. .【解析】设三角形的三边长分别为4,,4a a a -+，最大角为q ，由余弦定理得222(4)(4)2(4)cos120a a a a a +=+---，则10a =，所以三边长为6,10,14.6,10,14.△△ABC 的面积为1610sin1201532S =´´´=.（15）在平面直角坐标系中，如果x 与y 都是整数，就称点(,)x y 为整点，下列命题中正确的是__________________________（写出所有正确命题的编号）（写出所有正确命题的编号）（写出所有正确命题的编号）. . ①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点 ②如果k 与b 都是无理数，则直线y kx b =+不经过任何整点不经过任何整点 ③直线l 经过无穷多个整点，当且仅当l 经过两个不同的整点经过两个不同的整点④直线y kx b =+经过无穷多个整点的充分必要条件是：k 与b 都是有理数都是有理数 ⑤存在恰经过一个整点的直线⑤存在恰经过一个整点的直线（15)15)①③⑤【命题意图】本题考查直线方程，考查逻辑推理能力①③⑤【命题意图】本题考查直线方程，考查逻辑推理能力难度较大难度较大. .【解析】令12y x =+满足①，故①正确；若2,2k b ==，22y x =+过整点（－（－1,01,01,0）），所以②错误；设y kx =是过原点的直线，若此直线过两个整点1122(,),(,)x y x y ，则有11y kx =，22y kx =，两式相减得1212()y y k x x -=-，则点1212(,)x x y y --也在直线y kx =上，通过这种方法可以得到直线l 经过无穷多个整点，通过上下平移y kx =得对于y kx b =+也成立，所以③正确；k 与b 都是有理数都是有理数,,直线y kx b =+不一定经过整点，④错误；直线2y x =恰过一个整点，⑤正确过一个整点，⑤正确. .三．解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤..解答写在答题卡的制定区域内解答写在答题卡的制定区域内. . （1616））(本小题满分12分)设()1xe f x ax =+*，其中a 为正实数为正实数（Ⅰ）当a 43=时，求()f x 的极值点；的极值点； （Ⅱ）若()f x 为R 上的单调函数，求a 的取值范围。

2011年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（理科）第Ⅰ卷（选择题 共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设i 是虚数单位,复数a 1+2-ii为纯虚数,则实数a 为 ( )A.2B.-2C.1-2D.12【测量目标】复数的基本概念及代数形式的四则运算.【考查方式】给出一个含未知数的复数,令其为纯虚数,运用公式求解. 【难易程度】容易 【参考答案】A 【试题解析】 法一：()()()()()a a a a 1+2+1+2-+2+1==2-2-2+5i i i ii i i 为纯虚数,所以,a a 2-=0=2； 法二：设a b 1+=2-ii i得a b b 1+=+2i i ,所以,b a =1=2； 法三：()a a -1+=2-2-i i i i i为纯虚数,所以a =2； 2.双曲线x y 222-=8的实轴长是( )A.2B.C. 4 【测量目标】双曲线的标准方程.【考查方式】给出一个双曲线方程,求出实轴长. 【难易程度】容易 【参考答案】C【试题解析】双曲线方程可变为x y 22-=148,所以,a a 2=4=2,实轴长a 2=4. 3.设()f x 是定义在R 上的奇函数,当x 0…时,()f x x x 2=2-,则()f 1=( )A.-3B.-1C.1D.3 【测量目标】函数的奇偶性的综合运用.【考查方式】给出在某一区间上一个函数方程，已知函数是奇函数,求解函数值. 【难易程度】容易 【参考答案】A【试题解析】法一:()f x 是定义在R 上的奇函数,且x 0…时, ()f x x x 2=2-()()()()2112113f f ∴=--=--+-=-,故选A.法二:设0x >,则0x -<,()f x 是定义在R 上的奇函数,且x 0…时,()f x x x 2=2-,()()()2222f x x x x x ∴-=---=+,(步骤1)又()()f x f x -=-,()22f x x x ∴=--,()212113f ∴=-⨯-=-,故选A. (步骤2) ４.设变量,x y 满足1,x y +…则2x y +的最大值和最小值分别为( )Ａ.1，－1 Ｂ.2，－2 Ｃ.1，－2 Ｄ.2，－1 【测量目标】二元线性规划求目标函数的最值.【考查方式】给出一个二元不等式，求目标函数的最值. 【难易程度】中等 【参考答案】B【试题解析】 法一：特值验证：当0,1x y ==时，22x y +=,故排除A ，C ；当0,1x y ==-时，22x y +=-,故排除D ，答案为B.法二:画出不等式1,x y +…表示的平面区域，平移目标函数线，易知当直线2x y u +=经过点B ，D 时分别对应u 的最大值和最小值，所以max min 2,2u u ==-.第4题图法三：已知条件是含绝对值的不等式，所以目标函数的最大值和最小值一定互为相反数，易知0,1x y ==时，22x y +=，故选B法四：绝对值不等式表示的区域是以(0,1),(1,0),(0,1),(1,0)--为顶点的正方形，线性规划一定在顶点处取得最优解，带入目标函数计算可得最大值、最小值分别为2,2-. 5.在极坐标系中，点(,)π23到圆2cos ρθ=的圆心的距离为( )A.2 【测量目标】极坐标与参数方程及点到圆心的距离.【考查方式】给出一个点坐标和参数方程，求出点到圆心之间的距离. 【难易程度】容易 【参考答案】D【试题解析】 极坐标(,)π23化为直角坐标：cos cos sin sin x y ρθρθπ⎧==2=1⎪⎪3⎨π⎪==2=⎪3⎩，即圆2cos ρθ=的方程为222x y x +=即22(1)0x y -+=，圆心到点(1故选D. 6.一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积（ ）第6题图A.48B.32+C.48+D.80 【测量目标】由三视图求几何体的表面积.【考查方式】给出三视图及其各边边长，求出其表面积. 【难易程度】中等 【参考答案】C【试题解析】几何体是以侧视图等腰梯形为底面的直四棱柱,所以该几何体的表面积为12(24)44421642S =⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯487=+故选C. 7命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定．．是 ( )A.所有不能被2整除的数都是偶数B.所有能被2整除的数都不是偶数C.存在一个不能被2整除的数都是偶数D.存在一个能被2整除的数不是偶数 【测量目标】含有一个量词的命题的否定.【考查方式】给出含有一个量词的命题，求出其特称命题. 【难易程度】容易 【参考答案】D【试题解析】全称命题的否定是特称命题，“所有”对于“存在一个”，同时否定结论，答案为D. 8.设集合{}1,2,3,4,5,6,A ={}4,5,6,7,8,B =则满足S A ⊆且S B ≠∅ 的集合S 的个数为( ) A.57 B.56 C.49 D.8 【测量目标】集合间的关系及基本运算.【考查方式】给出两个集合与他们之间的集合关系，求出其中一个集合的个数. 【难易程度】容易 【参考答案】B【试题解析】 法一：集合A 的子集有6264=个，满足S B =∅ 的子集就是集合{1,2,3}的所有子集，一共有328=个，所以集合S 的个数为632264856-=-=.法二：集合S 是集合A 的子集且至少含有集合{4,5,6}的一个元素，所以将S 看作集合{4,5,6}的非空子集与集合{1,2,3}的子集的并集，因此一共有33(21)256-⨯=个.9.已知函数()sin(2)f x x ϕ=+，其中ϕ为实数，若π()()6f x f …对x ∈R 恒成立，且π()(π)2f f >，则()f x 的单调递增区间是( )A.ππ[π,π]()36k k k -+∈Z B.π[π,π]()2k k k +∈Z C.π2π[π,π]()63k k k ++∈Z D.π[π,π]()2k k k -∈Z 【测量目标】三角函数的单调性、最值.【考查方式】给出一个三角函数及其最值，求出其单调递增区间. 【难易程度】较难 【参考答案】C【试题解析】对x ∈R 时，π()()6f x f …恒成立，所以ππ()sin()163f ϕ=+=±， 可得π5π2π2π66k k ϕϕ=+=-或，（步骤1） 因为π()sin(π)sin (π)sin(2π)sin 2f f ϕϕϕϕ=+=->=+=，故sin 0ϕ<， 所以5π2π6k ϕ=-，所以5π()sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，（步骤2） 函数单调递增区间为π5ππ2π22π262k x k -+-+剟， 所以π2π[π,π]()63x k k k ∈++∈Z ,答案为C. （步骤3） 10.函数()(1)mnf x ax x =-在区间[0,1]上的图象如图所示，则,m n 的值可能是 ( ) A.1,1m n == B.1,2m n == C.2,1m n == D.3,1m n ==第10题图【测量目标】函数图象的应用.【考查方式】给出一个含未知量的复合函数在某一区间的图象，求出未知量. 【难易程度】较难【参考答案】B【试题解析】由图得，原函数的极大值点小于0.5， 当1,1m n ==时,()21(1)(),24a f x ax x a x =-=--+在12x =处有最值,所以A 不可能；(步骤1) 当1,2m n ==时,232()(1)(2),f x ax x a x x x =-=-+()(31)(1)f x a x x '∴=--， 令()100,,3f x x x '=⇒==即函数在13x =处有最值所以B 可能；(步骤2) 当2,1m n ==时,223()(1)(),f x ax x a x x =-=-有2()(32)(23),f x a x x ax x '=-+=- 令()200,,3f x x x '=⇒==即函数在23x =处有最值,所以C 不可能；(步骤3) 当3,1m n ==时，343()(1)()f x ax x a x x =-=-+,有2()(43)f x ax x '=-+， 令()300,,4f x x x '=⇒==即函数在34x =处有最值,所以D 不可能. (步骤4) 第II 卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡的相应位置. 11.如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是 .第11题图【测量目标】循环结构的程序框图.【考查方式】给出程序框图，阅读并运行程序，得出结果. 【难易程度】中等 【参考答案】15【试题解析】 第1次进入循环体有：00T =+， 第2次有：01T =+，第3次有：012T =++，……第n 次有：012(1)T n =++++- ,（步骤1） 令(1)1052n n T -=>，解得15n >（负值舍去），（步骤2） 故16,n =此时输出15k =.（步骤3） 12.设()x a a x a x a x 2122101221-1=+++L ，则a a 1011+= .【测量目标】二项式定理.【考查方式】给出一个二项式，通过公式展开二项式，求出其中两项系数的和. 【难易程度】容易 【参考答案】0【试题解析】,a a 1011分别是含x 10和x 11项的系数，所以C ,a 111021=-C a 101121=，所以a a 1011+=C C 10112121-=0.13.已知向量,a b 满足()()+2-=-6g a b a b ，且1=a ，2=b ，则a 与b 的夹角为 . 【测量目标】平面向量的夹角问题.【考查方式】给出两个向量之间的关系等式及各自的模长，求出它们之间的夹角. 【难易程度】中等 【参考答案】π3【试题解析】设a 与b 的夹角为θ，依题意有：22(2)()272cos 6θ+-=+-=-+=- a b a b a a b b ，（步骤1） 所以1cos =2θ，（步骤2）因为0πθ剟，故π=3θ.（步骤3） 14.已知ABC △的一个内角为120，并且三边长构成公差为4的等差数列，则ABC △的面积为 .【测量目标】余弦定理及三角形面积.【考查方式】给出一个三角形的内角度数及三边关系，求出三角形的面积. 【难易程度】中等【参考答案】【试题解析】不妨设角120,A c b =<，则4,4a b c b =+=-，于是222(4)(4)1cos1202(4)2b b b b b +--+==--，解得=10b ，所以1=sin1202S bc = .15.在平面直角坐标系中，如果x 与y 都是整数，就称点(,)x y 为整点，下列命题中正确的是 .（写出所有正确命题的编号）.①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点②如果k 与b 都是无理数，则直线y kx b =+不经过任何整点 ③直线l 经过无穷多个整点，当且仅当l 经过两个不同的整点④直线y kx b =+经过无穷多个整点的充分必要条件是：k 与b 都是有理数 ⑤存在恰经过一个整点的直线【测量目标】新定义，直线的性质，命题的判定.【考查方式】给出一个新定义，根据新定义判断给出五个命题的正确性. 【难易程度】较难 【参考答案】①③⑤【试题解析】①正确，如直线12y =+，不经过任何整点（10,2x y ==；0x ≠，y 是无理数）(步骤1)②错误，直线y =k 与b 都是无理数，但直线经过整点（1,0）；(步骤2) ③正确，当直线经过两个整点时，它经过无数多个整点；(步骤3) ④错误，当10,2k b ==时，直线12y =不通过任何整点；(步骤4)⑤正确，比如直线y =只经过一个整点(0,0).(步骤5)三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡的指定区域内.16.（本小题满分12分）设2e ()1xf x ax =+，其中a 为正实数.（Ⅰ）当34=a 时，求)(x f 的极值点； （Ⅱ）若)(x f 为R 上的单调函数，求a 的取值范围【测量目标】导数的运算,利用导数求函数的极值，利用函数的单调性求参数范围. 【考查方式】给出一个含参数函数，（Ⅰ）给出参数的值求极值点，（Ⅱ）给出其单调性，求参数的取值范围.【难易程度】中等【试题解析】对)(x f 求导得22212()e (1)xax axf x ax +-'=+①（步骤1）（Ⅰ）当34=a 时，若0)(='x f ，则03842=+-x x ，解得21,2321==x x （步骤2） 结合①，可知所以，21=x 是极小值点，22=x 是极大值点. （步骤3） （Ⅱ）若)(x f 为R 上的单调函数，则)(x f '在R 上不变号，结合①与条件0a >，知2210ax ax -+…（步骤4）在R 上恒成立，因此2444(1)0a a a a ∆=-=-…，由此并结合0a >，知01a <….（步骤5） 17.（本小题满分12分）如图，ABEDFC 为多面体，平面ABED 与平面ACFD 垂直，点O 在线段AD 上，1,2OA OD ==，,,,OAB OAC ODE ODF △△△△都是正三角形.（Ⅰ）证明直线BC EF ; （Ⅱ）求棱锥F OBED -的体积.第17题图【测量目标】线线平行的判定，棱锥的体积，空间向量及其运算.【考查方式】给出一个多面体，其中两个面互相垂直，有4个正三角形，证明两条直线平行和求解棱锥的体积.【难易程度】较难 【试题解析】（Ⅰ）（综合法）证明：设G 是线段DA 与线段EB 延长线的交点，由于OAB △与ODE△都是正三角形，所以1,2OB DE=2OG OD =，（步骤1） 同理，设G '是线段DA 与线段FC 延长线的交点，有2OG OD '==，又由于G 和G '都在线段DA 的延长线上，所以G 与G '重合. （步骤2）在GED △和GFD △中，由12OB DE 和12OC DF , 12OC DF =,12OB DE =可知,B C 分别是GE 和GF 的中点，所以BC 是GEF △的中位线，故BC EF .（步骤3）（向量法）过点F 作FQ AD ⊥,交AD 于点Q ，连QE ，由平面ABED ⊥平面ADFC ，知FQ ⊥平面ABED ,以Q 为坐标原点，QE 为x 轴正向，QD 为y 轴正向，QF 为z 轴正向，建立如图所示空间直角坐标系.由条件知E )，F （，B （3,022-），C （30,,22-）. （步骤1） 则有)23,0,23(-=，)3,0,3(-=EF .（步骤2） 所以2=，即得BC EF .（步骤3）第17题（Ⅰ）图（Ⅱ）由1,2,60OB OE EOB ==∠= ，知EOB S =（步骤4）而ODE △是边长为2的正三角形，故OED S =所以OBED EOB ODE S S S =+=233.（步骤5） 过点F 作FQ AD ⊥，交AD 于点Q ，由平面ABED ⊥平面ACFD 知，FQ 就是四棱锥F OBED -的高，且FQ =，所以13.32F OBED OBED V FQ S -== （步骤6） 18.（本小题满分13分）在数1和100之间插入n 个实数，使得这2n +个数构成递增的等比数列，将这2n +个数的乘积记作n T ，再令n n T a lg =，1n …. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设1tan tan n n n b a a += ，求数列{}n b 的前n 项和n S .【测量目标】对数和指数的运算，两角差的正切公式，等比和等差数列及其前n 项和. 【考查方式】考查灵活运用基本知识解决问题的能力，创新思维能力和运算求解能力. 【难易程度】较难【试题解析】（Ⅰ）设221,,,+n t t t 构成等比数列，其中100,121==+n t t ，则1212n n n T t t t t ++=①（步骤1）2121n n n T t t t t +⋅+= ②（步骤2）①×②并利用231210,(12)i n i n t t t t in +-+==+ 剟，得)2(2210+=n n T ，lg 2, 1.n n a T n n ∴==+…（步骤3） （Ⅱ）由题意和（Ⅰ）中计算结果，知tan(2)tan(3),1n b n n n =++ …（步骤4） 另一方面，利用tan(1)tan tan1tan((1))1tan(1)tan k kk k k k+-=+-=-+得tan(1)tan tan(1)tan 1tan1k kk k +-+=- （步骤5）所以22133tan(1)tan tan(3)tan 3tan(1)tan (1)tan1tan1nn n n i i i i k k n S b k k n ++===+-+-==+=-=-∑∑∑ （步骤6）19.（本小题满分12分） （Ⅰ）设1,1,x y厖证明111x y xy xy x y++++…； （Ⅱ）设1,a bc <剟证明log log log log log log a b c b c a b c a a b c ++++….【测量目标】基本不等式证明不等式.【考查方式】考查对数函数的性质和对数换底公式, 不等式的性质等基本知识，考查代数式的恒等变形和推理论证能力. 【难易程度】中等【试题解析】证明：（Ⅰ）由于1,1,x y 厖所以111x y xy xy x y++++…（步骤1） 2()1()xy x y y x xy ⇔++++…（步骤2）将上式中的右式减左式，得22(())(()1)(()1)(()())y x xy xy x y xy xy x y x y ++-++=--+-+(1)(1)()(1)(1)(1)(1)(1)(1)xy xy x y xy xy xy x y xy x y =+--+-=---+=--- 既然1,1,x y 厖所以(1)(1)(1)0xy x y ---…，从而所要证明的不等式成立. （步骤3）（Ⅱ）设y c x b b a ==log ,log ，由对数的换底公式得xy c yb x a xy a ac b c ====log ,1log ,1log ,1log （步骤4） 于是，所要证明的不等式即为111x y xy xy x y++++…（步骤5） 其中log 1,log 1a b x b y c==厖，故由（Ⅰ）立知所要证明的不等式成立. （步骤6）20.（本小题满分13分）工作人员需进入核电站完成某项具有高辐射危险的任务，每次只派一个人进去，且每个人只派一次，工作时间不超过10分钟.如果前一个人10分钟内不能完成任务则撤出，再派下一个人，现在一共只有甲、乙、丙三个人可派，他们各自能完成任务的概率分别为123,,P P P ，假设123,,P P P 互不相等，且假定各人能否完成任务的事件相互独立.（Ⅰ）如果按甲最先、乙次之、丙最后的顺序派人，求任务能被完成的概率.若改变三个人被派出的先后顺序，任务能被完成的概率是否发生变化？（Ⅱ）若按某指定顺序派人，这三个人各自能完成任务的概率依次为321,,q q q ，其中321,,q q q 是123,,P P P 的一个排列，求所需派出人员数目X 的分布列和均值（数学期望）EX ；（Ⅲ）假定1231P P P >>>，试分析以怎样的先后顺序派出人员，可使所需派出的人员数目的均值（数学期望）达到最小.【测量目标】随机事件与概率，离散型随机变量的期望.【考查方式】考查相互独立事件的概率计算，考查离散型随机变量及其分布列、均值等基本知识，考查在复杂情境下处理问题的能力以及抽象概括能力、合情推理与演绎推理，分类讨论思想，应用意识与创新意识.【难易程度】较难【试题解析】（Ⅰ）无论以怎样的顺序派出人员，任务不能被完成的概率都是123(1)(1)(1)P P P ---，（步骤1）所以任务能被完成的概率与三个人被派出的先后顺序无关，并等于1231231213231231(1)(1)(1)P P P P P P PP PP P P PP P ----=++---+（步骤2）（Ⅱ）当依次派出的三个人各自完成任务的概率分别为321,,q q q 时，随机变量X 的分布列为所需派出的人员数目的均值（数学期望）EX 是EX =1q +21)1(q q -+)1)(1(21q q --=212123q q q q +--（步骤3）（Ⅲ）（方法一）由（Ⅱ）的结论知，当甲最先、乙次之、丙最后的顺序派人时，EX =212123q q q q +--根据常理，优先派出完成任务概率大的人，可减少所需派出的人员数目的均值.下面证明：对于123,,P P P 的任意排列321,,q q q ，都有121212123232q q q q P P PP --+--+…（＊）（步骤4）事实上， 12121212(32)(32)q q q q P P PP ∆=--+---+（步骤5）112212122()()P q P q PP q q =-+--+1122112122211122112122()()()()(2)()(1)()(1)[()()]0P q P q P q P q P q P P q q P q q P P q q =-+-----=--+---+-+……即（＊）成立. （步骤6）（方法二）（ⅰ）可将（Ⅱ）中所求的EX 改写为12121)(3q q q q q -++-，若交换前两人的派出顺序，则变为22121)(3q q q q q -++-.由此可见，当12q q >时，交换前两人的派出顺序可减少均值. （步骤4）（ⅱ）也可将（Ⅱ）中所求的EX 改写为211)1(23q q q ---，若交换后两人的派出顺序，则变为111)1(23q q q ---.由此可见，若保持第一个派出的人选不变，当12q q <时，交换后两人的派出顺序也可减少均值. （步骤5）综合（ⅰ）（ⅱ）可知，当123(,,)P P P =),,(321q q q 时，EX 达到最小.即完成任务概率大的人优先派出，可减少所需派出人员数目的均值，这一结论是合乎常理的. （步骤6）21.（本小题满分13分）设0>λ，点A 的坐标为（1,1），点B 在抛物线2x y =上运动，点Q 满足λ=，经过点Q 与x 轴垂直的直线交抛物线于点M ，点P 满足λ=，求点P 的轨迹方程.第21题图【测量目标】直线与抛物线的位置关系，圆锥曲线中的轨迹问题.【考查方式】考查直线和抛物线的方程，平面向量的概念，性质与运算，动点的轨迹方程等基本知识，考查灵活运用知识探究问题和解决问题的能力.【难易程度】较难【试题解析】由λ=知,,Q M P 三点在同一条垂直于x 轴的直线上，故可设(),,P x y ()0,,Q x y （步骤1）()2,,M x x 则)(202x y y x -=-λ,即y x y λλ-+=20)1( ①（步骤2）再设),(11y x B ，由QA BQ λ=，即)1,1(),(0101y x y y x x --=--λ，解得110(1),(1)x x y y λλλλ=+-⎧⎨=+-⎩ ②（步骤3）将①式代入②式，消去0y ，得1221(1),(1)(1)x x y x y λλλλλλ=+-⎧⎨=+-+-⎩ ③（步骤4） 又点B 在抛物线2x y =上，所以211x y =，再将③式代入211x y =，得,))1(()1()1(222λλλλλλ-+=-+-+x y x （步骤5） 整理得0)1()1()1(2=+-+-+λλλλλλy x 因0>λ，两边同除以)1(λλ+，得 012=--y x故所求点P 的轨迹方程为12-=x y .（步骤6）。

绝密★启用前2011年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷)理科数学本试卷共21题，共150分。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时请按要求用笔。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、单选题1．设 i 是虚数单位，复数aii1+2−为纯虚数，则实数a 为 （A ）2 (B) −2 (C) 1−2(D) 122．双曲线2228x y −=的实轴长是A ．2B ．C ．4D ．3．设()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≤时，2()2f x x x =−，则(1)f =（ ） A ．3−B ．1−C ．1D ．34．设变量,x y 满足1,x y +≤则2x y +的最大值和最小值分别为（Ａ）１，－１ （Ｂ）２，－２ （Ｃ）１，－２ （Ｄ）２，－１ 5．在极坐标系中，点(2,)3π到圆2cos ρθ=的圆心的距离为A ．2B C D6．一个空间几何体得三视图如图所示，则该几何体的表面积为第（8）题图A ．48B ．32+8C ．48+8D ．807．命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定是 A ．所有不能被2整除的数都是偶数 B ．所有能被2整除的数都不是偶数 C ．存在一个不能被2整除的数是偶数 D ．存在一个能被2整除的数不是偶数8．设集合{}1,2,3,4,5,6,A ={}4,5,6,7,B =则满足S A ⊆且S B ⋂≠∅的集合S 的个数为 A ．57B ．56C ．49D ．89．已知函数()sin(2)f x x ϕ=+，其中ϕ为实数，若()()6f x f π≤对x ∈R 恒成立，且()()2f f ππ>，则()f x 的单调递增区间是 A ．,()36k k k Z ππππ⎡⎤−+∈⎢⎥⎣⎦B ．,()2k k k Z πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦C ．2,()63k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z D ．,()2k k k Z πππ⎡⎤−∈⎢⎥⎣⎦10．函数()()mnf x ax x =1−g 在区间〔0,1〕上的图像如图所示，则m ，n 的值可能是 （A ）1,1m n == (B) 1,2m n ==(C) 2,1m n == (D) 3,1m n ==第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题11．如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果＿＿＿12．设2122101221(1)x a a x a x a x −=+++，则1011a a += .13．已知向量a 、b 满足()()26a b a b +⋅−=−，且1a =，2b =，则a 与b 的夹角为 .14．已知ABC ∆的一个内角为120，并且三边长构成公差为4的等差数列，则ABC ∆的面积为_______________. 15．在平面直角坐标系中，如果x 与y 都是整数，就称点(,)x y 为整点，下列命题中正确的是_____________（写出所有正确命题的编号）①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点 ②如果k 与b 都是无理数，则直线y kx b =+不经过任何整点 ③直线l 经过无穷多个整点，当且仅当l 经过两个不同的整点④直线y kx b =+经过无穷多个整点的充分必要条件是：k 与b 都是有理数三、解答题设()1xe f x ax=+*，其中a 为正实数（Ⅰ）当a 43=时，求()f x 的极值点； （Ⅱ）若()f x 为R 上的单调函数，求a 的取值范围．17．如图，ABCDEFG 为多面体，平面ABED 与平面AGFD 垂直，点O 在线段AD 上，1,2,OA OD ==OAB ,△OAC ，△ODE ，△ODF 都是正三角形 （1）证明直线BC ∥EF ； （2）求棱锥F—OBED 的体积.18．（本小题满分13分）在数1和100之间插入n 个实数，使得这2n +个数构成递增的等比数列，将这2n +个数的乘积记作n T ，再令,lg n n a T =1n ≥.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设1tan tan ,n n n b a a +=求数列{}n b 的前n 项和n S .19．（Ⅰ）设x ≥1，y ≥1，证明x +y 111xy x y+≤++xy ； （Ⅱ）1≤a ≤b ≤c ，证明log a b +log b c +log c a ≤log b a +log c b +log a c ．20．本小题满分13分）工作人员需进入核电站完成某项具有高辐射危险的任务，每次只派一个人进去，且每个人只派一次，工作时间不超过10分钟，如果有一个人10分钟内不能完成任务则撤出，再派下一个人．现在一共只有甲、乙、丙三个人可派，他们各自能完成任务的概率分别123,,p p p 123,,p p p ，假设123,,p p p 互不相等，且假定各人能否完成任务的事件相互独立.（1）如果按甲在先，乙次之，丙最后的顺序派人，求任务能被完成的概率．若改变三个人被派出的先后顺序，任务能被完成的概率是否发生变化？（2）若按某指定顺序派人，这三个人各自能完成任务的概率依次为123,,q q q ，其中123,,q q q 是123,,p p p 的一个排列，求所需派出人员数目X 的分布列和均值（数字期望）EX ；（3）假定1231p p p >>>，试分析以怎样的先后顺序派出人员，可使所需派出的人员数目的均值（数字期望）达到最小． 21．设0λ>，点A 的坐标为（1,1），点B 在抛物线2y x =上运动，点Q 满足BQ QA λ=，经过Q 点与M x 轴垂直的直线交抛物线于点M ，点P 满足QM MP λ=,求点P 的轨迹方程．2011年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷)理科数学 (参考答案)1. A【命题意图】本题考查复数的基本运算，属简单题. 【解析】略 2．C 【解析】试题分析：双曲线方程变形为22148x y −=，所以28b b =∴=2b =考点：双曲线方程及性质 3．A 【解析】考点：函数奇偶性的性质.【答案】（4）B 【命题意图】本题考查线性规划问题.属容易题. 【解析】略 5．D 【解析】由cos 2cos 13sin 2sin 3x y πρθπρθ⎧===⎪⎪⎨⎪===⎪⎩可知，点(2，3π)的直角坐标为(1)，圆ρ＝2cos θ的直角坐标方程为x 2＋y 2＝2x ，即(x －1)2＋y 2＝1，则圆心(1,0)与点(1点睛：解决极坐标和参数方程下的解析几何问题，一般可把极坐标方程为化直角坐标方程，把参数方程化为普通方程，然后利用解析几何知识求解．6．C 【解析】考点：由三视图求面积、体积．分析：由已知中的三视图我们可以得到该几何体是一个底面为等腰梯形的直四棱柱，根据三视图中标识的数据，我们分别求出四棱柱的底面积和侧面积即可得到答案．解：如图所示的三视图是以左视图所示等腰梯形为底的直四棱柱， 其底面上底长为2，下底长为4，高为4， 7．D 【解析】试题分析：命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是“存在一个能被2整除的数不是偶数”．故选D ． 考点：命题的否定． 8．B 【解析】 【分析】 【详解】集合A 的非空子集的个数为62163−=个，集合{}1,2,3的非空子集的个数为3217−=，所以集合S 的个数为63756−=． 9．C 【解析】 【分析】先由三角函数的最值得π2π6k ϕ=+或()7π2π6k k Z ϕ=+∈，再由()()2f f ππ>得()7sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，进而可得单调增区间. 【详解】因为对任意(),6x f x f π⎛⎫∈≤ ⎪⎝⎭R 恒成立，所以sin 163f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+=± ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 则π2π6k ϕ=+或()7π2π6k k Z ϕ=+∈， 当π2π6k ϕ=+时，()sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则()11222f f ππ⎛⎫=−<= ⎪⎝⎭（舍去），当7π2π6k ϕ=+时，()7sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，则()11222f f ππ⎛⎫=>=− ⎪⎝⎭，符合题意，即()7sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 令375222262k x k πππππ+≤+≤+，解得263k x k ππππ−≤≤+，即()f x 的单调递增区间是2,()63k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ；故选C. 【点睛】本题主要考查了三角函数的图像和性质，利用三角函数的性质确定解析式，属于中档题.【答案】(10)B 【命题意图】本题考查导数在研究函数单调性中的应用，考查函数图像，考查思维的综合能力.难度大.【解析】略 11．11【解析】解：由题意可得 a=2,S=2,i=2; a=3/2,S=3,i=3;a=4/3,S=4,i=4;……a=10/9,S=10,i=10, a=11/10,S=11,i=11,输出S=11 12．0 【解析】 【分析】1011,a a 就是21(1)x −展开式中1011,x x 的系数，利用通项公式求解即可.【详解】21(1)x −展开式通项为21121(1)r rr r T C x −+=−，111111102121(1)a C C =⋅−=− 1010101111212121(1)a C C C =⋅−== 所以1111101121210a a C C +=−+=， 故答案为0.【点睛】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式1C rn rr r n T ab −+=；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.13．60° 【解析】 【分析】首先通过展开已知等式得到a 与b 的数量积，然后由数量积公式求夹角． 【详解】因为()()26a b a b +⋅−=−，且1a =，2b =， 展开得2226a b a b −+⋅=−，即1﹣8a b +⋅=−6， 所以a b ⋅=1，所以a 与b 的夹角余弦值为12a ba b ⋅=， 所以a 与b 的夹角为60°； 故答案为60° 【点睛】本题考查了平面向量的运算以及数量积公式的运用；属于基础题．14． 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：设三角形的三边长为a-4,b=a,c=a+4,(a<b<c),根据题意可知三边长构成公差为4的等差数列，可知a+c=2b ,C=1200,，则由余弦定理，c 2= a 2+ b 2-2abcosC ，10a ∴=,∴ 三边长为6,10,14，,b 2= a 2+ c 2-2accosB,即14（a+c ）2=a 2+c 2-2accosB, cosB=1114，sinB=14可知S=11sin 6142214ac B =⨯⨯⨯==. 考点：本试题主要考查了等差数列与解三角形的面积的求解的综合运用．点评：解决该试题的关键是利用余弦定理来求解，以及边角关系的运用，正弦面积公式来求解．巧设变量a-4,a,a+4会简化运算． 15．①③⑤ 【解析】 【分析】给直线l 分别取不同的方程，可得到②和④的反例，同时找到符合条件①和⑤的直线；通过过原点的直线经过两个不同的整点可证得其经过无穷多个整点，③正确. 【详解】①令直线l 为：12y x =+，则其不与坐标轴平行且不经过任何整点，①正确； ②令直线l为：y =−()2,0，②错误；③令直线l 为：y kx =，过两个不同的整点()11,x y ，()22,x y则112y kx y kx =⎧⎨=⎩，两式作差得：()1212y y k x x −=− 即直线l 经过整点()1212(),(),n x x n y y n Z −−∈∴直线l 经过无穷多个整点，③正确；④令直线l 为：1132y x =+，则l 不过整点，④错误； ⑤令直线l为：y =，则其只经过()0,0一个整点，⑤正确.本题正确结果：①③⑤【点睛】本题考查对于直线方程的理解，关键是能够通过特例来否定命题和验证存在性的问题，对于学生对直线方程特点的掌握有较高的要求.16．【解析】 【分析】（1）先对函数求导，然后让导函数为零，求出x 的值，通过列表，判断出函数的极值点．（2）根据导函数与单调性的关系，可通过()0f x '≥在R 上恒成立，求出a 的取值范围． 【详解】2'2212()(1)xax axf x e ax +−=+ (1)43a = 时，'()0f x = 24830x x −+= 解得132x = 212x =↗↗综合①，可知 所以，132x =是极小值点，212x =是极大值点． (2)若f(x)为R 上的单调函数，则()f x '在R 上不变号， 结合①与条件a ＞0，知ax 2－2ax ＋1≥0在R 上恒成立，因此Δ＝4a 2－4a ＝4a(a －1)≤0，由此并结合a ＞0，知0＜a≤1. 【点睛】本题一方面考查了用列表法求函数的极值点；另一方面考查了已知函数的单调性求参数取值的问题，其实也就是不等式恒成立问题，主要方法是结合导函数的类型进行求解． 17．（1）证明见解析；（2）32. 【解析】 【分析】（1）欲证明//BC EF ，可先证明BC 是EF 的中位线,可延长,FC AD 交于点G 补成规则多面体，再证明,B C 是,GE GF 的中点即可得证；（2）（补成规则的四面体体积）＝V （大的四面体的体积）－V （补的部分的体积），即可间接求得原多面体的体积 【详解】 （1）设G 是线段DA 与EB 延长线的交点，由于OAB 与ODE 都是正三角形，所以//OB DE ，且12OB DE =，2OG OD ==同理，设'G 是线段DA 与FC 延长线的交点，所以G 与'G 重合在GED 和GFD 中，由//OB DE ，12OB DE =和//OC DF ，12OC DF =，可知B 和C 分别是GE 和GF的中点，所以BC 是GEF △的中位线，故//BC EF（2）由1OB =，2OE =，60EOB ︒∠=，知EOB S =，而OED 是边长为2的正三角形，故OED S =所以2OEFD EOB OED S S S =+=过点F 作FH DG ⊥，交DG 于点H ，由平面ABED ⊥ 平面ACFD 知，FH 就是四棱锥F OBED −的高，且FH =1332F OBED V OBED FH S −=⋅=.【点睛】空间几何体体积问题的常见类型及解题策略：（1）求简单几何体的体积时若所给的几何体为柱体锥体或台体，则可直接利用公式求解；(2)求组合体的体积时若所给定的几何体是组合体，不能直接利用公式求解，则常用转换法、分割法、补形法等进行求解. 【答案】【解析】略 19．（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析 【解析】 【分析】（Ⅰ）根据题意，首先对原不等式进行变形有x +y 111xy x y+≤++xy ⇔xy （x +y ）+1≤x +y +（xy ）2；再用做差法，让右式﹣左式，通过变形、整理化简可得右式﹣左式＝（xy ﹣1）（x ﹣1）（y ﹣1），又由题意中x ≥1，y ≥1，判断可得右式﹣左式≥0，从而不等式得到证明．（Ⅱ）首先换元，设log a b ＝x ，log b c ＝y ，由换底公式可得：log b a 1x=，log c b 1y =，log a c 1xy =，log a c ＝xy ，将其代入要求证明的不等式可得：x +y 111xy x y+≤++xy ；又有log a b ＝x ≥1，log b c ＝y ≥1，借助（Ⅰ）的结论，可得证明．【详解】证明：（Ⅰ）由于x ≥1，y ≥1；则x +y 111xy x y+≤++xy ⇔xy （x +y ）+1≤x +y +（xy ）2； 用作差法，右式﹣左式＝（x +y +（xy ）2）﹣（xy （x +y ）+1） ＝（（xy ）2﹣1）﹣（xy （x +y ）﹣（x +y ）） ＝（xy +1）（xy ﹣1）﹣（x +y ）（xy ﹣1） ＝（xy ﹣1）（xy ﹣x ﹣y +1） ＝（xy ﹣1）（x ﹣1）（y ﹣1）；又由x ≥1，y ≥1，则xy ≥1；即右式﹣左式≥0，从而不等式得到证明． （Ⅱ）设log a b ＝x ，log b c ＝y ， 由换底公式可得：log b a 1x=，log c b 1y =，log c a 1xy =，log a c ＝xy ，于是要证明的不等式可转化为x +y 111xy x y+≤++xy ； 其中log a b ＝x ≥1，log b c ＝y ≥1，由（Ⅰ）的结论可得，要证明的不等式成立． 【点睛】本题考查不等式的证明，要掌握不等式证明常见的方法，如做差法、放缩法；其次注意（Ⅱ）证明在变形后用到（Ⅰ）的结论，这个高考命题考查转化思想的一个方向．20．（1） 不变化；（2）121223q q q q −−+；（3）先派甲,再派乙,最后派丙时, 均值（数字期望）达到最小 【解析】 【分析】 【详解】（1）按甲在先,乙次之,丙最后的顺序派人,任务能被完成的概率为()()()112123111P P P P P P P =+−+−−123122331123P P P PP P P P P PP P =++−−−+．若甲在先,丙次之,乙最后的顺序派人,任务能被完成的概率为()()()113132111P P P P P P P =+−+−−123122331123P P P PP P P P P PP P =++−−−+，发现任务能完成的概率是一样.同理可以验证，不论如何改变三个人被派出的先后顺序，任务能被完成的概率不发生变化. （2）由题意得X 可能取值为1,2,3∴()()()()()()112121;21;311P X q P X q q P X q q ====−==−−，∴其分布列为:()()()11212121212131123EX q q q q q q q q q ∴=⨯+⨯−+⨯−−=−−+．（3）()()()12122123211E X q q q q q q =−−+=−−+,1231p p p >>> ∴要使所需派出的人员数目的均值（数字期望）达到最小, 则只能先派甲、乙中的一人.∴若先派甲,再派乙,最后派丙,则1121223EX p p p p =−−+； 若先派乙,再派甲,最后派丙, 则2122123EX p p p p =−−+，()()12121212212123230EX EX p p p p p p p p p p ∴−=−−+−−−+=−<，∴先派甲,再派乙,最后派丙时, 均值（数字期望）达到最小．21．略 【解析】 略。

2011年安徽省高考数学试卷（理科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）设i是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a为（）A．2 B．﹣2 C．D．2．（5分）双曲线2x2﹣y2=8的实轴长是（）A．4 B．4 C．2 D．23．（5分）设f（x）是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f（x）=2x2﹣x，则f（1）=（）A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．34．（5分）设变量x，y满足|x|+|y|≤1，则x+2y的最大值和最小值分别为（）A．1，﹣1 B．2，﹣2 C．1，﹣2 D．2，﹣15．（5分）在极坐标系中，点（2，）到圆ρ=2cosθ的圆心的距离为（）A．2 B．C．D．6．（5分）一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．48 B．32+8C．48+8D．807．（5分）命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定是（）A．所有不能被2整除的整数都是偶数B．所有能被2整除的整数都不是偶数C．存在一个不能被2整除的整数是偶数D．存在一个能被2整除的整数不是偶数8．（5分）设集合A={1，2，3，4，5，6}，B={4，5，6，7，8}，则满足S⊆A 且S∩B≠∅的集合S的个数是（）A．57 B．56 C．49 D．89．（5分）已知函数f（x）=sin（2x+φ），其中φ为实数，若f（x）≤|f（）|对x∈R恒成立，且f（）＞f（π），则f（x）的单调递增区间是（）A．[kπ﹣，kπ+]（k∈Z） B．[kπ，kπ+]（k∈Z）C．[kπ+，kπ+]（k∈Z）D．[kπ﹣，kπ]（k∈Z）10．（5分）函数f（x）=ax m（1﹣x）n在区间[0，1]上的图象如图所示，则m，n的值可能是（）A．m=1，n=1 B．m=1，n=2 C．m=2，n=1 D．m=3，n=1二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分）11．（3分）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是．12．（3分）设（x﹣1）21=a0+a1x+a2x2+…+a21x21，则a10+a11=．13．（3分）已知向量，满足（+2）•（﹣）=﹣6，||=1，||=2，则与的夹角为．14．（3分）已知△ABC的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC的面积为．15．（3分）在平面直角坐标系中，如果x与y都是整数，就称点（x，y）为整点，下列命题中正确的是（写出所有正确命题的编号）．①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点②如果k与b都是无理数，则直线y=kx+b不经过任何整点③直线l经过无穷多个整点，当且仅当l经过两个不同的整点④直线y=kx+b经过无穷多个整点的充分必要条件是：k与b都是有理数⑤存在恰经过一个整点的直线．三、解答题（共6小题，满分75分）16．（12分）设，其中a为正实数（Ⅰ）当a=时，求f（x）的极值点；（Ⅱ）若f（x）为R上的单调函数，求a的取值范围．17．（12分）如图，ABEDFC为多面体，平面ABED与平面ACFD垂直，点O在线段AD上，OA=1，OD=2，△OAB，△OAC，△ODE，△ODF都是正三角形（I）证明直线BC∥EF；（II）求棱锥F﹣OBED的体积．18．（13分）在数1 和100之间插入n个实数，使得这n+2个数构成递增的等比数列，将这n+2个数的乘积计作T n，再令a n=lgT n，n≥1．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=tana n•tana n+1，求数列{b n}的前n项和S n．19．（12分）（Ⅰ）设x≥1，y≥1，证明x+y+≤++xy；（Ⅱ）1≤a≤b≤c，证明log a b+log b c+log c a≤log b a+log c b+log a c．20．（13分）工作人员需进入核电站完成某项具有高辐射危险的任务，每次只派一个人进去，且每个人只派一次，工作时间不超过10分钟，如果有一个人10分钟内不能完成任务则撤出，再派下一个人．现在一共只有甲、乙、丙三个人可派，他们各自能完成任务的概率分别p1，p2，p3，假设p1，p2，p3互不相等，且假定各人能否完成任务的事件相互独立．（Ⅰ）如果按甲在先，乙次之，丙最后的顺序派人，求任务能被完成的概率．若改变三个人被派出的先后顺序，任务能被完成的概率是否发生变化？（Ⅱ）若按某指定顺序派人，这三个人各自能完成任务的概率依次为q1，q2，q3，其中q1，q2，q3是p1，p2，p3的一个排列，求所需派出人员数目X的分布列和均值（数学期望）EX；（Ⅲ）假定l＞p1＞p2＞p3，试分析以怎样的先后顺序派出人员，可使所需派出的人员数目的均值（数学期望）达到最小．21．（13分）设λ＞0，点A的坐标为（1，1），点B在抛物线y=x2上运动，点Q 满足，经过点Q与x轴垂直的直线交抛物线于点M，点P满足，求点P的轨迹方程．2011年安徽省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）（2011•安徽）设i是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a为（）A．2 B．﹣2 C．D．【分析】复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，化简后它的实部为0，可求实数a的值．【解答】解：复数==，它是纯虚数，所以a=2，故选A2．（5分）（2011•安徽）双曲线2x2﹣y2=8的实轴长是（）A．4 B．4 C．2 D．2【分析】双曲线方程化为标准方程，即可确定实轴长．【解答】解：双曲线2x2﹣y2=8，可化为∴a=2，∴双曲线2x2﹣y2=8的实轴长是4故选B．3．（5分）（2011•安徽）设f（x）是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f（x）=2x2﹣x，则f（1）=（）A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3【分析】要计算f（1）的值，根据f（x）是定义在R上的奇函数，我们可以先计算f（﹣1）的值，再利用奇函数的性质进行求解，当x≤0时，f（x）=2x2﹣x，代入即可得到答案．【解答】解：∵当x≤0时，f（x）=2x2﹣x，∴f（﹣1）=2（﹣1）2﹣（﹣1）=3，又∵f（x）是定义在R上的奇函数∴f（1）=﹣f（﹣1）=﹣3故选A4．（5分）（2011•安徽）设变量x，y满足|x|+|y|≤1，则x+2y的最大值和最小值分别为（）A．1，﹣1 B．2，﹣2 C．1，﹣2 D．2，﹣1【分析】根据零点分段法，我们易得满足|x|+|y|≤1表示的平面区域是以（﹣1，0），（0，﹣1），（1，0），（0，1）为顶点的正方形，利用角点法，将各顶点的坐标代入x+2y然后进行比较，易求出其最值．【解答】解：约束条件|x|+|y|≤1可化为：其表示的平面区域如下图所示：由图可知当x=0，y=1时x+2y取最大值2当x=0，y=﹣1时x+2y取最小值﹣2故选B5．（5分）（2011•安徽）在极坐标系中，点（2，）到圆ρ=2cosθ的圆心的距离为（）A．2 B．C．D．【分析】在直角坐标系中，求出点的坐标和圆的方程及圆心坐标，利用两点间的距离公式求出所求的距离．【解答】解：在直角坐标系中，点即（1，），圆即x2+y2=2x，即（x﹣1）2+y2=1，故圆心为（1，0），故点（2，）到圆ρ=2cosθ的圆心的距离为=，故选D．6．（5分）（2011•安徽）一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．48 B．32+8C．48+8D．80【分析】由已知中的三视图我们可以得到该几何体是一个底面为等腰梯形的直四棱柱，根据三视图中标识的数据，我们分别求出四棱柱的底面积和侧面积即可得到答案．【解答】解：如图所示的三视图是以左视图所示等腰梯形为底的直四棱柱，其底面上底长为2，下底长为4，高为4，故底面积S=×（2+4）×4=12底腰长为：=则底面周长为：2+4+2×=6+2则其侧面积S侧=4×（6+2）=24+8则该几何体的表面积为S=2×S底+S侧=2×12+24+8=48+8故选C．7．（5分）（2011•安徽）命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定是（）A．所有不能被2整除的整数都是偶数B．所有能被2整除的整数都不是偶数C．存在一个不能被2整除的整数是偶数D．存在一个能被2整除的整数不是偶数【分析】根据已知我们可得命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定应该是一个特称命题，根据全称命题的否定方法，我们易得到结论．【解答】解：命题“所有能被2整除的数都是偶数”是一个全称命题其否定一定是一个特称命题，故排除A，B结合全称命题的否定方法，我们易得命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定应为“存在一个能被2整除的整数不是偶数”故选：D8．（5分）（2011•安徽）设集合A={1，2，3，4，5，6}，B={4，5，6，7，8}，则满足S⊆A且S∩B≠∅的集合S的个数是（）A．57 B．56 C．49 D．8【分析】因为集合S为集合A的子集，而集合A的元素有6个，所以集合A的子集有26个，又集合S与集合B的交集不为空集，所以集合S中元素不能只有1，2，3，把不符合的情况舍去，即可得到满足题意的S的个数．【解答】解：集合A的子集有：∅，{1}，{2}，{3}，{4}，{5}，{6}，{1，2}，{1，3}，{1，4}，{1，5}，…，{1，2，3，4，5，6}，共1++++++=64个；又S∩B≠∅，B={4，5，6，7，8}，所以S不能为：∅，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}共8个，则满足S⊆A且S∩B≠∅的集合S的个数是64﹣8=56．故选：B．9．（5分）（2011•安徽）已知函数f（x）=sin（2x+φ），其中φ为实数，若f（x）≤|f（）|对x∈R恒成立，且f（）＞f（π），则f（x）的单调递增区间是（）A．[kπ﹣，kπ+]（k∈Z） B．[kπ，kπ+]（k∈Z）C．[kπ+，kπ+]（k∈Z）D．[kπ﹣，kπ]（k∈Z）【分析】由若对x∈R恒成立，结合函数最值的定义，我们易得f（）等于函数的最大值或最小值，由此可以确定满足条件的初相角φ的值，结合，易求出满足条件的具体的φ值，然后根据正弦型函数单调区间的求法，即可得到答案．【解答】解：若对x∈R恒成立，则f（）等于函数的最大值或最小值即2×+φ=kπ+，k∈Z则φ=kπ+，k∈Z又即sinφ＜0令k=﹣1，此时φ=，满足条件令2x∈[2kπ﹣，2kπ+]，k∈Z解得x∈故选C10．（5分）（2011•安徽）函数f（x）=ax m（1﹣x）n在区间[0，1]上的图象如图所示，则m，n的值可能是（）A．m=1，n=1 B．m=1，n=2 C．m=2，n=1 D．m=3，n=1【分析】由图得，原函数的极大值点小于0.5．把答案代入验证看哪个对应的极值点符合要求即可得出答案．【解答】解：由于本题是选择题，可以用代入法来作，由图得，原函数的极大值点小于0.5．当m=1，n=1时，f（x）=ax（1﹣x）=﹣a+．在x=处有最值，故A 错误；当m=1，n=2时，f（x）=ax m（1﹣x）n=ax（1﹣x）2=a（x3﹣2x2+x），所以f′（x）=a（3x﹣1）（x﹣1），令f′（x）=0⇒x=，x=1，即函数在x=处有最值，故B正确；当m=2，n=1时，f（x）=ax m（1﹣x）n=ax2（1﹣x）=a（x2﹣x3），有f'（x）=a（2x ﹣3x2）=ax（2﹣3x），令f′（x）=0⇒x=0，x=，即函数在x=处有最值，故C 错误；当m=3，n=1时，f（x）=ax m（1﹣x）n=ax3（1﹣x）=a（x3﹣x4），有f′（x）=ax2（3﹣4x），令f′（x）=0，⇒x=0，x=，即函数在x=处有最值，故D错误．故选：B．二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分）11．（3分）（2011•安徽）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是15．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算I值，并输出满足条件I＞105的第一个k值，模拟程序的运行过程，用表格将程序运行过程中变量k的值的变化情况进行分析，不难得出答案．【解答】解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：k I 是否继续循环循环前0 0 是第一圈 1 1 是第二圈 2 1+2 是第三圈 3 1+2+3 是第四圈 4 1+2+3+4 是依此类推第十六圈15 1+2+3+…+15＞105 否故最后输出的k值为：15，故答案为：15．12．（3分）（2011•安徽）设（x﹣1）21=a0+a1x+a2x2+…+a21x21，则a10+a11=0．【分析】根据题意，可得（x﹣1）21的通项公式，结合题意，可得a10=﹣C2111，a11=C2110，进而相加，由二项式系数的性质，可得答案．=C21r（x）21﹣r•（﹣1）r，【解答】解：根据题意，（x﹣1）21的通项公式为T r+1则有T11=C2110（x）11•（﹣1）10，T12=C2111（x）10•（﹣1）11，则a10=C2110，a11=﹣C2111，故a10+a11=C2110﹣C2111=0；故答案为：0．13．（3分）（2011•安徽）已知向量，满足（+2）•（﹣）=﹣6，||=1，||=2，则与的夹角为60°．【分析】由已知向量，满足（+2）•（﹣）=﹣6，||=1，||=2，我们易求出•的值，代入cosθ=，即可求出与的夹角．【解答】解：∵（+2）•（﹣）=2﹣22+•=1﹣8+•=﹣6∴•=1∴cosθ==又∵0°≤θ≤90°∴θ=60°故答案为60°或者．14．（3分）（2011•安徽）已知△ABC的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC的面积为15．【分析】因为三角形三边构成公差为4的等差数列，设中间的一条边为x，则最大的边为x+4，最小的边为x﹣4，根据余弦定理表示出cos120°的式子，将各自设出的值代入即可得到关于x的方程，求出方程的解即可得到三角形的边长，然后利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．【解答】解：设三角形的三边分别为x﹣4，x，x+4，则cos120°==﹣，化简得：x﹣16=4﹣x，解得x=10，所以三角形的三边分别为：6，10，14则△ABC的面积S=×6×10sin120°=15．故答案为：1515．（3分）（2011•安徽）在平面直角坐标系中，如果x与y都是整数，就称点（x，y）为整点，下列命题中正确的是①③⑤（写出所有正确命题的编号）．①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点②如果k与b都是无理数，则直线y=kx+b不经过任何整点③直线l经过无穷多个整点，当且仅当l经过两个不同的整点④直线y=kx+b经过无穷多个整点的充分必要条件是：k与b都是有理数⑤存在恰经过一个整点的直线．【分析】①举一例子即可说明本命题是真命题；②举一反例即可说明本命题是假命题；③假设直线l过两个不同的整点，设直线l为y=kx，把两整点的坐标代入直线l 的方程，两式相减得到两整点的横纵坐标之差的那个点也为整点且在直线l上，利用同样的方法，得到直线l经过无穷多个整点，得到本命题为真命题；④当k，b都为有理数时，y=kx+b可能不经过整点，例如k=，b=；⑤举一例子即可得到本命题为真命题．【解答】解：①令y=x+，既不与坐标轴平行又不经过任何整点，所以本命题正确；②若k=，b=，则直线y=x+经过（﹣1，0），所以本命题错误；设y=kx为过原点的直线，若此直线l过不同的整点（x1，y1）和（x2，y2），把两点代入直线l方程得：y1=kx1，y2=kx2，两式相减得：y1﹣y2=k（x1﹣x2），则（x1﹣x2，y1﹣y2）也在直线y=kx上且为整点，通过这种方法得到直线l经过无穷多个整点，则③正确；④当k，b都为有理数时，y=kx+b可能不经过整点，例如k=，b=，故④不正确；⑤令直线y=x恰经过整点（0，0），所以本命题正确．综上，命题正确的序号有：①③⑤．故答案为：①③⑤三、解答题（共6小题，满分75分）16．（12分）（2011•安徽）设，其中a为正实数（Ⅰ）当a=时，求f（x）的极值点；（Ⅱ）若f（x）为R上的单调函数，求a的取值范围．【分析】（Ⅰ）首先对f（x）求导，将a=代入，令f′（x）=0，解出后判断根的两侧导函数的符号即可．（Ⅱ）因为a＞0，所以f（x）为R上为增函数，f′（x）≥0在R上恒成立，转化为二次函数恒成立问题，只要△≤0即可．【解答】解：对f（x）求导得f′（x）=e x …①（Ⅰ）当a=时，若f′（x）=0，则4x2﹣8x+3=0，解得结合①，可知x（﹣∞，）（，）（，+∞）f′（x）+0﹣0+f（x）增极大值减极小值增所以，是极小值点，是极大值点．（Ⅱ）若f（x）为R上的单调函数，则f′（x）在R上不变号，结合①与条件a＞0知ax2﹣2ax+1≥0在R上恒成立，因此△=4a2﹣4a=4a（a﹣1）≤0，由此并结合a＞0，知0＜a≤1．17．（12分）（2011•安徽）如图，ABEDFC为多面体，平面ABED与平面ACFD垂直，点O在线段AD上，OA=1，OD=2，△OAB，△OAC，△ODE，△ODF都是正三角形（I）证明直线BC∥EF；（II）求棱锥F﹣OBED的体积．【分析】（I）利用同位角相等，两直线平行得到OB∥DE；OB=，得到B是GE的中点；同理C是FG的中点；利用三角形的中位线平行于底边，得证．（II）利用三角形的面积公式求出底面分成的两个三角形的面积，求出底面的面积；利用两个平面垂直的性质找到高，求出高的值；利用棱锥的体积公式求出四棱锥的体积．【解答】解：（I）证明：设G是线段DA与线段EB延长线的交点，由于△OAB 与△ODE都是正三角形，所以OB∥DE，OB=同理，设G′是线段DA与线段FC延长线的交点，有OG′=OD=2，又由于G与G′都在线段DA的延长线上，所以G与G′重合，在△GED和△GFD中，由和可知B，C分别是GE，GF的中点，所以BC是△GFE的中位线，故BC∥EF（II）解：由OB=1，OE=2，∠EOB=60°，知而△OED是边长为2的正三角形，故所以过点F作FQ⊥AD，交AD于点Q．由平面ABED⊥平面ACFD，FQ就是四棱锥F﹣OBED的高，且FQ=，所以另外本题还可以用向量法解答，同学们可参考图片，自行解一下，解法略．18．（13分）（2011•安徽）在数1 和100之间插入n个实数，使得这n+2个数构成递增的等比数列，将这n+2个数的乘积计作T n，再令a n=lgT n，n≥1．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=tana n•tana n+1，求数列{b n}的前n项和S n．【分析】（I）根据在数1 和100之间插入n个实数，使得这n+2个数构成递增的等比数列，我们易得这n+2项的几何平均数为10，故T n=10n+2，进而根据对数的运算性质我们易计算出数列{a n}的通项公式；（II）根据（I）的结论，利用两角差的正切公式，我们易将数列{b n}的每一项拆成的形式，进而得到结论．【解答】解：（I）∵在数1 和100之间插入n个实数，使得这n+2个数构成递增的等比数列，又∵这n+2个数的乘积计作T n，∴T n=10n+2又∵a n=lgT n，∴a n=lg10n+2=n+2，n≥1．（II）∵b n=tana n•tana n+1=tan（n+2）•tan（n+3）=，∴S n=b1+b2+…+b n=[]+[]+…+[]=19．（12分）（2011•安徽）（Ⅰ）设x≥1，y≥1，证明x+y+≤++xy；（Ⅱ）1≤a≤b≤c，证明log a b+log b c+log c a≤log b a+log c b+log a c．【分析】（Ⅰ）根据题意，首先对原不等式进行变形有x+y+≤++xy⇔xy（x+y）+1≤x+y+（xy）2；再用做差法，让右式﹣左式，通过变形、整理化简可得右式﹣左式=（xy﹣1）（x﹣1）（y﹣1），又由题意中x≥1，y≥1，判断可得右式﹣左式≥0，从而不等式得到证明．（Ⅱ）首先换元，设log a b=x，log b c=y，由换底公式可得：log b a=，log c b=，log a c=，log a c=xy，将其代入要求证明的不等式可得：x+y+≤++xy；又有log a b=x≥1，log b c=y≥1，借助（Ⅰ）的结论，可得证明．【解答】证明：（Ⅰ）由于x≥1，y≥1；则x+y+≤++xy⇔xy（x+y）+1≤x+y+（xy）2；用作差法，右式﹣左式=（x+y+（xy）2）﹣（xy（x+y）+1）=（（xy）2﹣1）﹣（xy（x+y）﹣（x+y））=（xy+1）（xy﹣1）﹣（x+y）（xy﹣1）=（xy﹣1）（xy﹣x﹣y+1）=（xy﹣1）（x﹣1）（y﹣1）；又由x≥1，y≥1，则xy≥1；即右式﹣左式≥0，从而不等式得到证明．（Ⅱ）设log a b=x，log b c=y，由换底公式可得：log b a=，log c b=，log c a=，log a c=xy，于是要证明的不等式可转化为x+y+≤++xy；其中log a b=x≥1，log b c=y≥1，由（Ⅰ）的结论可得，要证明的不等式成立．20．（13分）（2011•安徽）工作人员需进入核电站完成某项具有高辐射危险的任务，每次只派一个人进去，且每个人只派一次，工作时间不超过10分钟，如果有一个人10分钟内不能完成任务则撤出，再派下一个人．现在一共只有甲、乙、丙三个人可派，他们各自能完成任务的概率分别p1，p2，p3，假设p1，p2，p3互不相等，且假定各人能否完成任务的事件相互独立．（Ⅰ）如果按甲在先，乙次之，丙最后的顺序派人，求任务能被完成的概率．若改变三个人被派出的先后顺序，任务能被完成的概率是否发生变化？（Ⅱ）若按某指定顺序派人，这三个人各自能完成任务的概率依次为q1，q2，q3，其中q1，q2，q3是p1，p2，p3的一个排列，求所需派出人员数目X的分布列和均值（数学期望）EX；（Ⅲ）假定l＞p1＞p2＞p3，试分析以怎样的先后顺序派出人员，可使所需派出的人员数目的均值（数学期望）达到最小．【分析】（Ⅰ）可先考虑任务不能被完成的概率为（1﹣p1）（1﹣p2）（1﹣p3）为定值，故任务能被完成的概率为定值，通过对立事件求概率即可．（Ⅱ）X的取值为1，2，3，利用独立事件的概率分别求出概率，再求期望即可．（Ⅲ）由（Ⅱ）中得到的关系式，考虑交换顺序后EX的变化情况即可．【解答】解：（Ⅰ）任务不能被完成的概率为（1﹣p1）（1﹣p2）（1﹣p3）为定值，所以任务能被完成的概率与三个人被排除的顺序无关．任务能被完成的概率为1﹣（1﹣p1）（1﹣p2）（1﹣p3）（Ⅱ）X的取值为1，2，3P（X=1）=q1P（X=2）=（1﹣q1）q2P（X=3）=（1﹣q1）（1﹣q2）EX=q1+2（1﹣q1）q2+3（1﹣q1）（1﹣q2）=3﹣2q1﹣q2+q1q2（Ⅲ）EX=3﹣（q1+q2）+q1q2﹣q1，若交换前两个人的派出顺序，则变为3﹣（q1+q2）+q1q2﹣q2，由此可见，当q1＞q2时，交换前两个人的派出顺序可增大均值；若保持第一人派出的人选不变，交换后个人的派出顺序，EX可写为3﹣2q1﹣（1﹣q1）q2，交换后个人的派出顺序则变为3﹣2q1﹣（1﹣q1）q3，当q2＞q3时交换后个人的派出顺序可增大均值故完成任务概率大的人先派出，可使所需派出的人员数目的均值（数学期望）达到最小．21．（13分）（2011•安徽）设λ＞0，点A的坐标为（1，1），点B在抛物线y=x2上运动，点Q满足，经过点Q与x轴垂直的直线交抛物线于点M，点P 满足，求点P的轨迹方程．【分析】设出点的坐标，利用向量的坐标公式求出向量的坐标，代入已知条件中的向量关系得到各点的坐标关系；表示出B点的坐标；将B的坐标代入抛物线方程求出p的轨迹方程．【解答】解：由知Q，M，P三点在同一条垂直于x轴的直线上，故可设P（x，y），Q（x，y0），M（x，x2）则x2﹣y0=λ（y﹣x2）即y0=（1+λ）x2﹣λy①再设B（x1，y1）由得将①代入②式得又点B在抛物线y=x2将③代入得（1+λ）2x2﹣λ（1+λ）y﹣λ=（（1+λ）x﹣λ）2整理得2λ（1+λ）x﹣λ（1+λ）y﹣λ（1+λ）=0因为λ＞0所以2x﹣y﹣1=0故所求的点P的轨迹方程：y=2x﹣1。

2011年安徽省高考数学试卷（理科）及解析本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1至第2页，第Ⅱ卷第3页至第4页．全卷满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：（每小题5分，共50分）【2011安徽理，1】1．设是虚数单位，复数aii1+2-为纯虚数，则实数a 为( )． A ．2 B ．2- C ．1-2 D ．12【答案】A ．【解析】本题考查复数的基本运算．设()aibi b R i1+∈2-=，则1+(2)2ai bi i b bi =-=+，所以1,2b a ==.故选A ．【2011安徽理，2】2．双曲线x y 222-=8的实轴长是( )．A ．2B ．C ．4D ． 【答案】C ．【解析】本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的性质．x y 222-=8可变形为22148x y -=，则24a =，2a =，24a =.故选C ．【2011安徽理，3】3．设()f x 是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，()f x x x 2=2-，则()f 1= ( )．A ．3-B ．1-C ．D ．3 【答案】A ．【解析】本题考查函数的奇偶性，考查函数值的求法．利用奇函数的性质，可知2(1)(1)[2(1)(1)]3f f =--=----=-．故选A ．【2011安徽理，4】4．设变量,x y 满足1,x y +≤则2x y +的最大值和最小值分别为( )． A ． 1，-1 B ．2，-2 C ．，-2 D ．2，-1 【答案】B ．【解析】本题考查线性规划问题.不等式1x y +≤对应的区域，如下图所示：当目标函数过点()0,1-，()0,1时，分别取最小或最大值，所以2x y +的最大值和最小值分 别为2，2-.故选B ．【2011安徽理，5】5．在极坐标系中，点 (,)π23到圆2cos ρθ=的圆心的距离为( )．A ．2B ．249π+ C ．219π+D ．3【答案】D ．【解析】本题考查极坐标的知识及极坐标与直角坐标的相互转化，考查两点间距离. 极坐标(,)π23化为直角坐标为(2cos ,2sin )33ππ，即(1,3).圆的极坐标方程2cos ρθ=可化为22cos ρρθ=，化为直角坐标方程为222x y x +=，即22(1)1x y -+=，以圆心坐标为(1,0)，则由两点间距离公式22(11)(30)3d =-+-=.故选D ．【2011安徽理，6】6．一个空间几何体得三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )．A ．48B ．32+817C ．48+817D ．80【答案】C ．【解析】本题考查三视图的识别以及空间多面体表面积的求法．由三视图可知几何体是底面是等腰梯形的直棱柱.底面等腰梯形的上底为2，下底为4，高为4，两底面积和为()12244242⨯+⨯=，四个侧面的面积为(44224++=+，所以几何体的表面积为48+.故选C ．【2011安徽理，7】7．命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定．．是( )． A ．所有不能被2整除的数都是偶数 B ．所有能被2整除的数都不是偶数 C ．存在一个不能被2整除的数是偶数 D ．存在一个能被2整除的数不是偶数 【答案】D ．【解析】本题考查全称命题的否定.把全称量词改为存在量词，并把结果否定． 【2011安徽理，8】8．设集合{}1,2,3,4,5,6,A ={}4,5,6,7,B =则满足S A ⊆且S B ≠∅的集合S 的个数是( )．A ．57B ．56C ．49D ．8 【答案】B ．【解析】本题考查集合间的基本关系，考查集合的基本运算，考查子集问题，考查组合知识. 集合A 的所有子集共有6264=个，其中不含4,5,6,7的子集有328=个，所以集合S 共有56个.故选B ．【2011安徽理，9】9．已知函数()sin(2)f x x ϕ=+，其中ϕ为实数，若()()6f x f π≤对Rx ∈恒成立，且()()2f f ππ>，则()f x 的单调递增区间是( )．A ．,()36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ B ．,()2k k k Z πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦ C ．2,()63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ D ．,()2k k k Z πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦【答案】C ．【解析】本题考查正弦函数的有界性，考查正弦函数的单调性.若()()6f x f π≤对x R ∈恒成立，则()sin()163f ππϕ=+=，所以,32k k Z ππϕπ+=+∈，,6k k Z πϕπ=+∈.由()()2f f ππ>，（k Z ∈），可知sin()sin(2)πϕπϕ+>+，即sin 0ϕ<，所以 72,6k k Z πϕπ=+∈，代入()sin(2)f x x ϕ=+，得7()sin(2)sin(2)66f x x x ππ=+=-+，由3222262k x k πππππ+++，得263k x k ππππ++，故选C ． 【2011安徽理，10】10．函数()()m nf x ax x =1-在区间[0,1]上的图像如图所示，则m ，n 的值可能是( )．A ．1,1m n ==B ．1,2m n ==C ．2,1m n ==D ．3,1m n == 【答案】B ．【解析】本题考查导数在研究函数单调性中的应用，考查函数图像，考查思维的综合能力． 代入验证，当1,2m n ==，()()()f x ax x n x x x 232=⋅1-=-2+，则()()f x a x x 2'=3-4+1，由()()f x a x x 2'=3-4+1=0可知，121,13x x ==，结合图像可知：函数应在10,3⎛⎫⎪⎝⎭递增， 在1,13⎛⎫⎪⎝⎭递减，即在13x =取得最大值，由()()f a 21111=⨯⋅1-=3332，知a 存在．故选B ．第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：（每小题5分，共25分）【2011安徽理，11】11．如图所示，程序框图（算法流程图） 的输出结果是 ．【答案】 15．【解析】本题考查算法框图的识别，考查等差数列前n 项和公式． 由算法框图可知(1)1232k k T k +=++++=，若T ＝105，则K ＝14，继续执行循环体，这时k ＝15，T >105，所以输出的k 值为15．【2011安徽理，12】12．设()x a a x a x a x 2122101221-1=++++，则a a 1011+= ．【答案】0．【解析】本题考查二项展开式相关概念．101110102121(1)a C C =-=-，111011112121(1)a C C =-=，所以111010101011212121210a a C C C C +=-=-=.【2011安徽理，13】13．已知向量a ，b 满足(2)()6a b a b +⋅-=-，且1a =，2b =，则a 与b 的夹角为 ． 【答案】60︒（或3π）．【解析】本题考查向量的数量积，考查向量夹角的求法．()()26a b a b +⋅-=-，则2226a a b b +⋅-=-，即221226a b +⋅-⨯=-，1a b ⋅=，所以1cos ,2a b a b a b⋅〈〉==⋅，所以,60a b 〈〉=． 【2011安徽理，14】14．已知ABC ∆的一个内角为120︒，并且三边长构成公差为4的等差数列，则ABC ∆的面积为 ． 【答案】153．【解析】本题考查等差数列的概念，考查余弦定理的应用，考查利用公式求三角形面积． 设三角形的三边长分别为4,,4a a a -+，最大角为θ，由余弦定理得222(4)(4)2(4)cos120a a a a a +=+---，则10a =，所以三边长为6,10,14.△ABC 的面积为1610sin120152S =⨯⨯⨯= 【2011安徽理，15】15．在平面直角坐标系中，如果x 与y 都是整数，就称点(,)x y 为整点，下列命题中正确的是_____________（写出所有正确命题的编号）. ①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点 ②如果k 与b 都是无理数，则直线y kx b =+不经过任何整点 ③直线经过无穷多个整点，当且仅当经过两个不同的整点④直线y kx b =+经过无穷多个整点的充分必要条件是：k 与b 都是有理数 ⑤存在恰经过一个整点的直线 【答案】①③⑤．【解析】本题考查直线方程，考查逻辑推理能力．令12y x =+满足①，故①正确；若k b ==y =+(1,0)-，所以②错 误；设y kx =是过原点的直线，若此直线过两个整点1122(,),(,)x y x y ，则有11y kx =，22y kx =，两式相减得1212()y y k x x -=-，则点1212(,)x x y y --也在直线y kx =上，通过这种方法可 以得到直线经过无穷多个整点，通过上下平移y kx =得对于y kxb =+也成立，所以③正确； ④错误；直线y =恰过一个整点，⑤正确．三、解答题：（本大题共6小题，共75分）【2011安徽理，16】16．（本小题满分12分）设2()1x e f x ax=+，其中a 为正实数． (Ⅰ) 当a 43=时，求()f x 的极值点；(Ⅱ) 若()f x 为R 上的单调函数，求a 的取值范围．【解析】 对函数()f x 求导得()222121xax axf x eax⎛⎫ ⎪⎝⎭+-'=+ ． ①(Ⅰ) 当43a =时若()0f x '=，则24830x x -+=，解得132x =，212x =．结合①，可知x 1(,)2-∞1213(,)22 323(,)2+∞ ()f x '+0 -0 +()x f极大值极小值所以，132x =是极小值点，212x =是极大值点． (Ⅱ) 若函数()f x 为R 上的单调函数，则()f x '在R 上不变号，结合①与条件0a >，知2210ax ax -+≥在R 上恒成立，因此2444(1)0a a a a ∆=-=-≤，由此并结合0a >，知01a <≤．【2011安徽理，17】17．（本小题满分12分）如图，ABEDFC 为多面体，平面ABED 与平面ACFD 垂直，点O 在线段AD 上，1OA =，2OD =，,OAB OAC ∆∆，ODF ∆都是正三角形．(Ⅰ) 证明直线BC //EF ； (Ⅱ) 求棱锥F OBED -的体积． 【解析】 ．【2011安徽理，18】18．（本小题满分13分）在数1和100之间插入n 个实数，使得这2n +个数构成递增的等比数列，将这2n +个数的乘积记作n T ，再令,lg n n a T =，1n ≥． (Ⅰ) 求数列{}n a 的通项公式；(Ⅱ) 设1tan tan n n n b a a +=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n S ． 【解析】(Ⅰ)设122,,...,n t t t +构成等比数列，其中121,100n t t +==，则 1212...n n n T t t t t ++=⋅⋅⋅⋅ ① 2121...n n n T t t t t ++=⋅⋅⋅⋅ ② ①×②并利用231210(12)i n i n t t t t i n +-+⋅=⋅=≤≤+，得22(2)12211221()()...()()10n n n n n n T t t t t t t t t +++++=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅= lg 2, 1.n n a T n n ∴==+≥ (Ⅱ)由题意和(Ⅰ)中计算结果，知tan(2)tan(3), 1.n b n n n ∴=+⋅+≥另一方面，利用tan(1)tan tan1tan((1))1,1tan(1)tan k kk k k k+-=+-=-++得 tan(1)tan tan(1)tan 1.tan1k kk k +-+⋅=-所以 213tan(1)tan nn n k k k S b k k +====+⋅∑∑23tan(1)tan (1)tan1n k k k+=+-=-∑tan(3)tan 3tan1n n +-=-．【2011安徽理，19】19．（本小题满分12分）． (Ⅰ) 设1,1,x y ≥≥证明111x y xy xy x y++≤++； (Ⅱ) 1a b c <≤≤，证明log log log log log log a b c b c a b c a a b c ++≤++．【解析】 本题考查不等式的基本性质，对数函数的性质和对数换底公式等基本知识，考查代数式的恒等变形能力和推理论证能力． 证明: (Ⅰ) 由于1,1x y ≥≥，所以111x y xy xy x y++≤++ 2()1()xy x y y x xy ⇔++≤++ 将上式中的右式减左式，得22(())(()1)(()1)(()())(1)(1)()(1)(1)(1)(1)(1)(1)y x xy xy x y xy xy x y x y xy xy x y xy xy xy x y xy x y ++-++=--+-+=-+-+-=---+=---既然1,1x y ≥≥，所以(1)(1)(1)0xy x y ---≥，从而所要证明的不等式成立. (Ⅱ)设log ,log a b b x c y ==，由对数的换底公式得111log ,log ,log ,log c b c a a a b c xy xy x y==== 于是所要证明的不等式即为 111x y xy xy x y++≤++ 其中log 1,log 1a b x b y c =≥=≥.由 (Ⅰ) 知所要证明的不等式成立． 【2011安徽理，20】20．（本小题满分13分）工作人员需进入核电站完成某项具有高辐射危险的任务，每次只派一个人进去，且每个人只派一次，工作时间不超过10分钟，如果前一个人10分钟内不能完成任务则撤出，再派下一个人．现在一共只有甲、乙、丙三个人可派，他们各自能完成任务的概率分别,,p p p 123，假设,,p p p 123互不相等，且假定各人能否完成任务的事件相互独立．(Ⅰ) 如果按甲在先，乙次之，丙最后的顺序派人，求任务能被完成的概率．若改变三个人被派出的先后顺序，任务能被完成的概率是否发生变化？(Ⅱ) 若按某指定顺序派人，这三个人各自能完成任务的概率依次为,,q q q 123，其中,,q q q 123是,,p p p 123的一个排列，求所需派出人员数目X 的分布列和均值（数字期望）EX ； (Ⅲ) 假定p p p 1231>>>，试分析以怎样的先后顺序派出人员，可使所需派出的人员数目的均值（数字期望）达到最小．【解析】 ．【2011安徽理，21】 21．（本小题满分13分）设λ>0，点A 的坐标为(1,1)，点B 在抛物线y x 2=上运动，点Q 满足BQ QA λ=，经过点Q 与x 轴垂直的直线交抛物线于点M ，点P 满足QM MP λ=,求点P 的轨迹方程．【解析】 ．。

2011年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（理）试题解析一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

(1) 设 i 是虚数单位，复数aii1+2-为纯虚数，则实数a 为 （A ）2 (B) -2 (C) 1-2 (D) 12（2） 双曲线x y 222-=8的实轴长是（A ）2 (B) (C) 4 （3） 设()f x 是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，()f x x x 2=2-，则()f 1= （A ）-3 (B) -1 （Ｃ）１ （Ｄ）３(5) 在极坐标系中，点 (,)π23到圆2cos ρθ= 的圆心的距离为（A ）2 (B)(C)（D)(6)一个空间几何体得三视图如图所示，则该几何体的表面积为（A ） 48 (D) 80 (7)命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定．．是 （A ）所有不能被2整除的数都是偶数（B ）所有能被2整除的数都不是偶数 （C ）存在一个不能被2整除的数是偶数 （D ）存在一个能被2整除的数不是偶数（7）D 【命题意图】本题考查全称命题的否定.属容易题.第（8）题图（9）已知函数()sin(2)f x x ϕ=+，其中ϕ为实数，若()()6f x f π≤对x R ∈恒成立，且()()2f f ππ>，则()f x 的单调递增区间是 （A ）,()36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ （B ）,()2k k k Z πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦ （C ）2,()63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦（D ）,()2k k k Z πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦ （9）A 【命题意图】本题考查正弦函数的有界性，考查正弦函数的单调性.属中等偏难题. (10) 函数()()mnf x ax x =1-g 在区间〔0,1〕上的图像如图所示，则m ，n 的值可能是 （A ）1,1m n == (B) 1,2m n == (C) 2,1m n == (D) 3,1m n ==第II卷（非选择题共100分）考生注意事项：请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡的相应位置.（11）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是.（12）设()x a a x a x a x2122101221-1=+++L，则.（15）在平面直角坐标系中，如果x与y都是整数，就称点(,)x y为整点，下列命题中正确的是_____________（写出所有正确命题的编号）.①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点②如果k与b都是无理数，则直线y kx b=+不经过任何整点、③直线l经过无穷多个整点，当且仅当l经过两个不同的整点④直线y kx b=+经过无穷多个整点的充分必要条件是：k与b都是有理数⑤存在恰经过一个整点的直线三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡的制定区域内.（16）(本小题满分12分)（17）（本小题满分12分）如图，ABCDEFG为多面体，平面ABED与平面AGFD垂直，点O在线段AD上，OA OD==OAB1,2,V,△OAC，△ODE，△ODF都是正三角形。

2011年安徽理答案参考答案1.A提示：1i (1i)(2i)212i 2i (2i)(2i)55a a a a +++-+==+--+为纯虚数，得20,52120,5aa a -⎧=⎪⎪⇒=⎨+⎪≠⎪⎩. 2.C提示：将双曲线方程化为22148x y -=，易知24a =，实轴长24a =.3.A提示：(1)(1)3f f =--=-. 4.B提示：作出不等式1x y +≤表示的平面区域，当目标函数过点(0,1)和(0,1)-时，分别取最大值和最小值，所以2x y +的最大值和最小值分别为2和2-. 5.D提示：点(2,)3π化为直角坐标为(2cos,2sin )33ππ，即(1,，圆的极坐标方程2cos ρθ=化为直角坐标方程为222x y x +=，即22(1)1x y -+=，圆心坐标为(1,0)，则由两点间距离公式得d ==6.C提示：由三视图可知几何体是直四棱柱（倒置）.其底面为上底为2，下底为4，高为4，的等腰梯形，侧棱长为4.故该几何体的表面积为12(24)44(224)482⨯⨯+⨯+⨯+=+. 7.D提示：存在一个能被2整除的数不是偶数.8.B提示：集合A 的所有子集共有6264=个，其中不含4,5,6的子集有328=个，所以集合S 共有56个. 9.C提示：由题意可知sin()1,3sin()sin(2),ϕϕϕπ⎧+=±⎪⎨⎪π+>π+⎩52()6k k ϕ=π-π∈解得Z ，5()sin(2)6f x x =-π故.由5222262k x k πππ--ππ+≤≤263k x k πππ+π+，解得≤≤.所以()f x 的单调递增区间为2[,]()63k k k πππ+π+∈Z . 10.B提示11(1)()()m n ax x mf x x m n m n---'=--++：，结合图像可知12m m n <+，故选B ；另解：结合图像，对选择支一一验证.11.15提示：由程序框图可知min (1)123105,152k k T k k +=++++=>=可得. 12.0提示：通项公式：21121C (1)k kk k T x -+=-，令2110k -=，得11k =，111021C a =-； 令2111k -=，得10k =，101121C a =，所以111010112121C C 0a a +=-+=.13.3π 提示：由22(2)()6261+-=-+-=-=得，即a b a b a a b b a b ，所以1cos ,2〈〉==a b a b a b ，又,[0,]〈〉∈πa b ，所以,3π〈〉=a b . 14.315提示：设三角形的三边长分别为4,,4(4)a a a a -+>，由余弦定理得222(4)(4)2(4)cos120a a a a a +=+---，得10a =， 所以三边长为6,10,14，ABC △的面积为1610sin120152S =⨯⨯⨯=15.①，③，⑤ 提示：令12y x =+满足①，故①正确；直线y =过整点(1,0)，所以②错误；设l ：0Ax By C ++=，若此直线过两个不同整点1122(,),(,)x y x y ，则11220,0,Ax By C Ax By C ++=⎧⎨++=⎩1212[(1)][(1)]0()A m x mx B m y my C m +-++-+=∈由此知Z ，即点1212((1),(1))m x mx m y my +-+-也在直线l 上，故直线l 经过无穷多个整点，所以③正确；12y x =+不经过任何整点，易知y kx b =+经过无穷多个整点⇔k 与b 都是有理数，④错误；直线y =恰过一个整点(0,0)，⑤正确；16.解：对)(x f 求导得22212()e (1)xax axf x ax +-'=+ . ①（1）当34=a ，若.21,23,0384,0)(212===+-='x x x x x f 解得则所以,21=x 是极小值点,22=x 是极大值点. （2）若)(x f 为R 上的单调函数，则)(x f '在R 上不变号，结合①与条件a >0，知2210ax a x -+≥在R上恒成立，因此2444(1)0,a a a a ∆=-=-≤由此并结合0>a ，知010,1a a <≤，即的取值范围是（ 17. （1）证明：（综合法）设G 是线段DA 与EB 延长线的交点.如下图.由于△OAB 与△ODE 都是正三角形，所以OB ∥1,2DE DE 且=O B OG=OD =2，同理，设G '是线段DA 与线段FC 延长线的交点，有.2=='OD G O 又由于G 和G '都在线段DA 的延长线上，所以G 与G '重合.在△GED 和△GFD 中，由OB ∥12DE OB DE =且和OC ∥12DF OC DF =且，可知B 和C 分别是GE 和GF 的中点，所以BC 是△GE F 的中位线，故BC ∥EF .（向量法）过点F 作AD FQ ⊥，交AD 于点Q ，连QE ，由平面ABED ⊥平面ADFC ，知FQ ⊥平面ABED ，以Q 为坐标原点，为x 轴正向，为y 轴正向，为z 轴正向，建立如下图所示空间直角坐标系.由条件知).23,23,0(),0,23,23(),3,0,0(),0,0,3(--C B F E则有).3,0,3(),23,0,23(-=-=所以,2BC EF =即得BC ∥EF .（2）解：由OB =1，OE =2，60,EOBEOB S ∠=︒=知，而△OED 是边长为2的正三角形，故OEDS=所以OBED EOB OEDSSS=+=过点F 作FQ ⊥AD ，交AD 于点Q ，由平面ABED ⊥平面ACFD 知，FQ 就是四棱锥F —OBED 的高，且FQ=3，所以13.32OBEDF OBED V FQ S -=⋅=四棱锥 18.解：（1）设122,,,n t t t +构成等比数列，其中,100,121==+n t t 则1212,n n n T t t t t ++=⋅⋅ ①1221,n n n T t t t t ++=⋅⋅ ②①×②并利用231210(12),i n i n t t t t i n +-+==+≤≤得22(2)12211221()()()()10,lg 2, 1.n n n n n n n n T t t t t t t t t a T n n +++++=⋅⋅===+从而≥（2）由题意和（1）中计算结果，知tan(2)tan(3), 1.n b n n n =+⋅+≥另一方面，利用,tan )1tan(1tan )1tan())1tan((1tan kk kk k k ⋅++-+=-+=得.11tan tan )1tan(tan )1tan(--+=⋅+kk k k所以∑∑+==⋅+==231tan )1tan(n k n k k n k k b S.1tan 3tan )3tan()11tan tan )1tan((23n n kk n k --+=--+=∑+=19.证明：（1）由于1,1x y ≥≥，所以2111()1(),x y xy xy x y y x xy xy x y++++⇔++++≤≤将上式中的右式减左式，得22[()][()1][()1][()()](1)(1)()(1)(1)(1)(1)(1)(1).1,1,(1)(1)(1)0,y x xy xy x y xy xy x y x y xy xy x y xy xy xy x y xy x y x y xy x y ++-++=--+-+=+--+-=---+=------既然≥≥所以≥从而所要证明的不等式成立.（2）设,log ,log y c x b b a ==由对数的换底公式得.log ,1log ,1log ,1log xy c yb x a xy a ac b c ====于是，所要证明的不等式即为111,x y xy xy x y++++≤ 其中log 1,log 1.a b x b y c ==≥≥故由（1）知所要证明的不等式成立.20.解：（1）无论以怎样的顺序派出人员，任务不能被完成的概率都是)1)(1)(1(321p p p ---，所以任务能被完成的概率与三个人被派出的先后顺序无关，并等于.)1)(1)(1(1321133221321321p p p p p p p p p p p p p p p +---++=----（2）当依次派出的三个人各自完成任务的概率分别为321,,q q q 时，随机变量X 的分布列为所需派出人员数目的均值（数学期望）EX 是.23)1)(1(3)1(2212121211q q q q q q q q q EX +--=--+-+=（3）（方法一）由（2）的结论知，当以甲在先、乙次之、丙最后的顺序派人时，.232121p p p p EX +--=根据常理，优先派出完成任务概率大的人，可减少所需派出的人员数目的均值. 下面证明：对于321,,p p p 的任意排列321,,q q q ，都有121232q q q q --+≥,232121p p p p +--……………………（*）事实上，)23()23(21212121p p p p q q q q +---+--=∆112212121122112122211122112122()()2()()()()(2)()(1)()(1)[()()]0.p q p q p p q q p q p q p q p q p q p p q q p q q p p q q =-+--+=-+-----=--+---+-+≥≥即（*）成立.（方法二）（i ）可将（2）中所求的EX 改写为,)(312121q q q q q -++-若交换前两人的派出顺序，则变为121223(),q q q q q -++-.由此可见，当12q q >时，交换前两人的派出顺序可减小均值.（ii ）也可将（2）中所求的EX 改写为212123q q q q +--，若交换后两人的派出顺序，则变为313123q q q q +--.由此可见，若保持第一个派出的人选不变，当23q q >时，交换后两人的派出顺序也可减小均值.综合（i ）（ii ）可知，当),,(),,(321321p p p q q q =时，EX 达到最小. 即完成任务概率大的人优先派出，可减小所需派出人员数目的均值，这一结论是合乎常理的.21.解：由λ=知Q ，M ，P 三点在同一条垂直于x 轴的直线上，故可设 2222000(,),(,),(,),(),(1).P x y Q x y M x x x y y x y x y λλλ-=-=+-则即 ①再设111010(,),,(,)(1,1),B x y BQ QA x x y y x y λλ=--=--由即解得⎩⎨⎧-+=-+=.)1(,)1(011λλλλy y x x ②将①式代入②式，消去0y ，得⎩⎨⎧-+-+=-+=.)1()1(,)1(2211λλλλλλy x y x x ③又点B 在抛物线2x y =上，所以211x y =，再将③式代入211x y =，得22222222(1)(1)[(1)],(1)(1)(1)2(1),2(1)(1)(1)0.0,(1),210.x y x x y x x x y x y λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ+-+-=+-+-+-=+-+++-+-+=>+--=因两边同除以得故所求点P 的轨迹方程为.12-=x y。