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北京市朝阳区高三二模
数学试卷 文科
2014．5
（考试时间120分钟 满分150分）
本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出
符合题目要求的一项． （1）若全集{},,,U a b c d =，{},A a b =，{}B c =，则集合{}d 等于 （A ）()U A
B ð （B ）A B （
C ）A B （
D ）()U A
B ð （2）下列函数中，既是奇函数又在区间0,+∞（）上单调递增的函数为
（A ） sin y x = （B ）ln y x = （C ）3y x = （D ） 2x y = （3）已知抛物线22x y =,则它的焦点坐标是
（A ）1,04⎛⎫
⎪⎝⎭ （B ）10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ （C ）10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ （D ）1,02⎛⎫
⎪⎝⎭
（4）执行如图所示的程序框图．若输入3a =,则输出i 的值是
（A ）2 （B ） 3 （C ） 4 （D ） 5
（5）由直线10x y -+=，50x y +-=和10x -=所围成的三角形区域(包括边界)用不等
式组可表示为
（A ）10,50,1.x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩ （B ）10,50,1.x y x y x -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩ （C ）10,50,1.x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩ （D ）10,50,1.x y x y x -+≤⎧⎪
+-≤⎨⎪≤⎩
（6）在区间ππ[-,]上随机取一个数x ，则事件：“cos 0x ≥”的概率为 （A ）
14 （B ） 34 （C ）23 （D ）12
（7）设等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S .若11a d ==，则8n n
S a +的最小值为
（A ）10 （B ）
92 （C ）72 （D
）1
2
+ ( 8 )已知平面上点{2200(,)()()16,P x y x x y y ∈-+-=其中}
22
004x y +=，当0x ，0y 变
化时，则满足条件的点P 在平面上所组成图形的面积是
(A) 4π (B) 16π ( C) 32π （D ）36π
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上． 9.计算
12i
1i
+=- . 10.已知两点()1,1A ，()1,2B -，若1
2
BC BA =
，则C 点坐标是 . 11.圆心在x 轴上，半径长是4，且与直线5x =相切的圆的方程是 ．
12.由两个四棱锥组合而成的空间几何体的三视图如图所示，其体积是 ；表面积是 ．
2
2俯视图
侧视图
正视图
（第12题图）
13.设一列匀速行驶的火车，通过长860m 的隧道时,整个车身都在隧道里的时间是22s .该列车以同样的速度穿过长790m 的铁桥时，从车头上桥，到车尾下桥，共用时33s ，则这列火车的长度为___m .
14.在如图所示的棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -中，作与平面1ACD 平行的截面，则截得的三角形中面积最大的值是___； 截得的平面图形中面积最大的值是___.
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15.（本小题满分13分）
在
ABC 中，a ，b ，c 分别是角A B C ，，的对边.
已知a =π3
A =
.
（Ⅰ）若b =C 的大小； （Ⅱ）若2c =，求边b 的长. 16. （本小题满分13分）
某市规定，高中学生在校期间须参加不少于80小时的社区服务才合格．某校随机抽取20位学生参加社区服务的数据，按时间段75,80),80,85),[85,90),[90,95),[95,100][[（单位：小时）进行统计，其频率分布直方图如图所示．
（Ⅰ）求抽取的20人中，参加社区服务时间不少于90小时的学生人数； （Ⅱ）从参加社区服务时间不少于90
小时的学生中任意选取2人，求所选学生的参加社区服务时间在同一时间段内的概率．
A
17. （本小题满分14分）
如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ． （Ⅰ）若E ，F 分别为PC ，BD 中点，
求证：EF ∥平面PAD ； （Ⅱ）求证：PA ⊥CD ；
（Ⅲ）若PA PD AD ==
， 求证：平面PAB ⊥平面PCD ． 18.（本小题满分13分）
已知函数e ()x
a f x x
⋅=（a ∈R ,0a ≠）.
（Ⅰ）当1a =时，求曲线()f x 在点()1,(1)f 处切线的方程； （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；
（Ⅲ）当()0,x ∈+∞时，若()f x 1≥恒成立，求a 的取值范围. 19.（本小题满分14分）
已知椭圆C 的中心在原点O ，焦点在x 轴上，离心率为1
2
，右焦点到右顶点的距离为1. （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；
（Ⅱ）若直线:l 10mx y ++=与椭圆C 交于,A B 两点，是否存在实数m ，使
O A O B O A O B +=-成立？若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由.
20.（本小题满分13分）
已知函数()f x 对任意,x y ∈R 都满足()()()1f x y f x f y +=++，且1()02
f =，数列{}n a 满足：()n a f n =，*n ∈N . （Ⅰ）求(0)f 及(1)f 的值; （Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式; （Ⅲ）若311()()4
2
n n
a
a n
b +=-，试问数列{}n b 是否存在最大项和最小项？若存在，求出最大
项和最小项；若不存在，请说明理由.
A
