计算（三）等差数列求和
知识精讲
一、定义：一个数列的前n 项的和为这个数列的和。
二、表达方式：常用n S 来表示 。
三：求和公式：和=(首项+末项)⨯项数2÷，1()2n n s a a n =+⨯÷。
对于这个公式的得到可以从两个方面入手：
(思路1)1239899100++++++L
11002993985051=++++++++L 1444444442444444443
共50个101
（）（）（）（） 101505050=⨯= (思路2)这道题目，还可以这样理解：
2349899100
1009998973212101101101101101101101
+++++++=+++++++=+++++++L L L 和=1+和倍和
即，和 (1001)100 2 10150 5050=+⨯÷=⨯=。
四、中项定理：对于任意一个项数为奇数的等差数列，中间一项的值等于所有项的平均
数，也等于首项与末项和的一半；或者换句话说，各项和等于中间项乘以项数。
譬如：① 48123236436922091800+++++=+⨯÷=⨯=L （），
题中的等差数列有9项，中间一项即第5项的值是20，而和恰等于209⨯； ② 65636153116533233331089++++++=+⨯÷=⨯=L （），
题中的等差数列有33项，中间一项即第17项的值是33，而和恰等于3333⨯。
例题精讲：
例1：求和：
（1）1+2+3+4+5+6 = （2）1+4+7+11+13=
（3）1+4+7+11+13＋ (85)
分析：弄清楚一个数列的首项，末项和公差，从而先根据项数公式求项数，再根据求和公式求和。
例如（3）式项数=（85-1）÷3+1=29
和=（1+85）×29÷2=1247
答案：（1）21 （2）36 （3）1247
例2：求下列各等差数列的和。
（1）1+2+3+4+…+199
（2）2+4+6+…+78
（3）3+7+11+15+…+207
分析：弄清楚一个数列的首项，末项和公差，从而先根据项数公式求项数，再根据求和公式求和。
例如（1）式=（1+199）×199÷2=19900
答案：（1）19900 （2）1160 （3）5355
例3：一个等差数列2，4，6，8，10，12，14，这个数列的和是多少？
分析：根据中项定理，这个数列一共有7项，各项的和等于中间项乘以项数，
即为：8756
⨯=
答案：56
例4：求1+5+9+13+17……+401该数列的和是多少。
分析：这个数列的首项是1，末项是401，项数是（401-1）÷4+1=101，所以根据求和公式，可有：
和=（1+401）×101÷2=20301
答案：20301
例5：有一串自然数2、5、8、11、……，问这一串自然数中前61个数的和是多少？
分析：即求首项是2，公差是3，项数是61的等差数列的和，
根据末项公式：末项=2+（61-1）×3=182
根据求和公式：和=（2+182）×61÷2=5612
答案：5612
例6：把自然数依次排成“三角形阵”，如图。第一排1个数；第二排3个数；第三排5个数；…
求：
（1）第十二排第一个数是几？最后一个数是几？
（2）207排在第几排第几个数？
（3）第13排各数的和是多少？
分析：整体看就是自然数列，每排的个数的规律是1,3,5，7...即为奇数数列若排数为n （n≥2de 自然数)，则这排之前的数共有（n-1）（n-1)个。
（1）第十二排共有23个数。前面共有（1+21）×11÷2=121个数，
所以第十二排的第一个数为122，最后一个数为122+（23-1）×1=144 （2）前十四排共有196个数，前十五排共有225个数，所以207在第十五排，第十五排的第一个数是197，所以207是第（207-197=10）个数
（3）前十二排共有144个数，所以第十三排的第一个数是145，而第十三排共有25个数，所以最后一个数是145+（25-1）×1=169，所以和=（145+169）×25÷2=3925 答案：（1）122；144 （2）第十五排第10个数（3）3925
例7：15个连续奇数的和是1995，其中最大的奇数是多少？
分析：由中项定理，中间的数即第8个数为：199515133
÷=，
所以这个数列最大的奇数即第15个数是：1332158147
（）。
+⨯-=
答案：147。
例8：把210拆成7个自然数的和，使这7个数从小到大排成一行后，相邻两个数的差都是5，那么，第1个数与第6个数分别是多少？
分析：由题可知：由210拆成的7个数必构成等差数列，则中间一个数为210÷7=30，所以，
这7个数分别是15、20、25、30、35、40、45。
即第1个数是15，第6个数是40。
答案：第1个数：15；第6个数：40。
例9：已知等差数列15，19，23，……443，求这个数列的奇数项之和与偶数项之和的差是多少？
分析：公差=19-15=4
项数=（443-15）÷4+1=108
倒数第二项=443-4=439
奇数项组成的数列为：15，23，31……439，公差为8，和为（15+439）×54÷2=12258 偶数项组成的数列为：19，27，35……443，公差为8，和为（19+443）×54÷2=12474 差为12474-12258=216
答案：216
例10：在1~100这一百个自然数中，所有能被9整除的数的和是多少？
分析：每9个连续数中必有一个数是9的倍数，在1~100中，我们很容易知道能被9整除的最小的数是991=⨯，最大的数是99911=⨯，这些数构成公差为9的等差数列，这个数列一共有：111111-+=项，所以，所求数的和是：9182799999112594++++=+⨯÷=L （）． 也可以从找规律角度分析．
答案：594
例11：一串数按下面的规律排列：1、2、3、2、3、4、3、4、5、4、5、6……问：从左面
第一个数起，前105个数的和是多少？
分析：这些数字直接看没有什么规律，但是如果3个一组，会发现这样一个数列：
6,9,12,15......
即求首项是6，公差是3，项数是105÷3=35的和
末项=6+3×（35-1）=108
和=（6+108）×35÷2=1995
答案：1995
例12：在下面12个方框中各填入一个数，使这12个数从左到右构成等差数列，其中10、16已经填好，这12个数的和为 。
16 10
分析：由题意知：这个数列是一个等差数列，又由题目给出的两个数10和16知：公差为2，那么第一个方格填26，最后一个方格是4，由等差数列求和公式知和为：(426)122180+⨯÷=。
答案：180。
本讲小结：1. 一个数列的前n 项的和为这个数列的和，我们称为 。
2. 求和公式：和=(首项+末项)⨯项数2÷，1()2n n s a a n =+⨯÷。
3.对于任意一个奇数项的等差数列，各项和等于中间项乘以项数。
练习：
1. 求和：（1）1+3+5+7+9= （2）1+2+3+4＋ (21)
（3）1+3+5+7+9＋ (39)
