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含参一元二次不等式的解法与恒成立问题
一元二次不等式是几何、代数以及统计学等领域中使用最广泛的不等式之一，其解法和恒成立问题也是学习和研究的重要内容。
首先，要理解含参一元二次不等式的解法，我们需要对一元二次方程有所了解。
一元二次不等式也可以表示为一元二次方程形式，也可以将一元二次方程化为一元二次不等式形式。
一元二次方程有一般形式ax^2 + bx + c = 0,其中a,b,c均为实数，且a≠0，这个方程有两个实根，如果a,b,c满足一定条件，那么解得的方程式可以写作
x^2+px+q≥0,其中p为常数，q为常数。
在求解含参一元二次不等式的时候，要先化成一元二次方程的形式，然后根据首项系数是正还是负，分两种情况讨论，如果ax^2为正，那么此一元二次不等式在实数集上有解，只要保证满足一定条件即可；若ax^2为负，则含参一元二次不等式可以分离，而只要满足条件就必定存在解。
当求解不等式的恒成立问题时，一般的思路是先将不等式的非负部分和负部分分开，求解其左右两边的值，例如：若有ax^2+bx+c≥0，可先将其分解为ax^2+c≥0和bx≥0，然后求解其左右两边的值，根据不等式的性质，求解其两个值，确定其恒成立条件。
总之，一元二次不等式的解法及其恒成立问题是学习和研究中重要的内容，也是大家常用的不等式之一。
要正确求解，首先要正确分离不等式，然后根据不等式的性质确定相应的恒成立条件。
微专题 含参不等式恒成立问题类型一：一次函数型例1：若不等式)1(122->-x m x 对满足22≤≤-m 都成立，求x 的范围。
变式.对于满足|p|≤2的所有实数p,求使不等式x 2+px+1>2p+x 恒成立的x 的取值范围。
类型二：二次函数型①利用一元二次函数的判别式对于一元二次函数),0(0)(2R x a c bx ax x f ∈≠>++=有：（1）R x x f ∈>在0)(上恒成立00<∆>⇔且a ；（2）R x x f ∈<在0)(上恒成立00<∆<⇔且a例2：若不等式02)1()1(2>+-+-x m x m 的解集是R ，求m 的范围。
变式：若R x ∈,不等式0322≥-+-m x x 恒成立,求m 的取值范围.①利用函数的最值（或值域）（1）m x f ≥)(对任意x 都成立m x f ≥⇔min )(；（2）m x f ≤)(对任意x 都成立max )(x f m ≥⇔。
简单计作：“大的大于最大的，小的小于最小的”。
由此看出，本类问题实质上是一类求函数的最值问题。
例3. 设f(x)=x 2-2ax+2,当x ∈[-1,+∞)时，f(x)≥a 恒成立，求a 的取值范围。
变式（补充）：求使不等式],0[,cos sin π∈->x x x a 恒成立的实数a 的范围。
①利用换元法例4. 已知当x ∈R 时，不等式a+cos2x<5-4sinx 恒成立，求实数a 的取值范围。
变式：124()lg ,3x xa f x ++=如果(.1)x ∈-∞时，()f x 恒有意义，求a 的范围。
①数形结合法例5.当x ∈(1,2)时，不等式(x -1)2<log a x 恒成立，求a 的取值范围。
变式：对⎪⎭⎫ ⎝⎛∈∀210x ，，x a x log 4<恒成立，a 的取值范围________【课后反馈训练】1. 若关于x 的一元二次方程0)1(2=-+-m x m x 有两个不相等的实数根，求m的取值范围.2. m 为什么实数，关于x 的一元二次方程0)1(2=+--m x m mx 没有实数根？3. 当k 为何值时，一元二次不等式08322<-+kx kx 对一切实数x 都成立？ 4. []1,1m -∈,不等式032≥+-m mx x 恒成立,求x 的取值范围.5. 若关于x 的不等式mx x x >+-2212的解集为{}20|<<x x ，求m 的值.6. 不等式0422≥++ax ax 对一切x 的值恒成立,求a 的取值范围7. 不等式022<+-a x ax 的解集为φ,求a 的取值范围8. 已知函数)..(22)(2R a ax x x f ∈+-=，当[)+∞-∈,1x 时，a x f ≥)(恒成立，求实数a 取值范围9. 已知a∈[－1,1]，不等式x 2＋(a －4)x ＋4－2a>0恒成立，则x 的取值范围为( )A ．(－∞，2)∈(3，＋∞)B ．(－∞，1)∈(2，＋∞)C ．(－∞，1)∈(3，＋∞)D ．(1,3)10．已知函数f(x)＝x 2＋ax －1在区间[0,3]上最小值－2，则实数a 的值为_______。
一元二次不等式恒成立问题热点命题——悟通考点1 形如f(x)≥0(x∈R)例1、若关于x 的不等式ax 2＋x －1≤0的解集为R ，则常数a 的取值范围是例2、不等式x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为( )A ．[－1，4]B ．(－∞ ，－2]∪ [5，＋∞)C ．(－∞ ，－1]∪ [4，＋∞)D ．[－2，5]考点2 形如f(x)≥0(x∈[a，b])例3、设对任意实数x ∈[－1，1]，不等式x 2＋ax －3a ＜0恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．a ＞0B ．a ＞12C ．a ＞14D ．a ＞0或a ＜－12 [考点3 形如f(x)≥0(参数m ∈[a ，b])例4、已知a ∈[－1，1]，不等式x 2＋(a －4)x ＋4－2a>0恒成立，求x 的取值范围．考点4 一元二次不等式与二次函数、二次方程的交汇问题例5、若关于x 的不等式ax 2＋3x ＋c ≥0的解集为[1，2]，则a ＝________，c ＝________．例6、 设a>1，若x>0时，[(a －1)x －1](x 2－ax －1)≥0恒成立，则a ＝________．迁移应用——练透1．已知关于x 的不等式x 2－ax ＋2a >0在R 上恒成立，则实数a 的取值范围是________．2．函数f (x )＝ln(3x 2＋ax ＋1)的定义域为R ，则实数a 的取值范围是________3．设a 为常数，∀x ∈R ，f (x )＝ax 2＋ax ＋1＞0，则a 的取值范围是( )A ．(0，4)B ．[0，4)C ．(0，＋∞)D ．(－∞，4)4．已知二次函数f(x)＝ax 2－(a ＋2)x ＋1(a ∈Z )，且函数f (x )在(－2，－1)上恰有一个零点，则不等式f (x )>1的解集为( )A ．(－∞，－1)∪(0，＋∞)B ．(－∞，0)∪(1，＋∞)C ．(－1，0)D ．(0，1)5．若不等式x 2＋ax －2>0在区间[1，5]上有解，则a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－235，＋∞B.⎣⎡⎦⎤－235，1 C ．(1，＋∞) D.⎝⎛⎭⎫－∞，－235 6．若关于x 的方程x 2＋(m －1)x ＋m 2－2＝0的两个实根一个小于1，一个大于1，则实数m 的取值范围是( )A ．(－2，2)B ．(－2，0)C ．(－2，1)D ．(0，1)7． 已知函数f(x)＝x 2＋ax ＋b(a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )<c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为( )A ．0B ．3C ．6D ．98．若不等式x 2＋2x ＋2＞|a －2|对于一切实数x 均成立，则实数a 的取值范围是________．9．已知f(x)＝x 2－2ax ＋2(a ∈R )，当x ∈[－1，＋∞)时，f (x )≥a 恒成立，求a 的取值范围．10设函数f (x )＝mx 2－mx －1.(1)若对于一切实数x ，f (x )<0恒成立，求m 的取值范围；(2)对于x ∈[1,3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求m 的取值范围.(3)对于任意m ∈[1,3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求实数x 的取值范围.例1 [解析由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ＝1＋4a ≤0，解得a ≤－14. 例2 方法一：原不等式可化为x 2－2x －a 2＋3a ＋5≥0，要使不等式对任意实数x 恒成立，则Δ＝(－2)2－4(－a 2＋3a ＋5)≤0，即a 2－3a －4≤0，解得－1≤a ≤4，故选A .方法二：x 2－2x ＋5＝(x －1)2＋4的最小值为4，要使x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，只需a 2－3a ≤4，解得－1≤a ≤4，故选A .例3设f(x)＝x 2＋ax －3a.因为对任意实数x ∈[－1，1]，不等式x 2＋ax －3a ＜0恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）<0，f （1）<0，即⎩⎪⎨⎪⎧（－1）2－a －3a<0，12＋a －3a<0， 解得a>12，即实数a 的取值范围是a>12，故选B . 例4解：把原不等式化为 (x －2)a ＋x 2－4x ＋4＞0，设 f(a)＝(x －2)a ＋x 2－4x ＋4，则f(a)可看成为关于a 的函数．由f(a)>0对于任意的a ∈ [－1，1]恒成立，得⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）>0，f （1）>0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－5x ＋6>0，x 2－3x ＋2>0， 解得x<1或x>3， 即x 的取值范围是(－∞，1)∪(3，＋∞)．例5解析：由题意得方程ax 2＋3x ＋c ＝0的两根为x 1＝1，x 2＝2，由根与系数的关系可得1＋2＝－3a ，1×2＝c a，解得a ＝－1，c ＝－2. 例6解析 设函数y 1＝(a －1)x －1，y 2＝ x 2－ax －1，则这两个函数图像都过定点P(0，－1)，问题可转化为两个函数在区间(0，＋∞)上的符号相同．在函数y 1＝(a －1)x －1中，令y 1＝0，得x ＝1a －1>0， 即函数y 1的图像与x 轴的交点坐标为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1，0， 而函数y 2＝ x 2－ax －1的图像过点M ，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －12－a a －1－1＝0，解得a ＝0或a ＝32.又a>1，所以a ＝32. 迁移应用——练透1[解析] (1)∵x 2－ax ＋2a >0在R 上恒成立，∴Δ＝a 2－4×2a <0，解得0<a <8.2 [解析]依题意，知3x 2＋ax ＋1>0对任意实数x 恒成立，所以Δ＝a 2－4×3×1<0，解得－23<a <2 3.3[解析]先分类讨论二次项系数，再由f(x)＞0恒成立，得出相应的判别式应小于0.当a ＝0时，f(x)＝1>0对∀x ∈R 成立；当a ≠0时，要使∀x ∈R ，f (x )＞0恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝a 2－4a <0，解得0<a <4. 综上，a 的取值范围是[0，4)，故选B.4[解析] (1)∵f(x)＝ax 2－(a ＋2)x ＋1，Δ＝(a ＋2)2－4a ＝a 2＋4>0，∴函数f(x)＝ax 2－(a ＋2)x ＋1必有两个不同的零点．又f(x)在(－2，－1)上恰有一个零点，∴f(－2)f(－1)<0，即(6a ＋5)(2a ＋3)<0，∴－32<a<－56. 又a ∈Z ，∴a ＝－1，∴不等式f (x )>1即为－x 2－x >0，解得－1<x <0，故选C.5[解析]由Δ＝a 2＋8>0，知不等式相应的方程恒有两个不等实根，又知两根之积为负， 所以方程必有一正根、一负根．于是不等式在区间[1，5]上有解的充要条件是f (5)＞0，解得a ＞－235，故a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－235，＋∞，故选A. 6 [解析] 设f (x )＝x 2＋(m －1)x ＋m 2－2，由关于x 的方程x 2＋(m －1)x ＋m 2－2＝0的两个实根一个小于1，一个大于1，得f (1)＜0，即12＋(m －1)＋m 2－2＜0，化简得m 2＋m －2＜0，解得－2＜m ＜1，即实数m 的取值范围是(－2，1).7 [解析] 由题意知f (x )＝x 2＋ax ＋b ＝⎝⎛⎭⎫x ＋a 22＋b －a 24. ∵f (x )的值域为[0，＋∞)，∴b －a 24＝0，即b ＝a 24，∴f (x )＝⎝⎛⎭⎫x ＋a 22， ∴f (x )<c ，即⎝⎛⎭⎫x ＋a 22<c ，解得－a 2－c <x <－a 2＋c ，∴⎩⎨⎧－a 2－c ＝m ，－a 2＋c ＝m ＋6，得2c ＝6，∴c ＝9. 8 [解析] ∵x 2＋2x ＋2＝(x ＋1)2＋1≥1，∴由不等式x 2＋2x ＋2＞|a －2|对于一切实数x 均成立，得|a －2|＜1，解得1＜a ＜3，∴实数a 的取值范围是(1，3)．9解：方法一：f (x )＝(x －a )2＋2－a 2，此二次函数图像的对称轴为直线x ＝a .①当a ∈(－∞ ，－1)时，f (x )在[－1，＋∞)上单调递增，且f (－1)＝2a ＋3，所以要使f (x )≥a ，x ∈[－1，＋∞)恒成立，只需2a ＋3≥a 即可，故－3≤a ＜－1.②当a ∈[－1，＋∞)时，f (x )min ＝f (a )＝2－a 2，所以只需2－a 2≥a 即可，故－1≤a ≤1. 综上所述，所求a 的取值范围是[－3，1]．方法二：令g (x )＝x 2－2ax ＋2－a ，由已知，得x 2－2ax ＋2－a ≥0在[－1，＋∞)上恒成立，即Δ＝4a 2－4(2－a )≤0或⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，a <－1，g （－1）≥0，解得－3≤a ≤1.故所求a 的取值范围是[－3，1]．10解： (1)要使mx 2－mx －1<0恒成立，若m ＝0，显然－1<0，满足题意； 若m ≠0，则⎩⎨⎧m <0，Δ＝m 2＋4m <0，即－4<m <0.∴－4<m ≤0. (2)方法一 要使f (x )<－m ＋5在x ∈[1,3]上恒成立，就要使m ⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6<0在x ∈[1,3]上恒成立. 令g (x )＝m ⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6，x ∈[1,3].当m >0时，g (x )在[1,3]上是增函数， ∴g (x )max ＝g (3)＝7m －6<0，∴0<m <67； 当m ＝0时，－6<0恒成立；当m <0时，g (x )在[1,3]上是减函数，∴g (x )max ＝g (1)＝m －6<0，得m <6，∴m <0.综上所述，m 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，67.。
含参数的一元二次不等式的解法解含参数的一元二次不等式，通常情况下，均需分类讨论，那么如何讨论呢对含参一元 二次不等式常用的分类方法有三种：一、按2x 项的系数a 的符号分类，即0,0,0<=>a a a ; 例1 解不等式：()0122>+++x a ax分析：本题二次项系数含有参数，()044222>+=-+=∆a a a ，故只需对二次项 系数进行分类讨论。
例2 解不等式()00652≠>+-a a ax ax分析 因为0≠a ，0>∆，所以我们只要讨论二次项系数的正负。
二、按判别式∆的符号分类，即0,0,0<∆=∆>∆； 例3 解不等式042>++ax x分析 本题中由于2x 的系数大于0,故只需考虑∆与根的情况。
例4 解不等式()()R m x x m ∈≥+-+014122三、按方程02=++c bx ax 的根21,x x 的大小来分类，即212121,,x x x x x x <=<；例5 解不等式)0( 01)1(2≠<++-a x aa x 分析：此不等式可以分解为：()0)1(<--ax a x ，故对应的方程必有两解。
本题只需讨论两根的大小即可。
例6 解不等式06522>+-a ax x ，0≠a分析 此不等式()0245222>=--=∆a a a ，又不等式可分解为()0)3(2>--a x a x ，故只需比较两根a 2与a 3的大小.含参不等式恒成立问题的求解策略“含参不等式恒成立问题”把不等式、函数、三角、几何等内容有机地结合起来，其以覆盖知识点多，综合性强，解法灵活等特点而倍受高考、竞赛命题者的青睐。
另一方面，在解决这类问题的过程中涉及的“函数与方程”、“化归与转化”、“数形结合”、“分类讨论”等数学思想对锻炼学生的综合解题能力，培养其思维的灵活性、创造性都有着独到的作用。
一元二次不等式含参数的恒成立问题一元二次不等式，听起来有点高深，对吧？这玩意儿就是形如 ( ax^2 + bx + c > 0 ) 的式子，咱们今天就来聊聊这东西是咋回事，尤其是当里面有个参数的时候。
这可不是简单的数学问题，常常让人觉得像是在解谜。
不过别担心，咱们就当是在拆礼物，看看里面藏着什么。
什么叫“恒成立”呢？打个比方，恒成立就像是你家里的冰箱，不管你是夏天还是冬天，打开都是凉的。
就像这个不等式，无论参数怎么变，它的结果总是满足我们的条件。
想象一下，如果你是个做饭的高手，常常需要调整配方，但总能做出好吃的菜，那就是恒成立的感觉了。
可是，问题来了，怎么才能保证这个不等式在参数变动的情况下，依然能“保持冰箱的温度”呢？咱们先说说这个一元二次不等式的基本形态。
它的图像是个抛物线，像个微笑的脸，如果开口向上，那就是快乐的象征。
如果开口向下，那可得小心了，可能是要掉眼泪。
要是我们想要它“始终微笑”，就得确保它的判别式大于零，或者为零，这样才能让它的根要么没有，要么只有一个，不然它可会出现“烦恼”的地方。
说到这里，可能有人问，参数到底是什么鬼？想象一下，这就像是给冰淇淋添加不同的口味。
有时候是巧克力，有时候是草莓，这样你的冰淇淋总是新鲜的。
如果参数能控制不等式的根，那你就得仔细分析了。
比如说，如果 ( a > 0 )，那这条抛物线一定是向上的，对吧？而如果 ( a < 0 )，那就要小心咯，可能会“翻车”。
有个小技巧，咱们可以考虑它的顶点。
顶点的坐标就像是那颗糖果的心，甜得让人开心。
顶点的 ( x ) 坐标是 ( frac{b{2a )，然后代入这个 ( x ) 值，算出 ( y ) 的值，这样就能知道这条抛物线的最高或最低点。
如果这个点的值大于零，那就说明不等式是恒成立的。
这可真是个“万无一失”的法宝！再来聊聊这种不等式的解法。
有时会用到一些不等式性质，就像是教你怎么调味。
比如说，CauchySchwarz 不等式，听起来高大上，其实就是在告诉你，合理搭配就能获得最优结果。
重难点第二讲一元二次不等式恒成立与能成立问题——每天30分钟7天掌握恒成立与能成立问题5大题型【命题趋势】不等式是高考数学的重要内容。
其中，“含参不等式恒成立与能成立问题”把不等式、函数、三角、几何等内容有机地结合起来，其以覆盖知识点多、综合性强、解法灵活等特点备受高考命题者的青睐。
另一方面，在解决这类数学问题的过程中涉及的“函数与方程”、“化归与转化”、“数形结合”、“分类讨论”等数学思想对锻炼学生的综合解题能力，培养其思维灵活性、创造性都有这独到的作用。
一元二次不等式应用广泛，考察灵活，高考复习过程要注重知识与方法的灵活运用。
第1天认真研究满分技巧及思考热点题型【满分技巧】一、一元二次不等式在实数集上的恒成立1、不等式20ax bx c>＋＋对任意实数x恒成立⇔==⎧⎨>⎩a bc或Δ<0>⎧⎨⎩a2、不等式20ax bx c<＋＋对任意实数x恒成立⇔==⎧⎨<⎩a bc或Δ<0<⎧⎨⎩a【注意】对于二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x轴上方；恒小于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x轴下方．二、一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题求解方法方法一：若()0>f x 在集合A 中恒成立，即集合A 是不等式()0>f x 的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含义求解参数的值(或范围)；方法二：转化为函数值域问题，即已知函数()f x 的值域为[,]m n ，则()≥f x a 恒成立⇒min ()≥f x a ，即≥m a ；()≤f x a 恒成立⇒max ()≤f x a ，即≤n a . 三、给定参数范围的一元二次不等式恒成立问题解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数；一般情况下，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数.即把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解。
一元二次不等式解法及含参不等式恒成立问题探究例、解关于x 的不等式022)3(2>-+++m mx x m 。
解：① 当03=+m 即3-=m 时，上述不等式可化简为650x -->，此时不等式的解集为5|6x x ⎧⎫<-⎨⎬⎩⎭。
② 当30m +≠即3m ≠-时，)6(4)2)(3(442m m m m -=-+-=∆。
（1）当0<△，即6>m 时，若30m +>即3m >-，则此时不等式的解集为R 。
若30m +<即3m <-，则此时不等式的解集为∅。
（2）当0=△，即6=m 时，若30m +>即3m >-，则此时不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠32|x x 。
若30m +<即3m <-，则此时不等式的解集为∅。
（3）当△>0，即63<<-m 时， 若30m +>即3m >-， 则此时不等式的解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+-+->+---<3636|m m m x m m m x x 或。
若03<+m 即3-<m ，则此时不等式的解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+-+-<<+---3636|m m m x m m m x 。
注：当二次项系数有参数且有可能为零时，首先需要对二次项是否为零进行讨论。
本题中，由于含参数的一元二次不等式的根的情况不确定，因此需要对其判别式进行讨论。
练习： 解x 的不等式04)1(22>++-x a ax 。
解：① 当0=a 时，原不等式可化简为240x -+>，此时不等式的解集为}2|{<x x ② 当0a ≠时，原不等式可转化为0)2)(2(>--x ax（1）当0>a 时，有0)2(2>-⎪⎭⎫ ⎝⎛-x a x若22a >即10<<a ，此时不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧><a x x x 22|或。
一元二次不等式解法【基础知识精讲】1.一元二次不等式(1)一元二次不等式经过变形，能够化成如下标准形式:①ax2+bx+c＞0(a＞0);②ax2+bx+c＜0(a＞0).2.一元二次函数的图像、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集对比表二次函数△情况一元二次方程一元二次不等式y=ax2+bx+c(a＞0) △=b2-4ac ax2+bx+c=0(a＞0)ax2+bx+c＞0(a＞0)ax2+bx+c＜0(a＞0)图像与解△＞0x1=x2=不等式解集为｛x｜x＜x1或x＞x2＝不等式解集为｛x｜x1＜x＜x2＝△=0x1=x2=x0=不等式解集｛x｜x≠x0,x∈R｝解集为△＜0 方程无解不等式解集为R(一切实数)解集为a＜0的情况自己完成例1解下列关于x的不等式:(1)2x+3-x2＞0;(2)x(x+2)-1≥x(3-x);(3)x2-2x+3＞0;(4)x2+6(x+3)＞3;分析解一元二次不等式一般步骤是:①化为标准形式；②确定判别式△=b2-4ac的符号；③若△≥0，则求出该不等式对应的二次方程的根；若△＜0，则对应二次方程无根；④联系二次函数的图像得出不等式的解集.特别地，若一元二次不等式的左边的二次三项式能分解因式，则可立即写出不等式的解集(在两根之内或两根之外).解:(1)原不等式可化为x2-2x-3＜0,(x-3)(x+1)＜0.∴不等式的解集为｛x｜-1＜x＜3｝.(2)原不等式可化为2x2-x-2≥0,(2x+1)(x-1)≥0.∴不等式的解集为｛x｜x≤-，或x≥1｝.(3)原不等式可化为(x-)2＞0.∴不等式的解集为｛x｜x∈R且x≠｝.(4)原不等式可化为x2+6x+15＞0.∵△＜0，方程x2+6x+15=0无实根，∴不等式的解集为R.评析熟练掌握一元二次方程、二次函数、一元二次不等式三者之间的关系，再加上熟练地分解因式、配方技能，解一元二次不等式就能得心应手.例3已知f(x)=x2+2(a-2)x+4.(1)如果对一切x∈R，f(x)＞0恒成立，求实数a的取值范围.(2)如果对x∈〔-3，1〕，f(x)＞0成立，求实数a的取值范围.解:f(x)的图像开口向上.(1)对一切实数x，f(x)＞0，则△＜0，即(a-2)2-4＜0，∴0＜a ＜4；(2)当x∈〔-3，1〕时，f(x)＞0，对称轴2-a 可在区间内，也可在区间外，∴ 或或解得- ＜a ＜4评析 函数f(x)在给定区间上f(x)＞0(或f(x)＜0) f(x)在该区间上的最小(或最大)值大于(或小于)零.只有深刻理解了二次函数在给定区间上的最值意义，才能正确处理函数的局部性质与整体性质的关系.含参数的一元二次不等式的解法解含参数的一元二次不等式，通常情况下，均需分类讨论，那么如何讨论呢？对含参一元二次不等式常用的分类方法有三种： 一、按2x 项的系数a 的符号分类，即0,0,0<=>a a a ; 例1 解不等式：()0122>+++x a ax例2． 解不等式()00652≠>+-a a ax ax二、按判别式∆的符号分类，即0,0,0<∆=∆>∆； 例3 .解不等式042>++ax x例4 解不等式()()R m x x m ∈≥+-+014122三、按方程02=++c bx ax 的根21,x x 的大小来分类，即212121,,x x x x x x <=<；例5 解不等式)0( 01)1(2≠<++-a x aa x例6 解不等式06522>+-a ax x ，0≠a1、已知不等式[]22023x x a x -+>∈对任意实数，恒成立。
含参数的一元二次不等式的解法解含参数的一元二次不等式，通常情况下，均需分类讨论，那么如何讨论呢对含参一元 二次不等式常用的分类方法有三种：一、按2x 项的系数a 的符号分类，即0,0,0<=>a a a ; 例1 解不等式：()0122>+++x a ax分析：本题二次项系数含有参数，()044222>+=-+=∆a a a ，故只需对二次项 系数进行分类讨论。
例2 解不等式()00652≠>+-a a ax ax分析 因为0≠a ，0>∆，所以我们只要讨论二次项系数的正负。
二、按判别式∆的符号分类，即0,0,0<∆=∆>∆； 例3 解不等式042>++ax x分析 本题中由于2x 的系数大于0,故只需考虑∆与根的情况。
例4 解不等式()()R m x x m ∈≥+-+014122三、按方程02=++c bx ax 的根21,x x 的大小来分类，即212121,,x x x x x x <=<；例5 解不等式)0( 01)1(2≠<++-a x aa x 分析：此不等式可以分解为：()0)1(<--ax a x ，故对应的方程必有两解。
本题只需讨论两根的大小即可。
例6 解不等式06522>+-a ax x ，0≠a分析 此不等式()0245222>=--=∆a a a ，又不等式可分解为()0)3(2>--a x a x ，故只需比较两根a 2与a 3的大小.含参不等式恒成立问题的求解策略“含参不等式恒成立问题”把不等式、函数、三角、几何等内容有机地结合起来，其以覆盖知识点多，综合性强，解法灵活等特点而倍受高考、竞赛命题者的青睐。
另一方面，在解决这类问题的过程中涉及的“函数与方程”、“化归与转化”、“数形结合”、“分类讨论”等数学思想对锻炼学生的综合解题能力，培养其思维的灵活性、创造性都有着独到的作用。
本文就结合实例谈谈这类问题的一般求解策略。
一、判别式法若所求问题可转化为二次不等式，则可考虑应用判别式法解题。
一般地，对于二次函数),0()(2R x a c bx ax x f ∈≠++=,有1）0)(>x f 对R x ∈恒成立⎩⎨⎧<∆>⇔00a ;2）0)(<x f 对R x ∈恒成立.00⎩⎨⎧<∆<⇔a例7：若不等式02)1()1(2>+-+-x m x m 的解集是R ，求m 的范围。
解析：要想应用上面的结论，就得保证是二次的，才有判别式，但二次项系数含有参数m ，所以要讨论m-1是否是0。
例8．已知函数])1(lg[22a x a x y +-+=的定义域为R ，求实数a 的取值范围。
二、最值法将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的一种处理方法，其一般类型有： 1）a x f >)(恒成立min )(x f a <⇔ 2）a x f <)(恒成立max )(x f a >⇔例9、若[]2,2x ∈-时，不等式23x ax a ++≥恒成立，求a 的取值范围。
例9．函数),1[,2)(2+∞∈++=x xax x x f ，若对任意),1[+∞∈x ，0)(>x f 恒成立，求实数a 的取值范围。
三、分离变量法若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数范围。
这种方法本质也还是求最值，但它思路更清晰，操作性更强。
一般地有：1）为参数）a a g x f )(()(<恒成立max )()(x f a g >⇔2）为参数）a a g x f )(()(>恒成立max )()(x f a g <⇔ 例11、已知(],1x ∈-∞时，不等式()21240xxa a++-⋅>恒成立，求a 的取值范围。
例12、已知函数()lg 2a f x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，若对任意[)2,x ∈+∞恒有()0f x >，试确定a 的取值范围。
四、变换主元法处理含参不等式恒成立的某些问题时，若能适时的把主元变量和参数变量进行“换位”思考，往往会使问题降次、简化。
例13．对任意]1,1[-∈a ，不等式024)4(2>-+-+a x a x 恒成立，求x 的取值范围。
分析：题中的不等式是关于x 的一元二次不等式，但若把a 看成主元，则问题可转化为一次不等式044)2(2>+-+-x x a x 在]1,1[-∈a 上恒成立的问题。
例14、若不等式()2211x m x ->-对满足2m ≤的所有m 都成立，求x 的取值范围。
五、数形结合法数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，这充分说明了数形结合思想的妙处，在不等式恒成立问题中它同样起着重要作用。
我们知道，函数图象和不等式有着密切的联系：1）⇔>)()(x g x f 函数)(x f 图象恒在函数)(x g 图象上方；2）⇔<)()(x g x f 函数)(x f 图象恒在函数)(x g 图象下上方。
例15．设x x x f 4)(2--=, a x x g -+=134)(, 若恒有)()(x g x f ≤成立,求实数a 的取值范围.例16．设22)(2+-=mx x x f ，当),1[+∞-∈x 时，m x f ≥)(恒成立，求实数m 的取值范围。
例1解：∵()044222>+=-+=∆a a a解得方程 ()0122=+++x a ax 两根,24221a a a x +---=aa a x 24222++--=∴当0>a 时,解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+---<++-->a a a x a a a x x 242242|22或当0=a 时，不等式为012>+x ,解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧>21|x x当0<a 时, 解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+---<<++--a a a x a a a x 242242|22例2解 ()()032)65(2>--=+-x x a x x a∴当0>a 时，解集为{}32|><x x x 或；当0<a 时，解集为{}32|<<x x例3解：∵162-=∆a∴当()4,4-∈a 即0<∆时，解集为R ； 当4±=a 即Δ＝0时，解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠∈2a x R x x 且； 当4>a 或4-<a 即0>∆,此时两根分别为21621-+-=a a x ，21622---=a a x ，显然21x x >,∴不等式的解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧----+->21621622a a x a a x x 〈或例4 解 因,012>+m ()()2223414)4(m m -=+--=∆所以当3±=m ，即0=∆时，解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧=21|x x ；当33<<-m ，即0>∆时，解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+--+-+>1321322222m m x m m x x 〈或； 当33>-<m m 或，即0<∆时，解集为R 。
例5 解：原不等式可化为：()0)1(<--a x a x ，令aa 1=，可得：1±=a∴当1-<a 或10<<a 时，a a 1< ，故原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<a x a x 1|；当1=a 或1-=a 时，aa 1=,可得其解集为φ；当01<<-a 或1>a 时, a a 1>,解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<a x a x 1|。
例6解 原不等式可化为：()0)3(2>--a x a x ，对应方程()0)3(2=--a x a x 的两根为 a x a x 3,221==，当0a 时，即23a a ，解集为{}a x a x x 23|<>或；当0<a 时，即23a a ，解集为{}|23x x a x a ><或例7：（1）当m-1=0时，元不等式化为2>0恒成立，满足题意；（2）01≠-m 时，只需⎩⎨⎧<---=∆>-0)1(8)1(012m m m ，所以，)9,1[∈m 。
例8．解：由题设可将问题转化为不等式0)1(22>+-+a x a x 对R x ∈恒成立，即有04)1(22<--=∆a a 解得311>-<a a 或。
所以实数a 的取值范围为),31()1,(+∞--∞ 。
例9解：设()23f x x ax a =++-，则问题转化为当[]2,2x ∈-时，()f x 的最小值非负。
（1） 当22a -<-即：4a >时，()()min 2730f x f a =-=-≥ 73a ∴≤又4a >所以a 不存在；（2） 当222a -≤≤即：44a -≤≤时，()2min 3024a a f x f a ⎛⎫=-=--≥ ⎪⎝⎭62a ∴-≤≤ 又44a -≤≤ 42a ∴-≤≤（3） 当22a-> 即：4a <-时，()()min 270f x f a ==+≥ 7a ∴≥-又4a <-74a ∴-≤<-综上所得：72a -≤≤例10解：若对任意),1[+∞∈x ，0)(>x f 恒成立，即对),1[+∞∈x ，02)(2>++=x ax x x f 恒成立， 考虑到不等式的分母),1[+∞∈x ，只需022>++a x x 在),1[+∞∈x 时恒成立而得而抛物线a x x x g ++=2)(2在),1[+∞∈x 的最小值03)1()(min >+==a g x g 得3->a注：本题还可将)(x f 变形为2)(++=xax x f ，讨论其单调性从而求出)(x f 最小值。
例11解：令2x t =，(],1x ∈-∞ (]0,2t ∴∈ 所以原不等式可化为：221t a a t+-<，要使上式在(]0,2t ∈上恒成立，只须求出()21t f t t +=在(]0,2t ∈上的最小值即可。
()22211111124t f t t t t t +⎛⎫⎛⎫==+=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11,2t ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭ ()()min 324f t f ∴== 234a a ∴-< 1322a ∴-<<例12解：根据题意得：21ax x+->在[)2,x ∈+∞上恒成立，即：23a x x >-+在[)2,x ∈+∞上恒成立，设()23f x x x =-+，则()23924f x x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭当2x =时，()max 2f x = 所以2a >例13．解：令44)2()(2+-+-=x x a x a f ，则原问题转化为0)(>a f 恒成立（]1,1[-∈a ）。
