理论力学答案完整版(清华大学出版社)3

∑ Fx = 0 ， FAx + FBx = 0 ，
FAx = −FBx = 0 kN
∑ Fy = 0, FAy − FBy = 0 ， FAy = 6 kN ;
∑ mA = 0 ,
mA − M − FBy × 4 = 0 ,
mA = 32 kN ⋅ m .
题 3-4(a) 图
(b) 解：（1）先取 CD 梁为对象，画受力图，列平衡方程:
除了 3 个约束外力外，3 根杆的轴力也是未知的，共有 6 个未知量。AB 梁可以列出 3 个平衡方程，连接 3 根杆的铰链可以列出 2 个平衡方程，共有 5 个方程，所以，该系统的内 力是 1 次静不定。
3-2 炼钢炉的送料机由跑车 A 与可移动的桥 B 组成，如图示。跑车可沿桥上的轨道运 动，两轮间距离为 2 米，跑车与操作架、手臂 OC 以及料斗相连，料斗每次装载物料重 W=15kN，平臂长 OC=5m。设跑车 A、操作架和所有附件总重量为 P，作用于操作架的轴线。 试问 P 至少应多大才能使料斗在满载时不致翻倒？
平面桁架由 21 根杆组成，所以有 21 个未知轴力，加上 3 个支座反力，共有 24 个未知 量。21 根杆由 10 个铰链连接，每个铰链受到平面汇交力系作用。若以铰链为研究对象，可 以列出 2×10=20 个平衡方程。所以，此平面桁架的内力是 24-20=4 次静不定。
（6）整体在 A 处为固定铰链，B 处为辊轴铰链，共有 3 约束力组成平面一般力系，而 独立的平衡方程也有 3 个，因此，该系统的外力是静定的。
判定一个力学系统静定与否，必需比较全部未知约束力分量的数目与全部独立平衡方程 的数目。
二、考虑摩擦的平衡问题 1 滑动摩擦力
1
维持物块平衡的摩擦力的值只能在零和 Fmax 之间，即 0 ≤ F ≤ Fmax .
库仑摩擦定律: 最大静滑动摩擦力的方向与相对滑动趋势的方向相反,其大小与正压力
成正比,而与接触面积的大小无关, 即 Fmax = fs FN .
(a) 解：以 AB 以梁为研究对象，画受力图，列平衡方程
∑ Fx = 0 ， FC cos 60o + F1 cos 60o = 0 ，
FC = −F1 = −30 kN
∑ mB = 0,
−
FA
×8
−
M
−
FC
sin
60o
×3+
F1
sin 60o
×8
,
+ F2 × 4 + q × 3×1.5 = 0
（a）解：（1）先取 CD 梁为对象，画受力图，列平衡方程:
∑ mC
=
0 ， FDa
−
1 qa2 2
−M
=
0，
FD
=
3 2
qa
。
∑ Fx = 0 ， FCx = 0 。
5
∑ Fy = 0, FCy + FD − F − qa = 0
FCy
=
1 2
qa
。
2）再取 AC 梁为对象，画受力图，列平衡方程:
（2）AD 梁上，固定铰链 A 处有 2 个约束力，辊轴铰链 B、C 和 D 各有 1 个约束力， 共有 5 个约束力，这 5 个约束力组成平面一般力系，可以列出 3 个独立的平衡方程。所以， AD 梁是 2 次静不定。
（3）曲梁 AB 两端都是固定端约束，各有 3 个共 6 个约束力组成平面一般力系，而独 立的平衡方程只有 3 个。所以是 3 次静不定。
平面力偶系:
∑mz = 0
∑my ≡ 0
平面平行力系:
∑ Fz = 0 ∑mx = 0
解题要领： 1 解平衡问题的三部曲：确定研究对象、画受力图、列平衡方程； 2 通常先以整体为研究对象，再以部分为研究对象； 3 平衡方程的两种形式：投影式和对轴的力矩式，两者都与轴有关，选择合适的坐标轴可
避免解联立方程。 4 做一定数量的习题是掌握平衡问题的关键。
FAx = FBx = 0 .
∑ mA = 0 ，
第三章
本章要点：
一、力系的平衡方程及其应用 1 平衡方程
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平衡问题：矢量方法
空间力系:
∑ Fx = 0, ∑ Fy = 0, ∑ Fz = 0, ∑ mx = 0, ∑ my = 0, ∑ mz = 0
MO ≡ 0
空间汇交力系:
∑ Fx = 0 ∑ Fy = 0 ∑ Fz = 0
FR′ ≡ 0
空间力偶系:
2 要区分物体维持平衡时的摩擦力与能够产生的最大静摩擦力，两者不可混淆。 3 有摩擦时的平衡问题往往还伴随物体的翻倒问题，要全面考虑，择其合理解。 4 自锁问题通常利用摩擦角概念和二力平衡条件或三力平衡汇交定理解题，具有几何直观、 概念清楚和便于理解的特点。关键是要确定临界平衡时的摩擦角。 5 滚动摩擦问题的考虑类似于滑动摩擦问题。
− F2 sin 30o × 6 = 0, 解得： FB = 8.42 kN, FD = 57.4 kN ； ∑ Fy = 0,
FD sin 45o + FB sin 45o + FC − F1 − F2 sin 30o = 0 ， 解得： FC = 3.45 kN 。
题 3-3(b)图
3-4 试求图示多跨梁的支座反力。已知（a） M = 8 kN ⋅ m ， q = 4 kN/m ；（b） M = 40 kN ⋅ m ， q = 10 kN/m 。
FA = 63.22 kN . ∑ Fy = 0, FA + FC sin 60o + FB − F1 sin 60o − F2 − q × 3 = 0 ,
FB = 88.74 kN .
题 3-3(a)图
（b）解：以 AB 以梁为研究对象，画受力图，列平衡方程
∑ Fx = 0 ， FD cos 45o − FB cos 45o − F2 cos30o = 0 ， ∑ mC = 0, FD sin 45o × 4 + FB sin 45o × 8 − M − F1 × 2
∑ mB
=
0，−
FAy a
−
FCy a
−
1 qa2 2
=
0，
FAy = −qa 。
∑ Fx = 0 ， FAx − FCx = 0 ， FAx = 0 。
∑ Fy = 0,
FAy + FB − FCy − qa = 0 ，
FB
=
5 2
qa
。
题 3-5(a)图
（b）解：（1）取 BC 梁为对象，画受力图。因分布载荷呈三角形分布，B 点处的载荷集度 为 q/2。列平衡方程:
2 摩擦角与自锁现象
在临界平衡状态下，全反力与正压力的夹角ϕmax 称为摩擦角，与摩擦因数 f s 的关系为
tan ϕ max
=
Fmax FN
=
fs ，
即摩擦角的正切等于静滑动摩擦因数。
当主动力的合力作用线位于摩擦锥内时，不论这个力多大，接触面一定能产生与之大小
相等、方向相反的全反力与之平衡，这种依靠摩擦力维持平衡而与主动力大小无关的现象称
2 静定和静不定问题 未知约束力分量的数目等于独立平衡方程的数目，这类平衡问题称为静定问题； 未知约束力分量的数目大于独立平衡方程的数目，这类平衡问题称为静不定问题，两者
之差称为静不定次数。这类问题需要补充与静不定次数相同数量的变形协调方程才能求解。 未知约束力分量的数目小于独立平衡方程的数目，这类平衡问题是不存在的。 解题要领：
∑mx = 0 ∑my = 0 ∑mz = 0
FR′ × k ≡ 0
空间平行力系:
∑ Fz = 0 ∑mx = 0 ∑my = 0
FR′ ⋅ k ≡ 0 MO ×k ≡ 0
平面力系:
∑ Fx = 0 ∑ Fy = 0 ∑mz = 0
∑ Fz ≡ 0
平面汇交力系:
∑ Fx = 0 ∑ Fy = 0
∑mx ≡ 0 ∑my ≡ 0
∑ Fx = 0 ， FBx = 0
∑ mB = 0 ，
FC
2a
−
1 2
q 2
(2a)2
−
1 2
⋅
q 2
⋅
2a
⋅
2 3
2a
=
0
，
FC
=
5 6
qa 。
∑ Fy = 0,
−
FBy
+
FC
−
3 2
q
⋅
2a
⋅
1 2
=
0，
FBy
=
−
2 3
qa
（2）取 AB 梁为对象，画受力图。列平衡方程:
∑ Fx = 0 ， − FAx + FBx = 0 ，
(a) 解：（1）先取 BC 梁为对象，画受力图，列平衡方程
∑ mB = 0 ， FC × 4 − q × 6 × 3 = 0 ，
4
FC = 18 kN ；
∑ Fy = 0, FBy + FC − q × 6 = 0 ，
FBy = 6 kN
∑ Fx = 0 ， FBx = 0 kN
（2）再取 AB 梁为对象，画受力图，列平衡方程
3
题 3．2 图
解：以送料机为研究对象，受力图如图 示。满载时不致翻倒的临界状态是
FNE = 0 。列平衡方程： ∑ mF = 0 ， P ×1−W × 4 = 0 ，
解得 P = 4W = 4×15 = 60(kN)
所以，当 P > 60kN 时，才能使料斗在
满载时不致翻倒。
3-3 梁 AB 用三根杆支承，如图示。已知 F1 = 30kN ， F2 = 40kN ， M = 30kN ⋅ m ， q = 20kN/m 。试求三杆的约束力。
（4）刚架在 A、B 和 C 处都是固定端约束，各有 3 个共 9 个约束力组成平面一般力系， 而独立的平衡方程只有 3 个。所以是 6 次静不定。
（5）平面桁架在 A 处为固定铰链，B 处为辊轴铰链，共有 3 约束力组成平面一般力系， 而独立的平衡方程也有 3 个，因此，该平面桁架的外力是静定的。
三、平面桁架的静力计算 桁架是由许多直杆彼此在端部用焊接、铆接、榫接而成的几何不变结构。平面桁架可分
为简单桁架和复杂桁架。平面简单桁架是静定结构，复杂桁架可以是静定的，也可能是静不 定的。主要有两种解法：节点法和截面法。
解题要领：
1 将组成桁架的各杆进行编号，内力编号与杆号一致， 内力都假设杆是受拉。计算结果内 力为正，表明原先的假设与实际情况相同，即杆受拉，反之，杆受压。杆实际受拉还是受压 十分重要，不可混淆。 2 确定零杆，即内力为零的杆，以简化计算。 3 计算时，先取整体为对象，求出支座反力。 4 节点法是从只有 2 根杆的节点开始，依次列出各节点的平衡方程，解出各杆内力。节点法 可以解出全部杆的内力。 5 截面法是以一假想的截面截取桁架的一部分为研究对象，只截杆而不可截节点，最好选择 截面的未知杆数不超过 2。 6 灵活应用截面法和节点法，可以提高计算效率。
解题要领： 1 滑动摩擦问题，要区分三种状态：
ⅰ）平衡范围之内，即 0 ≤ F < Fmax ，此时，静滑动摩擦力相当于普通的约束力，力矢
的箭头指向可以任意假定；
ⅱ）临界平衡状态，即 F = Fmax = f s FN ，此时，静滑动摩擦力矢的箭头指向是确定的，
不能任意假定；
ⅲ）滑动状态，即 F ' = fFN ，此时，动滑动摩擦力矢的箭头指向是已知的。
∑ mC = 0 , FD × 4 − q × 2 ×1 − M = 0 ,
FD = 15 kN ; ∑ Fy = 0, − FCy + FD − q × 2 = 0 ,
FCy = −5 kN
∑ Fx = 0 ， FCx = 0 kN
（2）再取 AC 梁为对象，画受力图，列平衡方
程:
∑ mB = 0 , − FAy × 2 − q × 2 ×1 + FCy × 2 = 0 ,
2
第三章 平衡问题：矢量方法 习题解答
3-1 讨论图示各平衡问题是静定的还是静不定的，若是静不定的试确定其静不定的次 数。
题 3.1 图
解：（1）以 AB 杆为对象，A 为固定端约束，约束力有 3 个。如果 DC 杆是二力杆，则 铰 C 处有 1 个约束力，这 4 个力组成平面一般力系，独立平衡方程有 3 个，所以是 1 次静 不定；如果 DC 杆不是二力杆，则铰 C 和 D 处各有 2 个约束力，系统共有 7 个约束力，AB 杆和 DC 杆上的约束力各组成平面一般力系，独立平衡方程共有 6 个，所以，是 1 次静不定。
FAy = −15 kN .
∑ Fy = 0, FAy + FB − q × 2 + FCy = 0
FB = 40 kN . ∑ Fx = 0 , − FAx + FCx = 0
题 3-4(b)图
FAx = 0 kN .
3-5 梁的支承及载荷如图示。已知： F = qa ， M = qa 2 。试求支座的约束力。
为自锁。反之，主动力的合力作用线位于摩擦锥外时，不论这个力多小，物体总不平衡。
1 滚动摩擦
维持滚动体平衡的滚阻力偶 M f 的值只能在零和 M f ,max 之间，即 0 ≤ M f ≤ M f ,max . 最大滚阻力偶 M f ,max 与正压力 FN 成正比，即
M f ,max = δFN 。