18 异步电机在正交坐标系上的状态方程

7



3/2 变换将按三相绕组等效为互相垂直的两 相绕组，消除了定子三相绕组、转子三相绕 组间的相互耦合。 定子绕组与转子绕组间仍存在相对运动，因 而定、转子绕组互感阵仍是非线性的变参数 阵。输出转矩仍是定、转子电流及其定、转 子夹角的函数。 与三相原始模型相比， 3/2 变换减少了状态 变量的维数，简化了定子和转子的自感矩阵。
29
6.5.3 状态方程 i s ψs 为状态变量
X rd rq isd isq
T
输入变量
U usd usq 1 TL
Y r
T
T
输出变量
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dq坐标系

笼型转子内部是短路的 电压方程
d sd dt d sq dt d rd dt d rq dt
u rd u rq 0

Rs isd 1 sq u sd Rs isq 1 sd u sq Rr ird (1 ) rq Rr irq (1 ) rd
cos sin C2 s / 2 r ( ) sin cos

转子旋转变换阵
cos( ) sin( ) C2 r / 2 r ( ) sin( ) cos( )
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旋转正交坐标系中的动态 数学模型

转矩方程
Te n p L m [(is ir ' is ir ' )sin (is ir ' is ir ' )cos ]
6
变换方法举例
由6-12式变换到6-40式
C3/2 0 C3/2 0 C2/3 0 C3/2 0 0 C u6 0 C R 66 0 C 0 C I6 3/2 3/2 2/3 3/2 d C3/2 0 + 6 dt 0 C3/2
U us us TL
Y

2 r 2 r
T
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转矩方程
Te

n p Lm Lr
(is r is r )
运动方程
J d Te TL n p dt
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状态方程
2 np d n p Lm (is r is r ) TL dt JLr J d r L 1 r r m is dt Tr Tr d r Lm 1 r r is dt Tr Tr

转矩方程
Te n p Lm (is ir is ir )
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变换方法举例
由6-40式到6-44式
r d r ' d C2 r /2 s C2 r /2 s (C2 s /2 r ) dt dt ' r r d r r dt r r
(6-40)
5

磁链方程
0 Ls Lm sin Lm cos Lm cos Lm sin Lr 0 Lm sin i s i Lm cos s ir 0 Lr ir
Ls s 0 s r Lm cos r Lm sin
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6.5 异步电动机在正交坐标系 上的状态方程
异步电动机动态数学模型，其中既有微分 方程（电压方程与运动方程），又有代数 方程（磁链方程和转矩方程）。 经坐标变换后系统由7阶降为5阶 应根据研究目的选取状态变量（定子电压 与磁链关系）

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6.5.1状态变量的选取
旋转正交坐标系上的异步电动机具有 4阶 电压方程和 1 阶运动方程，因此须选取 5 个状态变量。 可选的状态变量共有 9 个，这 9 个变量分 为5组： ①转速；②定子电流；③转子电流； ④定子磁链；⑤转子磁链。



异步电动机定子绕组是静止的，只要进行 3/2 变换就行了。 转子绕组是旋转的，必须通过 3/2 变换和旋转 到静止的变换，才能变换到静止两相正交坐标 系。 对静止的定子三相绕组和旋转的转子三相绕组 进行相同的 3/2 变换，变换后的定子两相正交 坐标系静止，而转子两相正交坐标系以角速度 逆时针旋转。
3
1. 定子绕组和转子绕组的3/2变换

对静止的定子三相绕组和旋转的转子三相绕 组进行相同的 3/2 变换，变换后的定子两相 正交坐标系静止，而转子两相正交坐标系以 角速度 逆时针旋转。
图6-7 定 子、转子 坐标系到 静止两相 正交坐标 系的变换
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电压方程
u s R s u 0 s u r 0 u r 0 0 Rs 0 0 0 0 Rr 0 0 i s s i 0 s d s 0 i r dt r R r i r r

转矩方程
Te n p Lm (isqird - isd irq )
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旋转正交坐标系中的磁链方程和转矩方程与静止两 相正交坐标系中相同，仅下标改变。 两相旋转正交坐标系的电压方程中旋转电势非线性 耦合作用更为严重，这是因为不仅对转子绕组进行 了旋转变换，对定子绕组也施行了相应的旋转变换。 旋转正交坐标系的优点在于增加了一个输入量 ω 1 ， 提高了系统控制的自由度。旋转速度任意的正交坐 标系无实际使用意义，常用的是同步旋转坐标系， 将绕组中的交流量变为直流量，以便模拟直流电动 机进行控制。
(6-49)
16
u sd Rs u sq 0 u rd 0 u rq 0

磁链方程
sd Ls sq 0 rd Lm rq 0 0 Ls 0 Lm Lm 0 Lr 0 0 i sd i Lm sq 0 ird Lr irq
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输出方程
Y

2 rd 2 rq
T

转子电磁时间常数
Lr Tr Rr
L2 1 m L s Lr
26

电动机漏磁系数
αβ坐标系

dq坐标系蜕化为αβ坐标系，当
X r r is
T
1 0
T
状态变量 输入变量 输出变量
is
8
2. 静止两相正交坐标系中的方程

对转子坐标系作顺时针旋转变换，使其 与定子坐标系重合，且保持静止。
cos C2 r / 2 s ( ) sin

sin cos
用静止的两相转子正交绕组等效代替原 先转动的两相绕组。
9

电压方程
0 Rs 0 0 0 0 Rr 0 0 is s 0 is d s 0 0 0 i r dt r r r i R r r r r r
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旋转变换改变了定、转子绕组间的耦合关系， 将相对运动的定、转子绕组用相对静止的等 效绕组来代替，消除了定、转子绕组间夹角 对磁链和转矩的影响。 旋转变换的优点在于将非线性变参数的磁链 方程转化为线性定常的方程，但却加剧了电 压方程中的非线性耦合程度，将矛盾从磁链 方程转移到电压方程中来了，并没有改变对 象的非线性耦合性质。
(6-62)
2 dis Lm Lm Rs L2 R L us r r m r r i s dt Ls LrTr Ls Lr Ls L2 Ls r 2 dis us Lm Lm Rs L2 r Rr Lm r r is 2 dt Ls LrTr Ls Lr Ls Lr Ls
电力拖动自动控制系统 —运动控制系统
第6章
基于动态模型的异 步电动机调速系统
1
内容提要

将坐标变换应用于异步电机动态模型，首 先推导静止两相正交坐标系中的数学模型 ，然后推广到旋转正交坐标系。

将7阶模型简化为5阶模型 根据研究目的选取状态变量
2

6.4.1 静止两相正交坐标系中的 动态数学模型
(6-44)
10
us R s u 0 s u r 0 u r 0

磁链方程
s Ls s 0 r Lm r 0 0 Ls 0 Lm Lm 0 Lr 0 0 is i Lm s 0 ir Lr ir
23

转矩方程
Te

n p Lm Lr n p Lm Lr
(isq rd Lmisd isq isd rq Lmisd isq ) (isq rd isd rq )
运动方程
J d Te TL n p dt
24
Hale Waihona Puke Baidu
状态方程
2 np d n p Lm (isq rd isd rq ) TL dt JLr J d rd L 1 (6-60) rd (1 ) rq m isd dt Tr Tr d rq L 1 rq (1 ) rd m isq dt Tr Tr 2 disd Lm Lm Rs L2 u sd r Rr Lm rd rq i i sd 1 sq dt Ls LrTr Ls Lr Ls L2 Ls r 2 disq u sq Lm Lm Rs L2 R L r r m rq rd isq 1isd 2 dt Ls LrTr Ls Lr Ls Lr Ls

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转速作为输出变量必须选取。 其余的 4组变量可以任意选取两组，定子 电流可以直接检测，应当选为状态变量。 剩下的 3组均不可直接检测或检测十分困 难，考虑到磁链对电动机的运行很重要， 可以选定子磁链或转子磁链。

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6.5.2 状态方程 i s ψr 为状态变量

dq坐标系中的状态方程 状态变量

电压方程
0 Rs 0 0 0 0 Rr 0 0 isd sd 1 sq i 0 1 sd sq d sq 0 ird dt rd (1 ) rq i Rr rq rq (1 ) rd
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6.4.2 旋转正交坐标系中的动态 数学模型

对定子坐标系和转子坐标系同时施行旋转变 换，把它们变换到同一个旋转正交坐标系dq 上，dq相对于定子的旋转角速度为 1
图6-8 定子 、 转子 坐标系 到旋转正交坐 标系的变换 a）定子 、转子 坐标系 b） 旋转正交坐标 系
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定子旋转变换阵