《分式方程》课堂教学纪实(二)
讷河市老莱中心学校闫忠连
本节课是人教版《义务教育课程标准实验教科书数学》八年级下册16.3节《分式方程》第一课时内容。本节教材是在学生学习了分式的基本性质和分式约分、通分，以及分式的乘除运算基础上进行的。本节课的教学，要引导学生对分式方程和整式方程进行类比、对照，给学生渗透数学中的转化思想。教学重点是会解可化为一元一次方程的分式方程，教学难点是理解分式方程无解的原因，教学方法：情境——探究教学法。教学模式：以“创设问题——自主探究——合作交流——建构体系”的教学模式。通过经历实际→实际列分式方式——探究解分式方程的过程，体会分式方程是一种有效描述现实世界的模型，发展学生分析问题，解决问题的能力，培养应用意识。
教学过程
（一）、创设情境，激趣引新
师：下面同学们先看一道生活中的问题，自己独立思考根据题意把方程列出来（大屏幕投影）
1．一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，求江水的流速是多少？
学生自主探究与同伴互助列出方程。
师：哪位同学回答这个问题？
生：设江水的流速为x千米/时，则顺流速度为（20+x）千米/时，逆流速度为(20-x)千米/时。根据题意“顺流航行100千米与逆流航行60千米所用时间相等”，所以方程应
为。
师：思路很明确。江水中的轮船是顺流而下走得快，逆流而上航行的慢，那同学们看我们的学习是应该逆流而上呢还是应该顺流而下？学生（众）：逆流而上！
师：这种类型的方程，我们以前接触过吗？那我们以前曾学过哪几类方程？你能举出几个例子吗？
生1：我们学过一元一次方程；如：3x-1=0 等。
生2：还有二元一次方程；如：2x+3y=6 等。
师：仔细观察，这些方程的两边都是怎样的式子？
生齐答：是整式。
师：我们把这些方程都叫做整式方程。那么，我们刚才所列的方程与这些整式方程有什么区别？
生1：这个方程的未知数在分母里。
生2：这个方程的分母中含有未知数。
师：同学们观察的非常细致，总结的太棒了！我们就把这种分母中含有未知数的方程叫做分式方程。（板书分式方程的概念），同学们想一想分式方程的特征是什么？
生：分母中含有未知数。师：下面我们作一个小练习：判断下列各式哪个是分式方程。
（1）3x+2y=1; (2)
5
2
+
x
=
3
2z
y-
; (3)
2
1
-
x
;
(4)
5
2
+
-
x
y
=0; (5)x+
x
1
=1;
生答：（1）（2）是整式方程；（3）是分式；（4）（5）
是分式方程；
师：分式方程和我们以前研究的一（二）元一次方程一样能
刻画现实世界，是一种反应现实世界的数学模型，但它从形
式上又也它们不同：分母中含有未知数。那么如何解分式方
程呢？
（二）、广开言路，探究解法
师：同学们已经知道了什么是分式方程，那下一步就是要考
虑怎样解分式方程了?
首先，我们先看一个一元一次方程
哪个同学能解呢？
生板演：（大屏幕显示解答步骤）
师：非常好，那么这个分式方程你会不会解呢？要求同学们先独立思考，给你们3分钟时间解出方程，要求检验所得结果，解完后可以与前后桌讨论解题方法。学生独立思考解方程。
师：（巡视同学解题情况，看同学们大部分都完成了任务），
哪位同学能把自己的解法讲给同学们？
生1：利用分式的基本性质，方程化为
)
20
)(
20
(
)
20
(
100
x
x
x
-
+
-
=
)
20
)(
20
(
)
20
(
60
x
x
x
-
+
+
，因为分母相同
则分子也相等，得：100（20-x）=60(20+x)，所以x=5
师：好，哪位同学还有不同的解法？
生2：我是通过去分母来化简方程的。方
程
两边都乘以最简公分母(20+x)(20-x)，得100（20-x）=60(20+x)，所以x=5
师：还有不同解法吗？
生3：利用比例的性质“内项之积等于外项之积”，这样做也比较简便，得100（20-x）=60(20+x) ，所以x=5
师：这三个学生的解法这三个同学的解法都很好，很有创意，大家给点表扬（鼓掌）他们的解法不同，但不同在哪儿呢？各自的依据是什么？
学生（众）：一个是利用分式的基本性质，一个是利用等式
的基本性质，一是利用比例的性质。
师：对，这三种解法的不同我们找出来了，那他们的解法有相同的地方吗？又相同在哪儿？大家讨论一下。
学生：同座或前后座立马投入讨论。得出结论：都是由分式方程化为整式方程。
师：我们解分式方程要在方程两边乘以最简公分母，去分母后变为整式方程，再解这个方程，得出分式方程的解。（本节课的重点清晰的呈现在学生面前-解分式方程的关键-把分式方程转化为整式方程。） （三）乘胜追击，再探新知
师：下面咱们再解一个难点儿的方程，要求验根”。大屏幕投影出：
解分式方程：
学生：独立思考，在方程两边同乘（x+5）(x-5),得整式方程x+5=10,解得x=5，将x=5代入原分式方程检验，发现这时分母x-5和x 2
-25的值都为0，相应的分式无意义，因此，x=5虽是整式方程x+5=10的解，但不是原分式方程
51-x =25
10
2-x 的解，实际上，这个分式方程无解。验根时发现问题：所得结果5使原方程分母为0，此时教室有点乱了，有同学认真检验自己解题过程并无错误，开始和同桌及前后同学讨论了。
师：(巡视，看火候差不多了)同学们是不是发现解方程得出x=5不是分式方程的解，分式方程还有没有解呢？分式方程此时就没有解了，为什么两个方程，一个有解，一个无解，而产生无解的原因是什么？
生：自主探究，同伴交流，各抒己见，踊跃发言探讨分式方程无解的原因。
师：利用黑板总结学生发言，去分母时，方程2，当x=5时（20+x ）(20-x)≠0方程两边同时乘以不为0的式子，因此，所得整式方程的解是2的解；方程3，当x=5时（x+5）(x-5)=0，方程两边同时乘以一个等于0的式子，这时所得整式方程的解使方程3出现分母为0，因此x=5不是方程3的解。因为0乘以任何数都等于零，从而扩大了方程解的范围。这就是分式方程无解的原因。
师：我们已经明白了本节难点“分式方程可能无解的原因”，现在大家回顾思考在解分式方程时验根的方法是什么？
生：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解。
（学生理解分式方程可能无解的原因，突破了难点，并掌握了解分式方程验根的方法。）
（四）、水到渠成，范例引路
师：下面同学们一起看两个例题，学生思考解答。例1：解方程
32-x =x
3
生板演：解：方程两边同乘x(x-3),得 2=3x-9，解得 x=9，检验：x=9时x(x-3)≠0,x=9是原分式方程的解。
例2：解方程
1-x x -1=)
2)(1(3+-x x 生板演：解：方程两边同乘(x-1)(x+2),得x(x+2)-(x-1)(x+2)=3 化简，得x+2=3 解得x=1 检验：x=1时(x-1)(x+2)=0,x=1不是原分式方程的解，原分式方程无解。
师：这两名学生都做对了，这两上分式方程一个有解，一个
无解。
师：同学们翻到课本29页做练习，教师提问四名同学板演。 生：讲解解题过程，互相评价。
师：这几个同学做得很好，同学们都会解分式方程了，下面同学们思考讨论。请同学们归纳解分式方程的基本思想，基本方法和基本步骤？ 学生归纳：（大屏幕显示） （五）、师生总结，建构体系
师:回顾一下在这一节课中你都学了什么？
生：1、分式方程的概念。2、分式方程的解法。3、解分式方程必须要验根。 （六）布置作业：
师：布置课后作业：课本32页习题第1题 讷河市老莱中心学校 闫忠连上课场景
闫忠连老师指导学生的场景
