第四章 习题
1．确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度： （1）()()()()⎰--++-≈h
h
h f A f A h f A dx x f 1
1
0；
（2）()()()()⎰
--++-≈h
h h f A f A h f A dx x f 221010；
（3）()()()()[]3/3211
12
1
⎰-++-≈x f x f f dx x f ；
（4）
()()()[]()()[]h f f ah h f f h dx x f h
'0'2/020
+++≈⎰
解：（1）求积公式中含有三个待定参数，即101A A A ，，-，将()2
1
x x x f ，，=分别代入求积公式，并令其左右相等，得
()()⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
=+=+-=++---3
1121
110132
02h A A h A A h h A A A 解得h A h A A 34
31011===-，。 所求公式至少具有2次代数精度。又由于
()()
()()
4
443333
333h h h h dx x h h h h dx x h h
h
h
⎰⎰--+-≠+-≈
故
()()()()⎰--++-≈h
h
h f A f A h f A dx x f 1
1
0具有三次代数精度。
（2）求积公式中含有三个待定系数：101A A A ，，-，故令公式对()2
1
x x x f ，，=准确成立，得()()⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
=+=+-=++---3
11211101316
04h A A h A A h h A A A ，解得h h h A h A h A A 34316424381011-=-=-===-，
故()()()[]()03
4
3822hf h f h f h dx x f h
h -+-≈
⎰- 因()⎰
-=h
h
dx x f 220
而
()()[]
03
83
3=+-h h h 又[]
44556224
3
8
31652h h h h h dx x h
h +=≠=⎰-
所以求积公式只具有三次代数精度。
（3）求积公式中韩两个待定常数21x x 、，当令公式对()1=x f 准确成立时，得到
()3213
1
21
1
++=
=⎰
-dx 此等式不含有待定量21x x 、，无用，故需令公式对()2
x x x f ，=准确成立，即
()()
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++==++-==⎰⎰--1
1
2
22121
12132131323213
10x x dx x x x xdx 得⎩⎨⎧=+=+1321
322
221
21x x x x 解上述方程组得
⎩⎨
⎧=-=68990.012660.012x x 或⎩⎨⎧-==28990.052660
.01
2x x 故有()()()()[]12660.0368990.0213
1
1
1
-++-≈
⎰
-f f f dx x f 或
()()()()[]52660.0328990.0213
1
1
1
f f f dx x f +-+-≈
⎰
- 将()3
x x f =代入上已确定的求积公式中，
[]
3
2
311
1
33213
1x x dx x ++-≠
⎰
- 故求积公式具有2次代数精度。
（4）求积公式中只含有一个待定系数a ，当()x x f ，1
=时，有 ()⎰++=
4
0112
1h
dx ()()⎰
-++=
4
21102
ah h h
xdx 故令()2
x x f =时，求积公式精确成立，即
()
()⎰+⨯++=
4
2
2420202h ah h h dx x 解得12
1
=a
故有
()()()[]()()[]h f f h h f f h dx x f h
'0'12
022
+++≈⎰
将()3
x x f =代入上述已确定的求积公式中，有
[][]
4
301202442
2340
3
h h h h h h dx x h
=-++≈=⎰
再另()4
x x f =代入求积公式时有
[][]
324
40
3
4012
024h h h h h dx x h
-++≠=⎰
故求积公式具有3次代数精度。
2．分别用梯形公式、Simpson 公式、Cotes 公式计算积分dx e x ⎰
1
，并估计各种方法的误差
（要求小数点后至少要保留5位）。 解：运用梯形公式，[]
8591409.12
110
1
=+≈
⎰
e e dx e x 其误差
()()()⎪⎭
⎫
⎝⎛=-∈=≤--
=⎰1408591.08591409.102265235.012
1011211
03
dx e e e f R x 实际误差为，,1ξξ
运用Simpson 公式，7188612.14611
21
01
0=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡++≈⎰e e e dx e x
其误差为()00094385.02880
1
28801=≤-
=
e e
f R ξ 运用Cotes 公式，718282688.17321232770114
3
214101
0=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡++++≈⎰e e e e e dx e x 其误差为()000001404.04
945241945126
6
=⨯≤⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-=e
e f R ξ 3．推到下列三种矩形求积公式;
()()()()()()()()()()()()()()222
24''22
'2'a b f b a f a b dx x f a b f b f a b dx x f a b f a f a b dx x f b
a
b
a b
a -+
⎪⎭⎫ ⎝⎛+-≈---≈-+
-≈⎰
⎰⎰ηηη 解：将()a x x f =在出Taylor 展开，得
()()()()[]x a a x f a f x f ，∈-+=ξξ,'，两边在[]b a ,上积分，得
