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1 1 1 2 Y ( t ) 2 Y ( t ) 2 [Y ( t ) Y ( t )] x x x
代入方程(1), 得常系数线性方程:
Y ( t ) ( p 1)Y ( t ) qY ( t ) 0
3
四川大学数学学院 邓瑾
(1)的通解为:
2
y (c1 c2 x )e r1 x
iii) p 2 4q 0时, 方程(2)有一对共轭复根 r i
(1)的通解为: y e x (c1 cos x c 2 sin x )
2
四川大学数学学院 邓瑾
3. 欧拉方程的解法
x 2 y ( x ) pxy ( x ) qy ( x ) 0
线性常微分方程的解
1. 一阶线性常微分方程 i)齐次方程
通解 y ce P ( x )dx y ( x ) P ( x ) y ( x ) 0 x y( x ) y P ( )d x0 0 0 特解 y y e 0
当P(x)p为常数时, 通解 y ce px , 特解 y y0 e p ( x x0 ) .
( p, q为常数)
(1)
t t ln x y ( x ) y ( e ) Y ( t ), 即, Y (ln x ) y( x ) 解. 令 1 则 y ( x ) Y ( t ) t ( x ) Y ( t ) x d 1 1 1 y ( x ) [ Y ( t )] 2 Y ( t ) Y ( t ) t ( x ) dx x x x
x x0
Q ( )e
x
Fra Baidu bibliotek
P ( )d
d
四川大学数学学院
邓瑾
2. 二阶常系数齐线性方程的通解 y ( x ) py ( x ) qy ( x ) 0 ( p, q为常数) 解. 考虑特征方程:
r 2 pr q 0
(1)
(2)
i) p 2 4q 0时, 方程(2)有两个相异实根 r r1, r2 rx r x (1)的通解为: y c1e 1 c2 e 2 ii) p 4q 0时, 方程(2)有一个二重实根 r r1
y ( x ) P ( x ) y ( x ) Q ( x ) ii)非齐次方程 y( x0 ) y0
通解: y e
P ( x )dx P ( x )dx (c Q ( x )e dx )
特解: y y0 e
1
x0
x
P ( )d
