中考数学压轴题分类汇编:图形变换
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中考数学分类汇:几何综合——图形变换
某课外学习小组在一次学习研讨中,得到了如下两个命题:
①如图1,在正三角形△ABC 中,M 、N 分别是AC 、AB 上的点,BM 与CN 相交于点O ,若∠BON =60º,则BM =CN ;
②如图2,在正方形ABCD 中,M 、N 分别是CD 、AD 上的点,BM 与CN 相交于点O ,若∠BON =90º,则BM =CN ;
然后运用类比的思想提出了如下命题:
③如图3,在正五边形ABCDE 中,M 、N 分别是CD 、DE 上的点,BM 与CN 相交于点O ,若∠BON =108º,则BM =CN 。 任务要求:
(1)请你从①、②、③三个命题中选择一个进行证明;(说明:选①做对得4分,选②做对得3分,选③做对得5分)
(2)请你继续完成下列探索:
①请在图3中画出一条与CN 相等的线段DH ,使点H 在正五边形的边上,且与CN 相交所成的一个角是108º,这样的线段有几条?(不必写出画法,不要求证明)
②如图4,在正五边形ABCDE 中,M 、N 分别是DE 、EA 上的点,BM 与CN 相交于点O ,若∠BON =108º,请问结论BM =CN 是否还成立?若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由。
[解] (1)以下答案供参考:
(1) 如选命题①
证明:在图1中,∵∠BON =60°∴∠1+∠2=60° ∵∠3+∠2=60°,∴∠1=∠3
又∵BC =CA ,∠BCM =∠CAN =60°∴ΔBCM ≌ΔCAN ∴BM =CN (2)如选命题②
证明:在图2中,∵∵∠BON =90°∴∠1+∠2=90° ∵∠3+∠2=90°,∴∠1=∠3
又∵BC =CD ,∠BCM =∠CDN =90°∴ΔBCM ≌ΔCDN ∴BM =CN
(3)如选命题③
证明;在图3中,∵∠BON =108°∴∠1+∠2=108° ∵∠2+∠3=108°∴∠1=∠3
O
C M
N A 图1 A C M
N
O D 图2 图4
N
M
O E D C
B A
又∵BC =CD ,∠BCM =∠CDN =108° ∴ΔBCM ≌ΔCDN ∴BM =CN
(2)①答:当∠BON=0
(n-2)180n
时结论BM =CN 成立.
②答当∠BON =108°时。BM =CN 还成立 证明;如图5连结BD 、CE . 在△BCI)和△CDE 中
∵BC =CD , ∠BCD =∠CDE =108°,CD =DE ∴ΔBCD ≌ ΔCDE
∴BD =CE , ∠BDC =∠CED , ∠DBC =∠CEN ∵∠CDE =∠DEC =108°, ∴∠BDM =∠CEN ∵∠OBC +∠ECD =108°, ∠OCB +∠OCD =108° ∴∠MBC =∠NCD
又∵∠DBC =∠ECD =36°, ∴∠DBM =∠ECN ∴ΔBDM ≌ ΔCNE ∴BM =CN 2.已知正方形ABCD 中,E 为对角线BD 上一点,过E 点作EF BD ⊥交BC 于F ,连接DF ,
G 为DF 中点,连接EG CG ,
. (1)直接写出线段EG 与CG 的数量关系;
(2)将图1中BEF ∆绕B 点逆时针旋转45︒,如图2所示,取DF 中点G ,连接EG CG ,,
. 你在(1)中得到的结论是否发生变化?写出你的猜想并加以证明.
(3)将图1中BEF ∆绕B 点旋转任意角度,如图3所示,再连接相应的线段,问(1)中
的结论是否仍然成立?(不要求证明)
图3
图2
图1
F
E
A
B
C
D
A
B
C
D
E
F
G
G
F
E
D C
B
A
解:
(1)CG EG =
(2)(1)中结论没有发生变化,即CG EG =.
证明:连接AG ,过G 点作MN AD ⊥于M ,与EF 的延长线交于N 点. 在DAG ∆与DCG ∆中,
∵AD CD ADG CDG DG DG =∠=∠=,,, ∴DAG DCG ∆∆≌. ∴AG CG =. 在DMG ∆与FNG ∆中,
∵DGM FGN FG DG MDG NFG ∠=∠=∠=∠,,, ∴DMG FNG ∆∆≌. ∴MG NG =
在矩形AENM 中,AM EN =
在Rt AMG ∆与Rt ENG ∆中, ∵AM EN MG NG ==,, ∴AMG ENG ∆∆≌. ∴AG EG =. ∴EG CG =
M N
图2
A
B
C
D
E
F
G
(3)(1)中的结论仍然成立.
G
图3
F
E
A
B
C
D
3.(满分13分) 几何模型:
条件:如下左图,A 、B 是直线l 同旁的两个定点. 问题:在直线l 上确定一点P ,使PA PB +的值最小.
方法:作点A 关于直线l 的对称点A ',连结A B '交l 于点P ,则PA PB A B '+=的值最小(不必证明). 模型应用:
(1)如图1,正方形ABCD 的边长为2,E 为AB 的中点,P 是AC 上一动点.连结BD ,由正方形对称性可知,B 与D 关于直线AC 对称.连结ED 交AC 于P ,则PB PE +的最小值是___________;
(2)如图2,O ⊙的半径为2,点A B C 、、在O ⊙上,OA OB ⊥,60AOC ∠=°,P 是OB 上一动点,求PA PC +的最小值;
(3)如图3,45AOB ∠=°,P 是AOB ∠内一点,10PO =,Q R 、分别是OA OB 、上的动点,求PQR △周长的最小值.
A B
A 'P
l
O
A
B P
R
Q 图3
O
A
B C 图2
A
B E C
P 图1
(第25题)
P