中考数学分类汇：几何综合——图形变换
某课外学习小组在一次学习研讨中，得到了如下两个命题：
①如图1，在正三角形△ABC 中，M 、N 分别是AC 、AB 上的点，BM 与CN 相交于点O ，若∠BON ＝60º，则BM ＝CN ；
②如图2，在正方形ABCD 中，M 、N 分别是CD 、AD 上的点，BM 与CN 相交于点O ，若∠BON ＝90º，则BM ＝CN ；
然后运用类比的思想提出了如下命题：
③如图3，在正五边形ABCDE 中，M 、N 分别是CD 、DE 上的点，BM 与CN 相交于点O ，若∠BON ＝108º，则BM ＝CN 。 任务要求：
（1）请你从①、②、③三个命题中选择一个进行证明；（说明：选①做对得4分，选②做对得3分，选③做对得5分）
(2)请你继续完成下列探索：
①请在图3中画出一条与CN 相等的线段DH ，使点H 在正五边形的边上，且与CN 相交所成的一个角是108º，这样的线段有几条？（不必写出画法，不要求证明）
②如图4，在正五边形ABCDE 中，M 、N 分别是DE 、EA 上的点，BM 与CN 相交于点O ，若∠BON ＝108º，请问结论BM ＝CN 是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由。
[解] （1）以下答案供参考：
（1） 如选命题①
证明：在图1中，∵∠BON =60°∴∠1+∠2=60° ∵∠3+∠2=60°，∴∠1=∠3
又∵BC =CA ，∠BCM =∠CAN =60°∴ΔBCM ≌ΔCAN ∴BM =CN （2）如选命题②
证明：在图2中，∵∵∠BON =90°∴∠1+∠2=90° ∵∠3+∠2=90°，∴∠1=∠3
又∵BC =CD ，∠BCM =∠CDN =90°∴ΔBCM ≌ΔCDN ∴BM =CN
（3）如选命题③
证明；在图3中，∵∠BON =108°∴∠1+∠2=108° ∵∠2+∠3=108°∴∠1=∠3
O
C M
N A 图1 A C M
N
O D 图2 图4
N
M
O E D C
B A
又∵BC =CD ，∠BCM =∠CDN =108° ∴ΔBCM ≌ΔCDN ∴BM =CN
(2)①答：当∠BON=0
(n-2)180n
时结论BM =CN 成立．
②答当∠BON =108°时。BM =CN 还成立 证明；如图5连结BD 、CE . 在△BCI)和△CDE 中
∵BC =CD , ∠BCD =∠CDE =108°,CD =DE ∴ΔBCD ≌ ΔCDE
∴BD =CE , ∠BDC =∠CED , ∠DBC =∠CEN ∵∠CDE =∠DEC =108°, ∴∠BDM =∠CEN ∵∠OBC +∠ECD =108°, ∠OCB +∠OCD =108° ∴∠MBC =∠NCD
又∵∠DBC =∠ECD =36°, ∴∠DBM =∠ECN ∴ΔBDM ≌ ΔCNE ∴BM =CN 2．已知正方形ABCD 中，E 为对角线BD 上一点，过E 点作EF BD ⊥交BC 于F ，连接DF ，
G 为DF 中点，连接EG CG ，
． （1）直接写出线段EG 与CG 的数量关系；
（2）将图1中BEF ∆绕B 点逆时针旋转45︒，如图2所示，取DF 中点G ，连接EG CG ，，
． 你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．
（3）将图1中BEF ∆绕B 点旋转任意角度，如图3所示，再连接相应的线段，问（1）中
的结论是否仍然成立？（不要求证明）
图3
图2
图1
F
E
A
B
C
D
A
B
C
D
E
F
G
G
F
E
D C
B
A
解：
（1）CG EG =
（2）（1）中结论没有发生变化，即CG EG =．
证明：连接AG ，过G 点作MN AD ⊥于M ，与EF 的延长线交于N 点． 在DAG ∆与DCG ∆中，
∵AD CD ADG CDG DG DG =∠=∠=，，， ∴DAG DCG ∆∆≌． ∴AG CG =． 在DMG ∆与FNG ∆中，
∵DGM FGN FG DG MDG NFG ∠=∠=∠=∠，，， ∴DMG FNG ∆∆≌． ∴MG NG =
在矩形AENM 中，AM EN =
在Rt AMG ∆与Rt ENG ∆中， ∵AM EN MG NG ==，， ∴AMG ENG ∆∆≌． ∴AG EG =． ∴EG CG =
M N
图2
A
B
C
D
E
F
G
（3）（1）中的结论仍然成立．
G
图3
F
E
A
B
C
D
3．（满分13分） 几何模型：
条件：如下左图，A 、B 是直线l 同旁的两个定点． 问题：在直线l 上确定一点P ，使PA PB +的值最小．
方法：作点A 关于直线l 的对称点A '，连结A B '交l 于点P ，则PA PB A B '+=的值最小（不必证明）． 模型应用：
（1）如图1，正方形ABCD 的边长为2，E 为AB 的中点，P 是AC 上一动点．连结BD ，由正方形对称性可知，B 与D 关于直线AC 对称．连结ED 交AC 于P ，则PB PE +的最小值是___________；
（2）如图2，O ⊙的半径为2，点A B C 、、在O ⊙上，OA OB ⊥，60AOC ∠=°，P 是OB 上一动点，求PA PC +的最小值；
（3）如图3，45AOB ∠=°，P 是AOB ∠内一点，10PO =，Q R 、分别是OA OB 、上的动点，求PQR △周长的最小值．
A B
A 'P
l
O
A
B P
R
Q 图3
O
A
B C 图2
A
B E C
P 图1
（第25题）
P
