第5节 算法的数值稳定性

解：由韦达定理可知，此方程的精确解为：
x1 109 如果利用求根公式：
x2 1
x1,2 b
b2 4ac 2a
来编制程序，在字长为8、基底为10的计算机上进行运算，
则由于计算实际上采用的是规格化浮点数的运算，这时：
b 109 1 0.11010 0.00000000 01 1010 的第二项中的最后两个数“01”，由于计算机字长的 限制，在计算机上表示不出来，故在计算机上对阶舍 入运算时，
b 0.11010 0.000000001010 0.11010 109
b2 4ac [(109 1)]2 4 109 109
所以：x1 b
b2
4ac
109
109
109
2a
2
b b2 4ac 109 109
x2
2a
0
2
这样算出的根x2(=0)显然是严重失真的（因为精确解 x2=1，这说明直接利用求根公式求解例1中的方程是不稳定 的。
例2、试计算积分En
1 xnex1dx
0
n 1, 2,L
解：由分部积分法可得：
En
x n e x 1
1 0
n
1 xn1ex1dx
0
因此有递推公式：
En 1 nEn1 n 2, 3L
E1
1 e
用上面的递 推公式，在字长为6，基底为10的计算机上，
从E1出发计算前几个积分值，其结果如下表：
多个数相加时，最好从其中绝对值最小的数到绝对值 最大的数依次相加；多个数相乘时，最好从其中有效位数最 多的数到有效位数最少的数依次相乘。 （4）应避免两相近数相减，可用变换公式的方法来解决。 （5）绝对值太小的数不宜作为除数，否则产生的误差过 大，甚至会在计算机中造成“溢出错误”。
例如：要计算x255的值，如果逐项相乘要做254次乘法，但 若
改写成: x255=x·x2·x4·x8·x16·x32·x64·x128
则只要做14次乘法运算即可。 又如前面引言中提到的用秦九韶算法计算多项式，也是
一个改变计算公式以减少运算次数的极好例子。 （3）应合理安排运算顺序，防止参与运算的数在数量级相 差悬殊，大数“淹没”小数的现象发生。
k
Ek
1
0.367879
2
0.264242
3
0.207274
4
0.170904
5
0.145480
6
0.127120
7
0.110106
8
0.118720
9
-0.068480
被积函数xnex1在积分限(0,1)区间内都是正值，积分值 E9取三位有效数字时的精确结果为0.0916，但上表中的 E9 0.068480却是负值，与0.0916相差很大。
其原因在于计算机进行加、减运算时要对节舍入计算， 实际上受到机器字长的限制，在计算-b是绝对值小的数被绝 对值大的数(109)淹没了。在计算△时，4×109被 [-(109+1)2]淹没了，这些相对小的数被“淹没”后就无法
发挥 其应用的影响，由此带来的误差，造成计算结果的严重失真.
当多个数在计算机中相加时，最好从其中绝对值最小的 数到绝对值最大的数依次相加，可使和的误差减小。
LLLL
E9 1 9[1 8(L )] 9! 这样，算到E9时产生的误差为：9! 9! 4.412107 0.6101
就是一个不小的数值了。
可以改进算法来提高此例的数值稳定性，即将递
推公式改写为：
En1
1 En n
从后往前递推计算时，En的误差下降为原来的
1 n
，因此
只要n取得足够大，误差逐次下降，其影响就会影响越
15 14
降到不大于4 108，
13
结果如右：
12
这样得到E19已很精确了。 11
可见经过改进后的新算
10
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法具有很好的稳定性。
9
Ek 0.0000000 0.0500000 0.5000000 0.0527778 0.0557190 0.0590176 0.0627322 0.0669477 0.0717733 0.0773523 0.0838771 0.0916123
例3、对于小的x值，计算ex 1。
解：如果用ex 1直接进行计算，其稳定性是很差的， 因为两个相近数相减会严重丢失有效数字，产生很大 误差。因此得采用合适的算法来保证计算的数值稳定 性。可以把ex在x 0点附近展开称幂级数：
ex 1 x x2 x3 L 2! 3!
则可得：ex 1 x x2 x3 L 2! 3!
这时，如要提高计算的数值稳定性，必须要改进
算法。在此例中，由于算出的根x1( 109 )是可靠的，故
可利用根与系数的关系式：x1
x2
c a
来计算x2，有：
x2
c a
1 x1
109 1 109
1
所得结果很好。这说明第二种算法有较好的数值稳定性
注意：在利用根与系数关系式求第二根时，必须先算出 绝对值较大的一个根，然后再求另一个根，才能得到精 度较高的结果。
§5 算法的数值稳定性
通过前面对误差传播规律的分析，我们知道同一问题 当选用不同的算法，它们所得到的结果有时会相差很大，这 是因为运算中的舍入误差在运算过程中的传播常随算法而异。
凡一种算法的计算结果受舍入误差的影响小者称它为数 值稳定的算法。下面再通过其他一些例子来进一步说明算法 稳定性的概念。
例1、求解方程x2 (109 1)x 109 0
由于在计算E1时有舍入误差约为： 4.412107， 且考虑以后的计算都不再另有舍入误差。此 对后面各项
计算的影响为：
E2 1 2(E1 ) 1 2E1 2 1 2E1 2! E3 1 3(1 2E1 2! ) 1 3(1 2E1) 3! E4 1 4[1 3(1 2E1) 3! ] 1 4[1 3(1 2E1)] 4!
来越小。
由：
En
1 xnex1dx
0
1 xndx 1
0
n 1
可知：当n 时，En 0，因此可取E20 0作为初始值
进行递推计算。
由于E20
1 ，故 21
k
E20
0的误差约为 1 ， 21
20 19
在计算E19时误差下降到
18
1 1 0.0024， 21 20
17 16
到计算E15时，误差已下
通过以上这些例子，可以知道算法的数值稳定性对于 数值计算的重要性了。如无足够的稳定性，将会导致计算的 最终失败。为了防止误差传播，积累带来的危害，提高计算 的稳定性，将前面分析所得的各种结果归纳起来，得到数值 计算中应注意之点如下： （1）应选用数值稳定的计算方法，避开不稳定的算式。 （2）注意简化计算步骤及公式，设法减少运算次数；选用 运算次数少的算式，尤其是乘方幂次要低，乘法和加法的次 数要少，以减少舍入误差的积累，同时也可节约计算机的机 时。