《信号与系统》第三次作业
1. 试由s 域求系统的系统函数，零状态响应，零输入响应及完全响应。
（1）()5()4()2()5(),0y t y t y t f t f t t ''''++=+> 2()()t f t e u t -=，(0)2y -=，(0)5y -'=
①
②
将式中②两边求导后代入式①，随即求得系统的数学模型为
③ 将式③进行拉氏变换，得
④
由于在零状态下，
故有
令 ⑤
则得 Y(s)=H(s)X(s) ⑥
可见，在系统初始不储能的零状态下，系统输出的拉氏变换等于输入的拉氏
变换乘以H(s)，即
⑦
从式⑤、⑥可见，H(s)取决于系统的构成和有关参数（系数），而与输入信
号无关，它反映了输入信号通过系统以后所产生的变化，如系统的输入
x(t)=u(t) ，是有
（2）()3()2()4()3(),0y t y t y t f t f t t ''''++=+>
2()()t f t e u t -=，(0)3y -=，(0)2y -'=
当系统的输入是单位冲激信号，即
，则从式⑥求得 Y(s)=H(s),
y(t)=h(t)
上式表明系统在单位冲激激励下，其输出就等于系统的单位冲激响应
，如图所示，它恰好等于系统函数的拉氏反变换。所以系统函数又可定义为单位冲激响应的拉氏变换，即
⑧
LTI 连续系统的单位冲激响应 一旦测得系统的冲激响应，随即求得系统函数。同理，已知系统函数，随即求得相应的冲激响应。
系统函数 H(s) 在s 域表征连续系统的传输特性，而单位冲激响应 h(t) 是在时域描述连续系统的时间特性，因此它是时域分析最基本和最重要的特性参数。
2. 求离散时间LTI 系统的零输入响应、零状态响应和完全响应。
（1）1[][1][]3y k y k f k --=，1[][]3k
f k u k ⎛⎫= ⎪⎝⎭，[1]1y -= 通过以上分析，若已知一个连续系统在
作用下的零状态响应 h(t) ，则利用LTI 系统的叠加性和非时变性，不难求得在任一信号作用下系统的零状态响应，从第三章式(3.1)得知，一个非周期信号可以分解为一系列冲激信号的线性组合。
按非时变性质，系统在
作用下零状态响应为
，故对
的响应应为
。利用线性系统叠加性质，求得系统对激励信号
的零状态响应为
①
上式说明，LTI系统的零状态响应
等于激励信号x(t)与系统单位冲激响应h(t)的卷积积分，简称卷积如图所示。该式反映了系统输入与输出之间
的关系，所以也是LTI系统的一种数学模型。在积分式中是积分变量，t是参变量，所以卷积结构是t的函数。当信号有不连续点或为有限长时限信号时，定义式①的积分上下限要发生变化。如果信号 x(t)在t=0时接入，在
t<0时等于零，则式①中的积分下限取零。此外，对于物理可实现的因果系统，由于在t<0时h(t)=0 ,所以在
即时，式①中的
，
于是该式中的积分上限应改写为t，即
(a) s域表示； (b) 时域表示
LTI系统的方块图
利用卷积法求系统的零状态响应，无论对系统的分析还是综合都要重要意义。因为在实际中对系统设计，初始状态均为零，不存在零输入响应，即使对系统分析，通过4.3节讨论将会知道，零输入响应也可以转化为零状态响应来求解。
（2）
1
[][1][][1]
3
y k y k f k f k
--=+-，
1
[][]
2
k
f k u k
⎛⎫
= ⎪
⎝⎭
，[1]1
y-=
交换律
表明卷积积分的次序可以任意交换。
分配律
表明LTI系统对n个输入相加信号的零状态响应于每人输入信号零状态响应的叠加。
结合律
与的两个LTI系统相级联，等效于冲激响应
表明冲激响应分别为
利用这些性质可以简化卷积运算。如图所示系统，由于
y(t)=x(t)*h1(t)+x(t)*h2(t)=x(t)*[h1(t)+h2(t)]
所以把两个卷积运算简化为一个卷积运算。同时表明，并联系统的冲激响应
等于各并联子系统冲激响应之和。同理可以证明，一个级联的因果系统，其冲
…。
激响应等于各级联子系统冲激响应的卷积，即
两个LTI并联系统
