高考理科数学全国2卷(附答案)(20200617125625)

2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、座位号填写在答题卡上.本试卷满分150分.2.作答时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题目：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合U ={−2，−1，0，1，2，3}，A ={−1，0，1}，B ={1，2}，则()U A B ð（）A.{−2，3}B.{−2，2，3}C.{−2，−1，0，3}D.{−2，−1，0，2，3}【答案】A 【解析】【分析】首先进行并集运算，然后计算补集即可.【详解】由题意可得： 1,0,1,2A B ，则 U 2,3A B ð.故选：A.【点睛】本题主要考查并集、补集的定义与应用，属于基础题.2.若α为第四象限角，则（）A.cos2α>0 B.cos2α<0C.sin2α>0D.sin2α<0【答案】D 【解析】【分析】由题意结合二倍角公式确定所给的选项是否正确即可.【详解】当6时，cos 2cos 03，选项B 错误；当3时，2cos 2cos 03，选项A 错误；由 在第四象限可得：sin 0,cos 0 ，则sin 22sin cos 0 ，选项C 错误，选项D 正确；故选：D.【点睛】本题主要考查三角函数的符号，二倍角公式，特殊角的三角函数值等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3.在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（）A.10名B.18名C.24名D.32名【答案】B 【解析】【分析】算出第二天订单数，除以志愿者每天能完成的订单配货数即可.【详解】由题意，第二天新增订单数为50016001200900 ，故需要志愿者9001850名.故选：B【点晴】本题主要考查函数模型的简单应用，属于基础题.4.北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（）A.3699块B.3474块C.3402块D.3339块【答案】C 【解析】【分析】第n 环天石心块数为n a ，第一层共有n 环，则{}n a 是以9为首项，9为公差的等差数列，设n S 为{}n a 的前n 项和，由题意可得322729n n n n S S S S ，解方程即可得到n ，进一步得到3n S .【详解】设第n 环天石心块数为n a ，第一层共有n 环，则{}n a 是以9为首项，9为公差的等差数列，9(1)99n a n n ，设n S 为{}n a 的前n 项和，则第一层、第二层、第三层的块数分别为232,,n n n n n S S S S S ，因为下层比中层多729块，所以322729n n n n S S S S ，即3(927)2(918)2(918)(99)7292222n n n n n n n n 即29729n ，解得9n ，所以32727(9927)34022n S S .故选：C【点晴】本题主要考查等差数列前n 项和有关的计算问题，考查学生数学运算能力，是一道容易题.5.若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y 的距离为（）A.55B.255C.355D.455【答案】B 【解析】【分析】由题意可知圆心在第一象限，设圆心的坐标为 ,,0a a a ，可得圆的半径为a ，写出圆的标准方程，利用点 2,1在圆上，求得实数a 的值，利用点到直线的距离公式可求出圆心到直线230x y 的距离.【详解】由于圆上的点 2,1在第一象限，若圆心不在第一象限，则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必第一象限，设圆心的坐标为,a a ，则圆的半径为a ，圆的标准方程为 222x a y a a .由题意可得 22221a a a ，可得2650a a ，解得1a 或5a ，所以圆心的坐标为 1,1或 5,5，圆心到直线230x y 距离均为22555d；所以，圆心到直线230x y 的距离为255.故选：B.【点睛】本题考查圆心到直线距离的计算，求出圆的方程是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.6.数列{}n a 中，12a ，m n m n a a a ，若155121022k k k a a a ，则k （）A.2B.3C.4D.5【答案】C 【解析】分析】取1m ，可得出数列 n a 是等比数列，求得数列 n a 的通项公式，利用等比数列求和公式可得出关于k 的等式，由k N 可求得k 的值.【详解】在等式m n m n a a a 中，令1m ，可得112n n n a a a a ，12n na a，所以，数列 n a 是以2为首项，以2为公比的等比数列，则1222n n n a ，1011011105101210122122212211212k k k k k k a a a a，1522k ，则15k ，解得4k .故选：C.【点睛】本题考查利用等比数列求和求参数的值，解答的关键就是求出数列的通项公式，考查计算能力，属于中等题.7.如图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为M ，在俯视图中对应的点为N ，则该端点在侧视图中对应的点为（）A.EB.FC.GD.H【答案】A 【解析】【分析】根据三视图，画出多面体立体图形，即可求得M 点在侧视图中对应的点.【详解】根据三视图，画出多面体立体图形，图中标出了根据三视图M 点所在位置，可知在侧视图中所对应的点为E 故选：A【点睛】本题主要考查了根据三视图判断点的位置，解题关键是掌握三视图的基础知识和根据三视图能还原立体图形的方法，考查了分析能力和空间想象，属于基础题.8.设O 为坐标原点，直线x a 与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b的两条渐近线分别交于,D E 两点，若ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为（）A.4B.8C.16D.32【答案】B 【解析】【分析】因为2222:1(0,0)x y C a b a b ，可得双曲线的渐近线方程是b y x a，与直线x a 联立方程求得D ，E 两点坐标，即可求得||ED ，根据ODE 的面积为8，可得ab 值，根据2222c a b ，结合均值不等式，即可求得答案.【详解】∵2222:1(0,0)x y C a b a b双曲线的渐近线方程是by x a∵直线x a 与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b的两条渐近线分别交于D ，E 两点不妨设D 为在第一象限，E 在第四象限联立x ab y x a，解得x a y b故(,)D a b 联立x ab y x a，解得x a y b故(,)E a b ||2ED bODE 面积为：1282ODE S a b ab△∵双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b其焦距为2222222168c a b ab 当且仅当22a b 取等号C 的焦距的最小值：8故选：B.【点睛】本题主要考查了求双曲线焦距的最值问题，解题关键是掌握双曲线渐近线的定义和均值不等式求最值方法，在使用均值不等式求最值时，要检验等号是否成立，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.9.设函数()ln |21|ln |21|f x x x ，则f (x )（）A.是偶函数，且在1(,)2 单调递增B.是奇函数，且在11(,)22单调递减C.是偶函数，且在1(,)2单调递增D.是奇函数，且在1(,)2单调递减【答案】D 【解析】【分析】根据奇偶性的定义可判断出 f x 为奇函数，排除AC ；当11,22x时，利用函数单调性的性质可判断出 f x 单调递增，排除B ；当1,2x时，利用复合函数单调性可判断出 f x 单调递减，从而得到结果.【详解】由 ln 21ln 21f x x x 得 f x 定义域为12x x，关于坐标原点对称，又 ln 12ln 21ln 21ln 21f x x x x x f x ，f x 为定义域上的奇函数，可排除AC ；当11,22x时， ln 21ln 12f x x x ， ln 21y x Q 在11,22 上单调递增， ln 12y x 在11,22上单调递减，f x 在11,22上单调递增，排除B ；当1,2x时， 212ln 21ln 12ln ln 12121x f x x x x x，2121x∵在1,2上单调递减， ln f 在定义域内单调递增，根据复合函数单调性可知： f x 在1,2上单调递减，D 正确.故选：D.【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的判断；判断奇偶性的方法是在定义域关于原点对称的前提下，根据 f x 与 f x 的关系得到结论；判断单调性的关键是能够根据自变量的范围化简函数，根据单调性的性质和复合函数“同增异减”性得到结论.10.已知△ABC 是面积为934的等边三角形，且其顶点都在球O 的球面上.若球O 的表面积为16π，则O 到平面ABC 的距离为（）A.3B.32C.1D.32【答案】C【解析】【分析】根据球O 的表面积和ABC 的面积可求得球O 的半径R 和ABC 外接圆半径r ，由球的性质可知所求距离22d R r.【详解】设球O 的半径为R ，则2416R ，解得：2R .设ABC 外接圆半径为r ，边长为a ，ABC ∵ 是面积为934的等边三角形，21393224a ，解得：3a ，22229933434a r a ，球心O 到平面ABC 的距离22431d R r .故选：C.【点睛】本题考查球的相关问题的求解，涉及到球的表面积公式和三角形面积公式的应用；解题关键是明确球的性质，即球心和三角形外接圆圆心的连线必垂直于三角形所在平面.11.若2233x y x y ，则（）A.ln(1)0y x B.ln(1)0y x C.ln ||0x y D.ln ||0x y 【答案】A 【解析】【分析】将不等式变为2323x x y y ，根据 23t tf t 的单调性知x y ，以此去判断各个选项中真数与1的大小关系，进而得到结果.【详解】由2233x y x y 得：2323x x y y ，令 23ttf t ，2x y ∵为R 上的增函数，3x y 为R 上的减函数， f t 为R 上的增函数，x y ，0y x Q ，11y x ， ln 10y x ，则A 正确，B 错误；x y Q 与1的大小不确定，故CD 无法确定.故选：A.【点睛】本题考查对数式的大小的判断问题，解题关键是能够通过构造函数的方式，利用函数的单调性得到,x y 的大小关系，考查了转化与化归的数学思想.12.0-1周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列12n a a a 满足{0,1}(1,2,)i a i ，且存在正整数m ，使得(1,2,)i m i a a i 成立，则称其为0-1周期序列，并称满足(1,2,)i m i a a i 的最小正整数m 为这个序列的周期.对于周期为m 的0-1序列12n a a a ，11()(1,2,,1)mi i k i C k a a k m m 是描述其性质的重要指标，下列周期为5的0-1序列中，满足1()(1,2,3,4)5C k k 的序列是（）A 11010 B.11011C.10001D.11001【答案】C 【解析】【详解】由i m i a a 知，序列i a 的周期为m ，由已知，5m ，511(),1,2,3,45i i k i C k a a k 对于选项A ，511223344556111111(1)()(10000)55555i i i C a a a a a a a a a a a a52132435465711112(2)()(01010)5555i i i C a a a a a a a a a a a a ，不满足；对于选项B ，51122334455611113(1)()(10011)5555i i i C a a a a a a a a a a a a ，不满足；对于选项D ，51122334455611112(1)()(10001)5555i i i C a a a a a a a a a a a a ，不满足；故选：C【点晴】本题考查数列的新定义问题，涉及到周期数列，考查学生对新定义的理解能力以及数学运算能力，是一道中档题.二、填空题目：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知单位向量a ，b 的夹角为45°，ka –b 与a 垂直，则k =__________.【答案】22【解析】【分析】首先求得向量的数量积，然后结合向量垂直的充分必要条件即可求得实数k 的值.【详解】由题意可得：211cos 452a b ，由向量垂直的充分必要条件可得：0k a b a，即：2202k a a b k ，解得：22k .故答案为：22．【点睛】本题主要考查平面向量的数量积定义与运算法则，向量垂直的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.14.4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有__________种.【答案】36【解析】【分析】根据题意，采用捆绑法，先取2名同学看作一组，现在可看成是3组同学分配到3个小区，即可求得答案.【详解】∵4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学先取2名同学看作一组，选法有：246C 现在可看成是3组同学分配到3个小区，分法有：336A根据分步乘法原理，可得不同的安排方法6636 种故答案为：36.【点睛】本题主要考查了计数原理的实际应用，解题关键是掌握分步乘法原理和捆绑法的使用，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.15.设复数1z ，2z 满足12||=||=2z z ，123i z z ，则12||z z =__________.【答案】23【解析】【分析】令12cos 2sin z i ，22cos 2sin z i ，根据复数的相等可求得1cos cos sin sin 2，代入复数模长的公式中即可得到结果.【详解】122z z ∵，可设12cos 2sin z i ，22cos 2sin z i ， 122cos cos 2sin sin 3z z i i ，2cos cos 32sin sin 1，两式平方作和得： 422cos cos 2sin sin 4 ，化简得：1cos cos sin sin 2122cos cos 2sin sin z z i224cos cos 4sin sin 88cos cos sin sin 8423 故答案为：23.【点睛】本题考查复数模长的求解，涉及到复数相等的应用；关键是能够采用假设的方式，将问题转化为三角函数的运算问题.16.设有下列四个命题：p 1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.p 2：过空间中任意三点有且仅有一个平面.p 3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行.p 4：若直线l 平面α，直线m ⊥平面α，则m ⊥l .则下述命题中所有真命题的序号是__________.①14p p ②12p p ③23p p ④34p p 【答案】①③④【解析】【分析】利用两交线直线确定一个平面可判断命题1p 的真假；利用三点共线可判断命题2p 的真假；利用异面直线可判断命题3p 的真假，利用线面垂直的定义可判断命题4p 的真假.再利用复合命题的真假可得出结论.【详解】对于命题1p ，可设1l 与2l 相交，这两条直线确定的平面为 ；若3l 与1l 相交，则交点A 在平面 内，同理，3l 与2l 的交点B 也在平面 内，所以，AB ，即3l ，命题1p 为真命题；对于命题2p ，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个，命题2p 为假命题；对于命题3p ，空间中两条直线相交、平行或异面，命题3p 为假命题；对于命题4p ，若直线m 平面 ，则m 垂直于平面 内所有直线，∵直线l 平面 ， 直线m 直线l ，命题4p 为真命题.综上可知，14p p 为真命题，12p p 为假命题，23p p 为真命题，34p p 为真命题.故答案为：①③④.【点睛】本题考查复合命题的真假，同时也考查了空间中线面关系有关命题真假的判断，考查推理能力，属于中等题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.ABC 中，sin 2A －sin 2B －sin 2C =sin B sin C.（1）求A ；（2）若BC =3，求ABC 周长的最大值.【答案】（1）23；（2）323 .【解析】【分析】（1）利用正弦定理角化边，配凑出cos A 的形式，进而求得A ；（2）利用余弦定理可得到 29AC AB AC AB ，利用基本不等式可求得AC AB 的最大值，进而得到结果.【详解】（1）由正弦定理可得：222BC AC AB AC AB ，2221cos 22AC AB BC A AC AB ， 0,A ∵，23A .（2）由余弦定理得：222222cos 9BC AC AB AC AB A AC AB AC AB ，即 29AC AB AC AB .22AC AB AC AB∵（当且仅当AC AB 时取等号）， 22223924AC AB AC AB AC AB AC AB AC AB ，解得：23AC AB （当且仅当AC AB 时取等号），ABC 周长323L AC AB BC ，ABC 周长的最大值为323 .【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理角化边的应用、余弦定理的应用、三角形周长最大值的求解问题；求解周长最大值的关键是能够在余弦定理构造的等式中，结合基本不等式构造不等关系求得最值.18.某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加.为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据(x i ，y i )(i =1，2，…，20)，其中x i 和y i 分别表示第i 个样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的数量，并计算得20160i i x ，2011200i i y，2021)80i i x x （，2021)9000i i y y （，201))800i i i x y x y （（.（1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）；（2）求样本(x i ，y i )(i =1，2，…，20)的相关系数（精确到0.01）；（3）根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大.为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由.附：相关系数r =12211))))ni i i i i n n i i x y x x y y y x（（（（，2=1.414.【答案】（1）12000；（2）0.94；（3）详见解析【解析】【分析】（1）利用野生动物数量的估计值等于样区野生动物平均数乘以地块数，代入数据即可；（2）利用公式20120202211()()()()ii i i i i i x x y y r x x y y 计算即可；（3）各地块间植物覆盖面积差异较大，为提高样本数据的代表性，应采用分层抽样.【详解】（1）样区野生动物平均数为201111200602020i i y ，地块数为200，该地区这种野生动物的估计值为2006012000（2）样本(,)i i x y 的相关系数为20120202211()()800220.943809000()()i i i i i i i x x y y r x x y y （3）由于各地块间植物覆盖面积差异较大，为提高样本数据的代表性，应采用分层抽样先将植物覆盖面积按优中差分成三层，在各层内按比例抽取样本，在每层内用简单随机抽样法抽取样本即可.【点晴】本题主要考查平均数的估计值、相关系数的计算以及抽样方法的选取，考查学生数学运算能力，是一道容易题.19.已知椭圆C 1：22221x y a b(a >b >0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合.过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD |=43|AB |.（1）求C 1的离心率；（2）设M 是C 1与C 2的公共点，若|MF |=5，求C 1与C 2的标准方程.【答案】（1）12；（2）221:13627x y C ，22:12C y x .【解析】【分析】（1）求出AB 、CD ，利用43CD AB可得出关于a 、c 的齐次等式，可解得椭圆1C 的离心率的值；（2）由（1）可得出1C 的方程为2222143x y c c，联立曲线1C 与2C 的方程，求出点M 的坐标，利用抛物线的定义结合5MF 可求得c 的值，进而可得出1C 与2C 的标准方程.【详解】（1） ,0F c ∵，AB x 轴且与椭圆1C 相交于A 、B 两点，则直线AB 的方程为x c ，联立22222221x c x y a b a b c，解得2x c b y a ，则22b AB a，抛物线2C 的方程为24y cx ，联立24x c y cx，解得2x c y c ，4CD c ，43CD AB ∵，即2843b c a，223b ac ，即222320c ac a ，即22320e e ，01e Q ，解得12e ，因此，椭圆1C 的离心率为12；（2）由（1）知2a c ，3b c ，椭圆1C 的方程为2222143x y c c，联立222224143y cx x y c c，消去y 并整理得22316120x cx c ，解得23x c 或6x c （舍去），由抛物线的定义可得25533c MF c c ，解得3c .因此，曲线1C 的标准方程为2213627x y ，曲线2C 的标准方程为212y x .【点睛】本题考查椭圆离心率的求解，同时也考查了利用抛物线的定义求抛物线和椭圆的标准方程，考查计算能力，属于中等题.20.如图，已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1的底面是正三角形，侧面BB 1C 1C 是矩形，M ，N 分别为BC ，B 1C 1的中点，P 为AM 上一点，过B 1C 1和P 的平面交AB 于E ，交AC 于F .（1）证明：AA 1∥MN ，且平面A 1AMN ⊥EB 1C 1F ；（2）设O 为△A 1B 1C 1的中心，若AO ∥平面EB 1C 1F ，且AO =AB ，求直线B 1E 与平面A 1AMN 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）1010.【解析】【分析】（1）由,M N 分别为BC ，11B C 的中点，1//MN CC ，根据条件可得11//AA BB ，可证1MN AA //，要证平面11EB C F 平面1A AMN ，只需证明EF 平面1A AMN 即可；（2）连接NP ，先求证四边形ONPA 是平行四边形，根据几何关系求得EP ，在11B C 截取1B Q EP ，由（1）BC ⊥平面1A AMN ，可得QPN 为1B E 与平面1A AMN 所成角，即可求得答案.【详解】（1）∵,M N 分别为BC ，11B C 的中点，1//MN BB 又11//AA BB 1//MN AA 在ABC 中，M 为BC 中点，则BC AM又∵侧面11BB C C 为矩形，1BC BB 1//MN BB ∵MN BC由MN AM M ，,MN AM 平面1A AMNBC ⊥平面1A AMN又∵11//B C BC ，且11B C 平面ABC ，BC 平面ABC ，11//B C 平面ABC又∵11B C 平面11EB C F ，且平面11EB C F 平面ABC EF 11//B C EF//EF BC又BC ∵平面1A AMNEF 平面1A AMNEF ∵平面11EB C F平面11EB C F 平面1A AMN（2）连接NP∵//AO 平面11EB C F ，平面AONP 平面11EB C F NP //AO NP根据三棱柱上下底面平行，其面1A NMA 平面ABC AM ，面1A NMA 平面1111A B C A N //ON AP故：四边形ONPA 是平行四边形设ABC 边长是6m (0m )可得：ON AP ，6NP AO AB m∵O 为111A B C △的中心，且111A B C △边长为6m 16sin 6033ON m 故：3ON AP m∵//EF BC AP EP AM BM3333EP 解得：EP m在11B C 截取1B Q EP m ，故2QN m∵1B Q EP 且1//B Q EP四边形1B QPE 是平行四边形，1//B E PQ由（1）11B C 平面1A AMN故QPN 为1B E 与平面1A AMN 所成角在Rt QPN △，根据勾股定理可得： 222226210PQ QN PN m m m 210sin 10210QN m QPN PQ m 直线1B E 与平面1A AMN 所成角的正弦值：1010.【点睛】本题主要考查了证明线线平行和面面垂直，及其线面角，解题关键是掌握面面垂直转为求证线面垂直的证法和线面角的定义，考查了分析能力和空间想象能力，属于难题.21.已知函数f (x )=sin 2x sin2x .（1）讨论f (x )在区间(0，π)的单调性；（2）证明：33()8f x ；（3）设n ∈N *，证明：sin 2x sin 22x sin 24x …sin 22n x ≤34nn .【答案】（1）当0,3x时， '0,f x f x 单调递增，当2,33x 时， '0,f x f x 单调递减，当2,3x时， '0,f x f x 单调递增.（2）证明见解析；（3）证明见解析.【解析】【分析】(1)首先求得导函数的解析式，然后由导函数的零点确定其在各个区间上的符号，最后确定原函数的单调性即可；(2)首先确定函数的周期性，然后结合(1)中的结论确定函数在一个周期内的最大值和最小值即可证得题中的不等式；(3)对所给的不等式左侧进行恒等变形可得2222123sin sin sin 2sin 2sin 4sin 2sin 2sin 2n n n f x x x x x x x x x ，然后结合(2)的结论和三角函数的有界性进行放缩即可证得题中的不等式.【详解】(1)由函数的解析式可得： 32sin cos f x x x ，则： 224'23sin cos sin f x x x x2222sin 3cos sin x x x 222sin 4cos 1x x 22sin 2cos 12cos 1x x x ，'0f x 在 0,x 上的根为：122,33x x，当0,3x时， '0,f x f x 单调递增，当2,33x时， '0,f x f x 单调递减，当2,3x时， '0,f x f x 单调递增.(2)注意到 22sinsin 2sin sin 2f x x x x x f x ，故函数 f x 是周期为 的函数，结合(1)的结论，计算可得： 00f f ，233333228f ，2233333228f ，据此可得： max 338f x， min 338f x ，即 338f x .(3)结合(2)的结论有：2222sin sin 2sin 4sin 2n x x x x 233333sin sin 2sin 4sin 2n x x x x2222123sin sin sin 2sin 2sin 4sin 2sin 2sin 2n n n x x x x x x x x 232333333sin sin 2888n x x 23338n 34n .【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.并用2B 铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4—4：坐标系与参数方程]22.已知曲线C 1，C 2的参数方程分别为C 1：224cos 4sin x y ，（θ为参数），C 2：1,1x t t y t t（t 为参数）.（1）将C 1，C 2的参数方程化为普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.设C 1，C 2的交点为P ，求圆心在极轴上，且经过极点和P 的圆的极坐标方程.【答案】（1）1:4C x y ；222:4C x y ；（2）17cos 5.【解析】【分析】（1）分别消去参数 和t 即可得到所求普通方程；（2）两方程联立求得点P ，求得所求圆的直角坐标方程后，根据直角坐标与极坐标的互化即可得到所求极坐标方程.【详解】（1）由22cos sin 1 得1C 的普通方程为：4x y ；由11x t t y t t 得：2222221212x t t y t t，两式作差可得2C 的普通方程为：224x y .（2）由2244x y x y 得：5232x y ，即53,22P ；设所求圆圆心的直角坐标为 ,0a ，其中0a ，则22253022a a，解得：1710a ， 所求圆的半径1710r ， 所求圆的直角坐标方程为：22217171010x y ，即22175x y x ， 所求圆的极坐标方程为17cos 5.【点睛】本题考查极坐标与参数方程的综合应用问题，涉及到参数方程化普通方程、直角坐标方程化极坐标方程等知识，属于常考题型.[选修4—5：不等式选讲]23.已知函数2()|21|f x x a x a .（1）当2a 时，求不等式()4f x 的解集；（2）若()4f x ，求a 的取值范围.【答案】（1）32x x或112x；（2） ,13, .【解析】【分析】（1）分别在3x 、34x 和4x 三种情况下解不等式求得结果；（2）利用绝对值三角不等式可得到 21f x a ，由此构造不等式求得结果.【详解】（1）当2a 时， 43f x x x .当3x 时， 43724f x x x x ，解得：32x ≤；当34x 时， 4314f x x x ，无解；当4x 时， 43274f x x x x ，解得：112x；综上所述： 4f x 的解集为32x x或112x .（2） 22222121211f x x a x a x ax a a a a （当且仅当221a x a 时取等号）， 214a ，解得：1a 或3a ，a 的取值范围为 ,13, .【点睛】本题考查绝对值不等式的求解、利用绝对值三角不等式求解最值的问题，属于常考题型.祝福语祝你马到成功，万事顺意!。

2020年高考全国卷Ⅱ数学（理）试卷一、选择1. 已知集合U={−2,−1,0,1,2,3},A={−1,0,1},B={1,2}，则∁U(A∪B)= ( )A. {−2,3}B. {−2,2,3}C. {−2,−1,0,3}D. {−2,−1,0,2,3}2. 若α为第四象限角，则( )A.cos2α>0B.cos2α<0C.sin2α>0D. sin2α<03. 在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压，为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天新订单是1600份的概率为0.05.志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天积压订单及当日订单配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者( )A.10名B.18名C.24名D.32名4. 北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层.上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块.下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块.已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)()A.3699块B.3474块C.3402块D.3339块5. 若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x−y−3=0的距离为( )A.√55B. 2√55C.3√55D.4√556. 数列{a n}中，a1=2，a m+n=a m a n.若a k+1+a k+2+⋯+a k+10=215−25，则k= ()A.2B.3C.4D.57. 如图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为M，在俯视图中对应的点为N，则该端点在侧视图中对应的点为( )A.EB.FC.GD.H8. 设O为坐标原点，直线x=a与双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0，b>0)的两条渐近线分别交于D，E两点.若△ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为() A.4 B.8 C.16 D.329. 设函数f(x)=ln|2x+1|−ln|2x−1|，则f(x)( )A.是偶函数，且在(12,+∞)单调递增B.是奇函数，且在(−12,12)单调递减C.是偶函数，且在(−∞,−12)单调递增D.是奇函数，且在(−∞,−12)单调递减10. 已知△ABC是面积为9√34的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上.若球O的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为()A.√3B.32C.1 D.√3211. 若2x−2y<3−x−3−y，则( )A. ln(y−x+1)>0B.ln(y−x+1)<0C.ln|x−y|>0D.ln|x−y|<012. 0−1周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列a 1a 2⋯a n ⋯满足a i ∈{0,1}(i =1,2,⋯)，且存在正整数m ，使得a i+m =a i (i =1, 2, ⋯)成立，则称其为0−1周期序列，并称满足a i+m =a i (i =1, 2, ⋯)的最小正整数m 为这个序列的周期.对于周期为m 的0−1序列a 1a 2⋯a n ⋯,C (k )=1m∑a i m i=1a i+k (k =1, 2, ⋯, m −1)是描述其性质的重要指标.下列周期为5的0−1序列中，满足C (k )≤15(k =1,2,3,4)的序列是( ) A.11010⋯ B.11011⋯ C.10001⋯ D.11001⋯二、填空题已知单位向量a →，b →的夹角为45∘，ka →−b →与a →垂直，则k =________.4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名学生，则不同的安排方法有________种．设复数z 1,z 2满足|z 1|=|z 2|=2，z 1+z 2=√3+i ，则|z 1−z 2|=________.设有下列四个命题：p 1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内． p 2：过空间中任意三点有且仅有一个平面．p 3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行. p 4：若直线l ⊂平面α，直线m ⊥平面α，则m ⊥l . 则下列命题中所有真命题的序号是________.①p 1∧p 4 ；②p 1∧p 2 ；③¬p 2∨p 3 ； ④¬p 3∨¬p 4. 三、解答题△ABC 中， sin 2A −sin 2B −sin 2C =sin B sin C . (1)求A ；(2)若BC =3，求△ABC 周长的最大值．某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加，为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据(x i ,y i )(i =1,2,⋯,20)，其中x i 和y i 分别表示第i 个样区的植物覆盖面积（单位：公顷）和这种野生动物的数量，并计算得∑x i 20i=1=60 ，∑y i 20i=1=1200， ∑(x i −x ¯)220i=1=80， ∑(y i −y ¯)220i=1=9000，∑(x i −x ¯)20i=1(y i −y ¯)=800.(1)求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）；(2)求样本(x i,y i)(i=1,2,⋯,20)的相关系数（精确到0.01）；(3)根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大，为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由．附：相关系数：r=∑(x−x¯)n(y−y¯)√∑(xi−x)2ni=1∑(y i−y)2ni=1√2≈1.414.已知椭圆C1:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合.C1的中心与C2的顶点重合，过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|=43|AB|.(1)求C1的离心率；(2)设M是C1与C2的公共点.若|MF|=5，求C1与C2的标准方程.如图已知三棱柱ABC−A1B1C1的底面是正三角形，侧面BB1C1C是矩形，M，N分别为BC，B1C1的中点，P为AM上一点，过B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F．(1)证明：AA1//MN，且平面A1AMN⊥面EB1C1F.(2)设O为△A1B1C1的中心，若AO//面EB1C1F，且AO=AB，求直线B1E与平面A1AMN所成角的正弦值．已知函数f(x)=sin2x sin2x.(1)讨论f(x)在(0,π)上的单调性；(2)证明：|f(x)|≤3√38；(3)证明：sin2x sin22x sin24x⋯sin22n x≤3n4n.已知曲线C1,C2的参数方程分别为C1：{x=4cos2θ，y=4sin2θ(θ为参数)，C2：{x=t+1t，y=t−1t(t为参数).(1)将C1，C2的参数方程化为普通方程；(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.设C1，C2的交点为P，求圆心在极轴上，且经过极点和P的圆的极坐标方程.已知函数f(x)=|x−a2|+|x−2a+1|.(1)当a=2时，求不等式f(x)≥4的解集；(2)若f(x)≥4，求a的取值范围.参考答案与试题解析2020年高考全国卷Ⅱ数学（理）试卷一、选择1.【答案】A【考点】交、并、补集的混合运算【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意可知A∪B={−1,0,1,2}，故∁U(A∪B)={−2,3}.故选A.2.【答案】D【考点】任意角的三角函数【解析】此题暂无解析【解答】解：∵α为第四象限角，∴−π+2kπ<α<2kπ，2∴−π+4kπ<2α<4kπ，∴2α是第三或第四象限角，∴当2α在第三象限时，cos2α<0，当2α在第四象限时，cos2α>0，故A，B错误；无论2α在第三还是在第四象限，都有sin2α<0.故选D.3.【答案】B【考点】生活中概率应用【解析】此题暂无解析【解答】解：因为公司可以完成配货1200份订单，则至少需要志愿者为：1600+500−1200=18名.50故选B.4.【答案】C【考点】等差数列的前n项和等差数列的性质等差数列【解析】此题暂无解析【解答】解：设每一层有n环，由题可知从内到外每环之间构成等差数列，公差d=9，a1=9.由等差数列性质知S n，S2n−S n，S3n−S2n成等差数列，且(S3n−S2n)−(S2n−S n)=n2d，则9n2=729，解得n=9，则三层共有扇形面石板为S3n=S27=27a1+27×262×9=3402块. 故选C.5.【答案】B【考点】点与圆的位置关系点到直线的距离公式【解析】此题暂无解析【解答】解：设圆心为(a,a)，则半径为a，圆过点(2,1)，则(a−2)2+(a−1)2=a2，解得a=1或a=5，所以圆心坐标为(1,1)或(5,5)，圆心(1,1)到直线的距离是d=5=2√55，圆心(5,5)到直线的距离是d=√5=2√55.故选B.6.【答案】C【考点】等比数列的前n项和等比关系的确定【解析】此题暂无解析【解答】解：a m+n=a m a n，取m=1，则a1+n=a1a n. 又a1=2，所以a n+1a n=2，所以{a n}是首项，公比均为2等比数列，则a n=2n，所以a k+1+a k+2+⋯+a k+10=2k+1(1−210)1−2=2k+1⋅210−2k+1=215−25，解得k=4.故选C.7.【答案】A【考点】由三视图还原实物图【解析】此题暂无解析【解答】解：该几何体是两个长方体拼接而成，如图所示，显然所求点对应的为E点.故选A.8.【答案】B【考点】直线与双曲线结合的最值问题双曲线的渐近线【解析】此题暂无解析【解答】解：双曲线C:x 2a2−y2b2=1(a>0，b>0)的两条渐近线分别为y=±bax，则容易得到|DE|=2b，则S△ODE=ab=8. 又因为c2=a2+b2≥2ab=16，即c≥4，焦距2c≥8.故选B.9.【答案】D【考点】函数奇偶性的判断复合函数的单调性【解析】此题暂无解析【解答】解：函数f(−x)=ln|−2x+1|−ln|−2x−1|=ln|1−2x|−ln|2x+1|=−f(x)，∴f(x)为奇函数.当x∈(12，+∞)时，f(x)=ln(2x+1)−ln(2x−1)=ln2x+12x−1=ln(1+22x−1)，单调递减；当x∈(−12,12)时，f(x)=ln(2x+1)−ln(1−2x)，单调递增；当x∈(−∞,−12)时，f(x)=ln(−2x−1)−ln(1−2x)=ln2x+12x−1=ln(1+22x−1)，单调递减.故选D.10.【答案】C【考点】三角形的面积公式三角形五心球的体积和表面积【解析】此题暂无解析【解答】解：设ABC的外接圆圆心为O1，记OO1=d，圆O1的半径为r，球O半径为R，等边三角形△ABC的边长为a，则S△ABC=√34a2=9√34，可得a=3，所以r=√3=√3.由题知球O的表面积为16π，则R=2，由R2=r2+d2，易得d=1，即O到平面ABC的距离为1. 故选C.11.【答案】A【考点】利用导数研究函数的单调性函数单调性的性质【解析】此题暂无解析【解答】解：2x−3−x<2y−3−y，设f(x)=2x−3−x，则f′(x)=2x ln2+3−x ln3>0，∴函数f(x)在R上单调递增，∵f(x)<f(y)，所以x<y，则y−x+1>1，∴ln(y−x+1)>0.故选A.12.【答案】C【考点】函数新定义问题数列的求和【解析】此题暂无解析【解答】解：对于A选项，C(1)=15∑a i5i=1a i+1=15(1+0+0+0+0)=15，C(2)=15∑a i5i=1a i+2=15(0+1+0+1+0)=25>15，不满足，排除；对于B选项，C(1)=15∑a i5i=1a i+1=15(1+0+0+1+1)=35>15，不满足，排除；对于C选项，C(1)=15∑a i5i=1a i+1=15(0+0+0+0+1)=15，C(2)=15∑a i5i=1a i+2=15(0+0+0+0+0)=0，C(3)=15∑a i5i=1a i+3=15(0+0+0+0+0)=0，C(4)=15∑a i5i=1a i+4=15(1+0+0+0+0)=15，满足；对于D选项，C(1)=15∑a i5i=1a i+1=15(1+0+0+0+1)=25>0，不满足，排除.故选C．二、填空题【答案】√22向量的数量积判断向量的共线与垂直 平面向量数量积 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：∵ 单位向量a →，b →的夹角为45∘， ∴ a →⋅b →=|a →|⋅|b →|⋅cos 45∘=√22. ∵ ka →−b →与a →垂直， ∴ (ka →−b →)⋅a →=k −√22=0，∴ k =√22. 故答案为：√22.【答案】36【考点】排列、组合及简单计数问题 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：由题意可得，不同的安排方法有C 42A 33=36种. 故答案为：36. 【答案】2√3【考点】 复数的模 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：由题设z 1=a +bi ，则z 2=(√3−a)+(1−b )i ， 故 |z 1|2=a 2+b 2=4， |z 2|2=(√3−a)2+(1−b )2 =a 2+b 2−2√3a −2b +4=4， 则|z 1−z 2|2=(2a −√3)2+(2b −1)2 =4a 2+4b 2−4√3a −4b +4=2(a 2+b 2)+2(a 2+b 2−2√3a −2b)+4 =2×4+4=12， 故|z 1−z 2|=2√3. 故答案为：2√3.①③④【考点】逻辑联结词“或”“且”“非”命题的真假判断与应用空间中直线与平面之间的位置关系空间中直线与直线之间的位置关系【解析】此题暂无解析【解答】解：对于p1：可设l1与l2相交，所得平面为α．若l3与l1相交，则交点A必在α内，同理，与l2交点B在α内，故直线AB在α内，即l3在α内，故p1为真命题．对于p2：过空间中任意三点，若三点共线，可形成无数多平面，故p2为假命题．对于p3：空间中两条直线的位置关系有相交、平行、异面，若不相交，可能平行，也可能异面，故p3为假命题．对于p4：若m⊥α，则m垂直于平面α内的所有直线，因为直线l⊂平面α，故m⊥l，故p4为真命题．综上可知：①p1∧p4为真命题；②p1∧p2为假命题，③¬p2∨p3为真命题；④¬p3∨¬p4为真命题．故答案为：①③④ .三、解答题【答案】解：(1)在△ABC中，设内角A,B,C的对边分别为a,b,c，∵sin2A−sin2B−sin2C=sin B sin C，由正弦定理得，a2−b2−c2=bc，即b2+c2−a2=−bc，由余弦定理得，cos A=b2+c2−a22bc =−12.∵0<A<π，∴A=2π3.(2)由(1)知A=2π3，因为BC=3，即a=3，由余弦定理得，a2=b2+c2−2bc cos A，∴9=b2+c2+bc=(b+c)2−bc.由基本不等式√bc≤b+c2知bc≤(b+c)24，结合上式得9=(b+c)2−bc≥34(b+c)2, (b+c)2≤12，∴b+c≤2√3，当且仅当b=c=√3时取等号，∴△ABC周长的最大值为3+2√3.【考点】基本不等式在最值问题中的应用正弦定理【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)在△ABC中，设内角A,B,C的对边分别为a,b,c，∵sin2A−sin2B−sin2C=sin B sin C，由正弦定理得，a2−b2−c2=bc，即b2+c2−a2=−bc，由余弦定理得，cos A=b2+c2−a22bc =−12.∵0<A<π，∴A=2π3.(2)由(1)知A=2π3，因为BC=3，即a=3，由余弦定理得，a2=b2+c2−2bc cos A，∴9=b2+c2+bc=(b+c)2−bc.由基本不等式√bc≤b+c2知bc≤(b+c)24，结合上式得9=(b+c)2−bc≥34(b+c)2,(b+c)2≤12，∴b+c≤2√3，当且仅当b=c=√3时取等号，∴△ABC周长的最大值为3+2√3.【答案】解：(1)由题意可知，1个样区这种野生动物数量的平均数=120020=60，故这种野生动物数量的估计值=60×200=12000；(2)由参考公式得，r=∑(x i−x¯)ni=1(y i−y¯)√∑(xi−x)2ni=1∑(y i−y)2ni=1=√80×9000=6√2≈0.94；(3)由题意可知，各地块间植物覆盖面积差异很大，因此在调查时，先确定该地区各地块间植物覆盖面积大小并且由小到大排序，每十个分为一组，采用系统抽样的方法抽取20个地块作为样区进行样本统计．【考点】众数、中位数、平均数相关系数收集数据的方法此题暂无解析【解答】解：(1)由题意可知，1个样区这种野生动物数量的平均数=120020=60，故这种野生动物数量的估计值=60×200=12000；(2)由参考公式得，r=∑(x i−x¯)ni=1(y i−y¯)√∑(xi−x)2ni=1∑(y i−y)2ni=1=√80×9000=6√2≈0.94；(3)由题意可知，各地块间植物覆盖面积差异很大，因此在调查时，先确定该地区各地块间植物覆盖面积大小并且由小到大排序，每十个分为一组，采用系统抽样的方法抽取20个地块作为样区进行样本统计．【答案】解：(1)F为C1的焦点，且AB⊥x轴，∴F(c,0)，|AB|=2b2a，设C2的标准方程为y2=2px(p>0)，∵F为C2的焦点，且AB⊥x轴，∴F(p2,0).由抛物线的定义可得，|CD|=2p．∵|CD|=43|AB| .C1与C2焦点重合，∴{c=p2，2p=43×2b2a，消去p得：4c=8b 23a，∴3ac=2b2，∴3ac=2a2−2c2，设C1的离心率为e，则2e2+3e−2=0，∴e=12或e=−2(舍)，故C1的离心率为12.(2)由(1)知a=2c，b=√3c，p=2c．∴C1:x24c2+y23c2=1，C2:y2=4cx，联立两曲线方程，消去y得3x2+16cx−12c2=0，∴(3x−2c)(x+6c)=0，∴x=23c或x=−6c(舍).从而|MF|=x+p2=23c+c=53c=5，∴c=3，∴C1与C2的标准方程分别为x236+y227=1，y2=12x.【考点】圆锥曲线的综合问题椭圆的离心率抛物线的标准方程抛物线的定义椭圆的标准方程【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)F为C1的焦点，且AB⊥x轴，∴F(c,0)，|AB|=2b2a，设C2的标准方程为y2=2px(p>0)，∵F为C2的焦点，且AB⊥x轴，∴F(p2,0).由抛物线的定义可得，|CD|=2p．∵|CD|=43|AB| .C1与C2焦点重合，∴{c=p2，2p=43×2b2a，消去p得：4c=8b 23a，∴3ac=2b2，∴3ac=2a2−2c2，设C1的离心率为e，则2e2+3e−2=0，∴e=12或e=−2(舍)，故C1的离心率为12.(2)由(1)知a=2c，b=√3c，p=2c．∴C1:x24c2+y23c2=1，C2:y2=4cx，联立两曲线方程，消去y得3x2+16cx−12c2=0，∴(3x−2c)(x+6c)=0，∴x=23c或x=−6c(舍).从而|MF|=x+p2=23c+c=53c=5，∴c=3，∴C1与C2的标准方程分别为x236+y227=1，y2=12x.【答案】(1)证明：∵M，N分别为BC，B1C1的中点，底面为正三角形，∴B1N=BM，四边形BB1NM为矩形，A1N⊥B1C1，∴BB1//MN，而AA1//BB1，MN⊥B1C1，∴AA1//MN.又∵MN∩A1N=N，∴B1C1⊥面A1AMN.∵B1C1⊂面EB1C1F，∴面A1AMN⊥面EB1C1F.(2)∵三棱柱上下底面平行，平面EB1C1F与上下底面分别交于B1C1，EF，∴EF//B1C1//BC.∵AO//面EB1C1F，AO⊂面AMNA1，面AMNA1∩面EB1C1F=PN，∴AO//PN，四边形APNO为平行四边形，而O为正三角形的中心，AO=AB，∴A1N=3ON，AM=3AP,PN=BC=B1C1=3EF.由(1)知直线B1E在平面A1AMN内的投影为PN，直线B1E与平面A1AMN所成角即为等腰梯形EFC1B1中B1E与PN所成角.在等腰梯形EFC1B1中，令EF=1，过E作EH⊥B1C1于H，则PN=B1C1=EH=3，B1H=1，B1E=√10，sin∠B1EH=B1HB1E =√1010.所以直线B1E与平面A1AMN所成角的正弦值为√1010.【考点】直线与平面所成的角两条直线平行的判定平面与平面垂直的判定【解析】此题暂无解析【解答】(1)证明：∵M，N分别为BC，B1C1的中点，底面为正三角形，∴B1N=BM，四边形BB1NM为矩形，A1N⊥B1C1，∴BB1//MN，而AA1//BB1，MN⊥B1C1，∴AA1//MN.又∵MN∩A1N=N，∴B1C1⊥面A1AMN.∵B1C1⊂面EB1C1F，∴面A1AMN⊥面EB1C1F.(2)∵三棱柱上下底面平行，平面EB1C1F与上下底面分别交于B1C1，EF，∴EF//B1C1//BC.∵AO//面EB1C1F，AO⊂面AMNA1，面AMNA1∩面EB1C1F=PN，∴AO//PN，四边形APNO为平行四边形，而O为正三角形的中心，AO=AB，∴A1N=3ON，AM=3AP,PN=BC=B1C1=3EF.由(1)知直线B1E在平面A1AMN内的投影为PN，直线B1E与平面A1AMN所成角即为等腰梯形EFC1B1中B1E与PN所成角.在等腰梯形EFC1B1中，令EF=1，过E作EH⊥B1C1于H，则PN=B1C1=EH=3，B1H=1，B1E=√10，sin∠B1EH=B1HB1E =√1010.所以直线B1E与平面A1AMN所成角的正弦值为√1010.【答案】(1)解：∵ f (x )=2sin 3x cos x ， ∴ f ′(x )=2sin 2x(3cos 2x −sin 2x) =−8sin 2x sin (x +π3)sin (x −π3).当x ∈(0,π3)时， f ′(x )>0, f (x )单调递增；当x ∈(π3,2π3)时， f ′(x )<0, f (x )单调递减； 当x ∈(2π3,π)时， f ′(x )>0, f (x )单调递增.(2)证明：由f (x )=2sin 3x cos x 得， f (x )为R 上的奇函数．f 2(x )=4sin 6x cos 2x =4(1−cos 2x )3cos 2x =4(1−cos 2x )3×3cos 2x 3≤43×(3−3cos 2x+3cos 2x 4)4=(34)3.当1−cos 2x =3cos 2x ，即cos x =±12时等号成立，故|f (x )|≤3√38.(3)证明：由(2)知：sin 2x sin 2x ≤3√38=(34)32，sin 22x sin 4x ≤3√38=(34)32， sin 222x sin 23x ≤3√38=(34)32，⋯ sin 22n−1x sin 2n x ≤3√38=(34)32，∴ sin 2x sin 32x sin 34x ⋯sin 32n−1x sin 22n x ≤(34)3n2 ， ∴ sin 3x sin 32x sin 34x ⋯sin 32n−1x sin 32n x =sin x(sin 2x sin 32x sin 34x ⋯sin 32n−1x sin 22n x)sin 2nx ≤(34)3n 2，∴ sin 2x sin 22x sin 24x ⋯ sin 22n x ≤3n4n . 【考点】 不等式的证明利用导数研究函数的单调性 【解析】 此题暂无解析 【解答】(1)解：∵ f (x )=2sin 3x cos x ， ∴ f ′(x )=2sin 2x(3cos 2x −sin 2x) =−8sin 2x sin (x +π3)sin (x −π3).当x ∈(0,π3)时， f ′(x )>0, f (x )单调递增； 当x ∈(π3,2π3)时， f ′(x )<0, f (x )单调递减；当x ∈(2π3,π)时， f ′(x )>0, f (x )单调递增.(2)证明：由f (x )=2sin 3x cos x 得， f (x )为R 上的奇函数． f 2(x )=4sin 6x cos 2x =4(1−cos 2x )3cos 2x =4(1−cos 2x )3×3cos 2x 3≤43×(3−3cos 2x+3cos 2x 4)4=(34)3.当1−cos 2x =3cos 2x ，即cos x =±12时等号成立，故|f (x )|≤3√38.(3)证明：由(2)知：sin 2x sin 2x ≤3√38=(34)32，sin 22x sin 4x ≤3√38=(34)32， sin 222x sin 23x ≤3√38=(34)32，⋯，sin 22n−1x sin 2nx ≤3√38=(34)32，∴ sin 2x sin 32x sin 34x ⋯sin 32n−1x sin 22nx ≤(34)3n 2，∴ sin 3x sin 32x sin 34x ⋯sin 32n−1x sin 32n x=sin x(sin 2x sin 32x sin 34x ⋯sin 32n−1x sin 22n x)sin 2n x ≤(34)3n2， ∴ sin 2x sin 22x sin 24x ⋯ sin 22n x ≤3n4n . 【答案】解：(1)C 1：{x =4cos 2θ，①y =4sin 2θ，②①+②得，x +y =4，故C 1的普通方程为：x +y −4=0. 由 {x =t +1t ，y =t −1t可得{x 2=t 2+2+1t2，③y 2=t 2−2+1t2，④③−④得，x 2−y 2=4，故C 2的普通方程为：x 2−y 2=4. (2)联立C 1,C 2 {x +y −4=0，x 2−y 2=4，解得：{x =52，y =32， 所以点P 坐标为：P (52,32). 设所求圆圆心为Q (a,0)，半径为a ，故圆心Q (a,0)到P (52,32)的距离为√(52−a)2+(32−0)2=a ，解得a =1710，所以圆Q 的圆心为(1710, 0)，半径为1710，则圆Q 的直角坐标方程为：(x −1710)2+y 2=(1710)2，即．x 2+y 2−175x =0，所以所求圆的极坐标方程为： ρ=175cos θ.【考点】圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化 直线与双曲线结合的最值问题 参数方程与普通方程的互化 点到直线的距离公式 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：(1)C 1：{x =4cos 2θ，①y =4sin 2θ，②①+②得，x +y =4，故C 1的普通方程为：x +y −4=0. 由 {x =t +1t ，y =t −1t 可得{x 2=t 2+2+1t2，③y 2=t 2−2+1t 2，④③−④得，x 2−y 2=4，故C 2的普通方程为：x 2−y 2=4. (2)联立C 1,C 2 {x +y −4=0，x 2−y 2=4，解得：{x =52，y =32， 所以点P 坐标为：P (52,32). 设所求圆圆心为Q (a,0)，半径为a ，故圆心Q (a,0)到P (52,32)的距离为√(52−a)2+(32−0)2=a ，解得a =1710，所以圆Q 的圆心为(1710, 0)，半径为1710， 则圆Q 的直角坐标方程为：(x −1710)2+y 2=(1710)2， 即．x 2+y 2−175x =0，所以所求圆的极坐标方程为： ρ=175cos θ.【答案】解：(1)当a =2时，f (x )={7−2x ，x ≤3，1，3<x ≤4，2x −7，x >4.试卷第21页，总21页 因此，不等式f (x )≥4的解集为{x|x ≤32或x ≥112}.(2)因为f (x )=|x −a 2|+|x −2a +1|≥|a 2−2a +1|=(a −1)2， 故当(a −1)2≥4，即|a −1|≥2时， f (x )≥4，所以当a ≥3或a ≤−1时，f (x )≥4；当−1<a <3时， f (a 2)=|a 2−2a +1|=(a −1)2<4. 所以a 的取值范围是(−∞,−1]∪[3,+∞).【考点】绝对值不等式的解法与证明绝对值三角不等式【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)当a =2时，f (x )={7−2x ，x ≤3，1，3<x ≤4，2x −7，x >4.因此，不等式f (x )≥4的解集为{x|x ≤32或x ≥112}.(2)因为f (x )=|x −a 2|+|x −2a +1|≥|a 2−2a +1|=(a −1)2， 故当(a −1)2≥4，即|a −1|≥2时， f (x )≥4，所以当a ≥3或a ≤−1时，f (x )≥4；当−1<a <3时， f (a 2)=|a 2−2a +1|=(a −1)2<4. 所以a 的取值范围是(−∞,−1]∪[3,+∞).。

2020年全国统一高考数学试卷（理科）（全国新课标II)＿｀选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合U =-2, -1, 0, 1, 2, 3}, A = -1, 0, 1}, B = 1, 2}，则C u(AUB)=A.-2,3}【答案】：AB.-2, 2,3}C.-2, -1, 0, 3}【解析】：·:AUB={-1,0,1,2},:.Cu(AUB)={-2,3} 2.若a为第四象限角，则A.cos2a > 0B.cos2a < 0C.sin2a > 0【答案】：D【解析】：，．．·冗-—+2k 冗＜戊<2k 冗，．．．－7l+4k 冗<2a<4k7l.2 :. 2a 是第三或四象限角，．．．sin2a <0 D.-2, -1, 0, 2, 3}<D. sin2a<03．在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销信业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单星大幅增加，导致订单积斥．为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天新订单是1600份的概率为0.05志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天积压订单及当日订单配货的概率不小于0.95,则至少需要志愿者A. 10名B..18名C. 24名D. 32名【答案】：R【解析l ；因为公司可以完成配货1200份订单，则至少需要志愿者为1600 + 500-1200 = 18名so4.北京天坛的圆丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇形面形石板（不含天心石）A.3699块B.3474块C.3402块'\_、(...D.3339块。

2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，则（）A. B.C. D.2.若为第四象限角，则（）A. B. C. D.3.在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压，为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作．已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（）A. 10名B. 18名C. 24名D. 32名4.北京天坛的圆丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板（不含天心石）( )A. 3699块B. 3474块C. 3402块D. 3339块5.若过点的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为( )A. B. C. D.6.数列中，，，若，则（）A. 2B. 3C. 4D. 57.右图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个断点在正视图中对应的点为，在俯视图中对应的点为，则该端点在侧视图中对应的点为( )A.B.C.D.8.设为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，若的面积为8，则的焦距的最小值为( )A. 4B. 8C. 16D. 329.设函数，则( )A. 是偶函数，且在单调递增B. 是奇函数，且在单调递减C. 是偶函数，且在单调递增D. 是奇函数，且在单调递减10.已知是面积为的等边三角形，且其顶点都在球的表面上，若球的表面积为，则球到平面的距离为（）A. B. C. D.11. 11.若，则（）A. B. C. D.12.0-1周期序列在通信技术中有着重要应用，若序列满足，且存在正整数，使得成立，则称其为0-1周期序列，并称满足的最小正整数为这个序列的周期．对于周期为的0-1序列，是描述其性质的重要指标．下列周期为5的0-1序列中，满足的序列是( )A. 11010…B. 11011…C. 10001…D. 11001…二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知单位向量的夹角为45°，与垂直，则_______．14. 4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有______种．15.设复数满足，则______．16.设有下列四个命题：：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内．：过空间中任意三点有且仅有一个平面．：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行．：若直线平面，直线平面，则．则下述命题中所有真命题的序号是________．①②③④三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.中，．（1）求；（2）若，求周长的最大值．18.某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加．为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据，其中和分别表示第个样区的植物覆盖面积（单位：公顷）和这种野生动物的数量，并计算得，，，，．（1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）；（2）求样本的相关系数（精确到0.01）；（3）根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大，为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由．附：相关系数，．19.已知椭圆:的右焦点与抛物线的焦点重合，的中心与的的顶点重合．过且与轴垂直的直线交于，两点，交于，两点，且．（1）求的离心率；（2）设是与的公共点，若，求与的标准方程．20.如图，已知三棱柱的底面是正三角形，侧面是矩形，，分别为，的中点，为上一点，过和的平面交于，交于．（1）证明：，且平面；（2）设为△的中心，若，且，求直线与平面所成角的正弦值．21.已知函数．（1）讨论在区间的单调性；（2）证明：；（3）设，证明：．22.已知曲线，的参数方程分别为：（为参数），：（为参数）．（1）将，的参数方程化为普通方程；（2）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系．设，的交点为，求圆心在极轴上，且经过极点和的圆的极坐标方程．23.已知函数．（1）当时，求不等式的解集；（2）若，求的取值范围．答案和解析1.【答案】A【解析】【分析】本题考查集合的运算，属基础题.先求出，再求补集.【解答】解：，故选A.2.【答案】D【解析】【分析】本题考查三角函数在各象限的正负，属于基础题.根据所给角是第四象限角，写出角的范围，求出的范围，进而可判断出三角函数值的正负.【解答】解：∴是第三象限或第四象限角或终边在y轴的非正半轴上，故选D.3.【答案】B【解析】【分析】本题考查对概率的理解，通过条件容易得出第二天需配送的总订单数，进而可求出所需至少人数.【解答】解：因为公司可以完成配货1200份订单，则至少需要志愿者为名.故选B.4.【答案】C【解析】【分析】本题考查等差数列前n项和的性质，属于中档题.由成等差数列，可得每一层的环数，通过等差数列前n项和公式可求得三层扇形石板的总数.【解答】解：设每一层有n环，由题可知从内到外每环之间构成等差数列，公差，，由等差数列性质知成等差数列，且，则，得，则三层共有扇形面石板为故选C.5.【答案】B【解析】【分析】本题考查直线与圆的位置关系及点到直线的距离计算，属基础题.由圆与坐标轴相切，可得圆心坐标及半径，再用点到直线的距离公式求解即可.【解答】解：设圆心为，则半径为，圆过点，则，解得或，所以圆心坐标为，圆心到直线的距离都是故选B.6.【答案】C【解析】【分析】本题考查等比数列的判定及等比数列前n项求和，属基础题.取m=1，知数列是等比数列，再由等比数列前n项和公式可求出k的值.【解答】解：取，则，又，所以，所以是等比数列，则，所以，得故选C.7.【答案】A【解析】【分析】本题三视图，考查空间想象能力，属基础题.由三视图，通过还原几何体，观察可知对应点.【解答】解：该几何体是两个长方体拼接而成，如图所示，显然选A.8.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查双曲线的几何性质及双曲线的渐近线，属于中档题.【解答】解：双曲线C的两条渐近线分别为,由于直线x=a与双曲线的两条渐近线分别交于D、E两点，则易得到,则, ,即,所以焦距.故选B.9.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查函数的奇偶性、单调性，属于中档题.【解答】解：函数,则为奇函数，时，,单调递增；时，，单调递减.故选D.10.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查点到平面的距离求法，属于中档题.【解答】解：设△ABC的外接圆圆心为,设,圆的半径为r,球O的半径为R,△ABC的边长为a,则，可得,于是，由题意知，球O的表面积为，则,由,求得，即O到平面ABC的距离为1.故选C.11.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查对数函数与指数函数，考查函数的单调性，属于较难题.【解答】解：，设,则，所以函数在R上单调递增，因为，所以,则，.故选A.12.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查新定义类型的问题，属于较难题.【解答】解：对于A选项，，，不满足，排除；对于B选项，，不满足，排除；对于C选项，，，，，满足；对于D选项，，不满足，排除；故选C.13.【答案】【解析】【分析】本题主要考查平面向量的运算以及向量间的垂直关系，属于基础题.【解答】解：由单位向量的夹角为，与垂直，所以，则.故答案为.14.【答案】36【解析】【分析】本题考查计数原理，属于基础题．【解答】解：由题意可得不同的安排方法有：．答案：36．15.【答案】【解析】【分析】本题考查复数的运算及复数的模，属于基础题．【解答】解：在复平面内，用向量方法求解，原问题即等价于平面向量满足，，求，由，可得，故．故答案为．16.【答案】①③④【解析】【分析】本题考查含逻辑联结词的命题真假的判断以及立体几何相关知识，属于中档题．【解答】解：对于：可设与，所得平面为若与相交，则交点A必在平面内.同理与的交点B在平面内，故直线AB在平面内，即在平面内，故为真命题．对于过空间中任意三点，若三点共线，可形成无数个平面，故为假命题．对于空间中两条直线的位置关系有平行，相交，异面，故为假命题．对于若，则m垂直于平面内的所有直线，故，故为真命题．综上可知，为真命题，为真命题，为真命题．故答案为①③④．17.【答案】解：在中，设内角A，B，C的对边分别为a，b，c，因为，由正弦定理得，，即，由余弦定理得，，因为，所以．由知，，因为，即，由余弦定理得，，所以，由基本不等式可得，所以所以当且仅当时取得等号，所以周长的最大值为．【解析】本题主要考查利用正余弦定理解三角形的问题，属于中档题．直接利用正余弦定理即可求解；利用余弦定理与基本不等式即可求解．18.【答案】解：(1)由题可知，每个样区这种野生动物数量的平均数为，所以该地区这种野生动物数量的估计值为(2)根据公式得(3)为了提高样本的代表性，选用分层抽样法更加合理，因为分层抽样可以按照规定的比例从不同的地块间随机抽样，其代表性较好，抽样误差更小。

2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（II 卷）答案详解一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的.1. （集合）已知集合{}2,1,0,1,2,3U =--，{}1,0,1A =-，{}1,2B =，则()C U A B =A. {}2,3-B. {}2,2,3-C. {}2,1,0,3--D. {}2,1,0,2,3--【解析】∵{1,0,1,2}A B =-，∴(){}C 2,3U AB =-. 【答案】A2. （三角函数）若α为第四象限角，则A. cos20α>B. cos20α<C. sin 20α>D. sin 20α<【解析】α为第四象限角，即π2π2π2k k α-+<<，∴π4π24πk k α-+<<， ∴2α是第三或第四象限角，∴sin 20α<.【答案】D3. （概率统计，同文3）在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压，为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作，已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05. 志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者A.10名B.18名C.24名D.32名【解析】该超市某日积压500份订单未配货，次日新订单不超过1600份的概率为0.95，共2100份，其中1200份不需要志愿者，志愿者只需负责900份，故需要900÷50＝18名志愿者.【答案】B4.（数列）北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块. 下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次增加9块. 已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板（不含天心石）A ．3699块B ．3474块C ．3402块D ．3339块【解析】设每一层有n 环，由题意可知从内到外每环的扇面形石板块数之间构成等差数列，且19a =，9d =，由等差数列性质可知，n S 、2n n S S -、32n n S S -也构成等差数列，且公差229d n d n '==.因下层比中层多729块，故有2322()()9729n n n n S S S S n ---==，解得9n =. 因此三层共有扇面形石板的块数为327127262726==272799=340222n S S a d ⨯⨯+=⨯+⨯. 【答案】C5. （解析几何，同文8）若过点（2,1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y --=的距离为A ．5 B. 25 C. 35 D. 45【解析】如图A5所示，设圆的方程为222()()x a y b r -+-=，∵ 圆过点（2, 1）且与两坐标轴都相切，∴ 222(2)(1)a b r a b r ==⎧⎨-+-=⎩，解得1a b r ===或5a b r ===， 即圆心坐标为(1,1)或(5,5)，圆心到直线230x y --=22211325521⨯--+或22255325=521⨯--+.图A5【答案】B6.（数列）数列()n a 中，12a =，m n m n a a a +=，若1551210...22k k k a a a ++++++=-，则k =A. 2B. 3C. 4D. 5【解析】∵m n m n a a a +=，∴211211n k n k k k a a a a a a a +--===，故有1210111551210...(222)(22)22k k k k k a a a a a ++++++=+++=-=-，∴42k a =又∵2111211112n n n n n n a a a a a a a a ---======，∴ 422k k a ==，∴4k =.【答案】C7.（立体几何）下图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为M，在俯视图中对应的点为N，则该端点在侧视图中对应的点为A．E B．F C．G D．H【解析】由三视图的特点，如图A7所示，该端点在侧视图中对应的点为E.图A7【答案】A8．（解析几何，同文9）设O为坐标原点，直线x a=与双曲线C：22221 x ya b-=（a>0,b>0）的两条渐近线分别交于D,E两点，若ODE∆的面积为8，则C的焦距的最小值为A．4B．8C．16D．32【解析】如图A8所示，双曲线C：22221x ya b-=（a>0,b>0）的渐近线为by xa=±，由题意可知，(,)D a b ，(,)E a b -，∴ 1282ODE S a b ab ∆=⋅==， ∴ 焦距22226422248c a b a a =+=+≥⨯=，当且仅当22a =时，等号成立. 故C 的焦距的最小值为8.图A8【答案】B9.（函数）设函数()ln |21|ln |21|f x x x =+--，则()f xA.是偶函数，且在1(,)2+∞单调递增 B.是奇函数，且在11(,)22-单调递减 C.是偶函数，且在1(,)2-∞-单调递增 D.是奇函数，且在1(,)2-∞-单调递减 【解析】∵()ln |21|ln |21|ln |21|ln |21|()f x x x x x f x -=-+---=--+=-，∴()f x 是奇函数，∵()ln ||g x x =，1()g x x '=，（即ln ||x 与ln x ，二者的导函数相同） ∴224()2121(21)(21)f x x x x x -'=-=+--+， 当1(,)2x ∈-∞-时，()0f x '<，()f x 在1(,)2-∞-单调递减. 当11()22x ∈-，时，()0f x '>，()f x 在1(,)2-∞-单调递增.当1()2x ∈+∞，时，()0f x '<，()f x 在1(,)2-∞-单调递减. 【答案】D10.（立体几何，同文11）已知△ABC 是面积为934的等边三角形，且其顶点都在球O 的球面上，若球O 的表面积为16π，则O 到平面ABC 的距离为A ．3B ．32 C ．1 D ．32【解析】由题意可知239344ABC S AB ∆==，∴3AB =， 如图A10所示，设球O 的半径为R ，则24π16πR =，∴2R =，设O 在△ABC 上的射影为O 1，则O 1是△ABC 的外接圆的圆心， 故123333O A == O 到平面ABC 的距离22111OO R O A =-=.图A10【答案】C11. （函数，同文12）若2233x y x y ---<-，则A. ln(1)0y x -+>B. ln(1)0y x -+<C. ln ||0x y ->D. ln ||0x y -<【解析】2233x y x y ---<-可化为2323x x y y ---<-，设1()2323x x x x f x -⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，由指数函数的性质易知()f x 在R 上单调递增，∵2323x x y y ---<-，∴ x y <，∴0y x ->，∴11y x -+>，∴In(1)0y x -+>.【答案】A12. （概率统计）0-1周期序列在通信技术中有着重要应用，若序列12...n a a a 满足 {}0,1(1,2,...)i a i ∈=，且存在正整数m ，使得(1,2,...)i m i a a i +==成立，则称其为0-1周期序列，并满足(1,2,...)i m i a a i +==的最小正整数m 为这个序列的周期，对于周期为m 的0-1序列12...n a a a ，11()(1,2,...1)i m i k i C k a a k m m +===-∑是描述其性质的重要指标，下列周期为5的0-1的序列中，满足1()(1,2,3,4)5C k k ≤=的序列是A. 11010...B. 11011...C. 10001...D. 11001...【解析】解法一（计数思想）：由5111()(1,2,3,4)55i i k i C k a a k +==≤=∑，可得511i i k i a a +=≤∑. 因0=1i i k a a +⎧⎨⎩，故对于每一个(1,2,3,4)k k =，1i i k a a +=的个数不超过1，所以对于所有的(1,2,3,4)k k =，1i i k a a +=的总个数不能超过4.A 选项：1i i k a a +=的个数为236A =，故A 选项不符合题意.B 选项：1i i k a a +=的个数为2412A =，故B 选项不符合题意. D 选项：1i i k a a +=的个数为236A =，故D 选项不符合题意.C 选项：1i i k a a +=的个数为222A =，即151(4)a a k ==和511(1)a a k ==，因此可推出1(1)(4)5C C ==，(2)(3)0C C ==，故C 选项符合题意. 解法二（排除法）： 由解法一可知，对于每一个(1,2,3,4)k k =，1i i k a a +=的个数不超过1.A 选项：当2k =时，241a a =，411a a =，故A 选项不符合题意.B 选项：当1k =时，121a a =，451a a =，故B 选项不符合题意.D 选项：当1k =时，121a a =，511a a =，故D 选项不符合题意.C 选项：序列的一个周期内只有两个1，1i i k a a +=的情况只有151(4)a a k ==和511(1)a a k ==，因此可推出1(1)(4)5C C ==，(2)(3)0C C ==，故C 选项符合题意.解法三（答案验证法）：按照题设的定义11()(1,2,...1)i mi k i C k a a k m m +===-∑，逐个验证答案，使用排除法，即可得到正确选项. 如A 选项，121(2)(01010)=555C =++++>，排除A 选项，其余的这里不再赘述. 【答案】C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.（平面向量）已知单位向量a ，b 的夹角为45°，k -a b 与a 垂直，则k =_______. 【解析】∵()ka b a -⊥，∴22()02ka b a ka a b k -⋅=-⋅=-=，∴22=k . 【答案】22 14.（概率统计）4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有 种.【解析】根据题意，先把4名同学分为3组，其中1组有两人，2组各有一人，即从4名同学中任选两人即可，故有24C 种选法；将分成的3组同学安排到3个小区，共有33A 种方法；所以不同的安排方法共有234336=C A 种.【答案】36 15.（复数）设复数1z ，2z 满足122z z ==,则123z z i +，则12z z -=_______.【解析】解法一：在复平面内，用向量思想求解，原问题等价于：平面向量b a ，满足2||||==b a ，且,1)3(=+b a ，求||b a -.∵2222||2||2||||b a b a b a +=-++，∴16||42=-+b a ，∴12||2=-b a ，∴32||=-b a . 即1223-=z z解法二：在复平面内，如图A15所示，因12122==+=z z z z ，则1z ，2z ，12+z z 组成一个等边三角形，所以1z ，2z 之间的夹角为120°，所以22o 1212122cos120=44423-=+-++=z z z z z z .图A15【答案】316.（立体几何，同文16）设有下列4个命题：1P ：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.2P ：过空间中任意三点有且仅有一个平面.3P ：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行.4p ：若直线l ⊂平面α，直线m ⊥平面α，则m l ⊥.则下述命题中所有真命题的序号是_________① 14p p ∧ ② 12p p ∧ ③ 23p p ⌝∨ ④ 34p p ⌝∨⌝【解析】由公理2可知，p 1为真，p 2为假，2p ⌝为真；若空间两条直线不相交，则这两条直线可能平行，也可能异面，所以p 3为假，3p ⌝为真；由线面垂直的定义可知p 4为真；所以①14p p ∧为真命题，②12p p ∧为假命题，③23p p ⌝∨为真命题，④34p p ⌝∨⌝为真命题，故真命题的序号是①③④.【答案】①③④三、解答题：共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答. 第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题，共60分.17.（12分）（三角函数）ABC ∆中，222sin sin sin sin sin A B C B C --=，（1）求A ；（2）若3BC =，求ABC ∆周长的最大值.【解析】（1）由正弦定理和已知条件得222BC AC AB AC AB --=⋅，△ 由余弦定理得2222cos BC AC AB AC AB A =+-⋅， △ 由△，△得1cos 2A =-. 因为0πA <<，所以2π3A =. （2）由正弦定理及（1）得23sin sin sin AC AB BC B C A ===，从而 23AC B =，3π)3cos 3AB A B B B =--=-. 故π333cos 323)3BC AC AB B B B ++=+=++. 又π03B <<，所以当π6B =时，ABC △周长取得最大值33+. 18.（12分）（概率统计，同文18）某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加，为调查该地区某种野生动物的数量，将其分为面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据()()1,220i i x y i =⋅⋅⋅，，，，其中i x 和i y 分别表示第i 个样区的植物覆盖面积（单位：公顷）和这种野生动物的数量，并计算得()()()()22202020202011111601200-80-9000--800ii i i i i i i i i i xy x xy yx x y y ==========∑∑∑∑∑，，，，.（1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）；（2）求样本()(),1,2,,20i i x y i =⋯的相关系数（精确到0.01）；（3）根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大，为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由。

第1页（共17页）2020年普通高等学校招生全国统一考试（全国年普通高等学校招生全国统一考试（全国 Ⅱ卷）Ⅱ卷） 理科数学一、选择题一、选择题1.1.已知集合已知集合{2,1,0,1,2,3}U =--，{1,0,1}A =-，{1,2}B =，则()U C A B ⋃=（ ） A.{2,3}- B.{2,2,3}- C.{2,1,0,3}-- D.{2,1,0,2,3}-- 答案答案: : A 解析解析: :∵{1,0,1,2}A B =-，∴，∴ (){2,3}U C A B ⋃=-. 2.2.若若α为第四象限角，则（为第四象限角，则（ ） A.cos 20α> B.cos 20α< C.sin 20α> D.sin 20α< 答案答案: : D解析解析: : ∵22()2k k k Z ππαπ-+<<∈，∴424()k k k Z ππαπ-+<<∈，∴2α是第三象限角或第四象限角，∴sin 20α<.3.3.在新冠肺炎疫情期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成在新冠肺炎疫情期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压，为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作。

已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天新订单超过1600份的概率为0.05.志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（，则至少需要志愿者（ ） A.10名B.18名C.24名D.32名 答案答案: : B解析解析: :因为公司可以完成配货1200份订单，则至少需要志愿者为160050012001850+-=名4.4.北京天坛的圆丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆北京天坛的圆丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，己知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇形面形石板（不含天心石）（含天心石）（）A.3699块B.3474块C.3402块D.3339块 答案答案: : C 解析解析: :设每一层有n 环，由题可知从内到外每环之间构成等差数列，公差9d =，19a =，由等差数列性质知n S ，2n n S S -，32n n S S -成等差数列，且成等差数列，且2322()()n n n n S S S S n d ---=，则29729n =，得9n =，则三层共有扇形面石板为3271272627934022nS S a ⨯==+⨯=块.5.5.若过点若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y --=的距离为（ ） A.55 B.255 C.355 D.455答案答案: : B解析解析: :设圆心为(,)a a ，则半径为a ，圆过点(2,1)，则222(2)(1)a a a -+-=，解得1a =或5a =，所以圆心坐标为(1,1)或(5,5)，圆心到直线的距离都是255d =.6.数列{}n a 中，12a =，m n m n a a a +=,若155121022k k k a a a++++++=-,则k =（ ）A.2B.3C.4D.5 答案答案: : C 解析解析: :取1m =，则11n n a a a +=，又12a =，所以12n na a +=，所以{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列，则2nn a =，所以11011115512102(12)222212k k k k k k a a a++++++-+++==-=--，得4k =.7.7.右图是一个多面体的三视图，右图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为M ，在俯视图中对应的点为N ，则该端点在侧视图中对应的点为（，则该端点在侧视图中对应的点为（）A.EB.FC.GD.H答案答案: : A 解析解析: :该几何体是两个长方体拼接而成，如图所示，显然选A.8.8.设设O 为坐标原点，直线x a =与双曲线2222:1x yC a b-=(0,0)a b >>的两条渐近线分别交于D ，E 两点，若ODE ∆的面积为8，则C 的焦距的最小值为（的焦距的最小值为（） A.4 B.8 C.16 D.32 答案答案: : B 解析解析: :双曲线2222:1x y C a b -=(0,0)a b >>的两条渐近线分别为b y x a =±，则容易得到||2DE b =，则8ODESab ∆==，222216c a b ab =+≥=，当且仅当22a b ==时，等号成立，所以min 4c =，焦距min (2)8c =.9.9.设函数设函数()ln |21|ln |21|f x x x =+--，则()f x （） A. 是偶函数，且在1(,)2+∞单调递增单调递增 B.B.是奇函数，且在是奇函数，且在11(,)22-单调递减单调递减C. 是偶函数，且在1(,)2-∞-单调递增单调递增D.D.是奇函数，且在是奇函数，且在1(,)2-∞-单调递减单调递减答案答案: : D解析解析: :函数()ln |21|ln |21|ln |21|ln |21|()f x x x x x f x -=-+---=--+=-，则()f x 为奇函数，故排除A 、C ；当11(,)22x ∈-时，()ln(21)ln(12)f x x x =+--，根据函数单调性的性质可判断()f x 在11(,)22-上单调递增，故排除B ；当1(,)2x ∈-∞-时，212()ln(21)ln(12)ln ln(1)2121x f x x x x x +=----==+--，根据复合函数单调性可判断()f x 在1(,)2-∞-上单调递减，故D 正确正确. .10.10.已知已知ABC ∆是面积为934的等边三角形，且其顶点都在球O 的球面上，若球O 的表面积为16π，则O 到平面ABC 的距离为（的距离为（ ） A.3B.32C.1D.32答案答案: : C解析解析: :设ABC ∆的外接圆圆心为1O ，记1OO d =，圆1O 的半径为r ，球O 半径为R ，等边三角形ABC ∆的边长为a ，则239344ABC S a ∆==，可得3a =，于是33a r ==，由题知球O 的表面积为16π，则2R =，由222R r d =+易得1d =，即O 到平面ABC 的距离为1. 11.11.若若2233x y x y ---<-，则（，则（ ） A.ln(1)0y x -+> B.ln(1)0y x -+< C.ln ||0x y -> D.ln ||0x y -< 答案答案: :A解析解析: :2323x x y y ---<-，设()23x x f x -=-，则()2ln 23ln30x xf x -'=+>，所以函数()f x 在R 上单调递增，因为()()f x f y <，所以x y <，则11y x -+>，ln(1)0y x -+>，选A.12.01-周期序列在通信技术中有着重要应用，若序列12......n a a a 满足{{}}10,1(1,2,...)a i ∈=，且存在正整数m ,使得(1,2,...)i miaa i +==成立，则称其为01-周期序列，并称满足(1,2,...)i m i a a i +== 的最小正整数m 为这个序列的周期，对于周期为m 的01-序列12......n a a a ，11()(1,2,...,1)mi i ki C k a a k m m+===-∑是描述其性质的重要指标，下列周期为5的01-序列中，满足1()(1,2,3,4)5C k k ≤=的序列是（是（） A.11010... B.11011... C.10001... D.11001... 答案答案: : C解析解析: :对于A 选项：选项：511111(1)(10000)555i i i C a a +===++++=∑，5211121(2)(01010)5555i i i C a a+===++++=>∑，不满足，排除；，不满足，排除；对于B 选项，5111131(1)(10011)5555i i i C a a +===++++=>∑，不满足，排除；，不满足，排除；对于C 选项，选项， 511111(1)(00001)555i i i C a a +===++++=∑， 52111(2)(00000)055i i i C a a +===++++=∑， 53111(3)(00000)055i i i C a a +===++++=∑， 541111(4)(10000)555i i i C a a +===++++=∑，满足；，满足；对于D 选项，5111121(1)(10001)5555i i i C a a +===++++=>∑，不满足，排除；故选C 。

2020年普通高等学校招生全国统一考试数学理（全国卷Ⅱ，含答案） 本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。

第I 卷1至2页。

第II 卷3至4页。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

满分150分，考试用时120分钟。

第I 卷（选择题，共60分）注意事项：1. 答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚，并请认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码，2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选题其它答案标号，在试卷上答案无效。

参考公式：如果事件互斥，那么 球的表面积公式()()()P A B P A B +=+ 2=4S R π如果事件A B 、相互独立，那么 其中R 表示球的半径()()()P A B P A B ⋅=⋅ 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p , 343V R π= 那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径()()()10,1,2...n k k k n n P k C P p k n -=-=本卷共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。

一、 选择题： 1. 10i 2-i= A. -2+4i B. -2-4i C. 2+4i D. 2-4i2. 设集合{}1|3,|04x A x x B x x -⎧⎫=>=<⎨⎬-⎩⎭，则A B I = A. ∅ B. ()3,4C.()2,1-D. ()4.+∞ 3. 已知ABC ∆中，12cot 5A =-， 则cos A = A. 1213B.513C.513-D. 1213- 4.曲线21x y x =-在点()1,1处的切线方程为 A. 20x y --= B. 20x y +-= C.450x y +-= D. 450x y --=5. 已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AA AB =，E 为1AA 中点，则异面直线BE 与1CD所成的角的余弦值为A. 1010B. 15C. 31010D. 356. 已知向量()2,1,10,||52a a b a b =⋅=+=，则||b =A. 5B. 10C.5D. 257. 设323log ,log ,log 2a b c ππ===，则A. a b c >>B. a c b >>C. b a c >>D. b c a >>8. 若将函数()tan 04y x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图像向右平移6π个单位长度后，与函数tan 6y x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像重合，则ω的最小值为 A ．16 B. 14C. 13D. 12 9. 已知直线()()20y k x k =+>与抛物线2:8C y x =相交于A B 、两点，F 为C 的焦点，若||2||FA FB =，则k =A. 13B.23C. 23D. 22310. 甲、乙两人从4门课程中各选修2门。

2020年全国普通高等学校招生统一考试试卷 全国Ⅱ卷理科数学一、选择题1.已知集合{}2,1,0,1,2,3U =--，{}1,0,1A =-，{}1,2B =，则()UAB =( )A.{}2,3-B.{}2,2,3-C.{}2,1,0,3--D.{}2,1,0,2,3--2.若α为第四象限角，则( ) A. cos20α>B. cos20α<C. sin20α>D. sin20α<3.在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05.志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者( ) A.10名B.18名C.24名D.32名4.北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层.上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块.下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块.已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板（不含天心石）( )A.3699块B.3474块C.3402块D.3339块5.若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y --=的距离为( ) 52535456.数列{}n a 中，12a =，m n m n a a a +=.若155121022k k k a a a ++++++=-，则k = ( )A.2B.3C.4D.57.下图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为M ，在俯视图中对应的点为N ，则该端点在侧视图中对应的点为()A.EB.FC.GD.H8.设O 为坐标原点，直线x a =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两条渐近线分别交于,D E 两点.若ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为( )A.4B.8C.16D.329.设函数()ln |21|ln |21|f x x x =+--，则()f x ( ) A.是偶函数，且在1(,)2+∞单调递增B.是奇函数，且在11(,)22-单调递减C.是偶函数，且在1(,)2-∞-单调递增D.是奇函数，且在1(,)2-∞-单调递减10.已知ABC 93的等边三角形，且其顶点都在球O 的球面上.若球O 的表面积为16π，则O 到平面ABC 的距离为( ) 3 B.32C.1 3 11.若2233x y x y ---<-，则( ) A.ln(1)0y x -+>B.ln(1)0y x -+<C.ln 0x y ->D.ln 0x y -< 12.01-周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列12na a a 满足{}0,1(1,2,)i a i ∈=，且存在正整数m ，使得i (1,2,)i m a a i +==成立，则称其为01-周期序列，并称满足i (1,2,)i m a a i +==的最小正整数m 为这个序列的周期.对于周期为m 的01-序列12na a a ，11()(1,2,1)mi i k i C k a a k m m +===-∑是描述其性质的重要指标.下列周期为5的01-序列中，满足1()(1,2,3,4)5C k k =的序列是( )A.11010B.11011C.10001D.11001二、填空题13.已知单位向量,a b 的夹角为45°，k -a b 与a 垂直，则k =_______.14.4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有___________种.15.设复数1z ，2z 满足122z z ==，12i z z +=+，则12z z -=_______. 16.设有下列四个命题：1p ：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内. 2p ：过空间中任意三点有且仅有一个平面.3p ：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行. 3p ：若直线l ⊂平面α，直线m ⊥平面α，则m l ⊥.则下述命题中所有真命题的序号是_________. ①14p p ∧ ②12p p ∧ ③23p p ⌝∨ ④34p p ⌝∨⌝ 三、解答题17.ABC 中，222sin sin sin sin sin A B C B C --=. （1）求A ；（2）若3BC =，求ABC 周长的最大值.18.某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加.为调查该地区某种野生动物的数量，将其分为面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据()(),1,220i i x y i =⋅⋅⋅，，，其中i x 和i y 分别表示第i 个样区的植物覆盖面积（单位：公顷）和这种野生动物的数量，并计算得()()()()22202020202011111601200809000800i ii iiii i i i i x yx x y y x x y y =======-=-=--=∑∑∑∑∑，，，，.（1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）；（2）求样本()(),1,220i i x y i =⋅⋅⋅，，的相关系数（精确到0.01）；（3）根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大.为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由.附：相关系数()()()()12211yniii nniii i x x yr x x y y ===--=--∑∑∑，2 1.414≈.19.已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点F 与抛物线2C 的焦点重合，1C 的中心与2C 的顶点重合.过F 且与x 轴垂直的直线交1C 于,A B 两点，交2C 于,CD 两点，且43CD AB =. （1）求1C 的离心率；（2）设M 是1C 与2C 的公共点.若5MF =，求1C 与2C 的标准方程.20.如图，已知三棱柱111ABC A B C -的底面是正三角形，侧面11BB C C 是矩形，,M N 分别为BC ，11B C 的中点，P 为AM 上一点，过11B C 和P 的平面交AB 于E ，交AC 于F .（1）证明：1//AA MN ，且平面1A AMN ⊥平面11EB C F ； （2）设O 为111A B C 的中心.若//AO 平面11EB C F ，且AO AB =，求直线1B E 与平面1A AMN 所成角的正弦值.21.已知函数()2sin sin 2f x x x =.（1）讨论()f x 在区间()0π，的单调性；（2）证明：()33f x ； （3）设n *∈N ，证明：22223sin sin 2sin 4sin 24nnn x x x x .22.已知曲线12,C C 的参数方程分别为2124cos ,4sin x C y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩：（θ为参数），211x t t C y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，：（t 为参数）. （1）将12,C C 的参数方程化为普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设12,C C 的交点为P ，求圆心在极轴上，且经过极点和P 的圆的极坐标方程. 23.已知函数2()21f x x a x a =-+-+. （1）当2a =时，求不等式()4f x 的解集； （2）若()4f x ，求a 的取值范围.参考答案1.答案：A解析：2.答案：D解析：3.答案：B解析：4.答案：C解析：5.答案：B解析：6.答案：C解析：7.答案：A解析：8.答案：B解析：9.答案：D解析：10.答案：C解析：11.答案：A解析：12.答案：C解析：13.解析：14.答案：36解析：15.答案：解析：16.答案：①③④解析：17.答案：（1）由正弦定理和已知条件得222BC AC AB AC AB--=⋅.①由余弦定理可知2222cosBC AC AB AC AB A=+-⋅.②由①，②得1cos2A=-.因为0πA<<，所以2π3A=.（2）由正弦定理及（1）得sin sin sinAC AB BCB C A===，从而AC B=，π)3cosAB A B B B=--=.故π33cos33BC AC AB B B B⎛⎫++=+=++⎪⎝⎭.又0π3B<<，所以当π6B=时，ABC周长取得最大值为3+解析：18.答案：（1）由已知得样本平均数20116020iiy y===∑，从而该地区这种野生动物数量的估计值为6020012000⨯=.（2）样本(),(1,2,,20)i ix y i =的相关系数()()200.943i ix x y yr--===≈∑.（3）分层抽样：根据植物覆盖面积的大小对地块分层，再对200个地块进行分层抽样.理由如下：由（2）知各样区的这种野生动物数量与植物覆盖面积有很强的正相关.由于各地块间植物覆盖面积差异很大，从而各地块间这种野生动物数量差异也很大，采用分层抽样的方法较好地保持了样本结构与总体结构的一致性，提高了样本的代表性，从而可以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计.解析：19.答案：（1）由已知可设2C的方程为24y cx=，其中c=.不妨设,A C 在第一象限，由题设得,A B 的纵坐标分别为22,b b a a -；,C D 的纵坐标分别为2,2c c -，故2||2|,|4b B CD c aA ==.由4||||3CD AB =得2843b c a =，即2322c c a a ⎛⎫⨯=- ⎪⎝⎭.解得2c a =-（舍去），12c a =.所以1C 的离心率为12.（2）由（1）知2,a c b =，故22122:143x y C c c+=.设()00,M x y ，则220022143x y c c+=，204y cx =， 故20024134x xc c+=.①由于2C 的准线为x c =-，所以0||MF x c =+，而|5MF =|，故05x c =-，代入①得 22(5)4(5)134c c c c --+=，即2230c c --=，解得1c =-（舍去），3c =. 所以1C 的标准方程为2213627x y +=，2C 的标准方程为212y x =.解析：20.答案：（1）因为,M N 分别为11,BC B C 的中点，所以1//MN CC ，又由已知得11//AA CC ，故1//AA MN .因为111A B C 是正三角形，所以111B C A N ⊥.又11B C MN ⊥，故11B C ⊥平面1A AMN .所以平面1A AMN ⊥平面11EB C F .（2）由已知得AM BC ⊥.以M 为坐标原点，MA 的方向为x 轴正方向，||MB 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系M xyz -，则2AB =，AM =连结NP ，则四边形AONP 为平行四边形，故PM =，1,03E ⎫⎪⎪⎝⎭.由（1）知平面1A AMN ⊥平面ABC .作NQ AM ⊥，垂足为Q ，则NQ ⊥平面ABC .设(,0,0)Q a ，则22123234,(433NQ a B a a ⎫⎛⎫⎛⎫⎪=---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎭，故21123223210,,4,||33B E a a B E ⎛⎫⎛⎫ ⎪=-----= ⎪ ⎪⎪ ⎝⎭⎭⎝. 又(0,1,0)=-n 是平面1A AMN的法向量，故1111π10sin ,cos ,210||||B E B E B E B E ⎛⎫-〈〉=== ⎪⋅⎝⎭n n n n ⋅.所以直线1B E 与平面1A AMN 所成角的正弦值为10. 解析：21.答案：（1）当π0,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()'0,f x f x >单调递增，当π2π,33x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()'0,f x f x <单调递减，当2π,π3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()'0,f x f x >单调递增.（2）证明见解析； （3）证明见解析.解析：（1）()cos (sin sin 2)sin (sin sin 2)f x x x x x x x ''=+ 22sin cos sin 22sin cos2x x x x x =+2sin sin3x x =. 当π2π0,,π33x ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭时，()0f x '>；当π2π,33x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<.所以()f x 在区间π2π0,,,π33⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭单调递增，在区间π2π,33⎛⎫⎪⎝⎭单调递减.（3）因为(0)(π)0f f ==，由（1）知，()f x 在区间[]0,π的最大值为π3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭为2π3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，而()f x 是周期为π的周期函数，故33()f x . （3）由于()()()2223332332121321sinsin 2sin 2sin sin 2sin 2|sin |sin sin 2sin 2sin 2sin 2|sin |()(2)2sin 2()(2)2nn n n n n n n x xxx x xx x x x x x x f x f x f x xf x f x f x ---=⋅=⋅⋅= 所以23222333sin sin 2sin 24nn nn x xx ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭. 22.答案：（1）1:4C x y +=；222:4C x y -=；（2）17cos 5ρθ=. 解析：（1）1C 的普通方程为()404x y x +=. 由2C 的参数方程得22212x t t =++，22212y t t =+-，所以224x y -=. 故2C 的普通方程为224x y -=.（2）由2244x y x y +=⎧⎪⎨-=⎪⎩得5232x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，所以P 的直角坐标为53,22⎛⎫ ⎪⎝⎭. 设所求圆的圆心的直角坐标为()0,0x ，由题意得22005924x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，解得01710x =. 因此，所求圆的极坐标方程为17cos 5ρθ=23.答案：（1）32x x ⎧⎨⎩或112x ⎫⎬⎭；（2）(][),13,-∞-+∞.解析：（1）当2a =时，72,3,()1,34,27, 4.x x f x x x x -⎧⎪=<⎨⎪->⎩11因此，不等式()4f x 的解集为31122x x x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭∣或. （2）因为222()|21|21(1)f x x a x a a a a =-+-+-+=-， 故当2(1)4a -，即12a -时，()4f x .所以当3a 或1a -时，()4f x . 当-13a <<时，()22221(1)4f a a a a =-+=-<.所以a 的取值范围是(,1][3,)-∞-⋃+∞。

2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷共23题，共150分，共4页。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．12i 12i +=-A ．43i 55--B ．43i 55-+C ．34i 55--D ．34i 55-+2．已知集合22{(,)|3,,A x y x y x y =+≤∈∈Z Z}，则A 中元素的个数为A ．9B ．8C ．5D ．43．函数2e e ()x xf x x--=的图象大致为4．已知向量a ，b 满足||1=a ，1⋅=-a b ，则(2)⋅-=a a b A ．4B ．3C ．2D ．05．双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为3，则其渐近线方程为A ．2y x =±B ．3y x =±C ．22y x =±D ．32y x =±6．在ABC △中，5cos 25C =，1BC =，5AC =，则AB = A ．42B ．30C ．29D ．257．为计算11111123499100S =-+-++-，设计了右侧的程序框图，则在空白框中应填入A ．1i i =+B ．2i i =+C ．3i i =+D ．4i i =+8．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723=+．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是A ．112 B ．114 C ．115 D ．1189．在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，1AA =1AD 与1DB 所成角1011(50)f ++B ．0 12222x y Ca b+：在的直线上， 13141516．已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 所成角的余弦值为78，SA 与圆锥底面所成角为45°，若SAB △的面积为515，则该圆锥的侧面积为__________．三、解答题：共70分。

2020年全国统一高考数学试卷（理科）（全国新课标Ⅱ）一、选择题1.已知集合{2,1,0,1,2,3}U =--，{1,0,1}A =-，{1,2}B =，则()U C A B ⋃=（ ） A.{2,3}- B.{2,2,3}-C.{2,1,0,3}--D.{2,1,0,2,3}--【答案】A 【解析】∵{1,0,1,2}AB =-，∴ (){2,3}UC A B ⋃=-.2.若α为第四象限角，则（ ） A.cos20α> B.cos20α<C.sin 20α>D.sin 20α<【答案】D 【解析】∵22()2k k k Z ππαπ-+<<∈，∴424()k k k Z ππαπ-+<<∈，∴2α是第三象限角或第四象限角，∴sin 20α<.3.在新冠肺炎疫情期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压，为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作。

已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天新订单超过1600份的概率为0.05.志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（ ） A.10名 B.18名 C.24名 D.32名 【答案】B【解析】因为公司可以完成配货1200份订单，则至少需要志愿者为160050012001850+-=名.4.北京天坛的圆丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，己知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇形面形石板（不含天心石）（ ） A.3699块B.3474块C.3402块D.3339块【答案】C【解析】设每一层有n 环，由题可知从内到外每环之间构成等差数列，公差9d =，19a =，由等差数列性质知n S ，2n n S S -，32n n S S -成等差数列，且2322()()n n n n S S S S n d ---=，则29729n =，得9n =，则三层共有扇形面石板为3271272627934022n S S a ⨯==+⨯=块. 5.若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y --=的距离为（ ）A.【答案】B【解析】设圆心为(,)a a ，则半径为a ，圆过点(2,1)，则222(2)(1)a a a -+-=，解得1a =或5a =，所以圆心坐标为(1,1)或(5,5)，圆心到直线的距离都是5d =. 6.数列{}n a 中，12a =，m n m n a a a +=,若155121022k k k a a a ++++++=-,则k =（ ）A.2B.3C.4D.5【答案】C【解析】取1m =，则11n n a a a +=，又12a =，所以12n na a +=，所以{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列，则2nn a =，所以11011115512102(12)222212k k k k k k a a a ++++++-+++==-=--，得4k =.7.右图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为M ，在俯视图中对应的点为N ，则该端点在侧视图中对应的点为（ ）A.EB.FC.GD.H【答案】A【解析】该几何体是两个长方体拼接而成，如图所示，显然选A.8.设O 为坐标原点，直线x a =与双曲线2222:1x yC a b-=(0,0)a b >>的两条渐近线分别交于D ，E 两点，若ODE ∆的面积为8，则C 的焦距的最小值为（ ） A.4 B.8 C.16 D.32 【答案】B【解析】双曲线2222:1x y C a b -=(0,0)a b >>的两条渐近线分别为b y x a =±，则容易得到||2DE b =，则8ODE S ab ∆==，222216c a b ab =+≥=，当且仅当a b ==号成立，所以min 4c =，焦距min (2)8c =.9.设函数()ln |21|ln |21|f x x x =+--，则()f x （ ）A. 是偶函数，且在1(,)2+∞单调递增B.是奇函数，且在11(,)22-单调递减C. 是偶函数，且在1(,)2-∞-单调递增D.是奇函数，且在1(,)2-∞-单调递减【答案】D【解析】函数()ln |21|ln |21|ln |21|ln |21|()f x x x x x f x -=-+---=--+=-，则()f x 为奇函数，故排除A 、C ；当11(,)22x ∈-时，()ln(21)ln(12)f x x x =+--，根据函数单调性的性质可判断()f x 在11(,)22-上单调递增，故排除B ；当1(,)2x ∈-∞-时，212()ln(21)ln(12)lnln(1)2121x f x x x x x +=----==+--，根据复合函数单调性可判断()f x 在1(,)2-∞-上单调递减，故D 正确.10.已知ABC ∆的等边三角形，且其顶点都在球O 的球面上，若球O 的表面积为16π，则O 到平面ABC 的距离为（ ）B.32C.1【答案】C【解析】设ABC ∆的外接圆圆心为1O ，记1OO d =，圆1O 的半径为r ，球O 半径为R ，等边三角形ABC ∆的边长为a ，则2ABC S ∆==，可得3a =，于是r ==，由题知球O 的表面积为16π，则2R =，由222R r d =+易得1d =，即O 到平面ABC 的距离为1.11.若2233x y x y ---<-，则（ ） A.ln(1)0y x -+> B.ln(1)0y x -+< C.ln ||0x y -> D.ln ||0x y -<【答案】A【解析】2323x x y y---<-，设()23x x f x -=-，则()2ln 23ln30x xf x -'=+>，所以函数()f x 在R 上单调递增，因为()()f x f y <，所以x y <，则11y x -+>，ln(1)0y x -+>，选A.12.01-周期序列在通信技术中有着重要应用，若序列12......n a a a 满足{}10,1(1,2,...)a i ∈=，且存在正整数m ,使得(1,2,...)i m i a a i +==成立，则称其为01-周期序列，并称满足(1,2,...)i m i a a i +== 的最小正整数m 为这个序列的周期，对于周期为m的01-序列12......n a a a ，11()(1,2,...,1)mi i k i C k a a k m m +===-∑是描述其性质的重要指标，下列周期为5的01-序列中，满足1()(1,2,3,4)5C k k ≤=的序列是（ ） A. 11010... B.11011... C. 10001... D.11001... 【答案】C【解析】对于A 选项：511111(1)(10000)555i i i C a a +===++++=∑，5211121(2)(01010)5555i i i C a a +===++++=>∑，不满足，排除；对于B 选项，5111131(1)(10011)5555i i i C a a +===++++=>∑，不满足，排除；对于C 选项，511111(1)(00001)555i i i C a a +===++++=∑，52111(2)(00000)055i i i C a a +===++++=∑，53111(3)(00000)055i i i C a a +===++++=∑，541111(4)(10000)555i i i C a a +===++++=∑，满足；对于D 选项，5111121(1)(10001)5555i i i C a a +===++++=>∑，不满足，排除；故选C 。

2020年高考全国卷二理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合U ={−2，−1，0，1，2，3}，A ={−1，0，1}，B ={1，2}，则()U A B =A ．{−2，3}B ．{−2，2，3}C ．{−2，−1，0，3}D ．{−2，−1，0，2，3} 答案：A解析：{1,0,1,2}A B =-，所以(){23}，U A B =-，故选A2．若α为第四象限角，则A ．cos 2α>0B ．cos 2α<0C ．sin 2α>0D ．sin 2α<0答案：D解析：α为第四象限角，所以32222πk παk ππ+<<+（k ∈Z ），所以43244k ππαk ππ+<<+，所以sin 20α<，故选D3．在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压．为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作．已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者A ．10名B ．18名C ．24名D ．32名答案:B解析：预计需要志愿者完成超过500+1600－1200=900份的概率为0.05，则需要志愿者完成不超过900份的概率为0.95，9005018÷=，故至少需要18名志愿者，故选B4．北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)A ．3699块B ．3474块C ．3402块D ．3339块答案：C解析：设共有3n 环，则从上到下每一环的石板数构成一个首项为9，公差d 为9的等差数列{}n a ，设下层石板数之和为S 下,中层石板数之和为S 中，则2131()2n n S a a n +=+下，121()2n n S a a n +=+中，所以221(121)92S S n n d n d n -=+-==下中，所以29729n =，故9n =，故共有石板数为12726272792713934022a d ⨯+=⨯+⨯⨯=.故选C 5．若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y --=的距离为A ．55B ．255C ．355D ．455答案：B解析：设圆的半径为r ，圆心的坐标为(,)a b ，则||a r =，||b r =，222(2)(1)a b r -+-=，所以24250a a b --+=，若b a =-，则2250a a -+=，此一元二次方程无解，故只能b a =，这时有2650a a -+=，解得a=1或a=5，故圆心到直线230x y --=的距离为25555===，故选B. 6．数列{}n a 中，12a =，m n m n a a a +=，若155121022k k k a a a ++++++=-，则k =A ．2B ．3C ．4D ．5答案：C解析：在m n m n a a a +=中，令1m =，可得112n n n a a a a +==，所以数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列，所以2n n a =，()101011051210121(21)2(21)2k k k k k a a a a ++++++++=-=-=-，所以4k =，故选C.7．右图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为M ，在俯视图中对应的点为N ，则该端点在侧视图中对应的点为A ．EB ．FC ．GD ．H答案：A解析：根据三视图可得到多面体的直观图如下图所示，从图中可见，点A 对应于侧视图中的E ，故选AA8．设O 为坐标原点，直线x a =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两条渐近线分别交于,D E 两点，若ODE △的面积为8，则C 的焦距的最小值为A ．4B ．8C ．16D ．32答案：B。

2020年高考全国卷Ⅱ数学（理）试卷一、选择1.已知集合U={−2,−1,0,1,2,3},A={−1,0,1},B={1,2}，则∁U(A∪B)=()A.{−2,3}B.{−2,2,3}C.{−2,−1,0,3}D.{−2,−1,0,2,3}2.若α为第四象限角，则()A.cos2α>0B.cos2α<0C.sin2α>0D.sin2α<03.在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压，为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作．已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天新订单是1600份的概率为0.05.志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天积压订单及当日订单配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者()A.10名B.18名C.24名D.32名4.北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层.上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块.下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块.已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)()A.3699块B.3474块C.3402块D.3339块5.若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x−y−3=0的距离为()A.√55B.2√55C.3√55D.4√556.数列{a n}中，a1=2，a m+n=a m a n.若a k+1+a k+2+⋯+a k+10=215−25，则k= ()A.2B.3C.4D.57.如图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为M，在俯视图中对应的点为N，则该端点在侧视图中对应的点为()A.EB.FC.GD.H8.设O为坐标原点，直线x=a与双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0，b>0)的两条渐近线分别交于D，E两点.若△ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为()A.4B.8C.16D.329.设函数f(x)=ln|2x+1|−ln|2x−1|，则f(x)()A.是偶函数，且(12,+∞)在单调递增B.是奇函数，且(−12,12)在单调递减C.是偶函数，且(−∞,−12)在单调递增D.是奇函数，且(−∞,−12)在单调递减10.已知△ABC是面积为9√34的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上.若球O的表面积为16π，则O 到平面ABC 的距离为() A.√3B.32C.1D.√3211.若2x −2y <3−x −3−y ，则() A.ln (y −x +1)>0 B.ln (y −x +1)<0 C.ln |x −y|>0D.ln |x −y|<012.0−1周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列a 1a 2⋯a n ⋯满足a i ∈{0,1}(i =1,2,⋯)，且存在正整数m ，使得a i+m =a i (i =1, 2, ⋯)成立，则称其为0−1周期序列，并称满足a i+m =a i (i =1, 2, ⋯)的最小正整数m 为这个序列的周期.对于周期为m 的0−1序列a 1a 2⋯a n ⋯,C (k )=1m ∑aim i=1a 1+k (k =1, 2, ⋯, m −1)是描述其性质的重要指标.下列周期为5的0−1序列中，满足C (k )≤15(k =1,2,3,4)的序列是() A.11010⋯ B.11011⋯ C.10001⋯ D.11001⋯二、填空题13.已知单位向量a →，b →的夹角为45∘,ka →−b →与a →垂直，则k =________.14.4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名学生，则不同的安排方法有________种．15.设复数z 1,z 2满足|z 1|=|z 2|=2，z 1+z 2=√3+i ，则|z 1−z 2|=________. 16.设有下列四个命题：p 1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内． p 2：过空间中任意三点有且仅有一个平面． p 3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行. p 4：若直线l ⊂平面α，直线m ⊥平面α，则m ⊥l . 则下列命题中所有真命题的序号是________. ①p 1∧p 4；②p 1∧p 2；③¬p 2∨p 3；④¬p 3∨¬p 4. 三、解答题17.△ABC 中，sin 2A −sin 2B −sin 2C =sin B sin C .(1)求A ；(2)若BC =3，求△ABC 周长的最大值．18.某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加，为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据(x i ,y i )(i =1,2,⋯,20)，其中x i 和y i 分别表示第i 个样区的植物覆盖面积（单位：公顷）和这种野生动物的数量，并计算得∑x i20i=1=60，∑y i20i=1=1200，∑(x i−x ¯)220i=1=80，∑(y i−y ¯)220i=1=9000，∑(x i −x ¯)20i=1(y i −y ¯)=800.(1)求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）；(2)求样本(x i ,y i )(i =1,2,⋯,20)的相关系数（精确到0.01）；(3)根据现有统计资料，各地块间植物短盖面积差异很大，为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由．附：相关系数：r =∑(x −x ¯)n (y −y ¯)√∑(x i −x )2n i=1∑(y i −y )2n i=1，√2≈1.414.19.已知椭圆C 1:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合．C 1的中心与C 2的顶点重合，过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点．且|CD|=43|AB|. (1)求C 1的离心率；(2)设M 是C 1与C 2的公共点．若|MF|=5，求C 1与C 2的标准方程．20.如图已知三棱柱ABC −A 1B 1C 1的底面是正三角形，侧面BB 1C 1C 是矩形，M ，N 分别为BC ，B 1C 1的中点，P 为AM 上一点，过B 1C 1和P 的平面交AB 于E ，交AC 于F ． (1)证明：AA 1//MN ，且平面A 1AMN ⊥面EB 1C 1F .(2)设O 为△A 1B 1C 1的中心，若AO//面EB 1C 1F ，且AO =AB ，求直线B 1E 与平面A 1AMN 所成角的正弦值．21.已知函数f (x )=sin 2x sin 2x . (1)讨论f(x)在(0,π)上的单调性； (2)证明：|f(x)|≤3√38； (3)证明：sin 2x sin 22x sin 24x ⋯sin 22nx ≤3n4n .22.已知曲线C 1,C 2的参数方程分别为C 1：{x =4cos 2θ，y =4sin 2θ(θ为参数)，C 2：{x =t +1t ，y =t −1t(t 为参数). (1)将C 1，C 2的参数方程化为普通方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.设C 1，C 2的交点为P ，求圆心在极轴上，且经过极点和P 的圆的极坐标方程. 23.已知函数f (x )=|x −a 2|+|x −2a +1|. (1)当a =2时，求不等式f (x )≥4的解集； (2)若f (x )≥4，求a 的取值范围.。

绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试课标II理科数学【命题特点】2020年高考全国新课标II数学卷，试卷结构在保持稳定的前提下，进行了微调，一是取消试卷中的第Ⅰ卷与第II卷，把解答题分为必考题与选考题两部分，二是根据中学教学实际把选考题中的三选一调整为二选一。

试卷坚持对基础知识、基本方法与基本技能的考查, 注重数学在生活中的应用。

同时在保持稳定的基础上，进行适度的改革和创新，与2020年相比难度稳中有降略。

具体来说还有以下几个特点：1.知识点分布保持稳定小知识点集合，复数，程序框图，线性规划，向量问题，三视图保持一道小题的占比，大知识点三角数列三小一大，概率统计一大一小，立体几何两小一大，圆锥曲线两小一大，函数导数三小一大(或两小一大)。

2.注重对数学文化与数学应用的考查教育部2020年新修订的《考试大纲（数学）》中增加了数学文化的考查要求。

2020高考数学全国卷II理科第3题以《算法统宗》中的数学问题为进行背景，理科19题、文科18题以以养殖水产为题材，贴近生活。

3.注重基础，体现核心素养2020年高考数学试卷整体上保持一定比例的基础题，试卷注重通性通法在解题中的运用，另外抽象、推理和建模是数学的基本思想，也是数学研究的重要方法，试卷对此都有涉及。

【命题趋势】1.函数知识：函数性质的综合应用、以导数知识为背景的函数问题是高考命题热点，函数性质重点是奇偶性、单调性及图象的应用，导数重点考查其在研究函数中的应用，注重分类讨论及化归思想的应用。

2. 立体几何知识：立体几何一般有两道小题一道大题，小题中三视图是必考问题，常与几何的面积与体积结合在一起考查，解答题一般分2进行考查。

3．解析几何知识：解析几何试题一般有3道，圆、椭圆、双曲线、抛物线一般都会涉及，双曲线一般作为客观题进行考查，多为容易题，解答题一般以椭圆与抛物线为载体进行考查，运算量较大，不过近几年高考适当控制了运算量，难度有所降低。

2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，则（）A. B.C. D.2.若为第四象限角，则（）A. B. C. D.3.在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压，为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作．已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（）A. 10名B. 18名C. 24名D. 32名4.北京天坛的圆丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板（不含天心石）( )A. 3699块B. 3474块C. 3402块D. 3339块5.若过点的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为( )A. B. C. D.6.数列中，，，若，则（）A. 2B. 3C. 4D. 57.右图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个断点在正视图中对应的点为，在俯视图中对应的点为，则该端点在侧视图中对应的点为( )A.B.C.D.8.设为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，若的面积为8，则的焦距的最小值为( )A. 4B. 8C. 16D. 329.设函数，则( )A. 是偶函数，且在单调递增B. 是奇函数，且在单调递减C. 是偶函数，且在单调递增D. 是奇函数，且在单调递减10.已知是面积为的等边三角形，且其顶点都在球的表面上，若球的表面积为，则球到平面的距离为（）A. B. C. D.11. 11.若，则（）A. B. C. D.12.0-1周期序列在通信技术中有着重要应用，若序列满足，且存在正整数，使得成立，则称其为0-1周期序列，并称满足的最小正整数为这个序列的周期．对于周期为的0-1序列，是描述其性质的重要指标．下列周期为5的0-1序列中，满足的序列是( )A. 11010…B. 11011…C. 10001…D. 11001…二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知单位向量的夹角为45°，与垂直，则_______．14. 4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有______种．15.设复数满足，则______．16.设有下列四个命题：：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内．：过空间中任意三点有且仅有一个平面．：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行．：若直线平面，直线平面，则．则下述命题中所有真命题的序号是________．①②③④三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.中，．（1）求；（2）若，求周长的最大值．18.某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加．为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据，其中和分别表示第个样区的植物覆盖面积（单位：公顷）和这种野生动物的数量，并计算得，，，，．（1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）；（2）求样本的相关系数（精确到0.01）；（3）根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大，为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由．附：相关系数，．19.已知椭圆:的右焦点与抛物线的焦点重合，的中心与的的顶点重合．过且与轴垂直的直线交于，两点，交于，两点，且．（1）求的离心率；（2）设是与的公共点，若，求与的标准方程．20.如图，已知三棱柱的底面是正三角形，侧面是矩形，，分别为，的中点，为上一点，过和的平面交于，交于．（1）证明：，且平面；（2）设为△的中心，若，且，求直线与平面所成角的正弦值．21.已知函数．（1）讨论在区间的单调性；（2）证明：；（3）设，证明：．22.已知曲线，的参数方程分别为：（为参数），：（为参数）．（1）将，的参数方程化为普通方程；（2）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系．设，的交点为，求圆心在极轴上，且经过极点和的圆的极坐标方程．23.已知函数．（1）当时，求不等式的解集；（2）若，求的取值范围．答案和解析1.【答案】A【解析】【分析】本题考查集合的运算，属基础题.先求出，再求补集.【解答】解：，故选A.2.【答案】D【解析】【分析】本题考查三角函数在各象限的正负，属于基础题.根据所给角是第四象限角，写出角的范围，求出的范围，进而可判断出三角函数值的正负.【解答】解：∴是第三象限或第四象限角或终边在y轴的非正半轴上，故选D.3.【答案】B【解析】【分析】本题考查对概率的理解，通过条件容易得出第二天需配送的总订单数，进而可求出所需至少人数.【解答】解：因为公司可以完成配货1200份订单，则至少需要志愿者为名.故选B.4.【答案】C【解析】【分析】本题考查等差数列前n项和的性质，属于中档题.由成等差数列，可得每一层的环数，通过等差数列前n项和公式可求得三层扇形石板的总数.【解答】解：设每一层有n环，由题可知从内到外每环之间构成等差数列，公差，，由等差数列性质知成等差数列，且，则，得，则三层共有扇形面石板为故选C.5.【答案】B【解析】【分析】本题考查直线与圆的位置关系及点到直线的距离计算，属基础题.由圆与坐标轴相切，可得圆心坐标及半径，再用点到直线的距离公式求解即可.【解答】解：设圆心为，则半径为，圆过点，则，解得或，所以圆心坐标为，圆心到直线的距离都是故选B.6.【答案】C【解析】【分析】本题考查等比数列的判定及等比数列前n项求和，属基础题.取m=1，知数列是等比数列，再由等比数列前n项和公式可求出k的值.【解答】解：取，则，又，所以，所以是等比数列，则，所以，得故选C.7.【答案】A【解析】【分析】本题三视图，考查空间想象能力，属基础题.由三视图，通过还原几何体，观察可知对应点.【解答】解：该几何体是两个长方体拼接而成，如图所示，显然选A.8.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查双曲线的几何性质及双曲线的渐近线，属于中档题.【解答】解：双曲线C的两条渐近线分别为,由于直线x=a与双曲线的两条渐近线分别交于D、E两点，则易得到,则, ,即,所以焦距.故选B.9.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查函数的奇偶性、单调性，属于中档题.【解答】解：函数,则为奇函数，时，,单调递增；时，，单调递减.故选D.10.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查点到平面的距离求法，属于中档题.【解答】解：设△ABC的外接圆圆心为,设,圆的半径为r,球O的半径为R,△ABC的边长为a,则，可得,于是，由题意知，球O的表面积为，则,由,求得，即O到平面ABC的距离为1.故选C.11.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查对数函数与指数函数，考查函数的单调性，属于较难题.【解答】解：，设,则，所以函数在R上单调递增，因为，所以,则，.故选A.12.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查新定义类型的问题，属于较难题.【解答】解：对于A选项，，，不满足，排除；对于B选项，，不满足，排除；对于C选项，，，，，满足；对于D选项，，不满足，排除；故选C.13.【答案】【解析】【分析】本题主要考查平面向量的运算以及向量间的垂直关系，属于基础题.【解答】解：由单位向量的夹角为，与垂直，所以，则.故答案为.14.【答案】36【解析】【分析】本题考查计数原理，属于基础题．【解答】解：由题意可得不同的安排方法有：．答案：36．15.【答案】【解析】【分析】本题考查复数的运算及复数的模，属于基础题．【解答】解：在复平面内，用向量方法求解，原问题即等价于平面向量满足，，求，由，可得，故．故答案为．16.【答案】①③④【解析】【分析】本题考查含逻辑联结词的命题真假的判断以及立体几何相关知识，属于中档题．【解答】解：对于：可设与，所得平面为若与相交，则交点A必在平面内.同理与的交点B在平面内，故直线AB在平面内，即在平面内，故为真命题．对于过空间中任意三点，若三点共线，可形成无数个平面，故为假命题．对于空间中两条直线的位置关系有平行，相交，异面，故为假命题．对于若，则m垂直于平面内的所有直线，故，故为真命题．综上可知，为真命题，为真命题，为真命题．故答案为①③④．17.【答案】解：在中，设内角A，B，C的对边分别为a，b，c，因为，由正弦定理得，，即，由余弦定理得，，因为，所以．由知，，因为，即，由余弦定理得，，所以，由基本不等式可得，所以所以当且仅当时取得等号，所以周长的最大值为．【解析】本题主要考查利用正余弦定理解三角形的问题，属于中档题．直接利用正余弦定理即可求解；利用余弦定理与基本不等式即可求解．18.【答案】解：(1)由题可知，每个样区这种野生动物数量的平均数为，所以该地区这种野生动物数量的估计值为(2)根据公式得(3)为了提高样本的代表性，选用分层抽样法更加合理，因为分层抽样可以按照规定的比例从不同的地块间随机抽样，其代表性较好，抽样误差更小。