SPSS数据统计分析与实践
第二十二章：典型相关分析
（Canonical Correlation）
主讲：周涛副教授
北京师范大学资源学院
教学网站：/Courses/SPSS
典型相关分析（Canonical Correlation）本章内容：
一、典型相关分析的基本思想
二、典型相关分析的数学描述
三、SPSS实例
四、小节
典型相关分析的基本思想
z典型相关分析是研究两组变量之间相关关系的一种多元统计方法。
z简单相关系数；复相关系数；典型相关系数
z典型相关分析首先在每组变量中找出变量的线性组合，使其具有最大相关性；
z然后再在每组变量中找出第二对线性组合，使其与第一对线性组合不相关，而第二对本身具有最大相关性；
z如此继续下去，直到两组变量之间的相关性被提取完毕为止；
z这些综合变量被称为典型变量（canonical variates）；第I对典型变量间的相关系数则被称为第I 典型相关系数（一般来说，只需提取1～2对典型变量即可较为充分的概括样本信息）。
典型相关分析的目的
T
q T
p Y Y Y Y X X X X )
,,,(),,,(2121K K ==设两组分别为p 与q 维(p ≤q)的变量X ,Y ：
设p + q 维随机向量协方差阵，⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝
⎛=Y X Z ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝⎛Σ
ΣΣΣ=Σ22
21
1211其中Σ11是X 的协方差阵，Σ22是Y 的协方差阵，Σ12=ΣT 21是X ，Y 的协方差阵
典型相关分析用X 和Y 的线性组合U =a T X , V =b T Y 之间的相关来研究X 和Y 之间的相关性。其目的就是希望找到向量a 和b ，使ρ（U ，V ）最大，从而找到替代原始变量的典型变量U 和V 。
典型相关分析的数学描述
z
典型相关系数的数学定义为：
b
b a a b
a V Var U Var V U Cov V U T T T 221112)()(),(),(ΣΣΣ=
=ρ由于随机变量乘以常数不改变其相关系数，为防止不必要的结果重复出
现，最好在其中附加如下的约束条件：
1
)(1)(2211=Σ==Σ=b b V Var a a U Var T T 记，，则有2112212111ΣΣΣΣ=−−A 12
11121122ΣΣΣΣ=−−B b Bb a Aa 22,λλ==其中既是A 又是B 的特征根，a 和b 就是对应于A 和B 的特征向量。
2
λ
SPSS 实例
为研究运动员体力与运动能力的关系，对某高一年级男生38人进行体力测试（共7项指标）及运动能力测试（共5项指标）。
运动能力测试指标：Y1 50米跑（秒）Y2跳远（cm ）Y3投球（m ）
Y4引体向上（次）Y5耐力跑（s ）
体力测试指标：
X1反复横向跳（次）X2纵跳（cm ）X3背力（kg ）X4握力（kg ）
X5台阶试验（指数）X6立定体前屈（cm ）X7俯卧上体后仰（cm ）
SPSS实例
SPSS操作
z SPSS采用’Canonical correlation.sps’宏程序来实现。
输出结果解释－两组变量间的相关系数SPSS在三个方框中分别输出的是体力测试指标内部的相关系数、运动能力测试指标内部的相关系数，以及两组指标间的相关系数
由体力测试指标内部相关系数看，各指标间相关系数较小，即指标间没有多大的重复。如果两个指标相关系数很大，可能这两个指标反映的是同一个方面，可以考虑合并。
输出结果解释－两组变量间的相关系数SPSS在三个方框中分别输出的是体力测试指标内部的相关系数、运动能力测试指标内部的相关系数，以及两组指标间的相关系数
运动能力测试指标间的相关系数也比较类似（各指标间的相关系数较小），不过y2（跳远）和y4（引体向上）之间的相关系数较大，达到0.6067
输出结果解释－两组变量间的相关系数SPSS在三个方框中分别输出的是体力测试指标内部的相关系数、运动能力测试指标内部的相关系数，以及两组指标间的相关系数
上表输出的是体力与运动能力之间的相关系数，从二者直接相关系数看，只有X2（纵跳）和y2（跳远）之间关联程度较大（R＝0.5584），而其他体力指标和运动能力指标间的直接关联不大，更多的可能是综合影响。
由于变量间的交互作用，因此，这个简单相关系数矩阵只能作为参考，不能真正反映两组变量间的实质联系。
典型相关系数及显著性检验
第一典型相关系数为0.763，第二典型相关系数为0.706，第三典型相关系数为0.607，它们均比体力指标和运动能力指标两组间的任一个相关系数大，即综合的典型相关分析效果要好于简单相关分析。
典型相关系数及显著性检验
由于此处的典型相关系数是从样本数据算得的，和简单相关系数一样，有必要进行总体系数是否为0的假设检验。此处采用的是Bartlett的χ2检验，零假设为对应的典型相关系数为0。
上面的输出结果表明：在α＝0.05的情况下，第一与第二典型相关系数是显著的。
典型变量的系数－体力变量
标准化变量（Standardized
Canonical Coefficients）的典型
相关变量的换算系数
e.g. 来自体力指标的第一典型变
量的计算公式为：
U1=0.314X1 + 0.628X2 +
0.295X3 + 0.309X4 + 0.335X5
+ 0.033X6 + 0.077X7
原始变量（Raw Canonical
Coefficients）的典型相关变量
的换算系数
