第五章补充_单自由度系统的振动讲解

过x
阻
尼
单
自
由
度
系
统
自
由 响
O
t
应
3.2 单自由度系统的强迫振动
简谐激励下的响应 周期激励下的响应 任意激励下的响应
3.2 单自由度系统的强迫振动
3.2.1 简谐激励下的响应
激励力： 微分方程：
F = F0sinωt mx cx kx F0 sin t
解的形式：
x(t) = x1(t) + x2(t)
利用欧拉公式： x(t) ent (c1 cosdt c2 sin dt),
初始条件： x(0) x0， x(0) x0
c1 x0 ， c2 x0 n x0 d
d n 1 2
（有阻尼固有角频率）
c1=A1+A2 c2=j(A1-A2)
来自百度文库
欠
x
阻
尼
单
自
由
度
系
O
统
自
由
响
应
ent A
x(t) ent Asin dt
t
sin dt
3.1 单自由度系统的自由振动
（2）临界阻尼
1
s1,2 n
x(t) ent (c1 c2t)
c1、c2由初始条件决定： c1 x0 ， c2 x0 n x0
3.2.1.1 稳态响应分析
用复数法求解x2：令 x2(t) Im( Xe jt )
代入微分方程 mx cx kx F0 sin t
得：
X

F0 m
n2
2
1
j2n

F0 k
1 2
1
j2
F0
1
e j Xe j
k (1 2 )2 (2)2
其中
，(频率比) n


arctan
2 1 2
, (稳态响应初始相位)
X F0
1
，(稳态响应振幅)
k (1 2 )2 (2)2
3.2单自由度系统的强迫振动
简谐激励的稳态位移响应为：
x2(t) Im( Xe jt ) Im[ Xe j(t ) ] X sin( t )
x(t) c1es1t c2es2t
两个频率相同的简谐振动的合成仍然是一个简谐振动 (简谐振动的基本性质1)
x(t) Asin( nt 0 )
A、φ0 由初始条件决定 ： x(0) x0, x(0) x0
A
x02

x0 2
n2
,
0

arctan
x0n
x0
3.1单自由度系统的自由振动
k T
m
v0
3.1单自由度系统的自由振动
3.1.2 有阻尼情形 (粘性阻尼)
微分方程：
mx cx kx 0
解的形式：
x(t) Aest,
特征方程：
ms2 cs k 0
特征根：
s1,2


c 2m


c
2


k
2m m
令：
c ccr

c 2mn
为阻尼比，ccr
k —固有频率；
m
x n2x 0
解的形式：
x(t) cest,
特征方程：
s2 n2 0
方程特征根：
s jn
k
其中c、s为常量。
3.1单自由度系统的自由振动
特征解：
x1 c1es1t ,
x2 c2es2t
根据线性系统叠加原理，方程的通解为两个特征解的线性叠加:
系统响应：
x(t)

e nt
( x0
cos d t

x0
n x0 d
sin
dt)

e nt
Asin
d t

A
x02


x0
n d
x0
2


arctan
x0
x0d n x0
系统响应为振幅按指数规律逐渐衰减的简谐振动。
3.1 单自由度系统的自由振动
第三章：单自由度系统振动
单自由度系统的自由振动
无阻尼 有阻尼
单自由度系统的强迫振动
简谐激励下的响应 周期激励下的响应 任意激励下的响应
3.1单自由度系统的自由振动
3.1.1 无阻尼情形
微分方程：
mx kx 0
n
k —无阻尼固有角频率；
m
fn

1 2
得到:
习题
1. 单摆
O
以角度θ为位移,建立运动方程，并求振动 θ
固有频率。
l
m
3.1单自由度系统的自由振动
2 . 升降机问题
升降机箱笼质量为m，由钢丝绳牵挂 以速度v0向下运动，钢丝绳刚度系数 为k，质量不计。如果升降机紧急刹 车，钢丝绳上端突然停止运动。 求此时钢丝绳受到的最大张力Tmax
（弹簧减振钩）
系统响应： x(t) ent[x0 (x0 n x0 )t]
系统处于将要振动又未振动的临界状态。(无振动)
3.1 单自由度系统的自由振动
（3）过阻尼
1
s1,2 n jn 1 2
x(t) ent (c1ent
c e 2 1
nt 2
2 1 ),
c1、c2由初始条件决定：
c1 x0 ( 2n
2 1)n x0 ， 2 1
c2 x0 ( 2n
2 1)n x0 2 1
系统响应为一种振幅按指数规律衰减的非周期蠕动。(无振动)
3.1 单自由度系统的自由振动
简谐激励的稳态速度响应为：
v2 (t )

X
cos(t

)

X
sin(
t



2
)
简谐激励的稳态加速度响应为：
a2 (t )

2X
cos(t



2
)

2X
sin(
t


)
3.2单自由度系统的强迫振动

2
km 2mn 为临界阻尼系数。
化简后：
s1,2 n n 2 1
方程通解：
x(t) A1es1t A2es2t ,
3.1单自由度系统的自由振动
对ξ范围分三种情况讨论：
（1）欠阻尼
0 1
s1,2 n jn 1 2 x(t) ent ( A1e jdt A2e jdt ),
x1(t)
瞬态响应（通解） x1(t) ent (a1 cosdt a2 sin dt)
为对应齐次方程 mx cx kx 0 在欠阻尼情况下的解。
x2(t) 稳态响应（特解） x2(t) X sin( t )
为强迫振动下系统的特解。
3.2单自由度系统的强迫振动