函数与导数
1．求函数的定义域，关键是依据含自变量x 的代数式有意义来列出相应的不等式(组)求解，如开偶次方根、被开方数一定是非负数；对数式中的真数是正数；列不等式时，应列出所有的不等式，不应遗漏．
对抽象函数，只要对应关系相同，括号里整体的取值范围就完全相同．
[问题1] 函数y 的定义域是________． 答案 ⎝⎛⎦
⎤0，14 2．用换元法求解析式时，要注意新元的取值范围，即函数的定义域问题． [问题2] 已知f (cos x )＝sin 2x ，则f (x )＝________. 答案 1－x 2(x ∈[－1,1])
3．分段函数是在其定义域的不同子集上，分别用不同的式子来表示对应关系的函数，它是一个函数，而不是几个函数．
[问题3] 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
e x ，x <0，ln x ，x >0，
则f ⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫1e ＝________. 答案 1e
4．判断函数的奇偶性，要注意定义域必须关于原点对称，有时还要对函数式化简整理，但必须注意使定义域不受影响．
[问题4] f (x )＝lg (1－x 2)
|x －2|－2是________函数(填“奇”“偶”或“非奇非偶”)．
答案 奇
解析 由⎩
⎪⎨⎪⎧
1－x 2>0，
|x －2|－2≠0得定义域为(－1,0)∪(0,1)，
f (x )＝l
g (1－x 2)
－(x －2)－2＝lg (1－x 2)
－x .
∴f (－x )＝－f (x )，f (x )为奇函数． 5．弄清函数奇偶性的性质
(1)奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反． (2)若f (x )为偶函数，则f (－x )＝f (x )＝f (|x |)． (3)若奇函数f (x )的定义域中含有0，则必有f (0)＝0.
故“f (0)＝0”是“f (x )为奇函数”的既不充分也不必要条件．
[问题5] 设f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫21－x ＋a 是奇函数，且在x ＝0处有意义，则该函数为( )
A ．(－∞，＋∞)上的减函数
B ．(－∞，＋∞)上的增函数
C ．(－1,1)上的减函数
D ．(－1,1)上的增函数 答案 D
解析 由题意可知f (0)＝0，即lg(2＋a )＝0， 解得a ＝－1，
故f (x )＝lg 1＋x
1－x ，函数f (x )的定义域是(－1,1)，
在此定义域内f (x )＝lg 1＋x
1－x
＝lg(1＋x )－lg(1－x )，
函数y 1＝lg(1＋x )是增函数，函数y 2＝lg(1－x )是减函数，故f (x )＝y 1－y 2是增函数．选D. 6．求函数单调区间时，多个单调区间之间不能用符号“∪”和“或”连接，可用“及”连接，或用“，”隔开．单调区间必须是“区间”，而不能用集合或不等式代替． [问题6] 函数f (x )＝1
x 的减区间为________．
答案 (－∞，0)，(0，＋∞) 7．求函数最值(值域)常用的方法：
(1)单调性法：适合于已知或能判断单调性的函数．
(2)图象法：适合于已知或易作出图象的函数． (3)基本不等式法：特别适合于分式结构或两元的函数． (4)导数法：适合于可导函数． (5)换元法(特别注意新元的范围)． (6)分离常数法：适合于一次分式．
(7)有界函数法：适用于含有指数函数、对数函数或正、余弦函数的式子．无论用什么方法求最值，都要考查“等号”是否成立，特别是基本不等式法，并且要优先考虑定义域． [问题7] 函数y ＝2x
2x ＋1(x ≥0)的值域为________．
答案 ⎣⎡⎭⎫
12，1
解析 方法一 ∵x ≥0，∴2x ≥1，∴y 1－y ≥1，
解得1
2
≤y <1.
∴其值域为y ∈⎣⎡⎭⎫
12，1. 方法二 y ＝1－12x ＋1，∵x ≥0，∴0<12x ＋1≤1
2
， ∴y ∈⎣⎡⎭⎫12，1.
8．函数图象的几种常见变换
(1)平移变换：左右平移——“左加右减”(注意是针对x 而言)；上下平移——“上加下减”． (2)翻折变换：f (x )→|f (x )|；f (x )→f (|x |)．
(3)对称变换：①证明函数图象的对称性，即证图象上任意点关于对称中心(轴)的对称点仍在图象上；
②函数y ＝f (x )与y ＝－f (－x )的图象关于原点成中心对称；
③函数y ＝f (x )与y ＝f (－x )的图象关于直线x ＝0 (y 轴)对称；函数y ＝f (x )与函数y ＝－f (x )的图象关于直线y ＝0(x 轴)对称．
[问题8] 函数y ＝|log 2|x －1||的递增区间是________． 答案 [0,1)，[2，＋∞)
解析 ∵y ＝⎩⎪⎨⎪⎧
|log 2(x －1)|(x >1)，
|log 2(1－x )|(x <1)，
作图可知正确答案为[0,1)，[2，＋∞)．
9．有关函数周期的几种情况必须熟记：(1)f (x )＝f (x ＋a )(a >0)，则f (x )的周期T ＝a ；(2)f (x ＋a )
＝
1
f (x )
(f (x )≠0)或f (x ＋a )＝－f (x )，则f (x )的周期T ＝2a . [问题9] 对于函数f (x )定义域内任意的x ，都有f (x ＋2)＝－1
f (x )，若当2 f (2 012.5)＝________. 答案 －2 5 10．二次函数问题 (1)处理二次函数的问题勿忘数形结合．二次函数在闭区间上必有最值，求最值问题用“两看法”：一看开口方向，二看对称轴与所给区间的相对位置关系． (2)二次函数解析式的三种形式： ①一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)； ②顶点式：f (x )＝a (x －h )2＋k (a ≠0)； ③零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)． (3)一元二次方程实根分布：先观察二次系数，Δ与0的关系，对称轴与区间关系及有穷区间端点函数值符号，再根据上述特征画出草图． 尤其注意若原题中没有指出是“二次”方程、函数或不等式，要考虑到二次项系数可能为零的情形． [问题10] 若关于x 的方程ax 2－x ＋1＝0至少有一个正根，则a 的范围为________． 答案 ⎝⎛⎦⎤－∞，14 11．(1)对数运算性质 已知a >0且a ≠1，b >0且b ≠1，M >0，N >0. 则log a (MN )＝log a M ＋log a N ， log a M N ＝log a M －log a N ， log a M n ＝n log a M ， 对数换底公式：log a N ＝log b N log b a . 推论：log am N n ＝n m log a N ；log a b ＝1 log b a . (2)指数函数与对数函数的图象与性质 可从定义域、值域、单调性、函数值的变化情况考虑，特别注意底数的取值对有关性质的影响，另外，指数函数y ＝a x 的图象恒过定点(0,1)，对数函数y ＝log a x 的图象恒过定点(1,0)． [问题11] 函数y ＝log a |x |的增区间为_________________． 答案 当a >1时，(0，＋∞)；当0
