- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
解:
A1E=(-1,
1 2
,0),
A1B=(0,1,-1)
z
设n (x, y, z)为面A1BE的法向量,则
n
A1E
0,
n A1B 0,
x y z
1 2
y 0,
0即, zy
2x, 2x,
A1
D1
E
C1
B1
取x=1,得平面A1BE的一个法向量n (1, 2, 2)
选点B1到面A1BE的斜向量为A1B1 0,1,0,
z
P
A x
F Cy Q
E
B
C
EF (2, 2, 0), EG (2, 4, 2),
F
BE (2, 0, 0)
设平面 EFG 的一个法向量 A
为 n ( x, y, z) n EF,n EG
2x 2y 2x 4
0 y 2z
0
n
(
1 3
,
1 3
,1)
E
B
y
d | n BE| 2 11
n
11
例4 .如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长 为1,E为D1C1的中点,求B1到面A1BE的距离;
用空间向量求距离课件
空间中的距离主要有: 点点、点线、点面、线线、线面、面面
空间两点之间的距离
根据两向量数量积的性质和坐标运算,
利用公式
a
a
2
或
a
x2 y2 z2
(其中
a
(
x,
y,
z)
)
,可将两点距离问题
转化为求向量模长问题
一、求点到平面的距离
P
一般方法:
利用定义先作出过
d
这个点到平面的垂
解:
A1E=(-1,
1 2
,0),
A1B=(0,1,-1)
z
设n (x, y, z)为面A1BE的法向量,则
n
A1E
0,
n A1B 0,
x y z
1 2
y 0,
0即, zy
2x, 2x,
A1
D1
E
C1
B1
取x=1,得平面A1BE的一个法向量n (1, 2, 2)
选点B1到面A1BE的斜向量为A1B1 0,1,0,
D
得B1到面A1BE的距离为d
A1B1 n n
2 3
Ax
C
y
B
例3.如图,正四棱锥S ABCD的高SO 2,底边长 AB 2,求异面直线BD与SC之间的距离.
S
D
C
O
A
B
例4.如图,已知边长为4的正三角形ABC中, E、F分别为 BC和AC的中点, PA 2,且PA 平面ABC,设Q是CE 的中点. (1)求证 : AE // 平面PFQ (2)求AE与平面PFQ间的距离.
点到平面的距离:
直线到平面的距离:
d
|
AP n |
平面到平面的距离:
n
异面直线的距离:
例1.如图所示,在平行四边形ABCD中, AB AC 1, ACD 900 ,将它沿对角线AC折起,使AB与CD成 600角,求B、D间的距离.
A
D
B
C
例2.已知正方形ABCD的边长为4,CG 平面ABCD, CG 2, E、F分别是AB、AD的中点,求点B到平面 GEF的距离.
n A1B 0,
x y z
1 2
y 0,
0即, zy
2x, 2x,
A1
D1
E
C1
B1
取x=1,得平面A1BE的一个法向量n (1, 2, 2)
选点B1到面A1BE的斜向量为A1B1 0,1,0,
D
得B1到面A1BE的距离为d
A1B1 n n
2 3
Ax
C
y
B
例4 .如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长 为1,E为D1C1的中点,求B1到面A1BE的距离;
D
得B1到面A1BE的距离为d
A1B1 n n
2 3
Ax
C
y
B
例4 .如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长 为1,E为D1C1的中点,求B1到面A1BE的距离;
解:
A1E=(-1,
1 2
,0),
A1B=(0,1,-1)
z
设n (x, y, z)为面A1BE的法向量,则
n
A1E
0,
线段,再计算这个
垂线段的长度。
O
还可以用等积法求距离.
向量法求点到平面的距离
d
P
sin
AP
d | AP | sin
n
| AP n |
sin
AP n
d
O
AP 为斜向量,n 为法向量。
注:点到平面的距离等于点和这个平面的任何一点所组成 向量与此平面法向量的数量积的绝对值除于法向量的模.
zG
x
D
F
A
E
C
B
y
例 3: 如图,已知正方形 ABCD 的边长为 4,E、F 分别
是 AB、AD 的中点,GC⊥平面 ABCD,且 GC=2,求
点 B 到平面 EFG 的距离.
z
解:如图,建立空间直角坐标系 C-xyz.
G
由题设 C(0,0,0),A(4,4,0),B(0,4,0),
D(4,0,0),E(2,4,0),F(4,2,0),G(0,0,2)x.D
二、直线到平面的距离
l
d | AP n | n
P
n
d
O A
其中 AP 为斜向量,n 为法向量。
三、平面到平面的距离
d | AP n |
n
A
n
P
d O
四、异面直线的距离
d | AP n |
a
n
n
P
AP ?
b
n?
A
A、P分别是直线a、b上的任意两点;
n 是与 a, b 都垂直的向量
四种距离的统一向量形式: