极坐标的几种常见题型
一、极坐标方程与直角坐标方程的互化
互化条件：极点与原点重合，极轴与x 轴正半轴重合，长度单位相同.
互化公式：⎩⎨⎧==θρθρsin cos y x 或 ⎪
⎩
⎪
⎨⎧≠=+=)0(tan 2
22x x y
y x θρ θ的象限由点(x,y)所在的象限确定.
例1(2007海南宁夏)⊙O 1和⊙O 2的极坐标方程分别为θρcos 4=，θρsin 4-=．
(I)把⊙O 1和⊙O 2的极坐标方程化为直角坐标方程；
(II)求经过⊙O 1，⊙O 2交点的直线的直角坐标方程．
解：以极点为原点，极轴为x 轴正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位．
(I)θρcos =x ，θρsin =y ，由θρcos 4=得θρρcos 42=．所以x y x 42
2=+．
即042
2
=-+x y x 为⊙O 1的直角坐标方程． 同理042
2
=++y y x 为⊙O 2的直角坐标方程．
(II)解法一:由⎩
⎨⎧=++=-+04042
222y y x x y x 解得⎩⎨⎧==0011y x ，⎩⎨⎧-==22
22y x 即⊙O 1，⊙O 2交于点(0,0)和(2,－2)．过交点的直线的直角坐标方程为y=－x ．
解法二: 由⎩⎨⎧=++=-+0
40
42
222y y x x y x ,两式相减得－4x-4y=0,即过交点的直线的直角坐标方程为y=－x ． 评述:本题主要考查曲线的极坐标方程化为直角坐标方程的方法及两圆公共弦所在直线方程的求法. 例2(2003全国)圆锥曲线θ
θ
ρ2cos sin 8=
的准线方程是
(A)2cos -=θρ (B)2cos =θρ (C) 2sin -=θρ (D) 2sin =θρ 解: 由θ
θρ2
cos sin 8=
去分母后两边同时乘以ρ得:θρθρsin 8cos 22=,所以x 2
=8y ,其准线方程为y=2-,在极坐标系中方程为2sin -=θρ,故选C.
例3(1998年上海)以直角坐标系的原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,若椭圆两焦点的极坐标分别是(1,
2
π),(1,23π),长轴长是4,则此椭圆的直角坐标方程是_______________.
解：由已知条件知椭圆两焦点的直角坐标为(0,1),(0,-1).c=1,a=2,b 2=a 2-c 2=3,
故所求椭圆的直角坐标方程为4
32
2y x +=1 类题:1(1995年上海)把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴作为极轴,并且在两种坐标系中取相同的长度单位.若曲线的极坐标方程是1
cos 4122
-=
θρ,则它的直角坐标方程是___________.
(答案:3x 2-y 2=1)
2(1998年全国)曲线的极坐标方程ρ=4sin θ化成直角坐标方程为 (A) x 2+(y+2)2=4 (B) x 2+(y-2)2=4
(C) (x-2)2+y 2=4 (D) (x+2)2+y 2=4 (答案:B) 3(2002北京)已知某曲线的参数方程是⎩⎨
⎧==ϕ
ϕ
tan sec y x (ϕ为参数)若以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴,长度单
位不变，建立极坐标系，则该曲线的极坐标方程是
(A)1=ρ (B)12cos =θρ (C)12sin 2=θρ (D)
12cos 2=θρ (答案:D)
二、已知曲线的极坐标方程,判断曲线类型
常见的直线和圆的极坐标方程及极坐标系中的旋转不变性: 1、直线的极坐标方程(a>0)
(1)过极点,并且与极轴成α角的直线的极坐标方程:θ=α;
(2)垂直于极轴和极点间的距离为a 的直线的极坐标方程:ρcos θ=a;
(3)平行于极轴和极轴间的距离为a 的直线的极坐标方程:ρsin θ=a;
(4)不过极点,和极轴成α角,到极点距离为a 的直线的极坐标方程: ρsin(α-θ)=a. 2、圆的极坐标方程(a>0)
(1)圆心在极点,半径为a 的圆的极坐标方程: ρ=a;
(2)圆心在(a,0),半径为a 的圆的极坐标方程: ρ=2acos θ; (3)圆心在(a,π),半径为a 的圆的极坐标方程: ρ=θcos 2a -;
(4)圆心在(a,
2π
),半径为a 的圆的极坐标方程: ρ=2asin θ; (5)圆心在(a,2
3π
),半径为a 的圆的极坐标方程: ρ=θsin 2a -;
(6)圆心在(a, θ0),半径为a 的圆的极坐标方程: ρ=2acos(θ-θ0).
3、极坐标系中的旋转不变性:
曲线f(ρ,θ+α)=0是将曲线f(ρ,θ)=0绕极点旋转|α|角(0>α时,按顺 时针方向旋转,0<α时,按逆时针方向旋转)而得到. 例4(1990年全国)极坐标方程4ρsin 2
2
θ
=5所表示的曲线是 (A)圆 (B)椭圆 (C)双曲线的一支 (D)抛物线 解:由已知极坐标方程及三角公式得:2ρ(1-cos θ)=5,
∴2ρ=2ρcos θ+5,由互化公式得22
2y x +=2x+5,平方整理得y 2=5(x+
4
5
),方程表示抛物线,选D. 评述:对于给出的极坐标方程相对于极坐标系而言不是标准的,一般将其等价转化为直角坐标方程来判断其曲线类型.
类题:1(1991年三南)极坐标方程4sin 2θ=3表示的曲线是
(A)二条射线 (B)二条相交直线 (C) 圆 (D) 抛物线 (答案:B) 2(1987年全国)极坐标方程ρ=sin θ+2cos θ所表示的曲线是
(A)直线 (B)圆 (C)双曲线 (D) 抛物线 (答案:B) 3(2001年广东、河南)极坐标方程ρ2cos2θ=1所表示的曲线是
(A)两条相交直线 (B)圆 (C)椭圆 (D)双曲线 (答案:D)
4(2003北京)极坐标方程1cos 22cos 2
=-θρθρ表示的曲线是
(A)圆 (B)椭圆 (C)抛物线 (D)双曲线 (答案:D)
例5(1994年全国)极坐标方程ρ=cos(
4
π
-θ)所表示的曲线是 (A) 双曲线 (B)椭圆 (C)抛物线 (D)圆
