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第四章 目标规划1-2

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i第四章 目标规划 第一二节

i第四章 目标规划 第一二节

R
目标1 和2都 达到最 优
0
x1
但更多的情况是：由于多目标之间存在相互 矛盾，最优解往往不可能存在，这就要求我们 退而求其次，根据目标之间的相对重要程度， 分 等 级 和 权 重 ， 求 出 相 对 最 优 解 —— 有 效 解 （满意解），为此引入以下概念，对目标函数 和约束条件作适当处理．
1．决策变量与偏差变量
优解。
第三步：把最优解代入最大化指派问题的目标函 数的表达式，求出最优值。
#
第四章 目 标 规 划
前面的线性规划问题，研究的都是只有一个目标函 数，若干个约束条件的最优决策问题．然而现实生活 中，衡量一个方案的好坏标准往往不止一个，而且这 些标准之间往往不协调，甚至是相互冲突的，标准的 度量单位也常常各不相同．例如，在资源的最优利用 问题中，除了考虑所得的利润最大，还要考虑使生产 的产品质量好，劳动生产率高，对市场的适应性强等
如：在例4-2中，若再增加约束条件：甲、乙两 产品总的生产件数大于 510，即：x x ，显
然它与约束条件中的：4x1+5x2 ≤ 2000 矛盾！这样解
空间成了空集．但若对新加入的约束条件引入正、负
偏差变量 d , d ，可得约束方程
x1 x2 d7 d7 510
9.2 x1 4 x2 3600 4 x 5 x 2000 1 2 3 x1 10 x2 3000 x1 , x2 0
s.t.
对于多目标问题，线性规划很难为其找到最优
方案．极有可能出现：第一个方案使第一目标的结 果优于第二方案，而对于第二目标，第二方案优于
指标过高，采取一般的线性规划单纯形法解决这个问 题显得十分困难．而在目标规划中，将比较容易解决

运筹学课件OP1 目标规划

运筹学课件OP1 目标规划

cj
cB xB x1
x2
x3
x4
P1 P1 P2
d1?
d1?
d2-
d
? 2
b
0 x3 2
3
1
300
0 x4 Байду номын сангаас 1.5
P1 d1? 1
-1
P2
d
2
10
12
P1 -1↑ 1
δj P2 -10 -12
1
180
1 -1
0→
1 -1 1000
2
1
cj
cB xB x1
x2
x3
0 x3 2
3
1
0 x4 2 1.5
第四章 目标规划 第一节 基本概念及模型的建立 一、单一目标问题（该企业应如何安排，能使企业获利最大？）
材料 消耗 Kg/
A
件
B 材料库存 Kg
不锈钢 2
3
120
材 钢材
2
1
80
料 铝材
0
1
30
利 润 元/件 60
70
max z ? 60x1 ? 70x2
s.t
2x1 ? 3x2 ? 120 l1
2 x1 ? x2 ? 80
d2-
d
? 2
1 -1
1 1 -1
1 1/7 -1/7
b
6 22.4→
4
1.2 3.2 2.4
P1
δj
P2
11
-4/7
1
cj
cB xB x1
P2
d
? 1
0
0 x2 0
0
x1 1
x2
x3

运筹学第四章目标规划

运筹学第四章目标规划

min Ζ=P1d3++P2d4 ¯+P3(6d1 ¯+5d2 ¯) +P4d11++P5d5++P6(6d1++5d2+)
s.t 2x1+4x2+d1 ¯-d1+=2400 2.5x1+1.5x2+d2 ¯-d2+=2800 8x1+15x2+d3 ¯-d3+=23000 x1 +d4 ¯-d4+=1500 x2 +d5 ¯-d5+=1000 d1++d11 ¯-d11+=30 x1,x2≥0,di ¯,di+≥0 (i=1,2,3,4,5,1 10 P1 0 P2 0 P3 -75 P4 -10
x1 x2 d2- d2+ d3- d3+ d11- d11+ 0 1 1 0 -1 0 1 -1 10 00 10 0 0 0 0 -1 0 1 1 –1 1 0 0 0 1 0 0 1 –1 00 10 0 0 0 0 00 00 0 0 0 1 0 0 3 0 2 0 3 -3 0 0 0 1 0 0 –1 +1
解目标规划的计算步骤：
(1).建立初始单纯形表，在表中将检验数 行按优先因子分别列成k行，设k=1；
(2).检查该行中是否存在负数，且对应的 前k-1行的系数是零，若取其中最小者对应的 变量为换入变量，转(3)，若无负数，则转(5)。
(3).按最小比值规则确定换出变量，当存 在两个和两个以上相同的最小比值时，选取 具有较高优先级别的变量为换出变量；
如果某一个Ri已退化为一点，则计算亦 应终止，这一点亦即为最优解，它只能满足

运筹学课件第四章 目标规划

运筹学课件第四章 目标规划

一、目标规划的数学模型
例4、电视机厂装配25寸和21寸两种彩电，每台
第四章
电视机需装备时间1小时，每周装配线计划开动40小
时，预计每周25寸彩电销售24台，每台可获利80元， 每周21寸彩电销售30台，每台可获利40元。 该厂目标：
1、充分利用装配线，避免开工不足。
2、允许装配线加班，但尽量不超过10小时。 3、尽量满足市场需求。
(70,50),11000;
E(50,100),13000。
50
d+.d- =0
B O 50 100
X1 100X1+80X2 = 10000
二、目标规划的图解法
例2：用图解法求解。
第四章
min z
P d P d d P d 1 1 2 2 2 3 3


4 x1 16 4 x2 12 x x d d 1 2 1 1 0 s.t. x 2 x d d 1 2 2 2 8 2 x1 3 x2 d 3 d3 12 x , x , d , d i 1,2,3 1 2 i i 0
一、目标规划的数学模型
例3 Ⅰ Ⅱ 资源拥有量
第四章
原材料(公斤)
设备(小时) 利润(千元/件)
2
1 8
1
2 10
11
10
(1)、原材料价格上涨，超计划要高价购买，所以 要严格控制。
(2)、市场情况，产品Ⅰ销售量下降，产品Ⅰ的产 量不大于产品Ⅱ的产量。 (3)、充分利用设备，不希望加班。 (4)、尽可能达到并超过利润计划指标56千元。
一、目标规划的数学模型
目标规划数学模型涉及的基本概念 1、偏差变量

4目标规划

4目标规划

4、优先因子（优先等级）与优先权系数 优先因子（优先等级）
优先因子P 优先因子 k 是将决策目标按其重要程度排序并表 示出来。 示出来。P1>>P2>>…>>Pk>>Pk+1>>…>>PK ，k=1.2…K。 权系数ω 权系数 k 区别具有相同优先因子的两个目标的差 决策者可视具体情况而定。 别，决策者可视具体情况而定。
2、目标约束和绝对约束
引入了目标值和正、负偏差变量后，就对某一问 引入了目标值和正、负偏差变量后， 题有了新的限制，即目标约束。 题有了新的限制，即目标约束。 目标约束即可对原目标函数起作用， 目标约束即可对原目标函数起作用，也可对原约束 起作用。目标约束是目标规划中特有的，是软约束。 起作用。目标约束是目标规划中特有的，是软约束。
满意解（具有层次意义的解） 5、满意解（具有层次意义的解）
对于这种解来说， 对于这种解来说，前面的目标可以保证实现或部分 实现，而后面的目标就不一定能保证实现或部分实现， 实现，而后面的目标就不一定能保证实现或部分实现， 有些可能就不能实现。 有些可能就不能实现。
若在例一中有如下要求： 若在例一中有如下要求： 1、最重要目标是利润，列为第一优先级； 、最重要目标是利润，列为第一优先级； 2、其次目标是甲乙产品的产量尽可能的保持 ： 、其次目标是甲乙产品的产量尽可能的保持1： 2的比例，列为第二优先级； 的比例， 的比例 列为第二优先级； 3、设备 、B的工作时间所控制，列为第三优 的工作时间所控制， 、设备C、 的工作时间所控制 先级，且在此优先级中设备B的重要性比设备 的重要性比设备C大 先级，且在此优先级中设备B的重要性比设备C大 三倍。 三倍。 试建立目标规划模型。 试建立目标规划模型。

运筹学 第四章 目标规划

运筹学 第四章 目标规划

二、目标规划模型的建立
1、目标函数的期望值 首先要对每一个目标确定一个希望达到的期望值 ei(i=1,2, …,n) 。根据历史资料、市场需求或上级部门的布 置等来确定。
《运筹学》 第四章 目标规划 Slide 4
2、正负偏差变量 每个目标函数的期望值确定之后，目标的实际值和它的 期望值之间就有正的或负的偏差。 正偏差变量 di+ 表示第i个目标超过期望值的数值；负偏 差变量di- 表示第i个目标未达到期望值的数值。 同一目标，它的取值不可能在超过期望值的同时，又没 有达到期望值，所以在di+ 和di- 中至少有一个必须为零。 di+ ×di-=0 引入正、负偏差变量后，对各个目标建立的目标函数方 n 程。 c x d d E * 原来的目标函数变成了约束条件的一部分，即目标约束 (软约束) ，原来的约束条件称为系统约束(硬约束)。
《运筹学》 第四章 目标规划 Slide 7
5、建立目标规划模型的基本步骤： 1）按生产和工作要求确定各个目标及其优先等级和期望 值； 2）设立决策变量，建立各个约束条件方程； 3）对每个目标引进正、负偏差变量，建立目标约束条件 ，并入已有的约束条件； 4）如果各约束条件之间有矛盾，也可适当引入偏差变量 ； 5）根据各目标的优先等级和权系数写出达成函数。 P110-113 例3.1 ,P117 例3.4 【课堂作业】： 某工厂计划生产甲、乙两种产品，现有的设备资源、每 种产品的技术消耗定额及单位产品的利润如下表所示。
《运筹学》 第四章 目标规划 Slide 3
第一节
目标规划模型
一、目标规划模型的基本思想
P110 例3.1 目标规划的基本思想： 对每一个目标函数引进一个期望值（理想值），但由于 种种条件的限制，这些期望值往往并不都能达到，从而我 们对每个目标引进正、负偏差变量，然后将所有的目标函 数并入原来的约束条件，组成新的约束条件。在这组新的 约束条件下，寻找使各种目标偏差达到最小的方案。

管理运筹学第4章-目标规划

管理运筹学第4章-目标规划

多目标决策问题
多目标规划的矩阵表示： 多目标规划的矩阵表示：
max Z = CX
AX ≤ b
X ≥0
z1 z 其中： 其中： Z = 2 M zm
C = (cij )m×n c11 c = 21 M c m1 c12 c 22 cm 2 L c1n L c2n M L c mn
目标规划的数学模型---相关概念
1、设 x1 , x 2 为决策变量，此外，引进正负偏差变 量 d i+ d i−
d i+ 表示： 决策值超过目标值的部分。 正偏差变量
负偏差变量 d i−表示： 决策值未达到目标值的部分。 因决策值不可能既超过目标值又同时未达到目标值， 即恒有 d + × d − = 0
例：LP----目标规划：加入正负偏差变量
目标规划的数学模型---相关概念
3、优先因子（优先等级）与权系数 依据达到目标的主次或轻重缓急而存在的系数（权）。
要求第一个达到的目标赋予优先因子P1，次位目标P2 …… 并规定PK > PK+1……，表示更大的优先权。
若要区别具有相同优先因子的两个目标的差别，此时可 以分别赋予它们不同的权系数 wi
+ i
目标规划的一般数学模型—p103
− + min z = ∑ Pl ∑ ( wlk d k− + wlk d k+ ) l =1 k =1 L K
式中，
− + wlk , wlk 为权系数
n c kj x j + d k− − d k+ = g k , k = 1K K ∑ j =1 n a x ≤ (=, ≥)b , i = 1L m i ∑ ij j j =1 x j ≥ 0, j = 1L n − + d k , d k ≥ 0, k = 1L K

目标规划

目标规划
15
第三节 解目标规划的单纯形法
计算步骤： （1）建立初始单纯形表，检验数行按优先因子个 数分别列出； （2）判断检验数是否存在负数，若有，取其中最 小者对应的变量为换入变量，转下一步；若无负 数，得到满意解。 （3）按最小比值规则确定换出变量，当存在两个 或 两个以上相同的最小比值时，选取具有较高优 先级的变量为换出变量； （4）按单纯形法进行基变换运算，建立新的计算 表，返回（2）。
7
第一节 目标规划问题及数学模型
4.目标规划的目标函数： 目标规划的目标函数是按各目标约束的正、负偏 差变量和相应的优先因子及权系数而构造的。决 策者要尽可能缩小与目标值的偏离，因此，目标 规划的目标函数只能是Min f (d +、 d - )。其基本 形式有以下三种： （1）要求恰好达到目标值，即正、负偏差变量都 尽可能地小，这时：Min Z = f (d +、 d - ) （2）要求不超过目标值，即允许不足目标值，也 就是正偏差尽量小。这时：Min Z = f (d +) （3）要求不低于目标值，即超过量不限，负偏差 变量要尽可能地小。这时：Min Z = f (d -)
8
第一节 目标规划问题及数学模型
二、目标规划的数学模型（续）
例2：例1中工厂在作决策时，要考虑以下因素： （1）根据市场信息，产品I的销售量有下降的趋势， 故考虑产品I的产量不大于产品II的产量； （2）超过计划供应的原材料，需用高价采购，这就 使成本增加； （3）应尽可能充分利用设备台时，但不希望加班； （4）应尽可能达到并超过计划利润指标56元。 最终决定在原材料供应受严格限制的基础上考虑： 首先产品II的产量不低于产品I的产量；其次充分 利用设备的有效台时，不加班；最后则是利润不 小于56元。求决策方案。例1 9

管理运筹学 第四章 目标规划

管理运筹学 第四章 目标规划

再来考虑风险约束： 总风险不能超过700， 投资的总风险为 0.5x1＋0.2x2 引入两个变量d1+和d1-，建立等式如下： 0.5x1 +0.2x2=700+d1+-d1根据要求有
min ｛d1+｝
0.5x1 +0.2x2-d1++d1-=700。
再来考虑年收入:
3x1+4x2
引入变量 d2+和d2-，分别表示年收入超过与低于 10000 的数量。于是，第2个目标可以表示为 min ｛d2-｝ 3x1+4x2-d2++d2-=10000。
2. 统一处理目标和约束。
对有严格限制的资源使用建立系统约束，数学形式同线性规划 中的约束条件。如C和D设备的使用限制。
x1 2 x2 40 3x2 24
(3)Ｃ和Ｄ为贵重设备，严格禁止超时使用
对不严格限制的约束，连同原线性规划建模时的目标，均通 过目标约束来表达。 （1）力求使利润指标不低于250元：
本问题中第一个目标的优先权比第二个目标大。即最重要 的目标是满足风险不超过700。分配给第一个目标较高的优先 权P1，分配给第二个目标较低的优先权P2。
Minz= P1（d1+）+P2（d2-） s.t. 20x1＋50x2≤90000 0.5x1 +0.2x2-d1++d1-=700 3x1+4x2-d2++d2-=10000 x1,x2,d1+,d1-,d2+,d2-≥0
现假定： 第1优先级P1——企业利润；
第2优先级P2——Ｉ、II产品的产量保持1:2的比例
第3优先级P3——设备A,B尽量不超负荷工作。其中设备A的重要性 比设备B大三倍。

i第四章目标规划及其图解法

i第四章目标规划及其图解法
•第一节 目标规划的基本概念与数学模型 •一、问题的提出 •二、目标规划的基本概念
• 1. 决策变量与偏差变量 •２. 目标约束与绝对约束 •３. 目标规划的目标函数(达成函数) •４. 优先因子与权系数
•三、目标规划的数学模型 •第二节 目标规划的图解法
•3
第一节 目标规划的基本概念与数学模型 •一、问题的提出
•29
建立目标规划模型的步骤
•1）根据问题列出各目标与条件，确定各目标的目
• 标值、引入偏差变量，把目标函数转化成约束
• 方程，列出目标约束与绝对约束(例4-2）；
•2）根据决策者的需要将某些或全部绝对约束，通
• 过引入偏差变量转换为软约束(例4-2） ；
•3）根据决策者的要求，各目标按三种情况取值：
• ①恰好达到目标值，取 目
；②允许超过
• 标值，取 ；③不允许超过目标值，取 ．
然
• 后构造一个由优先因子、权系数与偏差变量组
成
•30
建立目标规划模型的步 •4） 给各级目骤标赋予相应的优先因子 ，对同
一
• 优先级的各目标，按重要程度不同赋予相应
•
•注意:
•最的重权要系的数目标、(必例须4-2严）格；实现的目标及无法
•D
•图4-2 图解法示意图
•39
•这个区域内的任一点均是该问题的满意解， 可使目标函数
• 由于C、D、E、F 坐标分别为(6, 3)、(9, 0)
、(8，0)、(4.8 , 2.4)， 故满意解可表示为：
•其中
：
• 这种满足所有目标要求的情况，即：
，
在实际中并不多见，很多目标规划问题只能满足前
面几级目标要求．
•15
•２． 目标约束与绝对约束

[高等教育]第四章 目标规划

[高等教育]第四章 目标规划
如何写目标约束：对每个原始目标表达式（或 是等式、不等式，其右端为理想值）的左端都 加上负偏差变量、减去正偏差变量后，变换为 等式，即目标约束.
h
10
x 1 2 x 2 0 x 1 2 x 2 d 1 d 1 0
4 x 1 4 x 2 3 6 4 x 1 4 x 2 d 2 d 2 3 6
h
8
二、目标规划的基本概念
1、目标值和偏差变量 目标值:决策者对每一个目标都有一个期望值----或称为理想值. 正偏差变量：表示决策值（实现值）超过目标值 的数量，记为 d ； 负偏差变量:表示决策值（实现值）未达到目标 值的数量，记为 d .
d,d 0 dd 0
h
9
2、目标约束和绝对约束 绝对约束是指必须严格满足的等式约束和不等 式约束.如线性规划问题的所有约束条件，不能 满足这些约束条件的解称为非可行解，所以它 们是硬约束.如原材料短缺; 目标约束是目标规划特有的，可把约束右端看 作要追求的目标值，在达到此目标值时允许发 生正或负偏差；
h
13
三、目标规划的数学模型
例4.2 在例4.1中若工厂提出的管理目标按优先级排列 如下： P1 级目标：希望产品Ⅱ的产量不超过产品Ⅰ的一半； P2 级目标：最好能节约4小时设备工时； P 3 级目标：希望计划利润不小于48元； 由于原材料严重短缺，故原材料约束作为绝对约束.试 建立目标规划模型.
P kP k 1,k1 ,2 , ,K表示 Pk 比 Pk 1 有更大的优先权，
对相同优先因子的两个目标，赋予它们不同的权系数w j 优先因子和权系数一般根据题目要求而定。
h
11
4、目标规划的目标函数 目标规划的目标函数，是由各目标约束的偏差变量及相应的
优先因子和权系数构成，当一个目标规划确定后决策者的要求 是尽可能接近各既定目标值，也就是偏差变量尽可能小，

第4章目标规划

第4章目标规划
• min z=f(d++d-) • (2) 要求不超过目标值，即允许达不到目标值，就
是正偏差变量要尽可能地小。这时min z=f(d+) • (3) 要求超过目标值，即超过量不限，但必须是负
偏差变量要尽可能地小，这时min z=f(d-) • 对每一个具体目标规划问题，可根据决策者的要求
和赋予各目标的优先因子来构造目标函数，以下用 例子说明。
34
cij xij d10 d10 2950(110%)
i1 j1
• 因路段的问题，尽量避免安排将A2的产 品运往B4
• x24+d11--d11+=0 • 给B1和B3的供应率要相同 • (x11+x21+x31)-
(200/450)(x13+x23+x33)+d12--d12+=0
2x1 x2 11
x1

x2

d1

ห้องสมุดไป่ตู้
d1

0
满足约束条件： x1 2x2 d2 d2 10
8x1 10x2 d3 d3 56
x1, x2, di, di 0, i 1,2,3
目标规划的一般数学模型为
LK
目标函数： min z Pl (lk dk lk dk )
第4章 目标规划
• 第1节 目标规划的数学模型
• 第2节 解目标规划的图解法 • 第3节 解目标规划的单纯形法 • 第4节 灵敏度分析 • 第5节 应用举例
前言
前几章，所讨论的都是单目标的决策问题，但在现实 世界中，一个企业可能同时有多个目标：保持比较稳定 的价格和利润，提高产品的市场占有率，维持比较稳定 的职工队伍等。这些目标很难集中到一个目标上，而且 各个目标甚至相互矛盾，相互冲突。对于这类问题，我 们提出一种新的方案，目标规划。
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例4.1 某工厂生产两种产品，受到原材料供应和设备工时的限 制.在单件利润等有关数据已知的条件下，要求制订一个获利最 大的生产计划，具体数据见表4-1.
设产品Ⅰ、Ⅱ的产量分别为 x1, x2
，建立线性规划模型
m z = 6x1 +8x2 ax
5x1 +10x2 ≤ 60
4x1 + 4x2 ≤ 40
x1, x2 ≥ 0
解之得最优生产计划为
x1 = 8
x 件， 2 = 2 件，
利润为 zmax = 64 元. 工厂作决策时可能还需根据市场和工厂实际情况， 考虑其它问题，如： （1）由于产品Ⅱ销售疲软，故希望产品Ⅱ的产量不 1 超过产品Ⅰ的一半； （2）原材料严重短缺，原料数量只有60； （3）最好能节约4小时设备工时； （4）计划利润不少于48元.
解：设A、B、C三种产品的产量分别为 ， 单位工时的利润分别为1000/5=200、1440/8=180、 2520/12=210，故单位工时的利润比例为20:18:21， 于是得目标规划模型为：
综上分析，可得目标规划的一般模型 （4.2 ） s.t. （4.3） （4.4） （4.5） （4.6） 其中，式（4.2）是目标函数有L个目标，根据L个目标的优先程度，把它们分成K个 优先等级，即 ， 是权系数， 是正负偏差变量；式 （4.3)是目标约束， 是L个目标的期望值，一般都应同时引入下、 负偏差变量 ，但有时也可根据已知条件只引入单个 或 ；式（4.4） 是目标规划的绝对约束，通常是人力、物力、财力等资源的约束；式（4.5）、 （4.6）是目标规划的非负约束.
二、目标规划的基本概念
1、目标值和偏差变量 目标值:决策者对每一个目标都有一个期望值----或称为理想值. 正偏差变量：表示决策值（实现值）超过目标值 的数量，记为 d + ； 负偏差变量:表示决策值（实现值）未达到目标 值的数量，记为 d − .
d ,d ≥ 0
+ −
d ⋅d = 0
+
−
2、目标约束和绝对约束 绝对约束是指必须严格满足的等式约束和不等 式约束.如线性规划问题的所有约束条件，不能 满足这些约束条件的解称为非可行解，所以它 们是硬约束.如原材料短缺; 目标约束是目标规划特有的，可把约束右端看 作要追求的目标值，在达到此目标值时允许发 生正或负偏差； 如何写目标约束：对每个原始目标表达式（或 是等式、不等式，其右端为理想值）的左端都 加上负偏差变量、减去正偏差变量后，变换为 等式，即目标约束.
第二，线性规划最优解存在的前提条件是可行域为 非空集，否则，线性规划无解.然而实际问题中，有 时可能出现资源条件满足不了管理目标的要求的情 况，此时，仅做无解的结论是没有意义的； 第三，线性规划问题中的约束条件是不分主次、同 等对待的，是一律要满足的“硬约束”，而在实际 问题中，多个目标和多个约束条件并不一定是同等 重要的，而是有轻重缓急和主次之分的； 第四，线性规划的最优解可以说是绝对意义下的最 优，但很多实际只需（或只能）找出满意解就可以. 如对核电站设计问题中的若干目标.
第四章 目标规划
目标规划的数学模型 目标规划的图解法 解目标规划的单纯形法 应用举例
目标规划（Goal Programming，简记为GP）在 目标规划 线性规划 的基础上，为适应经济管理中多目标 决策的需要而逐步发展起来的一个运筹学分支， 是实行目标管理这种现代化管理技术的一个有 效工具.
目标规划的有关概念和模型最早在1961年由 美 国 学 者 查 恩 斯 （ A.Charnes） 和 库 伯 （W.W.Coopor）在他们合著的《管理模型和性 规划的工业应用》一书中提出，以后这种模型 又先后经尤吉·艾吉里（ Yuji.Ijiri）等人 的不断完善改进，1976年伊格尼齐奥 （J.P.Ignizio）发表了《目标规划及其扩展》 一书， 系统归纳总结了目标规划的理论和方 法目前研究较多的有线性目标规划、非线性目 标规划、线性整数目标规划和0～1目标规划等.
§4.1 目标规划问题及其数学模型
一、问题的提出
第一，线性规划是在一组线性约束条件下，寻求某 一项目标（如产量、利润或成本等）的最优值.而实 际问题中往往要考虑多个目标的决策问题.如核电站 的设计问题，传统的单目标规划只允许设定一个目标， 那么单一目标选择什么？是使整个电站建设费用为最 低，安全运行的可靠性最高，电能输出最大，还是对 周围环境的影响最小.显然，上述目标都很重要，且 又可能互相矛盾，若系统设计只选取一个目标，如建 设费用最低，这可能很容易达到，但这种选择的结果 将牺牲其它方面条件，如降低运行的安全可靠性或环 境条件的严重破坏.这是一个多目标决策问题，普通 的线性规划是无能为力的；
三、目标规划的数学模型
例4.2 在例4.1中若工厂提出的管理目标按优先级排列 如下：
P 级目标：希望产品Ⅱ的产量不超过产品Ⅰ的一半； 1
P 级目标：最好能节约4小时设备工时； 2
P 级目标：希望计划利润不小于48元； 3
由于原材料严重短缺，故原材料约束作为绝对约束.试 建立目标规划模型.
解：引入偏差变量 三个目标约束：
1 2 k k k +1
− 3
+ 3
P >> P +1, k = 1,2,⋯, K 表示 P 比 P +1 有更大的优先权， k k k k
对相同优先因子的两个目标，赋予它们不同的权系数 wj 优先因子和权系数一般根据题目要求而定。
4、目标规划的目标函数 目标规划的目标函数，是由各目标约束的偏差变量及相应的 优先因子和权系数构成，当一个目标规划确定后决策者的要求 是尽可能接近各既定目标值，也就是偏差变量尽可能小， 目标函数一定是极小化的，三种基本表达式. （1）要求恰好达到目标值.这时决策值超过或低于目标值都是 不希望的，因此有：
解：设 分别表示黑白和彩色电视机的产量，问题 的目标规划模型为
① ② ③ ④
其中在P3级目标中，因彩色电视机的利润是黑白电视 机利润的2倍，故取权系数为2.解题过程见图4-2. 满足P1,P2目标的解空间R2为四边形ABCD区域，考虑 P3的目标要求时，因 的权系数大于 的权系数， 故先取 =0，这时解空间为ABEF区域，在此区域 中，只有E点使 取值 最小，故取E点为满意解， 其坐标为（24,26），即该厂每周应装配彩色电视机 24台，黑白电视机26台.
m z = f (d + + d − ) in
（2）要求不超过目标值，即允许达不到目标值，就是正偏差 变量要尽可能地小，因此有：
m z = f (d + ) in
（3）要求不低于目标值，即允许超过目标值，就是负偏差变 量要尽可能地小，因此有：
m z = f (d − ) in
5、目标规划问题的解------------满意解 目标规划问题的求解是分级进行的，首先求满足 P 1 级目标的解，然后在保证 P 级目标不被破坏的前提下再 1 求满足 P 级目标的解. 以此类推. 2 因此，这样最后求出的解就不是通常意义下的最优解， 称之为满意解. 因为对于这种解来说，前面的目标是可以保证实现或 部分实现的，后面的目标就不一定能保证实现或部分实现， 有些可能就不能实现.满意解这一概念的提出是对最优化 概念的一个突破.显然它更切合实际，更便于运用.
例4.4 用图解法解
x2 L3 B
C F 解：CDEF内均为最优 解，无穷多最优解 D 0 E L4
L2
A xБайду номын сангаас L1
例4.5 某电视机厂装配黑白和彩色两种电视机，每 装配一台，电视机需占用装配线1小时，装配线每 周计划开动40小时，预计市场每周彩色电视机的销 量是24台，每台可获利80元，黑白电视机的销量是 30台，每台可获利40元，该厂确定的目标为： P1：充分利用装配线每周计划开动40小时； P2：允许装配线加班，但加班时间每周尽量不超过 10小时； P3：装配电视机的数量尽量满足市场需要. 试建立 该问题的目标规划模型，并用图解法求解黑白和彩 色电视机的产量.
§2 目标规划的图解法
用图解法解目标规划时，先在由决策变量 构成的平面 直角坐标系 的第一象限内作各约束条件.绝对约束条件 的作图与线性规划相同，作目标约束时，先令 =0，作 相应的直线，然后在这直线旁标上 , 增大的方向，在 此基础上，再按照优先级从高到低的顺序，逐个地考虑各个 目标约束.一般地，若优先因子 对应的解空间为 ，则 优先因子 对应的解空间只能在 中考虑，即 若 而 ，则 中的解为目标规划的满意解，它只 能保证满足 级目标，而不保证满足其后的各级目标.
P ：充分利用现有工时，必要时可以加班； 1 P ：A、B、C的最低产量分别为5、5、8台，并依单位 2 工时的利润比例确定权系数； P ：生产线的加班时间每月不超过20小时； 3 P ：A、B、C三种产品的月销售指标分别定为10、12、 4 10台，并依单位工时的利润比例确定权系数. 试建立目标规划模型.
L2
x2 C D H G
L3
L4 E F
0 故取E点为满意解，其坐标为（24,26）， Z*=4，
A
B
x1
L1
di− , di+ (i = 1,2,3)
按优先级确定目标函数， 级目标要求 标要求 ； 级目标要求 . 该问题的目标规划模型为：
；
级目
① ② ③ ④
（4.1）
该问题也可以这样处理，把绝对约束①化为目标约束
而把 级目标要求设为 得：
，其余依次后退优先级，
例4.3 某计算机制造厂生产A、B、C三种型号的计算 机，它们在同一条生产线上装配，三种产品的工时消耗 分别为5小时、8小时、12小时，生产线上每月正常运 转时间是170小时，这三种产品的利润分别为每台 1000元、1440元、2520元，该厂的经营目标为
x1 − 2x2 ≥ 0 ⇒ x1 − 2x2 + d − d = 0