不等式基本性质1
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教学设计一、教学目标1.知识与技能目标:(1)掌握不等式的基本性质.(2)经历通过类比、猜测、验证发现不等式基本性质的探索过程,初步体会不等式与等式的异同.2.过程与方法目标:(1)能说出一个不等式为什么可以从一种情势变形为另一种情势,发展其代数变形能力,养成步步有据、准确表达的良好学习习惯.(2)进一步发展学生的符号表达能力,以及提出问题、分析问题、解决问题的能力.3.情感态度与价值观目标目标:(1)尊重学生的个体差异,关注学生的学习情感和自信心的建立. (2)关注学生对问题的实质性认识与理解.二、教学重点与难点重点:探索不等式的基本性质,并能灵活地掌握和应用.难点:能根据不等式的基本性质进行化简.三、教学准备教具:多媒体、苹果、书本.学具:教材、笔、练习本.四、教学方法直观演示法、讲授法、自学指点法、小组合作探究法.五、学法指点引导学生学习、运用、视察、思考、抽象、归纳、分析、对照等方法. 六、教学过程本节课设计了五个教学环节:(一)情景引入,提出问题;(二)新知探究;(三)巩固练习;(四)例题讲授及运用巩固;(五)课堂小结;(六)当堂检测;(一)情景引入,提出问题老师手中呈现两本一模一样的书,假如其中一本书的质量为m㎏,另一本书的质量为n㎏,我们如何来表示这两本书的质量关系呢?现在,老师手中有两个苹果(一大一小),如果一个苹果的质量为c㎏,另一个的质量为d㎏,请问:你可以用一个怎样的式子来表示这两个苹果的质量关系呢?设计意图:由两本书的质量相同,引导学生得出m=n,通过直接视察得出两个苹果的质量关系为c>d,从而得出一个等式与一个不等式。
通过回顾等式的基本性质,引导学生类比等式的基本性质来探索不等式的基本性质。
(二)新知探究Ⅰ.对于4<6,那么(1)4+2 ____ 6+2 (2)4-2 ____ 6-2 (3)4+0____ 6+0 (4)4-0____6-0 类比“等式基本性质1”,尝试总不等式的性质.新知归纳:不等式的性质1:不等式的两边________,不等号的方向 ____ 。
不等式的性质一不等式是数学中常见的一种数值关系表达方式,用于描述两个数之间的大小关系。
与等式相比,不等式中的符号不仅包括等号(=),还包括大于号(>)、小于号(<)、大于等于号(≥)和小于等于号(≤)等。
不等式的性质是研究不等式在数学中的基本特点和规律的重要内容之一。
本文将介绍不等式的基本性质以及应用。
一、不等式的基本性质1. 传递性:对于任意实数 a、b、c,如果 a<b,b<c,则有 a<c。
这说明不等式的大小关系具有传递性,可以通过中间比较数来判断其他数的大小关系。
2. 反身性:对于任意实数 a,a=a。
这说明不等式中的等号是可以成立的,即两个相等的数之间也可以用等号连接。
3. 对称性:如果 a<b,则-b< -a。
这说明不等式中的大小关系在取反时保持不变,即如果一个数 a 小于另一个数 b,则取相反数后,-a 大于-b。
4. 加法性:对于任意实数 a、b、c,如果 a<b,则 a+c<b+c。
这说明不等式的大小关系在两边同时加上相同的数时保持不变,即两个不等式同时加上一个数,其大小关系不变。
5. 减法性:对于任意实数 a、b,如果 a<b,则 a-c<b-c。
这说明不等式的大小关系在两边同时减去相同的数时保持不变,即两个不等式同时减去一个数,其大小关系不变。
二、不等式的应用1. 求解不等式:不等式可以用来求解关于未知数的数值范围。
通过运用不等式性质,我们可以将复杂的不等式转化为简单的形式,并找到解集合。
例题1:求解不等式 2x-5<3。
解:首先,将不等式转化为简单形式,得到 2x<8。
然后,除以 2,得到 x<4。
所以,解集合为 x 的取值范围为 (-∞, 4)。
2. 不等式的证明:通过应用不等式的性质,可以进行不等式的证明。
证明不等式的方法包括直接证明法、间接证明法、数学归纳法等。
例题2:证明对于任意正实数 a,b,有a*b ≤ (a+b)/2²。
选修4-5 ⎪⎪⎪不等式选讲第一节绝对值不等式1.绝对值三角不等式定理1:如果a ,b 是实数,则|a +b |≤|a |+|b |,当且仅当ab ≥0时,等号成立. 定理2:如果a ,b ,c 是实数,那么|a -c |≤|a -b |+|b -c |,当且仅当(a -b )(b -c )≥0时,等号成立.2.绝对值不等式的解法(1)含绝对值不等式|x |<a 与|x |>a 的解法: 不等式 a >0a =0 a <0 |x |<a {}x |-a <x <a ∅∅ |x |>a {}x |x >a 或x <-a{}x |x ∈R 且x ≠0R(2)|ax +b |≤c (c >0)和|ax +b |≥c (c >0)型不等式的解法: ①|ax +b |≤c ⇔-c ≤ax +b ≤c ; ②|ax +b |≥c ⇔ax +b ≥c 或ax +b ≤-c .1.设a ,b 为满足ab <0的实数,那么( ) A .|a +b |>|a -b | B .|a +b |<|a -b | C .|a -b |<||a |-|b || D .|a -b |<|a |+|b | 解析:选B ∵ab <0, ∴|a -b |=|a |+|b |>|a +b |.2.若不等式|kx -4|≤2的解集为{}x |1≤x ≤3,则实数k =________. 解析:由|kx -4|≤2⇔2≤kx ≤6.∵不等式的解集为{}x|1≤x≤3,∴k=2.答案:23.函数y=|x-4|+|x+4|的最小值为________.解析:因为|x-4|+|x+4|≥|(x-4)-(x+4)|=8,所以所求函数的最小值为8.答案:84.不等式|x+1|-|x-2|≥1的解集是________.解析:令f(x)=|x+1|-|x-2|=⎩⎪⎨⎪⎧-3,x≤-1,2x-1,-1<x<2,3,x≥2.当-1<x<2时,由2x-1≥1,解得1≤x<2.又当x≥2时,f(x)=3>1恒成立.所以不等式的解集为{}x|x≥1.答案:{}x|x≥1考点一绝对值不等式的解法(基础送分型考点——自主练透)[考什么·怎么考]绝对值不等式的解法是每年高考的重点,既单独考查,也与函数的图象、含参问题等的综合考查,难度较小,属于低档题.(1)画出y=f(x)的图象;(2)求不等式|f(x)|>1的解集.解:(1)由题意得f(x)=⎩⎨⎧x-4,x≤-1,3x-2,-1<x≤32,-x+4,x>32,故y=f(x)的图象如图所示.(2)由f(x)的函数表达式及图象可知,当f(x)=1时,可得x=1或x=3;当f(x)=-1时,可得x=13或x=5.故f(x)>1的解集为{x|1<x<3},f(x)<-1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x⎪⎪x<13或x>5.所以|f(x)|>1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x⎪⎪x<13或1<x<3或x>5. 2.解下列不等式.(1)|2x+1|-2|x-1|>0;(2)|x+3|-|2x-1|<x2+1.解:(1)法一:原不等式可化为|2x+1|>2|x-1|,两边平方得4x2+4x+1>4(x2-2x+1),解得x>14,所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x>14.法二:原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x<-12,-(2x+1)+2(x-1)>0或⎩⎪⎨⎪⎧-12≤x ≤1,(2x +1)+2(x -1)>0或⎩⎪⎨⎪⎧x >1,(2x +1)-2(x -1)>0.解得x >14,所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >14.(2)①当x <-3时,原不等式化为-(x +3)-(1-2x )<x2+1,解得x <10,∴x <-3. ②当-3≤x ≤12时,原不等式化为(x +3)-(1-2x )<x2+1,解得x <-25,∴-3≤x <-25.③当x >12时,原不等式化为(x +3)+(1-2x )<x2+1,解得x >2,∴x >2.综上可知,原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <-25或x >2.[怎样快解·准解]绝对值不等式的常见3解法 (1)零点分段讨论法含有两个或两个以上绝对值符号的不等式,可用零点分段讨论法脱去绝对值符号,将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组),一般步骤如下:①令每个绝对值符号里的代数式为零,并求出相应的根; ②将这些根按从小到大排序,它们把实数集分为若干个区间;③在所分的各区间上,根据绝对值的定义去掉绝对值符号,求所得的各不等式在相应区间上的解集;④这些解集的并集就是原不等式的解集. (2)利用绝对值的几何意义由于|x -a |+|x -b |与|x -a |-|x -b |分别表示数轴上与x 对应的点到与a ,b 对应的点的距离之和与距离之差,因此对形如|x -a |+|x -b |<c (c >0)或|x -a |-|x -b |>c (c >0)的不等式,利用绝对值的几何意义求解更直观.(3)数形结合法在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象,利用函数图象求解.[易错提醒]用零点分段法和几何意义求解绝对值不等式时,去绝对值符号的关键点是找零点,将数轴分成若干段,然后从左到右逐段讨论.考点二绝对值三角不等式的应用(重点保分型考点——师生共研)应用绝对值三角不等式证明不等式或求最值是高考的常考内容,难度适中.[典题领悟]1.若对于实数x,y有|1-x|≤2,|y+1|≤1,求|2x+3y+1|的最大值.解:因为|2x+3y+1|=|2(x-1)+3(y+1)|≤2|x-1|+3|y+1|≤7,所以|2x+3y+1|的最大值为7.2.若a≥2,x∈R,求证:|x-1+a|+|x-a|≥3.证明:因为|x-1+a|+|x-a|≥|(x-1+a)-(x-a)|=|2a-1|,又a≥2,故|2a-1|≥3,所以|x-1+a|+|x-a|≥3成立.[解题师说]证明绝对值不等式的3种主要方法(1)利用绝对值的定义去掉绝对值符号,转化为一般不等式再证明.(2)利用三角不等式||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|进行证明.(3)转化为函数问题,利用数形结合进行证明.[冲关演练]已知x,y∈R,且|x+y|≤16,|x-y|≤14,求证:|x+5y|≤1.证明:∵|x+5y|=|3(x+y)-2(x-y)|.∴由绝对值不等式的性质,得|x+5y|=|3(x+y)-2(x-y)|≤|3(x+y)|+|2(x-y)|=3|x +y |+2|x -y |≤3×16+2×14=1.即|x +5y |≤1成立.考点三 绝对值不等式的综合应用 (重点保分型考点——师生共研)(2017·全国卷Ⅲ)已知函数f (x )=|x +1|-|x -2|. (1)求不等式f (x )≥1的解集;(2)若不等式f (x )≥x 2-x +m 的解集非空,求m 的取值范围. 解:(1)f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧-3,x <-1,2x -1,-1≤x ≤2,3,x >2.当x <-1时,f (x )≥1无解;当-1≤x ≤2时,由f (x )≥1,得2x -1≥1,解得1≤x ≤2; 当x >2时,由f (x )≥1,解得x >2. 所以f (x )≥1的解集为{x |x ≥1}.(2)由f (x )≥x 2-x +m ,得m ≤|x +1|-|x -2|-x 2+x .而|x +1|-|x -2|-x 2+x ≤|x |+1+|x |-2-x 2+|x |=-⎝⎛⎭⎫|x |-322+54≤54, 当且仅当x =32时,|x +1|-|x -2|-x 2+x =54.故m 的取值范围为⎝⎛⎦⎤-∞,54. [解题师说]设函数f (x )中含有绝对值,则 (1)f (x )>a 有解⇔f (x )max >a . (2)f (x )>a 恒成立⇔f (x )min >a .(3)f (x )>a 恰在(c ,b )上成立⇔c ,b 是方程f (x )=a 的解.[冲关演练]1.(2017·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )=-x 2+ax +4,g (x )=|x +1|+|x -1|. (1)当a =1时,求不等式f (x )≥g (x )的解集;(2)若不等式f (x )≥g (x )的解集包含[-1,1],求a 的取值范围. 解:(1)当a =1时,不等式f (x )≥g (x )等价于 x 2-x +|x +1|+|x -1|-4≤0. ①当x <-1时,①式化为x 2-3x -4≤0,无解;当-1≤x ≤1时,①式化为x 2-x -2≤0,从而-1≤x ≤1; 当x >1时,①式化为x 2+x -4≤0, 从而1<x ≤-1+172.所以f (x )≥g (x )的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪-1≤x ≤-1+172. (2)当x ∈[-1,1]时,g (x )=2.所以f (x )≥g (x )的解集包含[-1,1],等价于当x ∈[-1,1]时,f (x )≥2. 又f (x )在[-1,1]的最小值必为f (-1)与f (1)之一, 所以f (-1)≥2且f (1)≥2,得-1≤a ≤1. 所以a 的取值范围为[-1,1]. 2.已知函数f (x )=|2x -a |+a .(1)当a =2时,求不等式f (x )≤6的解集;(2)设函数g (x )=|2x -1|.当x ∈R 时,f (x )+g (x )≥3,求a 的取值范围. 解:(1)当a =2时,f (x )=|2x -2|+2. 解不等式|2x -2|+2≤6,得-1≤x ≤3. 因此f (x )≤6的解集为{x |-1≤x ≤3}.(2)当x ∈R 时,f (x )+g (x )=|2x -a |+a +|1-2x |≥3, 即⎪⎪⎪⎪x -a 2+⎪⎪⎪⎪12-x ≥3-a 2. 又⎝⎛⎭⎫⎪⎪⎪⎪x -a 2+⎪⎪⎪⎪12-x min =⎪⎪⎪⎪12-a 2, 所以⎪⎪⎪⎪12-a 2≥3-a 2,解得a ≥2.所以a 的取值范围是[2,+∞).1.已知函数f (x )=|x -4|+|x -a |(a ∈R)的最小值为a . (1)求实数a 的值; (2)解不等式f (x )≤5.解:(1)f (x )=|x -4|+|x -a |≥|a -4|=a , 从而解得a =2.(2)由(1)知,f (x )=|x -4|+|x -2|=⎩⎪⎨⎪⎧-2x +6,x ≤2,2,2<x ≤4,2x -6,x >4.故当x ≤2时,由-2x +6≤5,得12≤x ≤2,当2<x ≤4时,显然不等式成立, 当x >4时,由2x -6≤5,得4<x ≤112,故不等式f (x )≤5的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12≤x ≤112.2.(2018·石家庄质检)已知函数f (x )=|x -3|+|x +m |(x ∈R). (1)当m =1时,求不等式f (x )≥6的解集;(2)若不等式f (x )≤5的解集不是空集,求实数m 的取值范围. 解:(1)当m =1时,f (x )≥6等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤-1,-(x -3)-(x +1)≥6或⎩⎪⎨⎪⎧-1<x <3,-(x -3)+(x +1)≥6 或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥3,(x -3)+(x +1)≥6,解得x ≤-2或x ≥4,所以不等式f (x )≥6的解集为{x |x ≤-2或x ≥4}. (2)∵|x -3|+|x +m |≥|(x -3)-(x +m )|=|m +3|,∴f (x )min =|3+m |,∴|m +3|≤5, 解得-8≤m ≤2,∴实数m 的取值范围为[-8,2].3.(2018·郑州质检)已知函数f (x )=|2x +1|,g (x )=|x |+a . (1)当a =0时,解不等式f (x )≥g (x );(2)若存在x ∈R ,使f (x )≤g (x )成立,求实数a 的取值范围. 解:(1)当a =0时,由f (x )≥g (x ),得|2x +1|≥|x |, 两边平方整理得3x 2+4x +1≥0, 解得x ≤-1或x ≥-13,故原不等式的解集为(-∞,-1]∪⎣⎡⎭⎫-13,+∞. (2)由f (x )≤g (x ),得a ≥|2x +1|-|x |, 令h (x )=|2x +1|-|x |,则h (x )=⎩⎨⎧-x -1,x ≤-12,3x +1,-12<x <0,x +1,x ≥0,故h (x )min =h ⎝⎛⎭⎫-12=-12, 所以实数a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫-12,+∞. 4.已知函数f (x )=|4x -a |+a 2-4a (a ∈R). (1)当a =1时,求不等式-2≤f (x )≤4的解集;(2)设函数g (x )=|x -1|,若对任意的x ∈R ,f (x )-4g (x )≤6恒成立,求实数a 的取值范围.解:(1)f (x )=|4x -a |+a 2-4a , 当a =1时,f (x )=|4x -1|-3.因为-2≤f (x )≤4,所以1≤|4x -1|≤7,即⎩⎪⎨⎪⎧-7≤4x -1≤7,4x -1≥1或4x -1≤-1,解得-32≤x ≤0或12≤x ≤2,因此-2≤f (x )≤4的解集为⎣⎡⎦⎤-32,0∪⎣⎡⎦⎤12,2. (2)因为f (x )-4g (x )=|4x -a |+a 2-4a -4|x -1|≤|4x -a +4-4x |+a 2-4a =a 2-4a +|4-a |,所以a 2-4a +|4-a |≤6,当a ≥4时,a 2-4a +a -4≤6,得4≤a ≤5, 当a <4时,a 2-4a +4-a ≤6,得5-332≤a <4, 所以实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤5-332,5.5.设函数f (x )=|x +2|-|x -1|. (1)求不等式f (x )>1的解集;(2)若关于x 的不等式f (x )+4≥|1-2m |有解,求实数m 的取值范围. 解:(1)函数f (x )可化为f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧-3,x ≤-2,2x +1,-2<x <1,3,x ≥1,当x ≤-2时,f (x )=-3<0,不合题意;当-2<x <1时,f (x )=2x +1>1,得x >0,即0<x <1; 当x ≥1时,f (x )=3>1,即x ≥1.综上,不等式f (x )>1的解集为(0,+∞).(2)关于x 的不等式f (x )+4≥|1-2m |有解等价于(f (x )+4)max ≥|1-2m |,由(1)可知f (x )max =3(也可由|f (x )|=||x +2|-|x -1||≤|(x +2)-(x -1)|=3,得f (x )max =3), 即|1-2m |≤7,解得-3≤m ≤4. 故实数m 的取值范围为[-3,4].6.(2018·东北四市模拟)已知a >0,b >0,函数f (x )=|x +a |+|2x -b |的最小值为1. (1)证明:2a +b =2;(2)若a +2b ≥tab 恒成立,求实数t 的最大值.解:(1)证明:因为-a <b 2,所以f (x )=|x +a |+|2x -b |=⎩⎨⎧ -3x -a +b ,x <-a ,-x +a +b ,-a ≤x ≤b 2,3x +a -b ,x >b 2,显然f (x )在⎝⎛⎭⎫-∞,b 2上单调递减,在⎝⎛⎭⎫b 2,+∞上单调递增,所以f (x )的最小值为f ⎝⎛⎭⎫b 2=a +b 2,所以a +b 2=1,即2a +b =2. (2)因为a +2b ≥tab 恒成立,所以a +2b ab≥t 恒成立, a +2b ab =1b +2a =12⎝⎛⎭⎫1b +2a (2a +b ) =12⎝⎛⎭⎫5+2a b +2b a ≥12⎝⎛⎭⎫5+2 2a b ·2b a =92. 当且仅当a =b =23时,a +2b ab 取得最小值92, 所以t ≤92,即实数t 的最大值为92. 7.已知函数f (x )=|x +1|-2|x -a |,a >0.(1)当a =1时,求不等式f (x )>1的解集;(2)若f (x )的图象与x 轴围成的三角形面积大于6,求a 的取值范围.解:(1)当a =1时,f (x )>1化为|x +1|-2|x -1|-1>0.当x ≤-1时,不等式化为x -4>0,无解;当-1<x <1时,不等式化为3x -2>0,解得23<x <1; 当x ≥1时,不等式化为-x +2>0,解得1≤x <2.所以f (x )>1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪23<x <2. (2)由题设可得f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧ x -1-2a ,x <-1,3x +1-2a ,-1≤x ≤a ,-x +1+2a ,x >a .所以函数f (x )的图象与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a -13,0,B (2a +1,0),C (a ,a +1),所以△ABC 的面积为23(a +1)2. 由题设得23(a +1)2>6,故a >2. 所以a 的取值范围为(2,+∞).8.已知函数f (x )=|3x +2|.(1)解不等式f (x )<4-|x -1|;(2)已知m +n =1(m ,n >0),若|x -a |-f (x )≤1m +1n(a >0)恒成立,求实数a 的取值范围. 解:(1)不等式f (x )<4-|x -1|,即|3x +2|+|x -1|<4.当x <-23时,不等式化为-3x -2-x +1<4, 解得-54<x <-23; 当-23≤x ≤1时,不等式化为3x +2-x +1<4, 解得-23≤x <12; 当x >1时,不等式化为3x +2+x -1<4,无解.综上所述,原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |-54<x <12. (2)1m +1n =⎝⎛⎭⎫1m +1n (m +n )=1+1+n m +m n ≥4,当且仅当m =n =12时等号成立. 令g (x )=|x -a |-f (x )=|x -a |-|3x +2|=⎩⎪⎨⎪⎧ 2x +2+a ,x <-23,-4x -2+a ,-23≤x ≤a ,-2x -2-a ,x >a .∴x =-23时,g (x )max =23+a ,要使不等式恒成立,只需g (x )max =23+a ≤4, 解得0<a ≤103,所以实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤0,103.。
第二章一元一次不等式与一元一次不等式组
2.不等式的基本性质
甘肃省白银市靖远县第八中学胡凌霄
一、学生知识状况分析
本章是在学生学习了一元一次方程、二元一次方程组和一次函数的基础上,开始研究简单的不等关系。
学生已经掌握等式的基本性质,同时经历了解一元一次方程、二元一次方程组的研究过程及方法,为进一步学习不等式的基本性质奠定了基础。
学习时可以类比七年级上册学习的等式的基本性质。
二、教学任务分析
不等式是现实世界中不等关系的一种数学表示形式,它不仅是现阶段学生学习的重点内容,而且也是学生后续学习的重要基础。
经历通过类比、猜测、验证发现不等式基本性质的探索过程,初步体会不等式与等式的异同,掌握不等式的基本性质。
本节课教学目标:
(1)知识与技能目标:
①经历通过类比、猜测、验证发现不等式基本性质的探索过程,初步体会不等式与等式的异同。
②掌握不等式的基本性质,并能初步运用不等式的基本性质将比较简单的不等式转化为“x>a”或“x<a”的形式。
(2)过程与方法目标:
①能说出不等式为什么可以从一种形式变形为另一种形式,发展其代数变形能力,养成步步有据、准确表达的良好学习习惯。
②通过研究等式的基本性质过程类比研究不等式的基本性质过程,体会类比的数学方法。
③进一步发展学生的符号表达能力,以及提出问题、分析问题、解决问题的
能力。
(3)情感与态度目标:
①通过学生自我探索,发现不等式的基本性质,提高学生学习数学的兴趣和学好数学的自信心。
②尊重学生的个体差异,关注学生对问题的实质性认识与理解。
三、教学过程分析
本节课设计了五个教学环节:第一环节:情景引入,提出问题;第二环节:活动探究,验证明确结论;第三环节:例题讲解及运用巩固;第四环节:课堂小结;第五环节:布置作业。
第一环节:情景引入,提出问题
活动内容:利用班上同学站在不同的位置上比高矮。
请最高的同学和最矮的同学“同时站在地面上”,“矮的同学站在桌子上”,“高的同学站到楼下一楼”三种不同的情况下比较高矮。
问题1:怎样比才公平?
活动目的:让学生体会当两位同学同时增高相同的高度或同时减少相同的高度时,比较才是公平的,高的同学仍然高,矮的同学仍然矮,这是不可能改变的事实。
活动实际效果:学生对能自己参与的活动很感兴趣,体会到不相等的两个量的比较要在“公平”的情况下进行,即要加同时加,要减同时减。
第二环节:活动探究,验证明确结论
活动内容:参照教材与多媒体课件提出问题:
(1)还记得等式的基本性质吗?请用字母表示它。
不等式有类似的性质吗?先猜一猜。
(2)用等号或不等号完成下面的填空。
如果2 < 3;那么
2 × 5
3 × 5;
2 ×错误!未找到引用源。
3 ×错误!未找到引用源。
;
2 × (-1)
3 × (- 1);
2 × (- 5)
3 × (- 5);
2 × (-错误!未找到引用源。
)
3 × (-错误!未找到引用源。
).
(3) 验证你的结论,用字母表示你所发现的结论。
(4) 与同伴交流你的结论,并展示。
生1:等式的基本性质1用字母可以表示为:c b c a b a ±=±∴=, , 类似地得到,如果在不等式的两边都加上或都减去同一个整式,结果不等号方向不变。
字母表示为:∵a >b ,∴a ±c >b ±c ;或∵a >b ,∴a ±c <b ±c 。
生2:对于等式的基本性质2,用字母可以表示为: c b c a c b c a b a ÷=÷⨯=⨯∴=,, ,其中0≠c 。
经过前面的探索,可类似地得到:
如果不等式两边同时乘以(或除以)同一个正数,不等号方向不变;如果不等式两边同时乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向要发生改变。
字母表示如下:
c b c a c b c a c b a ÷>÷⨯>⨯∴>>,,0,
c b c a c b c a c b a ÷<÷⨯<⨯∴><,,0,
c b c a c b c a c b a ÷<÷⨯<⨯∴<>,,0,
c b c a c b c a c b a ÷>÷⨯>⨯∴<<,,0,
活动目的:通过等式的基本性质对比不等式的基本性质,由特殊的数值到字母代表数,从中归纳出一般性结论。
进一步发展学生的符号表达能力,以及提出问题、分析问题、解决问题的能力。
活动实际效果:以问题的形式引导学生从对比中自己先猜想不等式的基本性质、再通过具体数值验算性质、最后自己总结归纳出性质并能用字母表示出来。
因此在整个教学教程中,学生均处于主导地位,教师只是从旁引。
这时,学生对于由自己推导出性质应该感到非常兴奋。
第三环节:例题讲解及运用巩固
活动内容:
1、在上一节课中,我们猜想,无论绳长l 取何值,圆的面积总大于正方形的面积,即16
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2l l >π。
你相信这个结论吗?你能利用不等式的基本性质解释这一结论吗?
2、将下列不等式化成“a x >”或“a x <”的形式:
(1)15->-x (2)32>-x
练习设计:
1、将下列不等式化成“a x >”或“a x <”的形式:
(1)21>-x (2)65<-x (3)32
1≤x 2、已知y x >,下列不等式一定成立吗?
(1)66-<-y x (2)y x 33<
(3)y x 22-<- (4)1212+>+y x 3、小明做这样一题:已知2x>3x,求x 的范围。
结果小明两边同时除以x ,得到2>3。
你知道他错在哪?
活动目的:在讲解例题的过程中要求学生说出每一步变形的依据,加强学生对不等式的基本性质的理解。
随堂练习学生独立完成,师生共同讲解,能说出一个不等式为什么可以从一种形式变形为另一种形式,养成步步有据、准确表达的良好学习习惯,并通过这种方式达到熟练掌握不等式的基本性质的目的。
活动实际效果:学生在讲解例题与练习的过程中,思维非常活跃,都非常踊跃的举手要求上黑板示范,并且每一步变形的依据都能够集体回答或个别举手回答正确,黑板上的演示过程也十分规范,达到预期教学目的。
第四环节:课堂小结
活动内容:学生自己总结今天这节课有什么收获,思考后对全班说出,与全班同学讨论交流。
活动目的:学生说出自己的收获与感想与全班交流,若有任何疑问可以当堂提出供大家讨论。
教师要学会倾听并鼓励学生的回答,关注学生对问题的实质性
认识与理解,尊重学生的个体差异,关注学生的学习情感和自信心的建立。
活动实际效果:学生自我总结本节课所学到的知识和重点注意的问题,畅所欲言自己的切身感受与实际收获,除了今天所学新的内容之外,还复习巩固了等式的基本性质,体会新旧知识的联系与区别。
第五环节:布置作业
习题2.2
四、教学反思
本节课通过复习等式的基本性质,类比得出不等式的基本性质雏形。
教学中问题的设置通过与等式的基本性质相对比,引导学生自己先猜想不等式基本性质、再通过具体数值验算性质、最后自己总结归纳完善性质定理并能用字母表示出来。
在接下来的讲解例题与练习的过程中,每一步变形的依据都能够集体回答或个别举手回答正确,黑板上的演示过程也十分规范。
在整个教学过程中,学生始终处于主导地位,不等式的基本性质主要由学生自己推导得出。