第二章 应力理论和应变理论
2—3．试求图示单元体斜截面上的σ30°和τ30°（应力单位为MPa ）并说明使用材料力学求斜截面应力为公式应用于弹性力学的应力计算时，其符号及
30301026.768 6.77()
104sin 2cos 2sin 602cos 60
221
32 3.598 3.60()
22
x y xy MPa MPa σσστατα=
--=----+=⋅+=⋅-=-⨯-⨯=--
代入弹性力学的有关公式得： 己知 σx = -10 σy = -4 τxy = +2
3030(
)cos 2sin 22
2
1041041cos 602sin 6073222226.768 6.77()104
sin 2cos 2sin 602cos 60
22132 3.598 3.60()
2
x y
x y
xy x y xy MPa MPa σσσσσατα
σστατα+-=
++---+=
++=--⨯+⨯=----+=-⋅+=-⋅+=+⨯=
由以上计算知，材力与弹力在计算某一斜截面上的应力时，所使用的公式是不同的，所得结果剪应力的正负值不同，但都反映了同一客观实事。
2—6. 悬挂的等直杆在自重W 作用下（如图所示）。材料比重为γ弹性模量为 E ，横截面面积为A 。试求离固定端z 处一点C 的应变εz 与杆的总伸长量Δl 。
解：据题意选点如图所示坐标系xoz ，在距下端（原点）为z 处的c 点取一截面考虑下半段杆的平衡得：
题图
1-3
c 截面的内力：N z =γ·A ·z ； c 截面上的应力：z z N A z z A A
γσγ⋅⋅=
==⋅； 所以离下端为z 处的任意一点c 的线应变εz 为：
z
z z
E
E
σγε=
=
；
则距下端（原点）为z 的一段杆件在自重作用下，其伸长量为：
()2
2z
z
z
z
z z z z y z
z l d l d d zd E
E
E
γγ
γε=⎰⋅∆=⎰⋅=⎰
=
⎰=
；
显然该杆件的总的伸长量为（也即下端面的位移）：
()2
222l
l A l l
W l
l d l E
EA
EA
γγ⋅⋅⋅⋅⋅=⎰∆=
=
=
；（W=γAl ）
2—9.己知物体内一点的应力张量为：σij =500300800300
03008003001100-⎡⎤⎢⎥
+-⎢⎥
⎢⎥--⎣
⎦
应力单位为kg ／cm 2 。 试确定外法线为n i （也即三个方向余弦都相等）的微分斜截面上的总应力n P 、正应力σn 及剪应力τn 。
题—图
16
解：首先求出该斜截面上全应力n P 在x 、y 、z 三个方向的三个分量：n ＇=n x =n y =n z
P x =
()x xy xz σττ++n ＇=(
)2
538100++-⨯=⎡⎤⎣⎦
P y =
()yx y yz τστ++n ＇=(
)2
303100++-⨯=⎡⎤⎣⎦ P z =
()zx yz z ττσ++n ＇=()(
)2
8311100-+-+⨯=⎡⎤⎣⎦
所以知，该斜截面上的全应力n P 及正应力σn 、剪应力τn 均为零，也即： P n =σn = τn = 0
2—15.如图所示三角形截面水坝材料的比重为γ，水的比重为γ1。己求得应力解为：
σx =ax+by ，σy =cx+dy-γy ， τxy =-dx-ay ；
试根据直边及斜边上的边界条件，确定常数a 、b 、c 、d 。 解：首先列出OA 、OB 两边的应力边界条件：
OA 边：l 1=-1 ；l 2=0 ；T x = γ1y ； T y =0 则σx =-γ1y ； τ
xy =0
代入：σx =ax+by ；τxy =-dx-ay 并注意此时：x =0 得：b=-γ1；a =0；
OB 边：l 1=cos β；l 2=-sin β，T x =T y =0 则：cos sin 0
cos sin 0
x xy yx y σβτβτβσβ+=⎧⎨
+=⎩………………………………（a ）
将己知条件：σx= -γ1y ；τxy =-dx ； σy =cx+dy-γy 代入（a ）式得：
()
()()
1cos sin 0cos sin 0
y dx b dx cx dy y c γβββγβ-+=⎧⎪⎨--+-=⎪⎩
化简（b ）式得：d =γ1ctg 2β； 化简（c ）式得：c =γctg β-2γ1 ctg 3β
2—17.己知一点处的应力张量为3
1260610010000Pa ⎡⎤
⎢⎥⨯⎢⎥⎢⎥⎣⎦
试求该点的最大主应力及其主方向。
解：由题意知该点处于平面应力状态，且知：σx =12×103 σy =10×103 τxy =6×103，且该点的主应力可由下式求得：
(()()3
1.2333
3
121010
2217.0831******* 6.082810 4.9172410
x y
Pa σσσ⎡++⎢==⨯⎢⎣⨯=⨯=±⨯=⨯
则显然：3
312317.08310 4.917100Pa Pa σσσ=⨯=⨯=
σ1 与x 轴正向的夹角为：（按材力公式计算）
()22612
sin 226
12102
cos 2xy
x y
tg τθθσσθ--⨯-++
=
=
==+=--+
显然2θ为第Ⅰ象限角：2θ=arctg （+6）=+80.5376° 则：θ=+40.268840°16＇ 或（-139°44＇）
2—19.己知应力分量为：σx =σy =σz =τxy =0，τzy =a ，τzx =b ，试计算出主应力σ1、σ2、σ3并求出σ2的主方向。
解：由2—11题计算结果知该题的三个主应力分别为：
1σ=20σ=
；3σ=
设σ2与三个坐标轴x 、y 、z 的方向余弦为：l 21、l 22、l 23，于是将方向余弦和σ2值代入下式
即可求出σ2的主方向来。
()()
()()()()
2122223232122223232122232212201020
3x yx xz xz yx y yz zy zx zy z yx zy l l l l l l l l l l l l l σσττττσσττττσσττ⎧-++==⎪⎪
+-+==⎨⎪++-=+=⎪⎩
以及：()2
2
2
2122231
4l l l ++=
由（1）（2）得：l 23=0 由（3）得：
2122l a l b =-；2221l b l a
=-； 将以上结果代入（4
）式分别得：21l =
=
=
；
22l =
=
=
；
