四川省成都市树德中学2019-2020学年高一下学期其中考试数学试题

2019-2020学年高一第二学期期中数学试卷一、选择题.1．sin15°cos15°＝（）A．B．C．D．2．不等式3+5x﹣2x2＞0的解集为（）A．（﹣3，）B．（﹣∞，﹣3）∪（，+∞）C．（﹣，3）D．（﹣∞，﹣）∪（3，+∞）3．已知S n为等差数列{a n}的前n项和，若a4+a9＝10，则S12等于（）A．30B．45C．60D．1204．已知，则cos（π+α）＝（）A．B．C．D．5．若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有（）A．＞B．＜C．＞D．＜6．在△ABC中，a＝2b cos C，则这个三角形一定是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角D．等腰或直角三角形7．如图，要测出山上石油钻井的井架BC的高，从山脚A测得AC＝60m，塔顶B的仰角α＝45°，塔底C的仰角15°，则井架的高BC为（）A．m B．m C．m D．m8．已知x，y∈（0，+∞），且满足，那么x+4y的最小值为（）A．B．C．D．9．已知{a n}是等比数列，且a5＝，4a3+a7＝2，则a9＝（）A．2B．±2C．8D．10．已知，则tan2α＝（）A．B．C．D．11．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且BC边上的高为，则最大值为（）A．2B．C．2D．412．给出以下三个结论：①若数列{a n}的前n项和为S n＝3n+1（n∈N*），则其通项公式为a n＝2•3n﹣1；②已知a＞b，一元二次不等式ax2+2x+b≥0对于一切实数x恒成立，又存在x0∈R，使ax02+2x0+b＝0成立，则的最小值为2；③若正实数x，y满足x+2y+4＝4xy，且不等式（x+2y）a2+2a+2xy﹣34≥0恒成立，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣3]∪[，+∞）．其中正确的个数为（）A．0B．1C．2D．3二、填空题13．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且a＝3，c＝1，，则b的值为．14．数列{a n}中，a1＝1，a n+1＝，则数列{a n}的通项公式a n＝．15．已知，且，则cos2α＝．16．已知函数f（x）是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意实数x，y满足：f（2）＝2，f（xy）＝xf（y）+yf（x），a n＝（n∈N*），b n＝（n∈N*），考查下列结论：①f（1）＝1；②f（x）为奇函数；③数列{a n}为等差数列；④数列{b n}为等比数列．以上命题正确的是．三、解答题17．已知不等式ax2+x+c＞0的解集为{x|1＜x＜3}．（1）求a，c的值；（2）若不等式ax2+2x+4c＞0的解集为A，不等式3ax+cm＜0的解集为B，且A⊂B，求实数m的取值范围．18．已知A、B、C为△ABC的三个内角，且其对边分别为a、b、c，若cos B cos C﹣sin B sin C ＝．（1）求角A；（2）若a＝2，b+c＝4，求△ABC的面积．19．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足S4＝24，S7＝63．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n＝，求数列{b n}的前n项和T n．20．已知向量＝（sin，1），＝（cos，cos2）．若f（x）＝•（1）求f（x）递增区间；（2）△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且（2a﹣c）cos B＝b cos C，求f （A）的取值范围．21．设数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，且对任意正整数n，满足2a n+1+S n﹣2＝0．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n＝na n，求数列{b n}的前n项和T n．22．.已知数列{a n}，{b n}满足：a n+b n＝1，b n+1＝，且a1，b1是函数f（x）＝16x2﹣16x+3的零点（a1＜b1）．（1）求a1，b1，b2；（2）设c n＝，求证：数列{c n}是等差数列，并求b n的通项公式；（3）设S n＝a1a2+a2a3+a3a4+…+a n a n+1，不等式4aS n＜b n恒成立时，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题1．sin15°cos15°＝（）A．B．C．D．【分析】由正弦的倍角公式变形即可解之．解：因为sin2α＝2sinαcosα，所以sin15°cos15°＝sin30°＝．故选：A．2．不等式3+5x﹣2x2＞0的解集为（）A．（﹣3，）B．（﹣∞，﹣3）∪（，+∞）C．（﹣，3）D．（﹣∞，﹣）∪（3，+∞）【分析】把不等式化为一般形式，求出解集即可．解：不等式3+5x﹣2x2＞0可化为2x2﹣5x﹣3＜0，即（2x+1）（x﹣3）＜0，解得﹣＜x＜3，所以原不等式的解集为（﹣，3）．故选：C．3．已知S n为等差数列{a n}的前n项和，若a4+a9＝10，则S12等于（）A．30B．45C．60D．120【分析】利用等差数列的性质与求和公式即可得出．解：由等差数列的性质可得：．故选：C．4．已知，则cos（π+α）＝（）A．B．C．D．【分析】利用诱导公式先求出cosα＝，cos（π+α）＝﹣cosα，由此能求出结果．解：∵，∴cosα＝，∴cos（π+α）＝﹣cosα＝﹣．故选：A．5．若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有（）A．＞B．＜C．＞D．＜【分析】利用特例法，判断选项即可．解：不妨令a＝3，b＝1，c＝﹣3，d＝﹣1，则，，∴A、B不正确；，＝﹣，∴C不正确，D正确．解法二：∵c＜d＜0，∴﹣c＞﹣d＞0，∵a＞b＞0，∴﹣ac＞﹣bd，∴，∴．故选：D．6．在△ABC中，a＝2b cos C，则这个三角形一定是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角D．等腰或直角三角形【分析】由已知及余弦定理即可解得b＝c，从而得解．解：∵，又∵cos C＝，∴＝，整理可得：b2＝c2，∴解得：b＝c．即三角形一定为等腰三角形．故选：A．7．如图，要测出山上石油钻井的井架BC的高，从山脚A测得AC＝60m，塔顶B的仰角α＝45°，塔底C的仰角15°，则井架的高BC为（）A．m B．m C．m D．m【分析】由图和测得的仰角求出∠BAC和∠ABC，放在△ABC中利用正弦定理求出BC 的长度．解：由题意得，∠BAC＝45°﹣15°＝30°，∠ABC＝α＝45°，且AC＝60m，在△ABC中，由正弦定理得，，即，解得BC＝30（m），故选：B．8．已知x，y∈（0，+∞），且满足，那么x+4y的最小值为（）A．B．C．D．【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．解：∵x，y∈（0，+∞），且满足，那么x+4y＝（x+4y）＝3+≥3+2＝3+2，当且仅当x＝2y＝1+时取等号．∴最小值为3+2．故选：B．9．已知{a n}是等比数列，且a5＝，4a3+a7＝2，则a9＝（）A．2B．±2C．8D．【分析】由已知列式求得a3，进一步求得公比，再由等比数列的通项公式求得a9．解：在等比数列{a n}中，由，得，又4a3+a7＝2，联立解得：．则q＝，∴．故选：A．10．已知，则tan2α＝（）A．B．C．D．【分析】将已知等式两边平方，利用二倍角公式，同角三角函数基本关系式即可化简求值得解．解：∵，∴，化简得4sin2α＝3cos2α，∴，故选：C．11．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且BC边上的高为，则最大值为（）A．2B．C．2D．4【分析】由已知可得：a×＝，可得2bc sin A＝a2＝b2+c2﹣2bc cos A，＝2sin A+2cos A＝2sin，即可得出．解：由已知可得：a×＝，可得2bc sin A＝a2＝b2+c2﹣2bc cos A，∴＝2sin A+2cos A＝2sin≤2，当且仅当A＝时取等号．故选：C．12．给出以下三个结论：①若数列{a n}的前n项和为S n＝3n+1（n∈N*），则其通项公式为a n＝2•3n﹣1；②已知a＞b，一元二次不等式ax2+2x+b≥0对于一切实数x恒成立，又存在x0∈R，使ax02+2x0+b＝0成立，则的最小值为2；③若正实数x，y满足x+2y+4＝4xy，且不等式（x+2y）a2+2a+2xy﹣34≥0恒成立，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣3]∪[，+∞）．其中正确的个数为（）A．0B．1C．2D．3【分析】①根据数列的前n项和求出通项公式，判断①错误；②根据一元二次不等式恒成立以及特称命题求得ab的关系，再利用换元法求出的最小值，判断②正确；③利用基本不等式求出xy的最小值，再转化为关于a的不等式，求出实数a的取值范围，判断③正确．解：对于①，数列{a n}的前n项和为S n＝3n+1（n∈N*），∴S n﹣1＝3n﹣1+1（n≥2），∴a n＝S n﹣S n﹣1＝3n﹣3n﹣1＝2•3n﹣1（n≥2），又a1＝S1＝4，∴通项公式为a n＝，①错误；对于②，a＞b时，一元二次不等式ax2+2x+b≥0对于一切实数x恒成立，∴，∴a＞0，且ab≥1；又存在x0∈R，使ax02+2x0+b＝0成立，可得△＝0，∴ab＝1，∴a＞1；∴＝＝＞0；∴＝＝＝，令a2+＝t，则t＞2，∴＝＝＝（t﹣2）+4+≥2+4＝8，当且仅当t＝4时“＝”成立；∴的最小值为8，即的最小值为＝2，②正确；对于③，正实数x，y满足x+2y+4＝4xy，可得x+2y＝4xy﹣4，∴不等式（x+2y）a2+2a+2xy≥34恒成立，即（4xy﹣4）a2+2a+2xy≥34恒成立，变形可得2xy（2a2+1）≥4a2﹣2a+34恒成立，即xy≥恒成立，∵x＞0，y＞0，∴x+2y≥2，∴4xy＝x+2y+4≥4+2，即2﹣•﹣2≥0，解不等式可得≥，或≤﹣（舍负）可得xy≥2，要使xy≥恒成立，只需2≥恒成立，化简可得2a2+a﹣15≥0，即（a+3）（2a﹣5）≥0，解得a≤﹣3或a≥，∴实数a的取值范围是（﹣∞，﹣3]∪[，+∞），③正确．综上，正确的命题是②③．故选：C．二、填空题13．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且a＝3，c＝1，，则b的值为．【分析】由余弦定理可得b2＝a2+c2﹣2ac cos B，代入计算即可得到所求值．解：a＝3，c＝1，，由余弦定理可得b2＝a2+c2﹣2ac cos B＝9+1﹣2×3×1×＝7，可得b＝．故答案为：．14．数列{a n}中，a1＝1，a n+1＝，则数列{a n}的通项公式a n＝．【分析】由a1＝1，a n+1＝，两边取倒数可得：＝，即﹣＝，再利用等差数列的通项公式即可得出．解：由a1＝1，a n+1＝，两边取倒数可得：＝，即﹣＝，∴数列是等差数列，首项为1，公差为．∴＝1+（n﹣1），解得a n＝．故答案为：．15．已知，且，则cos2α＝．【分析】将已知等式左边利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，求出sinα﹣cosα的值，两边平方并利用同角三角函数间的基本关系化简求出2sinαcosα的值大于0，由α的范围，得到sinα大于0，cosα大于0，利用完全平方公式求出sinα+cosα的值，将所求式子利用二倍角的余弦函数公式化简，再利用平方差公式变形，将各自的值代入即可求出值．解：∵sin（α﹣）＝（sinα﹣cosα）＝，∴sinα﹣cosα＝，∴（sinα﹣cosα）2＝1﹣2sinαcosα＝，即2sinαcosα＝＞0，∵，∴sinα＞0，cosα＞0，即sinα+cosα＞0，∴（sinα+cosα）2＝1+2sinαcosα＝，∴sinα+cosα＝，则cos2α＝cos2α﹣sin2α＝（cosα+sinα）（cosα﹣sinα）＝×（﹣）＝．故答案为：．16．已知函数f（x）是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意实数x，y满足：f（2）＝2，f（xy）＝xf（y）+yf（x），a n＝（n∈N*），b n＝（n∈N*），考查下列结论：①f（1）＝1；②f（x）为奇函数；③数列{a n}为等差数列；④数列{b n}为等比数列．以上命题正确的是②③④．【分析】利用抽象函数的关系和定义，利用赋值法分别进行判断即可．解：（1）因为对定义域内任意x，y，f（x）满足f（xy）＝yf（x）+xf（y），∴令x＝y＝1，得f（1）＝0，故①错误，（2）令x＝y＝﹣1，得f（﹣1）＝0；令y＝﹣1，有f（﹣x）＝﹣f（x）+xf（﹣1），代入f（﹣1）＝0得f（﹣x）＝﹣f（x），故f（x）是（﹣∞，+∞）上的奇函数．故②正确，（3）若，则a n﹣a n﹣1＝﹣＝＝＝为常数，故数列{a n}为等差数列，故③正确，④∵f（2）＝2，f（xy）＝xf（y）+yf（x），∴当x＝y时，f（x2）＝xf（x）+xf（x）＝2xf（x），则f（22）＝4f（2）＝8＝2×22，f（23）＝22f（2）+2f（22）＝23+2×23═3×23，…则f（2n）＝n×2n，若，则＝＝＝＝2为常数，则数列{b n}为等比数列，故④正确，故答案为：②③④．三、解答题17．已知不等式ax2+x+c＞0的解集为{x|1＜x＜3}．（1）求a，c的值；（2）若不等式ax2+2x+4c＞0的解集为A，不等式3ax+cm＜0的解集为B，且A⊂B，求实数m的取值范围．【分析】（1）由一元二次不等式和对应方程的关系，利用根与系数的关系即可求出a、c的值；（2）由（1）中a、c的值求解不等式ax2+2x+4c＞0，再根据真子集的定义求出m的取值范围．解：（1）∵不等式ax2+x+c＞0的解集为{x|1＜x＜3}，∴1、3是方程ax2+x+c＝0的两根，且a＜0，…（1分）所以；…解得a＝﹣，c＝﹣；…（2）由（1）得a＝﹣，c＝﹣，所以不等式ax2+2x+4c＞0化为﹣x2+2x﹣3＞0，解得2＜x＜6，∴A＝{x|2＜x＜6}，又3ax+cm＜0，即为x+m＞0，解得x＞﹣m，∴B＝{x|x＞﹣m}，…∵A⊂B，∴{x|2＜x＜6}⊂{x|x＞﹣m}，∴﹣m≤2，即m≥﹣2，∴m的取值范围是[2，+∞）．…18．已知A、B、C为△ABC的三个内角，且其对边分别为a、b、c，若cos B cos C﹣sin B sin C ＝．（1）求角A；（2）若a＝2，b+c＝4，求△ABC的面积．【分析】（1）已知等式左边利用两角和与差的余弦函数公式化简，求出cos（B+C）的值，确定出B+C的度数，即可求出A的度数；（2）利用余弦定理列出关系式，再利用完全平方公式变形，将a与b+c的值代入求出bc的值，再由sin A的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC面积．解：（1）在△ABC中，∵cos B cos C﹣sin B sin C＝，∴cos（B+C）＝，又∵0＜B+C＜π，∴B+C＝，∵A+B+C＝π，∴A＝；（Ⅱ）由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bc•cos A，得（2）2＝（b+c）2﹣2bc﹣2bc•cos，把b+c＝4代入得：12＝16﹣2bc+bc，整理得：bc＝4，则△ABC的面积S＝bc sin A＝×4×＝．19．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足S4＝24，S7＝63．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n＝，求数列{b n}的前n项和T n．【分析】（1）利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．（2）利用等比数列的求和公式即可得出．解：（1）∵{a n}为等差数列，S4＝24，S7＝63．∴，解得，∴a n＝2n+1．（2）∵，∴．20．已知向量＝（sin，1），＝（cos，cos2）．若f（x）＝•（1）求f（x）递增区间；（2）△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且（2a﹣c）cos B＝b cos C，求f （A）的取值范围．【分析】（1）求出函数的解析式，根据正弦函数的性质求出函数的递增区间即可；（2）根据正弦定理得到B的值，求出f（A）的解析式，根据三角函数的性质求出f（A）的范围即可．解：（1）f（x）＝•＝＝＝，…由得：，∴f（x）的递增区间为…（2）∵（2a﹣c）cos B＝b cos C，由正弦定理得（2sin A﹣sin C）cos B＝sin B cos C，∴2sin A cos B﹣sin C cos B＝sin B cos C，∴2sin A cos B＝sin（B+C），∵A+B+C＝π，∴sin（B+C）＝sin A≠0，∴…∵0＜B＜π，∴，∴，∴，，又∵，∴，故函数f（A）的取值范围是…21．设数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，且对任意正整数n，满足2a n+1+S n﹣2＝0．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n＝na n，求数列{b n}的前n项和T n．【分析】（1）由n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1，将n换为n﹣1相减，结合等比数列的定义和通项公式，即可得到所求；（2）求得，运用数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，化简整理，即可得到所求和．解：（1）∵2a n+1+S n﹣2＝0，∴当n≥2时，2a n+S n﹣1﹣2＝0，两式相减得2a n+1﹣2a n+S n﹣S n﹣1＝0，2a n+1﹣2a n+a n＝0，∴；又当n＝1时，，即，∴{a n}是以首项a1＝1，公比的等比数列，∴数列{a n}的通项公式为；（2）由（1）知，，则，①Tn＝+++…++，②①﹣②得＝，所以，数列{b n}的前n项和为．22．.已知数列{a n}，{b n}满足：a n+b n＝1，b n+1＝，且a1，b1是函数f（x）＝16x2﹣16x+3的零点（a1＜b1）．（1）求a1，b1，b2；（2）设c n＝，求证：数列{c n}是等差数列，并求b n的通项公式；（3）设S n＝a1a2+a2a3+a3a4+…+a n a n+1，不等式4aS n＜b n恒成立时，求实数a的取值范围．【分析】（1）由16x2﹣16x+3＝0解得：，可得a1，b1．由，得，可得b2．（2）由，可得．即c n+1＝c n﹣1，利用等差数列的通项公式可得c n，b n．（3）利用“裂项求和”方法可得S n，对a分类讨论，通过转化利用单调性即可得出．解：（1）由16x2﹣16x+3＝0解得：，∴．由，得，将代入得．（2）∵，∴．即c n+1＝c n﹣1，又．故：数列{c n}是以﹣4为首项，﹣1为公差的等差数列．于是c n＝﹣4+（n﹣1）×（﹣1）＝﹣n﹣3，由得．（3）不由题意及（2）知：．＝＝．∴S n＝a1a2+a2a3+a3a4+…+a n a n+1＝+…+＝＝．由恒成立，即（a﹣1）n2+（3a﹣6）n﹣8＜0恒成立即可，）设f（n）＝（a﹣1）n2+（3a﹣6）n﹣8①当a＝1时，f（n）＝﹣3n﹣8＜0恒成立②当a＞1时，由二次函数的性质f（n）＝（a﹣1）n2+（3a﹣6）n﹣8＜0不可能恒成立．③当a＜1时，由于，∴f（n）＝（a﹣1）n2+（3a﹣6）n﹣8在[1，+∞）上单调递减，由f（1）＝（a﹣1）n2+（3a﹣6）n﹣8＝4a﹣15＜0得，∴a＜1，4aS n＜b n恒成立．综上所述：所求a的取值范围是（﹣∞，1]．。

2019-2020学年高一上数学期中模拟试卷含答案（考试时间：120分钟 分值：120分）一、选择题（每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1．集合{}|19,*M x x x N =<<∈，{}9,8,7,5,3,1=N ，则M N ⋂=( ) A ．{}9,8,7,5,3 B ．{}1,3,5 C ．{}8,7,5,3 D ．{}1,3,5,7 2．下列函数在R 上单调递增的是( )A.||y x =B.lg y x =C.21x y = D.2xy =3．如图所示，U 是全集，A ，B 是U 的子集，则阴影部分所表示的集合是( )A ．A ∩BB ．A ∪BC ．B ∩∁U AD ．A ∩∁U B4．下列各组中的函数)(x f 与)(x g 相等的是（ ）A ．2)()(,)(x x g x x f ==B ．x x g x x f ==)(,)(2C ．1)(,11)(2-=+-=x x g x x x f D. xxx g x x f ==)(,)(0 5．函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0>x 时，)1()(x x x f +=，则当0<x 时，()f x 等于( ) A ．)1(x x -- B ．)1(x x - C ．)1(x x +- D ．)1(x x +6．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≤>=0,20,log )(21x x x x f x，则))2((f f 的值是( ) A ．2B．D．2-7. 已知函数62)(2+-=kx x x f 在（5，10）上有单调性，则实数k 的取值范围是（ ）A.（∞-，20]B.（),40[]20,+∞⋃∞-C.[20,40]D.),40[+∞ 8．三个数26.0=a ，6.0log 2=b ，6.02=c 之间的大小关系是( )A ．b <a <cB ．a <c <bC ．a <b <cD ．b <c <a9．函数|1|ln )(-=x x f 的图象大致是( )10．设()f x 是偶函数，且在(0,)+∞内是减函数，又(3)0f -=，则0)(>x xf 的解集是( )A ．{}|303x x x -<<>或 B. {}|33x x x <->或 C. {}|3003x x x -<<<<或 D. {}|303x x x <-<<或 二、填空题（每小题5分，满分20分）11. 已知)(x f y =在定义域R 上为减函数，且(1)(21)f a f a -<-，则a 的取值范围是 .12. 已知集合A={1,log 2>=x xy y }, B={1,)21(>=x y y x}, 则=⋂B A _______.13. 已知函数62)(35-++=bx ax x x f ,且,10)2(=-f 则=)2(f _______.14．用{}min ,a b 表示,a b 两个数中的较小值．设1()min{21,}(0)f x x x x=->，则()f x 的最大值为__________.三.解答题(本大题6小题,满分60分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上)15. （本题满分10分）计算下列各题(1) 已知51=+-xx ，求22-+x x 的值.(2) 已知632==ba，求ba 11+的值.16.（本题满分10分）314)(++-=x x x f 的定义域为A ,}11{a x a x B +<<-=（1）求集合A.（2）若全集}5{≤=x x U ，2=a ，求)(B C A U ⋂. （3）若A B ⊆,求a 的取值范围.17．（本小题满分10分） 已知函数122)(+-=xm x f 是R 上的奇函数， （1）求m 的值； （2）先判断()f x 的单调性，再利用定义证明.18. （本小题满分10分）已知函数)21(log )(x x f a -= )1,0(≠>a a 在区间[]1,4[--上的最大值比最小值大21，求a 的值.19. (本小题满分10分)已知函数)(x f 是定义在),0(+∞上的减函数，且满足1)31(=f ，)()()(y f x f y x f +=⋅ （1）求)1(f 的值；（2）若2)2()(<-+x f x f ，求x 的取值范围．20. (本小题满分10分)已知函数)12(log )(+=x x f a ，)21(log )(x x g a -=（a>0且a ≠1） （1）求函数()()()F x f x g x =-的定义域;（2）判断()()()F x f x g x =-的奇偶性，并说明理由;（3）确定x 为何值时，有0)()(>-x g x f .一、选择题：二、填空题： 11．32<a 12. )21,0( 13.22- 14. 1 三、解答题： 15.(1)23 (2)1 16.(1)]4,3(-（2）}43{≤≤=⋂x x B C A U (3)①0,11,≤∴+>-=a a a B φ②30430314111,≤<∴⎪⎩⎪⎨⎧≤≤>∴⎪⎩⎪⎨⎧-≥-≤+->+≠a a a a a a a a B φ 综上：3≤a17.（1） ∴=0)0(f 1=m ，代入)(x f 检验)()(x f x f -=-成立.（或直接利用定义） （2）单调递增，利用定义证。

2019-2020学年四川省成都市高一（下）期中数学试卷一、选择题1. sin15∘cos15∘＝（）A.1 4B.√34C.12D.√322. 不等式3+5x−2x2>0的解集为（）A.(−3, 12) B.(−∞, −3)∪(12, +∞)C.(−12, 3) D.(−∞, −12)∪(3, +∞)3. 已知S n为等差数列{a n}的前n项和，若a4+a9＝10，则S12等于（）A.30B.45C.60D.1204. 已知sin(π2−α)=35，则cos(π+α)的值为( )A.4 5B.−45C.35D.−355. 若a>b>0，c<d<0，则一定有()A.ac >bdB.ac<bdC.ad>bcD.ad<bc6. 在△ABC中，a＝2b cos C，则这个三角形一定是（）A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角D.等腰或直角三角形7. 如图，要测出山上石油钻井的井架BC的高，从山脚A测得AC＝60m，塔顶B的仰角α＝45∘，塔底C的仰角15∘，则井架的高BC为（）A.20√2m B.30√2m C.20√3m D.30√3m8. 已知x，y∈(0, +∞)，且满足1x+12y=1，那么x+4y的最小值为（）A.3−√2B.3+2√2C.3+√2D.4√29. 已知{a n}是等比数列，且a5=12，4a3+a7＝2，则a9＝（）A.2B.±2C.8D.1810. 已知sinα−2cosα=√102，则tan2α＝（）A.43B.−34C.34D.−4311. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且BC边上的高为a2，则cb+bc最大值为（）A.2B.√2C.2√2D.412. 给出以下三个结论：①若数列{a n}的前n项和为S n＝3n+1(n∈N∗)，则其通项公式为a n＝2⋅3n−1；②已知a>b，一元二次不等式ax2+2x+b≥0对于一切实数x恒成立，又存在x0∈R，使ax02+2x0+b＝0成立，则a2+b2a−b的最小值为2√2；③若正实数x，y满足x+2y+4＝4xy，且不等式(x+2y)a2+2a+2xy−34≥0恒成立，则实数a的取值范围是(−∞, −3]∪[52, +∞)．其中正确的个数为（）A.0B.1C.2D.3二、填空题在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且a＝3，c＝1，B=π3，则b的值为________．数列{a n}中，a1=1，a n+1=2a na n+2，则数列{a n}的通项公式a n=________．已知0<α<3π4，且sin(α−π4)=35，则cos2α＝________．已知函数f(x)是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意实数x，y满足：f(2)＝2，f(xy)＝xf(y)+yf(x)，a n=f(2n)2n (n∈N∗)，b n=f(2n)n(n∈N∗)，考查下列结论：①f(1)＝1；②f(x)为奇函数；③数列{a n}为等差数列；④数列{b n}为等比数列．以上命题正确的是________．三、解答题已知不等式ax2+x+c>0的解集为{x|1<x<3}．（1）求a，c的值；（2）若不等式ax2+2x+4c>0的解集为A，不等式3ax+cm<0的解集为B，且A⊂B，求实数m的取值范围．已知A、B、C为△ABC的三个内角，且其对边分别为a、b、c，若cos B cos C−sin B sin C=12．（1）求角A；（2）若a＝2√3，b+c＝4，求△ABC的面积．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足S4＝24，S7＝63．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=2a n，求数列{b n}的前n项和T n．已知向量m→=(√3sin x4, 1)，n→=(cos x4, cos2x4)．若f(x)=m→⋅n→（1）求f(x)递增区间；（2）△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且(2a−c)cos B＝b cos C，求f(A)的取值范围．设数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，且对任意正整数n，满足2a n+1+S n−2＝0．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n＝na n，求数列{b n}的前n项和T n．.已知数列{a n}，{b n}满足：a n+b n＝1，b n+1=b n(1−a n)(1+a n)，且a1，b1是函数f(x)＝16x2−16x+3的零点(a1<b1)．（1）求a1，b1，b2；（2）设c n=1b n−1，求证：数列{c n}是等差数列，并求b n的通项公式；（3）设S n＝a1a2+a2a3+a3a4+...+a n a n+1，不等式4aS n<b n恒成立时，求实数a的取值范围．参考答案与试题解析2019-2020学年四川省成都市高一（下）期中数学试卷一、选择题1.【答案】A【考点】二倍角的三角函数【解析】由正弦的倍角公式变形即可解之．【解答】因为sin2α＝2sinαcosα，所以sin15∘cos15∘=12sin30∘=14．【点评】本题考查正弦的倍角公式．2.【答案】C【考点】一元二次不等式的解法【解析】把不等式化为一般形式，求出解集即可．【解答】解：不等式3+5x−2x2>0可化为2x2−5x−3<0，即(2x+1)(x−3)<0，解得−12<x<3，所以原不等式的解集为(−12, 3)．故选C.【点评】本题考查了一元二次不等式的解法问题，是基础题目．3.【答案】C【考点】等差数列的前n项和【解析】利用等差数列的性质与求和公式即可得出．【解答】由等差数列的性质可得：S12=(a1+a12)×122=6×(a4+a9)=60．【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4.【答案】D【考点】三角函数的化简求值【解析】利用诱导公式先求出cosα=35，cos(π+α)=−cosα，由此能求出结果．【解答】解：∵sin(π2−α)=35，∴cosα=35，∴cos(π+α)=−cosα=−35．故选D.【点评】本题考查三角函数值的求法，考查诱导公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．5.【答案】D【考点】不等式性质的应用不等式比较两数大小【解析】利用特例法，判断选项即可．【解答】解：不妨令a=3，b=1，c=−3，d=−1，则ac=−1，bd=−1，∴A，B不正确；ad=−3，bc=−13，∴C不正确，D正确．故选D．【点评】本题考查不等式比较大小，特值法有效，导数计算正确．6.【答案】A【考点】正弦定理【解析】由已知及余弦定理即可解得b＝c，从而得解．【解答】∵a2b=cos C，又∵cos C=a 2+b2−c22ab，∴a2+b2−c22ab =a2b，整理可得：b2＝c2，∴解得：b＝c．即三角形一定为等腰三角形．【点评】本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．7.【答案】B【考点】正弦定理任意角的三角函数【解析】由图和测得的仰角求出∠BAC和∠ABC，放在△ABC中利用正弦定理求出BC的长度．【解答】由题意得，∠BAC＝45∘−15∘＝30∘，∠ABC＝α＝45∘，且AC＝60m，在△ABC中，由正弦定理得，BC sin∠BAC =ACsin∠ABC，即BCsin300=60sin450，解得BC＝30√2(m)，【点评】本题考查了正弦定理在测量长度中的应用，关键是将测量出的长度和角度进行几何化，转化为解三角形问题．8.【答案】B【考点】基本不等式及其应用【解析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．【解答】∵x，y∈(0, +∞)，且满足1x +12y=1，那么x+4y＝(x+4y)(1x +12y)=3+4yx+x2y≥3+2√4yx⋅x2y=3+2√2，当且仅当x＝2√2y＝1+√2时取等号．∴最小值为3+2√2．【点评】本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．9.【答案】A【考点】等比数列的通项公式【解析】由已知列式求得a3，进一步求得公比，再由等比数列的通项公式求得a9．【解答】在等比数列{a n}中，由a5=12，得a3a7=a52=14，又4a3+a7＝2，联立解得：a3=14．则q2=a5a3=1214=2，∴a9=a5q4=12×4=2．【点评】本题考查等比数列的通项公式，考查了等比数列的性质，是基础的计算题．10.【答案】C【考点】二倍角的三角函数【解析】将已知等式两边平方，利用二倍角公式，同角三角函数基本关系式即可化简求值得解．【解答】∵sinα−2cosα=√102，∴sin2α−4sinα⋅cosα+4cos2α=52，化简得4sin2α＝3cos2α，∴tan2α=sin2αcos2α=34，【点评】本题主要考查了二倍角公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．11.【答案】C【考点】基本不等式及其应用【解析】由已知可得：12a×a2=12bc sin A，可得2bc sin A＝a2＝b2+c2−2bc cos A，bc+cb=2sin A+2cos A＝2√2sin(A+π4)，即可得出．【解答】由已知可得：12a×a2=12bc sin A，可得2bc sin A＝a2＝b2+c2−2bc cos A，∴bc +cb=2sin A+2cos A＝2√2sin(A+π4)≤2√2，当且仅当A=π4时取等号．【点评】本题考查了三角形面积计算公式、余弦定理、三角函数的单调性与值域，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12.【答案】C【考点】命题的真假判断与应用【解析】①根据数列的前n项和求出通项公式，判断①错误；②根据一元二次不等式恒成立以及特称命题求得ab的关系，再利用换元法求出a2+b2a−b的最小值，判断②正确；③利用基本不等式求出xy的最小值，再转化为关于a的不等式，求出实数a的取值范围，判断③正确．【解答】对于①，数列{a n}的前n项和为S n＝3n+1(n∈N∗)，∴S n−1＝3n−1+1(n≥2)，∴a n＝S n−S n−1＝3n−3n−1＝2⋅3n−1(n≥2)，又a1＝S1＝4，∴通项公式为a n={2⋅3n−1,n≥24,n=1，①错误；对于②，a>b时，一元二次不等式ax2+2x+b≥0对于一切实数x恒成立，∴{a>0△=4−4ab≤0，∴a>0，且ab≥1；又存在x0∈R，使ax02+2x0+b＝0成立，可得△＝0，∴ab＝1，∴a>1；∴a2+b2a−b =a2+1a2a−1a=a4+1a3−a>0；∴(a4+1a3−a )2=a8+1+2a4a6+a2−2a4=a4+1a4+2a2+1a2−2=(a2+1a2)2a2+1a2−2，令a2+1a2=t，则t>2，∴(a4+1a3−a )2=t2t−2=(t−2)2+4(t−2)+4t−2=(t−2)+4+4t−2≥2√(t−2)⋅4t−2+4＝8，当且仅当t＝4时“＝”成立；∴(a4+1a−a )2的最小值为8，即a2+b2a−b的最小值为√8=2√2，②正确；对于③，正实数x，y满足x+2y+4＝4xy，可得x+2y＝4xy−4，∴不等式(x+2y)a2+2a+2xy≥34恒成立，即(4xy−4)a2+2a+2xy≥34恒成立，变形可得2xy(2a2+1)≥4a2−2a+34恒成立，即xy≥2a2−a+172a2+1恒成立，∵x>0，y>0，∴x+2y≥2√xy，∴4xy＝x+2y+4≥4+2√xy，即2(√xy)2−√2⋅√xy−2≥0，解不等式可得√xy≥√2，或√xy≤−√22（舍负）可得xy≥2，要使xy≥2a2−a+172a2+1恒成立，只需2≥2a2−a+172a2+1恒成立，化简可得2a2+a−15≥0，即(a+3)(2a−5)≥0，解得a≤−3或a≥52，∴实数a的取值范围是(−∞, −3]∪[52, +∞)，③正确．综上，正确的命题是②③．【点评】本题考查了命题真假的判断问题，也考查了基本不等式的应用，恒成立问题，以及变形并求最值的应用问题，是难题．二、填空题【答案】√7【考点】余弦定理【解析】由余弦定理可得b2＝a2+c2−2ac cos B，代入计算即可得到所求值．【解答】a＝3，c＝1，B=π3，由余弦定理可得b2＝a2+c2−2ac cos B＝9+1−2×3×1×12=7，可得b=√7．【点评】本题考查余弦定理的运用，考查运算能力，属于基础题．三．解答题（共18小题）【答案】2n+1【考点】数列递推式【解析】由a 1=1，a n+1=2a n a n +2，两边取倒数可得：1a n+1=12+1a n，即1a n+1−1a n=12，再利用等差数列的通项公式即可得出． 【解答】解：由a 1=1，a n+1=2a n a n +2，两边取倒数可得：1a n+1=12+1a n，即1a n+1−1a n=12，∴ 数列{1a n}是等差数列，首项为1，公差为12．∴1a n=1+12(n −1)，解得a n =2n+1．故答案为：2n+1．【点评】本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 【答案】−2425【考点】二倍角的三角函数 【解析】将已知等式左边利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，求出sin α−cos α的值，两边平方并利用同角三角函数间的基本关系化简求出2sin αcos α的值大于0，由α的范围，得到sin α大于0，cos α大于0，利用完全平方公式求出sin α+cos α的值，将所求式子利用二倍角的余弦函数公式化简，再利用平方差公式变形，将各自的值代入即可求出值． 【解答】 ∵ sin (α−π4)=√22(sin α−cos α)=35，∴ sin α−cos α=3√25， ∴ (sin α−cos α)2＝1−2sin αcos α=1825，即2sin αcos α=725>0， ∵ 0<α<3π4，∴ sin α>0，cos α>0，即sin α+cos α>0， ∴ (sin α+cos α)2＝1+2sin αcos α=3225， ∴ sin α+cos α=4√25， 则cos 2α＝cos 2α−sin 2α＝(cos α+sin α)(cos α−sin α)=4√25×(−3√25)=−2425．【点评】此题考查了二倍角的余弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式，以及完全平方公式的运用，熟练掌握公式是解本题的关键，属于基础题． 【答案】 ②③④ 【考点】抽象函数及其应用 【解析】利用抽象函数的关系和定义，利用赋值法分别进行判断即可． 【解答】令y ＝−1，有f(−x)＝−f(x)+xf(−1)， 代入f(−1)＝0得f(−x)＝−f(x)，故f(x)是(−∞, +∞)上的奇函数．故②正确， （3）若a n =f(2n )2n(n ∈N ∗)， 则a n −a n−1=f(2n )2n−f(2n−1)2n−1=f(2n )−2f(2n−1)2n=2f(2n−1)+2n−1f(2)−2f(2n−1)2n=f(2)2=22=1为常数，故数列{a n }为等差数列，故③正确，④∵ f(2)＝2，f(xy)＝xf(y)+yf(x)，∴ 当x ＝y 时，f(x 2)＝xf(x)+xf(x)＝2xf(x)， 则f(22)＝4f(2)＝8＝2×22，f(23)＝22f(2)+2f(22)＝23+2×23=3×23， …则f(2n )＝n ×2n ， 若b n =f(2n )n(n ∈N ∗)， 则b n b n−1=f(2n )n f(2n−1)n−1=(n−1)f(2n )nf(2n−1)=(n−1)⋅n⋅2n n⋅(n−1)⋅2n−1=2为常数，则数列{b n }为等比数列，故④正确， 故答案为：②③④． 【点评】本题主要考查抽象函数的应用，结合等比数列和等差数列的定义，结合抽象函数的关系进行推导是解决本题的关键． 三、解答题【答案】∵ 不等式ax 2+x +c >0的解集为{x|1<x <3}， ∴ 1、3是方程ax 2+x +c ＝0的两根，且a <0， 所以{a <01+3=−1a 1×3=ca ；解得a =−14，c =−34； 由（1）得a =−14，c =−34，所以不等式ax 2+2x +4c >0化为−14x 2+2x −3>0， 解得2<x <6，∴ A ＝{x|2<x <6}，又3ax +cm <0，即为x +m >0， 解得x >−m ，∴ B ＝{x|x >−m}，∵ A ⊂B ，∴ {x|2<x <6}⊂{x|x >−m}， ∴ −m ≤2，即m ≥−2， ∴ m 的取值范围是[2, +∞)．【考点】一元二次不等式的应用 【解析】（1）由一元二次不等式和对应方程的关系，利用根与系数的关系即可求出a 、c 的值；（2）由（1）中a 、c 的值求解不等式ax 2+2x +4c >0，再根据真子集的定义求出m 的取值范围． 【解答】∵ 不等式ax 2+x +c >0的解集为{x|1<x <3}， ∴ 1、3是方程ax 2+x +c ＝0的两根，且a <0， 所以{a <01+3=−1a 1×3=ca；解得a =−14，c =−34； 由（1）得a =−14，c =−34，所以不等式ax 2+2x +4c >0化为−14x 2+2x −3>0， 解得2<x <6，∴ A ＝{x|2<x <6}，又3ax +cm <0，即为x +m >0， 解得x >−m ，∴ B ＝{x|x >−m}， ∵ A ⊂B ，∴ {x|2<x <6}⊂{x|x >−m}， ∴ −m ≤2，即m ≥−2， ∴ m 的取值范围是[2, +∞)．【点评】本题考查了一元二次不等式和对应方程的应用问题，也考查了真子集的定义与应用问题，是中档题目． 【答案】在△ABC 中，∵ cos B cos C −sin B sin C =12， ∴ cos (B +C)=12，又∵ 0<B +C <π， ∴ B +C =π3， ∵ A +B +C ＝π， ∴ A =2π3；由余弦定理a 2＝b 2+c 2−2bc ⋅cos A ，得(2√3)2＝(b +c)2−2bc −2bc ⋅cos2π3，把b +c ＝4代入得：12＝16−2bc +bc ， 整理得：bc ＝4，则△ABC 的面积S =12bc sin A =12×4×√32=√3．【考点】 正弦定理 余弦定理【解析】（1）已知等式左边利用两角和与差的余弦函数公式化简，求出cos (B +C)的值，确定出B +C 的度数，即可求出A 的度数；（2）利用余弦定理列出关系式，再利用完全平方公式变形，将a 与b +c 的值代入求出bc 的值，再由sin A 的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC 面积． 【解答】在△ABC 中，∵ cos B cos C −sin B sin C =12，∴ cos (B +C)=12， 又∵ 0<B +C <π， ∴ B +C =π3， ∵ A +B +C ＝π， ∴ A =2π3；由余弦定理a 2＝b 2+c 2−2bc ⋅cos A ， 得(2√3)2＝(b +c)2−2bc −2bc ⋅cos2π3，把b +c ＝4代入得：12＝16−2bc +bc ， 整理得：bc ＝4，则△ABC 的面积S =12bc sin A =12×4×√32=√3．【点评】此题考查了余弦定理，三角形面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键． 【答案】∵ {a n }为等差数列，S 4＝24，S 7＝63． ∴ {S 4=4a 1+4×32d =24S 7=7a 1+7×62d =63 ， 解得{a 1=3d =2，∴ a n ＝2n +1．∵ b n =2a n =22n+1=2⋅4n ，∴ T n =2(41+42+⋯+4n)=8(4n −1)3．【考点】 数列的求和 数列递推式【解析】（1）利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出． （2）利用等比数列的求和公式即可得出． 【解答】∵ {a n }为等差数列，S 4＝24，S 7＝63． ∴ {S 4=4a 1+4×32d =24S 7=7a 1+7×62d =63， 解得{a 1=3d =2，∴ a n ＝2n +1．∵ b n =2a n =22n+1=2⋅4n ， ∴ T n =2(41+42+⋯+4n)=8(4n −1)3．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 【答案】f(x)=m →⋅n →=√3sin x4cos x4+cos 2x 4=√32sin x 2+1+cos x22=sin (x 2+π6)+12，由2kπ−π2≤x2+π6≤2kπ+π2,k ∈Z 得：4kπ−4π3≤x ≤4kπ+2π3,k ∈Z ，∴ f(x)的递增区间为[4kπ−4π3,4kπ+2π3],k ∈Z ⋯∵ (2a −c)cos B ＝b cos C ，由正弦定理得(2sin A −sin C)cos B ＝sin B cos C ， ∴ 2sin A cos B −sin C cos B ＝sin B cos C ，∴ 2sin A cos B ＝sin (B +C)， ∵ A +B +C ＝π，∴ sin (B +C)＝sin A ≠0，∴ cos B =12⋯∵ 0<B <π，∴ B =π3，∴ 0<A <2π3，∴ π6<A2+π6<π2，sin (A2+π6)∈(12,1)，又∵ f(x)=sin (x 2+π6)+12，∴ f(A)=sin (A 2+π6)+12， 故函数f(A)的取值范围是(1,32)⋯【考点】平面向量数量积的性质及其运算 三角函数中的恒等变换应用【解析】（1）求出函数的解析式，根据正弦函数的性质求出函数的递增区间即可；（2）根据正弦定理得到B 的值，求出f(A)的解析式，根据三角函数的性质求出f(A)的范围即可．【解答】f(x)=m →⋅n →=√3sin x4cos x4+cos 2x4=√32sin x 2+1+cos x22=sin (x 2+π6)+12，由2kπ−π2≤x2+π6≤2kπ+π2,k ∈Z 得：4kπ−4π3≤x ≤4kπ+2π3,k ∈Z ，∴ f(x)的递增区间为[4kπ−4π3,4kπ+2π3],k ∈Z ⋯∵ (2a −c)cos B ＝b cos C ，由正弦定理得(2sin A −sin C)cos B ＝sin B cos C ， ∴ 2sin A cos B −sin C cos B ＝sin B cos C ，∴ 2sin A cos B ＝sin (B +C)， ∵ A +B +C ＝π，∴ sin (B +C)＝sin A ≠0，∴ cos B =12⋯ ∵ 0<B <π，∴ B =π3，∴ 0<A <2π3，∴ π6<A2+π6<π2，sin (A2+π6)∈(12,1)，又∵ f(x)=sin (x 2+π6)+12，∴ f(A)=sin (A 2+π6)+12，故函数f(A)的取值范围是(1,32)⋯【点评】本题考查了三角函数的性质，考查正弦定理以及函数的单调性问题，是一道中档题． 【答案】∵ 2a n+1+S n −2＝0，∴ 当n ≥2时，2a n +S n−1−2＝0，两式相减得2a n+1−2a n +S n −S n−1＝0，2a n+1−2a n +a n ＝0，∴ a n+1=12a n ； 又当n ＝1时，2a 2+S 1−2=0⇒a 2=12a 1，即a n+1=12a n (n ∈N+)，∴ {a n }是以首项a 1＝1，公比q =12的等比数列，∴ 数列{a n }的通项公式为a n =(12)n−1； 由（1）知，b n =na n =n2n−1，则T n =1+22+322+⋯+n−12n−2+n2n−1，①12Tn =12+222+323+⋯+n−12n−1+n 2n，②①-②得12T n =1+12+122+⋯+12n−1−n2n =(1−12n )1−12−n 2n =2(1−12n )−n 2n =2−(n +2)12n ，所以，数列{b n }的前n 项和为T n =4−(n +2)12n−1． 【考点】数列的求和 数列递推式【解析】（1）由n ≥2时，a n ＝S n −S n−1，将n 换为n −1相减，结合等比数列的定义和通项公式，即可得到所求； （2）求得b n =na n =n 2n−1，运用数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，化简整理，即可得到所求和．【解答】∵ 2a n+1+S n −2＝0，∴ 当n ≥2时，2a n +S n−1−2＝0，两式相减得2a n+1−2a n +S n −S n−1＝0，2a n+1−2a n +a n ＝0，∴ a n+1=12a n ；又当n ＝1时，2a 2+S 1−2=0⇒a 2=12a 1，即a n+1=12a n (n ∈N+)，∴ {a n }是以首项a 1＝1，公比q =12的等比数列，∴ 数列{a n }的通项公式为a n =(12)n−1； 由（1）知，b n =na n =n 2n−1，则T n =1+22+322+⋯+n−12n−2+n2n−1，①12Tn =12+222+323+⋯+n−12n−1+n 2n，②①-②得12T n =1+12+122+⋯+12n−1−n2n =(1−12n )1−12−n 2n=2(1−12n )−n 2n=2−(n +2)12n ，所以，数列{b n }的前n 项和为T n =4−(n +2)12n−1．【点评】本题考查数列通项的求法，注意运用数列递推式，考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的求和方法：错位相减法，考查运算能力，属于中档题． 【答案】由16x 2−16x +3＝0解得：x 1=14,x 2=34， ∴ a 1=14,b 1=34．由a n +b n =1,b n+1=b n(1−a n )(1+a n)，得b n+1=b nbn (2−b n)=12−b n， 将b 1=34代入得b 2=45． ∵ b n+1−1=12−b n−1，∴1b n+1−1=2−b n b n −1=1b n −1−1．即c n+1＝c n −1，又c 1=1b1−1=134−1=−4．故：数列{c n }是以−4为首项，−1为公差的等差数列． 于是c n ＝−4+(n −1)×(−1)＝−n −3， 由c n =1bn−1得b n =1c n+1=1−1n+3=n+2n+3． 不由题意及（2）知：a n =1−b n =1n+3．1a n a n+1=1(n+3)(n+4)=1n+3−1n+4．∴ S n ＝a 1a 2+a 2a 3+a 3a 4+...+a n a n+1 =(14−15)+(15−16)+⋯+(1n +3−1n +4) =14−1n +4=n4(n+4)．由4aS n −b n =ann+4−n+2n+3=(a−1)n 2+(3a−6)n−8(n+3)(n+4)<0恒成立，即(a −1)n 2+(3a −6)n −8<0恒成立即可，） 设f(n)＝(a −1)n 2+(3a −6)n −8①当a ＝1时，f(n)＝−3n −8<0恒成立②当a >1时，由二次函数的性质f(n)＝(a −1)n 2+(3a −6)n −8<0不可能恒成立． ③当a <1时，由于−3a−62(a−1)=−32(1−1a−1)<0，∴ f(n)＝(a −1)n 2+(3a −6)n −8在[1, +∞)上单调递减，由f(1)＝(a −1)n 2+(3a −6)n −8＝4a −15<0得a <154，∴ a <1，4aS n <b n 恒成立．综上所述：所求a 的取值范围是(−∞, 1]． 【考点】数列与不等式的综合 等差数列的性质 【解析】（1）由16x 2−16x +3＝0解得：x 1=14,x 2=34，可得a 1，b 1．由a n +b n =1,b n+1=b n(1−an )(1+a n )，得b n+1=b n b n (2−b n)=12−b n，可得b 2． （2）由b n+1−1=12−b n−1，可得1bn+1−1=2−b nb n−1=1b n −1−1．即c n+1＝c n −1，利用等差数列的通项公式可得c n ，b n ．（3）利用“裂项求和”方法可得S n ，对a 分类讨论，通过转化利用单调性即可得出． 【解答】由16x 2−16x +3＝0解得：x 1=14,x 2=34，∴ a 1=14,b 1=34．由a n +b n =1,b n+1=b n(1−a n )(1+a n )，得b n+1=b n b n (2−b n )=12−b n，将b 1=34代入得b 2=45． ∵ b n+1−1=12−b n−1，∴1b n+1−1=2−b n b n −1=1b n −1−1．即c n+1＝c n −1， 又c 1=1b1−1=134−1=−4．故：数列{c n }是以−4为首项，−1为公差的等差数列． 于是c n ＝−4+(n −1)×(−1)＝−n −3， 由c n =1bn−1得b n =1c n+1=1−1n+3=n+2n+3． 不由题意及（2）知：a n =1−b n =1n+3．1a n a n+1=1(n+3)(n+4)=1n+3−1n+4．∴ S n ＝a 1a 2+a 2a 3+a 3a 4+...+a n a n+1 =(14−15)+(15−16)+⋯+(1n +3−1n +4) =14−1n +4=n4(n+4)． 由4aS n −b n =an n+4−n+2n+3=(a−1)n 2+(3a−6)n−8(n+3)(n+4)<0恒成立，即(a −1)n 2+(3a −6)n −8<0恒成立即可，） 设f(n)＝(a −1)n 2+(3a −6)n −8①当a ＝1时，f(n)＝−3n −8<0恒成立②当a >1时，由二次函数的性质f(n)＝(a −1)n 2+(3a −6)n −8<0不可能恒成立． ③当a <1时，由于−3a−62(a−1)=−32(1−1a−1)<0，∴ f(n)＝(a −1)n 2+(3a −6)n −8在[1, +∞)上单调递减， 由f(1)＝(a −1)n 2+(3a −6)n −8＝4a −15<0得a <154，∴ a <1，4aS n <b n 恒成立．综上所述：所求a 的取值范围是(−∞, 1]．【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、数列的单调性、“裂项求和”方法、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。

2019-2020学年四川省成都市树德中学高一(下)期末数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知非零实数a，b满足a<b，则下列不等式中一定成立的是()A. a+b>0B. 1a >1bC. ab<b2D. a3−b3<02.在坐标平面内，与点A(1,2)的距离为2，且与点B(4,−2)的距离为3的直线共有()A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条3.若sinα=513，α为第二象限角，则tanα2的值为()A. 5B. −5C. 15D. −154.在平面直角坐标系内，设M(x1,y1)、N(x2,y2)为不同的两点，直线l的方程为ax+by+c=0，δ1=ax1+by1+c，δ2=ax2+by2+c.有四个命题：①若δ1δ2>0，则点M、N一定在直线l的同侧；②若δ1δ2<0，则点M、N一定在直线l的两侧；③若δ1+δ2=0，则点M、N一定在直线l的两侧；④若δ12>δ22，则点M到直线l的距离大于点N到直线l的距离．上述命题中，全部真命题的序号是()A. ①②③B. ①②④C. ②③④D. ①②③④5.如图为由三棱柱切割而得到的几何体的三视图，俯视图是边长为2的正三角形，则该几何体的体积为()A. √3B. 2√33C. 4√33D. 2√36.已知数列{a n}的前4项分别为2，0，2，0，则下列各式不可以作为数列{a n}的通项公式的一项是()A. a n =1+(−1)n+1B. a n =2sin nπ2 C. a n =1−cos nπD. a n ={2,n 为奇数0,n 为偶数7.下列命题中假命题是( )A. 垂直于同一条直线的两条直线相互垂直B. 若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行C. 若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直D. 若一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的相交直线分别平行，那么这两个平面相互平行 8.在△ABC 中，若cosAcosB =ba ，则△ABC 是( )A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 直角三角形D. 等腰三角形或直角三角形9.设偶函数f(x)，当x ≥0时，f(x)=x 3−8，则{x|f(x −2)>0}=( )A. {x|x <−2或x >4}B. {x|x <0或x >4}C. {x|x <0或x >6}D. {x|x <−2或x >2}10. 以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l 的参数方程是{x =t +1y =t −3(t 为参数)，圆C 的极坐标方程是ρ=4cosθ，则直线l 被圆C 截得的弦长为( )A. √14B. 2√14C. √2D. 2√211. 已知{a n }是公差不为0的等差数列，a 1=3，现将数列{a n }的各项依次放入如图表格中，其中第1行1项，第2行2项，…，第n 行2n−1项，记第n 行各项的和为T n ，且T 1，T 2，T 3成等比数列．数列{a n }的通项公式是( )A. a n =2n +1B. a n =3nC. a n =4n −1D. a n =2n −112. 如图，网格纸上小正方形的边长为12，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A. 203B. 253C. 4D. 6二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知点P 为椭圆x 2+4y 2=16上，则点P 到直线y =x −5的最短距离为______ ． 14. 已知各项全不为零的数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n =13a n a n+1(n ∈N ∗)，其中a 1=1.则a n = ．15. 已知三棱柱ABC −A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直，体积为94，底面是边长为√3的正三角形．若P 为底面A 1B 1C 1的中心，则PA 与平面ABC 所成的角的大小为______．16. 已知函数f(x)=2sin(2ωx −π3)在区间(0,π2)内有且只有一个最值点，则ω的取值范围是______ ． 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. (1)求过点(1,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程(2)求到直线2x +3y −5=0和4x +6y +8=0的距离相等点的轨迹．18. 下雨时，用上口直径为32cm ，底面直径为24cm ，深为35cm 的水桶盛水，如果积水达到桶深的14处．问降雨量是多少毫米？(降雨量=积水体积进水口面积)19. 党的十九大报告明确指出要坚决打赢脱贫攻坚战，让贫困人口和贫困地区同全国一道进入全面小康社会，要动员全党全国全社会力量，坚持精准扶贫、精准脱贫，确保到2020年我国现行标准下农村贫困人口实现脱贫．现有扶贫工作组到某山区贫困村实施脱贫工作．经摸底排查，该村现有贫困农户100户，他们均从事水果种植，2017年底该村平均每户年纯收入为1万元，扶贫工作组一方面请有关专家对水果进行品种改良，提高产量；另一方面，抽出部分农户从事水果包装、销售工作，其户数必须小于种植的户数．从2018年初开始，若该村抽出4x 户(x ∈Z,1≤x ≤12)从事水果包装、销售．经测算，剩下从事水果种植农户的年纯收入每户平均比上一年提高x20，而从事包装销售农户的年纯收入每户平均为(3−15x)万元． (参考数据：1.123=1.404，1.153=1.520，1.183=1.643，1.23=1.728)．(1)至2018年底，该村每户年均纯收入能否达到1.32万元？若能，请求出从事包装、销售的户数；若不能，请说明理由；(2)至2020年底，为使从事水果种植农户能实现脱贫(即每户(水果种植农户)年均纯收入不低于1.6万元)，至少要抽出多少户从事包装、销售工作？20. 在△ABC 中，已知a =2，c =√2，cosA =−√24，求：(1)sinC ；(2)b 和三角形△ABC 的面积．21. 已知四棱锥S −ABCD 的底面ABCD 是正方形，SA ⊥底面ABCD ，SA =AB =AD =2， E 是SC 的中点．(Ⅰ)求异面直线DE 与AC 所成角； (Ⅱ)求二面角B −SC −D 的大小．22. 已知数列{a n }满足a 1=2，a n+1=2(n+2)n+1a n (n ∈N ∗)(I)求{a n }的通项公式；(II)设{a n }的前n 项和为S n ，证明：1S 1+1S 2+1S 3+⋯+1S n≤nn+1．【答案与解析】1.答案：D解析：本题考查不等式的性质及比较大小，属于基础题．利用已知条件，结合不等式的性质即可求解．解：对于A：若a=−4，b=3，则a+b<0，∴A不对．对于B：若a<0<b，则1a <1b，∴B不对．对于C：∵a<b，若b<0，则ab>b2，∴C不对．对于D：∵a<b，∴a3<b3，即a3−b3<0，∴D对．故选D．2.答案：C解析：解：根据题意，设圆A的圆心为A(1,2)，半径R=2，圆B的圆心为B(4,−2)，半径r=3，两圆圆心距|AB|=√9+16=5=R+r，则圆A与圆B外切，两圆有3条公切线，故与点A(1,2)的距离为2且与点B(4,−2)的距离为3的直线共有3条；故选：C．根据题意，设圆A的圆心为A(1,2)，半径R=2，圆B的圆心为B(4,−2)，半径r=3，分析可得两圆外切，即可得两圆共切线的条数，即可得答案．本题考查圆与圆的位置关系，注意将原问题转化为两圆公切线数目的问题，属于基础题．3.答案：A解析：本题是基础题，考查三角函数的化简求值，注意角的范围，三角函数的符号的选取，是解好本题的关键．利用角的范围求出cosα，然后利用半角公式求出tanα2的值．解：sinα=513，α是第二象限角，所以cosα=−1213，α2在一、三象限，所以tanα2=√1−cosα1+cosα=√1+12131−1213=5，故选A．4.答案：B解析：解：在平面直角坐标系内，设M(x1,y1)、N(x2,y2)为不同的两点，由直线l的方程为ax+by+c=0，δ1=ax1+by1+c，δ2=ax2+by2+c.知：若δ1δ2>0，则点M、N一定在直线l的同侧，故①正确；若δ1δ2<0，则点M、N一定在直线l的两侧，故②正确；若δ1+δ2=0，则点M、N在直线l的两侧或在直线上，故③不正确；若δ12>δ22，则点M到直线l的距离大于点N到直线l的距离，故④正确．故选B．结合题设条件，利用线性规划知识，能够推导出正确结果．本题考查命题的真假的判断，是基础题．解题时要认真审题，注意线性规划问题的合理运用．5.答案：C解析：解：根据几何体的三视图，得；该几何体是直三棱柱去掉一个三棱锥，其直观图如图所示；且该三棱锥的底面是边长为2的等边三角形，其高为2，∴该几何体的体积为V几何体=12×22×sin60°×2−13×12×22×sin60°×2=4√33．故选：C．根据几何体的三视图，得出该几何体是直三棱柱去掉一个三棱锥，画出直观图，求出它的体积．本题考查了利用空间几何体的三视图求体积的应用问题，是基础题目．6.答案：B解析：解：对于A，n分别取1，2，3，4，满足前4项分别为2，0，2，0，故A正确；对于B，n分别取1，2，3，4，前4项分别为2，0，−2，0，不满足前4项分别为2，0，2，0，故B不正确；对于C，n分别取1，2，3，4，满足前4项分别为2，0，2，0，故C正确；对于D，n分别取1，2，3，4，满足前4项分别为2，0，2，0，故D正确；故选B．利用通项公式，验证前4项，即可得到结论．本题考查数列的通项公式，考查学生的计算能力，属于基础题．7.答案：A解析：试题分析：根据空间中两条直线的位置关系可得：垂直于同一条直线的两条直线平行或者相交或者异面，所以A 错误，其他选项是正确的，选A ． 考点：空间中两条直线和直线与平面之间的位置关系．8.答案：D解析：解：由正弦定理得：cosAcosB =ba =sinBsinA ， ∴sinAcosA =sinBcosB ，即12sin2A =12sin2B ， ∴sin2A =sin2B ，∴2A =2B 或2A +2B =180°，即A =B 或A +B =90°， 则△ABC 为等腰三角形或直角三角形． 故选：D ．利用正弦定理化简已知等式，变形后利用二倍角的正弦函数公式化简，得到A 与B 相等或互余，即可判断出三角形ABC 的形状．此题考查了正弦定理，以及三角形形状的判断，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．9.答案：B解析：解：当x <0时，则−x >0，由偶函数f(x)满足f(x)=x 3−8(x ≥0)可得，f(x)=f(−x)=−x 3−8，则f(x)={x 3−8(x ≥0)−x 3−8(x <0)，∴f(x −2)={(x −2)3−8,x ≥2−(x −2)3−8,x <2，当x ≥2时，(x −2)3−8>0，解得x >4； 当x <2时，−(x −2)3−8>0，解得x <0； 综上：x >4或x <0， 故选B ．先利用偶函数的性质解出函数的解析式，然后再解分段不等式，分段不等式特点是分段求解，再求并集．本题以函数为载体，主要考查偶函数性质、不等式的解法以及相应的运算能力，考查分段函数的性质．10.答案：D解析：本题主要考查把参数方程化为普通方程的方法，把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，考查点到直线的距离公式，属于基础题．先求出直线和圆的直角坐标方程，求出半径和弦心距，再求弦长．解：直线l 的参数方程是{x =t +1y =t −3(t 为参数)，化为普通方程为x −y −4=0； 圆C 的极坐标方程是ρ=4cosθ，即ρ2=4ρcosθ，化为直角坐标方程为x 2+y 2=4x ， 即(x −2)2+y 2=4，表示以(2,0)为圆心、半径r 等于2的圆． 弦心距d =|2−0−4|√2=√2<r ，∴弦长为2√r 2−d 2=2√4−2=2√2， 故选D ．11.答案：A解析：解：设数列{a n }的公差为d ，依题意：(a 2+a 3)2=a 1(a 4+a 5+a 6+a 7) 所以(3d +6)2=3(12+18d)⇒d 2+4d +4=4+6d ⇒d 2=2d ， 因为d ≠0，所以d =2， 因此：a n =2n +1． 故选：A ．设数列{a n }的公差为d ，依题意：(a 2+a 3)2=a 1(a 4+a 5+a 6+a 7)，求出公差，即可求出数列{a n }的通项公式．本题考查数列{a n }的通项公式，考查学生的计算能力，确定数列的公差是关键．12.答案：A解析：解：由三视图可知：该几何体为一个棱长为2的正方体截去一个倒立的四棱锥．∴该几何体的体积V =23−13×2×1×2=203．故选：A ．由三视图可知：该几何体为一个棱长为2的正方体截去一个倒立的四棱锥．本题考查了正方体与四棱锥的三视图、体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13.答案：√22(5−2√5)解析：解：∵点P为椭圆x2+4y2=16上，∴设点P(4cosθ,2sinθ)，则点P到直线y=x−5的距离：d=|4cosθ−2sinθ−5|√2=√22|2√5sin(θ+α)−5|，∴点P到直线y=x−5的最短距离为√22(5−2√5).故答案为：√22(5−2√5).设点P(4cosθ,2sinθ)，则点P到直线y=x−5的距离：d=√2=√22|2√5sin(θ+α)−5|，由此能求出点P到直线y=x−5的最短距离．本题考查点到直线的最短距离的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意椭圆的参数方程的合理运用．14.答案：解析：试题分析：由题意可得S n−1=a n−1a n，与已知式子相减可得a n+1−a n−1=3，即数列的奇数项，和偶数项均为公差为3的等差数列，由等差数列的通项公式分别可得．由题意可得①−②可得：，∵a n≠0，∴a n+1−a n−1=3，又∵a1=1，a2=3；∴故答案为：15.答案：60°解析：解：如图所示，∵AA1⊥底面A1B1C1，∴∠APA1为PA与平面A1B1C1所成角，∵平面ABC//平面A1B1C1，∴∠APA1为PA与平面ABC所成角．∵S△A1B1C1=√34×(√3)2=3√34．∴V三棱柱ABC−A1B1C1=AA1×S△A1B1C1=3√34AA1，解得AA1=√3．又P为底面正三角形A1B1C1的中心，∴A1P=23A1D=1，在Rt△AA1P中，tan∠APA1=AA1A1P=√3，∴∠APA1=60°．故答案为：60°．利用三棱柱ABC−A1B1C1的侧棱与底面垂直和线面角的定义可知，∠APA1为PA与平面A1B1C1所成角．利用三棱锥的体积计算公式可得AA1，再利用正三角形的性质可得A1P，在Rt△AA1P中，利用tan∠APA1=AA1A1P，可得结论．本题考查线面角，掌握正三角形的性质、线面角的定义是解题的关键．16.答案：(56,11 6]解析：解：因为x∈(0,π2)，所以2ωx−π3∈(−π3,πω−π3)，因为f(x)在区间(0,π2)内有且只有一个最值点，由正弦函数的图象与性质可得π2<πω−π3≤3π2，解得56<ω≤116，即ω的取值范围是(56,11 6].故答案为：(56,11 6].根据x∈(0,π2)，可得2ωx−π3∈(−π3,πω−π3)，根据已知及正弦函数的图象与性质可得关于ω的不等式，解之即可得解．本题主要考查三角函数的图象与性质，三角函数的最值，属于基础题．17.答案：解：(1)当所求的直线与两坐标轴的截距为0时，即直线过原点时，设该直线的方程为y=kx，吧(1,3)代入y=kx得，k=3，此时方程为y=3x①当直线不过原点时，设方程为xa +ya=1，即直线的方程为x+y=a，把(1,3)代入所设的方程得：a=3，则所求直线的方程为x+y=3即x+y−3=0；。

2019-2020学年四川省成都市树德中学高一（上）10月段考数学试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）若集合A＝{1，2，3}，B＝{1，3，4}，则A∩B的子集个数为（）A．2B．3C．4D．162．（5分）若集合A＝{x|x2＞4}，B＝{x|x2+3x≤0}，则A∪B＝（）A．{x|﹣3≤x＜﹣2}B．{x﹣3≤x＜2}C．{x|x≤0或x＞2}D．{x|x＜0或x＞2}3．（5分）已知M，N为集合I的非空真子集，且M，N不相等，若N∩∁I M＝∅，则M∪N是（）A．M B．N C．I D．∅4．（5分）已知函数f（x）＝，若f（a）+f（1）＝0，则实数a的值等于（）A．﹣3B．﹣1C．1D．35．（5分）在映射f：A→B中，A＝B＝{（x，y）|x，y∈R}，且f：（x，y）→（x﹣y，x+y），则与B中的元素（﹣1，2）对应的A中的元素为（）A．（﹣3，1）B．（1，﹣3）C．（﹣1，﹣3）D．（）6．（5分）若f（x）＝x2+2（a﹣1）x+2在（﹣∞，4]上是减函数，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣3]B．[﹣3，+∞）C．（﹣∞，5]D．[3，+∞）7．（5分）函数y＝（x≠1）在区间[2，5）上的最大值、最小值分别是（）A．，4B．无最大值，最小值7C．4，0D．最大值4，无最小值8．（5分）设f（x）是（﹣∞，+∞）上的减函数，则不等式f（2）＜f（）的解集是（）A．（0，）B．（﹣∞，）C．（，+∞）D．（﹣∞，0）∪（，+∞）9．（5分）函数f（x）＝x2﹣4x+5在区间[0，m]上的最大值为5，最小值为1，则实数m的取值范围是（）A．[2，+∞）B．[2，4]C．[0，4]D．（2，4]10．（5分）函数f（x）＝是R上的减函数，则实数a的取值a范围（）A．[﹣，0）B．（﹣∞，]C．[﹣1，﹣]D．（﹣∞，﹣1]11．（5分）已知函数f（x）是定义在[a﹣1，2a]上的偶函数，且当x＞0时，f（x）单调递增，则关于x的不等式f （x﹣1）＞f（a）的解集为（）A．B．C．D．随a的值而变化12．（5分）已知函数f（x）是（﹣∞，+∞）上的增函数，且f[f（x）]＝x，定义在R上的奇函数g（x）在（0，+∞）上为增函数且g（﹣1）＝0，则不等式＜0的解集为（）A．（﹣1，0）∪（1，+∞）B．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）C．（﹣1，0）∪（0，1）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分．）13．（5分）已知A，B是非空集合，定义运算A﹣B＝x|x∈A且x∉B，若M＝x|y＝，N＝y|y＝x2，﹣1≤x≤1，则M﹣N＝．14．（5分）已知集合{a，，1}＝{a2，a+b，0}，则不等式a2019x2﹣（a+b）2019x﹣2a2018＜0的解集为．15．（5分）设集合M＝{（x，y）|＝a﹣1}，集合N＝{（x，y）|（a2﹣1）x+（a﹣1）y＝15}，且M∩N＝∅，则实数a的取值集合为．16．（5分）已知函数f（x）＝若存在唯一的整数x，使得＞0成立，则实数a的取值范围为．三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）设集合A＝{x|a﹣3＜x＜a+3}，B＝{x|x＜﹣1或x＞3}．（1）若a＝3，求A∪B；（2）若A∪B＝R，求实数a的取值范围．18．（12分）设A＝{x|﹣x2+3x+10≥0}，B＝{x|m+1≤x≤2m﹣1}，若B⊆A．（1）求A；（2）求实数m的取值范围．19．（12分）已知关于x的不等式ax2﹣3x+2＞0的解集为{x|x＜1或x＞b}．（1）求a，b的值．（2）当c∈R时，解关于x的不等式ax2﹣（ac+b）x+bc＜0．20．（12分）已知是定义在（﹣1，1）上的奇函数，且．（1）求a，b的值；（2）求函数f（x）的值域．21．（12分）已知函数f（x）＝x2﹣2ax+5（a＞1）．（1）若函数f（x）的定义域和值域均为[1，a]，求实数a的值；（2）若f（x）在区间（﹣∞，2]，上是减函数，且对任意的x1，x2∈[1，a+1]，总有|f（x1）﹣f（x2）|≤4，求实数a的取值范围．22．（12分）已知集合D＝{（x1，x2）|x1＞0，x2＞0，x1+x2＝k}（其中k为正常数）．（1）设u＝x1x2，求u的取值范围；（2）求证：当k≥1时不等式对任意（x1，x2）∈D恒成立；（3）求使不等式对任意（x1，x2）∈D恒成立的k2的范围．2019-2020学年四川省成都市树德中学高一（上）10月段考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．【解答】解：∵A＝{1，2，3}，B＝{1，3，4}，∴A∩B＝{1，3}，则A∩B的子集个数为22＝4．故选：C．2．【解答】解：集合A＝{x|x2＞4}＝{x|x＞2或x＜﹣2}，B＝{x|x2+3x≤0}＝{x|﹣3≤x≤0}，∴A∪B＝{x|x≤0或x＞2}．故选：C．3．【解答】解：∵N∩∁I M＝∅，∴N∩M＝N，即M∪N＝M，故选：A．4．【解答】解：∵函数f（x）＝，∴f（1）＝2×1＝2，∵f（a）+f（1）＝0，∴f（a）＝﹣2，当a＞0时，f（a）＝2a＝﹣2，解得a＝﹣1，不成立，当a≤0时，f（a）＝a+1＝﹣2，解得a＝﹣3．∴实数a的值等于﹣3．故选：A．5．【解答】解：解：在映射f：A→B中，A＝B＝{（x，y）|x，y∈R}，且f：（x，y）→（x﹣y，x+y），设与B中的元素（﹣1，2）对应的A中的元素为（x，y），则，解得x＝，y＝，∴与B中的元素（﹣1，2）对应的A中的元素为（，）．故选：D．6．【解答】解：f（x）＝x2+2（a﹣1）x+2的对称轴为x＝﹣，函数f（x）在（﹣∞，1﹣a]上单调递减，∴要使f（x）＝x2+2（a﹣1）x+2在（﹣∞，4]上是减函数，则对称轴1﹣a≥4，解得a≤﹣3．即a的取值范围是（﹣∞，﹣3]．故选：A．7．【解答】解：函数y＝＝1+在[2，5）上递减，即有x＝2处取得最大值4，由x＝5取不到，则最小值取不到．故选：D．8．【解答】解：∵f（x）是（﹣∞，+∞）上的减函数，则由不等式f（2）＜f（）可得2＞，∴x＜0，或x＞，故选：D．9．【解答】解：∵函数f（x）＝x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1的对称轴为x＝2，此时，函数取得最小值为1，当x＝0或x＝4时，函数值等于5．且f（x）＝x2﹣4x+5在区间[0，m]上的最大值为5，最小值为1，∴实数m的取值范围是[2，4]，故选：B．10．【解答】解：∵函数f（x）＝是R上的减函数，∴，解得：a∈（﹣∞，﹣1]，故选：D．11．【解答】解：因为f（x）是定义在[a﹣1，2a]上的偶函数，所以（a﹣1）+2a＝0，解得a＝．则f（x）定义域为[﹣，]．由偶函数性质知，f（x﹣1）＞f（a）可化为f（|x﹣1|）＞f（），又x＞0时，f（x）单调递增，所以|x﹣1|＞①，又﹣≤x﹣1②，联立①②解得x＜或＜x≤，故不等式f（x﹣1）＞f（a）的解集为[，）∪（，]．故选：C．12．【解答】解：由f[f（x）]＝x有f[f（0）]＝0，设f（0）＝t，则f（t）＝0，若t＞0，则f（0）＞f（t）这与函数单调递增相矛盾；若t＜0，则f（0）＜f（t）这与函数单调递增相矛盾；所以t＝0，即f（0）＝0，，即f（x）g（x）＜0，或，所以不等式的解集为（﹣1，0）∪（0，1），故选：C．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分．）13．【解答】解：∵M＝{x|x≤1}，N＝{y|0≤y≤1}，∴M﹣N＝{x|x＜0}．故答案：{x|x＜0}．14．【解答】解：∵{a，，1}＝{a2，a+b，0}，∴或，且a≠1，∴解得，∴由a2019x2﹣（a+b）2019x﹣2a2018＜0得，﹣x2+x﹣2＜0，解得x∈R，∴原不等式的解集为R．故答案为：R．15．【解答】解：集合M＝{（x，y）|＝a﹣1}，表示直线（a﹣1）x﹣y﹣2a+5＝0上除（2，3）以外的所有点组成的集合；当a＝1时，N＝∅，满足M∩N＝∅；当a＝0时，直线（a﹣1）x﹣y﹣2a+5＝0与直线（a2﹣1）x+（a﹣1）y＝15平行，满足M∩N＝∅；当直线（a2﹣1）x+（a﹣1）y＝15经过（2，3）点，代入得，2a2+3a﹣20＝0，∴a＝﹣4，或a＝时，满足M ∩N＝∅；综上，a的所有取值是：1，0，﹣4，．故答案为：{1，0，﹣4，}．16．【解答】解：作出f（x）的函数图象如图所示：（1）当x＞0时，f（x）≤f（1）＝3，∵存在唯一的整数x，使得＞0成立，∴a＜f（x）只有1个整数解，又f（2）＝0，∴0≤a＜3．（2）若x＜0，则f（x）≥f（0）＝0，∵存在唯一的整数x，使得＞0成立，∴a＞f（x）只有1个整数解，又f（﹣1）＝2，f（﹣2）＝8，∴2＜a≤8．∴当0≤a≤2或3≤a≤8时，＞0只有1个整数解．故答案为：[0，2]∪[3，8]．三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．【解答】解：（1）a＝3时，A＝{x|0＜x＜6}，且B＝{x|x＜﹣1，或x＞3}，∴A∪B＝{x|x＜﹣1，或x＞0}；（2）∵A∪B＝R，∴，∴0＜a＜2，∴实数a的取值范围为（0，2）．18．【解答】解：（1）根据题意，﹣x2+3x+10≥0⇒﹣2≤x≤5，则A＝{x|﹣x2+3x+10≥0}＝{x|﹣2≤x≤5}；（2）分2种情况讨论：①、当m+1＞2m﹣1，即m＜2时，B＝∅，B⊆A成立；②、当m+1≤2m﹣1，即m≥2时，B≠∅，若B⊆A，必有，解可得2≤m≤3；综合可得：m≤3．即m的取值范围为{m|m≤3}19．【解答】解：（1）根据题意，不等式ax2﹣3x+2＞0的解集为{x|x＜1或x＞b}，即1、b是方程ax2﹣3x+2＝0的两根，则有，解可得，（2）由（1）的结论，a＝1，b＝2；原不等式即x2﹣（c+2）x+2c＜0；即（x﹣2）（x﹣c）＜0，方程x2﹣（c+2）x+2c＝0有两根，2和c，当c＞2时，不等式的解集为{x|2＜x＜c}，当c＜2时，不等式的解集为{x|c＜x＜2}，当c＝2时，不等式的解集为∅．综合可得：当c＞2时，不等式的解集为{x|2＜x＜c}，当c＜2时，不等式的解集为{x|c＜x＜2}，当c＝2时，不等式的解集为∅．20．【解答】解：（1）由题意得：0∈（﹣1，1），∴f（0）＝b＝0，∴f（x）＝，∴f（）＝＝＝∴a＝1，（2）由（1）f（x）＝＝y，则yx2+y＝x，即yx2﹣x+y＝0这个方程一定有解当y＝0时，x＝0，当y≠0时：△＝1﹣4y2≥0，﹣≤y≤且y≠0，综上可知：y∈[﹣，]．21．【解答】解：（1）∵函数f（x）＝x2﹣2ax+5（a＞1），∴f（x）开口向上，对称轴为x＝a＞1，…（2分）∴f（x）在[1，a]是单调减函数，…（6分）∴f（x）的最大值为f（1）＝6﹣2a；f（x）的最小值为f（a）＝5﹣a2…（10分）∴6﹣2a＝a，且5﹣a2＝1∴a＝2…（14分）（2）函数f（x）＝x2﹣2ax+5＝（x﹣a）2+5﹣a2．开口向上，对称轴为x＝a，∵f（x）在区间（﹣∞，2]上是减函数，对称轴大于等于2，∴a≥2，a+1≥3，f（x）在（1，a）上为减函数，在（a，a+1）上为增函数，f（x）在x＝a处取得最小值，f（x）min＝f（a）＝5﹣a2，f（x）在x＝1处取得最大值，f（x）max＝f（1）＝6﹣2a，∴5﹣a2≤f（x）≤6﹣2a，∵对任意的x∈[1，a+1]，总有|f（x1）﹣f（x2）|≤4，∴6﹣2a﹣（5﹣a2）≤4，解得：﹣1≤a≤3；综上：2≤a≤3．22．【解答】解：（1），当且仅当时等号成立，故u的取值范围为．（2）解法一（函数法）＝由，又k≥1，k2﹣1≥0，∴f（u）＝u﹣在上是增函数所以＝即当k≥1时不等式成立．解法二（不等式证明的作差比较法）＝＝＝，将k2﹣4x1x2＝（x1﹣x2）2代入得：＝∵（x1﹣x2）2≥0，k≥1时4﹣k2x1x2﹣4k2＝4（1﹣k2）﹣k2x1x2＜0，∴，即当k≥1时不等式成立．（3）解法一（函数法）记＝，则，即求使对恒成立的k2的范围．由（2）知，要使对任意（x1，x2）∈D恒成立，必有0＜k＜1，因此1﹣k2＞0，∴函数在上递减，在上递增，要使函数f（u）在上恒有，必有，即k4+16k2﹣16≤0，解得．解法二（不等式证明的作差比较法）由（2）可知＝，要不等式恒成立，必须4﹣k2x1x2﹣4k2≥0恒成立即恒成立由得，即k4+16k2﹣16≤0，解得．因此不等式恒成立的k2的范围是。

2019-2020学年成都市树德中学高一下学期期中数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.若sinα=−35,α是第四象限角，则sin2α的值是()A. 2425B. −34C. −43D. −24252.已知a>b>0，下列选项正确的是()A. a+b>2aB. a+c<b+cC. |a|<|b|D. a2>b23.设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S4=20，a5=10，则a16=()A. −32B. 12C. 16D. 324.若sinθ+cosθ=√2，则tan(θ+π3)的值是()A. 1B. −√3−2C. −1+√3D. −√2−35.设变量x，y满足约束条件{x−y≤3x+y≥1x+3y≤3，则z=2x−y的取值范围为()A. [−1,3]B. [−1,6]C. [−1,5]D. [5,6]6.在△ABC中，C=3B，则cb的取值范围为()A. (√22,√32) B. (√2,3) C. (1,√3) D. (1,3)7.△ABC中，若c2−a2=b2−ab，则内角C的大小为()A. π6B. π3C. 2π3D. 5π68.设等比数列{a n}的前n项和为S n，若a3=4，S3=7，则S6的值为()A. 31B. 32C. 63D. 649.已知tan(π4+α)=3，则tanα=()A. 12B. 1 C. 14D. 210.已知数列{a n}的通项公式a n=6n−713n−35，则下列说法正确的是()A. a n的最小值、最大值都不存在B. a n的最小值、最大值都存在C. a n的最小值存在、最大值不存在D. a n的最小值不存在、最大值存在11.在△ABC中，若sinAsinB=cos2C2，则△ABC是()A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 直角三角形D. 等腰直角三角形12.数列{a n}中，若S n=3a n−1−1(n≥2,n∈N∗)，a1=1，则a2=()A. 4B. 3C. 2D. 1二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.化简3sin2x+√3cos2x=______ ．14.若不等式ax2+ax+1>0的解集为R，则实数a的取值范围为_____________．15.已知数列{a n}的前n项和为S n，且S3=1，S4=−3，a n+3=2a n(n∈N∗)，则S2017=________．16.在四边形ABCD中，∠BAC=90∘,BC=4,CD=1,AB=2AD,AC是∠BCD的角平分线，则BD=_____________三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知数列{a n}满足：a1=4，a n a n+1+4=4a n．}为等差数列；(I)求证：{2a n−2(II)设b n=(a n−2)(a n+1−2)，求数列{b n}的前n项和．18.已知函数f(x)=x2+3(x≠a,a为非零常数)．x−a(1)解不等式f(x)<x；(2)设x>a时，f(x)有最小值为6，求a的值．]上单调递增，且满足f(x)= 19.已知函数f(x)=sin(x+φ)+√3cos(x+φ)(0<|φ|<π)在[0,π3−x)．f(2π3(Ⅰ)求φ的值；)的值．(Ⅱ)若f(x0)=1，求sin(2x0−π620.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，tanC=2√6．(1)求cos C；(2)若ab=20，且a+b=1，求△ABC的周长．21.已知数列{a n}中．a1=2，且a n=2a n−1−n+2(n≥2,n∈N∗).(Ⅰ)求a2，a3并证明{a n−n}是等比数列；(Ⅱ)设b n=a n，求数列{b n}的前n项和S n．2n−122.数列{a n}的各项都为正数，设其前n项和为S n，已知对任意n∈N∗，S n是a n2和a n的等差中项．(1)证明：数列{a n}为等差数列;(2)若b n=−n+5，求{a n·b n}的最大项的值，并求出取最大值时n的值．【答案与解析】1.答案：D解析：本题考查同角三角函数的基本关系的应用，二倍角公式的应用．根据α为第四象限角，利用sinα，可得cosα的值，sin2α求得结果．解：∵α为第四象限角，sinα=−3，∴cosα=4，∴sin2α=2sinαcosα=2×(−3)×45=−2425．故选D．2.答案：D解析：解：A.由a+b>2a，即b>a，与已知矛盾；B.a+c<b+c，即a<b，与已知矛盾；C.a>b>0，∴|a|>|b|，不正确；D.a>b>0，可得a2>b2，正确．故选：D．A.由a+b>2a，即b>a，不正确；B.a+c<b+c，即a<b，不正确；C.a>b>0，可得|a|>|b|，不正确；D.a>b>0，可得a2>b2．本题考查了不等式的基本性质，属于基础题．3.答案：D解析：本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，为基础题．先利用等差数列的通项公式与求和公式可求出首项与公差，即可求a16．解：设等差数列{a n}的公差为d，由题意得，a5=a1+4d=10，S4=4a1+6d=20，解得a1=d=2，则a16=a1+15d=32，故选D．4.答案：B解析：解：∵sinθ+cosθ=√2(√22sinθ+√22cosθ)=√2sin(θ+π4)=√2，∴sin(θ+π4)=1，∴θ+π4=2kπ+π2(k∈Z)．∴θ=2kπ+π4(k∈Z)．∴tan(θ+π3)=tan(π4+π3)=tanπ4+tanπ31−tanπ4tanπ3=√31−√3=√3)2(1−√3)(1+√3)=−2−√3．故选：B．利用三角恒等变换可得sinθ+cosθ=√2sin(θ+π4)=√2，于是得：θ=2kπ+π4(k∈Z)，再利用两角和的正切计算即可．本题考查三角恒等变换的应用与两角和与差的正切函数，求得θ=2kπ+π4(k∈Z)是关键，考查化归思想与运算求解能力，属于中档题．5.答案：B解析：解：由z=2x−y得y=2x−z，作出不等式对应的平面区域(阴影部分)如图：平移直线y=2x−z，由图象可知当直线y=2x−z经过点A(0,1)时，直线y=2x−z的截距最大，此时z最小．当直线y=2x−z经过点C(3,0)时，直线y=2x−z的截距最小，此时z最大．所以z的最大值为z=2×3=6，最小值z=0−1=−1．即−1≤z≤6．故选：B．作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数z的几何意义，进行平移，结合图象得到z=2x−y的取值范围本题主要考查线性规划的基本应用，利用数形结合，结合目标函数的几何意义是解决此类问题的基本方法6.答案：D解析：解：利用正弦定理：cb =sinCsinB=sin3BsinB，=sin2BcosB+cos2BsinBsinB，=2cos2B+2cos2B−1，=4cos2B−1，由于：A+B+C=π，所以：A+4B=π，故：A=π−4B，则：0<B<π4，所以4cos2B−1∈(1,3)．故选：D．直接利用正弦定理的应用和三角函数关系式的恒等变换求出结果．本题考查的知识要点：正弦定理余弦定理和三角形面积的应用，三角函数关系式的变换，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．7.答案：B解析：解：△ABC中，∵c2−a2=b2−ab，则cosC=a2+b2−c22ab =12，∴C=π3，故选：B．由条件利用余弦定理，求得cos C的值，可得C的值．本题主要考查余弦定理的应用，属于基础题．8.答案：C解析：根据等比数列通项公式和前n项和公式进行计算即可．本题主要考查等比数列通项公式和前n项和公式的应用．解：设等比数列的公式为q，若q=1，则S3=3a1=3a3，而a3=4，S3=7，不符合S3=3a3，所以q≠1，因为{a1·q2=4a1(1−q3)1−q=7，解得：a1=1，q=2，那么：S6=a1(1−q6)1−q =1−261−2=63．故选C．9.答案：A解析：根据已知的条件，利用两角和的正切公式可得1+tanα1−tanα=3，解方程求得tanα的值．本题主要考查两角和的正切公式的应用，属于基础题．解：∵已知tan(α+π4)=3，∴1+tanα1−tanα=3，解得tanα=12，故选：A．10.答案：B解析：本题考查数列的函数特征−单调性，属于基本题；利用函数单调性定义证明即可．a n=6n−713n−35=2(3n−35)−13n−35=2−13n−35=2−13n−353，由反比例函数图像易知：当n≤11时，2<a1<a2<⋯<a11，当n≥12时，a12<a13<⋯<a n<2，故当n=11时取得a n的最大值、当n=12时取得a n的最小值．故选B．11.答案：A解析：本题考查二倍角的余弦公式，两角差的余弦公式，根据三角函数的值求角，得到cos(A−B)=1，是解题的关键．由由条件利用二倍角的余弦公式可得sinAsinB=1 − cos(A+B)2，可得cos(A−B)=1，又−π<A−B<π，故A−B=0．解：△ABC中，若sinAsinB=cos2C2，∴sinAsinB= 1 + cosC2，sinAsinB=1 − cos(A+B)2，∴2sinAsinB=1−cosAcosB+sinAsinB，∴cos(A−B)=1．又−π<A−B<π，∴A−B=0，即A=B，故△ABC是等腰三角形，故选：A．12.答案：D解析：本题考查数列的递推关系式的应用，是基本知识的考查．直接利用数列的递推关系式，通过n=2，求解即可．解：数列{a n}中，若S n=3a n−1−1(n≥2,n∈N∗)，a1=1，可得a1+a2=S2=3a1−1=2，所以a2=1，故选：D．13.答案：2√3sin(2x+π6)解析：解：3sin2x+√3cos2x=2√3(√32sin2x+12cos2x)=2√3sin(2x+π6)，故答案为：2√3sin(2x+π6).先提取公因式2√3进而利用两角和与差的正弦函数公式求得答案．本题主要考查了两角和与差的正弦函数公式的应用．属基础题．14.答案：[0,4)解析：根据不等式恒成立的条件建立不等式即可得到结论．本题主要考查不等式恒成立的解法，利用不等式恒成立满足的条件是解决本题的关键．解：当a=0时，1>0恒成立；当a>0时，Δ=a2−4a<0，解得0<a<4．综上0≤a<4．故答案为[0,4)．15.答案：−2672−1解析：本题考查了数列的递推公式和数列求和，是容易题．∵a4=S4−S3=−4，2017=3×672+1，∴a2017=a4×2671=−2673，∴S2017=(a1+a2+a3)+(a4+a5+a6)+...+(a2014+a2015+a2016)+a2017，这样可以求出结果．解：∵a4=S4−S3=−4，2017=3×672+1，∴a2017=a4×2671=−2673，∴S2017=(a1+a2+a3)+(a4+a5+a6)+...+(a2014+a2015+a2016)+a2017=1−26721−2−2673=−2672−116.答案：√21解析：本题考查余弦定理在解三角形中的应用，属于中档题．根据题意，设AD=x，由AC是∠BCD的角平分线，在△ABC和△ACD中，结合余弦定理即可得到AD的值，进而求得∠CAD的值，在△ABD中，再根据余弦定理即可求解BD的值．解：根据题意设AD=x，则AB=2x，AC=2√4−x2，由AC是∠BCD的角平分线，所以∠BCA=∠ACD，在△ABC中，由余弦定理可得=22 2×4×√16−4x2=22√4−x2，在△ACD中，由余弦定理可得=22 2×1×√16−4x2=24√4−x2，所以4−x 22√4−x2=17−5x24√4−x2，解得x=√3，所以AB=2√3，AC=2，在△ACD中，根据AD2+CD2=AC2，可知△ACD为直角三角形，所以sin∠CAD=12，即∠CAD=30°，所以∠BAD=120°，在△BAD中，由余弦定理可得=2 2×2√3×√3=−12，解得BD=√21，故答案为√21．17.答案：证明：(Ⅰ)2a n+1−2=24a n−4a n−2=a na n−2=1+2a n−2，故{2an−2}为等差数列；(Ⅱ)由(Ⅰ)知2a n−2=24−2+n−1=n，故a n−2=2n ，b n=(a n−2)(a n+1−2)=2n⋅2n+1∴b1+b2+⋯+b n=4[11⋅2+12⋅3+⋯+1n(n+1)]=4(1−12+12−13+⋯+1n−1n+1)=4nn+1．解析：(Ⅰ)直接利用关系式的恒等变换求出数列是等差数列．(Ⅱ)直接利用裂项相消法求出数列的和本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及证明，裂项相消法在数列求和中的应用．18.答案：解：(1)f(x)<x，即x2+3x−a<x，整理为(ax+3)(x−a)<0．当a>0时，(x+3a)(x−a)<0，∴解集为{x|−3a<x<a}；当a<0时，(x+3a)(x−a)>0，解集为{x|x>−3a或x<a}．(2)设t=x−a，则x=t+a(t>0)．∴f(x)=t2+2at+a2+3t=t+a2+3t+2a≥2√t·a2+3t+2a=2√a2+3+2a．当且仅当t=a2+3t，即t=√a2+3时，等号成立，即f(x)有最小值2√a2+3+2a．依题意有：2√a2+3+2a=6，解得a=1．解析：熟练掌握分式不等式等价转化为整式不等式、一元二次不等式的解法、分类讨论思想方法、基本不等式的性质等是解题的关键．(1)由f(x)<x，得(ax+3)(x−a)<0，对a与0的关系讨论即可得出；(2)设t=x−a，则f(x)==t+a2+3t+2a，利用基本不等式即可得出．19.答案：解：(Ⅰ)由函数满足满足f(x)=f(2π3−x)．得知函数f(x)关于x=π3对称，又函数f(x)在[0,π3]上单调递增，所以f(x)在x=π3取得最大值．又f(x)=sin(x+φ)+√3cos(x+φ)，=2sin(x+φ+π3)，所以f(π3)=2sin(φ+2π3)=2，故φ+2π3=2kπ+π2(k∈Z)，由于0<|φ|<π，所以：φ=−π6．(Ⅱ)由f(x0)=1，知sin(x0+π6)=12，所以：sin(2x0−π6)，=sin[2(x0+π6)−π2]，=−cos2(x0+π6)，=2sin2(x0+π6)−1，=−12．解析：本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用及函数的求值．(Ⅰ)直接利用三角函数关系式的恒等变换求出函数的关系式．(Ⅱ)利用函数的关系式的变换和函数的性质求出结果．20.答案：(本题满分为10分)解：(1)∵tanC=2√6，∴sinCcosC=2√6，……………………………………………………(1分)又∵sin2C+cos2C=1，解得cosC=±15.………………………………………………(3分)∵tanC>0，∴C是锐角．∴cosC=15.……………………………………………………(4分)(2)∵ab=20．又∵a+b=9，∴a2+2ab+b2=81．∴a2+b2=41．∴c2=a2+b2−2abcosC=33．∴c=√33.…………………………………………………(9分)∴△ABC的周长为：a+b+c=9+√33.………………………………………………………………(10分)解析：(1)由已知利用同角三角函数基本关系式可求cos C的值．(2)由已知可求a2+b2=41，根据余弦定理可求c的值，即可得解三角形的周长．本题主要考查了同角三角函数基本关系式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．21.答案：解：(Ⅰ)由a n=2a n−1−n+2(n≥2,n∈N∗)，且a1=2，得a2=2a1−2+2=4，a3=2a2−3+2=2×4−3+2=7．再由a n=2a n−1−n+2，得a n−n=2a n−1−2n+2，即a n−n=2[a n−1−(n−1)]，∵a n−na n−1−(n−1)=2(n≥2,n∈N∗)，∴{a n−n}是以2为公比的等比数列．(Ⅱ)由(Ⅰ)得，a n−n=(a1−1)⋅2n−1，即a n=2n−1+n，∴b n=a n2n−1=1+n2n−1，设c n=n2n−1，且其前n项和为T n，∴Tn=120+221+322+⋯+n2n−1①1 2T n=121+222+323…+n2n②①−②得：12T n=1+(12−122+123+⋯+12n−1)−n2n=1−1 2n1−12−n2n=2−2+n2n．∴T n=4−2+n2n−1，则S n=n+4−2+n2．解析：本题考查了数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了错位相减法求数列的和，是中档题．(Ⅰ)在已知的数列递推式中分别取n=2，3，结合已知的首项即可求得a2，a3的值，再把递推式两边同时减n即可证明{a n−n}是等比数列；(Ⅱ)由{a n−n}是等比数列求出数列{a n}的通项公式，代入b n=a n2n−1，分组后利用错位相减法求数列{b n }的前n 项和S n ．22.答案：(1)证明：由已知可得2S n =a n 2+a n ，且a n >0，当n =1时，2a 1=a 12+a 1，解得a 1=1；当n ≥2时，有2S n−1=a n−12+a n−1，所以2a n =2S n −2S n−1=a n 2−a n−12+a n −a n−1，所以a n 2−a n−12=a n +a n−1，即(a n +a n−1)(a n −a n−1)=a n +a n−1，因为a n +a n−1>0，所以a n −a n−1=1(n ≥2)．故数列{a n }是首项为1，公差为1的等差数列．(2)解：由(1)可知a n =n ，设c n =a n ·b n ，则c n =n(−n +5)=−n 2+5n =−(n −52)2+254，因为n ∈N ∗，当n =2或n =3时，{a n ·b n }的最大项的值为6．解析：本题考查了数列的函数特征、递推关系和等差数列的性质，是中档题．(1)当n ≥2时，所以2a n =2S n −2S n−1=a n 2−a n−12+a n −a n−1，即(a n +a n−1)(a n −a n−1)=a n +a n−1，因为a n +a n−1>0，所以a n −a n−1=1(n ≥2)．(2)由题意得c n =n(−n +5)=−n 2+5n =−(n −52)2+254，因为n ∈N ∗，当n =2或n =3时，{a n ·b n }取得最大项．。

绝密★启用前2019-2020学年四川省成都市高一下学期（线上测试）期中数学试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题1．sin15cos15︒︒的值是( )A ．14B ．12C ．34D ．32答案：A直接利用二倍角的正弦公式与特殊角的三角函数求解即可. 解：sin15cos15sin15c 111112sin 3022os15224︒︒︒︒=⨯==⨯=o ,故选A.点评：本题主要考查二倍角的正弦公式以及特殊角的三角函数，意在考查对基础知识的掌握与应用，属于基础题. 2．不等式的解集为（ ）A ．B ．C ．D ．答案：C 将化为，即，所以不等式的解集为.故选C.3．已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若4910a a +=，则12S 等于（ ） A ．30 B ．45 C ．60 D ．120答案：C 试题分析：()()1121249126602a a S a a +⨯==⨯+=，故选C ．【考点】等差数的前n 项和．4．已知sin -2πα⎛⎫ ⎪⎝⎭＝35，则cos (π＋α)的值为( )A ．45B ．－45C ．35D ．－35答案：D由诱导公式化简已知式子可求cos a ，再运用诱导公式对所求化简求值． 解： 因为sin 2πα⎛⎫- ⎪⎝⎭＝cos α＝35，所以cos(π＋α)＝－cos α＝－35．故选D ． 点评：本题主要考查了运用诱导公式化简求值，属于基础题． 5．若0,0a b c d >>>>，则一定有（ ） A ．a bc d> B ．a b c d< C ．a b d c> D ．a b d c< 答案：C 由题,可得10cd >,且ac bc bd >>,即11ac bd cd cd⋅>⋅,整理后即可得到作出判断 解：由题可得0cd >,则10cd>, 因为a b >,0c d >>则ac bc >,bc bd >,则有ac bd >, 所以11ac bd cd cd ⋅>⋅,即a b d c> 故选C 点评：本题考查不等式的性质的应用,属于基础题6．在ABC ∆中，2cos a b C =，则这个三角形一定是( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等腰或直角三角形答案：A 在△ABC 中，2cos a b C =，由正弦定理可得：2cos sinAsinB C=，即2?cos sinA sinB C =. 又()sin sinA B C sinBcosC cosBsinC =+=+. 所以 cos cosBsinC sinB C =，即()sin 0B C -=.有B C =.所以△ABC 为等腰三角形. 故选A.7．如图，要测出山上石油钻井的井架BC 的高，从山脚A 测得60AC m =，塔顶B 的仰角45o ，塔底C 的仰角15o ，则井架的高BC 为A ．202mB ．302mC ．203mD ．303m答案：B试题分析：由题意得，∠BAC=45°-15°=30°，∠ABC=α=45°，且AC=60m ， 在△ABC 中，由正弦定理得，sin sin BC AC A B =，即60sin 30sin 45BC =o o， 解得BC=302m【考点】正弦定理；任意角的三角函数的定义8．已知(),0,x y ∈+∞,且满足1112x y +=,那么4x y +的最小值为（ ）A ．32B ．322+C ．32D ．42答案：B利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出结果. 解：解：∵(),0,x y ∈+∞,且满足1112x y+=, 那么()11442x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭432y x x y=++ 4323222y x x y≥+⋅=+当且仅当1x ==.∴最小值为3+. 故选：B 点评：本题考查基本不等式的应用,利用“乘1法”是基本不等式求最值中的重要方法,基本不等式的应用要注意“一正二定三相等”. 9．已知{}n a 是等比数列，且5371,422a a a =+=，则9a = A ．2± B ．8C ．18D ．2答案：D{}n a 是等比数列，且512a =,得237514a a a ==.又3742a a +=，联立得314a =.253 q 2a a ==. 4952a a q ==.故选D.10．已知sin 2cos αα-=，则tan2α= A ．34B ．34-C ．43D ．43-答案：Asin 2cos αα-=Q ，225sin 4cos 42sin cos αααα∴-+=.化简得：4sin23cos2αα=.3tan24α∴=.故选A. 点睛：三角化简求值合理利用22sin ?1cos αα+=和tan sin cos ααα=. 11．已知在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别是a,b,c 且BC 边上的高为2a ,则c bb c+的最大值为( )A ．BC ．2D ．4答案：A先由题得到22sin a bc A =，再化简22222cos 2cos c b c b a bc A a A b c bc bc bc+++===+=2sin 2cos 4A A A π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，再利用三角函数求函数的最大值.解： 由题意可知，11sin 222a a bc A ⨯⋅=，得22sin a bc A =，所以22222cos 2cos c b c b a bc A a A b c bc bc bc+++===+=2sin 2cos 4A A A π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，由BC 边上的高为2a 可得02A π<<，故当4A π=时c bb c+的最大值为故答案为A 点评：本题主要考查余弦定理解三角形，考查三角形的面积的计算，考查三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力. 12．给出以下三个结论：①若数列{}n a 的前n 项和为*31()n n S n N =+∈，则其通项公式为123n n a -=⋅；②已知a b >，一元二次不等式220ax x b ++≥对于一切实数x 恒成立，又存在0x R ∈，使20020ax x b ++=成立，则22a b a b+-的最小值为③若正实数x y ，满足244x y xy ++=，且不等式2(2)22340x y a a xy +++-≥恒成立，则实数a 的取值范围是5(,3][,)2-∞-+∞U . 其中正确的个数为 A ．0 B ．1C ．2D ．3答案：C①1n =时不成立，不正确；②∵已知a b >，一元二次不等式220ax x b ++≥对于一切实数x 恒成立，∴0a >，且440ab =-V„，∴1ab …. 再由存在0x R ∈，使20020ax x b ++=成立，可得011ab a =∴=∴>V ，，.∴()22222a b aba b a b a ba ba b-++==-+≥---22a b a b+-的最小值为 ③∵正实数x ，y 满足244x y xy ++=，可得244x y xy +=-， ∴不等式()2222340x y a a xy +++-≥恒成立，即()24422340xy a a xy -++-≥恒成立，变形可得()222214234xy a a a +-+…恒成立， 即2221721a a xy a -++…恒成立，∵0,0,2x y x y >>∴+…，∴4244xy x y =+++…即22xy …≥(舍负) 可得2xy …,要使2221721a a xy a -++…恒成立,只需22217221a a a -++…恒成立， 化简可得()()22150,a 32a 50a a +-+-≥…. 解得532a a-或剠，正确. 正确的个数为2个，故选C.点睛：（1）利用n S 求n a 时注意1121n n n S S n a S n --≥⎧=⎨=⎩，;（2）二次抛物线恒大于等于0，即为图象开口向上，判别式小于等于0，二次方程等于0有解，即为判别式大于等于0恒成立；（3）不等式恒成立问题首选变量分离，将原不等式化为2221721a a xy a -++…恒成立，只需()2221721min a a xy a -++…成立即可.二、填空题13．在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，，且3,c 1a ==，3B π=，则b 的值为________；在ABC ∆中,由余弦定理可得222129123172b ac accosB =+-=+-⨯⨯⨯=. b =14．数列{}n a 中，1121,2nn n a a a a +==+，则其通项公式n a =________； 答案：21n + 122n n n a a a +=+两边同时取倒可得：1211122n n n n a a a a ++==+. 所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以111a =为首项，以12为公差的等差数列.()1111n 122n n a +=+-⨯=. 所以21n a n =+. 15．已知304απ<<,且3sin()45πα-=，则cos2=α_______； 答案：2425-3sin 4225cos πααα⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭,sin 5cos αα-=. 平方得1812sin 25cos αα-=，求得7sin 50cos αα=. 又30sin 04cos πααα<，,所以sin 0α>, 0cos α>. ()232sin 12sin 25cos cos αααα+=+=. sin 5cos αα+=.()()2224cos2cos 5525sin cos sin cos sin ααααααα⎛=-=+-=-=- ⎝⎭. 点睛：三角化简求值时常遇见sin cos αα+，cos sin αα-和sin cos αα被称为“亲密三姐妹”，即关系密切，任意两者具有等量关系.2(sin )12sin cos cos αααα+=+,2(sin )12sin cos cos αααα-=-,22 (sin )(sin )2cos cos αααα++-=.16．函数()f x 是定义在R 上的不恒为零的函数，对于任意实数,x y 满足：(2)2,()()()f f xy xf y yf x ==+,(2)(2n n nf a n =∈*)N ,*(2)()n n f b n N n=∈ 考查下列结论：①(1)1f = ；②()f x 为奇函数；③数列{}n a 为等差数列；④数列{}n b 为等比数列.以上结论正确的是__________． 答案：②③④①因为对定义域内任意x ,y ,f (x )满足f (xy )=yf (x )+xf (y )， ∴令x =y =1,得f (1)=0，故①错误， ②令x =y =−1,得f (−1)=0； 令y =−1,有f (−x )=−f (x )+xf (−1)， 代入f (−1)=0得f (−x )=−f (x )，故f (x )是(−∞,+∞)上的奇函数．故②正确， ③若()22n n nf a = (n ∈N ∗)，则()()()()()()()()1111111222222222222212222222n n nn n n n n n nn n n nf f f f f f f f a a -------+--=-=-====.为常数.故数列{n a }为等差数列，故③正确， ④∵f (2)=2,f (xy )=xf (y )+yf (x )， ∴当x =y 时,f (x 2)=xf (x )+xf (x )=2xf (x )， 则()()22242822f f ===⨯，()()()3223332222222232f f f =+=+⨯=⨯.… 则()22nnf n =⨯，若()2n nf b n=n ∈N ∗)，则()()()()()()()11112121221222n 1nnn n n n n n f n f n n b n b n n f nf ------====--n n n n 为常数， 则数列{n b }为等比数列，故④正确， 故答案为②③④．三、解答题17．已知不等式20ax x c ++>的解集为{|13}x x <<． （1）求实数a ，c 的值;（2）若不等式2240ax x c ++>的解集为A ，不等式30ax cm +<的解集为B ，且A B ⊆，求实数m 的取值范围．答案：（1）14{34a c =-=-；（2）[)2,-+∞.解：（1）依题意得，1、3是方程20ax x c ++=的两根，且0a <，所以，01{1313a a c a<+=-⨯=．解得14{34a c =-=-；（2）由（1）得13,44a c =-=-，所以，2240ax x c ++>即为212304x x -+->，解得，26x <<，∴{}|26A x x =<<，又30ax cm +<，即为0x m +>解得x m >-，∴{}B x x m =-， ∵A B ⊂，∴{}{}|26x x x x m <<⊂-， ∴2m -≤，即2m ≥-， ∴的取值范围是[)2,-+∞．18．已知A 、B 、C 为ABC ∆的三内角，且其对边分别为a 、b 、c ，若1cos cos sin sin 2B C B C -=．（1）求角A 的大小； （2）若23,4a b c =+=，求ABC ∆的面积． 答案：（1）23A π=；（2）3. （1）已知等式左边利用两角差的余弦函数公式化简，求出()cos B C +的值，确定出B C +的度数，即可求出A 的度数；（2）利用余弦定理列出关系式，再利用完全平方公式变形，将a 与b c +的值代入求出bc 的值，再由sin A 的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC 的面积. 解：(1)∵cos B cos C －sin B sin C ＝， ∴cos(B ＋C )＝.∵A ＋B ＋C ＝π，∴cos(π－A )＝.∴cos A ＝－. 又∵0<A <π，∴A ＝.(2)由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc ·cos A . 则(2)2＝(b ＋c )2－2bc －2bc ·cos.∴12＝16－2bc －2bc ·(－)．∴bc ＝4. ∴S △ABC ＝bc ·sin A ＝×4×＝.点评：本题主要考查余弦定理、特殊角的三角函数以及三角形面积公式的应用，属于中档题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）2222cos a b c bc A =+-；（2）222cos 2b c a A bc+-=，同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住30,45,60ooo等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.19．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足4724,63S S ==． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若2n an b =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．答案：（1）21n a n =+；（2）8(41)3n -.解：（1）因为{}n a 为等差数列，所以4171434242767632S a d S a d ⨯⎧=+=⎪⎪⎨⨯⎪=+=⎪⎩，解得132a d =⎧⎨=⎩，21n a n ∴=+ ；（2）212224na n n nb +===⋅Q ，()()1284124443n n n T -∴=+++=L .20．已知向量2,1),(cos ,cos )444x x x m n ==u v v ，若()f x m n =⋅u v v ,（1）求()f x 递增区间；（2）ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ,且(2)cos cos a c B b C -=，求(A)f 的取值范围． 答案：（1）42[4,4],33k k k Z ππππ-+∈；（2）3(1,)2. 解：（1）()f x m n =⋅r r2cos cos 444x x x+1cos222xx+=+ 1sin 262x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭， 由22,2262x k k k Z πππππ-≤+≤+∈得：4244,33k x k k Z ππππ-≤≤+∈， ()f x ∴的递增区间为424,4,33k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦（2）()2cos cos a c B b C -=Q ，由正弦定理得()2sin sin cos sin cos A C B B C -=，2sin cos sin cos sin cos A B C B B C ∴-=，()2sin cos sin A B B C ∴=+， (),sin sin 0A B C B C A Q π++=∴+=≠，1cos 2B ∴=0B Q π<<，2,033B A ππ∴=∴<<，6262A πππ∴<+<，1sin ,1262A π⎛⎫⎛⎫+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又()1sin 262x f x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭Q ，()1sin 262A f A π⎛⎫∴=++ ⎪⎝⎭，故函数()f A 的取值范围是31,2⎛⎫⎪⎝⎭．21．设数列{}n a 的前n 项和为1,1n S a =，且对任意正整数n ，满足1220n n a S ++-=． （1）求数列{}n a 的通项公式;（2）设n n b na =，求数列{}n b 的前n 项和n T .答案：（1）112n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭；（2）114(2)2n n T n -=-+. 解：（1）1220n n a S ++-=Q ,∴ 当2n ≥时，1220n n a S -+-=， 两式相减得11220n n n n a a S S +--+-=，1220,n n n a a a +-+= 112n n a a +∴=； 又当1n =时，212112202a S a a +-=⇒=，即()112n n a a n N +=∈+．{}n a ∴是以首项11a =，公比12q =的等比数列， ∴ 数列{}n a 的通项公式为112n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭（2）由（1）知，12n n n nb na -==， 则22123112222n n n n nT ---=+++++L ，①23111231222222n n n n n T L --=+++++，② ①-②得211111122222n n n n T -=++++-L ， ()1111221221222212n n nnn nnn ⎛⎫-⎪⎛⎫⎝⎭=-=--=-+ ⎪⎝⎭- ，所以，数列{}n b 的前n 项和为()11422n n T n -=-+ . 点睛：用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“Sn ”与“qSn ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn －qSn ”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.22．已知数列{},{}n n a b 满足：1,n n a b += 1(1)(1)nn n n b b a a +=-+，且11,a b 是函数2()16163f x x x =-+的零点11()a b <．（1）求112,,a b b ； （2）设11n n c b =-，求证：数列{}n c 是等差数列，并求数列{}n b 的通项公式； （3）设1223341n n n S a a a a a a a a +=++++L ，不等式4n n aS b <恒成立时，求实数a 的取值范围． 答案：（1）1113,44a b ==，245b =；（2）23n n b n +=+；（3）(,1]-∞. 解：（1）由2161630x x -+=解得：1213,44x x ==，1113,44a b ∴== 由()()11,11nn n n n n b a b b a a ++==-+得()1122n n n n nb b b b b +==--将134b =代入得245b = (2)因为11112n nb b +-=--，所以12111111n n n n b b b b +-==----即11n n c c +=-，又111143114c b ===--- ∴ 数列{}n c 是以4-为首项，1-为公差的等差数列．()()4113n c n n ∴=-+-⨯-=--由11n n c b =-得1121133n n n b c n n +=+=-=++（3）由题意及（2）知：113n n a b n =-=+ ()()()12233411114556341111111145566734114444n n n S a a a a a a a a n n n n n n n +∴=++++=+++⨯⨯++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=-=++L L L （法一）由()()()()213682404334n n a n a n an n aS b n n n n -+--+-=-=<++++恒成立 即()()213680a n a n -+--<恒成立，设()()()21368f n a n a n =-+--①当1a =时，()380f n n =--<恒成立②当1a >时，由二次函数的性质()()()213680f n a n a n =-+--<不可能恒成立③当1a <时，由于()3631102121a a a -⎛⎫-=--< ⎪--⎝⎭所以()()()21368f n a n a n =-+--在[)1,+∞上单调递减由()()()2113684150f a n a n a =-+--=-<得154a <1a ∴<，4n n aS b <恒成立综上所述：所求a 的取值范围是(],1-∞．。

2020-2021成都树德中学高一数学下期中模拟试卷附答案一、选择题1．水平放置的ABC 的斜二测直观图如图所示，若112A C ＝，111A B C △的面积为22，则AB 的长为（ ）A ．2B ．217C ．2D ．82．已知两点()A 3,4-，()B 3,2，过点()P 1,0的直线l 与线段AB 有公共点，则直线l 的斜率k 的取值范围是( )A ．()1,1-B ．()(),11,∞∞--⋃+C ．[]1,1-D ．][(),11,∞∞--⋃+ 3．已知定义在R 上的函数()21()x m f x m -=-为实数为偶函数,记0.5(log 3),a f 2b (log 5),c (2)f f m ,则,,a b c ,的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．c a b <<C ．a c b <<D ．c b a << 4．<九章算术>中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑.若三棱锥P ABC -为鳖臑，PA ⊥平面,2,4ABC PA AB AC ===，三棱锥P ABC -的四个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为（ ）A ．8πB ．12πC ．20πD ．24π5．如图是某四面体ABCD 水平放置时的三视图（图中网格纸的小正方形的边长为1，则四面体ABCD 外接球的表面积为A ．20πB ．1256π C ．25π D ．100π 6．从点(,3)P m 向圆22(2)(2)1x y +++=引切线，则切线长的最小值( )A ．26B ．5C 26D ．427．设直线,a b 是空间中两条不同的直线，平面,αβ是空间中两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）A ．若a ∥α，b ∥α，则a ∥bB ．若a ∥b ，b ∥α，则a ∥αC ．若a ∥α，α∥β，则a ∥βD ．若α∥β，a α⊂，则a ∥β8．在长方体1111ABCD A B C D -中，11111,2AA A D a A B a ===，点P 在线段1AD 上运动，当异面直线CP 与1BA 所成的角最大时，则三棱锥11C PA D -的体积为（ ）A ．34aB ．33aC ．32aD ．3a 3a9．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．B ．C ．D ．10．某锥体的三视图如图所示（单位：cm ），则该锥体的体积（单位：cm 3）是（ ）A ．13 B ．12 C ．16 D ．1 11．已知直三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都相等，M 为11A C 的中点，则AM 与1BC 所成角的余弦值为( )A ．153B ．53C ．64D ．10412．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），其俯视图为等边三角形，则该几何体的体积（单位：3cm ）是（ ）A ．43B ．1033C ．23D ．833二、填空题13．在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，()5,0B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0AB CD ⋅=，则点A 的横坐标为________．14．若一个圆柱的侧面展开图是边长为2的正方形，则此圆柱的体积为 .15．直线与圆交于两点，则________． 16．若过点(8,1)P 的直线与双曲线2244x y -=相交于A ，B 两点，且P 是线段AB 的中点，则直线AB 的方程为________．17．过正方体1111ABCD A B C D -的顶点A 作直线l ，使l 与棱AB 、AD 、1AA 所成的角都相等，这样的直线l 可以作_________条.18．已知动点,A B 分别在x 轴和直线y x =上，C 为定点()2,1，则ABC ∆周长的最小值为_______.19．圆221x y +=上的点到直线34250x y +-=的距离的最小值是 ．20．如图：点P 在正方体1111ABCD A B C D -的面对角线1BC 上运动，则下列四个命题： ①三棱锥1A D PC -的体积不变； ②1A P ∥面1ACD ；③1DPBC ；④面1PDB 面1ACD ．其中正确的命题的序号是__________.三、解答题21．已知点()1,0P ，圆22:6440C x y x y +-++=. （1）若直线l 过点P 且到圆心C 的距离为2，求直线l 的方程；（2）设过点()0,1Q -的直线m 与圆C 交于A 、B 两点（m 的斜率为负），当||4AB =时，求以线段AB 为直径的圆的方程.22．如图，四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 是平行四边形，BA ＝BD ＝2，AD ＝2，PA ＝PD ＝5，E ，F 分别是棱AD ，PC 的中点．（1）证明：EF ∥平面PAB ；（2）若二面角P －AD －B 为60°．①证明：平面PBC ⊥平面ABCD ；②求直线EF 与平面PBC 所成角的正弦值．23．如图，在棱长均为4的三棱柱111ABC A B C -中，1,D D 分别是BC 和11B C 的中点.（1）求证：11//A D 平面1AB D（2）若平面ABC ⊥平面111,60BCC B B BC ∠=︒，求三棱锥1B ABC -的体积.24．如图，AB 是半圆O 的直径，C 是半圆O 上除A ，B 外的一个动点，DC 垂直于半圆O 所在的平面，DC ∥EB ，DC ＝EB ＝1，AB ＝4.（1）证明：平面ADE ⊥平面ACD ；（2）当C 点为半圆的中点时，求二面角D ﹣AE ﹣B 的余弦值.25．如图，在四棱锥P ABCD -中，侧面PAD ⊥底面ABCD ，侧棱PA PD ⊥，底面ABCD 是直角梯形，其中//BC AD ，90BAD ∠=︒，3AD BC =，2AO OD =.（1）求证：平面PAB ⊥平面PCD .（2）试问在棱PA 上是否存在点E ，使得面//BOE 面PCD ，若存在，试指出点E 的位置并证明；若不存在，请说明理由.26．已知点()1,0P ，()4,0Q ，一动点M 满足2MQ MP =.（1）求点M 的轨迹方程；（2）过点()2,3A 的直线l 与（1）中的曲线有且仅有一个公共点，求直线l 的方程.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【解析】【分析】依题意由111A B C △的面积为22114B C =，所以8BC =，2AC =，根据勾股定理即可求AB ．【详解】依题意，因为111A B C △的面积为22， 所以1111122sin 452AC B C ︒=⨯⋅=1112222B C ⨯⨯⨯，解得114B C =， 所以8BC =，2AC =，又因为AC BC ⊥，由勾股定理得：22228268217AB AC BC =+=+==．故选B ．【点睛】本题考查直观图还原几何图形，属于简单题. 利用斜二测画法作直观图，主要注意两点：一是与x 轴平行的线段仍然与x '轴平行且相等；二是与y 轴平行的线段仍然与y '轴平行且长度减半. 2．D解析：D【解析】分析：根据两点间的斜率公式，利用数形结合即可求出直线斜率的取值范围．详解：∵点A （﹣3，4），B （3，2），过点P （1，0）的直线L 与线段AB 有公共点， ∴直线l 的斜率k≥k PB 或k≤k PA ，∵PA 的斜率为4031--- =﹣1，PB 的斜率为2031--=1， ∴直线l 的斜率k≥1或k≤﹣1，故选：D ．点睛：本题主要考查直线的斜率的求法，利用数形结合是解决本题的关键，比较基础．直线的倾斜角和斜率的变化是紧密相联的，tana=k,一般在分析角的变化引起斜率变化的过程时，是要画出正切的函数图像，再分析.3．B解析：B【解析】由()f x 为偶函数得0m =,所以0,52log 3log 32121312,a =-=-=-=2log 521514b =-=-=,0210c =-=,所以c a b <<,故选B.考点：本题主要考查函数奇偶性及对数运算.4．C解析：C【解析】【分析】先作出三棱锥P ABC -的图像，根据P ABC -四个面都为直角三角形和PA ⊥平面ABC ，可知PC 中点即为球心，利用边的关系求出球的半径，再由24S R π=计算即得.【详解】三棱锥P ABC -如图所示，由于P ABC -四个面都为直角三角形，则ABC 是直角三角形，且2ABC π∠=，2223BC AC AB ∴=-=，又PA ⊥平面ABC ，且PAC 是直角三角形，∴球O 的直径2222PC R PA AB BC ==++2025==，5R ∴=，则球O 的表面积2420S R ππ==.故选：C【点睛】本题考查多面体外接球的表面积，是常考题型.5．C解析：C【解析】【分析】【详解】由三视图可知，这是三棱锥的三视图，如下图所示，三角形BCD 为等腰直角三角形， 其外心为BD 中点1O ，设O 为AD 中点，则O 为外接球球心，半径长度为1522AD =， 所以表面积为25π.6．A解析：A【解析】【分析】设切线长为d ,则2222(2)51(2)24d m m =++-=++再利用二次函数的图像和性质求函数的最小值得解.【详解】设切线长为d ,则2222(2)51(2)24d m m =++-=++, min 26d ∴=故选:A.【点睛】本题主要考查圆的切线问题,考查直线和圆的位置关系,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力. 7．D解析：D【解析】【分析】利用空间直线和平面的位置关系对每一个选项逐一分析判断得解.【详解】A. 若a ∥α，b ∥α，则a 与b 平行或异面或相交，所以该选项不正确；B. 若a ∥b ，b ∥α，则a ∥α或a α⊂，所以该选项不正确；C. 若a ∥α，α∥β，则a ∥β或a β⊂，所以该选项不正确；D. 若α∥β，a α⊂，则a ∥β，所以该选项正确.故选：D【点睛】本题主要考查空间直线平面位置关系的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.解析：B【解析】【分析】当P 与A 重合时，异面直线CP 与BA 1所成的角最大，由此能求出当异面直线CP 与BA 1所成的角最大时，三棱锥C ﹣PA 1D 1的体积．【详解】如图，当P 与A 重合时，异面直线CP 与BA 1所成的角最大，∴当异面直线CP 与BA 1所成的角最大时，三棱锥C ﹣PA 1D 1的体积：11C PA D V -=11C AA D V -=1113AA D S AB ⨯⨯=1111132AA A D AB ⎛⎫⨯⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭=11232a a a ⎛⎫⨯⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭=33a ．故选:B ．【点睛】 求锥体的体积要充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题求解，注意求体积的一些特殊方法——分割法、补形法、等体积法. ①割补法：求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决．②等积法：等积法包括等面积法和等体积法．等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高时，这一方法回避了通过具体作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值．9．D解析：D【解析】该几何体为半圆柱，底面为半径为1的半圆，高为2，因此表面积为,选D.10．A【解析】【分析】根据三视图知该几何体对应的三棱锥，结合图中数据求得三棱锥的体积．【详解】 由题意可知三棱锥的直观图如图：三棱锥的体积为：111211323⨯⨯⨯⨯=． 故选：A ．【点睛】本题考查了利用三视图求几何体体积的应用问题，考查了空间想象能力，是基础题．11．D解析：D【解析】【分析】取AC 的中点N ，连接1C N ，则1//AM C N ,所以异面直线AM 与1BC 所成角就是直线AM 与1C N 所成角，在1BNC ∆中，利用余弦定理，即可求解．【详解】由题意，取AC 的中点N ，连接1C N ，则1//AM C N ,所以异面直线AM 与1BC 所成角就是直线AM 与1C N 所成角，设正三棱柱的各棱长为2,则115,22,3C N BC BN ===设直线AM 与1C N 所成角为θ，在1BNC ∆中，由余弦定理可得222(5)(22)(3)10cos 2522θ+-==⨯⨯， 即异面直线AM 与1BC 10，故选D ．【点睛】本题主要考查了异面直线所成角的求解，其中解答中把异面直线所成的角转化为相交直线所成的角是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．12．B解析：B 【解析】由题意可知该几何体为正三棱柱去掉一个小三棱锥，1104323333V =⋅=. 故选：B.二、填空题13．3【解析】分析：先根据条件确定圆方程再利用方程组解出交点坐标最后根据平面向量的数量积求结果详解：设则由圆心为中点得易得与联立解得点的横坐标所以所以由得或因为所以点睛：以向量为载体求相关变量的取值或范解析：3 【解析】分析：先根据条件确定圆方程，再利用方程组解出交点坐标，最后根据平面向量的数量积求结果.详解：设(),2(0)A a a a >，则由圆心C 为AB 中点得5,,2a C a +⎛⎫⎪⎝⎭易得()()():520C x x a y y a --+-=，与2y x =联立解得点D 的横坐标1,D x =所以()1,2D .所以()55,2,1,22a AB a a CD a +⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭， 由0AB CD ⋅=得()()()2551220,230,32a a a a a a a +⎛⎫--+--=--== ⎪⎝⎭或1a =-， 因为0a >，所以 3.a =点睛：以向量为载体求相关变量的取值或范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程或解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法.14．2π【解析】试题分析：设圆柱的底面半径为r 高为h 底面积为S 体积为V 则有2πr=2⇒r=1π故底面面积S=πr2=π×(1π)2=1π故圆柱的体积V=Sh=1π×2=2π考点：圆柱的体积 解析：【解析】试题分析：设圆柱的底面半径为，高为，底面积为，体积为，则有，故底面面积，故圆柱的体积.考点：圆柱的体积15．22【解析】【分析】首先将圆的一般方程转化为标准方程得到圆心坐标和圆的半径的大小之后应用点到直线的距离求得弦心距借助于圆中特殊三角形半弦长弦心距和圆的半径构成直角三角形利用勾股定理求得弦长【详解】根 解析：【解析】 【分析】首先将圆的一般方程转化为标准方程，得到圆心坐标和圆的半径的大小，之后应用点到直线的距离求得弦心距，借助于圆中特殊三角形半弦长、弦心距和圆的半径构成直角三角形，利用勾股定理求得弦长. 【详解】根据题意，圆的方程可化为，所以圆的圆心为，且半径是，根据点到直线的距离公式可以求得， 结合圆中的特殊三角形，可知，故答案为.【点睛】该题考查的是有关直线被圆截得的弦长问题，在解题的过程中，熟练应用圆中的特殊三角形半弦长、弦心距和圆的半径构成的直角三角形，借助于勾股定理求得结果.16．【解析】【分析】设出的坐标代入双曲线方程两式相减根据中点的坐标可知和的值进而求得直线的斜率根据点斜式求得直线的方程【详解】设则直线的方程为即故答案为【点睛】本题主要考查双曲线的方程直线的斜率公式直线 解析：2150x y --=【解析】 【分析】设出,A B 的坐标，代入双曲线方程，两式相减,根据中点的坐标可知12x x +和12y y +的值,进而求得直线AB 的斜率，根据点斜式求得直线的方程. 【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，则1216x x +=，122y y +=，2222112244,44x y x y -=-=，()()()()121212120x x x x y y y y ∴+--+-= ()()12121680x x y y ∴---=，12121628y y x x -==- 2AB k ∴=，∴直线的方程为()128y x -=-，即2150x y --=，故答案为2150x y --=.【点睛】本题主要考查双曲线的方程、直线的斜率公式、直线点斜式方程的应用，意在考查灵活运用所学知识解答问题的能力，属于中档题. 涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化.17．【解析】【分析】将小正方体扩展成4个小正方体根据直线夹角的定义即可判断出符合条件的条数【详解】解：设ABCD ﹣A1B1C1D1边长为1第一条：AC1是满足条件的直线；第二条：延长C1D1到C1且D1 解析：4【解析】 【分析】将小正方体扩展成4个小正方体，根据直线夹角的定义即可判断出符合条件的条数． 【详解】解：设ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1边长为1． 第一条：AC 1是满足条件的直线；第二条：延长C 1D 1到C 1且D 1C 2＝1，AC 2是满足条件的直线； 第三条：延长C 1B 1到C 3且B 1C 3＝1，AC 3是满足条件的直线； 第四条：延长C 1A 1到C 4且C 4A 12=，AC 4是满足条件的直线．故答案为4． 【点睛】本题考查满足条件的直线条数的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力，考查分类与整合思想，是基础题．18．【解析】【分析】点C 关于直线y=x 的对称点为（12）点C 关于x 轴的对称点为（2﹣1）三角形PAB 周长的最小值为（12）与（2﹣1）两点之间的直线距离【详解】点C 关于直线y=x 的对称点为（12）点C 关【解析】 【分析】点C 关于直线y=x 的对称点为C '（1，2），点C 关于x 轴的对称点为C ''（2，﹣1）．三角形PAB 周长的最小值为C '（1，2）与C ''（2，﹣1）两点之间的直线距离． 【详解】点C 关于直线y=x 的对称点为C '（1，2），点C 关于x 轴的对称点为C ''（2，﹣1）．三角形PAB 周长的最小值为C '（1，2）与C ''（2，﹣1）两点之间的直线距离，|C C '''（2，﹣1）．【点睛】本题考查点到直线的距离公式，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．19．4【解析】试题分析：圆的圆心为圆心到直线的距离为所以点到直线的距离的最小值是5-1=4考点：直线和圆的位置关系解析：4 【解析】试题分析：圆的圆心为()0,0,1r =，圆心到直线34250x y +-=的距离为5d ==，所以点到直线34250x y +-=的距离的最小值是5-1=4考点：直线和圆的位置关系20．①②④【解析】对于①因为从而平面故上任意一点到平面的距离均相等以为顶点平面为底面则三棱锥的体积不变正确；对于②连接容易证明且相等由于①知：平面平面所以可得面②正确；对于③由于平面若则平面则为中点与动解析：. ① ② ④ 【解析】对于①，因为11//AD BC ，从而1//BC 平面1AD C ，故1BC 上任意一点到平面1AD C 的距离均相等，∴以P 为顶点，平面1AD C 为底面，则三棱锥1A D PC -的体积不变，正确；对于②，连接111,A B A C 容易证明111//AC A D 且相等，由于①知：11//AD BC ，平面11//BA C 平面1ACD ，所以可得1//A P 面1ACD ，②正确；对于③，由于DC ⊥平面111,BCB C DC BC ∴⊥，若1DPBC ，则1BC ⊥平面DCP ，1BC PC ⊥，则P 为中点，与P 动点矛盾，错误；对于④，连接1DB ，由1DB AC ⊥且11DB AD ⊥，可得1DB ⊥面1ACD ，由面面垂直的判定知平面1PDB ⊥平面1ACD ，④正确，故答案为①②④.三、解答题21．（1）1x =或0y =；（2）()()22134x y -++=. 【解析】 【分析】（1）对直线l 的斜率是否存在进行分类讨论，利用圆心到直线l 的距离等于2可求得直线l 的方程；（2）先通过点到直线的距离及勾股定理可解得直线m 的斜率，然后将直线m 的方程与圆的方程联立，求出线段AB 的中点，作为圆心，并求出所求圆的半径，进而可得出所求圆的方程. 【详解】（1）由题意知，圆C 的标准方程为()()22329x y -++=，∴圆心()3,2C -，半径3r =，①当直线l 的斜率k 存在时，设直线的方程为()01y k x -=-，即kx y k 0--=， 则圆心到直线l 的距离为23221k k d k +-==+，0k ∴=.∴直线l 的方程为0y =；②当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为1x =， 此时圆心C 到直线l 的距离为2，符合题意. 综上所述，直线l 的方程为1x =或0y =；（2）依题意可设直线m 的方程为1y kx =-，即()100kx y k --=<， 则圆心()3,2C -到直线m的距离d ===22320k k ∴+-=，解得12k =或2k =-， 又0k <，2k ∴=-，∴直线m 的方程为210x y ---=即210x y ++=，设点()11,A x y 、()22,B x y ，联立直线m 与圆C 的方程得()()22210329x y x y ++=⎧⎪⎨-++=⎪⎩， 消去y 得251010x x -+=，122x x ∴+=， 则线段AB 的中点的横坐标为1212x x +=，把1x =代入直线m 中得3y =-， 所以，线段AB 的中点的坐标为()1,3-， 由题意知，所求圆的半径为：122AB =， ∴以线段AB 为直径的圆的方程为：()()22134x y -++=.【点睛】本题考查利用圆心到直线的距离求直线方程，同时也考查了圆的方程的求解，涉及利用直线截圆所得弦长求参数，考查计算能力，属于中等题. 22．（1）证明见解析；（2）①证明见解析；②11． 【解析】试题分析：（1）要证明//EF 平面PAB ，可以先证明平面//EF MA ，利用线面平行的判定定理，即可证明//EF 平面PAB ；（2）①要证明平面PBC ⊥平面ABCD ，可用面面垂直的判定定理，即只需证明PB ⊥平面ABCD 即可；②由①BE ⊥平面PBC ，所以FEB ∠为直线EF 与平面PBC所成的角，由PB =ABP ∠为直角，即可计算,AM EF 的长度，在Rt EBF ∆中，即计算直线EF 与平面PBC 所成的角的正弦值．试题解析：（1）证明：如图，取PB 中点M ，连接MF ，AM ． 因为F 为PC 中点，故MF ∥BC 且MF ＝12BC ．由已知有BC ∥AD ，BC ＝AD ． 又由于E 为AD 中点，因而MF ∥AE 且MF ＝AE ，故四边形AMFE 为平行四边形， 所以EF ∥AM ．又AM ⊂平面PAB ，而EF ⊄平面PAB ，所以EF ∥平面PAB ． （2）①证明：如图，连接PE ，BE ．因为PA ＝PD ，BA ＝BD ，而E 为AD 中点，故PE ⊥AD ，BE ⊥AD ， 所以∠PEB 为二面角P －AD －B 的平面角．在△PAD 中，由PA ＝PDAD ＝2，可解得PE ＝2．在△ABD 中，由BA ＝BD ＝2，AD ＝2，可解得BE ＝1．在△PEB 中，PE ＝2，BE ＝1，∠PEB ＝60°，由余弦定理，可解得PB ＝3， 从而∠PBE ＝90°，即BE ⊥PB ．又BC ∥AD ，BE ⊥AD ，从而BE ⊥BC ，因此BE ⊥平面PBC ． 又BE ⊂平面ABCD ，所以平面PBC ⊥平面ABCD ．②连接BF ．由①知，BE ⊥平面PBC ，所以∠EFB 为直线EF 与平面PBC 所成的角． 由PB ＝3及已知，得∠ABP 为直角． 而MB ＝12PB ＝32，可得AM ＝112，故EF ＝112． 又BE ＝1，故在Rt △EBF 中，sin ∠EFB ＝BE EF ＝21111． 所以直线EF 与平面PBC 所成角的正弦值为21111．考点：直线与平面平行的判定及直线与平面垂直的判定与性质；直线与平面所成角的求解．【方法点晴】本题主要考查了直线与平面平行的判定及直线与平面垂直的判定与性质，直线与平面所成角的求解，熟练掌握线面位置关系的判定定理与性质定理是解答基础，同时根据题设条件确定直线与平面所成的角是解答的关键，本题的第二问的解答中，根据BE ⊥平面PBC ，可以确定FEB ∠为直线EF 与平面PBC 所成的角，可放置在Rt EBF ∆中，即计算直线EF 与平面PBC 所成的角的正弦值．23．（1）证明见解析（2）8 【解析】试题分析：（1）欲证A 1D 1∥平面AB 1D ，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证A 1D 1与平面AB 1D 内一直线平行，连接DD 1，根据中位线定理可知B 1D 1∥BD，且B 1D 1=BD ，则四边形B 1BDD 1为平行四边形，同理可证四边形AA 1D 1D 为平行四边形，则A 1D 1∥AD 又A 1D 1⊄平面AB 1D ，AD ⊂平面AB 1D ，满足定理所需条件；（2）根据面面垂直的性质定理可知AD⊥平面B 1C 1CB ，即AD 是三棱锥A ﹣B 1BC 的高，求出三棱锥A ﹣B 1BC 的体积，从而求出三棱锥B 1﹣ABC 的体积． 试题解析：（1）证明：如图，连结1DD .在三棱柱111ABC A B C -中，因为1,D D 分别是BC 与11B C 的中点，所以11//B D BD ，且11B D BD =.所以四边形11B BDD 为平行四边形，所以11//BB DD ，且11BB DD =. 又1111//,AA BB AA BB =所以1111//,AA DD AA DD =， 所以四边形11AA D D 为平行四边形，所以11//A D AD .又11A D ⊄平面1AB D ，AD ⊂平面1AB D ，故11//A D 平面1AB D .（2）解：（方法1)在ABC ∆中，因为AB AC =，D 为BC 的中点，所以AD BC ⊥. 因为平面ABC ⊥平面11B C CB ，交线为BC ，AD ⊂平面ABC , 所以AD ⊥平面11B C CB ，即AD 是三棱锥1A B BC -的高. 在ABC ∆中，由4AB AC BC ===，得3AD =. 在1B BC ∆中，114,60B B BC B BC ==∠=︒， 所以1B BC ∆的面积213443S B BC ∆== 所以三棱锥1B ABC -的体积，即三棱锥1A B BC -的体积1114323833V S B BC AD =⨯∆⋅=⨯=.(方法 2)在1B BC ∆ 中，因为11,60B B BC B BC =∠=︒， 所以1B BC ∆为正三角形，因此1B D BC ⊥.因为平面ABC ⊥平面11B C CB ，交线为BC ，1B D ⊂平面11B C CB ， 所以1B D ⊥平面ABC ，即1B D 是三棱锥1B ABC -的高. 在ABC ∆中，由4AB AC BC ===，得ABC ∆的面积23443ABC S ∆== 在1B BC ∆中，因为114,60B B BC B BC ==∠=︒，所以123B D =. 所以三棱锥1B ABC -的体积1114323833ABC V S B D ∆=⨯⋅=⨯=. 点睛：本题主要考查了线面平行的判定，以及三棱锥的体积的计算，同时考查了推理论证的能力、计算能力，转化与划归的思想，属于中档题． 24．（1）证明见解析（2）26- 【解析】【分析】（1）由BC⊥AC，BC⊥CD得BC⊥平面ACD，证明四边形DCBE是平行四边形得DE∥BC，故而DE⊥平面ACD，从而得证面面垂直；（2）建立空间坐标系，求出两半平面的法向量，计算法向量的夹角得出二面角的大小.【详解】（1）证明：∵AB是圆O的直径，∴AC⊥BC，∵DC⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴DC⊥BC，又DC∩AC＝C，∴BC⊥平面ACD，∵DC∥EB，DC＝EB，∴四边形DCBE是平行四边形，∴DE∥BC，∴DE⊥平面ACD，又DE⊂平面ADE，∴平面ACD⊥平面ADE.（2）当C点为半圆的中点时，AC＝BC＝22，以C为原点，以CA，CB，CD为坐标轴建立空间坐标系如图所示：则D（0，0，1），E（0，22，1），A（22，0，0），B（0，22，0），∴AB=（﹣22，22，0），BE=（0，0，1），DE=（0，22，0），DA=（22，0，﹣1），设平面DAE的法向量为m=（x1，y1，z1），平面ABE的法向量为n=（x2，y2，z2），则m DAm DE⎧⋅=⎨⋅=⎩，n ABn BE⎧⋅=⎨⋅=⎩，即111220220x zy⎧-=⎪⎨=⎪⎩，22222220x yz⎧-+=⎪⎨=⎪⎩，令x1＝1得m=（1，0，22），令x2＝1得n=（1，1，0）.∴cos12632m nm nm n⋅===⨯<，>.∵二面角D﹣AE﹣B是钝二面角，∴二面角D﹣AE﹣B的余弦值为26 -.【点睛】本题考查了面面垂直的判定，空间向量与二面角的计算，属于中档题. 25．（1）见解析；（2）在棱PA 上存在点E 且E 满足2AEEP=时能使得面//BOE 面PCD ，证明见解析. 【解析】 【分析】（1）可证PD ⊥平面PAB ，从而得到要证明的面面垂直. （2）在棱PA 上存在点E 且E 满足2AEEP=时能使得面//BOE 面PCD ， 利用面面平行的判断定理可证明该结论. 【详解】（1）因为90BAD ∠=︒，故BA AD ⊥ 又因为侧面PAD ⊥底面ABCD ，侧面PAD 底面ABCD AD =，BA ⊂平面ABCD ，所以BA ⊥平面PAD .因为PD ⊂平面PAD ，故BA PD ⊥， 又因为PA PD ⊥，PAAB A =，PA ⊂平面PAB ，AB 平面PAB ，所以PD ⊥平面PAB ，而PD ⊂平面PCD ，故平面PAB ⊥平面PCD . （2）在棱PA 上存在点E ，使得面//BOE 面PCD ，E 满足2AEEP=，证明如下： 因为2AEEP =，2AO OD =，所以DAE EP AO O =，故//OE PD . 因为OE ⊄平面PCD ，PD ⊂平面PCD ，故//OE 平面PCD .因为//BC AD ，13OD AD BC ==，故//,OD BC OD BC =， 所以四边形BCDO 为平行四边形，故//BO CD ，因为BO ⊄平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，故//BO 平面PCD .因为BO ⊂平面EOB ，EO ⊂平面EOB ，BO EO O ⋂=， 故面//BOE 面PCD .【点睛】本题考查面面垂直的证明和面面平行的探索，前者注意空间中三种垂直关系的转化，后者应根据题设条件得到动点满足的位置特征，然后再根据判定定理来证明，本题属于中档题.26．（1）224x y +=；（2）2x =或512260x y -+=.【解析】【分析】(1)设点M 的坐标，根据已知用数学表达式表示出来，再化简即可;(2) 直线与曲线相交有且只有一个公共点，即为相切，可以用几何关系:圆心到直线的距离等于半径.【详解】（1）设点(),M x y ，点M 满足2MQ MP =，=则点M 的轨迹方程C 为224x y +=（2）设直线l 的方程为()32y k x -=-，∵直线():32l y k x -=-与曲线C 只有一个公共点，∴直线():32l y k x -=-与曲线C 相切，5212d k ==⇒= ∵直线2x =与曲线C 相切，∴直线l 方程为2x =或512260x y -+=.【点睛】本题主要考查了点的轨迹方程的求法，直线与圆相切，属于中档题.。

四川省成都市青羊区树德实验中学2024-2025学年高一新生入学分班质量检测数学试题一、单选题1．在下列命题中，是假命题的个数有（ ）①如果22a b =，那么a b =. ② 两条直线被第三条直线所截，同位角相等 ③面积相等的两个三角形全等 ④ 三角形的一个外角等于不相邻的两个内角的和. A ．3个 B ．2个 C ．1个 D ．0个2．如图，已知一次函数y kx b =+的图象与x 轴，y 轴分别交于点 2,0 ，点 0,3 ．有下列结论：①关于x 的方程0kx b +=的解为2x =；②关于x 的方程3kx b +=的解为0x =；③当2x >时，0y <；④当0x <时，3y <．其中正确的是（ ）A ．①②③B ．①③④C ．②③④D ．①②④ 3．下列给出的四个点中，不在直线23y x =-上的是（ ）A ．(1,1)-B ．(0,3)-C ．(2,1)D ．(1,5)- 4．如图，在矩形纸片ABCD 中，BC a =，将矩形纸片翻折，使点C 恰好落在对角线交点O 处，折痕为BE ，点E 在边CD 上，则CE 的长为（ ）A ．12aB ．25aC D5．已知1,1x y =，则22x xy y ++的值为（ ）A ．4B ．6C ．8D ．106．在ABCD Y 中，若3C B ∠=∠，则B ∠=（ ）A ．45︒B ．60︒C ．120︒D ．135︒7x ，小数部分为y y -的值是（ ）A ．3 B C ．1 D ．38．如图，ABC V 的顶点坐标分别为()1,4A ，()1,1B -，()2,2C ，如果将ABC V 先向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到A B C '''V ，那么点B 的对应点B '的坐标是（ ）A ．()3,0-B ． 0,3C ． −3,2D ．()1,2二、填空题9．一次跳远中，成绩在4.05米以上的人有8人，频率为0.4，则参加比赛的运动员共有人.10=．11．正方形11122213332,,,A B C O A B C C A B C C ⋅⋅⋅，正方形1n n n n A B C C ﹣按如图方式放置，点123A A A ⋅⋅⋅、、、在直线1y x =+上，点123C C C ⋅⋅⋅、、、在x 轴上．已知1A 点的坐标是 0,1 ，则点3B 的坐标为，点n B 的坐标是．12．已知,αβ是一元二次方程2201910x x -+=的两实根，则代数式(2019)(2019)αβ--=．13．在 52y x a =+- 中，若y 是 x 的正比例函数，则常数 a =．三、解答题14．在平面直角坐标系中，过点(1,3),(3,1)C D 分别作x 轴的垂线，垂足分别为A 、B ．(1)求直线CD 和直线OD 的解析式；(2)点M 为直线OD 上的一个动点，过M 作x 轴的垂线交直线CD 于点N ，是否存在这样的点M ，使得以A 、C 、M 、N 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求此时点M 的横坐标；若不存在，请说明理由；(3)若AOC △沿CD 方向平移（点C 在线段CD 上，且不与点D 重合），在平移的过程中，设，AOC △与OBD V重叠部分的面积记为s ，试求s 与t 的函数关系式． 15．化简或解方程(1) ； (2)22740x x +-=16．阅读理解：阅读下列材料：已知二次三项式22x x a ++有一个因式是(2)x +，求另一个因式以及a 的值解：设另一个因式是(2)x b +，根据题意，得()()2222x x a x x b ++=++，展开，得()222242x x a x b x b ++=+++，所以412b a b +=⎧⎨=⎩，解得63a b =-⎧⎨=-⎩， 所以，另一个因式是(23)x -，a 的值是6-.请你仿照以上做法解答下题：已知二次三项式2310x x m ++有一个因式是(4)x +，求另一个因式以及m 的值.17．如图，正方形ABCD 的对角线,AC BD 交于点O ，直角三角形EOF 绕点O 按逆时针旋转，90EOF ∠=︒，(1)若直角三角形绕点O 逆时针转动过程中分别交,AD CD 两边于,M N 两点①求证：OM ON =；②连接,CM BN ，那么,CM BN 有什么样的关系？试说明理由(2)若正方形的边长为2，则正方形ABCD 与Rt EOF △两个图形重叠部分的面积为多少？（不需写过程直接写出结果）18．如图，在平行四边形ABCD 中，DB DA =，ADB ∠的平分线交AB 于点F ，交CB 的延长线于点E ，连接AE .(1)求证：四边形AEBD 是菱形；(2)若DC =:3EF BF =，求菱形AEBD 的面积．四、填空题19．如图，ABC V 中，AB ＝BC ＝12cm ，D 、E 、F 分别是 BC 、AC 、AB 边上的中点，则四边形BDEF 的周长是cm ．20．在直角坐标系中，直线1y x =+与y 轴交于点1A ，按如图方式作正方形111A B C O 、2221A B C C 、3312A B C C …，1A 、2A 、3A …在直线1y x =+上，点1C 、2C 、3C …，在x 轴上，图中阴影部分三角形的面积从左到右依次记为1S 、2S 、3S 、..n S ，则n S 的值为．21．已知平行四边形ABCD 中，50A B ∠-∠=︒，则C ∠=．22．如图，ABC V 的中位线5DE =cm ，把ABC V 沿DE 折叠，使点A 落在边BC 上的点F 处，若A 、F 两点之间的距离是8cm ，则ABC V 的面积为2cm ；23．一组数据2，3，4，5，3的众数为.五、解答题24．“赏中华诗词，寻文化基因，品生活之美”，某校举办了首届“中国诗词大会”，经选拔后有50名学生参加决赛，这50名学生同时默写50首古诗词，若每正确默写出一首古诗词得2分，根据测试成绩绘制出部分频数分布表和部分频数分布直方图如图表：请结合图表完成下列各题(1)①求表中a的值；②频数分布直方图补充完整；(2)小亮想根据此直方图绘制一个扇形统计图，请你帮他算出成绩为90100≤<这一组所对应x的扇形的圆心角的度数；(3)若测试成绩不低于80分为优秀，则本次测试的优秀率(百分比)是多少？25．一个“数值转换机”如图所示，完成下表并回答下列问题：(1)根据上述计算你发现了什么规律？(2)请说明你发现的规律是正确的．26．如图，正方形ABCD的边长为4，E是线段AB延长线上一动点，连结CE．(1)如图1，过点C 作CF CE ⊥交线段DA 于点F ． ①求证：CF CE =；②若()04BE m m =<<，用含m 的代数式表示线段EF 的长.(2)在（1）的条件下，设线段EF 的中点为M ，探索线段BM 与AF 的数量关系，并用等式表示．(3)如图2，在线段CE 上取点P 使2CP =，连结AP ，取线段AP 的中点Q ，连结BQ ，求线段BQ 的最小值．。

四川省成都市成都市树德中学2019-2020学年高一数学上学期10月月考试题（含解析）一、选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.已知集合{1,2,3}A =，{1,3,4,5}B =，则A B 的子集个数为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 162.若集合{}24A x x =>，{}230B x x x =+≤，则A B =（ ）A. {}32x x -≤<-B. {}32x x -≤<C. {|0x x ≤或}2x >D. {|0x x <或}2x >3.已知M ，N 为集合I 的非空真子集，且M N ，若()I M N I ⋃=，则MN =（ ）A. MB. NC. ID. ∅4.已知函数()2,01,0x x f x x x >⎧=⎨+≤⎩，若()()10f a f +=，则实数a =（ ）A. -3B. -1C. -3或-1D. 15.在映射:f A B →中，(){},,A B x y x y R ==∈，且()():,,f x y x y x y →-+，则与B 中的元素(-1，2)对应的A 中的元素为（ ）A. (-3，1)B. (1，-3)C. (-1，-3)D. 13,22⎛⎫⎪⎝⎭6.函数()()2212f x x a x =+-+在(],4-∞上是减函数，则实数a 的取值范围是（ ） A. (],3-∞- B. [)3,-+∞C. (],5-∞D. [)3,+∞ 7.函数21x y x +=-在区间[2，5)上的最大值，最小值分别是（ ） A. 无最大值，最小值是4 B. 74,4C. 最大值是4，无最小值D. 4，08.设()f x 是R 上的减函数，则不等式()12f f x ⎛⎫<⎪⎝⎭的解集是（ ） A. 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C. 1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭D. ()1,0,2⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭9.函数2()45f x x x =-+在区间[]0,m 上的最大值为5，最小值为1，则实数m 的取值范围是（ ）A. []2,4B. [)2,+∞ C. []0,4D. (]2,4 10.函数()21,21,2ax x x f x ax x ⎧+->=⎨-≤⎩是R 上的单调减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A. 1,02⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B. 1,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦C. 11,4⎡⎤--⎢⎥⎣⎦D. (],1-∞-11.已知函数()f x 是定义在[1,2]a a -上的偶函数,且当0x >时,()f x 单调递增，则关于x 的不等式(1)()f x f a ->的解集为 （ ）A. 45[,)33B. 2112(,][,)3333--⋃ C. 12[,)33⋃45(,]33D. 随a 的值而变化12.已知函数()f x 是(),-∞+∞上的增函数，且()f f x x ⎡⎤=⎣⎦，定义在R 上的奇函数()g x 在()0,∞+上为增函数且()10g -=，则不等式()()()0g x g x f x --<的解集为( )A. ()()1,01,-⋃+∞B. ()(),10,1-∞-⋃C. ()()1,00,1- D. ()(),11,-∞-+∞二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分)13.当A ，B 是非空集合，定义运算A －B ＝{x |x ∈A ，且x ∉B }，若{{}2|,|,11M x y N y y x x ====-≤≤，则M －N ＝________.14.已知集合{}2,,1,,0b a a a b a ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭，则不等式()201920192201820a x a b x a -+-<的解集为______.15.设集合()3,12y M x y a x ⎧⎫-==+⎨⎬-⎩⎭，集合()()(){}2,1115N x y a x a y =-+-=，且M N ⋂=∅，则实数a 的取值集合为______.16.已知函数22,0()313,0x x f x x x ⎧≤⎪=⎨--+>⎪⎩，若存在唯一的整数x ，使得()0f x a x ->成立，则实数a 的取值范围为__________．三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17.设集合{}33A x a x a =-<<+，{|1B x x =<-或}3x >.（1）若3a =，求A B ； （2）若A B =R ，求实数a 的取值范围.18.设{}2|3100A x x x =-++≥，{}|121B x m x m =+≤≤-，B A ⊆（1）求A ；（2）求实数m 的取值范围19.已知关于x 的不等式2320ax x -+>的解集为{1}x x x b <>或． （1）求a ，b 的值．（2）当c ∈R 时，解关于x 的不等式()20ax ac b x bc -++<．20.已知函数()21ax bf x x +=+是定义在(-1，1)上的奇函数，且1225f ⎛⎫= ⎪⎝⎭. (1)求,a b值；(2)求()f x 的值域.21.已知函数()()2251f x x ax a =-+>.（1）若函数()f x 的定义域和值域均为[]1,a ，求实数a 的值；（2）若()f x 在区间(],2-∞上是减函数，且对任意的[]12,1,1x x a ∈+，总有()()124f x f x -≤，求实数a 的取值范围.22.已知集合(){}121212,0,0,D x x xx x x k =>>+=(其中k 为正常数).(1)设12u x x =，求u 的取值范围. (2)求证：当1k时，不等式212121122k x x x x k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--≤- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭对任意()12,x x D ∈恒成立；(3)求使不等式212121122k x x x x k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--≥- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭对任意()12,x x D ∈恒成立的2k 的范围.四川省成都市成都市树德中学2019-2020学年高一数学上学期10月月考试题（含解析）一、选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.已知集合{1,2,3}A =，{1,3,4,5}B =，则AB 的子集个数为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 16【答案】C 【解析】{}{}{}1,2,3,1,3,4,5,1,3,A B A B ==∴⋂= 则A B ⋂的子集个数为224=个。

某某省某某市树德中学2019-2020学年高一数学下学期期中试题（含解析）一、选择题（共12小题）.1.已知1sin cos5-=-αα，则sin2α的值为( ) A. 1225B. 2425- C. 2425D. 1225-【答案】C 【解析】【分析】两边平方解得24225sinAcosA＝，由此可求sin2α的值【详解】由已知1sin cos5αα-=-，两边平方得221sin2sin cos cos,25αααα-+=可得112sin cos,25αα-=即242sin cos,25αα=即24sin2.25α=故选：C.【点睛】本题主要考查了二倍角公式，同角三角函数关系式的应用，属于基础题．2.下列结论不正确的是( ) A. 若a＞b，c＞0，则ac＞bc B. 若a＞b，则a﹣c＞b﹣c C. 若ac2＞bc2，则a＞b D. 若a＞b，c＜0，则c c a b＜【答案】D 【解析】【分析】根据不等式的性质，逐项判断，即可得出结果. 【详解】对于选项A：由于a＞b，c＞0，根据不等式性质2，则ac＞bc，故正确. 对于选项B：由于a＞b，根据不等式性质1，则a﹣c＞b﹣c，故正确.对于选项C ：由于ac 2＞bc 2，根据不等式性质2，则a ＞b ，故正确. 对于选项D ：当a ＝0，b ＝﹣1时，ca没有意义，故错误. 故选：D【点睛】本题主要考查判断命题的真假，熟记不等式的性质，灵活运用特殊值法处理即可，属于常考题型.3.已知等差数列{a n }前n 项和为S n ，且a 3+a 4＝12，S 7＝49，则a 1＝( ) A. 9B. 10C. 1D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】根据所给等式利用等差数列的通项公式及求和公式列出方程组求解即可. 【详解】设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 3+a 4＝12，S 7＝49， ∴2a 1+5d ＝12，7a 1+21d ＝49， 解得：a 1＝1. 故选：C【点睛】本题考查等差数列的通项公式、前n 项和公式，属于基础题. 4.已知,42ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且sin 4πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭tan θ=（ ） A .2B.43C. 3D. 125【答案】A 【解析】 【分析】由同角三角函数的基本关系计算可得cos 4πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭、tan 4πθ⎛⎫+⎪⎝⎭，再根据两角差的正切公式计算可得.【详解】解：因为,42ππθ⎛⎫∈⎪⎝⎭，所以3,424πππθ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，又sin 4πθ⎛⎫+=⎪⎝⎭所以cos 410πθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则tan 34πθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，所以tan tan3144tan tan 244131tan tan44ππθππθθππθ⎛⎫+- ⎪--⎛⎫⎝⎭=+-=== ⎪-⎛⎫⎝⎭++ ⎪⎝⎭. 故选：A【点睛】本题考查三角恒等变换，考查运算求解能力，属于基础题.5.已知实数x ，y 满足22020420x y x y x y --≤⎧⎪+-≤⎨⎪-+≥⎩，z ＝4x ﹣y 的最小值的是( )A. ﹣2B. 8C. ﹣1D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】画出可行域和目标函数，根据目标函数的几何意义得到答案.【详解】作出实数x ，y 满足22020420x y x y x y --≤⎧⎪+-≤⎨⎪-+≥⎩对应的平面区域如图：由z ＝4x ﹣y 得y ＝4x ﹣z ，z 表示直线在y 轴截距的相反数，由图象可知当直线y ＝4x ﹣z 与直线AB 重合时，纵截距最大，此时z 最小，此时2z =-. 故选：A.【点睛】本题考查了线性规划问题，意在考查学生的应用能力，画出图象是解题的关键. 6.在ABC ∆中，若tan tan 1A B >，那么ABC ∆是（ ） A. 直角三角形B. 钝角三角形C. 锐角三角形D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】由tan A tan B >1可得A ，B 都是锐角，故tan A 和tan B 都是正数，可得tan （A +B ）<0，故A +B 为钝角，C 为锐角，可得结论.【详解】由△ABC 中，A ，B ，C 为三个内角，若tan A tan B >1，可得A ，B 都是锐角，故tan A 和tan B 都是正数， ∴tan （A +B ）1tanA tanBtanAtanB+=<-0，故A +B 为钝角．由三角形内角和为180°可得，C 为锐角，故△ABC 是锐角三角形，故选C ．【点睛】本题考查根据三角函数值的符号判断角所在的X 围，两角和的正切公式的应用，判断A +B 为钝角，是解题的关键．7.已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，其面积为S ，若满足关系式a 2+b 2﹣c 2＝4S ，则角C ＝( ) A.4πB. 6πC. 3πD. 34π【答案】A 【解析】 【分析】由已知结合余弦定理和面积公式，求出tan C ，即可求解. 【详解】因为a 2+b 2﹣c 2＝4S ， 所以2ab cos C ＝2ab sin C ， 故sin C ＝cos C 即tan C ＝1， 因为C 为三角形的内角，所以C 4π=.故选：A.【点睛】本题考查余弦定理和面积公式解三角形，熟记定理和公式是解题的关键，属于基础题.8.已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若231132a a a =，且82416S S mS +=，则m ＝( )A. ﹣4B. 4C. 83- D. 83【答案】D 【解析】 【分析】由231132a a a =列出方程求出8q ，再利用等比数列的求和公式由82416S S mS +=列出方程，代入8q 的值即可求得m .【详解】231132a a a =，且0n a ≠，1132a a ∴=即102112a q a q =，解得82q =或0q =(舍去)，82416S S mS +=，()()()82416111111111a q a q a q m qq q---∴+=⋅---，又82q =，10a ≠，83m ∴-=-，解得83m =.故选：D【点睛】本题考查等比数列基本量的求解、等比数列的前n 项和公式，属于基础题. 9.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有一个“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央.出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐.问水深、葭长各几何？”其意思为“今有水池1丈见方（即10CD =尺），芦苇生长在水的中央，长出水面的部分为1尺.将芦苇向池岸牵引，恰巧与水岸齐接（如图所示）.试问水深、芦苇的长度各是多少？假设BAC θ=∠，现有下述四个结论：①水深为12尺；②芦苇长为15尺；③2tan 23θ=；④17tan 47πθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭. 其中所有正确结论的编号是（ ）A. ①③B. ①③④C. ①④D. ②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】利用勾股定理求出BC 的值，可得tan BCAB θ=，再利用二倍角的正切公式求得tan 2θ，利用两角和的正切公式求得tan 4πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.【详解】设BC x =，则1AC x =+，∵5AB =，∴2225(1)x x +=+，∴12x =.即水深为12尺，芦苇长为12尺；∴12tan 5BC AB θ==，由2θ2tan2tan θθ1tan 2，解得2tan 23θ=（负根舍去）. ∵12tan 5θ=， ∴1tan 17tan 41tan 7πθθθ+⎛⎫+==- ⎪-⎝⎭. 故正确结论的编号为①③④. 故选：B.【点睛】本题主要考查二倍角的正切公式、两角和的正切公式，属于基础题. 10.已知数列{}n a 的通项公式100n a n n=+，则122399100a a a a a a -+-+⋯+-= （ ） A. 150B. 162C. 180D. 210 【答案】B 【解析】 【分析】由通项公式100n a n n=+，首先判断数列{}n a 的单调性，去掉要求和式的绝对值，再进行计算．【详解】由对勾函数的性质可知：当10n ≤时，数列{}n a 为递减；当10n ≥时，数列{}n a 为递增． 所以122310099a a a a a a -+-++-=12239101110121110099()()()()()()a a a a a a a a a a a a -+-++-+-+-++-=11010010a a a a -+-=1100(1010)(1001)(1010)+-+++-+ =162【点睛】数列问题常见的方法和注意点：（1）求和常常要根据数列的通项公式的形式和特点，灵活选择方法，不可以用固定的思维模式去考虑问题．如含绝对值的求和问题的关键点在于先把绝对值去掉，再求和． （2）常见的求和方法有：倒序求和，错位相消，裂项法，分组求和法，公式法等．=( )A.﹣1D. 【答案】D 【解析】 【分析】用诱导公式化cos 48sin 42︒=︒，同时用二倍角公式化36︒为72︒和的余弦公式化简，分子中sin 42sin(7230)︒=︒-︒，用两角差的正弦公式化简后可得．=2cos 904272︒-︒-︒==2sin 723072︒-︒︒=1272cos 72722⎫︒-︒︒⎪==2=-故选：D .【点睛】本题考查二倍角公式，两角和与差的正弦、余弦公式，解题关键是确定角的关系，根据角的关系选用相应的公式变形化简．12.设数列{a n }的前n 项和为S n ，对任意n ∈N*总有2S n ＝a n 2+n ，且a n ＜a n +1.若对任意n ∈N*，θ∈R ，不等式2≤λ（n +2）恒成立，某某数λ的最小值( ) A. 12B. 2C. 1D.32【答案】B 【解析】 【分析】由1(2)n n n S S a n --=≥得数列{}n a 的递推关系，确定数列{}n a 是等差数列，从而得其通项公式，不等式化为λ≥，不等式右边分子平方展开后应用基本不等式可求得其最大值，从而得λ的最小值． 【详解】由2S n ＝a n 2+n ，①可知，当n ≥2时，2S n ﹣1＝a n ﹣12+(n ﹣1)，② ①﹣②，得2a n ＝a n 2﹣a n ﹣12+1， 故(a n ﹣1)2＝a n ﹣12，于是a n ﹣1＝a n ﹣1或a n ﹣1＝﹣a n ﹣1，若a n ﹣1＝﹣a n ﹣1，则a n +a n ﹣1＝1，不合题意； 于是a n ﹣1＝a n ﹣1，即a n ﹣a n ﹣1＝1， 即数列{a n }是公差为1的等差数列，又a 1＝1， ∴a n ＝1+(n ﹣1)×1＝n . 故a n ＝n .依题意知∀n ∈N*，λ22n ≥+ 都成立，然后通过基本不等式得，222sin 1cos 122n n n n θθ+++=++()()()222sin 1cos 12222n n n n n n θθ++++++=≤==++2，当且仅当22sin 1cos 1n n θθ+=+，即tan 1θ=时，取“＝”，所以22n + 的最大值为2，所以λ≥2，所以λ的最小值为2， 故选：B .【点睛】本题考查由数列前n 项和n S 与项n a 的关系求通项公式，考查有关数列不等式恒成立问题，解题关键有两个方面，一是通过1(2)n n n S S a n --=≥得出数列是等差数列，从而得通项公式，二是用基本不等式求最大值，得不等式中参数X 围． 二、填空题（本大建共4个小题，每小题5分，共20分） 13.f （x ）＝sin2x x 对称轴_____.【答案】x 5212k ππ=+，k ∈Z 【解析】 【分析】逆用两角差的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后结合正弦函数性质得对称轴．【详解】∵f （x ）＝sin2xcos2x＝12(sin 22)2(sin 2cos cos 2sin )233x x x x ππ=-2sin(2)3x π=-， ∴令2x 3π-=k 2ππ+，k ∈Z ，解得x 5212k ππ=+，k ∈Z∴f （x ）＝sin2x x 对称轴为x 5212k ππ=+，k ∈Z 故答案为：x 5212k ππ=+，k ∈Z ． 【点睛】本题考查求三角函数的对称轴，解题方法是利用三角恒等变换公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后结合正弦函数性质求解． 14.若不等式ax 2+2ax ﹣1＜0解集为R ，则a 的X 围是_____. 【答案】10a -<≤ 【解析】 【分析】对a 是否等于0分类讨论，若0a =，不等式解集为R ，若0a ≠，根据已知可得0a <⎧⎨∆<⎩，求解即可.【详解】a ＝0时，不等式ax 2+2ax ﹣1＜0化为10-<，解集为R ；a ≠0时，不等式ax 2+2ax ﹣1＜0解集为R 时，应满足()204410a a a ⎧⎨∆=-⨯-⎩＜＜， 解得10a -<<；所以实数a 的取值X 围是10a -<≤. 故答案为：10a -<≤.【点睛】本题考查已知不等式的解集求参数X 围，掌握一元二次不等式的解与之对应的条件是解题的关键，考查分类讨论思想，属于基础题.15.已知Sn 是数列{a n }的前n 项和，若sin 3n n a π=，则2020S 的值为_____. 【答案】3 【解析】 【分析】先确定周期，再求一个周期数列的和，最后根据2020=6336+4⨯，结合周期求和. 【详解】263T ππ==且13a =， 23a =，30a =，43a =-，53a =-，60a =， 73a =，…， 所以数列{a n }的周期为6，又1234560a a a a a a +++++=，2020=6336+4⨯ ∴202012343()3360S a a a a =++++⨯=. 故答案为：3. 【点睛】本题考查数列求和、数列周期性质，考查基本分析求解能力，属基础题. 16.如图，平面四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点P ，若3BP ＝BD ，AB ＝AD 3=BC ，33AP BD BC +=，则CDAB=_____.21 【解析】【分析】延长BC 到E ，使得BE ＝3BC ，连结DE ，结合已知得DE =3AP ，由相似三角形性质得P 是BD 的三等分点，且AP ＝PC ，分别过A ，C 作BD 的垂线，垂足为N ，M ，PM ＝PN ＝BM ，得BC ＝PC ，过C 作CF //AD 交DE 于F ，则四边形ACFD 是平行四边形，设BC ＝1，计算出各线段长，可得CF ⊥DE ，四边形ACFD 是矩形，这样可计算出CD ，得所求比值． 【详解】延长BC 到E ，使得BE ＝3BC ，连结DE ， 则BD DE +=3BC ，又3AP BD +=3BC ， ∴DE =3AP ， ∴DE //AC ，DE ＝3AP . ∴BCP BED △△，∴13BP PC BC BD DE BE ===， ∴P 是BD 的三等分点，且AP ＝PC .分别过A ，C 作BD 的垂线，垂足为N ，M ， ∵AB AD =， ∴PM ＝PN ＝BM ， ∴BC ＝PC ，过C 作CF //AD 交DE 于F ，则四边形ACFD 是平行四边形，设BC ＝1，则AB ＝AD =CE ＝2BC ＝2，CF ＝AD =DE ＝3PC ＝3，∴EF 13=DE ＝1， ∴CE 2＝CF 2+EF 2，∴CF ⊥DE ， ∴四边形ACFD 是矩形，∴∠CAD 2π=，∴CD==∴CD AB ==.故答案为：21.【点睛】本题考查向量线性运算在平面几何上的应用，考查向量数乘的意义，辅助线作得较多，对学生的逻辑思维能力要求较高，考查了学生逻辑推理能力．三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.已知数列{a n }为等差数列，S 2＝0，S 6﹣S 3＝21. （1）求数列{a n }的通项公式； （2）设b n 11n n a a +=，求数列{b n }的前n 项和T n . 【答案】（1）a n ＝2n ﹣3；（2）T n 21nn =-- 【解析】 【分析】（1）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，根据所给条件得到方程组，解得即可； （2）由（1）可得()()12123n b n n =--，再利用裂项相消法求前n 项和；【详解】（1）数列{a n }为等差数列，S 2＝0，S 6﹣S 3＝21. 设数列的首项为a 1，公差为d ，则：112047a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得：11a =-，d ＝2， 所以，a n ＝2n ﹣3； （2）由于：a n ＝2n ﹣3， 所以：()()111111212322321n n n b a a n n n n +⎡⎤===-⎢⎥----⎣⎦， 所以：12n T =（11111132321n n --+-++---）， 111221n ⎛⎫=-- ⎪-⎝⎭， 21nn =--. 【点睛】本题考查等差数列的通项公式及求和公式的应用，裂项相消法求和，属于中档题.18.已知()()26911x x f x x x ++=>-+.（1）解不等式()9f x ≥； （2）求()f x 的最小值. 【答案】（1）(][)1,03,-+∞；（2）8. 【解析】 【分析】（1）由1x >-得出10x +>，将不等式()9f x ≥变形为230x x -≥，解此不等式，结合1x >-可得出原不等式的解集；（2）将函数()y f x =的解析式化简为()()4141f x x x =++++，利用基本不等式可求得函数()y f x =的最小值.【详解】（1）由1x >-可得10x +>，由26991x x x ++≥+可得26999x x x ++≥+，即230x x -≥，解得0x ≤或3x ≥，由于1x >-，因此，不等式()9f x ≥的解集为(][)1,03,-+∞；（2）由1x >-可得10x +>，()()()()22123414111x x f x x x x x ++⎡⎤+⎣⎦===++++++，由基本不等式可得()()414148f x x x =++++=≥， 当且仅当411x x +=+时，即当1x =时取等号， 因此，函数()()26911x x f x x x ++=>-+的最小值为8.【点睛】本题考查一元二次不等式的求解，同时也考查了利用基本不等式求函数的最值，考查计算能力，属于中等题.19.已知函数f （x ）＝sin2x ﹣cos 2x ﹣x cos x （x ∈R ）. （1）求f （x ）的单调递增区间； （2）求函数f （x ）在区间[6π-，3π]上的最大值和最小值. 【答案】（1）[263k k ππππ++，]（k ∈Z ）；（2）最大值为1，最小值为﹣2.【解析】 【分析】试题分析：（1）利用倍角公式以及两角和的正弦对函数解析式进行化简，再由正弦函数的单调减区间，求出函数的递增区间；（2）由ππ,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，求出π26x +的X 围，进而求出最值.【详解】（1）函数f （x ）＝sin2x ﹣cos 2x ﹣2sin x cos x ＝﹣cos2x sin2x ＝﹣2sin （2x 6π+）.令3222262k x k πππππ+≤+≤+（k ∈Z ），解得：263k x k ππππ+≤≤+（k ∈Z ）， 故函数的单调递增区间为：[263k k ππππ++，]（k ∈Z ）； （2）由于63x ππ-≤≤， 所以52666x πππ-≤+≤，所以当ππ266x 时，即x 6π=-时，函数的最大值为1，当262x ππ+=，即x 6π=时，函数的最小值为﹣2.【点睛】本题主要考查三角函数的周期性、三角函数的图象变换及最值，属于基础题.三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过和、差、倍角公式把函数化为()y x ωϕ=+的形式再研究其性质，解题时注意观察角、名、结构等特征，注意利用整体思想解决相关问题.20.已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .且满足4cos 22A -cos2（B +C ）32=. （1）求角A ；（2）若△ABC 8，求a .【答案】（1）23π ；（2）154.【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式化简等式可得关于cos A 的复合型二次方程，求出cos A 再根据角A 的X 围即可确定角A ；（2）利用三角形面积公式求出bc ，再利用余弦定理及周长可求得关于a 的一元二次方程，求解即可. 详解】（1）∵A +B +C ＝π， ∴4cos 22A -cos2（B +C ）＝2（1+cos A ）-cos2A ＝-2cos 2A +2cos A +332=，即2cos 2A -2cos A 32-=0，解得cos A 12=-或32（舍去），∵0＜A ＜π，∴A 23π=.（2）∵12bc sin A 12bc =⋅=∴bc ＝4， 由余弦定理2222cos a b c bc A =+-可得22()4a b c =+-， 又∵a +b +c ＝8，∴a 2＝（8﹣a ）2﹣4，解得a 154=. 【点睛】本题考查余弦定理、三角形面积公式、二倍角的余弦公式，属于中档题. 21.在数列{a n }中a 1＝1，a n ＝3a n ﹣1+3n +4（*n N ∈，n ≥2）.（1）证明：数列{23n na +}为等差数列，并求数列{a n }的通项公式；（2）求数列{a n }的前n 项和S n .【答案】（1）证明见解析，*32nn a n n N =⋅-∈，；（2）S n 1213344n n +-=⨯+-2n 【解析】 【分析】（1）递推公式通过变形可得112233n n n n a a --++=+1，即可证明数列{23n na +}为等差数列，求出其通项公式通过变形即可求得数列{a n }的通项公式；（2）利用错位相减法及等比数列的求和公式求解.【详解】（1）证明：因为a n ＝3a n ﹣1+3n +4（*n N ∈，n ≥2）. ∴a n +2＝3（a n ﹣1+2）+3n （*n N ∈，n ≥2）.∴112233n n n n a a --++=+1 所以数列{23n n a +}是公差为1，首项为123a +=1的等差数列， 所以*23n na n n N +=∈，，则32n n a n =⋅-， 所以数列{a n }的通项公式为*32nn a n n N =⋅-∈，. （2）令1231323333n n T n =⨯+⨯+⨯++⨯①则23131323(1)33n n n T n n +=⨯+⨯++-⨯+⨯②②﹣①得()123233333n n n T n +=⨯-++++ ()113133321322n n nn n ++⎛⎫=⨯-⨯+ ⎪⨯-⎭-⎝=- 所以1213344n n n T +-=⨯+ 所以121323244n n nn S T n n +-=-=⨯+-. 【点睛】本题考查利用递推公式证明等差数列、等差数列的通项公式、等比数列的求和公式、错位相减法求和，属于中档题.22.已知{}{}{}n n n a b c ，，都是各项不为零的数列，且满足1122n n n n a b a b a b c S ++⋅⋅⋅+=，*n N ∈，其中n S 是数列{}n a 的前n 项和，{}n c 是公差为0d d ≠（）的等差数列.（1）若数列{}{}n n a c ，的通项公式分别为1,21n n a c n =-=，求数列{}n b 的通项公式； （2）若n a n λ=（λ是不为零的常数），求证：数列{}n b 是等差数列；（3）若11a c d k ===（k 为常数，*k N ∈），n n k b c +=（2n ≥，*n N ∈），对任意2n ≥，*n N ∈，求出数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的最大项（用含k 式子表达）.【答案】（1）43n b n =-；（2）证明见解析；（3）2k k +（）.【解析】 【分析】（1）代入数据得到()1221n n n b b b -=++⋅⋅⋅+，根据通项和前n 项和关系并验证得到答案.（2）代入数据化简得到12n n n d c b -+=，退项作减法得到132n n b b d =-﹣（3n ≥），再验证1,2n n ==的情况得到答案.（3）根据题意代数化简得到21n n k a k -+⎛⎫= ⎪⎝⎭，令nn nb d a =，证明2n ≥时，n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭单调递减，得到最大项.【详解】（1）因为1,21n n a c n =-=，所以n S n =，由1122n n n n c S a b a b a b ++⋅⋅⋅+=，得()1221n n n b b b -=++⋅⋅⋅+，当2n ≥时，()()121123n n n b b b ---=++⋅⋅⋅+，两式作差，可得43n b n =-， 当1n =时，11b =满足上式，则43n b n =-.（2）1122n n n n a b a b a b c S ++⋅⋅⋅+=，当2n ≥时，11221111n n n n a b a b a b c S ----++=+⋅⋅⋅， 两式相减得：11n n n n n n S c S c a b ---=，即()()11111,n n n n n n n n n n n n n n S a c S c a b S c c a c a b -----+-=-+=，即1n n n S d nc nb λλ-+=， 又()112n n n S λ--=，所以()12n n n n dnc nb λλλ-+=，即12n n n d c b -+=， 所以当3n ≥时，1122n n n d c b ---+=，两式相减得：13(3)2n n b b d n --=≥， 所以数列{}n b 是从第二项起成公差为32d 的等差数列.又当1n =时，由1111S c a b =，得11c b =，当2n =时，由22112113222b d c d c d b d -=+=++=+，得2132b b d -=， 故数列{}n b 是公差为32d 的等差数列.（3）当2n ≥时，()()111,n n n n n n n n n n n S c c a c a b S d a b c ----+⋅==-， 因为n n k b c +=，所以n n b c kd =+，即n n b k c d -=， 所以1n n S d a kd -=⋅，即1n n S ka -=，即11n n k a a k-+=， 故从第二项起数列{}n a 是等比数列，所以当2n ≥时，221n n k a a k -+⎛⎫= ⎪⎝⎭，221(1)(1)()n n k n b c c kd c n k k k n k k k n k +==+=+-==++++-，另外由已知条件可得()1221122a a c a b a b +=+，又2122,,2c k b k b k k ===+（）， 所以21a =，因而21n n k a k -+⎛⎫= ⎪⎝⎭，考试- 21 - / 21 令n n n b d a =，则()()()()()11111110111n n n n n n n k k d b a n d a b n k n k k +++++-=-=-=-<++++， 故对任意的2n ≥时，*n N ∈，11n n n n b b a a ++>恒成立， 所以2n ≥时，*n N ∈，n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭单调递减，n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中最大项为()()22221k k b k k a +==+. 【点睛】本题考查了数列的通项公式，证明等差数列，根据数列的单调性求最大项，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用.。

2019-2020学年高一第二学期期中数学试卷（文科）一、选择题（共12小题）.1．不等式（x ﹣1）（x ﹣2）＜0的解集为（ ） A ．{x |x ＜1，或x ＞2} B ．{x |1＜x ＜2} C ．{x |x ＜﹣2，或x ＞﹣1}D ．{x |﹣2＜x ＜﹣1}2．cos45°cos15°﹣sin45°sin15°＝（ ） A ．12B ．√32C ．−12D ．−√323．设a ＞b ，则下列不等式成立的是（ ） A ．a 2＞b 2B ．1a＜1bC ．a c＞b c D ．1a−b＞1a4．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 4+a 6＝﹣6，则S 9＝（ ） A ．﹣27B ．27C ．﹣54D ．545．已知{a n }是等比数列，且a 5=12，4a 3+a 7＝2，则a 9＝（ ） A ．2B ．±2C ．8D ．186．已知△ABC 中，A ＝45°，a ＝2，b =√2，那么∠B 为（ ） A ．30° B ．60°C ．30°或150°D ．60°或120°7．若函数f （x ）=2x−3√ax +ax+1的定义域为R ，则实数a 的取值范围是（ ）A ．（0，4）B ．[0，2）C ．[0，4）D ．（2，4]8．在△ABC 中，若2cos B •sin A ＝sin C ，则△ABC 的形状一定是（ ） A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形D ．等边三角形9．在△ABC ，三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若内角A ，B ，C 依次成等差数列，且不等式﹣2x 2+ax +c ＞0的解集为（﹣1，2），则b 等于（ ） A ．2√3B ．3C ．4D ．4√710．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北45°（即∠BAC ＝45°）的方向上，行驶600√6m 后到达B 处，测得此山顶在北偏东15°（即∠ABC ＝75°）的方向上，仰角∠DBC 为30°，则此山的高度CD ＝（ ）A ．200√3mB ．400√3mC ．600√3mD ．800√3m11．已知2sin2θ﹣cos2θ＝1，则sin2θ+cos2θ+1sin2θ−cos2θ+1的值为（ ）A ．45B ．0C ．2D ．0或212．已知函数f （x ）＝2cos x （sin x ﹣cos x ）+1的定义域为[a ，b ]，值域为[−√2，√22]，则b﹣a 的值不可能是（ ） A ．π3B ．π2C ．7π12D ．34π二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知等差数列{a n }的通项公式为a n ＝2﹣3n ，那么它的公差为 ．14．九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜．据明代杨慎《丹铅总录》记载：“两环互相贯为一，得其关捩，解之为二，又合面为一”．在某种玩法中，用a n 表示解下n （n ≤9，n ∈N *）个圆环所需的移动最少次数，{a n }满足a 1＝1，且a n ={2a n−1−1，n 为偶数2a n−1+2，n 为奇数，则解下4个环所需的最少移动次数为 ．15．若sin76°＝m ，则cos7°＝ ．16．在锐角三角形△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，a 2+c 2﹣b 2=√3ac ，则cos A +sin C 的取值范围为 ．三、解答题（本大题共6小题共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．已如α，β∈[π2，π]，且cos α=−35． （Ⅰ）求tan （π4−α）的值；（Ⅱ）若sin （α﹣β）=35，求sin β的值．18．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 2＝﹣5，S 6＝﹣12． （1）求{a n }的通项公式；（2）求S n ，并求当n 取何值时S n 有最小值． 19．已知sin x 2+2cos x2=0． （1）求tan x 的值； （2）求sin x 的值； （3）求√2cos(x+π4)sinx的值．20．在△ABC 中，a 、b 、c 是角A 、B 、C 所对的边，且（a ﹣2b ）cos C +c cos A ＝0． （1）求C 的大小；（2）若b ＝2，c =√7，求AB 边上的高． 21．定义行列式运算：|x 1x 2x3x 4|=x 1x 4﹣x 2x 3，若函数f （x ）=|sin(ωx −π3)cosωx 01|（ω＞0）的最小正周期是π．（1）求函数f （x ）的单调增区间；（2）数列{a n }的前n 项和S n =An 2，且A =f(5π12)，求证：数列{2a n a n+1}的前n 项和T n＜1．22．已知{x n }是各项均为正数的等比数列，且x 1+x 2＝3，x 3﹣x 2＝2． （Ⅰ）求数列{x n }的通项公式；（Ⅱ）如图，在平面直角坐标系xOy 中，依次连接点P 1（x 1，1），P 2（x 2，2）…P n +1（x n +1，n +1）得到折线P 1P 2…P n +1，求由该折线与直线y ＝0，x ＝x 1，x ＝x n +1所围成的区域的面积T n ．参考答案一.选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的）1．不等式（x﹣1）（x﹣2）＜0的解集为（）A．{x|x＜1，或x＞2}B．{x|1＜x＜2}C．{x|x＜﹣2，或x＞﹣1}D．{x|﹣2＜x＜﹣1}【分析】根据一元二次不等式的解法与步骤，求解即可．解：解不等式（x﹣1）（x﹣2）＜0，得1＜x＜2，∴不等式的解集为{x|1＜x＜2}．故选：B．【点评】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题．2．cos45°cos15°﹣sin45°sin15°＝（）A．12B．√32C．−12D．−√32【分析】观察所求的式子，发现满足两角和与差的余弦函数公式，故利用此公式化简，再利用特殊角的三角函数值即可求出值．解：cos45°cos15°﹣sin45°sin15°＝cos（45°+15°）＝cos60°=12．故选：A．【点评】此题考查了两角和与差的余弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式是解本题的关键．3．设a＞b，则下列不等式成立的是（）A．a2＞b2B．1a＜1bC．ac2＞bc2D．1a−b＞1a【分析】通过举例可得ABD不正确，利用不等式的基本性质可得C成立．解：A．取a＝2，b＝﹣3，则a2＞b2不成立；B ．取a ＝2，b ＝﹣3，则1a＜1b不成立；C ．由a ＞b ，1c2＞0，可得ac2＞b c 2成立；D ．取a ＝2，b ＝﹣3，则1a−b＜1a，因此不正确．故选：C ．【点评】本题考查了不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 4．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 4+a 6＝﹣6，则S 9＝（ ） A ．﹣27B ．27C ．﹣54D ．54【分析】由等差数列{a n }的性质可得：a 4+a 6＝﹣6＝a 1+a 9，再利用等差数列的前n 项和公式即可得出．解：由等差数列{a n }的性质可得：a 4+a 6＝﹣6＝a 1+a 9， 则S 9=9(a 1+a 9)2=9×（﹣3）＝﹣27． 故选：A ．【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其前n 项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5．已知{a n }是等比数列，且a 5=12，4a 3+a 7＝2，则a 9＝（ ） A ．2B ．±2C ．8D ．18【分析】由已知列式求得a 3，进一步求得公比，再由等比数列的通项公式求得a 9． 解：在等比数列{a n }中，由a 5=12，得a 3a 7=a 52=14，又4a 3+a 7＝2， 联立解得：a 3=14．则q 2=a 5a 3=1214=2，∴a 9=a 5q 4=12×4=2． 故选：A ．【点评】本题考查等比数列的通项公式，考查了等比数列的性质，是基础的计算题． 6．已知△ABC 中，A ＝45°，a ＝2，b =√2，那么∠B 为（ ） A ．30°B ．60°C ．30°或150°D ．60°或120°【分析】根据正弦定理，求出sin B 的值，再根据b ＜a 得出B ＜A ，即可求出B 的值．解：△ABC 中，A ＝45°，a ＝2，b =√2， 由正弦定理得，a sinA=b sinB，∴sin B =bsinA a =√2sin45°2=12；又b ＜a ， ∴B ＜A ， ∴B ＝30°． 故选：A ．【点评】本题考查了正弦定理的简单应用问题，是基础题目． 7．若函数f （x ）=√ax +ax+1的定义域为R ，则实数a 的取值范围是（ ）A ．（0，4）B ．[0，2）C ．[0，4）D ．（2，4]【分析】根据f （x ）的定义域为R 可得出ax 2+ax +1＞0的解集为R ，讨论a ：a ＝0时，显然满足题意；a ≠0时，需满足{a ＞0△=a 2−4a ＜0，解出a 的范围即可．解：∵f （x ）的定义域为R ； ∴ax 2+ax +1＞0的解集为R ；①a ＝0时，1＞0恒成立，ax 2+ax +1＞0的解集为R ； ②a ≠0时，则{a ＞0△=a 2−4a ＜0；解得0＜a ＜4；∴综上得，实数a 的取值范围是[0，4）． 故选：C ．【点评】考查函数定义域的概念及求法，一元二次不等式的解集为R 时，判别式△满足的条件．8．在△ABC 中，若2cos B •sin A ＝sin C ，则△ABC 的形状一定是（ ） A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形D ．等边三角形【分析】在△ABC 中，总有A +B +C ＝π，利用此关系式将题中：“2cos B •sin A ＝sin C ，”化去角C ，最后得到关系另外两个角的关系，从而解决问题．【解答】解析：∵2cos B •sin A ＝sin C ＝sin （A +B ）⇒sin （A ﹣B ）＝0，又B 、A 为三角形的内角， ∴A ＝B ． 故选：C ．【点评】本题主要考查三角函数的两角和与差的正弦函数，属于基础题，在判定三角形形状时，一般考虑两个方向进行变形，一个方向是边，走代数变形之路，另一个方向是角，走三角变换之路．9．在△ABC ，三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若内角A ，B ，C 依次成等差数列，且不等式﹣2x 2+ax +c ＞0的解集为（﹣1，2），则b 等于（ ） A ．2√3B ．3C ．4D ．4√7【分析】不等式﹣2x 2+ax +c ＞0的解集为（﹣1，2），可得﹣1，2是方程﹣2x 2+ax +c ＝0的两个实数根，利用根与系数点关系可得：a ，c ．根据A ，B ，C 依次成等差数列，可得B ．再利用余弦定理即可得出．解：不等式﹣2x 2+ax +c ＞0的解集为（﹣1，2）， ∴﹣1，2是方程﹣2x 2+ax +c ＝0的两个实数根， 可得：﹣1+2=a2，﹣1×2=−c2， a ＝2，c ＝4．∵A ，B ，C 依次成等差数列，∴B =12（A +C ）=12（π﹣B ），解得B =π3． 则b 2＝22+42﹣2×2×4cos π3=12，解得b ＝2√3．故选：A ．【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．10．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北45°（即∠BAC ＝45°）的方向上，行驶600√6m 后到达B 处，测得此山顶在北偏东15°（即∠ABC ＝75°）的方向上，仰角∠DBC 为30°，则此山的高度CD ＝（ ）A ．200√3mB ．400√3mC ．600√3mD ．800√3m【分析】△ABC 中由正弦定理求得BC 的值，Rt △ABC 中求出山高CD 的值． 解：△ABC 中，∠BAC ＝45°，AB ＝600√6，∠ABC ＝75°， ∴∠ACB ＝60°， 由正弦定理得BC sin45°=600√6sin60°，BC =√6×√2232=1200，Rt △ABC 中，∠DBC ＝30°，∴CD ＝BC tan ∠DBC ＝1200×√33=400√3，则山高CD 为400√3m ． 故选：B ．【点评】本题考查了解三角形的应用问题，从实际问题中抽象出三角形是解题的关键，属基础题．11．已知2sin2θ﹣cos2θ＝1，则sin2θ+cos2θ+1sin2θ−cos2θ+1的值为（ ）A ．45B ．0C ．2D ．0或2【分析】由已知求得cos θ＝0或tan θ=12，然后分类求解得答案． 解：由2sin2θ﹣cos2θ＝1，得4sin θcos θ＝2cos 2θ， 得cos θ＝0或tan θ=12．若cos θ＝0则θ=π2+kπ，2θ＝π+2k π， 则sin2θ+cos2θ+1sin2θ−cos2θ+1=0；若tan θ=12，则sin2θ+cos2θ+1sin2θ−cos2θ+1=2sinθcosθ+2cos 2θ2sinθcosθ+2sin θ=tanθ+1tanθ+tan 2θ=12+112+14=2． ∴sin2θ+cos2θ+1sin2θ−cos2θ+1的值为0或2．故选：D ．【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，考查分类讨论的数学思想方法，是中档题．12．已知函数f （x ）＝2cos x （sin x ﹣cos x ）+1的定义域为[a ，b ]，值域为[−√2，√22]，则b﹣a 的值不可能是（ ） A ．π3B ．π2C ．7π12D ．34π【分析】利用辅助角公式将函数化为y ＝A sin （ωx +φ）的形式，根据正弦函数在一个区间上单调性，建立关系，求解b ﹣a 的范围． 解：函数f （x ）＝2cos x （sin x ﹣cos x ）+1 ＝2sin x cos x ﹣2cos 2x +1 ＝sin2x ﹣cos2x =√2sin （2x −π4），其定义域为[a ，b ]，即x ∈[a ，b ]， 所以2x −π4∈[2a −π4，2b −π4]； 又其值域为[−√2，√22]，即−√2≤√2sin （2x −π4）≤√22，所以﹣1≤sin （2x −π4）≤12；在正弦函数y ＝sin x 的一个周期内，要满足上式， 则−π2≤2x −π4≤π6，所以（b ﹣a ）max =π6−（−π2）=2π3， 所以b ﹣a 的值不可能为3π4．故选：D ．【点评】本题考查了三角函数的性质与应用问题，也考查了分析与运算能力，是中档题．二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知等差数列{a n}的通项公式为a n＝2﹣3n，那么它的公差为﹣3．【分析】利用公差d＝a2﹣a1即可得出．解：公差d＝a2﹣a1＝2﹣3×2﹣（2﹣3）＝﹣3．故答案为：﹣3．【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14．九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜．据明代杨慎《丹铅总录》记载：“两环互相贯为一，得其关捩，解之为二，又合面为一”．在某种玩法中，用a n表示解下n（n≤9，n∈N*）个圆环所需的移动最少次数，{a n}满足a1＝1，且a n={2a n−1−1，n为偶数2a n−1+2，n为奇数，则解下4个环所需的最少移动次数为7．【分析】根据已知规律和递归式，推导出a4的值即可．解：根据题意，a2＝2a1﹣1＝1；a3＝2a2+2＝4；a4＝2a3﹣1＝7；即解下4个圆环最少移动7次；故答案为：7．【点评】本题比较新颖，考查学生对于递归式的掌握和理解，属基础题．要注意n的奇偶性，代入不能搞错．15．若sin76°＝m，则cos7°＝√2m+22．【分析】将已知等式中的角76°变形为90°﹣14°，利用诱导公式sin（90°﹣α）＝cosα化简，用m表示出cos14°，将cos14°利用二倍角的余弦函数公式化简，得到关于cos7°的方程，求出方程的解即可用m表示出cos7°．解：∵sin76°＝sin（90°﹣14°）＝cos14°＝m，∴cos14°＝2cos27°﹣1＝m，则cos7°=√m+12=√2m+22．故答案为：√2m+22【点评】此题考查了同角三角函数间的基本关系，以及二倍角的余弦函数公式，熟练掌握基本关系及公式是解本题的关键．16．在锐角三角形△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，a 2+c 2﹣b 2=√3ac ，则cos A +sin C 的取值范围为 (√32，32) ．【分析】由已知及余弦定理可求cos B ，结合B 是锐角，可求B ，根据三角形内角和定理可求C =5π6−A ，利用三角函数恒等变换的应用可求cos A +sin C =√3sin(A +π3)，由△ABC 是锐角三角形，可求A 的范围，进而可求范围2π3＜A +π3＜5π6，利用正弦函数的图象和性质即可得解其取值范围． 解：由条件a 2+c 2−b 2=√3ac根据余弦定理得：cosB =a 2+c 2−b 22ac =√32，∵B 是锐角， ∴B =π6． ∴A +C =5π6，即C =5π6−A ， ∴cosA +sinC =cosA +sin(5π6−A)#/DEL/#=cosA +sin 5π6cosA −cos 5π6sinA =√32sinA +32cosA#/DEL/#=√3sin(A +π3)，又△ABC 是锐角三角形，∴{0＜A ＜π20＜C ＜π2，即{0＜A ＜π20＜5π6−A ＜π2， ∴π3＜A ＜π2，∴2π3＜A +π3＜5π6，∴cosA +sinC ∈(√32，32)．故答案为：(√32，32)． 【点评】本题主要考查了余弦定理，三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质在解三角形中的应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．已如α，β∈[π2，π]，且cos α=−35． （Ⅰ）求tan （π4−α）的值；（Ⅱ）若sin （α﹣β）=35，求sin β的值．【分析】（Ⅰ）根据cos α=−35，求出tanα，然后由两角差的正切公式求出tan （π4−α）的值；（Ⅱ）根据sin （α﹣β）=35，求出cos(α−β)=45，然后由sin β＝sin[α﹣（α﹣β）]求出sin β的值．解：（Ⅰ）∵α∈[π2，π]，且cos α=−35， ∴sinα=45，∴tanα=−43， ∴tan(π4−α)=1−tanα1+tanα=−7； （Ⅱ）由α，β∈[π2，π]，得−π2＜α−β＜π2， ∵sin(α−β)=35，∴cos(α−β)=45， ∴sin β＝sin[α﹣（α﹣β）]=sinαcos(α−β)−cosαsin(α−β) =45×45−(−35)×35=1． 【点评】本题考查了两角差的正弦公式，两角差的正切公式和三角函数求值，考查了计算能力和转化思想，属基础题．18．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 2＝﹣5，S 6＝﹣12． （1）求{a n }的通项公式；（2）求S n ，并求当n 取何值时S n 有最小值．【分析】（1）设{a n }的公差为d ，由题意得{a 1+d =−52a 1+5d =−4，解得a 1，d ，即可得出通项公式．（2）由（1）得S n ＝n 2﹣8n ＝（n ﹣4）2﹣16，利用二次函数的单调性即可得出．解：（1）设{a n }的公差为d ，由题意得{a 1+d =−52a 1+5d =−4，得a 1＝﹣7，d ＝2．∴{a n }的通项公式为a n ＝2n ﹣9．（2）由（1）得S n ＝n 2﹣8n ＝（n ﹣4）2﹣16， ∴当n ＝4时，S n 取得最小值，最小值为﹣16．【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 19．已知sin x 2+2cos x2=0． （1）求tan x 的值； （2）求sin x 的值； （3）求√2cos(x+π4)sinx的值．【分析】（1）由已知利用同角三角函数基本关系式可求tan x2=−2，利用二倍角的正切函数公式即可求解．（2）由（1）利用二倍角的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式即可求解． （3）利用二倍角公式，两角和的余弦函数公式，同角三角函数基本关系式化简所求即可求解．解：由sin x2+2cos x2=0，得tan x2=−2，（1）tanx =2tan x21−tan 2x 2=2×(−2)1−(−2)2=43，（2）sinx =2sin x 2cos x 2=2sin x 2cos x 2sin 2x 2+cos x 2=2tan x 2tan 2x 2+1=2×(−2)(−2)2+1=−45， （3）√2cos(x+π4)sinx=22√2(√22cosx−√22sinx)sinx=(cosx−sinx)(cosx+sinx)(cosx−sinx)sinx=cosx+sinx sinx=1+1tanx=1+34=74．【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角公式，两角和的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．20．在△ABC 中，a 、b 、c 是角A 、B 、C 所对的边，且（a ﹣2b ）cos C +c cos A ＝0． （1）求C 的大小；（2）若b ＝2，c =√7，求AB 边上的高．【分析】（1）由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简可求cos C ，进而可求C ； （2）由余弦定理可求a ，然后结合正弦定理可求sin A ，进而可求． 解：（1）∵（a ﹣2b ）cos C +c cos A ＝0，由正弦定理得sin A cos C +cos A sin C ﹣2sin B cos C ＝0， 即sin （A +C ）﹣2sin B cos C ＝0，即sin B （1﹣2cos C ）＝0，∵0＜B ＜π，∴sin B ＞0，则有cosC =12，∵0＜C ＜π，因此，C =π3；（2）由余弦定理得c 2＝a 2+b 2﹣2ab cos C ，整理得a 2﹣2a ﹣3＝0，∵a ＞0，解得a ＝3， 由正弦定理a sinA=c sinC，得sinA =asinC c =3√2114，因此，AB 边上的高为bsinA =2×3√2114=3√217．【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理及和差角公式在求解三角形中的应用，属于中档试题． 21．定义行列式运算：|x 1x 2x3x 4|=x 1x 4﹣x 2x 3，若函数f （x ）=|sin(ωx −π3)cosωx 01|（ω＞0）的最小正周期是π．（1）求函数f （x ）的单调增区间；（2）数列{a n }的前n 项和S n =An 2，且A =f(5π12)，求证：数列{2a n a n+1}的前n 项和T n ＜1．【分析】（1）利用已知条件，结合运算法则，利用两角和与差的三角函数化简，结合正弦函数的单调性求解即可．（2）求出A ，利用数列的和求出通项公式，然后化简2a n a n+1，通过裂项相消法求解数列的和即可．【解答】（1）解：由题意|x 1x 2x3x 4|=x 1x 4﹣x 2x 3，可得函数f （x ）=|sin(ωx −π3)cosωx01|=sin （ωx −π3）×1﹣0×cos ωx ＝sin （ωx −π3），所以f(x)=sin(ωx −π3)， ∵2π|ω|=π，ω＞0⇒ω=2，∴f(x)=sin(2x −π3)，由2kπ−π2≤2x −π3≤2kπ+π2，k ∈Z 可得kπ−π12≤x ≤kπ+5π12，k ∈Z ．∴f （x ）的单调增区间为[kπ−π12，kπ+5π12]，k ∈Z ． （2）证明：由（Ⅰ）得A =f(5π12)=sin(2×5π12−π3)=sin π2=1， ∴S n =n 2，①当n ＝1时，a 1＝S 1＝1；②当n ≥2（n ∈N +）时，a n =S n −S n−1=n 2−(n −1)2=2n −1，而a 1＝2×1﹣1＝1，满足上式， ∴a n ＝2n ﹣1， 则2a n a n+1=2(2n−1)(2n+1)=12n−1−12n+1，∴T n =1−13+13−15+⋯+12n−1−12n+1=1−12n+1＜1． 【点评】本题考查新定义的应用，数列求和以及数列的递推关系式的应用，三角函数的单调区间的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题． 22．已知{x n }是各项均为正数的等比数列，且x 1+x 2＝3，x 3﹣x 2＝2． （Ⅰ）求数列{x n }的通项公式；（Ⅱ）如图，在平面直角坐标系xOy 中，依次连接点P 1（x 1，1），P 2（x 2，2）…P n +1（x n +1，n +1）得到折线P 1P 2…P n +1，求由该折线与直线y ＝0，x ＝x 1，x ＝x n +1所围成的区域的面积T n ．【分析】（I ）列方程组求出首项和公比即可得出通项公式；（II ）从各点向x 轴作垂线，求出梯形的面积的通项公式，利用错位相减法求和即可． 解：（I ）设数列{x n }的公比为q ，则q ＞0， 由题意得{x 1+x 1q =3x 1q 2−x 1q =2，两式相比得：1+q q −q=32，解得q ＝2或q =−13（舍），∴x 1＝1， ∴x n ＝2n ﹣1．（II ）过P 1，P 2，P 3，…，P n 向x 轴作垂线，垂足为Q 1，Q 2，Q 3，…，Q n ，记梯形P n P n+1Q n+1Q n的面积为b n，则b n=n+n+12×2n−1=（2n+1）×2n﹣2，∴T n＝3×2﹣1+5×20+7×21+…+（2n+1）×2n﹣2，①∴2T n＝3×20+5×21+7×22+…+（2n+1）×2n﹣1，②①﹣②得：﹣T n=32+（2+22+…+2n﹣1）﹣（2n+1）×2n﹣1=32+2(1−2n−1)1−2−（2n+1）×2n﹣1=−12+（1﹣2n）×2n﹣1．∴T n=(2n−1)×2n+12．【点评】本题考查了等比数列的性质，错位相减法求和，属于中档题．。