人教版八年级上册第11章 《三角形》培优训练题
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第11章《三角形》培优测试题一.选择题(共10小题)1.下面分别是三根小木棒的长度,能摆成三角形的是()A.5cm,8cm,2cm B.5cm,8cm,13cmC.5cm,8cm,5cm D.2cm,7cm,5cm2.如图,在△ABC中,∠ACB=100°,∠A=20°,D是AB上一点,将△ABC沿CD折叠,使B点落在AC边上的B′处,则∠ADB′等于()A.40°B.20°C.55°D.30°3.如图,在△ABC中,AD⊥BC,AE平分∠BAC,若∠1=30,∠2=20°,则∠B=()A.20°B.30°C.40°D.50°4.三角形的三个内角的度数之比为2:3:7,则这个三角形最大内角一定是()A.75°B.90°C.105°D.120°5.在△ABC中,若AB=9,BC=6,则第三边CA的长度可以是()A.3B.9C.15D.166.如图,AD,CE为△ABC的角平分线且交于O点,∠DAC=30°,∠ECA=35°,则∠ABO 等于()A.25°B.30°C.35°D.40°7.若正多边形的一个外角是60°,则该正多边形的内角和为()A.360°B.540°C.720°D.900°8.如图,图中直角三角形共有()A.1个B.2个C.3个D.4个9.有公共顶点A,B的正五边形和正六边形按如图所示位置摆放,连接AC交正六边形于点D,则∠ADE的度数为()A.144°B.84°C.74°D.54°10.如图,AE平分△ABC外角∠CAD,且AE∥BC,给出下列结论:①∠DAE=∠CAE;②∠DAE=∠B;③∠CAE=∠C;④∠B=∠C;⑤∠C+∠BAE=180°,其中正确的个数有()A.5个B.4个C.3个D.2个二.填空题(共8小题)11.三角形三边长分别为3,2a﹣1,4.则a的取值范围是.12.如图,在△ABC中,D、E分别是AB、AC上的点,点F在B C的延长线上,DE∥BC,∠A=44°,∠1=57°,则∠2= .13.在△ABC中,BO平分∠ABC,CO平分∠ACB,当∠A=50°时,∠BOC= .14.一个n边形的每个内角都为144°,则边数n为.15.在△ABC中,∠C=∠A=∠B,则∠A= 度.16.如图,AE是△ABC的角平分线,AD⊥BC于点D,若∠BAC=128°,∠C=36°,∠DAE 度.17.如图,在△ABC中,AD⊥BC,AE平分∠BAC,若∠1=40°,∠2=20°,则∠B= .18.如图,在△ABC中,点M、N是∠ABC与∠ACB三等分线的交点,若∠A=60°,则∠BMN的度数是.三.解答题(共7小题)19.(1)已知三角形三个内角的度数比为1:2:3,求这个三角形三个外角的度数.(2)一个正多边形的内角和为1800°,求这个多边形的边数.20.如图,在△ABC中,AD是BC边上的高,BE平分∠ABC交AC边于E,∠BAC=60°,∠ABE=25°.求∠DAC的度数.21.如图①所示,为五角星图案,图②、图③叫做蜕变的五角星.试回答以下问(1)在图①中,试证明∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°;(2)对于图②或图③,还能得到同样的结论吗?若能,请在图②或图③中任选其一证明你的发现;若不能,试说明理由.22.如图,已知△ABC中,高为AD,角平分线为AE,若∠B=28°,∠ACD=52°,求∠EAD的度数.23.如图,在△ABC中,AD平分∠BAC交BC于点D,AE⊥BC,垂足为E,且CF∥AD.(1)如图1,若△ABC是锐角三角形,∠B=30°,∠ACB=70°,则∠CFE= 度;(2)若图1中的∠B=x,∠ACB=y,则∠CFE= ;(用含x、y的代数式表示)(3)如图2,若△ABC是钝角三角形,其他条件不变,则(2)中的结论还成立吗?请说明理由.24.如图,BG∥EF,△ABC的顶点C在EF上,AD=BD,∠A=23°,∠BCE=44°,求∠ACB 的度数.25.【探究】如图①,在△ABC中,∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于点P.(1)若∠ABC=50°,∠ACB=80°,则∠A= 度,∠P= 度(2)∠A与∠P的数量关系为,并说明理由.【应用】如图②,在△ABC中,∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于点P.∠ABC 的外角平分线与∠ACB的外角平分线相交于点Q.直接写出∠A与∠Q的数量关系为.参考答案一.选择题1. C.2. A.3. D.4. C.5. B.6. A.7. C.8. C.9. B.10. A.二.填空题11. 1<a<4.12.101°.13.115°.14. 10.15.60.16. 10.17.30°.18.50°.三.解答题19.解:(1)设此三角形三个内角的比为x,2x,3x,则x+2x+3x=180,6x=180,x=30,则三个内角分别为30°、60°、90°,相应的三个外角分别为150°、120°、90°.(2)设这个多边形的边数是n,则(n﹣2)•180°=1800°,解得n=12.故这个多边形的边数为12.20.解:∵BE平分∠ABC,∴∠ABC=2∠ABE=2×25°=50°,∵AD是BC边上的高,∴∠BAD=90°﹣∠ABC=90°﹣50°=40°,∴∠DAC=∠BAC﹣∠BAD=60°﹣40°=20°.21.解:(1)证明:如图①,设BD、AD与CE的交点为M、N;△MBE和△NAC中,由三角形的外角性质知:∠DMN=∠B+∠E,∠DNM=∠A+∠C;△DMN中,∠DMN+∠DNM+∠D=180°,故∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°.(2)结论仍然成立,以图③为例;延长CE交AD于F,设CE与BD的交点为M;同(1)可知:∠DMF=∠B+∠E,∠DFM=∠A+∠C;在△DMF中,∠D+∠DMF+∠DFM=180°,∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°.22.解:∵AD为高,∠B=28°,∴∠BAD=62°,∵∠A CD=52°,∴∠BAC=∠ACD﹣∠B=24°,∵AE是角平分线,∴∠BAE=BAC=12°,∴∠EAD=∠BAD﹣∠BAE=50°.23.解:(1)∵∠B=30°,∠ACB=70°,∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠ACB=80°,∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=40°,∵AE⊥BC,∴∠AEB=90°∴∠BAE=60°∴∠DAE=∠BAE﹣∠BAD=60°﹣40°=20°,∵CF∥AD,∴∠CFE=∠DAE=20°;故答案为:20;(2)∵∠BAE=90°﹣∠B,∠BAD=∠BAC=(180°﹣∠B﹣∠BCA),∴∠CFE=∠DAE=∠BAE﹣∠BAD=90°﹣∠B﹣(180°﹣∠B﹣∠BCA)=(∠BCA﹣∠B)=y﹣x.故答案为: y﹣x;(3)(2)中的结论成立.∵∠B=x,∠ACB=y,∴∠BAC=180°﹣x﹣y,∵AD平分∠BAC,∴∠DAC=∠BAC=90°﹣x﹣y,∵CF∥AD,∴∠ACF=∠DAC=90°﹣x﹣y,∴∠BCF=y+90°﹣x﹣y=90°﹣x+y,∴∠ECF=180°﹣∠BCF=90°+x﹣y,∵AE⊥BC,∴∠FEC=90°,∴∠CFE=90°﹣∠ECF=y﹣x.24.解:∵AD=BD,∠A=23°,∴∠ABD=∠A=23°,∵BG∥EF,∠BC E=44°,∴∠DBC=∠BCE=44°,∴∠ABC=44°+23°=67°,∴∠ACB=180°﹣67°﹣23°=90°.25.解:(1)∵∠ABC=50°,∠ACB=80°,∴∠A=50°,∵∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于点P,∴∠CBP=∠ABC,∠BCP=∠ACB,∴∠BCP+∠CBP=(∠ABC+∠ACB)=×130°=65°,∴∠P=180°﹣65°=115°,故答案为:50,115;(2).证明:∵BP、CP分别平分∠ABC、∠ACB,∴,,∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°∠P+∠PBC+∠PCB=180°,∴,∴,∴;(3).理由:∵∠ABC的外角平分线与∠ACB的外角平分线相交于点Q,∴∠CBQ=(180°﹣∠ABC)=90°﹣∠ABC,∠BCQ=(180°﹣∠ACB)=90°﹣∠ACB,∴△BCQ中,∠Q=180°﹣(∠CBQ+∠BCQ)=180°﹣(90°﹣∠ABC+90°﹣∠ACB)=(∠ABC+∠ACB),又∵∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A,∴∠Q=(180°﹣∠A)=90°﹣∠A.。
第十一章三角形习题集第1课时三角形的边——三边关系姓名:___________☆知识导学1.若三角形的两边长分别为a,b(a>b),则第三边长x的取值范围是_______________________.2.三角形具有___________,四边形具有_____________.☆习题演练1.已知三角形ABC三边a、b、c满足(a-b)2+|b-c|=0,则△ABC的形状是()A.钝角三角形B.直角三角形C.等边三角形D.以上都不对2.不能组成一个三角形的三条线段的长度是()A.3,3,3 B.3,6,2 C.3,4,3 D.3,5,73.(2012•海南)一个三角形的两边长分别为3cm和7cm,则此三角形的第三边的长可能是()A.3cm B.4cm C.7cm D.11cm4.(2013•南通)有3cm,6cm,8cm,9cm的四条线段,任选其中的三条线段组成一个三角形,则最多能组成三角形的个数为()A.1 B.2 C.3 D.45.(2012•肇庆)等腰三角形两边长分别为4和8,则这个等腰三角形的周长为()A.16 B.18 C.20 D.16或206.下列说法中正确的是()A.三角形的内角中至少有两个锐角B.三角形的内角中至少有两个钝角C.三角形的内角中至少有一个直角D.三角形的内角中至少有一个钝角7.图中有______个三角形,用符号表示这些三角形:__________________________.第7题图第13题图8.在△ABC中,已知两条边a=6,b=7,则第三条边c的取值范围是_________________.9.若三角形的两边长分别为3和5,且周长为奇数,则第三边可以是________(只填符合条件的一个即可).10.(2012•哈尔滨)一个等腰三角形的两边分别为5和6,则这个等腰三角形的周长是________________.11.若三角形的两边长分别为3和5,则它的周长l的取值范围是________________.12.(提高题)△ABC的边长均为整数,且最大边的边长为7,那么这样的三角形共有________个.13.如图,木工师傅在做完门框后,为防止变形常常像图中所示那样钉上两条斜拉的木条(图中的AB,CD两根木条),这样做的数学道理是_____________________________.14.用一条长为20cm的铁丝围成一个等腰三角形能围成有一边长为6cm的等腰三角形吗?为什么?第2课时三角形的高、中线与角平分线姓名:___________ ☆知识导学如图,完成下面几何语言的表达:(1)∵AD是△ABC的高(已知)∴AD⊥BC,∠______=∠______=90º.(2)∵AE是△ABC的中线(已知)∴______=______=21______,______=2______=2______.(3)∵AF是△ABC的角平分线(已知)∴∠______=∠______=21∠______,∠______=2∠______=2∠______.☆习题演练1.如图所示的△ABC中,线段BE是三角形AC边上的高的是()A.B.C.D.2.下列说法正确的是()①三角形的三条中线都在三角形内部;②三角形的三条角平分线都在三角形内部;③三角形三条高都在三角形的内部.A.①②③B.①②C.②③D.①③3.如图,已知BD是△ABC的中线,AB=5,BC=3,△ABD和△BCD的周长的差是()A.2 B.3 C.6 D.不能确定4.如图,△ABC的角平分线AD、中线BE相交于点O,则①AO是△ABE的角平分线;②BO是△ABD 的中线;③DE是△ADC的中线;④S△ADE= S△CDE,其中结论正确的有()A.1个B.2个C.3个D.4个5.三角形中的角平分线、中线、高都是三条特殊的__________(填直线、射线、线段).6.如图,在边长为1的正方形网格中,△ABC的顶点B的坐标是(1,-4),过点B作AC边上的高线,则垂足D点的坐标是________.AB CD EF第3题图第4题图第6题图8.如图,在△ABC中,已知CD是角平分线,∠A=70°,∠B=50°,求∠BCD的度数.9.如图,AD是△ABC的角平分线,CE是△ABC的高,∠BAC=60°,∠BCE=40°,求∠ADB的度数.10.如图,△ABC的边BC上的高为AD,且BC=9cm,AD=2cm,AB=6cm.(1)画出AB边上的高CE;(2)求CE的长.11.如图,D,E分别是△ABC的边BC和AB上的点,△ABD与△ACD的周长相等,△CAE与△CBE 的周长相等.设BC=a,AC=b,AB=c.求AE,BD的长(用含a,b,c的代数式表示).AB CD第3课时 三角形的内角 姓名:___________☆知识导学如图,延长BC 至D ,过点C 作CE//AB ∵CE//AB∴∠ECD=∠______(_________________________________________) ∠ECA=∠______(_________________________________________)∵∠ECD+∠ECA+∠ACB=180°(___________________) ∴∠A+∠B+∠ACB=180°(等量代换) 归纳:三角形的内角和等于____________. ☆习题演练 1.在△ABC 中,(1)若∠A=40°,∠C=35°,则∠B=_______,△ABC 是__________三角形. (2)若∠A=70°,∠B=∠C ,则∠B=_______°.(3)若∠A ∶∠B ∶∠C=1∶1∶2,则△ABC 是__________三角形.2.如图,AD 是△ABC 的角平分线,点O 在AD 上,且OE ⊥BC 于点E ,∠BAC=60°,∠C=80°,则∠EOD 的度数为( )A .20°B .30°C .10°D .15°第2题图 第4题图 第5题图 3.在△ABC 中,∠B 与∠C 的角平分线交于O 点,若∠A=50°,则∠BOC=( ) A .130° B .50° C .25° D .115°4.将一副直角三角板如图所示放置,使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合,则∠1的度数为( )A .45°B .60°C .75°D .85°5.(2012•梅州)如图,在折纸活动中,小明制作了一张△ABC 纸片,点D 、E 分别是边AB 、AC 上,将△ABC 沿着DE 折叠压平,A 与A′重合,若∠A=75°,则∠1+∠2=( ) A .150° B .210° C .105° D .75°6.(2005•长沙)在△ABC 中,若∠A=38°36′,∠B=57°36′,则∠C=_________度. 7.已知△ABC 中,∠A=2(∠B+∠C ),则∠A 的度数为________度.8.(2013•上海)当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时,我们称此三角形为“特征三角形”,其中α称为“特征角”.如果一个“特征三角形”的“特征角”为100°,那么这个“特征三角形”的最小内ABC DE9.如图,在△ABC 中,∠ABC=∠C ,BD 平分∠ABC ,∠A=36º,求∠BDC 的度数.10.如图,在△ABC 中,∠ABC=66°,∠ACB=54°,BE 是AC 上的高,CF 是AB 上的高,H 是BE 和CF 的交点,求∠ABE 、∠ACF 和∠BHC 的度数.11.如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,CD 为AB 边上的高,BE 平分∠ABC ,分别交CD 、AC 于点F 、E .求证:∠CFE=∠CEF .12.如图,有一块直角三角板XYZ 放置在△ABC 上,恰好三角板XYZ 的两条直角边XY 、XZ 分别经过点B 、C .△ABC 中,∠A=40°,求∠XBA+∠XCA 的度数. EFABCD13.如图,B岛在A岛的南偏西45°方向,C岛在A岛的南偏东15°方向,C岛在B岛的北偏东80°方向.从C岛看A,B两岛的视角∠ACB是多少度?14.如图,AD是△ABC的BC边上的高,AE是∠BAC的角平分线,(1)若∠B=47°,∠C=73°,求∠DAE的度数.(2)若∠B=α,∠C=β,(α<β),求∠DAE的度数(用含α、β的代数式表示)15.已知,如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,DE,DF分别是△ADC的高和角平分线(∠C>∠DAC),若∠B=80°,∠C=40°.(1)求∠DAE的度数;(2)试猜想∠EDF、∠C与∠DAC有何关系?并说明理由.第4课时 三角形的外角 姓名:___________☆知识导学1.如图,延长QR 至T ,∵∠PRQ+∠P+∠Q=180º(__________________________) 又∵∠PRQ+∠PRT=180º(__________________________) ∴∠PRT =∠P+∠Q可得:三角形的一个外角等于__________________的两个内角的和.∵∠PRT =∠P+∠Q∴∠PRT >∠P ,∠PRT >∠Q可得:三角形的一个外角大于_______________________________.2.如图,∵∠1=∠XYZ+∠YZX ,∠2=_______+_______,∠3=_______+_______.∴∠1+∠2+∠3=(∠XYZ+∠YZX )+(______+______)+(______+______) =2(_____+______+______)=2×_____°=_____°.归纳:三角形的外角和等于____________. ☆习题演练1.如图,(1)若∠A=50º,∠B=70º,则∠ACD=_________. (2)若∠A=40º,∠ACD =130º,则∠B =_________. (3)若∠B=80º,∠ACD =135º,则∠A =_________. 2.将一副三角板按如图所示摆放,图中∠α的度数是( ) A .75° B .90° C .105° D .120°第2题图 第3题图 第4题图 第5题图 3.一副三角板有两个直角三角形,如图叠放在一起,则∠α的度数是( ) A .165° B .120° C .150° D .135°4.如图,∠BDC=98°,∠C=38°,∠B=23°,∠A 的度数是( ) A .61° B .60° C .37° D .39° 5.如图,∠1、∠2、∠3的大小关系为( )A .∠2>∠1>∠3B .∠1>∠3>∠2C .∠3>∠2>∠1D .∠1>∠2>∠3 6.如图,直线MA ∥NB ,∠A=70°,∠B=40°,则∠P=_______度.第6题图 第7题图 第8题图 第9题图PQRTαABC DN A BM PEAB DCABCDXYZ 12 38.三角形三个内角之比为3∶4∶5,则它的三个外角之比为____________.9.如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,∠A=50°,将其折叠,使点A 落在边BC 上E 处,折痕为CD ,则∠EDB=_________°.10.如图,在△ABC 中,∠A=α.∠ABC 与∠ACD 的平分线交于点A 1,得∠A 1;∠A 1BC 与∠A 1CD 的平分线相交于点A 2,得∠A 2; …;∠A 2011BC 与∠A 2011CD 的平分线相交于点A 2012,得∠A 2012,则∠A 2012=____________.11.如图,已知D 为△ABC 边BC 延长线一点,DF ⊥AB 于F ,且交AC 于E ,∠A=34°,∠D=42°.求∠ACD 的度数.12.一个零件的形状如图中阴影部分.按规定∠A 等于90°,∠B 、∠C 应分别等于29°和21°. (1)检验人员度量得∠BDC=141°,就断定这个零件不合格.你能说明理由吗?(2)你知道∠B 、∠C 、∠BDC 三个角之间有何关系吗?请写出你的结论.(不需说明理由)13.如图,在△ABC 中,∠1=100°,∠C=80°,∠2=21∠3,BE 平分∠ABC .求∠4的度数.14.如图,已知∠BAD=∠CBE=∠ACF ,∠FDE=48°,∠DEF=64°,求△ABC 各内角的度数.15.如图,∠ACD 是△ABC 的外角,BE 平分∠ABC ,CE 平分∠ACD ,且BE 、CE 交于E 点. 求证:∠E=21∠A .16.如图①,A 、B 两点同时从原点O 出发,点A 以每秒m 个单位长度沿x 轴的正方向运动,点B 以每秒n 个单位长度沿y 轴正方向移动.(1)若|m+2n-5|+|2m-n|=0,试分别求出1秒后,A 、B 两点的坐标;(2)如图②,设∠4的邻补角和∠3的邻补角的平分线相交于点P .试问:在点A 、B 运动的过程中,∠P 的大小是否会发生变化?若不发生变化,请求出其值;若发生变化,请说明理由.17.已知:在△ABC 和△XYZ 中,∠A=40°,∠Y+∠Z=95°,将△XYZ 如图摆放,使得∠X 的两条边分别经过点B 和点C .(1)当将△XYZ 如图1摆放时,则∠ABX+∠ACX=_______度;(2)当将△XYZ 如图2摆放时,请求出∠ABX+∠ACX 的度数,并说明理由;(3)能否将△XYZ 摆放到某个位置时,使得BX 、CX 同时平分∠ABC 和∠ACB ?为什么? ABXA ZCX ZYB图1图24 A3OAx1 2 BB Px y y O 图2第5课时 多边形的内角和、外角和 姓名:___________☆知识导学1.过点A 作出下列多边形的对角线,各将多边形分成几个三角形?完成表格:归纳:(1)从n 边形的一个顶点出发可以引_______条对角线,把n 边形分成________个三角形. (2)n 边形的内角和等于___________.(其中n ≥3)2.从与每个内角相邻的两个外角中分别取1个相加,得到的和称为多边形的外角和.∠1+∠2+∠3=________°, ∠1+∠2+∠3+∠=________°归纳:n 边形的外角和等于__________. ☆习题演练1.八边形的内角和是( )A .540°B .720°C .900°D .1080° 2.一个多边形的内角和等于720°,这个多边形的边数是( ) A .9 B .8 C .7 D .6 3.下列各角不是多边形的内角和的是( )A .1800°B .540°C .1900°D .1440° 4.正六边形的每个内角都是( )A .60°B .80°C .100°D .120° 5.一个多边形的每个外角都等于72°,则这个多边形的边数为( ) A .5 B .6 C .7 D .86.把一张形状是多边形的纸片剪去其中某一个角,剩下的部分是一个四边形,则这张纸片原来的形状不可能是( )A .六边形B .五边形C .四边形D .三角形 7.一个多边形的各个内角都等于108°,它是_______边形.8.一个多边形的内角和是1440°,则这个多边形是______边形,过其中一个顶点可以作_______条对角线,AAAA123 12349.如果一个多边形的边数增加一条,那么这个多边形的内角和增加_______,外角和__________.10.(2013•乐山)如图,在四边形ABCD中,∠A=45°.直线l与边AB,AD分别相交于点M,N,则∠1+∠2=_________.第9题图第10题图11.如图所示,将多边形分割成三角形、图(1)中可分割出2个三角形;图(2)中可分割出3个三角形;图(3)中可分割出4个三角形;由此你能猜测出,n边形可以分割出______个三角形.12.已知一个多边形的内角和是1440°,求这个多边形的边数.13.若两个多边形的边数之比为1∶2,内角和的度数之比为1∶3,求这两个多边形的边数.14.已知一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°,求这个多边形的边数.15.如图,四边形ABCD中,如果∠A与∠C互为补角,求证:∠B与∠D也互为补角.16.如图,五边形ABCDE的内角都相等,且∠1=∠2,∠3=∠4,求x的值.17.如图,求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数和.18.已知一个多边形的最小的一个内角是120°,比它稍大的一个内角是125°以后依次每一个内角比前一个内角多5°,且所有内角的和与最大的内角的度数之比是63∶8,试求这个多边形的边数.19.如图所示,小明从A点出发,沿直线前进8米后左转40°,再沿直线前进8米,又左转40°,照这样走下去,他第一次回到出发点A时,(1)整个行走路线是什么图形?(2)一共走了多少米?20.如图,BC⊥CD,∠1=∠2=∠3,∠4=70°,∠5=∠6.(1)求证:AC⊥BD;(2)求四边形ABCD各内角的度数;(3)若AC=8,BD=6,求四边形ABCD的面积.。
第11章《三角形》培优测试题一.选择题(共10小题)1.下面分别是三根小木棒的长度,能摆成三角形的是()A.5cm,8cm,2cm B.5cm,8cm,13cmC.5cm,8cm,5cm D.2cm,7cm,5cm2.如图,在△ABC中,∠ACB=100°,∠A=20°,D是AB上一点,将△ABC沿CD 折叠,使B点落在AC边上的B′处,则∠ADB′等于()A.40°B.20°C.55°D.30°3.如图,在△ABC中,AD⊥BC,AE平分∠BAC,若∠1=30,∠2=20°,则∠B=()A.20°B.30°C.40°D.50°4.三角形的三个内角的度数之比为2:3:7,则这个三角形最大内角一定是()A.75°B.90°C.105°D.120°5.在△ABC中,若AB=9,BC=6,则第三边CA的长度可以是()A.3B.9C.15D.166.如图,AD,CE为△ABC的角平分线且交于O点,∠DAC=30°,∠ECA=35°,则∠ABO等于()A.25°B.30°C.35°D.40°7.若正多边形的一个外角是60°,则该正多边形的内角和为()A.360°B.540°C.720°D.900°8.如图,图中直角三角形共有()A.1个B.2个C.3个D.4个9.有公共顶点A,B的正五边形和正六边形按如图所示位置摆放,连接AC交正六边形于点D,则∠ADE的度数为()A.144°B.84°C.74°D.54°10.如图,AE平分△ABC外角∠CAD,且AE∥BC,给出下列结论:①∠DAE=∠CAE;②∠DAE=∠B;③∠CAE=∠C;④∠B=∠C;⑤∠C+∠BAE=180°,其中正确的个数有()A.5个B.4个C.3个D.2个二.填空题(共8小题)11.三角形三边长分别为3,2a﹣1,4.则a的取值范围是.12.如图,在△ABC中,D、E分别是AB、AC上的点,点F在B C的延长线上,DE∥BC,∠A=44°,∠1=57°,则∠2= .13.在△ABC中,BO平分∠ABC,CO平分∠ACB,当∠A=50°时,∠BOC= .14.一个n边形的每个内角都为144°,则边数n为.15.在△ABC中,∠C=∠A=∠B,则∠A= 度.16.如图,AE是△ABC的角平分线,AD⊥BC于点D,若∠BAC=128°,∠C=36°,∠DAE 度.17.如图,在△ABC中,AD⊥BC,AE平分∠BAC,若∠1=40°,∠2=20°,则∠B= .18.如图,在△ABC中,点M、N是∠ABC与∠ACB三等分线的交点,若∠A=60°,则∠BMN的度数是.三.解答题(共7小题)19.(1)已知三角形三个内角的度数比为1:2:3,求这个三角形三个外角的度数.(2)一个正多边形的内角和为1800°,求这个多边形的边数.20.如图,在△ABC中,AD是BC边上的高,BE平分∠ABC交AC边于E,∠BAC=60°,∠ABE=25°.求∠DAC的度数.21.如图①所示,为五角星图案,图②、图③叫做蜕变的五角星.试回答以下问(1)在图①中,试证明∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°;(2)对于图②或图③,还能得到同样的结论吗?若能,请在图②或图③中任选其一证明你的发现;若不能,试说明理由.22.如图,已知△ABC中,高为AD,角平分线为AE,若∠B=28°,∠ACD=52°,求∠EAD的度数.23.如图,在△ABC中,AD平分∠BAC交BC于点D,AE⊥BC,垂足为E,且CF∥AD.(1)如图1,若△ABC是锐角三角形,∠B=30°,∠ACB=70°,则∠CFE= 度;(2)若图1中的∠B=x,∠ACB=y,则∠CFE= ;(用含x、y的代数式表示)(3)如图2,若△ABC是钝角三角形,其他条件不变,则(2)中的结论还成立吗?请说明理由.24.如图,BG∥EF,△ABC的顶点C在EF上,AD=BD,∠A=23°,∠BCE=44°,求∠ACB的度数.25.【探究】如图①,在△ABC中,∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于点P.(1)若∠ABC=50°,∠ACB=80°,则∠A= 度,∠P= 度(2)∠A与∠P的数量关系为,并说明理由.【应用】如图②,在△ABC中,∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于点P.∠ABC的外角平分线与∠ACB的外角平分线相交于点Q.直接写出∠A与∠Q的数量关系为.参考答案一.选择题1. C.2. A.3. D.4. C.5. B.6. A.7. C.8. C.9. B.10. A.二.填空题11. 1<a<4.12.101°.13.115°.14. 10.15.60.16. 10.17.30°.18.50°.三.解答题19.解:(1)设此三角形三个内角的比为x,2x,3x,则x+2x+3x=180,6x=180,x=30,则三个内角分别为30°、60°、90°,相应的三个外角分别为150°、120°、90°.(2)设这个多边形的边数是n,则(n﹣2)•180°=1800°,解得n=12.故这个多边形的边数为12.20.解:∵BE平分∠ABC,∴∠ABC=2∠ABE=2×25°=50°,∵AD是BC边上的高,∴∠BAD=90°﹣∠ABC=90°﹣50°=40°,∴∠DAC=∠BAC﹣∠BAD=60°﹣40°=20°.21.解:(1)证明:如图①,设BD、AD与CE的交点为M、N;△MBE和△NAC中,由三角形的外角性质知:∠DMN=∠B+∠E,∠DNM=∠A+∠C;△DMN中,∠DMN+∠DNM+∠D=180°,故∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°.(2)结论仍然成立,以图③为例;延长CE交AD于F,设CE与BD的交点为M;同(1)可知:∠DMF=∠B+∠E,∠DFM=∠A+∠C;在△DMF中,∠D+∠DMF+∠DFM=180°,∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°.22.解:∵AD为高,∠B=28°,∴∠BAD=62°,∵∠ACD=52°,∴∠BAC=∠ACD﹣∠B=24°,∵AE是角平分线,∴∠BAE=BAC=12°,∴∠EAD=∠BAD﹣∠BAE=50°.23.解:(1)∵∠B=30°,∠ACB=70°,∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠ACB=80°,∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=40°,∵AE⊥BC,∴∠AEB=90°∴∠BAE=60°∴∠DAE=∠BAE﹣∠BAD=60°﹣40°=20°,∵CF∥AD,∴∠CFE=∠DAE=20°;故答案为:20;(2)∵∠BAE=90°﹣∠B,∠BAD=∠BAC=(180°﹣∠B﹣∠BCA),∴∠CFE=∠DAE=∠BAE﹣∠BAD=90°﹣∠B﹣(180°﹣∠B﹣∠BCA)=(∠BCA ﹣∠B)=y﹣x.故答案为: y﹣x;(3)(2)中的结论成立.∵∠B=x,∠ACB=y,∴∠BAC=180°﹣x﹣y,∵AD平分∠BAC,∴∠DAC=∠BAC=90°﹣x﹣y,∵CF∥AD,∴∠ACF=∠DAC=90°﹣x﹣y,∴∠BCF=y+90°﹣x﹣y=90°﹣x+y,∴∠ECF=180°﹣∠BCF=90°+x﹣y,∵AE⊥BC,∴∠FEC=90°,∴∠CFE=90°﹣∠ECF=y﹣x.24.解:∵AD=BD,∠A=23°,∴∠ABD=∠A=23°,∵BG∥EF,∠BC E=44°,∴∠DBC=∠BCE=44°,∴∠ABC=44°+23°=67°,∴∠ACB=180°﹣67°﹣23°=90°.25.解:(1)∵∠ABC=50°,∠ACB=80°,∴∠A=50°,∵∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于点P,∴∠CBP=∠ABC,∠BCP=∠ACB,∴∠BCP+∠CBP=(∠ABC+∠ACB)=×130°=65°,∴∠P=180°﹣65°=115°,故答案为:50,115;(2).证明:∵BP、CP分别平分∠ABC、∠ACB,∴,,∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°∠P+∠PBC+∠PCB=180°,∴,∴,∴;(3).理由:∵∠ABC的外角平分线与∠ACB的外角平分线相交于点Q,∴∠CBQ=(180°﹣∠ABC)=90°﹣∠ABC,∠BCQ=(180°﹣∠ACB)=90°﹣∠ACB,∴△BCQ中,∠Q=180°﹣(∠CBQ+∠BCQ)=180°﹣(90°﹣∠ABC+90°﹣∠ACB)=(∠ABC+∠ACB),又∵∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A,∴∠Q=(180°﹣∠A)=90°﹣∠A.。
人教版八年级数学上册第11章三角形综合培优训练一、选择题(本大题共12道小题)1. 已知在△ABC中,AB=6,BC=4,那么边AC的长可能是下列哪个值()A. 11B. 5C. 2D. 12. 如图,在△ABC中,表示AB边上的高的图形是()3. 如图,在△ABC中,AB=AC,BD平分∠ABC交AC于点D,AE∥BD交CB的延长线于点E,若∠E=35°,则∠BAC的度数为()A. 40°B. 45°C. 60°D. 70°4. 若三角形的两边长分别为3和6,则它的第三边长可以为()A.3 B.4C.9 D.105. 如图,点D在BC的延长线上,DE⊥AB于点E,交AC于点F.若∠A=35°,∠D=15°,则∠ACB的度数为()A.65°B.70°C.75°D.85°6. 若从一个多边形的一个顶点出发,最多可以作2条对角线,则这个多边形是()A.四边形B.五边形C.六边形D.七边形7. 如图是六边形ABCDEF,则该图形的对角线的条数是()A.6B.9C.12D.188. 下列关于三角形的分类,有如图K-1-4所示的甲、乙两种分法,则()A.甲、乙两种分法均正确B.甲分法正确,乙分法错误C.甲分法错误,乙分法正确D.甲、乙两种分法均错误9. 如图,△ABC中,D为AB上一点,E为BC上一点,且AC=CD=BD=BE,∠A=50°,则∠CDE的度数为()A. 50°B. 51°C. 51.5°D. 52.5°10. 下列长度的三条线段能组成钝角三角形的是()A. 3,4,4B. 3,4,5C. 3,4,6D. 3,4,711. 若三角形的三个内角的度数之比为2∶3∶7,则这个三角形的最大内角是()A.75°B.90°C.105°D.120°12. 如图,在△ABC中,D是∠ABC和∠ACB的平分线的交点,∠A=80°,∠ABD =30°,则∠BDC的度数为()A.100°B.110°C.120°D.130°二、填空题(本大题共12道小题)13. 如图,王明想从一块边长为60 cm的等边三角形纸片上剪下一个最大的正六边形,写上“祝福祖国”的字样来表达自己的喜悦之情,则此正六边形的边长是________ cm.14. 如图,自行车的主框架采用了三角形结构,这样设计的依据是________________.15. 如图,已知直线a∥b,△ABC的顶点B在直线b上,∠C=90°,∠1=36°,则∠2=________.16. 如图所示,x的值为________.17. 如图,已知∠CAE是△ABC的外角,AD∥BC,且AD是∠EAC的平分线.若∠B=71°,则∠BAC=________.18. 如图所示,在△ABC中,∠A=45°,∠B=60°,则外角∠ACD=.19. 已知一个多边形的内角和是外角和的,则这个多边形的边数是.20. 如图,已知a∥b,若∠1+∠2=75°,则∠3+∠4=________°.21. 如图,在△ABC中,点E在BC的延长线上,∠ABC的平分线与∠ACE的平分线相交于点D.(1)若∠A=70°,则∠ACE-∠ABC=________°,∠D=________°;(2)若∠A=α,则∠ACE-∠ABC=________,∠D=________.22. 如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,将四边形ABCD沿对角线AC折叠,使点B落在点B′处.若∠1=∠2=44°,则∠B=________°.23. 今年暑假,实验中学安排全校师生假期进行社会实践活动,将每班分成三个组,每组派一名教师作为指导老师.为了加强同学间的协作,学校要求各班每两人之间(包括指导教师)每周至少通一次电话,现知该校八年级(5)班共有50名学生,那么该班师生之间每周至少要通几次电话?为了解决这一问题,小明把该班师生人数n与每周至少通电话次数S之间的关系用下列模型表示,如图根据小明设计的模型,可知该班师生之间每周至少要通电话的次数为________.24. 如图,在△ABC中,点D在BC的延长线上,∠A=m°,∠ABC和∠ACD 的平分线交于点A1,得∠A1;∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2,得∠A2;…;∠A2019BC和∠A2019CD的平分线交于点A2020,则∠A2020=________°.三、作图题(本大题共2道小题)25. 如图,已知△ABC.(1)画出BC边上的中线AD;(2)画出△ABD的角平分线AE;(3)画出△ADC的边AD上的高CF;(4)若AD=5,CF=3,求△ABC的面积.26. 图①、图②、图③均是6×6的正方形网格,每个小正方形的顶点称为格点,、、、、、均在格点上.在图①、图②、图小正方形的边长为1,点A B C D E F③中,只用无刻度的直尺,在给定的网格中按要求画图,所画图形的顶点均在格点上,不要求写出画法.(1)在图①中以线段AB为边画一个ABM△,使其面积为6.(2)在图②中以线段CD为边画一个CDN△,使其面积为6.(3)在图③中以线段EF 为边画一个四边形EFGH ,使其面积为9,且90EFG ∠=︒.四、解答题(本大题共6道小题)27. 如图,佳佳和音音住在同一小区(A 点),每天一块去学校(B 点)上学.一天,佳佳要先去文具店(C 点)买练习本再去学校,音音要先去书店(D 点)买书再去学校(B ,D ,C 三点在同一条直线上).这天两人从家到学校谁走的路程远?为什么?28. “X ”与“Y ”分别是两个多边形,请根据图中“X ”与“Y ”的对话,解答下列各小题.(1)求“X ”与“Y ”的外角和相加的度数; (2)分别求“X ”与“Y ”的内角和的度数.29. 如图,在△ABC中,BD 是角平分线,CE 是AB 边上的高,且∠ACB=60°,∠ADB=97°,求∠A 和∠ACE 的度数.30. 如图11-Z-11,点B在点A的南偏西45°方向,点C在点A的南偏东30°方向,点C在点B的北偏东60°方向,求∠C的度数.31. 观察与转化思想如图是五角星形,求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数.32. 已知:如图1-Z-20,在四边形ABCD中,∠D=90°,∠ABC=∠BCD,点E在直线BC上,点F在直线CD上,且∠AEB=∠CEF.(1)如图①,若AE平分∠BAD,求证:EF⊥AE;(2)如图②,若AE平分四边形ABCD的外角,其余条件不变,则(1)中的结论是否仍然成立?说明理由.人教版八年级数学下册第11章三角形综合培优训练-答案一、选择题(本大题共12道小题)1. 【答案】B2. 【答案】D3. 【答案】A【解析】由AE∥BD,可得∠DBC=∠E=35°,由BD平分∠ABC 可得∠ABC=2∠DBC=70°,由AB=AC可得∠ABC=∠C=70°,由三角形内角和定理可得∠BAC=180°-70°-70°=40°.4. 【答案】B5. 【答案】B[解析] ∵DE⊥AB,∠A=35°,∴∠CFD=∠AFE=55°.∴∠ACB=∠D+∠CFD=15°+55°=70°.6. 【答案】B[解析] 设这个多边形的边数是n.由题意,得n-3=2,解得n=5.7. 【答案】B[解析] 当边数n=6时,多边形的对角线的条数为=9.8. 【答案】C9. 【答案】D【解析】∵AC=CD,∠A=50°,∴∠ADC=50°,∵DC=DB,∠ADC=∠B+∠BCD=50°,∴∠B=∠BCD=25°,∴∠BDC=130°,∵BD=BE,∴∠BED=∠BDE=77.5°,∴∠CDE=∠BDC-∠BDE=130°-77.5°=52.5°,故答案为D.10. 【答案】C【解析】①∵32+42=52,∴三条线段3、4、5组成直角三角形,∴B选项不正确;②当把斜边5变成7时,3+4=7,不满足三角形两边之和大于第三边,不能构成三角形,∴D选项不正确;③当把斜边5稍微变小一点为4时,三条线段为3、4、4组成锐角三角形,∴A选项不正确;④当把斜边5稍微变大一点为6时,三条线段为3、4、6组成钝角三角形,∴C选项正确.11. 【答案】C[解析] ∵一个三角形三个内角的度数之比为2∶3∶7,∴可设这个三角形的三个内角分别为2x,3x,7x.由题意,得2x+3x+7x=180°,解得x=15°.∴7x=105°.12. 【答案】D[解析] ∵BD是∠ABC的平分线,∴∠DBC=∠ABD=30°,∠ABC=2∠ABD=2×30°=60°. ∴∠ACB=180°-∠A-∠ABC=40°.∵CD平分∠ACB,∴∠DCB=12∠ACB=12×40°=20°.∴∠BDC=180°-∠DCB-∠DBC=130°.二、填空题(本大题共12道小题)13. 【答案】2014. 【答案】三角形具有稳定性15. 【答案】54°【解析】如解图,过点C作直线CE∥a,则a∥b∥CE,则∠1=∠ACE,∠2=∠BCE,∵∠ACE+∠BCE=90°,∴∠1+∠2=90°,∵∠1=36°,∴∠2=54°.16. 【答案】55°[解析] 由多边形的外角和等于360°,得360°-105°-60°+x+2x=360°,解得x=55°.17. 【答案】38°【解析】∵AD∥BC,∠B=71°,∴∠EAD=∠B=71°.∵AD 是∠EAC的平分线,∴∠EAC=2∠EAD=142°,∴∠BAC=180°-∠EAC=180°-142°=38°.18. 【答案】105°19. 【答案】520. 【答案】105[解析] 如图,∠5=∠1+∠2=75°,∴∠3+∠4=∠6+∠4=180°-∠5=180°-75°=105°.21. 【答案】(1)7035 (2)α 12α22. 【答案】114[解析] 因为AB ∥CD ,所以∠BAB′=∠1=44°.由折叠的性质知∠BAC =12∠BAB′=22°.在△ABC 中,∠B =180°-(∠BAC +∠2)=114°.23. 【答案】1378[解析] 将八年级(5)班师生共53人看作五十三边形的53个顶点,由多边形对角线条数公式可得对角线为53×(53-3)2=1325(条),1325+53=1378(次).因此该班师生之间每周至少要通1378次电话.[点评] 本题的数学模型实质上是n 个人之间彼此握一次手,求握手总次数的问题,其次数为n +12(n -3)·n =12n(n -1).24. 【答案】(m22020)三、作图题(本大题共2道小题)25. 【答案】解:(1)~(3)如图.(4)S △ABC =2S △ADC =2×12AD·CF =15.26. 【答案】(1)如图①所示,ABM △即为所求. (2)如图②所示,CDN △即为所求. (3)如图③所示,四边形EFGH 即为所求.四、解答题(本大题共6道小题)27. 【答案】解:佳佳从家到学校走的路程远.理由:佳佳从家到学校走的路程是AC+CD+BD,音音从家到学校走的路程是AD+BD.∵在△ACD中,AC+CD>AD,∴AC+CD+BD>AD+BD,即佳佳从家到学校走的路程远.28. 【答案】解:(1)360°+360°=720°.(2)设X的边数为n,则Y的边数为3n.由题意,得180(n-2)+180(3n-2)=1440,解得n=3.所以X的内角和为180°×(3-2)=180°,Y的内角和为180°×(3×3-2)=1260°.答:“X”的内角和的度数为180°,“Y”的内角和的度数为1260°.29. 【答案】解:∵∠ADB=∠DBC+∠ACB,∴∠DBC=∠ADB-∠ACB=97°-60°=37°.∵BD是△ABC的角平分线,∴∠ABC=74°.∴∠A=180°-∠ABC-∠ACB=46°.∵CE是AB边上的高,∴∠AEC=90°.∴∠ACE=90°-∠A=44°.30. 【答案】解:∵∠NBC=60°,∠NBA=∠BAS=45°,∴∠ABC=∠NBC-∠NBA=60°-45°=15°.又∵∠BAC=∠BAS+∠SAC=45°+30°=75°,∴在△ABC中,∠C=180°-(75°+15°)=90°.31. 【答案】解:如图,∵∠1是△CEG的外角,∴∠1=∠C+∠E.同理可得∠AFB=∠B+∠D.∵在△AFG中,∠A+∠1+∠AFG=180°,∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°.32. 【答案】解:(1)证明:∵∠BAE=180°-∠ABC-∠AEB,∠EFC=180°-∠BCD-∠CEF,且∠ABC=∠BCD,∠AEB=∠CEF,∴∠BAE=∠EFC.∵AE平分∠BAD,∴∠BAE=∠DAE.∴∠EFC=∠DAE.∵∠EFC+∠EFD=180°,∴∠DAE+∠EFD=180°.∴∠AEF+∠D=360°-(∠DAE+∠EFD)=180°.又∵∠D=90°,∴∠AEF=90°.∴EF⊥AE.(2)EF⊥AE仍成立.理由如下:如图.∵∠1=∠ABC-∠AEB,∠F=∠BCD-∠CEF,且∠ABC=∠BCD,∠AEB=∠CEF,∴∠1=∠F.∵AE平分四边形ABCD的外角,∴∠1=∠2.∴∠F=∠2.∵∠2+∠EAD=180°,∴∠F+∠EAD=180°.∴∠AEF+∠D=360°-(∠F+∠EAD)=180°.又∵∠D=90°,∴∠AEF=90°.∴EF⊥AE.。
【拔尖特训】2023-2024学年八年级数学上册尖子生培优必刷题(人教版)专题11.11第11章三角形单元测试(基础过关卷)班级:___________________ 姓名:_________________ 得分:_______________注意事项:本试卷满分100分,试题共23题,其中选择10道、填空6道、解答7道.答卷前,考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置.一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分)在每小题所给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2023春•栾城区校级期末)下列每组数分别表示三条线段长度,将它们首尾顺次相接能构成三角形的是()A.1,2,6B.2,2,4C.1,2,3D.2,3,42.(2023春•唐山期末)在△ABC中,∠A=12∠B=13∠C,则此三角形是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形3.(2023春•泗阳县期中)一个多边形的内角和是1080°,则这个多边形的边数是()A.10B.11C.9D.8 4.(2023•兴宁区校级模拟)由于疫情,现在网课已经成为我们学习的一种主要方式,网课期间我们常常把手机放在一个支架上面,就可以非常方便地使用,如图,此手机能稳稳放在支架上利用的原理是()A.三角形具有稳定性B.两点之间,线段最短C.三角形的内角和为180°D.垂线段最短5.(2023春•唐山期末)△ABC中,如图选项正确画出AC边上的高的图形是()A.B.C.D.6.(2022秋•新化县期末)将一副直角三角板如图放置,使两直角边重合,则∠α的度数为()A.75°B.105°C.135°D.165°7.(易错题)(2023春•句容市月考)如图所示.∠A=10°,∠ABC=90°,∠ACB =∠DCE,∠ADC=∠EDF,∠CED=∠FEG.则∠F的度数等于()A.60°B.55°C.50°D.45°(第7题)(第8题)(第10题)8.(易错题)(2022秋•东洲区期末)如图,在△ABC中,∠B=30°,将△ABC沿直线m翻折,点B落在点D的位置,则∠1﹣∠2的度数是()A.30°B.45°C.60°D.70°9.(创新题)(2023春•凉州区校级月考)当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时,我们称此三角形为“特征三角形”,其中α称为“特征角”.如果一个“特征三角形”的“特征角”为100°,那么这个“特征三角形”的最小内角的度数为()A.15°B.30°C.60°D.45°10.(压轴题)(2023春•鼓楼区校级期末)如图,在△ABC,BD、BE分别是高和角平分线,点F在CA的延长线上,FH⊥BE交BD于G,交BC于H,下列结论:①∠DBE=∠F;②2∠BEF=∠BAF+∠C;③∠F=12(∠BAC﹣∠C);④∠BGH=∠ABE+∠C,正确的是()A.1B.2C.3D.4二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)请把答案直接填写在横线上11.(2023春•嘉定区期末)在△ABC中,已知∠A:∠B:∠C=1:3:4,那么△ABC是三角形(填“锐角”、“直角”或“钝角”).12.(2023春•新邵县期末)若正n边形的每个内角的度数为140°.则n的值是.13.(2023•荔城区校级开学)三角形三边长分别为a,b,c,且a=1,b=3,则c的取值范围是.14.(易错题)(2023春•唐山期末)某加工零件标出的部分数据(如图),小明说,这四个数据中有一个标错了,请你完善以下修改方案:若∠A、∠B、∠BCD所标数据正确,则图中∠D所标数据应(填“增大”或“减小”)度.15.(培优题)(2022秋•天山区校级期末)如图,BE、CE分别为△ABC的内、外角平分线,BF、CF分别为△EBC的内、外角平分线,若∠A=44°,则∠BFC=度.16.(压轴题)(2023春•武穴市期末)如图,图①是一个四边形纸条ABCD,其中AB∥CD,E,F分别为边AB,CD上的两个点,将纸条ABCD沿EF折叠得到图②,再将图②沿DF折叠得到图③,若在图③中,∠FEM=26°,则∠EFC=.三、解答题(本大题共7小题,共52分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(2023春•松北区期末)如图所示方格纸中,每个小正方形的边长均为1,点A,点B,点C在小正方形的顶点上.(1)画出△ABC中边BC上的高AD;(2)画出△ABC中边AC上的中线BE;(3)直接写出△ABE的面积为.18.(2023春•宁化县期中)在△ABC中,∠A=12∠B=13∠ACB,CD是△ABC的高,CE是∠ACB的角平分线,求∠DCE的度数.19.(2023春•贵州期末)已知一个多边形的边数为a.(1)若该多边形的内角和的14比外角和多90°,求a的值;(2)若该多边形是正多边形,且其中一个内角为108°,求a的值.20.(易错题)(2023春•高碑店市校级月考)如图,在△ABC 中,BE 是角平分线,点D 在边AB 上(不与点A ,B 重合),CD 与BE 交于点O .(1)若CD 是中线,BC =3,AC =2,则△BCD 与△ACD 的周长差为 ;(2)若∠ABC =62°,CD 是高,求∠BOC 的度数;(3)若∠A =78°,CD 是角平分线,求∠BOC 的度数.21.(易错题)(2023春•梅州期末)研究一个问题:多边形的一个外角与它不相邻的内角之和具有怎样的数量关系?【回顾】如图①,请直接写出∠BCD 与∠A 、∠B 之间的数量关系: ;【探究】如图②,∠ADE 是四边形ABCD 的外角,求证:∠ADE =∠A +∠B +∠C ﹣180°;【结论】若n 边形的一个外角为x °,与其不相邻的内角之和为y °,则x ,y 与n 的数量关系是 .22.(培优题)(2023春•丹江口市期末)如图,△ABC 中,∠ACE >∠B ,AD 是角平分线,AE ⊥AD 交BC 的延长线于点E .(1)若∠B =40°,∠ACB =100°,求∠E 的度数;(2)①试求∠E ,∠B ,∠ACB 之间的数量关系;②若∠E =∠B ,求∠ACB ∠B 的值.23.(压轴题)(2023春•大荔县期末)我们将内角互为对顶角的两个三角形称为“对顶三角形”.例如,在图1中,△AOB的内角∠AOB与△COD的内角∠COD为对顶角,则△AOB与△COD为“对顶三角形”,根据三角形三个内角和是180°,“对顶三角形”有如下性质:∠A+∠B=∠C+∠D.性质理解:(1)如图1,在“对顶三角形”△AOB与△COD中,则∠AOB=85°,则∠C+∠D=°.性质应用:(2)如图2,在△ABC中,AD、BE分别平分∠BAC和∠ABC,若∠C=60°,∠ADE比∠BED大8°,求∠BED的度数.拓展提高:(3)如图3,BE、CD是△ABC的角平分线,且∠BDC和∠BEC的平分线DP和EP相交于点P,设∠A=α,请尝试求出∠P的度数(用含α的式了表示∠P).。
第十一章《三角形》同步培优专项习题(一)1.如图,AE,DE分别平分∠BAC和∠BDC,∠B=∠BDC=45°,∠C=51°,求∠E的度数.2.已知,如图,在△ABC中,AD,AE分别是△ABC的高和角平分线.(1)若∠ABC=30°,∠ACB=60°,求∠DAE的度数;(2)写出∠DAE与∠C﹣∠B的数量关系,并证明你的结论.3.如图,在△ABC中,AD⊥BC,AE平分∠BAC,∠B=70°,∠C=30°.(1)求∠BAE的度数;(2)求∠DAE的度数;(3)探究:小明认为如果只知道∠B﹣∠C=40°,也能得出∠DAE的度数?你认为可以吗?若能,请你写出求解过程;若不能,请说明理由.4.(1)已知:如图1,P是直角三角板ABC斜边AB上的一个动点,CD、CE分别是∠ACP 和∠BCP的平分线,试探究:当点P在斜边AB上移动时,∠DCE的大小是否会发生变化,请说明你的理由.(2)把直角三角板的直角顶点C放在直尺的一边MN上,点A和点B在直线MN的上方(如图2),此时∠ACM与∠BCN的数量关系是∠ACM+∠BCN=;当把这把直角三角板绕顶点C旋转到点A在直线MN的下方,点B仍然在直线MN的上方时(如图3),∠ACM 与∠BCN的数量关系是;当把这把直角三角板绕顶点C旋转到点A和点B都在直线MN的下方时(如图4),∠ACM与∠BCN的数量关系是.5.如图,在△ABC中,∠B=30°,∠C=66°,AE⊥BC于E,AD平分∠BAC,求∠DAE的度数.6.如图:在直角坐标系中,已知B(b,0),C(0,c),且|b+3|+(2c﹣8)2=0.(1)求B、C的坐标;(2)点A、D是第二象限内的点,点M、N分别是x轴和y轴负半轴上的点,∠ABM=∠CBO,CD∥AB,MC、NB所在直线分别交AB、CD于E、F,若∠MEA=70°,∠CFB=30°.求∠CMB﹣∠CNB的值;(3)如图:AB∥CD,Q是CD上一动点,CP平分∠DCB,BQ与CP交于点P,给出下列两个结论:①的值不变;②的值改变.其中有且只有一个是正确的,请你找出这个正确的结论并求其定值.7.如图,AD是△ABC边BC上的高,BE平分∠ABC交AD于点E.若∠C=60°,∠BED=70°.求∠ABC和∠BAC的度数.8.已知:如图A,△ABC各角的平分线AD,BE,CF交于点O.(1)试说明∠BOC=90°+∠BAC;(2)如图B,过点O作OG⊥BC于G,试判断∠BOD与∠COG的大小关系(大于,小于或等于),并说明理由.9.(1)探究:如图1,求证:∠BOC=∠A+∠B+∠C.(2)应用:如图2,∠ABC=100°,∠DEF=130°,求∠A+∠C+∠D+∠F的度数.10.一个多边形的内角和与外角和的差为1260°,求它的边数.11.(1)如图,已知△ABC中,O为∠ABC和∠ACB的平分线BO,CO的交点.试猜想∠BOC 和∠A的关系,并说明理由;(2)如图,若O为∠ABC和∠ACB外角的平分线BO,CO的交点,则∠BOC与∠A的关系又该怎样?为什么?12.如图,在△ABC中,∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O.(1)若∠ABC=40°、∠ACB=50°,则∠BOC=;(2)若∠ABC+∠ACB=116°,则∠BOC=;(3)若∠A=76°,则∠BOC=;(4)若∠BOC=120°,则∠A=;(5)请写出∠A与∠BOC之间的数量关系(不必写出理由).13.如图,在△ABC中,点D在BC上,点E在AC上,AD交BE于F.已知EG∥AD交BC于G,EH⊥BE交BC于H,∠HEG=55°.(1)求∠BFD的度数.(2)若∠BAD=∠EBC,∠C=44°,求∠BAC的度数.14.如图①,△ABC的角平分线BD、CE相交于点P.(1)如果∠A=80°,求∠BPC的度数;(2)如图②,过P点作直线MN,分别交AB和AC于点M和N,且MN平行于BC,则有∠MPB+∠NPC=90°﹣∠A.若将直线MN绕点P旋转,(ⅰ)如图③,试探索∠MPB、∠NPC、∠A三者之间的数量关系是否依然成立,并说明理由;(ⅱ)当直线MN与AB的交点仍在线段AB上,而与AC的交点在AC的延长线上时,如图④,试问(ⅰ)中∠MPB、∠NPC、∠A三者之间的数量关系是否仍然成立?若不成立,请给出∠MPB、∠NPC、∠A三者之间的数量关系,并说明你的理由.15.如图,已知在△ABC中,CE是外角∠ACD的平分线,BE是∠ABC的平分线.(1)求证:∠A=2∠E;(2)若∠A=∠ABC,求证:AB∥CE.16.如图,在△ABC中,∠BAC=50°,∠B=60°,AE⊥BC于点E,CD平分∠ACB且分别与AB、AE交于点D、F,求∠AFC的度数.17.已知如图,△ABC过点A做∠DAE=∠BAC,且AD∥BC,∠1=∠2.(1)求证AB∥DE;(2)若已知AE平分∠BAC,∠C=35°,求∠BAD的度数.18.已知如图①,BP、CP分别是△ABC的外角∠CBD、∠BCE的角平分线,BQ、CQ分别是∠PBC、∠PCB的角平分线,BM、CN分别是∠PBD、∠PCE的角平分线,∠BAC=α.(1)当α=40°时,∠BPC=°,∠BQC=°;(2)当α=°时,BM∥CN;(3)如图②,当α=120°时,BM、CN所在直线交于点O,求∠BOC的度数;(4)在α>60°的条件下,直接写出∠BPC、∠BQC、∠BOC三角之间的数量关系:.。
一、选择题1.如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,D 在AB 上,将△ABC 沿CD 折叠,点B 落在AC 边上的点B′处,若'20ADB ∠=︒,则∠A 的度数为( )A .25°B .30°C .35°D .40°2.如图,//,40,50,AB CD B C ∠=︒∠=︒则E ∠的度数为( )A .70︒B .80︒C .90︒D .100︒ 3.如图,ABC 中,BC 边上的高是( )A .AEB .ADC .CD D .CF 4.如图,//AB CD ,40C ∠=︒,60A ∠=︒,则F ∠的度数为( )A .10°B .20°C .30°D .40° 5.已知三角形的两边长分别为1和4,则第三边长可能是( ) A .3B .4C .5D .6 6.如图,ABC 中,55,B D ∠=︒是BC 延长线上一点,且130ACD ∠=︒,则A ∠的度数是( )A .50︒B .65︒C .75︒D .85︒ 7.将一个多边形纸片剪去一个内角后得到一个内角和是外角和4倍的新多边形,则原多边形的边数为( )A .9B .10C .11D .以上均有可能 8.下列命题是真命题的个数为( )①两条直线被第三条直线所截,内错角相等.②三角形的内角和是180°.③在同一平面内平行于同一条直线的两条直线平行.④相等的角是对顶角.⑤两点之间,线段最短.A .2B .3C .4D .59.如图,,AD CE 分别是ABC 的中线与角平分线,若,40B ACB BAC ∠=∠∠=︒,则ACE ∠的度数是( )A .20︒B .35︒C .40︒D .70︒ 10.一副透明的三角板,如图叠放,直角三角板的斜边AB 、CE 相交于点D ,则BDC∠的度数是( )A .65︒B .75︒C .85︒D .105︒ 11.如果一个三角形的两边长分别为4和7,则第三边的长可能是( )A .3B .4C .11D .1212.长度分别为2,3,4,5的四根细木棒首尾相连,围成一个三角形(木棒允许连接,但不允许折断),得到的三角形的最长边长为( )A .8B .5C .6D .713.如图,为估计池塘岸边A 、B 的距离,小方在池塘的一侧选取一点O ,测得OA =15米,OB=10米,A 、B 间的距离不可能是( )A .20米B .15米C .10米D .5米 14.设四边形的内角和等于a ,五边形的外角和等于b ,则a 与b 的关系是( ). A .a b =B .180a b =+°C .180b a =+︒D .360b a =+︒ 15.某多边形的内角和是其外角和的3倍,则此多边形的边数是( )A .5B .6C .7D .8 二、填空题16.如图,点D 在ABC 的边BA 的延长线上,点E 在BC 边上,连接DE 交AC 于点F ,若3117DFC B ∠∠==︒,C D ∠=∠,则BED ∠=________.17.如图,将一副直角三角尺按图③放置,使三角尺①的长直角边与三角尺②的某直角边在同一条直线上,则图③中的∠1=______°.18.如图,△ABC 的两条中线AD 、BE 相交于点G ,如果S △ABG =2,那么S △ABC =_____.19.如图,在ABC 中,点D 、E 、F 分别是边BC 、AD 、CE 上的中点,则6ABC S =,则BEF S =△______.20.如图,则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G =_____.21.如图,六边形ABCDEF 中,AB ∥DC ,∠1、∠2、∠3、∠4分别是∠BAF 、∠AFE 、∠FED 、∠EDC 的外角,则∠1+∠2+∠3+∠4=_____.22.鹿鸣社区里有一个五边形的小公园,如图所示,王老师每天晚饭后都要到公园里去散步,已知图中的∠1=95︒,王老师沿公园边由A 点经B→C→D→E ,一直到F 时,他在行程中共转过了_____度.23.一个多边形的内角和比它的外角和的3倍还多180°,则它是___________边形,从该多边形的一个顶点,可以引__________条对角线.24.如图,已知AE 是ABC 的边BC 上的中线,若8AB cm =,ACE △的周长比AEB △的周长多2cm ,则AC =______cm .25.已知//AB CD ,点P 是平面内一点,若30,20BPD PBA ∠=︒∠=︒,则CDP ∠=___________度.26.如图,P 为正五边形ABCDE 的边AE 上一点,过点P 作PQ //BC ,交DE 于点Q ,则∠EPQ 的度数为_____.三、解答题27.如图,已知点D ,E 分别在ABC 的边AB ,AC 上,//DE BC .(1若80ABC ∠=︒,40AED ∠=︒,求A ∠的度数:(2)若180BFD CEF ∠+∠=︒,求证:EDF C ∠=∠.28.如图,AF ,AD 分别是ABC 的高和角平分线,且34B ∠=︒,76C ∠=︒,求DAF ∠的度数.29.如图①,ABC 中,BD 平分ABC ∠,且与ABC 的外角ACE ∠的角平分线交于点D .(1)若75ABC ∠=︒,45ACB ∠=︒,求D ∠的度数;(2)若把A ∠截去,得到四边形MNCB ,如图②,猜想D ∠、M ∠、N ∠的关系,并说明理由.30.如图,已知BP 是△ABC 的外角∠ABD 的平分线,延长CA 交BP 于点P .射线CE 平分∠ACB 交BP 于点E .(1)若∠BAC=80°,求∠PEC 的度数;(2)若∠P=20°,分析∠BAC 与∠ACB 的度数之差是否为定值?(3)过点C 作CF ⊥CE 交直线BP 于点F .设∠BAC=α,求∠BFC 的度数(用含α的式子表示).。
人教版八年级数学上册第11章三角形培优专题训练一、选择题1.下列长度的三条线段能组成三角形的是()A.5cm,2cm,4cm B.5cm,2cm,2cmC.5cm,2cm,3cm D.5cm,12cm,6cm2.如图,在△ABC中,CD是AB边上的高,CM是∠ACB的角平分线,若∠CAB=45°,∠CBA=75°,则∠MCD的度数为()A.15°B.20°C.25°D.30°3.下面四个图形中,线段BE是△ABC的高的图是()A.B.C.D.4.下列说法中正确的是()A.三角形的三条高都在三角形内B.直角三角形只有一条高C.锐角三角形的三条高都在三角形内D.三角形每一边上的高都小于其他两边5.已知AD为△ABC的中线,且AB=10cm,AC=8cm,则△ABD与△ACD的周长之差为()A.2cm B.4cm C.6cm D.18cm6.盖房子时,木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条,利用的几何原理是()A.三角形的稳定性B.两点之间线段最短C.两点确定一条直线D.垂线段最短7.如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,则下列结论不一定成立的是()A.∠1+∠2=90°B.∠3=60°C.∠2=∠3 D.∠1=∠48.如图所示,∠1=∠2=145°,则∠3=()A.80°B.70°C.60°D.50°9.如图,CF是△ABC的外角∠ACM的平分线,且CF∥AB,∠ACF=50°,则∠B的度数为()A.80°B.40°C.60°D.50°10.一个多边形截去一个角后,形成的另一个多边形的内角和是1620°,则原来多边形的边数是()A.10或11 B.11或12或13 C.11或12 D.10或11或12 11.若一个多边形的内角和与外角和之差是720°,则此多边形是()边形.A.6 B.7 C.8 D.912.如图,五边形ABCDE是正五边形,则x为()A.30°B.35°C.36°D.45°13.如图∠1,∠2,∠3是五边形ABCDE的三个外角,若∠A+∠B=215°,则∠1+∠2+∠3=()A.140°B.180°C.215°D.220°二、填空题14.如图,在△ABC中,BD平分∠ABC.CD是△ABC外角的角平分线,若∠A=50°,则∠D=.15.如图,在△ABC中,已知DE∥BC,∠1=∠2,∠BEC=96°,则∠FGE=°.16.小华用三根木棒搭一个三角形,其中两根木棒的长度分别为10cm和2cm,第三根木棒的长度为偶数,则第三根的长度是cm.17.如图,将正六边形与正五边形按此方式摆放,正六边形与正五边形的公共顶点为O,且正六边形的边AB与正五边形的边DE共线,则∠BOE的度数是.三、解答题18.如图,已知△ABC,AD平分∠BAC交BC于点D,AE⊥BC于点E,∠B<∠C.(1)若∠B=44°,∠C=72°,求∠DAE的度数;(2)若∠B=27°,当∠DAE=度时,∠ADC=∠C.19.如图,在△ABC中,BD平分∠ABC,DE∥BC交AB于点E,∠C=50°,∠BDC=95°,求∠BED的度数.20.如图,已知CD是△ABC的角平分线,∠CDE=∠DCE.(1)求证:DE∥BC;(2)若CD⊥AB,∠A=30°,求∠CED的度数.21.如图,已知四边形ABCD中,∠B=90°,点E在AB上,连接CE、DE.(1)若∠1=35°,∠2=25°,则∠CED=°;(2)若∠1=∠2,求证:∠3+∠4=90°.参考答案1.解:A、2+4>5,能构成三角形,符合题意;B、2+2<5,不能构成三角形,不符合题意;C、2+3=5,不能构成三角形,不符合题意;D、5+6<12,不能构成三角形,不符合题意.故选:A.2.解:∵∠CAB=45°,∠CBA=75°,∴∠ACB=180°﹣∠CAB﹣∠CBA=60°.∵CM是∠ACB的角平分线,∴∠ACM=∠ACB=30°.∴∠CMB=∠CAB+∠ACM=75°.∵CD是AB边上的高,∴∠CDA=∠CDB=90°.∵∠CDB=∠MCD+∠CMB.∴∠MCD=∠CDB﹣∠CMB=90°﹣75°=15°.故选:A.3.解:A选项中,BE与AC不垂直;B选项中,BE与AC不垂直;C选项中,BE与AC不垂直;∴线段BE是△ABC的高的图是D选项.故选:D.4.解:A、三角形的三条高不一定都在三角形内,如钝角三角形的高在三角形外部,说法错误,不符合题意;B、直角三角形有三条高,说法错误,不符合题意;C、锐角三角形的三条高都在三角形内,说法正确,符合题意;D、三角形每一边上的高不一定小于其他两边,说法错误,不符合题意;故选:C.5.解:∵AD为中线,∴BD=CD,∴△ABD与△ACD的周长之差=(AB+AD+BD)﹣(AC+AD+CD)=AB﹣AC,∵AB=10,AC=8,∴△ABD与△ACD的周长之差=10﹣8=2(cm).故选:A.6.解:盖房子时,在窗框未安装好之前,木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条,这样就构成了三角形,故这样做的数学道理是三角形的稳定性.故选:A.7.解:Rt△ABC中,∵∠ACB=90°,∴∠1+∠2=90°,故A正确;∵CD⊥AB,∴∠ADC=90°,∴∠1+∠3=90°,∴∠2=∠3,故C正确;∵∠3+∠4=90°,∴∠1=∠4,故D正确;故选:B.8.解:∵∠1、∠2、∠3是△ABC的三个外角,∴∠1+∠2+∠3=360°,∵∠1=∠2=145°,∴∠3=360°﹣145°×2=70°,故选:B.9.解:∵CF∥AB,∴∠B=∠FCM,∵CF平分∠ACM,∠ACF=50°,∴∠FCM=∠ACF=50°,∴∠B=50°,故选:D.10.解:设多边形截去一个角的边数为n,则(n﹣2)•180°=1620°,解得n=11,∵截去一个角后边上可以增加1,不变,减少1,∴原来多边形的边数是10或11或12.故选:D.11.解:∵一个多边形的内角和与外角和之差为720°,多边形的外角和是360°,∴这个多边形的内角和为720°+360°=1080°,设多边形的边数为n,则(n﹣2)×180°=1080°,解得:n=8,即多边形是八边形,故选:C.12.解:因为五边形ABCDE是正五边形,所以∠E=∠CDE==108°,AE=DE,所以,所以x=∠CDE﹣∠1﹣∠3=36°.故选:C.13.解:五边形ABCDE的内角和为(5﹣2)×180°=540°,∵∠A+∠B=215°,∴∠AED+∠EDC+∠BCD=540°﹣215°=325°,又∵∠AED+∠EDC+∠BCD+∠1+∠2+∠3=180°×3=540°,∴∠1+∠2+∠3=540°﹣325°=215°.故选:C.14.解:∵∠ACE是△ABC的一个外角,∴∠A=∠ACE﹣∠ABC,同理:∠D=∠DCE﹣∠DBC,∵BD平分∠ABC,CD平分∠ACE,∴∠DBE=∠ABC,∠DCE=∠ACE,∴∠D=(∠ACE﹣∠ABC)=∠A=×50°=25°,故答案为:25°.15.解:∵DE∥BC,∴∠2=∠EBC,∵∠1=∠2,∴∠EBC=∠1,∴GF∥BE,∴∠BEC+∠FGE=180°,∵∠BEC=96°,∴∠FGE=180°﹣∠BEC=180°﹣96°=84°.故答案为:84.16.解:根据三角形的三边关系,得10﹣2<第三根木棒<10+2,即8<第三根木棒<12.又∵第三根木棒的长选取偶数,∴第三根木棒的长度只能为10cm.故答案为:10.17.解:由题意:∠OED=108°,∠OBA=120°,∴∠OEB=72°,∠OBE=60°,∴∠BOE=180°﹣72°﹣60°=48°,故答案为:48°.18.解:∵AD平分∠BAC交BC于点D,AE⊥BC于点E,∴∠BAD=∠CAD=∠BAC,∠AED=90°.(1)∵∠B=44°,∠C=72°,∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=180°﹣44°﹣72°=64°.∴∠BAD=×64°=32°.∵∠ADC=∠B+∠BAD=44°+32°=76°,∴∠DAE=90°﹣∠ADC=90°﹣76°=24°.(2))∵∠B=27°,∠C=∠ADC,∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=180°﹣27°﹣∠C=153°﹣∠C.∴∠BAD=×(153°﹣∠C)=76.5°﹣.∴∠ADC=∠B+∠BAD=27°+76.5°﹣∠C=103.5°﹣∠C.∵∠ADC=∠C,∴103.5°﹣∠C=∠C.∴∠ADC=∠C=69°.∴∠DAE=∠AED﹣∠ADC=90°﹣69°=21°.故答案为:21.19.解:∵∠C=50°,∠BDC=95°,∴∠DBC=180°﹣∠C﹣∠BDC=180°﹣50°﹣95°=35°.∵BD平分∠ABC,∴∠EBC=2∠DBC=70°,∵DE∥BC,∴∠BED+∠EBC=180°,∴∠BED=180°﹣70°=110°.20.(1)证明:∵CD是△ABC的角平分线,∴∠BCD=∠ECD,∵∠CDE=∠DCE,∴∠EDC=∠BCD,∴DE∥BC;(2)解:∵CD⊥AB,∴∠ADC=90°,∵∠A=30°,∴∠ACD=60°,∴∠EDC=∠ACD=60°,∴∠CED=180°﹣∠EDC﹣∠ECD=60°.21.解:(1)∵∠1=35°,∠2=25°,∠B=90°,∴∠BEC=180°﹣∠B﹣∠2=180°﹣90°﹣25°=65°,∠CED=180°﹣∠1﹣∠CEB=180°﹣35°﹣65°=80;故答案为:80.(2)∵∠1=∠2,∵∠B=90°,∴∠2+∠BEC=90°,∴∠1+∠BEC=90°,∴CDE=180°﹣90°=90°,∴∠3+∠4=180°﹣∠CDE=180°﹣90°=90°。
人教版八年级上册数学:第11章 三角形培优单元测试卷一、填空题(本大题共10小题,每小题3分,共30分)1.已知一个正多边形的每个外角都等于45°,则这个正多边形的边数是__________.2.一个边形从一个顶点出发引出的对角线可将其分割成5个三角形,则的值为__________.n n 3.如果一个三角形的两边长分别是2 cm 和7 cm ,且第三边为奇数,则三角形的周长是__________cm .4.如图,将△ABC 绕着点C 顺时针旋转50°后得到△.若∠A =40°,=110°,则∠的度数为A B C ''B ∠'BCA '___________.5.如图,△ABC 中,AD ⊥BC ,AE 平分∠BAC ,∠B =70°,∠C =34°.则∠DAE 的大小是___________.6.如图,五边形ABCDE 是正五边形.若l 1∥l 2,则∠1-∠2=__________°.7.如图,AB ∥CD ,BE 交CD 于点D ,CE ⊥BE 于点E ,若∠B =34°,则∠C 的大小为__________度.8.如图,∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=__________.9.直角三角形ABC中有一个角是另一角的2倍小60°,则直角三角形中最小的角的度数为__________.10.如图,已知AE是△ABC的边BC上的中线,若AB=8 cm,△ACE的周长比△AEB的周长多2 cm,则AC=__________cm.二、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的)11.在△ABC中,若∠A=60°,∠B=95°,则∠C的度数为A.24°B.25°C.30°D.35°12.如图,在△ABC中,∠B、∠C的平分线BE、CD相交于点F,∠ABC=42°,∠A=60°,则∠BFC=A.118°B.119°C.120°D.121°13.如图,图中锐角三角形的个数是A.2个B.3个C.4个D.5个14.已知等腰三角形两边长是10 cm 和5 cm ,那么它的腰长是A .25 cmB .15 cmC .10 cm 或5 cmD .10 cm15.如图,∠BDC =98°,∠C =38°,∠B =23°,∠A 的度数是A .61°B .60°C .37°D .39°16.如图,△ABC 的平分线AD 与中线BE 交于点O ,有下列结论:①AO 是△ABE 的角平分线;②BO 是△ABD 的中线,下列说法正确的是A .①②都正确B .①不正确,②正确C .①②都不正确D .①正确,②不正确17.如图,将含30°角的直角三角板ABC 的直角顶点C 放在直尺的一边上,已知∠A =30°,∠1=40°,则∠2的度数为A .55°B .60°C .65°D .70°18.△ABC 中,∠A =∠B =∠C ,则△ABC 是1314A .锐角三角形B .直角三角形C .钝角三角形D .都有可能19.下列说法正确的是①三角形的角平分线是射线;②三角形的三条角平分线都在三角形内部,且交于同一点;③三角形的三条高都在三角形内部;④三角形的一条中线把该三角形分成面积相等的两部分.A.①②B.②③C.③④D.②④20.如图,在直角△ABC中,∠ACB=90°,∠A=55°,将其折叠,使点A落在CB上的A′处,折痕CD,则∠A′DB=A.10°B.20°C.30°D.40°三、解答题(本大题共7小题,共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)21.如图,在△ABC中,点D是BC边上的一点,∠B=50°,∠BAD=30°,将△ABD沿AD折叠得到△AED,AE 与BC交于点F.(1)填空:∠AFC=___________度;(2)求∠EDF的度数.22.如图,在△ABC中,∠B=∠C=45°,点D在BC边上,点E在AC边上,且∠ADE=∠AED,连接DE.(1)当∠BAD=60°,求∠CDE的度数;(2)当点D在BC(点B、C除外)边上运动时,试写出∠BAD与∠CDE的数量关系,并说明理由.23.如图,△ABC中,(1)若∠B=70°,点P是△ABC的∠BAC和∠ACB的平分线的交点,求∠APC的度数.(2)如果把(1)中∠B=70°这个条件去掉,试探索∠APC和∠B之间有怎样的数量关系.24.如图,E是△ABC中AB边上的一点,AD是△ABC的高,已知AD=10,CE=9,AB=12,∠B=65°,∠BCE=25°,求BC的长.25.多边形的内角和与某一外角的度数总和为1350°,那么这个多边形的边数是多少?26.如图,AD为△ABC的中线,BE为△ABD的中线,(1)若∠ABE=25°,∠BAD=50°,则∠BED的度数是__________度.(2)在△ADC中过点C作AD边上的高CH.(3)若△ABC的面积为60,BD=5,求点E到BC边的距离.27.如图,∠ACD是△ABC的外角,∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A1,∠A1BC的平分线与∠A 1CD 的平分线交于点A 2,…,∠A n ﹣1BC 的平分线与∠A n ﹣1CD 的平分线交于点A n .设∠A =θ.则:(1)求∠A 1的度数;(2)∠A n 的度数.参考答案1.【答案】8【解析】设这个多边形的边数为n ,得,解得n =8.∴这个多边形的边数为8.故答案为:8.45360n ︒⨯=︒2.【答案】7【解析】∵一个边形从一个顶点出发引出的对角线可将其分割成5个三角形,∴n -2=5,解得n =7,故答案n 为:7.3.【答案】16【解析】∵7-2<第三边<7+2,∴5<第三边<9.∵第三边为奇数,∴第三边=7,所以三角形的周长是2+7+7=16(cm ).故答案为:16.4.【答案】80°【解析】由题意得,∠B =∠B ′=110°,∠ACA ′=50°,∴∠ACB =180°–∠A –∠B =180°–40°–110°=30°,∴∠BCA ′=∠ACB +∠ACA ′=30°+50°=80°.故答案为:80°.5.【答案】18°【解析】∵△ABC 中,∠B =70°,∠C =34°,∴∠BAC =180°–(70°+34°)=76°.∵AE 平分∠BAC ,∴∠BAE =38°.∵Rt △ABD 中,∠B =70°,∴∠BAD =20°,∴∠DAE =∠BAE –∠BAD =38°–20°=18°.故答案为:18°.6.【答案】72【解析】如图,过B 点作BF ∥l 1,∵五边形ABCDE 是正五边形,∴∠ABC =108°,∵BF ∥l 1,l 1∥l 2,∴BF ∥l 2,∴∠3=180°-∠1,∠4=∠2,∴180°-∠1+∠2=∠ABC =108°,∴∠1-∠2=72°.故答案为:72.7.【答案】56【解析】∵AB ∥CD ,,∴,又∵CE ⊥BE ,34B ∠=︒34CDE B ∠=∠=︒∴Rt △CDE 中,,故答案为:56.903456C ∠=︒-︒=︒8.【答案】540°【解析】如下图,由三角形的外角性质可知∠6+∠7=∠8,∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠8,又∵∠1+∠2+∠3+∠10=360°,∠4+∠5+∠8+∠9=360°,∠10+∠9=180°,∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠8=(∠1+∠2+∠3+∠10)+(∠4+∠5+∠8+∠9)-(∠10+∠9)=540°,故答案为:540°.9.【答案】40°或15°【解析】当题中的“有一个角”是直角时,和不是直角时.当为直角时,由直角三角形ABC中有一个角是另一角的2倍小60°,设“另一角”为x,则有90°=2x-60°,则x=75°,所以最小角为15°,当题中的“有一个角”不是直角时,设直角三角形中一个锐角为x,另一个锐角为2x−60°,根据两个锐角之和为90°可得,x+2x−60°=90°,解得x=50°,较小角为90°−50°=40°,故答案为:40°或15°.10.【答案】10【解析】∵AE是△ABC的中线,∴CE=BE,∵△ACE的周长比△AEB的周长多2 cm,∴(AC+AE+CE)-(BE+AB+AE)=AC-AB=2 cm,∵AB=8 cm,∴AC=10 cm.故答案为:10.11.【答案】B【解析】三角形的内角和为180°,则∠C=180°–60°–95°=25°.故选B.12.【答案】C【解析】根据∠A=60°,∠ABC=42°可得:∠ACB=78°,根据角平分线的性质可得:∠FBC=21°,∠FCB=39°,则∠FBC+∠FCB=60°,在△FBC中应用内角和定理可得:∠BFC=180°–60°=120°.故选C.13.【答案】B【解析】①以A为顶点的锐角三角形△ABC、△ADC共2个;②以E为顶点的锐角三角形:△EDC,共1个,所以图中锐角三角形的个数有2+1=3(个),故选B.14.【答案】D【解析】当腰为5 cm时,5+5=10,不能构成三角形,因此这种情况不成立.当腰为10 cm时,10-5<10<10+5,能构成三角形,故选D.15.【答案】C【解析】如图,延长BD交AC于点E,根据外角的性质可得:∠BEC=∠BDC–∠C=98°–38°=60°,∠A=∠BEC–∠B=60°–23°=37°,故选C.16.【答案】D【解析】AD是三角形ABC的角平分线,∴AO是∠BAC的角平分线,∴AO是△ABE的角平分线,故①正确;∵BE是三角形ABC的中线,∴E是AC是中点,而O不一定是AD的中点,故②错误.故选D.17.【答案】D【解析】∵EF∥MN,∠1=40°,∴∠1=∠3=40°.∵∠A=30°,∴∠2=∠A+∠3=70°.故选D.18.【答案】B【解析】设∠A=x°,则∠B=3x°,∠C=4x°,由x+3x+4x=180,解得:x=22.5,∴∠C=4×22.5°=90°,故△ABC是直角三角形.故选B.19.【答案】D【解析】三角形的角平分线是线段;三角形的三条角平分线都在三角形内部,且交于同一点;当这个三角形为钝角三角形时,则有两条高在三角形的外部;三角形的一条中线把该三角形分成面积相等的两部分.故选D.20.【答案】B【解析】∵Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=55°,将其折叠,使点A落在边CB上A′处,折痕为CD,∴∠B=90°-∠A=90°-55°=35°,∠A=∠CA′D,∵∠CA′D=∠B+∠A′DB,∴55°=35°+∠A′DB,∴∠A′DB=20°.故选B.21.【解析】(1)∵△ABD沿AD折叠得到△AED,∴∠BAD=∠DAF,∵∠B=50°,∠BAD=30°,∴∠AFC=∠B+∠BAD+∠DAF=110°.故答案为:110°.(2)∵∠B=50°,∠BAD=30°,∴∠ADB=180°–50°–30°=100°,∵△ABD沿AD折叠得到△AED,∴∠ADE=∠ADB=100°,∴∠EDF=∠EDA+∠BDA–∠BDF=100°+100°–180°=20°.22.【解析】(1)∵∠ADC是△ABD的外角,∴∠ADC =∠B +∠BAD =105°,∵∠AED 是△CDE 的外角,∴∠AED =∠C +∠EDC .∵∠B =∠C ,∠ADE =∠AED ,∴∠ADC -∠EDC =105°-∠EDC =45°+∠EDC ,解得:∠CDE =30°.(2)∠CDE =∠BAD .12理由:设∠BAD =x ,∵∠ADC 是△ABD 的外角,∴∠ADC =∠B +∠BAD =45°+x ,∵∠AED 是△CDE 的外角,∴∠AED =∠C +∠CDE ,∵∠B =∠C ,∠ADE =∠AED ,∴∠ADC -∠CDE =∠45°+x -∠CDE =45°+∠CDE ,得:∠CDE =∠BAD .1223.【解析】(1)∵∠B =70°,∴∠BAC +∠BCA =110°,∵点P 是△ABC 的∠BAC 和∠ACB 的平分线的交点,∴∠PAC =∠BAC ,∠PCA =∠BCA ,1212∴∠PAC +∠PCA =(∠PAC +∠PCA )=×110°=55°,1212∴∠P =180°-55°=125°.(2)∵点P 是△ABC 的∠BAC 和∠ACB 的平分线的交点,∴∠PAC =∠BAC ,∠PCA =∠BCA ,1212∴∠PAC +∠PCA =(∠PAC +∠PCA ),12∴∠P =180°-(∠PAC +∠PCA )=180°-(∠PAC +∠PCA )12=180°-(180°-∠B )12=90°+∠B .1224.【解析】∵CE =9,AB =12,∴△ABC 的面积=×12×9=54.12因为,在△BCE 中,∠B =65°,∠BCE =25°,所以,∠BEC =180°-∠B -∠BCE =180°-65°-25°=90°.所以,CE 是△BCE 的高.所以,△ABC 的面积=BC ·AD =54,12即BC ·10=54,12解得BC =10.8.25.【解析】设边数为n ,外角为x °,则x +(n -2)×180=1350.∴x =1350-180(n -2).∵0<x <180,∴0<1350-(n -2)×180<180.解得<n <.1531817118∵n 为整数,∴n =9.26.【解析】(1)75°.(2)如图,CH 为所求的高.(3)如图,过点E 作EF ⊥BD 于点F ,∵AD 是BC 的中线,∴BD =CD ,∴,11603022ABD ACD ABC S S S ===⨯=△△△同理,11301522BED ABE ABD S S S ===⨯=△△△又∵,1151522BED S BD EF EF =⋅=⨯=△∴EF =6,即点E 到BC 边的距离为6.27.【解析】(1)∵BA 1是∠ABC 的平分线,CA 1是∠ACD 的平分线,∴∠A 1BC =∠ABC ,∠A 1CD =∠ACD ,1212又∵∠ACD =∠A +∠ABC ,∠A 1CD =∠A 1BC +∠A 1,∴(∠A +∠ABC )=∠ABC +∠A 1,1212∴∠A 1=∠A ,12∵∠A =θ,∴∠A 1=.2θ(2)同理可得∠A 2=∠A 1=·=,12122θ22θ所以∠A n =.2n θ。
人教版八年级上册数学第11章三角形同步培优专项习题1.如图,在三角形ABC中,∠B=60°,∠C=α,点D是AB上一点,E是AC上一点,∠ADE=60°,点F为线段BC上一点,连接EF,过D作DG∥AC交EF于点G,(1)若α=40°,求∠EDG的度数;(2)若∠FEC=2∠DEF,∠DGF=∠BFG,求α.2.如图,在△ACB中,∠ACB=90゜,CD⊥AB于D.(1)求证:∠ACD=∠B;(2)若AF平分∠CAB分别交CD、BC于E、F,求证:∠CEF=∠CFE.3.已知,如图,在△ABC中,AD,AE分别是△ABC的高和角平分线.(1)若∠ABC=30°,∠ACB=60°,求∠DAE的度数;(2)写出∠DAE与∠C﹣∠B的数量关系,并证明你的结论.4.阅读下面的材料,并解决问题.(1)已知在△ABC中,∠A=60°,图1﹣3的△ABC的内角平分线或外角平分线交于点O,请直接求出下列角度的度数.如图1,∠O=;如图2,∠O=;如图3,∠O=;如图4,∠ABC,∠ACB的三等分线交于点O1,O2,连接O1O2,则∠BO2O1=.(2)如图5,点O是△ABC两条内角平分线的交点,求证:∠O=90°+∠A.(3)如图6,△ABC中,∠ABC的三等分线分别与∠ACB的平分线交于点O1,O2,若∠1=115°,∠2=135°,求∠A的度数.5.如图1,已知两条直线AB,CD被直线EF所截,分别交于点E,点F,EM平分∠AEF交CD于点M,且∠FEM=∠FME.(1)直线AB与直线CD是否平行,说明你的理由;(2)如图2,点G是射线MD上一动点(不与点M,F重合),EH平分∠FEG交CD于点H,过点H作HN⊥EM于点N,设∠EHN=α,∠EGF=β.①当点G在点F的右侧时,若β=60°,求α的度数;②当点G在运动过程中,α和β之间有怎样的数量关系?请写出你的猜想,并加以证明.6.如图所示,在△ABC中,BO,CO分别平分∠ABC和∠ACB;BD、CD分别平分∠ABC和∠ACB的外角.(1)若∠BAC=70°,求:∠BOC的度数;(2)探究∠BDC与∠A的数量关系.(直接写出结论,无需说明理由)7.发现:已知△ABC中,AE是△ABC的角平分线,∠B=72°,∠C=36°(1)如图1,若AD⊥BC于点D,求∠DAE的度数;(2)如图2,若P为AE上一个动点(P不与A、E重合),且PF⊥BC于点F时,∠EPF=°.(3)探究:如图2△ABC中,已知∠B,∠C均为一般锐角,∠B>∠C,AE是△ABC的角平分线,若P为线段AE上一个动点(P不与E重合),且PF⊥BC于点F时,请写出∠EPF与∠B,∠C的关系,并说明理由.8.如图①,在△ABC中,∠BAC=90°,AD是BC边上的高.(1)求证:∠DAC=∠ABC;(2)如图②,△ABC的角平分线CF交AD于点E,求证:∠AFE=∠AEF.9.问题引入:(1)如图①所示,△ABC中,点O是∠ABC和∠ACB的平分线的交点,若∠A=α,则∠BOC=(用α表示):不用说明理由,直接填空.如图②所示,∠OBC=∠ABC,∠OCB=∠ACB,若∠A=α,则∠BOC=(用α表示),不用说明理由,直接填空.(2)如图③所示,∠OBC=∠DBC,∠OCB=∠ECB,若∠A=α,则∠BOC=(用α表示),填空并说明理由.10.如图,∠CAD与∠CBD的角平分线交于点P.(1)若∠C=35°,∠D=29°,求∠P的度数;(2)猜想∠D,∠C,∠P的等量关系.11.已知在四边形ABCD中,∠A=∠C=90°.(1)如图1,若BE平分∠ABC,DF平分∠ADC的邻补角,请写出BE与DF的位置关系,并证明;(2)如图2,若BF、DE分别平分∠ABC、∠ADC的邻补角,判断DE与BF位置关系,并证明;(3)如图3,若BE、DE分别五等分∠ABC、∠ADC的邻补角,(即∠CDE=∠CDN,∠CBE=∠CBM),求∠E度数.12.完成下面的证明:已知:如图,四边形ABCD中,∠A=106°﹣α,∠ABC=74°+α,BD⊥DC于点D,EF⊥DC于点F.求证:∠1=∠2.证明:∵∠A=106°﹣α,∠ABC=74°+α(已知),∴∠A+∠ABC=180°.∴AD∥().∴∠1=.∵BD⊥DC,EF⊥DC(已知),∴∠BDF=∠EFC=90°().∴BD∥().∴∠2=().∵∠1=(已证),∴∠1=∠2().13.已知点A在射线CE上,∠BDA=∠C.(1)如图1,若AC∥BD,求证:AD∥BC;(2)如图2,若BD⊥BC,请证明∠DAE+2∠C=90°;(3)如图3,在(2)的条件下,∠BAC=∠BAD,过点D作DF∥BC交射线CE于点F,当∠DFE=8∠DAE时,求∠BAD的度数.(直接写出结果)14.在△ABC中,∠A=70°,点D、E分别是边AC、AB上的点(不与A、B、C重合),点P是平面内一动点(P与D、B不在同一直线上),设∠PEB=∠1,∠DPE=∠2,∠PDC=∠3.(1)若点P在边BC上运动(不与点B和点C重合),如图(1)所示,则∠2=;(用含有∠1、∠3的代数式表示)(2)若点P在△ABC的外部,如图(2)所示,则∠1、∠2、∠3之间有何关系?写出你的结论,并说明理由.∠3之间的关系式.(不需要证明)15.如图,已知∠DAE+∠CBF=180°,CE平分∠BCD,∠BCD=2∠E.(1)CD与EF是否平行,请说明理由.(2)若DF平分∠ADC,求∠DOC的度数(注:三角形的三个内角和等于180°).16.如图,在△ABC中,BE是△ABC角平分线,点D是AB上的一点,且满足∠DEB=∠DBE.(1)DE与BC平行吗?请说明理由;(2)若∠C=50°,∠A=45°,求∠DEB的度数.17.如图①,△ABC中,BD平分∠ABC,且与△ABC的外角∠ACE的角平分线交于点D.(1)若∠ABC=70°,∠ACB=40°,求∠D的度数;(2)若把∠A截去,得到四边形MNCB,如图②,猜想∠D、∠M、∠N的关系,并说明理由.18.在△ABC中,CD平分∠ACB交AB于点D,AH是△ABC边BC上的高,且∠ACB=70°,∠ADC=80°,求:(1)直接写出∠BAC=.(2)求∠BAH的度数.19.如图,在四边形ABCD中,∠A与∠C互补,BE、DF分别平分∠ABC、∠ADC,EG∥AB与BC相交于点G.(1)∠1与∠2有怎样的数量关系?说明理由;(2)若∠A=108°,∠1=46°,求∠CEG的度数.20.如图,在四边形ABCD中,∠A=140°,∠D=80°.(1)如图1,若∠B=∠C,则∠C=度;(2)如图2,若∠ABC的角平分线BE交DC于点E,且BE∥AD,试求出∠C的度数;(3)①如图3,若∠ABC和∠DCB的角平分线交于点E,试求出∠BEC的度数;②在①的条件下,若延长BA、CD交于点F(如图4).将原来条件“∠A=140°,∠D=80°”改为“∠F =40°”.其他条件不变.则∠BEC的度数为.。
一、选择题1.一个多边形的外角和是360°,这个多边形是( )A .四边形B .五边形C .六边形D .不确定D 解析:D【分析】根据多边形的外角和等于360°判定即可.【详解】∵多边形的外角和等于360°,∴这个多边形的边数不能确定.故选:D .【点睛】本题考查了多边形的外角和定理,注意利用多边形的外角和与边数无关,任何多边形的外角和都是360°是解题的关键.2.下列四组线段中,不可以构成三角形的是( )A .4,5,6B .1.5,2,2.5C .13,14,15D .1,3D 解析:D【分析】计算较小两边的和,与最大的边比较,大于最大的边时三角形存在,依此判断即可.【详解】∵4+5>6,∴能构成三角形;∵1.5+2>2.5,∴能构成三角形; ∵14+15>13, ∴能构成三角形;∵<1+2=3,∴不能构成三角形;故选D.【点睛】本题考查了已知线段长判断三角形的存在,熟记三角形存在的条件是解题的关键. 3.如图,AD 是ABC 的外角CAE ∠的平分线,35B ∠=︒,60=︒∠DAC ,则ACD ∠的度数为( )A .25︒B .85︒C .60︒D .95︒D解析:D【分析】 根据角平分线的定义可得∠DAC =∠DAE ,根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠D ,然后利用三角形的内角和定理列式计算即可得解.【详解】解:∵AD 是∠CAE 的平分线,60=︒∠DAC ,∴∠DAC =∠DAE =60°,又∵35B ∠=︒由三角形的外角性质得,∠D =∠DAE−∠B =60°−35°=25°,∴在△ACD 中,∠ACD =180°−∠DAC -∠D =180°−60°−25°=95°.故选:D .【点睛】本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和,三角形的内角和定理,熟记性质并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键.4.将一个多边形纸片剪去一个内角后得到一个内角和是外角和4倍的新多边形,则原多边形的边数为( )A .9B .10C .11D .以上均有可能D解析:D【分析】将一个多边形纸片剪去一个内角可以多三种情况比原多边形边数少1,不变,多1,利用内角和公式求出内角的和与外角关系即可求出.【详解】如图将一个多边形纸片剪去一个内角∠BCF 后,多边形的边数和原多边形边数相同为n , ()21804360n -⨯︒=⨯︒,n=10,如图将一个多边形纸片剪去一个内角∠BCF后,多边形的边数比原多边形边数少1为n-1,()n--⨯︒=⨯︒,121804360n=11,如图将一个多边形纸片剪去一个内角∠GCF后,多边形的边数比原多边形边数多1为n+1,()n-⨯︒=⨯︒,+121804360n=9,原多边形的边数为9,10,11.故选择:D.【点睛】本题考查多边形剪去一个角问题,掌握剪去一个角后对多边形的边数分类讨论是解题关键.5.以下列各组线段为边,能组成三角形的是( )A.1,2,3 B.1,3,5 C.2,3,4 D.2,6,10C解析:C【分析】根据三角形三边关系逐一进行判断即可.【详解】A、1+2=3,不能构成三角形,故不符合题意;B、1+3=4<5,不能构成三角形,故不符合题意;C、2+3=5>4,可以构成三角形,故符合题意;D、2+6=8<10,不能构成三角形,故不符合题意,故选:C.【点睛】本题主要考查三角形的三边关系,比较简单,熟记三边关系定理是解决本题的关键.6.在下列长度的四根木棒中,能与2m、5m长的两根木棒钉成一个三角形的是()A.2m B.3m C.5m D.7m C解析:C【分析】判定三条线段能否构成三角形,只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形.【详解】解:设三角形的第三边为x m,则5-2<x<5+2即3<x<7,∴当x=5时,能与2m、5m长的两根木棒钉成一个三角形,故选:C.【点睛】本题考查了三角形的三边关系的运用,解题时注意:三角形两边之和大于第三边,三角形的两边差小于第三边.7.三角形的两条边长为3和7,那么第三边长可能是()A.1B.4C.7D.10C解析:C【分析】根据三角形的两边之和大于第三边,确定第三边的取值范围即可.【详解】解:三角形的两条边长为3和7,设第三边为x,则第三边的取值范围是:7-3<x<7+3,解得,4<x<10,故选:C.【点睛】本题考查了三角形的三边关系,根据两边长确定第三边的取值范围是解题关键.8.长度分别为2,3,4,5的四根细木棒首尾相连,围成一个三角形(木棒允许连接,但不允许折断),得到的三角形的最长边长为()A.8 B.5 C.6 D.7C【分析】利用三角形的三边关系列举出所围成三角形的不同情况,通过比较得到结论.【详解】解:①长度分别为5、4、5,能构成三角形,且最长边为5;②长度分别为2、7、5,不能构成三角形;③长度分别为2、3、9,不能构成三角形;④长度分别为7、3、4,不能构成三角形;⑤长度分别为3、5、6,能构成三角形,且最长边为6;⑥长度分别为2、4、8,不能构成三角形;综上所述,得到三角形的最长边长为6.故选:C.【点睛】本题考查了三角形的三边关系,利用了三角形中三边的关系求解.注意分类讨论,不重不漏.9.如图,△ABC中AC边上的高是哪条垂线段.()A.AE B.CD C.BF D.AF C解析:C【分析】根据三角形的高的定义,△ABC中AC边上的高是过B点向AC作的垂线段,即为BF.【详解】解:∵BF⊥AC于F,∴△ABC中AC边上的高是垂线段BF.故选:C.【点睛】本题考查了三角形的高的定义,关键是根据从三角形的一个顶点向它的对边作垂线,垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高解答.10.某多边形的内角和是其外角和的3倍,则此多边形的边数是()A.5 B.6 C.7 D.8D解析:D【分析】利用多边形内角和公式和外角和定理,列出方程即可解决问题.解:根据题意,得:(n-2)×180=360×3,解得n=8.故选:D .【点睛】本题考查了多边形的内角和与外角和,解答本题的关键是根据多边形内角和公式和外角和定理,利用方程法求边数.二、填空题11.七边形的外角和为________.360°【分析】根据多边形的外角和等于360°即可求解;【详解】∵多边形的外角和都是360°∴七边形的外角和为360°故答案为:360°【点睛】本题考查了多边形的外角的性质掌握多边形的外角和等于36 解析:360°【分析】根据多边形的外角和等于360°即可求解;【详解】∵ 多边形的外角和都是360°,∴七边形的外角和为360°,故答案为:360°.【点睛】本题考查了多边形的外角的性质,掌握多边形的外角和等于360°是解题的关键; 12.三角形有两条边的长度分别是5和7,则第三边a 的取值范围是_____.2<a <12【分析】已知三角形两边的长根据三角形三边关系定理知:第三边的取值范围应该是大于已知两边的差而小于已知两边的和【详解】解:根据三角形三边关系定理知:第三边a 的取值范围是:(7-5)<a <(解析:2<a <12.【分析】已知三角形两边的长,根据三角形三边关系定理知:第三边的取值范围应该是大于已知两边的差而小于已知两边的和.【详解】解:根据三角形三边关系定理知:第三边a 的取值范围是:(7-5)<a <(7+5),即2<a <12.【点睛】本题考查了三角形三边关系,两边之和大于第三边,两边之差小于第三边.13.如图,在ABC 中,点D 、E 、F 分别是边BC 、AD 、CE 上的中点,则6ABC S =,则BEF S =△______.【分析】利用三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分解决问题即可【详解】解:∵BD=DC∴S△ABD=S△ADC=×6=3(cm2)∵AE=DE∴S△AEB=S△AEC=×3=(cm2)∴S△BEC解析:3 2【分析】利用三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分解决问题即可.【详解】解:∵BD=DC,∴S△ABD=S△ADC=12×6=3(cm2),∵AE=DE,∴S△AEB=S△AEC=12×3=32(cm2),∴S△BEC=6-3=3(cm2),∵EF=FC,∴S△BEF=12×3=32(cm2),故答案为32.【点睛】本题考查三角形的面积,三角形的中线等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考常考题型.14.如图所示,△ABC中,∠BAC、∠ABC、∠ACB的四等分线相交于D、E、F(其中∠CAD=3∠BAD,∠ABE=3∠CBE,∠BCF=3∠ACF),且△DFE的三个内角分别为∠DFE =60°、∠FDE=53°、∠FED=67°,则∠BAC的度数为_________°.72【分析】由∠CAD=3∠BAD∠ABE=3∠CBE∠BCF=3∠ACF易得各角与∠ABC∠ACB∠BAC之间的关系由三角形外角等于不相邻的两个内角和列方程组求解即可得出结论【详解】解:∵∠CAD【分析】由∠CAD=3∠BAD ,∠ABE=3∠CBE ,∠BCF=3∠ACF 易得各角与∠ABC 、∠ACB 、∠BAC 之间的关系,由三角形外角等于不相邻的两个内角和列方程组求解即可得出结论.【详解】解:∵∠CAD=3∠BAD ,∠ABE=3∠CBE ,∠BCF=3∠ACF ,∴∠CAD=34∠BAC ,∠BAD=14∠BAC ,∠ABE=34∠ABC ,∠CBE=14∠ABC ,∠BCF=34∠ACB ,∠ACF=14∠ACB . ∵∠DFE =60°、∠FDE =53°、∠FED =67°,∴136********4136744BAC ABC ABC ACB ACB BAC ⎧∠+∠=⎪⎪⎪∠+∠=⎨⎪⎪∠+∠=⎪⎩, 解得∠BAC=72°,∠ABC=56°,∠ACB=52°,故答案为:72.【点睛】本题考查了三元一次方程组的应用,以及三角形外角的性质.解题的关键是由外角的性质列出方程组.本题属于中档题,难度不大,但在角的变化上稍显繁琐,一不注意就易失分,做形如此类题型时,牢牢把握等量关系是关键.15.鹿鸣社区里有一个五边形的小公园,如图所示,王老师每天晚饭后都要到公园里去散步,已知图中的∠1=95︒,王老师沿公园边由A 点经B→C→D→E ,一直到F 时,他在行程中共转过了_____度.275【分析】王老师每次转过的角度之和为该五边形的外角和减去∠1的外角度数由多边形的外角和即可求解【详解】解:王老师每次转过的角度之和为该五边形的外角和减去∠1的外角度数∵多边形的外角和为360°∴解析:275【分析】王老师每次转过的角度之和为该五边形的外角和减去∠1的外角度数,由多边形的外角和即可求解.解:王老师每次转过的角度之和为该五边形的外角和减去∠1的外角度数,∵多边形的外角和为360°,∴他在行程中共转过了()36018095275︒-︒-︒=︒,故答案为:275.【点睛】本题考查多边形的外角和,明确王老师每次转过的角度之和为该五边形的外角和减去∠1的外角度数是解题的关键.16.多边形每一个内角都等于90︒,则从此多边形一个顶点出发的对角线有____条.1【分析】先根据多边形内角和公式求出它是几边形就可以得到结果【详解】解:设这个多边形是n 边形解得∴是四边形∴从一个顶点出发的对角线有1条故答案是:1【点睛】本题考查多边形内角和公式解题的关键是掌握多 解析:1【分析】先根据多边形内角和公式求出它是几边形,就可以得到结果.【详解】解:设这个多边形是n 边形,()180290n n ︒-=︒,解得4n =,∴是四边形,∴从一个顶点出发的对角线有1条.故答案是:1.【点睛】本题考查多边形内角和公式,解题的关键是掌握多边形的内角和公式.17.一个三角形的三个内角度数之比为2:3:5,那这个三角形一定是三角形__________.直角【分析】若三角形三个内角的度数之比为2:3:5利用三角形的内角和定理:三角形的内角和为180°可求出三个内角分别是36°54°90°则这个三角形一定是直角三角形【详解】解:设三角分别为2x3x5解析:直角【分析】若三角形三个内角的度数之比为2:3:5,利用三角形的内角和定理:三角形的内角和为180°,可求出三个内角分别是36°,54°,90°.则这个三角形一定是直角三角形.【详解】解:设三角分别为2x ,3x ,5x ,依题意得2x +3x +5x =180°,解得x =18°.故三个角的度数分别为36°,54°,90°.故答案为:直角.此题主要考查了三角形的内角和定理:三角形的内角和为180°,熟练掌握三角形内角和定理是解决本题的关键.18.如图,已知ABC 的角平分线BD ,CE 相交于点O ,∠A=60°,则∠BOC=__________.【分析】根据三角形的内角和定理角平分线的定义即可得【详解】BDCE 是的角平分线故答案为:【点睛】本题考查了三角形的内角和定理角平分线的定义熟练掌握角平分线的定义是解题关键解析:120︒【分析】根据三角形的内角和定理、角平分线的定义即可得.【详解】60A ∠=︒,180120ABC ACB A ∴∠+∠=︒-∠=︒,BD 、CE 是ABC 的角平分线,11,22OBC ABC OCB ACB ∴∠=∠∠=∠, ()1602OBC OCB ABC ACB +=∠+∠∴=∠∠︒, ()180********OBC OCB BOC ∠=︒-︒∴∠+∠=︒=-︒,故答案为:120︒.【点睛】本题考查了三角形的内角和定理、角平分线的定义,熟练掌握角平分线的定义是解题关键.19.如图,线段AD ,BE ,CF 两两相交于点H ,I ,G ,分别连接AB ,CD ,EF .则A B C D E F ∠+∠+∠+∠+∠+∠=____.360°【分析】根据三角形的外角性质和三角形的内角和求出即可【详解】解:∵∠BHI=∠A+∠B ∠DIF=∠C+∠D ∠FGH=∠E+∠F ∴∠BHI+∠DIF+∠FGH=∠A+∠B +∠C+∠D+∠E+∠解析:360°【分析】根据三角形的外角性质和三角形的内角和求出即可.【详解】解:∵∠BHI=∠A+∠B ,∠DIF=∠C+∠D ,∠FGH=∠E+∠F ,∴∠BHI+∠DIF+∠FGH=∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F ,∵∠BHI+∠DIF+∠FGH=360°,∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°,故答案为:360°.【点睛】本题考查了三角形的外角和定理,三角形的外角性质的应用,主要考查学生运用定理进行推理的能力,注意:三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和,三角形的外角和等于360°.20.如图,ABC ∆的面积是2,AD 是BC 边上的中线,13AE AD =,12BF EF =.则DEF ∆的面积为_________.【分析】直接根据高相等的三角形面积之比等于底之比【详解】解:∵是边上的中线∴BD=DC 又∵的面积是2和的高相等∴∵和的高相等∴∴又∴同理:故答案为:【点睛】此题主要考查根据高相等的三角形面积之比等于解析:49【分析】直接根据高相等的三角形,面积之比等于底之比.【详解】解:∵AD 是BC 边上的中线∴BD=DC又∵ABC ∆的面积是2,D AB ∆和D A C ∆的高相等∴D DC S =S =1AB A ∆∆ ∵13AE AD = E AB ∆和BDE ∆的高相等∴E BDE ABD 11S =S =S 23AB ∆∆∆ ∴BDE 2S =3∆ 又12BF EF =,∴1B 3BF E =,同理: DEF BFD BDE 24S =2S =S =39∆∆∆ 故答案为:49. 【点睛】 此题主要考查根据高相等的三角形,面积之比等于底之比求三角形的面积,解题的关键是正确理解高相等的三角形之间的关系.三、解答题21.如图,在每个小正方形边长为1的方格纸中,△ABC 的顶点都在方格纸格点上.将△ABC 向左平移2格,再向上平移4格.(1)请在图中画出平移后的△A ′B ′C ′;(2)在图中画出△ABC 的高CD ,中线BE ;(3)在图中能使S △ABC =S △PBC 的格点P 的个数有 个(点P 异于点A ).解析:(1)见解析;(2)见解析;(3)4.【分析】(1)利用网格特点和平移的性质,分别画出点A 、B 、C 的对应点A '、B '、C '即可; (2)利用网格特点,作CD ⊥AB 于D ,找出AC 的中点可得到BE ;(3)利用平行线的性质过点A 作出BC 的平行线进而得出符合题意的点.【详解】(1)如图所示:△A ′B ′C ′即为所求;(2)如图所示:CD 即为所求;(3)如图所示:能使S △PBC =S △ABC 的格点P 的个数有4个.故答案为:4.【点睛】此题主要考查了平移变换以及平行线的性质和三角形的高,利用平行线的性质得出P 点位置是解题关键.22.如图,在ABC ∆中,48,A CE ∠=︒是ACB ∠的平分线, B C D 、、在同一直线上,,40.BEC BFD D ∠=∠∠=︒(1)求BCE ∠的度数;(2)求B 的度数.解析:(1)40∠=︒ECB ;(2)52B ︒∠=【分析】(1)根据同位角相等,两直线平行判定//DF CE ,然后再根据平行线的性质求解; (2)根据角平分线的定义求得80ACB ︒∠=,然后利用三角形内角和求解.【详解】解:(1)BEC BFD ∠=∠,//DF CE ∴,ECB D ∴∠=∠. 40D ︒∠=,40ECB ∴∠=︒.(2)CE 是ACB ∠的平分线.40ECB ACE ︒∴∠=∠=,80ACB ︒∴∠=.180A B ACB ︒∠+∠+∠=,180180488052B A ACB ︒︒︒︒︒∴∠=-∠-∠=--=.【点睛】本题考查平行线的判定和性质以及三角形内角和,掌握相关性质定理正确推理计算是解题关键.23.如图,已知长方形ABCD 中,10cm AD =,6cm DC =,点F 是DC 的中点,点E 从A 点出发在AD 上以每秒1cm 的速度向D 点运动,运动时间设为t 秒.(假定0t 10<<)(1)当5t =秒时,求阴影部分(即三角形BEF )的面积;(2)用含t 的式子表示阴影部分的面积;并求出当三角形EDF 的面积等于3时,阴影部分的面积是多少?(3)过点E 作//EG AB 交BF 于点G ,过点F 作//FH BC 交BE 于点H ,请直接写出在E 点运动过程中,EG 和FH 的数量关系.解析:(1)4522cm ;(2)23302t cm ⎛⎫- ⎪⎝⎭;218cm ;(3)53EG FH = 【分析】(1)由长方形的性质得出10cm BC AD ==,6cm AB DC ==,由5t =得AE=5,DE=10-5=5,根据ABCD BEF BE BCF DEF S S S S S =---△△A △△长方形即可求解;(2)由题意得AE=t ,DE=10-t ,根据ABCD BEF BE BCF DEF S S S S S =---△△A △△长方形表示出阴影部分的面积;由12EDF S DE DF =⋅△求出t 的值,代入计算即可; (3)由长方形ABCD 得AD CD ⊥,根据平行线的性质得EG HF ⊥,根据平行线间的距离相等可得DE ,AE ,DF ,CF 分别等于,,,EGF EGB EHF BHF △△△△的高,由BEF S的面积即可得出结论.【详解】解:(1)∵长方形ABCD 中,10cm AD =,6cm DC =,∴10cm BC AD ==,6cm AB DC ==,∵点F 是DC 的中点,∴3cm DF CF ==,当5t =秒时,AE=5cm ,DE=10-5=5 cm ,∵ABCD BEF BE BCF DEF S S S S S =---△△A △△长方形 =()()()1111066510353222⨯-⨯-⨯-⨯ =156015152--- =4522cm ; (2)由题意得AE=t ,DE=10-t , ∵ABCD BEF BE BCF DEF S S S S S =---△△A △△长方形 =()()1111066103310222t t ⨯-⨯-⨯-⨯⨯- =360315152t t ---+=3302t -, ∴用含t 的式子表示阴影部分的面积为:23302t cm ⎛⎫-⎪⎝⎭; 当三角形EDF 的面积等于3时,12EDF S DE DF =⋅△=()13102t ⨯⨯-=3, 解得:8t =, 8t =时,38=30=182S ⨯-阴影2cm ; (3)∵长方形ABCD∴AD CD ⊥,//,//AB CD AD BC , ∵//EG AB ,//FH BC ,∴EG HF ⊥,,AD EG CD HF ⊥⊥,∴DE ,AE 分别等于,EGF EGB △△的EG 边上的高,DF ,CF 分别等于,EHF BHF △△的FH 边上的高, ∴11112222BEF S EG DE EG AE HF DF HF CF =⋅+⋅=⋅+⋅△, ∴()()1122EG DE AE HF DF CF +=+,即EG AD HF CD ⋅=⋅, ∵10cm AD =,6cm DC =,∴106EG HF =,即53EG FH =.【点睛】本题是一个动点问题,考查了平行线间的距离,三角形面积的计算,解题的关键是熟练掌握平行线的性质和三角形面积的计算方法.24.如图①,ABC 中,BD 平分ABC ∠,且与ABC 的外角ACE ∠的角平分线交于点D .(1)若75ABC ∠=︒,45ACB ∠=︒,求D ∠的度数;(2)若把A ∠截去,得到四边形MNCB ,如图②,猜想D ∠、M ∠、N ∠的关系,并说明理由.解析:(1)30D ∠=︒;(2)()11802D M N ∠=∠+∠-︒,理由见解析 【分析】(1)根据三角形内角和定理以及角平分线定义,先求出∠D 、∠A 的等式,推出∠A=2∠D ,最后代入求出即可;(2)根据(1)中的结论即可得到结论.【详解】解:ACE A ABC ∠=∠+∠, ACD ECD A ABD DBE ∴∠+∠=∠+∠+∠,DCE D DBC ∠=∠+∠,又∵BD 平分ABC ∠,CD 平分ACE ∠,ABD DBE ∴∠=∠,ACD ECD ∠=∠,()2A DCE DBC ∴∠=∠-∠,D DCE DBC ∠=∠-∠,2A D ∴∠=∠,75ABC ∠=︒,45ACB ∠=︒,60A ∴∠=︒,30D ∴∠=︒;(2)()11802D M N ∠=∠+∠-︒; 理由:延长BM 、CN 交于点A ,则180A BMN CNM ∠=∠+∠-︒,由(1)知,12D A ∠=∠, ()11802D M N ∴∠=∠+∠-︒.【点睛】此题考查三角形内角和定理以及角平分线的定义的综合运用,解此题的关键是求出∠A=2∠D.25.如图,∠CBF,∠ACG是△ABC的外角,∠ACG的平分线所在的直线分别与∠ABC,∠CBF的平分线BD,BE交于点D,E.(1)若∠A=70°,求∠D的度数;(2)若∠A=a,求∠E;(3)连接AD,若∠ACB= ,则∠ADB= .解析:(1)35°;(2)90°-12α;(3)12β【分析】(1)由角平分线的定义得到∠DCG=12∠ACG,∠DBC=12∠ABC,然后根据三角形外角的性质即可得到结论;(2))根据角平分线的定义得到∠DBC=12∠ABC,∠CBE=12∠CBF,于是得到∠DBE=90°,由(1)知∠D=12∠A,根据三角形的内角和得到∠E=90°-12α;(3)根据角平分线的定义可得,∠ABD=12∠ABC,∠DAM=12∠MAC,再利用三角形外角的性质可求解.【详解】解:(1)∵CD平分∠ACG,BD平分∠ABC,∴∠DCG=12∠ACG,∠DBC=12∠ABC,∵∠ACG=∠A+∠ABC,∴2∠DCG=∠ACG=∠A+∠ABC=∠A+2∠DBC,∵∠DCG=∠D+∠DBC,∴2∠DCG=2∠D+2∠DBC,∴∠A+2∠DBC=2∠D+2∠DBC,∴∠D=12∠A=35°;(2)∵BD平分∠ABC,BE平分∠CBF,∴∠DBC=12∠ABC,∠CBE=12∠CBF,∴∠DBC+∠CBE=12(∠ABC+∠CBF)=90°,∴∠DBE=90°,∵∠D=12∠A,∠A=α,∴∠D=12α,∵∠DBE=90°,∴∠E=90°-12α;(3)如图,∵BD平分∠ABC,CD平分∠ACG,∴AD平分∠MAC,∠ABD=12∠ABC,∴∠DAM=12∠MAC,∵∠DAM=∠ABD+∠ADB,∠MAC=∠ABC+∠ACB,∠ACB=β,∴∠ADB=12∠ACB=12β.故答案为:12β.【点睛】本题主要考查三角形的角平分线,三角形外角的性质,灵活运用三角形外角的性质是解题的关键.26.已知一个n 边形的每一个内角都等于120°.(1)求n 的值;(2)求这个n 边形的内角和;(3)这个n 边形内一共可以画出几条对角线?解析:(1)6;(2)720°;(3)9条【分析】(1)分别用两个式子表示多边形的内角和,列出方程,求解即可;(2)根据多边形内角和公式即可求解;(3)根据对角线的定义求出每个顶点的对角线条数,再求解即可.【详解】解:(1)由题意得()2180120n n -︒=︒,解得 6n =.(2)()62180720-⨯︒=︒,所以这个多边形的内角和为720°.(3)六边形每个顶点可以引6-3=3条对角线, 所以一共可画6392⨯=条对角线. 【点睛】本题考查了多边形的内角和公式,多边形对角线的定义,熟记多边形的内角和公式,理解对角线的定义是解题关键.27.如图,在BCD △中,D 为BC 上一点,12∠=∠,34∠=∠,60BAC ∠=︒,求DAC ∠,ADC ∠的度数.解析:∠DAC=20°,∠ADC=80°【分析】设∠1=∠2=x ,再用x 表示出∠3的度数,由三角形内角和定理得出∠2+∠4的度数,进而可得出x 的值,由此得出结论.【详解】设∠1=∠2=x ,则∠3=∠4=2x ,∵∠BAC=60°,∴∠2+∠4=180°-60°=120°,即x+2x=120°,∴x=40°,即∠ADC=80°,∴∠DAC=∠BAC-∠1=60°-40°=20°.【点睛】本题考查的是三角形内角和外角的相关知识,熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键.28.如图,是A 、B 、C 三个村庄的平面图,已知B 村在A 村的南偏西65°方向,C 村在A 村的南偏东15°方向,C 村在B 村的北偏东85°方向,求从C 村观测A 、B 两村的视角ACB ∠的度数.解析:80ACB ∠=︒【分析】根据平行线的性质以及三角形内角和定理即可得到结论.【详解】解:由已知,265∠=︒,315∠=︒,85DBC ∠=︒∵//BD AE∴1265∠=∠=︒∴41856520DBC ∠=∠-∠=︒-︒=︒在ABC 中18018065152080ACB ABC BAC ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒-︒=︒【点睛】本题考查的是方向角的概念,平行线的性质以及三角形内角和定理,熟练掌握三角形的内角和是解答此题的关键.。
《三角形》培优训练题一.选择题1.△ABC中,如果∠A+∠B=∠C,那么△ABC形状是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不能确定2.下列每组数分别表示三根木棒的长,将它们首尾连接后,能摆成三角形的一组是()A.1、2、3 B.2、3、6 C.4、6、8 D.5、6、123.一个正多边形的内角和为720°,则这个正多边形的每一个外角等于()A.50°B.60°C.70°D.80°4.以线段a=7,b=8,c=9,d=10为边作四边形,可以作()A.1个B.2个C.3个D.无数个5.若一个多边形减去一个角后,内角和为720°,则原多边形不可能是几边形()A.四边形B.五边形C.六边形D.七边形6.如图所示的图形中,三角形共有()A.3个B.4个C.5个D.6个7.数学活动课上,小聪将一副三角板按图中方式叠放,则∠a的度数为()A.30°B.45°C.60°D.75°8.如图将三角形纸板的直角顶点放在直尺的一条边上,∠1=30°,∠2=60°,则∠3为()A.50°B.40°C.30°D.20°9.如图,△ABC中,∠B=55°,∠C=63°,DE∥AB,则∠DEC等于()A.63°B.113°C.55°D.62°10.如图,则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=()A.360°B.540°C.720°D.900°11.已知三角形的三边长分别为a、b、c,化简|a+b﹣c|﹣2|a﹣b﹣c|+|a+b+c|得()A.4a﹣2c B.2a﹣2b﹣c C.4b+2c D.2a﹣2b+c12.如图,∠A=65°,∠B=75°,将纸片的一角折叠,使点C落在△ABC外,若∠2=18°,则∠1的度数为()A.50°B.98°C.75°D.80°二.填空题13.一个正n边形的内角和是它外角和的4倍,则n=.14.如图,△ABC为直角三角形,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,与∠1相等的角是.15.已知直角三角形ABC中,∠A=(2x﹣10)°,∠B=(3x)°,则x=.16.如图,△ADC是45°的直角三角板,△ABE是30°的直角三角板,若CD与BE交于点F,则∠DFB的度数为.三.解答题17.已知:△ABC中,D为BC上一点,满足:∠B=∠C=∠BAD,∠ADC=∠DAC,AE是△ABC 中BC边上的高.(1)补全图形.(2)求∠DAE的度数.18.如图,在△ABC中,∠BAC:∠B:∠C=3:5:7,点D是BC边上一点,点E是AC边上一点,连接AD、DE,若∠1=∠2,∠ADB=102°.(1)求∠1的度数;(2)判断ED与AB的位置关系,并说明理由.19.用两种方法证明“三角形的外角和等于360°”.如图,∠BAE、∠CBF、∠ACD是△ABC 的三个外角.求证:∠BAE+∠CBF+∠ACD=360°.证法1:∵∠BAE、∠CBF、∠ACD是△ABC的三个外角.∴.∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=2(∠1+∠2+∠3),∵.∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=360°请把证法1补充完整,并用不同的方法完成证法2.20.数学概念百度百科这样定义凹四边形:把四边形的某些边向两方延长,其他各边有不在延长所得直线的同一旁,这样的四边形叫做凹四边形.如图①,在四边形ABCD中,画出DC所在直线MN,边BC、AD分别在直线MN的两旁,则四边形ABCD就是凹四边形.性质初探(1)在图①所示的凹四边形ABCD中,求证:∠BCD=∠A+∠B+∠D.深入研究(2)如图②,在凹四边形ABCD中,AB与CD所在直线垂直,AD与BC所在直线垂直,∠B、∠D的角平分线相交于点E.①求证:∠A+∠BCD=180°;②随着∠A的变化,∠BED的大小会发生变化吗?如果有变化,请探索∠BED与∠A的数量关系;如果没有变化,请求出∠BED的度数.参考答案一.选择题1.解:∵在△ABC中,∠A+∠B=∠C,∠A+∠B+∠C=180°,∴2∠C=180°,解得∠C=90°,∴△ABC是直角三角形.故选:B.2.解:A、1+2=3,不能摆成三角形;B、2+3<6,不能摆成三角形;C、4+6>8,能摆成三角形;D、5+6<12,不能摆成三角形.故选:C.3.解:设这个正多边形的边数为n,∵一个正多边形的内角和为720°,∴180(n﹣2)=720,解得:n=6,∴这个正多边形的每一个外角是:360°÷6=60°.故选:B.4.解:四条线段组成的四边形可有无数种变化.故选:D.5.解:设内角和为720°的多边形的边数是n,则(n﹣2)•180=720,解得:n=6.∵截去一个角后边数可能增加1,不变或减少1,∴原多边形的边数为5或6或7.故选:A.6.解:三角形的个数有△BED,△AED,△ADC,△ABD,△ABC,故选:C.7.解:∠DBC=∠ABC﹣∠ABD=90°﹣45°=45°.所以∠α=∠DBC+∠C=45°+30°=75°.故选:D.8.解:∵∠1=30°,∠2=60°,∴∠3=60°﹣30°=30°,故选:C.9.解:∵AB∥CD,∴∠DEC=∠A,∵∠A=180°﹣∠B﹣∠C=180°﹣55°﹣63°=62°,∴∠DEC=62°故选:D.10.解:连接DG,则∠1+∠2=∠F+∠E,∴∠A+∠B+∠C+∠CDE+∠E+∠F+∠AGF=∠A+∠B+∠C+∠1+∠2+∠CDE+∠AGF=(5﹣2)×180°=540°.故选:B.11.解:∵△ABC的三边长分别是a、b、c,∴必须满足两边之和大于第三边,两边的差小于第三边,则a+b﹣c>0,a﹣b﹣c<0,a+b+c >0∴|a+b﹣c|﹣2|a﹣b﹣c|+|a+b+c|=a+b﹣c+2a﹣2b﹣2c+a+b+c=4a﹣2c.故选:A.12.解:∵∠A=65°,∠B=75°,∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣65°﹣75°=40°;又∵将三角形纸片的一角折叠,使点C落在△ABC外,∴∠C′=∠C=40°,∵∠3+∠2+∠5+∠C′=180°,∠5=∠4+∠C=∠4+40°,∠2=18°,∴∠3+18°+∠4+40°+40°=180°,∴∠3+∠4=82°,∴∠1=180°﹣82°=98°.故选:B.二.填空题(共4小题)13.解:多边形的外角和是360°,根据题意得:180°•(n﹣2)=360°×4,解得n=10.故答案为:10.14.解:∵∠ACB=90°,∴∠A+∠B=90°,∵CD⊥AB,∴∠ADC=90°,∴∠A+∠1=90°,∴∠B=∠1,故答案为:∠B.15.解:①若∠C=90°,则∠A+∠B=90°,∴2x﹣10+3x=90,解得x=20,此时∠A=30°,∠B=60°,符合题意;②若∠A=90°,则2x﹣10=90,解得x=50,此时∠B=150°,不符合题意,舍去;③若∠B=90°,则3x=90,解得x=30,此时∠A=50°,符合题意;综上x=20或30,故答案为:20或30.16.解:∵∠ADC=45°,∠B=30°,∴∠DFB=∠ADC﹣∠B=15°,故答案为15°.三.解答题(共4小题)17.解:(1)如图所示,AE即为所求;(2)∵∠ADC=∠B+∠BAD,∠B=∠C=∠BAD,∠ADC=∠DAC,∴∠B+∠C+∠BAD+∠DAC=180°,∴5∠B=180°,解得∠B=36°,∴∠ADC=72°.∵AE⊥BC,∴∠DAE=90°﹣∠ADE=90°﹣72°=18°.18.解:(1)∵∠BAC:∠B:∠C=3:5:7,∴设∠BAC=3x,∠B=5x,∠C=7x,∴3x+5x+7x=180°,解得:x=12°,∴∠BAC=36°,∠B=60°,∠C=84°,∵∠ADB=102°,∴∠1=∠ADB﹣∠C=102°﹣84°=18°;(2)ED∥AB.理由:∵∠1=∠2,∴∠2=18°,∵∠BAC=36°,∴∠BAD=∠BAC﹣∠1=36°﹣18°=18°,∴∠2=∠BAD,∴ED∥AB.19.证明:证法1:∵∠BAE、∠CBF、∠ACD是△ABC的三个外角.∴∠BAE=∠2+∠3,∠CBF=∠1+∠3,∠ACD=∠1+∠2.∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=2(∠1+∠2+∠3),∵∠1+∠2+∠3=180°.∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=360°;证法2:∵平角等于180°,∴∠BAE+∠1+∠CBF+∠2+∠ACD+∠3=180°×3=540°,∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=540°﹣(∠1+∠2+∠3).∵∠1+∠2+∠3=180°,∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=540°﹣180°=360°.故答案为:∠BAE=∠2+∠3,∠CBF=∠1+∠3,∠ACD=∠1+∠2;∠1+∠2+∠3=180°.20.(1)证明:如图①,延长DC交AB于点E,∵∠BEC是△AED的一个外角,∴∠A+∠D=∠BEC,同理,∠B+∠BEC=∠BCD,∴BCD=∠A+∠B+∠D.(2)①证明:如图②,延长BC、DC分别交AD、BC于点F、G,由题意可知,∠AFC=∠AGC=90°,∵在四边形AFCG中,∠AFC+∠AGC+∠A+∠FCG=360°,∴∠A+∠FCG=180°,∵∠FCG=∠BCD,∴∠A+∠BCD=180°;②解:由(1)可知,在凹四边形ABED中,∠A+∠ABE+∠ADE=∠BED①,同理,在凹四边形EBCD中,∠BED+∠EBC+∠EDC=∠BCD②,∵BE平分∠ABC,∴∠ABE=∠EBC,同理,∠ADE=∠EDC,①﹣②得∠A+∠BCD=2∠BED,由(2)①可知,在凹四边形ABCD中,∠A+∠BCD=180°,∴2∠BED=180°,∴∠BED=90°.。
第11章《三角形》培优训练题一.选择题1.下列各线段中,能与长为4,6的两线段组成三角形的是()A.2 B.8 C.10 D.122.若一个多边形的内角和是1080度,则这个多边形的边数为()A.6 B.7 C.8 D.103.如图,在四边形ABCD中,∠α、∠β分别是与∠BAD、∠BCD相邻的补角,且∠B+∠CDA =140°,则∠α+∠β=()A.260°B.150°C.135°D.140°4.如图,在△ABC中,∠ACB=100°,∠A=20°,D是AB上一点,将△ABC沿CD折叠,使B点落在AC边上的B′处,则∠ADB′等于()A.40°B.20°C.55°D.30°5.在长为10cm,7cm,5cm,3cm的四根木条,选其中三根组成三角形,则能组成三角形的个数为()A.1 B.2 C.3 D.46.如图,在△ABC中,∠B=33°,将△ABC沿直线m翻折,点B落在点D的位置,则∠1﹣∠2的度数是()A.33°B.56°C.65°D.66°7.如图,点D,E在△ABC边上,沿DE将△ADE翻折,点A的对应点为点A′,∠A′EC=40°,∠A′DB=110°,则∠A等于()A.30°B.35°C.60°D.70°8.一张△ABC纸片,点M、N分别是AB、AC上的点,若沿直线MN折叠后,点A落在AC边的下面A′的位置,如图所示.则∠1,∠2,∠A之间的数量关系是()A.∠1=∠2+∠A B.∠1=2∠2+∠A C.∠1=∠2+2∠A D.∠1=2∠2+2∠A 9.已知一个多边形的每一个外角都相等,一个内角与一个外角的度数之比是3:1,这个多边形的边数是()A.8 B.9 C.10 D.1210.如图,一副分别含有60°和45°角的两个直角三角板,拼成如下图形,其中∠C=90°,∠BAC=45°,∠EDC=60°,则∠BFD的度数是()A.15°B.25°C.30°D.10°二.填空题11.三角形两边长分别是2,4,第三边长为偶数,第三边长为.12.如果将一副三角板按如图方式叠放,那么∠1=.13.如图,AC⊥DE,垂足为O.∠B=40°,∠E=30°.则∠A=度.14.如图,一块试验田的形状是三角形(设其为△ABC),管理员从BC边上的一点D出发,沿DC→CA→AB→BD的方向走了一圈回到D处,则管理员从出发到回到原处在途中身体转过°.15.木工师傅做完房门后,为防止变形钉上两条斜拉的木条这样做的根据是.16.如图,△ABC中,AD⊥BC,AE平分∠BAC,∠B=40°,∠C=60°,∠DAE的度数为.三.解答题17.问题1现有一张△ABC纸片,点D、E分别是△ABC边上两点,若沿直线DE折叠.研究(1):如果折成图①的形状,使A点落在CE上,则∠1与∠A的数量关系是研究(2):如果折成图②的形状,猜想∠1+∠2和∠A的数量关系是研究(3):如果折成图③的形状,猜想∠1、∠2和∠A的数量关系,并说明理由.问题2研究(4):将问题1推广,如图④,将四边形ABCD纸片沿EF折叠,使点A、B落在四边形EFCD的内部时,∠1+∠2与∠A、∠B之间的数量关系是.18.已知△ABC中,三边长a、b、c,且满足a=b+2,b=c+1(1)试说明b一定大于3;(2)若这个三角形周长为22,求a、b、c.19.如图,点A、B分别在射线OM、ON上运动(不与点O重合).(1)如图1,若∠MON=90°,∠OBA、∠OAB的平分线交于点C,则∠ACB=°;(2)如图2,若∠MON=n°,∠OBA、∠OAB的平分线交于点C,求∠ACB的度数;(3)如图2,若∠MON=n°,△AOB的外角∠ABN、∠BAM的平分线交于点D,求∠ACB与∠ADB之间的数量关系,并求出∠ADB的度数;(4)如图3,若∠MON=80°,BC是∠ABN的平分线,BC的反向延长线与∠OAB的平分线交于点E.试问:随着点A、B的运动,∠E的大小会变吗?如果不会,求∠E的度数;如果会,请说明理由.20.在凸四边形ABCD中,∠A﹣∠B=∠B﹣∠C=∠C﹣∠D>0,且四个内角中有一个角为84°,求其余各角的度数.21.如图,直线AE⊥BF于O,将一个三角板ABO如图放置(∠BAO=30°),两直角边与直线BF,AE重合,P为直线BF上一动点,BC平分∠ABP,PC平分∠APF,点D在直线PC 上,且OD平分∠POE.(1)求∠BGO的度数;(2)试确定∠C与∠OAP之间的数量关系并说明理由;(3)P在直线上运动,∠C+∠D的值是否变化?若发生变化,说明理由;若不变求其值.22.已知如图①,BP、CP分别是△ABC的外角∠CBD、∠BCE的角平分线,BQ、CQ分别是∠PBC、∠PCB的角平分线,BM、CN分别是∠PBD、∠PCE的角平分线,∠BAC=α.(1)当α=40°时,∠BPC=°,∠BQC=°;(2)当α=°时,BM∥CN;(3)如图②,当α=120°时,BM、CN所在直线交于点O,求∠BOC的度数;(4)在α>60°的条件下,直接写出∠BPC、∠BQC、∠BOC三角之间的数量关系:.23.在平面直角坐标系中,A(﹣1,0),B(0,2),点C在x轴上.(1)如图(1),若△ABC的面积为3,则点C的坐标为.(2)如图(2),过点B点作y轴的垂线BM,点E是射线BM上的一动点,∠AOE的平分线交直线BM于F,OG⊥OF且交直线BM于G,当点E在射线BM上滑动时,的值是否变化?若不变,请求出其值;若变化,请说明理由.参考答案一.选择题1.解:设组成三角形的第三边长为x,由题意得:6﹣4<x<6+4,即:2<x<10,故选:B.2.解:根据n边形的内角和公式,得(n﹣2)•180=1080,解得n=8.∴这个多边形的边数是8.故选:C.3.解:∵∠B+∠D+∠DAB+∠BCD=360°,∠B+∠CDA=140°,∴∠DAB+∠BCD=360°﹣140°=220°,∵∠α+∠β+∠DAB+∠BCD=360°,∴∠α+∠β=360°﹣220°=140°.故选:D.4.解:∵∠A+∠B+∠ACB=180°,∠ACB=100°,∠A=20°,∴∠B=60°,根据翻折不变性可知:∠CB′D=∠B=60°,∵∠DB′C=∠A+∠ADB′,∴60°=20°+∠ADB′,∴∠ADB′=40°,故选:A.5.解:选其中10cm,7cm,5cm三条线段符合三角形的成形条件,能组成三角形;选其中10cm,7cm,3cm三条线段不符合三角形的成形条件,不能组成三角形;选其中10cm,5cm,3cm三条线段不符合三角形的成形条件,不能组成三角形;选其中7cm,5cm,3cm三条线段符合三角形的成形条件,能组成三角形.故选:B.6.解:如图,由折叠的性质得:∠D=∠B=33°,根据外角性质得:∠1=∠3+∠B,∠3=∠2+∠D,∴∠1=∠2+∠D+∠B=∠2+2∠B=∠2+66°,∴∠1﹣∠2=66°.故选:D.7.解:∵∠A′EC=40°,∴∠AEC+∠A′EC=180°+40°=220°,由翻折可知:∠AED=∠A′ED=×220°=110°,∵∠A′DB=110°,∴∠A′DA=70°,由翻折可知:∠ADE=∠A′DE=A′DA=35°,∴∠A=180°﹣∠ADE﹣∠AED=35°.故选:B.8.解:如图:由折叠得:∠A=∠A′,∵∠1是△MDA的外角,∴∠1=∠A+∠MDA,同理:∠MDA=∠2+∠A′,∴∠1=∠A+∠2+∠A′,即:∠1=2∠A+∠2,故选:C.9.解:设这个多边形的外角为x°,则内角为3x°,由题意得:x+3x=180,解得x=45,这个多边形的边数:360°÷45°=8,故选:A.10.解:∵Rt△CDE中,∠C=90°,∠EDC=60°,∴∠BDF=180°﹣60°=120°,∵∠C=90°,∠BAC=45°,∴∠B=45°,∴∠BFD=180°﹣45°﹣120°=15°.故选:A.二.填空题(共6小题)11.解:设第三边为a,根据三角形的三边关系知,4﹣2<a<4+2.即2<a<6,由周长为偶数,则a为4.故答案为:4.12.解:给图中角标上序号,如图所示.∵∠2+∠3+45°=180°,∠2=30°,∴∠3=180°﹣30°﹣45°=105°,∴∠1=∠3=105°.故答案为:105°.13.解:∵AC⊥DE,∴∠COE=90°,∵∠E=30°,∴∠ACE=60°,∵∠ACE=∠B+∠A,∴∠A=20°.故答案为20.14.解:∵管理员走过一圈正好是三角形的外角和,∴从出发到回到原处在途中身体转过360°.故答案为:360.15.解:木工师傅做完房门后,为防止变形钉上两条斜拉的木条这样做的根据是:三角形的稳定性.16.解:∵△ABC中,∠B=40°,∠C=60°,∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=180°﹣40°﹣60°=80°,∵AE平分∠BAC,∴∠CAE=∠BAC=×80°=40°,∵AD⊥BC,∴∠CAD=90°﹣∠C=90°﹣60°=30°,∴∠DAE=∠CAE﹣∠CAD=40°﹣30°=10°.故答案为:10°.三.解答题(共7小题)17.解:(1)如图1,∠1=2∠A,理由是:由折叠得:∠A=∠DA′A,∵∠1=∠A+∠DA′A,∴∠1=2∠A;故答案为:∠1=2∠A;(2)如图2,猜想:∠1+∠2=2∠A,理由是:由折叠得:∠ADE=∠A′DE,∠AED=∠A′ED,∵∠ADB+∠AEC=360°,∴∠1+∠2=360°﹣∠ADE﹣∠A′DE﹣∠AED﹣∠A′ED=360°﹣2∠ADE﹣2∠AED,∴∠1+∠2=2(180°﹣∠ADE﹣∠AED)=2∠A;故答案为:∠1+∠2=2∠A;(3)如图3,∠2﹣∠1=2∠A,理由是:∵∠2=∠AFE+∠A,∠AFE=∠A′+∠1,∴∠2=∠A′+∠A+∠1,∵∠A=∠A′,∴∠2=2∠A+∠1,∴∠2﹣∠1=2∠A;(4)如图4,由折叠得:∠BMN=∠B′MN,∠ANM=∠A′NM,∵∠DNA+∠BMC=360°,∴∠1+∠2=360°﹣2∠BMN﹣2∠ANM,∵∠BMN+∠ANM=360°﹣∠A﹣∠B,∴∠1+∠2=360°﹣2(360°﹣∠A﹣∠B)=2(∠A+∠B)﹣360°,故答案为:∠1+∠2=2(∠A+∠B)﹣360°.18.解:(1)∵a=b+2,b=c+1,∴b=a﹣2,b=c+1,∴a﹣2=c+1,a﹣c=3,∴b一定大于3;(2)∵b=c+1,∴c=b﹣1,∴b+2+b+b﹣1=22,解得b=7,∴a=b+2=9,c=b﹣1=6.19.解:(1)∵∠MON=90°,∴∠OBA+∠OAB=90°,∵∠OBA、∠OAB的平分线交于点C,∴∠ABC+∠BAC=×90°=45°,∴∠ACB=180°﹣45°=135°;故答案为:135;(2)在△AOB中,∠OBA+∠OAB=180°﹣∠AOB=180°﹣n°,∵∠OBA、∠OAB的平分线交于点C,∴∠ABC+∠BAC=(∠OBA+∠OAB)=(180°﹣n°),即∠ABC+∠BAC=90°﹣n°,∴∠ACB=180°﹣(∠ABC+∠BAC)=180°﹣(90°﹣n°)=90°+n°;(3)∵BC、BD分别是∠OBA和∠NBA的角平分线,∴∠ABC=∠OBA,∠ABD=∠NBA,∠ABC+∠ABD=∠OBA+∠NBA,∠ABC+∠ABD=(∠OBA+∠NBA)=90°,即∠CBD=90°,同理:∠CAD=90°,∵四边形内角和等于360°,∴∠ACB+∠ADB=360°﹣90°﹣90°=180°,由(1)知:∠ACB=90°+n°,∴∠ADB=180°﹣(90°+n°)=90°﹣n°,∴∠ACB+∠ADB=180°,∠ADB=90°﹣n°;(4)∠E的度数不变,∠E=40°;理由如下:∵∠NBA=∠AOB+∠OAB,∴∠OAB=∠NBA﹣∠AOB,∵AE、BC分别是∠OAB和∠NBA的角平分线,∴∠BAE=∠OAB,∠CBA=∠NBA,∠CBA=∠E+∠BAE,即∠NBA=∠E+∠OAB,∠NBA=∠E+(∠NBA﹣80°),∠NBA=∠E+∠NBA﹣40°,∴∠E=40°.20.解:设∠A﹣∠B=∠B﹣∠C=∠C﹣∠D=x>0,则∠A>∠B>∠C>∠D,∠C=∠D+x,∠B=∠D+2x,∠A=∠D+3x,∵∠A+∠B+∠C+∠D=6x+4∠D=360°,∴∠D+x=90°.1、∠D=84°时,x=4°,∠A=96°,∠B=92°,∠C=88°;2、∠C=84°时,2x+4∠C=360°,x=12°,∠A=108°,∠B=96°,∠D=72°;3、∠B=84°时,﹣2x+4∠B=360°,x=﹣12°,∠A=72°,∠C=96°,∠D=108°(舍去);4、∠A=84°,﹣6x+4∠A=360°,x=﹣4,∠D=96°,∠C=92°,∠B=88°(舍去).21.解:(1)∵∠BAO=30°,∴∠ABO=60°,∵BC平分∠ABP,∴∠ABG=∠GBO=30°,∠BGO=∠BAG+∠ABG=60°.(2)∠APF=∠OAP+∠AOP∠C=∠APF﹣∠CBF=∠OAP+45°﹣30°=∠OAP+15°(3)∠C+∠D不变.如图1,∠CPF=∠OPD,∠CPF=∠C+30°,∠OPD=180°﹣45°﹣∠D∠C+30°=180°﹣45°﹣∠D∠C+∠D=105°.22.解:(1)∵∠DBC=∠A+∠ACB,∠BCE=∠A+∠ABC,∴∠DBC+∠BCE=180°+∠A=220°,∵BP、CP分别是△ABC的外角∠CBD、∠BCE的角平分线,∴∠CBP+∠BCP=(∠DBC+∠BCE)=110°,∴∠BPC=180°﹣110°=70°,∵BQ、CQ分别是∠PBC、∠PCB的角平分线,∴∠QBC=∠PBC,∠QCB=∠PCB,∴∠QBC+∠QCB=55°,∴∠BQC=180°﹣55°=125°;(2)∵BM∥CN,∴∠MBC+∠NCB=180°,∵BM、CN分别是∠PBD、∠PCE的角平分线,∠BAC=α,∴(∠DBC+∠BCE)=180°,即(180°+α)=180°,解得α=60°;(3)∵α=120°,∴∠MBC+∠NCB=(∠DBC+∠BCE)=(180°+α)=225°,∴∠BOC=225°﹣180°=45°;(4)∵α>60°,∠BPC=90°﹣α、∠BQC=135°﹣α、∠BOC=α﹣45°.∠BPC、∠BQC、∠BOC三角之间的数量关系:∠BPC+∠BQC+∠BOC=(90°﹣α)+(135°﹣α)+(α﹣45°)=180°.故答案为:70,125;60;∠BPC+∠BQC+∠BOC=180°.23.解:(1)∵A(﹣1,0),B(0,2),点C在x轴上.△ABC的面积为3,∴AC的长为3,则点C的坐标为(2,0)或(﹣4,0);故答案为:(2,0)或(﹣4,0);(2)∵∠AOE+∠EOx=180°,∴∠AOE+∠EOx=90°,即∠EOF+∠EOx=90°∵∠EOF+∠EOG=90°,∴∠EOG=∠EOx,∴FM∥x轴,∴∠GOx=∠EGO,∴∠EOG=∠EGO,∴∠BEO=2∠EGO,∵∠FOG=90°,∴∠EGO+∠OFG=90°,∵FM⊥y轴,∴∠BOF+∠OFG=90°,∴∠BOF=∠EGO,∴∠BEO=2∠BOF,∴=2.。