2019-2020学年上海市复旦附中高一(上)期末数学试卷(有答案解析)

2019-2020学年上海市中学高一上学期期末数学试题及答案解析一、单选题1．已知复数113z i =+，23z i =+（i 为虚数单位），在复平面内，12z z -对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】B【解析】利用复数的减法求出复数12z z -，即可得出复数12z z -对应的点所在的象限.【详解】复数113z i =+，23z i =+，()()1213322z z i i i ∴-=+-+=-+， 因此，复数12z z -在复平面内对应的点在第二象限. 故选B. 【点睛】本题考查复数的几何意义，同时也考查了复数的减法运算，利用复数的四则运算法则将复数表示为一般形式是解题的关键，考查计算能力，属于基础题.2．设点M 、N 均在双曲线22:143x y C -=上运动，1F 、2F 是双曲线C 的左、右焦点，则122MF MF MN +-的最小值为（ ） A ．B ．4C ．D ．以上都不对【解析】根据向量的运算，化简得1212222MF MF MN MO MN NO+-=-=，结合双曲线的性质，即可求解. 【详解】由题意，设O 为12,F F 的中点， 根据向量的运算，可得122222MF MFMN MO MN NO+-=-=，又由N 为双曲线22:143x y C -=上的动点，可得NO a ≥，所以122224MF MFMN NO a +-=≥=，即122MF MFMN+-的最小值为4.故选：B. 【点睛】本题主要考查了向量的运算，以及双曲线的标准方程及简单的几何性质的应用，其中解答中利用向量的运算，合理化简，结合双曲线的几何性质求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题. 3．已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C交于A ，B 两点.若222AF F B =││││，1AB BF =││││，则C 的方程为A ．2212x y += B ．22132x y += C ．22143x y += D ．22154x y +=【答案】B【解析】由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，得12AF n =，在1AF B △中求得11cos 3F AB ∠=，再在12AF F △中，由余弦定理得n =，从而可求解.法一：如图，由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，由椭圆的定义有121224,22aBF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在1AF B △中，由余弦定理推论得22214991cos 2233n n n F AB n n +-∠==⋅⋅．在12AF F △中，由余弦定理得2214422243n n n n +-⋅⋅⋅=，解得32n =． 2222423,3,312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．法二：由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在12AF F △和12BF F △中，由余弦定理得2221222144222cos 4,422cos 9n n AF F n n n BF F n⎧+-⋅⋅⋅∠=⎨+-⋅⋅⋅∠=⎩，又2121,AF F BF F ∠∠互补，2121cos cos 0AF F BF F ∴∠+∠=，两式消去2121cos cos AF F BF F ∠∠,，得223611n n +=，解得3n =．2222423,3,312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．【点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好的落实了直观想象、逻辑二、填空题4．椭圆22154x y +=的焦距等于________【答案】2【解析】根据椭圆方程，求出,a b ，即可求解. 【详解】设椭圆的焦距为2c ，椭圆方程为22154x y +=， 225,4,1a b c ∴==∴=.故答案为:2. 【点睛】本题考查椭圆标准方程及参数的几何意义，属于基础题.5．双曲线221169x y -=的两条渐近线的方程为________.【答案】34yx 【解析】令220169x y -=解得结果【详解】令220169x y -=解得两条渐近线的方程为34yx 【点睛】本题考查双曲线渐近线的方程，考查基本分析求解能力，属基础题.6．若线性方程组的增广矩阵是123c ⎛⎫⎪，其解为1x =⎧⎨，则12c c +=________【答案】6【解析】本题可先根据增广矩阵还原出相应的线性方程组，然后将解11x y =⎧⎨=⎩代入线性方程组即可得到1c 、2c 的值，最终可得出结果． 【详解】解：由题意，可知：此增广矩阵对应的线性方程组为：1223x y c y c +=⎧⎨=⎩， 将解11x y =⎧⎨=⎩代入上面方程组，可得：1251c c =⎧⎨=⎩． 126c c ∴+=．故答案为：6． 【点睛】本题主要考查线性方程组与增广矩阵的对应关系，以及根据线性方程组的解求参数．本题属基础题． 7．已知复数22iz i+=，则z 的虚部为________．【答案】-1【解析】先根据复数的除法中的分母实数化计算出z 的结果，然后根据z 的结果直接确定虚部. 【详解】 因为()22242122242i i i i z i i i i +⋅+-====-⋅-，所以z 虚部为1-.【点睛】（1）复数的除法运算，采用分母实数化的方法，根据“平方差公式”的形式完成分母实数化；（2）复数z a bi =+，则z 的实部为a ，虚部为b ，注意实、虚部都是数值.8．圆22240x y x y +-+=的圆心到直线3450x y +-=的距离等于________。

2019-2020 学年上海市高一（上）期末数学试卷题号 得分一 二 三 总分第 I 卷（选择题）一、选择题（本大题共 4 小题，共 20.0 分） 1. 下列选项中，表示的是同一函数的是( )A. B. D. ( ) = , ( ) = − 1)2( ) = 2, ( ) = ( 2 √2≥ 0C. = {, = | |( ) = √, ( ) = √ ( ) < 0√2. 设非零实数 ，则“ ≥ 2”是“ ≥ 3”成立的( )2A. C.B. D. 充分不必要条件 充要条件必要不充分条件 既不充分也不必要条件3. 函数的图象可能是( )B.D.C. 4. 若函数 的定义域是[−1,4]，则 = − 1)的定义域是( )B. C. D.[−3,7]A. 5]2[−1,4] [−5,5][0, 第 II 卷（非选择题）二、填空题（本大题共 12 小题，共 36.0 分） 5. 函数= √的定义域是________．6. 集合 = {1,2，3}， = ∈ ，则用列举法表示 为________． 2B 7. 若 ， ∈，且= 0，则的最小值为___________．x −8. 已知函数 =__________． = 2lg(的图象经过点(2,2 2)，则 = + > 0且 ≠ 1)的图象恒过定点 2)，则 +9. 若+),则log的值为__________√210. 若幂函数=________________．√11. 已知集合 = |围是__________． 1 = 0, ∈ ，若集合 是有限集，则实数 的取值范2A a 12. 函数=，< 2) 的反函数是______ ．2 13. 若奇函数______ ． 在(∞, 0)内是减函数，且= 0，则不等式 ⋅> 0的解集为√ √ ≥ 0< 014. 设函数 = {，若 = 2，则实数 =______． ++ > 0，若函数 = ≤ 0 15. 已知函数= { + 有且只有一个零点，则实2 2 +数 的取值范围是________． a 16. 若曲线 = |21|与直线 = 有两个公共点，则 的取值范围是____.b 三、解答题（本大题共 5 小题，共 38.0 分） 17. 已知集合 =1 ⩽ 2⩽ 32}，集合 = < 2 或 > 2}．2(1)求 ∩ ； (2)若 = { | ≤1}，且 ⊆ ，求实数 的取值范围．a 1+ 1， ≤ 0；(2)若 > 0，解关于 的不等式18. 已知 =+ 2(1)当 = 2时，解不等式≥ 0．x19.某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产万件，需另投入的成本为x单位：万元)，当年产量小于80万件时，=1+；当年产量不小于231000−1450.假设每万件该产品的售价为50万元，且该厂80万件时，=+当年生产的该产品能全部销售完．(1)写出年利润万元)关于年产量万件)的函数关系式；(2)年产量为多少万件时，该厂在该产品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？20.已知函数=是定义在上的奇函数，当>0时，=2−，其中∈R(1)求函数=(2)若函数=(3)当=0时，若的解析式；在区间(0,+∞)不单调，求出实数的取值范围；a∈(−1,1)，不等式−+−2>0成立，求实2数的取值范围．k21.若函数=log−有零点，求实数a的取值范围．32答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查同一函数的判断，结合条件分别判断两个函数的定义域和对应法则是否相同是解决本题的关键，属于基础题．分别判断两个函数的定义域和对应法则是否相同即可．【解答】解：的定义域是R，的定义域为[0,+∞)，两个函数的定义域不相同，不是同一函数；B.两个函数的对应法则不相同，不是同一函数；+1≥0−1>0≥−1 >1C.由{，得{，即>1，由⩾0得>1或≤−1，两个函数的定义域不相同，不是同一函数；D.由已知有故选D．=，两个函数的定义域和对应法则相同，是同一函数．2.【答案】B【解析】只有当同号时，“2+2≥”才是“+≥3”成立的充要条件.而由+≥3可知同号，故+≥2．23.【答案】C【解析】【分析】本题考查函数的性质与函数图象的识别，属于中档题．根据函数值的符号即可选择出正确选项．【解答】解：当>0时，+1>1，+1|>0，故>0，即可排除A，B两项；当−2<<−1时，>0，即可排除D选项．4.【答案】A【解析】∵函数的定义域是[−1,4]，∴函数=−1)的定义域满足−1≤−1≤4，∴0≤≤5，2∴=−1)的定义域是[0,5]．25.【答案】(−∞,1)∪(1,4]【解析】【分析】本题主要考查定义域问题，分母和偶次下的取值问题．【解答】4−≥0解：由题意得{，−1≠0解得≤4且≠1．故答案为(−∞,1)∪(1,4]．6.【答案】{3,6，11}【解析】【分析】本题考查了集合内的元素的特征，要满足：确定性，无序性，互异性，属于基础题．集合内的元素要满足：确定性，无序性，互异性．【解答】解：={1,2，3}，=2+∈．∴={3,6,11}故答案为{3,6，11}.7.【答案】18【解析】【分析】本题考查利用基本不等式求最值，注意等号成立的条件，属于中档题．由题意，可得2+8=1，利用基本不等式即可求出+的最小值．∵ ， ∈ ，且 = 0，− ∴ =，8= 1， = (∴ 2 ∴) · (28) =10 ≥ 2√ · 10 = 18，= 当且仅当 所以，即 = = 12时等号成立，的最小值为 18，故答案为 18． 8.【答案】3【解析】 【分析】本题考查指数函数的性质，关键是掌握该种题型的求解方法，是基础题． 由题知 恒过定点(2,1)，∴= 2， = 1，= 3．【解答】解：由指数函数 = 的图象过定点(0,1)，所以，函数 即 = 2,1= > 0且 ≠ 1)的图象恒过定点(2,1 = 3．，= 2，故故答案为：3． 9.【答案】4【解析】 【分析】 由= 2lg( −)，先求出 的值，然后再求的值．本题考查对数的运算性质，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的灵活运用． 【解答】 解：∵ = 2lg( − )，∴ = ( − )2， > 0, > 0, − > 0，∴ ( ) − 5( ) 4 = 0， 解得 = 1(舍去)或 = 4，∴ l og= log 4 = 4 ∴−= 0，2 2 2 ．√2√2故答案为4．10.【答案】27【解析】【分析】本题考查了求函数的解析式与计算函数值的应用问题，是基础题目．用待定系数法求出幂函数=的解析式，再计算的值．【解答】解：设幂函数==，∈，且图象过点(2,22)，√∴2=2√2，3解得=，23 2；∴∴=3．=9=272故答案为27．11.【答案】≥−1【解析】当=0时，=−1，满足；当≠0时，由=4+得，≥−1.综上，实数的取值范围是≥−1．12.【答案】=−√>4)【解析】【分析】本题考查反函数的定义的应用，考查计算能力．直接利用反函数的定义求解即可．【解答】解：函数=2，<−2)，则>4．可得=−，√所以函数的反函数为：=−√>4)．故答案为：=−√>4)．13.【答案】(−2,0) ∪ (0,2)【解析】解：奇函数 在(−∞, 0)内是减函数，则 且在(0, +∞)内是减函数． == 0，> 0> 0 =< 0< 0 =不等式 ⋅ > 0 > 0等价为 或 ，< 0，即有或 < 2 > −2 即有0 < < 2或−2 < < 0． 则解集为(−2,0) ∪ (0,2)． 故答案为：(−2,0) ∪ (0,2) 奇函数 在(−∞, 0)内是减函数，则在(0, +∞)内是减函数．且 == 0，> 0< 0不等式 ⋅> 0等价为 或 ，运用单调性去掉 ，f> 0 =< 0 =解出它们，再求并集即可．本题考查函数的奇偶性和单调性的运用：解不等式，注意讨论 的范围，属于中档题．x 14.【答案】±1【解析】解：由分段函数可知 ∴由= 2得= 2 − 1 = 1．若 < 0，则√ = 1，解得 = −1．= 1，+若 ≥ 0，则√ = 1，解得 = 1， ∴ = ±1， 故答案为：±1．根据分段函数的表达式，解方程即可． 本题主要考查分段函数的应用，注意 自变量的取值范围．【解析】【分析】本题考查了函数的性质，图象的运用，利用函数的交点问题解决函数零点问题，属于中档题．化简构造得出= +>0与=≤02有且只有一个交点，利用函数的图象的交点求解即可．2+【解答】解+>0，若=≤0：∵函数=2+有且只有一个零点，2++>0与=≤0∴=2有且只有一个交点，2+根据图形得出：>1，∴<−1故答案为<−1．16.【答案】(0,1)【解析】【分析】画出图像可得解．【解答】解：曲线=−1|与直线=如图所示．由图像可得，的取值范围是(0,1)．b故答案为(0,1)．17.【答案】解：(1)∵=∴∩=(2,5]；−1≤≤5}，=<−2或>2}，(2)∵⊆，且=≤−1}，∴−1≥5，解得≥6，∴实数的取值范围为[6,+∞)．a【解析】本题考查了描述法的定义，交集的定义及运算，子集的定义，考查了计算能力，属于基础题．(1)可以求出=−1≤≤5}，然后进行交集的运算即可；(2)根据⊆即可得出−1≥5，解出的范围即可．a18.【答案】解：12= 2时，不等式化为− − 2) ≤ 0，∴ 1 ≤ ≤ 2，21 2≤≤ 2}；∴不等式的解集为 (2)由题意得 =−− )，1 11}；当0 << 1时， < ，不等式解集为≤ 或 ≥ 1 当 = 1时， = ，不等式解集为 ； R 1 1 }.≥ 或 ≤当 > 1时， > ，不等式解集为【解析】本题考查不等式的解法，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．= 2时，不等式化为− 1− 2) ≤ 0，即可解不等式≤ 0，2(2)若 > 0，分类讨论解关于 的不等式≥ 0．x 19.【答案】【解答】解：(1)①当0 < < 80时，根据年利润=销售收入−成本， ∴=− 1−− 250 = − 1+2− 250；2 33 ②当 ≥ 80时，根据年利润=销售收入−成本， ∴=−− 10000 + 1450 − 250 = 1200 −+ 10000)．− 1 + − 250(0 < < 80)2 综合①②可得，= { 3 ； 1200 − + 10000≥ 80) − 250(0 < < 80) − 1 + 2 (2)由(1)可知，= { 3 , 1200 − + 10000≥ 80)①当0 < < 80时，= − 2 +1− 250 = − 13− 60)2 + 950，3∴当 = 60时， ②当 ≥ 80时，取得最大值 = 950万元； = 1200 −+ 10000) ≤ 1200 −⋅ 10000 = 1200 − 200 = 1000， = 1000万元．当且仅当 = 10000，即 = 100时， 综合①②，由于950 < 1000，取得最大值∴当产量为 100 万件时，该厂在这一商品中所获利润最大，最大利润为1000 万元．【解析】【试题解析】本题主要考查函数模型的选择与应用，属于一般题目． (1)分两种情况进行研究，当0 < < 80时，投入成本为= 13+万元)，根据 2 年利润=销售收入−成本，列出函数关系式，当 ≥ 80时，投入成本为 =+1450，根据年利润=销售收入−成本，列出函数关系式，最后写成分段函数的形式，从而得到答案；(2)根据年利润的解析式，分段研究函数的最值，当0 << 80时，利用二次函数求最值，当 ≥ 80时，利用基本不等式求最值，最后比较两个最值，即可得到答案．20.【答案】解：(1)由 是定义在 上的奇函数，所以R= 0，又 > 0时， =2 −，所以 < 0时， > 0， 所以==2 − ，− ≥ 02 所以函数的解析式为 = ; −< 02 (2)当 > 0时，=−，2 ①若 ≤ 0，由 = ⩽ 0知，在(0, +∞)上递增，不合题意；2> 0， = ∈ (0, +∞)，2所以 在(0, +∞)上先减再增，符合函数在(0, +∞)上不单调，综上，实数 的取值范围为 > 0； a 2,≥ 0(3)当 = 0时， =，2, < 0可得函数 是定义域 上的单调递增，R又 是定义域 上的奇函数，R由 ∈ (−1,1)， ∈ (−1,1)，∈ (−1,1)，2 − 2− + 2 − −> 0成立， 2)成立，可得 ∴> −>−2 2⇒ < −=− 3) − 92，2 8 16 ∵ ∈ (−1,1)，∴ (−) ∈ [− 9 , 7),2 16【解析】本题主要考查了函数的解析式、不等式存在性问题，涉及函数的奇偶性、单调 性，属于中档题． (1)由函数的奇偶性先求导求得 < 0的解析式，总结可得(2)结合二次函数的单调性，分类讨论即可求得 的取值范围；= 0，在由 < 0转化为> 0，根据奇函数=在 上的解析式；R a = 0时，结合函数的单调性、奇偶性得到 不等式存在性问题即可求解． 21.【答案】解：因为 ∈ (−1,1)， < − ，进而根据2 2 −有零点，= log 3所以log 3 2 −= 0有解，所以2 −= 1有解．当 = 0时， = −1； 当 ≠ 0时，若2 −− 1 = 0有解，1 则 = 1 +≥ 0，解得 ≥ − 且 ≠ 0．41 综上，实数 的取值范围是[ − ，+∞)．a 4【解析】函数 = log 32 − 有零点，即 2 −= 1有解，讨论 = 0和 ≠ 0两种情况求解即可．本题主要考查函数模型的选择与应用，属于一般题目． (1)分两种情况进行研究，当0 < < 80时，投入成本为= 13+万元)，根据 2 年利润=销售收入−成本，列出函数关系式，当 ≥ 80时，投入成本为 =+10000 −1450，根据年利润=销售收入−成本，列出函数关系式，最后写成分段函数的形式，从而得到答案；(2)根据年利润的解析式，分段研究函数的最值，当0 << 80时，利用二次函数求最值，当 ≥ 80时，利用基本不等式求最值，最后比较两个最值，即可得到答案．20.【答案】解：(1)由 是定义在 上的奇函数，所以R= 0，又 > 0时， =2 −，所以 < 0时， > 0， 所以==2 − ，− ≥ 02 所以函数的解析式为 = ; −< 02 (2)当 > 0时，=−，2 ①若 ≤ 0，由 = ⩽ 0知，在(0, +∞)上递增，不合题意；2> 0， = ∈ (0, +∞)，2所以 在(0, +∞)上先减再增，符合函数在(0, +∞)上不单调，综上，实数 的取值范围为 > 0； a 2,≥ 0(3)当 = 0时， =，2, < 0可得函数 是定义域 上的单调递增，R又 是定义域 上的奇函数，R由 ∈ (−1,1)， ∈ (−1,1)，∈ (−1,1)，2 − 2− + 2 − −> 0成立， 2)成立，可得 ∴> −>−2 2⇒ < −=− 3) − 92，2 8 16 ∵ ∈ (−1,1)，∴ (−) ∈ [− 9 , 7),2 16【解析】本题主要考查了函数的解析式、不等式存在性问题，涉及函数的奇偶性、单调 性，属于中档题． (1)由函数的奇偶性先求导求得 < 0的解析式，总结可得(2)结合二次函数的单调性，分类讨论即可求得 的取值范围；= 0，在由 < 0转化为> 0，根据奇函数=在 上的解析式；R a = 0时，结合函数的单调性、奇偶性得到 不等式存在性问题即可求解． 21.【答案】解：因为 ∈ (−1,1)， < − ，进而根据2 2 −有零点，= log 3所以log 3 2 −= 0有解，所以2 −= 1有解．当 = 0时， = −1； 当 ≠ 0时，若2 −− 1 = 0有解，1 则 = 1 +≥ 0，解得 ≥ − 且 ≠ 0．41 综上，实数 的取值范围是[ − ，+∞)．a 4【解析】函数 = log 32 − 有零点，即 2 −= 1有解，讨论 = 0和 ≠ 0两种情况求解即可．。

复旦附中高一上期末数学试卷2020.01一、填空题1．函数12log (5)y x =-的定义域为 ．2．函数2()1(1)f x x x =+-≤的反函数为 ． 3．已知2log 3a =，试用a 表示9log 12= ． 4．幂函数223()(1)(,)mm f x a x a m --=-∈N 为偶函数，且在(0,)+∞上是减函数，则a m += ．5．函数23log ()y x x =-的递增区间为 ．6．方程22log (95)log (32)2x x -=-+的解为x = ．7．已知关于x 的方程2240x kx k k +++-=有两个实数根，且一根大于2，一根小于2，则实数k 的取值范围为 ．8．若函数6,2,()3log ,2,a x x f x x x -+⎧=⎨+>⎩≤（0a >且1a ≠）的值域是[4,)+∞，则实数a 的取值范围 ．9．已知1()(33)2x x f x -=-的反函数为1()f x -，当[3,5]x ∈-时，函数1()(1)1F x f x -=-+的最大值为M ，最小值为m ，则M m += ．10．对于函数(),y f x x D =∈，若对任意,,a b c D ∈，(),(),()f a f b f c 都可为某一三角形的三边长，则称()f x 为“三角形函数”．已知()1x x e tf x e +=+是三角形函数，则实数t 的取值范围是 ．11．若关于x 的方程54(4)|5|x x m x x+--=在(0,)+∞内恰好有三个相异实根，则实数m 的取值范围是 ．12．已知函数2131()1log 12x x k x f x xx ⎧-++⎪=⎨-+>⎪⎩≤，2()lg(2)()1xg x a x a x =⋅++∈+R ，若对任意的 {}12,|,2x x x x x ∈∈>-R ，均有12()()f x g x ≤，则实数k 的取值范围是 ．二、选择题13．若命题甲：10x -=，命题乙：2lg lg 0x x -=，则命题甲是命题乙的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分也非必要条件14．下列函数中既是偶函数，又在(0,)+∞上单调递增的是（ ） A ．1||y x = B ．2y x -= C ．2|log |y x = D ．23y x =15．设函数()f x 的定义域为R ，有下列三个命题：（1）若存在常数M ，使得对任意x ∈R , 有()f x M ≤，则M 是函数()f x 的最大值； （2）若存在0x ∈R , 使得对任意x ∈R , 且0x x ≠, 有0()()f x f x <，则0()f x 是函数()f x 的最大值；（3）若存在0x ∈R , 使得对任意x ∈R , 有0()()f x f x ≤，则0()f x 是函数()f x 的最大值． 这些命题中，真命题的个数是（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 16．已知函数2()2x f x m x nx =⋅++，记集合{|()0,}A x f x x ==∈R ，集合{|[()]0,}B x f f x x ==∈R ，若A B =，且都不是空集，则m n +的取值范围是（ ）A ．[0,4)B ．[1,4)-C ．[3,5]-D ．[0,7)三、解答题17．已知函数1()421x x f x a +=-⋅+． （1）若1a =，解方程：()4f x =；（2）若()f x 在[1,1]-上存在零点，求实数a 的取值范围．18．已知函数21()log 1axf x x -=-的图像关于原点对称，其中a 为常数． （1）求a 的值； （2）设集合4{|1}7A x x=-≥，2={|()log (1)}B x f x x m +-<，若A B ≠∅I ，求实数m 的 取值范围．19．近年来，雾霾日趋严重，我们的工作．生活受到了严重的影响，如何改善空气质量已成为当今的热点问题．某空气净化器制造厂，决定投入生产某型号的空气净化器，根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产该型号空气净化器x （百台），其总成本为()P x （万元），其中固定成本为12万元，并且每生产1百台的生产成本为10万元（总成本=固定成本+生产成本）．销售收入()Q x （万元）满足20.522,(016)()224,(16)x x x Q x x ⎧-+=⎨>⎩≤≤，假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉），根据上述统计规律，请完成下列问题：（1）求利润函数()y f x =的解析式（利润＝销售收入−总成本）； （2）工厂生产多少百台产品时，可使利润最多？20．若函数()f x 满足：对于其定义域D 内的任何一个自变量0x ，都有函数值0()f x D ∈， 则称函数()f x 在D 上封闭．（1）若下列函数的定义域为(0,1)D =，试判断其中哪些在D 上封闭，并说明理由． 1()21f x x =-，2()21x f x =-；（2）若函数5()2x ag x x -=+的定义域为(1,2)，是否存在实数a ，使得()g x 在其定义域(1,2)上 封闭？若存在，求出所有a 的值，并给出证明；若不存在，请说明理由．（3）已知函数()f x 在其定义域D 上封闭，且单调递增．若0x D ∈且00(())f f x x =，求证： 00()f x x =．21．已知函数||0()20x x a x f x x +⎧=⎨<⎩≥，其中a ∈R ．（1）若1a =-，解不等式1()4f x ≥；（2）设0a >，21()log ()g x f x =，若对任意的1[,2]2t ∈，函数()g x 在区间[,2]t t +上的最大值和最小值的差不超过1，求实数a 的取值范围；（3）已知函数()y f x =存在反函数，其反函数记为1()y f x -=．若关于x 的不等式：12(4)()|2|f a f x x a --+-≤在[0,)x ∈+∞上恒成立，求实数a 的取值范围．参考答案一、填空题1．(,5)-∞ 2．1,(2)y x x =--≥ 3．22a a+ 4．3 5．(1,)+∞ 6．1 7．(3,0)- 8．(1,2] 9．2 10．1[,2]211．415(6,) 12．3(,]4-∞-【第9题解析】易知()f x 为R 上单调递增的奇函数，从而可知1()f x -也是R 上单调递增的奇函数，1()(1)1F x f x -=-+是由1()f x -向右、向上平移1个单位，∴()F x 在[3,5]x ∈-上单调递增，且关于点(1,1)中心对称，∴122M mM m +=⇒+=．【第10题解析】即min max 2()()f x f x >，111()1111x x x x xe t e t tf x e e e +++--===++++， ①当10t ->，即1t >时，()f x 在R 上单调递减，()(1,)f x t ∈，∴21t ⋅≥，解得(1,2]t ∈； ②当10t -=，即1t =时，()1f x =符合题意；③当10t -<，即1t <时，()f x 在R 上单调递增，()(,1)f x t ∈，∴21t ⋅≥，解得1[,1)2t ∈；综上，1[,2]2t ∈．【第11题解析】记92594,,5054()45141259,509,0x x x x x x xf x x x x x x x x x x x x ⎧⎧-+-+-⎪⎪⎪⎪⎛⎫=+--==⎨⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪+-<+<<⎪⎪⎩⎩≥≥，函数图象如图所示，研究函数单调性可得，10,3x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()f x 单调递减，125,3x ⎛⎤∈ ⎥ ⎝⎦时，()f x 单调递增，25,x ⎛⎫∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭时，()f x 单调递减，125,3m f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭时， 原方程在(0,)+∞内恰有三个相异实根，即4156,m ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭．【第12题解析】121max 2min ()()()()f x g x f x g x ⇒≤≤，而lg(2)x +∈R ，∴0a =，∴2()(2)1x g x x x =>-+，()g x 的值域为11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， 当1x >时，()f x 单调递减，1()(1)2f x f <=-，满足满足题设条件；当1x ≤，max 1113()2424f x f k k ⎛⎫==+-⇒- ⎪⎝⎭≤≤；综上，3,4k ⎛⎤∈-∞- ⎥⎝⎦．二、选择题13．A 14．D 15．C 16．A 【第16题解析】 设0x A ∈，则0()0f x =，又A B =，所以0x B ∈，即0[()](0)0f f x f ==，所以0m =，2()f x x nx =+． 由22222[()]()()()()0f f x x nx n x nx x nx x nx n =+++=+++=． 若0n =时，则{0}A B ==，满足题意； 若0n ≠时，由方程()0f x =的根为0和n -． 而0和n -不是方程20x nx n ++=的根，所以方程20x nx n ++=无解，即240n n ∆=-<，解得(0,4)n ∈ 综上所述，[0,4)n ∈，则m n +的取值范围是[0,4)．三、解答题17．（1）()42214x x f x =-⋅+=，23x =或21x =-（舍） 方程的解为2log 3x =．（2）令12[,2]2xt =∈，则2210t at -+=，2112t a t t t +==+，因为1t t +在1[,1]2上递减，[1,2]上递增，所以552[2,],[1,]24a a ∈∈18．（1）()f x 为奇函数，101axx ->-的解集关于原点对称，所以1a =-．此时21()log ,(11)1x f x x x x +=><--或，2211()log log ()11x x f x f x x x -+--===---+成立，故1a =-．（2）[3,7)A =22()log (1)log (1)f x x x m +-=+<在[3,7)上有解， 2log (1)[2,3), 2.x m +∈∴>Q解2：2log (1),012m x m x +<<+<，(1,21)m B =-- ,213, 2.m A B m ≠∅∴->>Q I19．（1）由题意得()1210P x x =+,则20.51212,016,()()()21210,16.x x x f x Q x P x x x ⎧-+-=-=⎨->⎩≤≤（2）当16x >时，函数()f x 递减，即有()212101652f x <-⨯=；当016x ≤≤时，函数2()0.5(12)60f x x =--+ 当12x =时，()f x 有最大值6052>综上可知，当工厂生产12百台时，可使利润最大为60万元．20．（1）当(0,1)x ∈时，1()21(1,1)f x x =-∈-，1()f x ∴在D 上不封闭；2()21(0,1)x f x =-∈，2()f x 在D 上封闭． （2）设存在实数a ，使得5()2x ag x x -=+在(1,2)上封闭， 即对一切(1,2)x ∈，5122x ax -<<+恒成立， 20,2524x x x a x +>∴+<-<+Q ，即3442x a x -<<-恒成立，34(1,2)2x a -∈-∴≥Q ；42(2,6)2x a -∈∴≤Q ．综上，满足条件的2a =． （3）假设00()f x x ≠，①若00()f x x >，00(),f x x D ∈Q ，()f x 在D 上单调递增， 00(())()f f x f x ∴>，即00()x f x >，矛盾；②若00()f x x <，00(),f x x D ∈Q ，()f x 在D 上单调递增， 00(())()f f x f x ∴<，即00()x f x <，矛盾．所以，假设不成立，00()f x x =．21．（1）1a =-时，|1|,0()2,0x x x f x x -⎧=⎨<⎩≥当0x ≥时，15335()|1|,,[0,][,)44444f x x x x x =-∴∈+∞≥≥或≤U ；当0x <时，1()2,2,[2,0)4x f x x x =-∴∈-≥≥．综上，35[2,][,)44x ∈-+∞U ．（2）22110,[,2],()log ()log ()a x t t g x f a x x >∈+∴==+Q 单调递减，max min 2211()()()(2)log ()log ()12g x g x g t g t a a t t -=-+=+-++≤，112()2a a t t +++≤，1222(2)t a t t t t --=++≥ 在1[,2]2t ∈上恒成立， 令32[0,]2m t =-∈，22()(2)(2)(4)68t m m h m t t m m m m -===+---+， 当0m =时，()0h m =，当3(0,]2m ∈时，1()86h m m m =+-，86m m +-Q 在3(0,]2上递减，83165666,()(0,]2365m h m m ∴+-≥+-=∈， 综上，65a ≥．（3）若0a <，则(0)(2)||f f a a =-=；若0a =，则11(1)()22f f -==；若01a <<，则2(0)(log )f f a a ==，1a ∴<时，()f x 没有反函数． 当1a ≥时，,0()2,0x x a x f x x +⎧=⎨<⎩≥ 为增函数，存在反函数，且()f x 的值域为(0,1)[,)a +∞U ． 令2()()|2|,[0,)F x f x x a x =+-∈+∞，则222223,2()|2|,2a x a a x F x x a x a a x a a x ⎧-+⎪⎪=++-=⎨⎪-++<⎪⎩≥ ， 22min ,()22a a x F x a ==+，所以21(4)2a f a a --+≤，因为()f x 是增函数，所以1()f x -也是增函数，2224()2,680,33224(0,1)[,),(3,4)(,2]1a a a f a a a a a a a a a a ⎧-+=++--+-⎪⎪⎪-∈+∞∈-∞⎨⎪⎪⎪⎩≤≥≥≤≥U U综上，3,2](3,4)a ∈U ．。

2019-2020学年上海中学高一（上）期末数学试卷一、填空题1. 函数f(x)=√2−x +ln (x −1)的定义域为________．2. 设函数f(x)=(x+1)(x−a)x 为奇函数，则实数a 的值为________．3. 已知y ＝log a x +2(a >0且a ≠1)的图象过定点P ，点P 在指数函数y ＝f(x)的图象上，则f(x)＝________．4. 方程92x+1＝(13)x 的解为________．5. 对任意正实数x ，y ，f(xy)＝f(x)+f(y)，f(9)＝4，则f(√3)=________．6. 已知幂函数f(x)＝(m 2−5m +7)x m 是R 上的增函数，则m 的值为________．7. 已知函数f(x)={2x (x ≤0)log 2x(0<x ≤1)的反函数是f −1(x)，则f −1(12)＝________．8. 函数y ＝log 34|x 2−6x +5|的单调递增区间为________．9. 若函数f(x)=log a (x 2−ax +2)(a >0且a ≠1)满足：对任意x 1，x 2，当x 1<x 2≤a 2时，f(x 1)−f(x 2)>0，则a 的取值范围为________√2） ．10. 已知x >0，定义f(x)表示不小于x 的最小整数，若f （3x +f(x)）＝f(6.5)，则正数x 的取值范围为________．11. 已知函数f(x)＝log a (mx +2)−log a (2m +1+2x )(a >0且a ≠1)只有一个零点，则实数m 的取值范围为________．12. 已知函数f(x)={log 12(1−x),−1≤x ≤n 22−|x−1|−3,n <x ≤m ，(n <m)的值域是[−1, 1]，有下列结论：（1）n ＝0时，m ∈(0, 2]；（2）n =12时，m ∈(12,2]；（3）n =[0,12)时，m ∈(n, 2]，其中正确的结论的序号为________．二、选择题下列函数中，是奇函数且在区间(1, +∞)上是增函数的是（ ）A.f(x)＝3|x|B.f(x)=1x −xC.f(x)＝−x 3D.f(x)＝−log 2x+1x−1已知f(x)是定义在R 上的偶函数，且在区间(−∞, 0)上单调递增，若实数m 满足f(|m −1|)>f(−1)，则m 的取值范围是（ ）A.(−∞, 0)∪(2, +∞)B.(−∞, 0)C.(0, 2)D.(2, +∞)如果函数f(x)在其定义域内存在实数x 0，使得f(x 0+1)＝f(x 0)+f(1)成立，则称函数f(x)为“可拆分函数”，若f(x)=lg a 2x +1为“可拆分函数”，则a 的取值范围是（ ）A.(32,3)B.(12,32)C.(32,3]D.(3, +∞]定义在(−1, 1)上的函数f(x)满足f(x)=1f(x−1)+1，当x ∈(−1, 0]时，f(x)=1x+1−1，若函数g(x)＝|f(x)−12|−mx −m 在(−1, 1)内恰有3个零点，则实数m 的取值范围是（ ）A.[14,916)B.(14,916)C.[14,12)D.(14,12) 三.解谷题已知函数f(x)＝2x −1的反函数是y ＝f −1(x)，g(x)＝log 4(3x +1)．（1）画出f(x)＝2x −1的图象；（2）解方程f −1(x)＝g(x)．已知定义在R 上的奇函数f(x)＝ka x −a −x （(a >0且a ≠1)，k ∈R)．（1）求k 的值，并用定义证明当a >1时，函数f(x)是R 上的增函数；（2）已知f(1)=32，求函数g(x)＝a 2x +a −2x 在区间[0, 1]上的取值范围．松江有轨电车项目正在如火如荼的进行中，通车后将给市民出行带来便利，已知某条线路通车后，电车的发车时间间隔t （单位：分钟）满足2≤t ≤20，经市场调研测算，电车载客量与发车时间间隔t 相关，当10≤t ≤20时电车为满载状态，载客量为400人，当2≤t <10时，载客量会减少，减少的人数与(10−t)的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客量为272人，记电车载客量为p(t)．(1)求p(t)的表达式，并求当发车时间间隔为6分钟时，电车的载客量；(2)若该线路每分钟的净收益为Q =6p(t)−1500t −60（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？对于定义域为D 的函数y ＝f(x)，若存在区间[a, b]⊂D ，使得f(x)同时满足，①f(x)在[a, b]上是单调函数，②当f(x)的定义域为[a, b]时，f(x)的值域也为[a, b]，则称区间[a, b]为该函数的一个“和谐区间”．（1）求出函数f(x)＝x 3的所有“和谐区间”[a, b]；（2）函数f(x)=|4x −3|是否存在“和谐区间”[a, b]？若存在，求出实数a ，b 的值；若不存在，请说明理由；（3）已知定义在(2, k)上的函数f(x)=2m −4x−1有“和谐区间”，求正整数k 取最小值时实数m 的取值范围．定义在R 上的函数g(x)和二次函数ℎ(x)满足：g(x)+2g(−x)＝e x +2e x −9，ℎ(−2)＝ℎ(0)＝1，ℎ(−3)＝−2．（1）求g(x)和ℎ(x)的解析式；（2）若对于x 1，x 2∈[−1, 1]，均有ℎ(x 1)+ax 1+5≥g(x 2)+3−e 成立，求a 的取值范围；（3）设f(x)={g(x),x >0ℎ(x),x ≤0，在（2）的条件下，讨论方程f[f(x)]＝a +5的解的个数．参考答案与试题解析2019-2020学年上海中学高一（上）期末数学试卷一、填空题1.【答案】此题暂无答案【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答2.【答案】此题暂无答案【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答3.【答案】此题暂无答案【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答4.【答案】此题暂无答案【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答5.【答案】此题暂无答案【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答6.【答案】此题暂无答案【解析】此题暂无解析此题暂无解答7.【答案】此题暂无答案【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答8.【答案】此题暂无答案【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答9.【答案】此题暂无答案【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答10.【答案】此题暂无答案【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答11.【答案】此题暂无答案【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答12.【答案】此题暂无答案【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答此题暂无答案【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答三.解谷题【答案】此题暂无答案【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【解析】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答。

2020-2021学年上海市复旦附中高一（上）期末数学试卷一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果 1．（4分）函数2()(2)f x log x =-的定义域为 ．2．（4分）不等式2233(1)(31)x x ->+的解集为 ．3．（4分）函数2()log (31)f x x =+，[0x ∈，5]的反函数是 ． 4．（4分）对于实数a ，b ，c ，d ，定义&||&a bad bc c d-=．设函数22(1)&1()||&1log x f x log x --=，则方程()1f x =的解为 ．5．（4分）若函数()1axf x x =+在区间(0,)+∞是严格增函数，则实数a 的取值范围是 ． 6．（4分）已知函数24()1,f x min log x x ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭，若函数()()g x f x =-恰有两个零点，则的取值范围为 ．7．（5分）已知函数15()||(0)2f x x x x =+->，则()f x 的递减区间是 ． 8．（5分）若函数()232x x f x -=+⋅的图象关于直线x m =成轴对称图形，则m = ． 9．（5分）若关于x 的不等式1|2|02x xm --<在区间[0，1]内恒成立，则实数m 的范围 ． 10．（5分）已知函数22()(815)()(f x x x ax bx c a =++++，b ，)c R ∈是偶函数，若方程21ax bx c ++=在区间[1，2]上有解，则实数a 的取值范围是 ．11．（5分）若函数22()(0)1x x a f x x x ++=+的值域为[a ，)+∞，则实数a 的取值范围是 ． 12．（5分）已知集合[A t =，1][4t t ++，9]t +，0A ∉，存在正数λ，使得对任意a A ∈，都有A aλ∈，则t 的值是 ．二、选择题（本大题共4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑13．（5分）已知()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x <时，()3x f x =，则函数()f x 的值域为( ) A ．(1,1)-B ．[0，1)C ．RD ．[0，1]14．（5分）中国的5G 技术领先世界，5G 技术的数学原理之一便是著名的香农公式：2(1)SC Wlog N=+，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C 取决于信道带宽W 、信道内信号的平均功率S 、信道内部的高斯噪声功率N 的大小，其中SN叫做信噪比．按照香农公式，若不改变带宽W ，而将信噪比SN从1000提升至5000，则C 大约增加了( )A ．20%B ．23%C ．28%D ．50%15．（5分）若函数1()f x lnx a x=-+在区间(1,)e （其中 2.71828)e =⋯上存在零点，则常数a 的取值范围( ) A ．01a <<B ．11a e <<C ．111a e -<<D ．111a e+<<16．（5分）设函数()f x 的定义域是R ，已知以下三个陈述句：p ：存在R α∈且0a ≠，对任意的x R ∈，均有(2)(2)x a x f f f -<+（a ）恒成立；1:()q f x 严格递减，且()0f x >恒成立；2:()q f x 严格递增，存在00x <，使得0()0f x =．用这三个陈述句组成了两个命题，命题S ：“若1q ，则P ”；命题T ：“若2q ，则P ”，则关于S ，T ，以下说法正确的是( ) A ．两个命题S ，T 都是真命题 B ．只有命题S 是真命题 C ．只有命题T 是真命题D ．两个命题S ，T 都不是真命题三、解答题（本大题共5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17．（14分）已知函数21()(51)m h x m m x +=-+为幂函数，且为奇函数． （1）求m 的值；（2）求函数()()g x h x =+在1[1,]2x ∈-的值域．18．（14分）已知函数12()||h x log x =．（1）求()h x 在11[,]()22a a >上的最大值；（2）设函数()f x 的定义域为I ，若存在区间A I ⊆，满足：对任何1x A ∈，都存在2x A ∈（其中A 表示A 在I 上的补集）使得12()()f x f x =，则称区间A 为()f x 的“Γ区间”．已知121()||([,2])2h x log x x =∈，若1(,)2A a =函数()h x 的“Γ区间”，求a 的最大值． 19．（14分）新冠肺炎疫情发生以后，口罩供不应求，某口罩厂日夜加班生产，为抗击疫情做贡献．生产口罩的固定成本为400万元，每生产x 万箱，需另投入成本()p x 万元，当产量不足60万箱时，21()502p x x x =+；当产量不小于60万箱时，6400()1011860p x x x=+-，若每箱口罩售价100元，通过市场分析，该口罩厂生产的口罩可以全部销售完． （1）求口罩销售利润y （万元）关于产量x （万箱）的函数关系式； （2）当产量为多少万箱时，该口罩生产厂在生产中所获得利润最大？ 20．（16分）设0a >，函数1()12xf x a =+⋅． （1）若1a =，求()f x 的反函数1()f x -；（2）求函数()()y f x f x =⋅-的最大值（用a 表示）；（3）设()()(1)g x f x f x =--．若对任意(x ∈-∞，0]，()(0)g x g 恒成立，求a 的取值范围． 21．（18分）已知函数()||f x x x a =-，其中a 为常数． （1）当1a =时，解不等式()2f x <；（2）若()f x 是奇函数，判断并证明()f x 的单调性；（3）若在[0，2]上存在2021个不同的实数(1i x i =，2，⋯，2021)，122021x x x <<⋯<，使得122320202021|()()||()()||()()|8f x f x f x f x f x f x -+-+⋯+-=，求实数a 的取值范围．2020-2021学年上海市复旦附中高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果 1．（4分）函数2()(2)f x log x =-的定义域为 (2,4) ．【解答】解：由函数2()(2)f x log x +-，可得4020x x ->⎧⎨->⎩，求得24x <<， 可得定义域为(2,4)， 故答案为：(2,4)．2．（4分）不等式2233(1)(31)x x ->+的解集为 (1,0)- ． 【解答】解：2233(1)(31)x x ->+，22(1)(31)x x ∴->+，2221961x x x x ∴-+>++， 2880x x ∴+<，即8(1)0x x +<，解得：10x -<<， 故答案为：(1,0)-．3．（4分）函数2()log (31)f x x =+，[0x ∈，5]的反函数是 123y =⨯13x -，[0x ∈，4] ．【解答】解：函数2()log (31)f x x =+，[0x ∈，5]，所以函数的值域为[0，4]，312y x +=，可得123x =⨯13y -，所以函数2()log (31)f x x =+，[0x ∈，5]的反函数是：123y =⨯13x -，[0x ∈，4]．故答案为：123y =⨯13x -，[0x ∈，4]．4．（4分）对于实数a ，b ，c ，d ，定义&||&a bad bc c d-=．设函数22(1)&1()||&1log x f x log x --=，则方程()1f x =的解为 2x = ． 【解答】解：222222(1)&1()||log (1)log ()1&1log x f x x x log x x log x --==-+=-=，即22x x -=，且1x >，解得2x =．故答案为：2x =． 5．（4分）若函数()1axf x x =+在区间(0,)+∞是严格增函数，则实数a 的取值范围是 (0,)+∞ ． 【解答】解：设120x x >>， 则1212121212()()()11(1)(1)ax ax a x x f x f x x x x x --=-=++++， 若函数()1axf x x =+在区间(0,)+∞是严格增函数， 则121212()()()0(1)(1)a x x f x f x x x --=>++，110x +>，210x +>，120x x ->，0a ∴>，故答案为：(0,)+∞．6．（4分）已知函数24()1,f x min log x x ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭，若函数()()g x f x =-恰有两个零点，则的取值范围为 (1,2) ． 【解答】解设41y x=+，2log y x =， 则41y x=+在(0,)+∞上为减函数，2log y x =在(0,)+∞上为增函数， 当4x =时，41112y x=+=+=，2log 42y ==，此时两个函数值相等， 当04x <时，24log 1x x+，此时2()log (f x x =∈-∞，2]， 当4x >时，24log 1x x >+，此时4()1(1,2)f x x =+∈，即函数22,(0.4]4()1,41,(4,)log x x f x min log x x x x∈⎧⎪⎧⎫=+=⎨⎬⎨+∈+∞⎩⎭⎪⎩．若函数()()g x f x =-恰有两个零点， 则()()0g x f x =-=，即()f x =，恰有两个根，作出函数()f x 与y =的图象，由图象知若两个图象有两个不同的交点， 则12<<，故实数的取值范围是(1,2)， 故答案为：(1,2)．7．（5分）已知函数15()||(0)2f x x x x =+->，则()f x 的递减区间是 1(0,)2，(1,2) ．【解答】解：画出函数()f x 的图象，如图示：，结合图象，函数()f x 在1(0,)2，(1,2)递减，故答案为：1(0,)2，(1,2)．8．（5分）若函数()232x x f x -=+⋅的图象关于直线x m =成轴对称图形，则m = 212log ． 【解答】解：由题意可知0>，因为函数()232x x f x -=+⋅的图象关于直线x m =成轴对称图形， 则()f x m +为偶函数，图象关于y 轴对称， 故()()f m x f m x -=+恒成立， 所以220m m --⋅=，解得212m log =．故答案为：212log ．9．（5分）若关于x 的不等式1|2|02x xm --<在区间[0，1]内恒成立，则实数m 的范围 322m << ． 【解答】解：由1|2|02x x m --<，得1|2|2xxm -<， ∴11222xx xm -<-<， 即112222x x x x m -<<+在区间[0，1]内恒成立， 函数1()22x x f x =-在区间[0，1]内单调递增，()f x ∴的最大值为32； 令1()22x x g x =+，2(12)x t t =， 则1y t t =+在[1，2]上为增函数，由内函数2x t =为增函数，1()22x xg x ∴=+在区间[0，1]内单调递增，()g x 的最小值为2． ∴322m <<． 故答案为：322m <<． 10．（5分）已知函数22()(815)()(f x x x ax bx c a =++++，b ，)c R ∈是偶函数，若方程21ax bx c ++=在区间[1，2]上有解，则实数a 的取值范围是 11[,]83 ．【解答】解：22()(815)()f x x x ax bx c =++++是偶函数，图象关于y 轴对称，令28150x x ++=可得，3x =-或5x =-，根据偶函数图象的对称性可知，3，5是20ax bx c ++=的两个根， 815b ac a ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴158c a b a =⎧⎨=-⎩，由21ax bx c ++=可得，28151ax ax a -+=， [1x ∈，2]时，2815[3x x -+∈，8]，2111[,]81583a x x ∴=∈-+ 故答案为：11[,]83．11．（5分）若函数22()(0)1x x af x x x ++=+的值域为[a ，)+∞，则实数a 的取值范围是 (-∞，2] ．【解答】解：函数222(1)11()1111x x a x a a f x x x x x ++++--===+++++， ①当10a -时，函数()f x 在[0，)+∞上单调递增，所以()(0)min f x f a ==， 此时函数的值域为[a ，)+∞， 所以1a ；②当10a ->时，1()(1)211a f x x a x -=++-+，当且仅当111a x x -+=+，即1x 时取等号，又(0)f a =，若()f x 的值域为[a ，)+∞10，即2a ， 所以12a <，综上，实数a 的取值范围为(-∞，2]， 故答案为：(-∞，2]．12．（5分）已知集合[A t =，1][4t t ++，9]t +，0A ∉，存在正数λ，使得对任意a A ∈，都有A aλ∈，则t 的值是 1或3- ．【解答】解：当0t >时，当[a t ∈，1]t +时，则[4t aλ∈+，9]t +，当[4a t ∈+，9]t +时，则[t aλ∈，1]t +，即当a t =时，9t aλ+；当9a t =+时，t aλ，即(9)t t λ=+； 当1a t =+时，4t aλ+，当4a t =+时，1t aλ+，即(1)(4)t t λ=++，(9)(1)(4)t t t t ∴+=++，解得1t =．当104t t +<<+时，当[a t ∈，1]t +时，则[t aλ∈，1]t +．当[4a t ∈+，9]t +，则[4t aλ∈+，9]t +，即当a t =时，1t aλ+，当1a t =+时，t aλ，即(1)t t λ=+，即当4a t =+时，9t aλ+，当9a t =+时，4t aλ+，即(4)(9)t t λ=++，(1)(4)(9)t t t t ∴+=++，解得3t =-．当90t +<时，同理可得无解． 综上，t 的值为1或3-． 故答案为：1或3-．二、选择题（本大题共4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑13．（5分）已知()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x <时，()3x f x =，则函数()f x 的值域为( ) A ．(1,1)-B ．[0，1)C ．RD ．[0，1]【解答】解：根据题意，()f x 为定义在R 上的奇函数，则(0)0f =， 当0x <时，()3x f x =，有0()1f x <<， ()f x 为奇函数，则当0x >时，有1()0f x -<<，综合可得：1()1f x -<<， 即函数的值域为(1,1)-， 故选：A ．14．（5分）中国的5G 技术领先世界，5G 技术的数学原理之一便是著名的香农公式：2(1)SC Wlog N=+，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C 取决于信道带宽W 、信道内信号的平均功率S 、信道内部的高斯噪声功率N 的大小，其中SN叫做信噪比．按照香农公式，若不改变带宽W ，而将信噪比SN从1000提升至5000，则C 大约增加了( )A ．20%B ．23%C ．28%D ．50%【解答】解：将信噪比SN从1000提升至5000时， C 大约增加了222(15000)(11000)(11000)Wlog Wlog Wlog +-++ 222500010005001100122100010012lg lg log log lg lg lg log lg --=≈120.2323%3lg -=≈=． 故选：B ．15．（5分）若函数1()f x lnx a x=-+在区间(1,)e （其中 2.71828)e =⋯上存在零点，则常数a 的取值范围( ) A ．01a <<B ．11a e <<C ．111a e -<<D ．111a e+<<【解答】解：函数1()f x lnx a x=-+在区间(1,)e 上为增函数，f （1）110ln a =-+<，f （e ）10lne a e =-+>，可得111a e -<<故选：C ．16．（5分）设函数()f x 的定义域是R ，已知以下三个陈述句：p ：存在R α∈且0a ≠，对任意的x R ∈，均有(2)(2)x a x f f f -<+（a ）恒成立；1:()q f x 严格递减，且()0f x >恒成立；2:()q f x 严格递增，存在00x <，使得0()0f x =．用这三个陈述句组成了两个命题，命题S ：“若1q ，则P ”；命题T ：“若2q ，则P ”，则关于S ，T ，以下说法正确的是( ) A ．两个命题S ，T 都是真命题 B ．只有命题S 是真命题 C ．只有命题T 是真命题D ．两个命题S ，T 都不是真命题【解答】解：对于命题S ：“若1q ，则P ”； 当()f x 单调递减且()0f x >恒成立时，存在0a <，此时22x a x ->，而()f x 单调递减，所以(2)(2)x a x f f -<， 又因为()0f x >恒成立时，则f （a ）0>， 则有(2)(2)x a x f f f -<+（a ）恒成立， 命题S 为真命题；对于命题T ：“若2q ，则P ”，对于命题2q ：当()f x 单调递增，存在00x <使得0()0f x =， 存在0a >，则0a x >，则f （a ）0>，由于0a >，则22x a x -<，而()f x 严格递增，则(2)(2)x a x f f -<， 故(2)(2)x a x f f f -<+（a ）恒成立， 命题T 也为真命题， 两个命题S ，T 都是真命题； 故选：A ．三、解答题（本大题共5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17．（14分）已知函数21()(51)m h x m m x +=-+为幂函数，且为奇函数． （1）求m 的值；（2）求函数()()g x h x =+在1[1,]2x ∈-的值域．【解答】解：（1）函数21()(51)m h x m m x +=-+为幂函数， 2511m m ∴-+=，解得0m =或5，当0m =时，()h x x =是奇函数，符合题意， 当5m =时，6()h x x =是偶函数，不符合题意， 所以m 的值为0．（2）由（1）可得()g x x =，令t ，则212t x -=，112x -，0123x ∴-， 03t∴，22111()222t g t t t t -∴=+=-++(03)t，()g t 在[0，1]上单调递增，在[1上单调递减， ()max g t g ∴=（1）1=，又1(0)2g =，112g =>，1()2min g t ∴=，∴函数()()g x h x =+在1[1,]2x ∈-的值域为1[2，1]．18．（14分）已知函数12()||h x log x =．（1）求()h x 在11[,]()22a a >上的最大值；（2）设函数()f x 的定义域为I ，若存在区间A I ⊆，满足：对任何1x A ∈，都存在2x A ∈（其中A 表示A 在I 上的补集）使得12()()f x f x =，则称区间A 为()f x 的“Γ区间”．已知121()||([,2])2h x log x x =∈，若1(,)2A a =函数()h x 的“Γ区间”，求a 的最大值． 【解答】解：（1）由题意知，1()2h h =（2）1=，①若112a <，则()h x 在1[2，]a 上单调递减， 可得()h x 的最大值为1()12h =；②若12a <，则()h x 在1[2，1]上单调递减，在[1，]a 上单调递增，可得h （a ）h （2）1()12h ==，所以()h x 的最大值为 1；③若2a >，则()h x 在1[2，1]上单调递减，在[1，]a 上单调递增，可得h （a ）h （2）1()2h =，所以()h x 的最大值为h （a ）2|log |a =， 综上，若122a <，则()h x 的最大值为 1； 若2a >，则()h x 的最大值为2|log |a ； （2）由（1）知 ①当112a <时，()h x 在1(2，)a 上的值域为2(|log |a ，1)， ()f x 在1{}[2a ⋃，2]上的值域为[0，1]，由任何1x A ∈，都存在2x A ∈（其中A 表示A 在I 上的补集）使得12()()f x f x =， 可得2(|log |a ，1)[0⊆，1]， 即有2|log |0a ，即为112a <； ②当12a <时，()h x 在1(2，)a 上的值域为(0,1)，()h x 在1{}[2a ⋃，2]上的值域为2[|log |a ，1]，由任何1x A ∈，都存在2x A ∈（其中A 表示A 在I 上的补集）使得12()()f x f x =， 可得2(|log |a ，1][0⊆，1]， 即有2|log |0a ，即为12a <．综上可得，a 的最大值为2．19．（14分）新冠肺炎疫情发生以后，口罩供不应求，某口罩厂日夜加班生产，为抗击疫情做贡献．生产口罩的固定成本为400万元，每生产x 万箱，需另投入成本()p x 万元，当产量不足60万箱时，21()502p x x x =+；当产量不小于60万箱时，6400()1011860p x x x=+-，若每箱口罩售价100元，通过市场分析，该口罩厂生产的口罩可以全部销售完． （1）求口罩销售利润y （万元）关于产量x （万箱）的函数关系式； （2）当产量为多少万箱时，该口罩生产厂在生产中所获得利润最大？【解答】解：（1）当060x <<时，2211100(50)4005040022y x x x x x =-+-=-+-；当60x 时，64006400100(1011860)4001460()y x x x x x=-+--=-+． ∴2150400,060264001460(),60x x x y x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎪-+⎪⎩；（2）当060x <<时，221150400(50)85022y x x x =-+-=--+，∴当50x =时，y 取得最大值，最大值为850万元；当60x 时，640064001460()146021300y x x x x=-+-=． 当且仅当6400x x=，即80x =时，y 取得最大值，最大值为1300万元． 综上，当产量为80万箱时，该口罩生产厂在生产中获得的利润最大，最大利润为1300万元． 20．（16分）设0a >，函数1()12xf x a =+⋅．（1）若1a =，求()f x 的反函数1()f x -；（2）求函数()()y f x f x =⋅-的最大值（用a 表示）；（3）设()()(1)g x f x f x =--．若对任意(x ∈-∞，0]，()(0)g x g 恒成立，求a 的取值范围．【解答】解：（1）当1a =时，1()12xf x =+， 112x y∴+=， 即1121x yy y-=-=，则01y <<， 21log ()yx y-∴=；故()f x 的反函数121()log ()xf x x --=，(0,1)x ∈（2）2111()()12121(22)x x x x y f x f x a a a a --=⋅-=⋅=+⋅+⋅+++， 设22x x y -=+，易知，函数22x x y -=+在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增， 则当0x =时，22x x y -=+有最小值，最小值为2， ∴当0x =时，()()y f x f x =⋅-有最大值，221112(1)max y a aa ∴==+++；（3）111()()(1)1212x x g x f x f x a a -=--=-+⋅+⋅，令2x t a =⋅，(x ∈-∞，0]，0a >，0t a ∴<．21()2323t h t t t t t--∴==++++，当2a时()h t 在(0，]a 上单调递减，所以2()()32min ah t h a a a -==++对任意(x ∈-∞，0]，()(0)g x g 恒成立，且11(0)1112g a a=-++， ∴211132112a a a a a--++++恒成立，02a∴<当a >1()223223g x t --⋅+，令2113113212a a a aa --=++++不恒成立，舍去综上，a 的取值范围是(0．21．（18分）已知函数()||f x x x a =-，其中a 为常数． （1）当1a =时，解不等式()2f x <；（2）若()f x 是奇函数，判断并证明()f x 的单调性；（3）若在[0，2]上存在2021个不同的实数(1i x i =，2，⋯，2021)，122021x x x <<⋯<，使得122320202021|()()||()()||()()|8f x f x f x f x f x f x -+-+⋯+-=，求实数a 的取值范围． 【解答】解：（1）当1a =时，()|1|f x x x =-， 当1x >时，2()2f x x x =-<，解得12x -<<， 所以12x <<，当0x =时，()02f x =<恒成立，当1x <时，2()2f x x x =-+<，解得1x <， 综上，不等式()2f x <的解集为(,2)-∞；（2）因为函数()f x 是奇函数，所以()()f x f x -=-， 令1x =，解得0a =，所以当0x 时，2()f x x =，显然函数在(0,)+∞单调递增， 当0x <时，2()f x x =-，在(,0)-∞上单调递增， 综上，函数()f x 在x R ∈时单调递增．（3）①当0a 时，()f x 在[0，2]上单调递增，所以122320202021|()()||()()||()()|f x f x f x f x f x f x -+-+⋯+- 213220212020(()())(()())(()())f x f x f x f x f x f x =-+-+⋯+-20211()()f x f x f =-（2）， 所以f （2）2(2)8a =-，解得2a -．②当4a 时，()()f x x a x =-是[0，2]上的增函数， 所以122320202021|()()||()()||()()|f x f x f x f x f x f x -+-+⋯+- 20211()()f x f x f =-（2）， 所以f （2）2(2)8a =-，解得6a ． ③当04a <<时，()f x 在[0，2]上不单调，所以122320202021|()()||()()||()()|f x f x f x f x f x f x -+-+⋯+-20211()()2()max f x f x f x =-，所以2()424a a f =<，f （2）2|2|4a =-<，在[0，2]上，(){()2max af x f =，f （2）}4<，所以当4a 时，()()f x x a x =-是[0，2]上的增函数，所以122320202021|()()||()()||()()|2()8max f x f x f x f x f x f x f x -+-+⋯+-<， 求实数a 的取值范围(-∞，2][6-⋃，)+∞．。

复旦附中高一期末数学试卷2019.06一. 填空题1. 计算：23lim 31n n n →∞-=+ 2. 2与8的等比中项是3. 函数arctan y x =，(0,1)x ∈的反函数为4. 在等差数列{}n a 中，12a =，3510a a +=，则7a =5. 用列举法表示集合1{|cos(),[0,]}32x x x ππ-=∈= 6. 在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若面积2222a b c S +-=， 则角C =7. 已知无穷等比数列{}n a 的各项的和为1，则2a 的取值范围为8. 已知函数()2sin()46xf x π=+，若对任意x ∈R 都有12()()()f x f x f x ≤≤（12,x x ∈R ）成立，则12||x x -的最小值为9. 若a 、b 是函数2()f x x px q =-+（0p >，0q >）的两个不同的零点，且a 、b 、2- 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q +=10. 若函数()sin()f x A x ωϕ=+（0A >，0ω>）在区间[,]62ππ上单调，且 2()()()236f f f πππ==-，则()f x 的最小正周期为 11. 由正整数组成的数列{}n a 、{}n b 分别为递增的等差数列、等比数列，111a b ==，记n n n c a b =+，若存在正整数k （2k ≥）满足1100k c -=，11000k c +=，则k c =12. 已知无穷等比数列{}n a 满足：对任意的*n ∈N ，sin 1n a =，则数列{}n a 公比q 的取值集合为二. 选择题13. 对于函数()2sin cos f x x x =，下列选项中正确的是（ ）A. ()f x 在(,)42ππ上单调递增 B. ()f x 的图像关于原点对称 C. ()f x 的最小正周期为2π D. ()f x 的最大值为214. 若等差数列{}n a 的前10项之和大于其前21项之和，则16a 的值（ ）A. 大于0B. 等于0C. 小于0D. 不能确定15. 已知数列{}n a 的通项公式2019(1)120191()20202n n n n a n -⎧-≤≤⎪=⎨≥⎪⎩，前n 项和为n S ，则关于数列 {}n a 、{}n S 的极限，下列判断正确的是（ ）A. 数列{}n a 的极限不存在，{}n S 的极限存在B. 数列{}n a 的极限存在，{}n S 的极限不存在C. 数列{}n a 、{}n S 的极限均存在，但极限值不相等D. 数列{}n a 、{}n S 的极限均存在，且极限值相等16. 已知数列{}n a 是公差不为零的等差数列，函数()f x 是定义在R 上的单调递增的奇函数，数列{()}n f a 的前n 项和为n S ，对于命题：① 若数列{}n a 为递增数列，则对一切*n ∈N ，0n S >；② 若对一切*n ∈N ，0n S >，则数列{}n a 为递增数列；③ 若存在*m ∈N ，使得0m S =，则存在*k ∈N ，使得0k a =；④ 若存在*k ∈N ，使得0k a =，则存在*m ∈N ，使得0m S =；其中正确命题的个数为（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3三. 解答题17. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，32216a a =+，且20200S <.（1）求{}n a 的通项公式；（2）是否存在正整数n ，使得2020n S >成立？若存在，求出n 的最小值，若不存在，请说明理由.18.已知函数2()2cos cos 1f x x x x =+-.（1）求函数()y f x =的单调递减区间；（2）在锐角△ABC 中，若角2C B =，求()f A 的值域.19. 已知数列{}n a 满足：12a =，1(1)(1)n n na n a n n +=+++，*n ∈N .（1）求证：数列{}n a n 为等差数列，并求出数列{}n a 的通项公式； （2）记2(1)n n b n a =+（*n ∈N ），用数学归纳法证明：12211(1)n b b b n ++⋅⋅⋅+<-+，*n ∈N .20. 设函数()5sin()f x x ωϕ=+，其中0ω>，(0,)2πϕ∈. （1）设2ω=，若函数()f x 的图像的一条对称轴为直线35x π=，求ϕ的值； （2）若将()f x 的图像向左平移2π个单位，或者向右平移π个单位得到的图像都过坐标原 点，求所有满足条件的ω和ϕ的值；（3）设4ω=，6πϕ=，已知函数()()3F x f x =-在区间[0,6]π上的所有零点依次为123,,,,n x x x x ⋅⋅⋅，且1231n n x x x x x -<<<⋅⋅⋅<<，*n ∈N ，求123212222n n n x x x x x x --+++⋅⋅⋅+++的值.21. 已知无穷数列{}n a 、{}n b 是公差分别为1d 、2d 的等差数列，记[][]n n n c a b =+（*n ∈N ）， 其中[]x 表示不超过x 的最大整数，即1[]x x x -<≤.（1）直接写出数列{}n a 、{}n b 的前4项，使得数列{}n c 的前4项为：2，3，4，5；（2）若13n n a +=，13n n b -=，求数列{}n c 的前3n 项的和3n S ； （3）求证：数列{}n c 为等差数列的必要非充分条件是12d d +∈Z .参考答案一. 填空题 1. 23 2. 4± 3. tan y x =，(0,)4x π∈ 4. 8 5. 2{0,}3π 6. arctan2 7. (0,1)(1,2)U 8. 4π9. 9 10. π 11. 262 12. {|41,}q q k k =+∈Z二. 选择题13. B 14. C 15.D 16. C三. 解答题17.（1）12(2)n n a -=-；（2）12.18.（1）2[,]63k k ππππ++，k ∈Z ；（2）(1,2). 19.（1）(1)n a n n =+；（2）略.20.（1）310π；（2）643n ω+=，3πϕ=；（3）3913π. 21.（1）{}n a 的前4项为1，2，3，4，{}n b 的前4项为1，1，1，1；（2）23n n -；（3）证明略.。

复旦附中高一期末数学试卷一. 填空题1. 函数12log (5)y x =-的定义域为2. 函数2()1f x x =+（1x ≤-）的反函数为3. 已知2log 3a =，试用a 表示9log 12=4. 幂函数223()(1)mm f x a x --=-（,a m ∈N ）为偶函数，且在(0,)+∞上是减函数，则a m +=5. 函数23log ()y x x =-的递增区间为6. 方程22log (95)log (32)2x x -=-+的解为x =7. 已知关于x 的方程2240x kx k k +++-=有两个实数根，且一根大于2，一根小于2， 则实数k 的取值范围为8. 若函数62()3log 2a x x f x x x -+≤⎧=⎨+>⎩（0a >且1a ≠）的值域是[4,)+∞，则实数a 的取值 范围是 9. 已知1()(33)2x x f x -=-的反函数为1()f x -，当[3,5]x ∈-时，函数1()(1)1F x f x -=-+ 的最大值为M ，最小值为m ，则M m += 10. 对于函数()y f x =，x D ∈，若对任意,,a b c D ∈，()f a 、()f b 、()f c 都可为某一三角形的三边长，则称()f x 为“三角形函数”，已知()1x x e t f x e +=+是三角形函数，则实数t 的 取值范围是11. 若关于x 的方程54(4)|5|x x m x x+--=在(0,)+∞内恰有三个实数根，则实数m 的取值 范围是 12. 已知函数2131()1log 12x x k x f x x x ⎧-++≤⎪=⎨-+>⎪⎩，2()log(2)1x g x a x x =⋅+++（a ∈R ），若对 任意的12,{|,2}x x x x x ∈∈>-R ，均有12()()f x g x ≤，则实数k 的取值范围是二. 选择题13. 若命题甲：10x -=，命题乙：2lg lg 0x x -=，则命题甲是命题乙的（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件14. 下列函数中既是偶函数，又在(0,)+∞上单调递增的是（ ） A. 1||y x = B. 2y x -= C. 2|log |y x = D. 23y x = 15. 设函数()f x 的定义域为R ，有下列三个命题：（1）若存在常数M ，使得对任意x ∈R ，有()f x M ≤，则M 是函数()f x 的最大值；（2）若存在0x ∈R ，使得对任意x ∈R 且0x x ≠，有0()()f x f x <，则0()f x 是函数()f x 的最大值；（3）若存在0x ∈R ，使得对任意x ∈R ，有0()()f x f x ≤，则0()f x 是函数()f x 的最大值； 这些命题中，真命题的个数是（ ）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个16. 已知函数2()2x f x m x nx =⋅++，记集合{|()0,}A x f x x ==∈R ，集合{|[()]0,}B x f f x x ==∈R ，若A B =，且都不是空集，则m n +的取值范围是（ ）A. [0,4)B. [1,4)-C. [3,5]-D. [0,7)三. 解答题17. 已知函数1()421x x f x a +=-⋅+.（1）若1a =，解方程：()4f x =；（2）若()f x 在[1,1]-上存在零点，求实数a 的取值范围.18. 已知函数21()log 1ax f x x -=-的图像关于原点对称，其中a 为常数. （1）求a 的值；（2）设集合4{|1}7A x x=≥-，2{|()log (1)}B x f x x m =+-<，若A B ≠∅I ，求实数m 的取值范围.19. 近年来，雾霾日趋严重，我们的工作、生活受到了严重的影响，然后改善空气质量已成为当今的热点问题，某空气净化器制造厂，决定投入生成某型号的空气净化器，根据以往的生产销售经验得到下面有关生成销售的统计规律：每生产该型号空气净化器x （百台），其 总成本为()P x （万元），其中固定成本为12万元，并且每生产1百台的生成成本为10万 元（总成本=固定成本+生产成本），销售收入()Q x （万元）满足：20.522016()22416x x x Q x x ⎧-+≤≤=⎨>⎩，假定该产品销平衡（即生产的产品都能卖掉），根据 上述统计规律，请完成下列问题：（1）求利润函数()y f x =的解析式（利润=销售收入—总成本）；（2）工厂生产多少百台产品时，可使利润最多？20. 若函数()f x 满足：对于其定义域D 内的任何一个自变量0x ，都有函数值0()f x D ∈，则称函数()f x 在D 上封闭.（1）若下列函数的定义域为(0,1)D =，试判断其中哪些在D 上封闭，并说明理由， 1()21f x x =-，2()21x f x =-；（2）若函数5()2x a g x x -=+的定义域为(1,2)，是否存在实数a ，使得()g x 在其定义域(1,2) 上封闭？若存在，求出所有a 的值，并给出证明，若不存在，请说明理由；（3）已知函数()f x 在其定义域D 上封闭，且单调递增，若0x D ∈且00(())f f x x =，求 证：00()f x x =.21. 已知函数||0()20x x a x f x x +≥⎧=⎨<⎩，其中a ∈R . （1）若1a =-，解不等式1()4f x ≥； （2）设0a >，21()log ()g x f x =，若对任意的1[,2]2t ∈，函数()g x 在区间[,2]t t +上的最大值和最小值的差不超过1，求实数a 的取值范围；（3）已知函数()y f x =存在反函数，其反函数记为1()y f x -=，若关于x 的不等式12(4)()|2|f a f x x a --≤+-在[0,)x ∈+∞上恒成立，求实数a 的取值范围.参考答案一. 填空题1. (,5)-∞2. 2)y x =≥3. 22a a+ 4. 3 5. (1,)+∞ 6. 1 7. (3,0)- 8. (1,2]9. 2 10. 1[,2]2 11. (6,10 12. 3(,]4-∞-二. 选择题13. A 14. D 15. C 16. A三. 解答题17.（1）2log 3x =；（2）5[1,]4a ∈.18.（1）1a =-；（2）2m >. 19.（1）20.51212016()2121016x x x f x x x ⎧-+-≤≤=⎨->⎩；（2）生产12百台，利润最大60万元. 20.（1）1()f x 在D 上不封闭，2()f x 在D 上封闭；（2）2a =；（3）证明略.21.（1）35[2,][,)44x ∈-+∞U ；（2）65a ≥；（3）3,2](3,4)a ∈U .。

2019-2020学年上海市复旦附中高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共4小题，共12.0分）1.若命题甲：，命题乙：，则命题甲是命题乙的A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 非充分也非必要条件2.下列函数中既是偶函数，又在上单调递增的是A. B. C. D.3.设函数的定义域为R，有下列三个命题：若存在常数M，使得对任意，有，则M是函数的最大值；若存在，使得对任意，且，有，则是函数的最大值；若存在，使得对任意，有，则是函数的最大值．这些命题中，真命题的个数是A. 0B. 1C. 2D. 34.已知函数，记集合，集合，若，且都不是空集，则的取值范围是A. B. C. D.二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）5.函数的定义域为______．6.函数的反函数为______．7.已知，试用a表示______．8.幂函数为偶函数，且在上是减函数，则______．9.函数的递增区间为______．10.方程的解是______．11.已知关于x的方程有两个实数根，且一根大于2，一根小于2，则实数k的取值范围为______．12.若函数且的值域是，则实数a的取值范围是______．13.已知的反函数为，当时，函数的最大值为M，最小值为m，则______．14.对于函数，若对于任意的a，b，，，，为某一三角形的三边长，则称为“可构造三角形函数”，已知函数是“可构造三角形函数”，则实数t 的取值范围是______．15.若关于x的方程在内恰有三个相异实根，则实数m的取值范围为______ ．16.已知函数，，若对任意的，，均有，则实数k的取值范围是______．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17.已知函数．若，解方程：；若在上存在零点，求实数a的取值范围．18.已知函数的图象关于原点对称，其中a为常数．求a的值；设集合，，若，求实数m的取值范围．19.近年来，雾霾日趋严重，我们的工作、生活受到了严重的影响，如何改善空气质量已成为当今的热点问题．某空气净化器制造厂，决定投入生产某型号的空气净化器，根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产该型号空气净化器百台，其总成本为万元，其中固定成本为12万元，并且每生产1百台的生产成本为10万元总成本固定成本生产成本销售收入万元满足，假定该产品产销平衡即生产的产品都能卖掉，根据以述统计规律，请完成下列问题：求利润函数的解析式利润销售收入总成本；工厂生产多少百台产品时，可使利润最多？20.若函数满足：对于其定义域D内的任何一个自变量，都有函数值，则称函数在D上封闭．若下列函数的定义域为，试判断其中哪些在D上封闭，并说明理由．，．若函数的定义域为，是否存在实数a，使得在其定义域上封闭？若存在，求出所有a的值，并给出证明：若不存在，请说明理由．已知函数在其定义域D上封闭，且单调递增．若且，求证：．21.已知函数，其中．若，解不等式；设，，若对任意的，函数在区间上的最大值和最小值的差不超过1，求实数a的取值范围；已知函数存在反函数，其反函数记为，若关于x的不等式在上恒成立，求实数a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：若命题甲：，命题乙：，若命题甲：，则，，则命题甲：，能推出命题乙：，成立；若命题乙：，则，所以或，即或；命题乙：，不能推出命题甲：成立，根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断．命题甲是命题乙的充分非必要条件；故选：A．根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．2.答案：D解析：解：函数为偶函数，当时，，为减函数，不满足条件．B.函数为偶函数，当时，为减函数，不满足条件．C.函数的定义域为，定义域关于原点不对称，为非奇非偶函数，不满足条件．D.函数为偶函数且在区间上为增函数，满足条件故选：D．根据函数奇偶性和单调性的性质分别进行判断即可．本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，结合常见函数的奇偶性和单调性是解决本题的关键．比较基础．3.答案：C解析：解：错．原因：M不一定是函数值，可能“”不能取到．因为函数最大值的定义是存在一个函数值大于其它所有的函数值，则此函数值是函数的最大值所以对故选：C．利用函数最大值的定义是存在一个函数值大于其它所有的函数值，则此函数值是函数的最大值判断出各命题的真假．本题考查函数的最大值的定义并利用最值的定义判断命题的真假．4.答案：A解析：解：设，，，即，故；故，，当时，成立；当时，0，不是的根，故，解得：；综上所述，；故选：A．由可得，从而求得；从而化简，从而讨论求得本题考查了函数与集合的关系应用及分类讨论的思想应用，同时考查了方程的根的判断，属于中档题5.答案：解析：解：由，得．函数的定义域为．故答案为：．由对数式的真数大于0求解x的范围得答案．本题考查函数的定义域及其求法，是基础题．6.答案：解析：解：由，得，，x，y互换得：，函数的反函数为，故答案为：．由原函数求得x，把x，y互换求得原函数的反函数．本题考查函数的反函数的求法，注意反函数的定义域为原函数的值域，是基础题．7.答案：解析：解：，故答案为：．利用换底公式以及对数的运算性质即可求解．本题主要考查了对数的运算性质以及换底公式，是基础题．8.答案：3解析：解：幂函数，在上是减函数，，且，，，又，，1，2，又幂函数为偶函数，，，故答案为：3．先利用幂函数的定义和单调性求出a的值和m的范围，再结合偶函数确定m的值，即可求出结果．本题主要考查了幂函数的性质，是基础题．9.答案：解析：解：函数的定义域为，令，则，为增函数，在上为减函数；在为增函数，函数的单调递增区间为，故答案为：．先求出函数的定义域，然后将复合函数分解为内、外函数，分别讨论内外函数的单调性，进而根据复合函数单调性“同增异减”的原则，得到函数的单调递增区间．本题考查的知识点是复合函数的单调性，二次函数的性质，对数函数的单调性，其中复合函数单调性“同增异减”是解答本题的关键，本题易忽略真数大于零．10.答案：解析：解：，，令，则，解得或．由式子有意义可知，解得，即，．．故答案为：．利用对数运算性质解方程．本题考查了对数的运算性质，换元法解题思想，属于基础题．11.答案：解析：解：令，由题意可得，即：，整理：，解得：，所以实数k的取值范围为；故答案为：．设函数，由题意可得，解得k的取值范围．考查方程的根的分布，属于基础题．12.答案：解析：解：由于函数且的值域是，故当时，满足．若，在它的定义域上单调递增，当时，由，，，．若，在它的定义域上单调递减，，不满足的值域是．综上可得，，故答案为：．当时，检验满足当时，分类讨论a的范围，依据函数的单调性，求得a的范围，综合可得结论．本题主要考查分段函数的应用，对数函数的单调性和特殊点，属于中档题．13.答案：2解析：解：由题意可得，即函数在R上为奇函数，当，令，则为奇函数且单调递增所以反函数也是单调递增的奇函数，所以是向上平行移动1个单位也为单调递增，对称中心，由互为反函数的性质可得，故答案为：2由题意可得换元可得为奇函数在上，所以也是奇函数，且值域为，为对称中心为的函数且值域为，考查换元法求函数的定义域，及互为反函数的性质，属于中档题．14.答案：解析：解：由题意可得对于，b，都恒成立，由于，当，，此时，，，都为1，构成一个等边三角形的三边长，满足条件．当，在R上是减函数，，同理，，由，可得，解得．当，在R上是增函数，，同理，，由，可得，解得．综上可得，，故实数t的取值范围是，故答案为：因对任意实数a、b、c，都存在以、、为三边长的三角形，则恒成立，将解析式用分离常数法变形，由均值不等式可得分母的取值范围，整个式子的取值范围由的符号决定，故分为三类讨论，根据函数的单调性求出函数的值域，然后讨论k转化为的最小值与的最大值的不等式，进而求出实数k的取值范围．本题主要考查了求参数的取值范围，以及构成三角形的条件和利用函数的单调性求函数的值域，同时考查了分类讨论的思想，属于难题．15.答案：解析：解：当时，，方程，，即；．当时，，方程，，即；；当时，方程无解；当时，方程有且只有一个解；当时，方程在上有两个解；当时，方程的解为1，；综上所述，实数m的取值范围为故答案为：分类讨论以去掉绝对值号，从而利用基本不等式确定各自方程的根的个数，从而解得．本题考查了绝对值方程的解法与应用，同时考查了基本不等式的应用及转化思想的应用．16.答案：解析：解：对函数，当时，；当时，，在上的最大值；对函数，函数若有最小值，则，即，当时，，易知函数；又对任意的，，均有，，即，，，即实数k的取值范围为．故答案为：．可求得，，根据题意，由此得到，解该不等式即可求得实数k的取值范围．本题考查不等式的恒成立问题，考查函数最值的求解，考查转化思想及计算能力，属于中档题．17.答案：解：当时，．，，或舍，当时，令，则，由，得，．在上单调递减，在上单调递增，当时，；当或时，，，．解析：将代入中，然后根据，求出的值，再解出x即可；令，则由可得，再根据t的范围求出a的范围．本题考查了指数方程的解法和根据函数的零点求参数的范围，考查了整体思想和转化思想，属中档题．18.答案：解：函数的图象关于原点对称，其中a为常数．，，解得．当时，，与条件矛盾，舍去．；集合解不等式得．由知，；，且，解得；由于，所以，解得，．故m的取值范围是．解析：根据的图象关于原点对称，得是奇函数，由恒成立，解得a的值即可．先解分式不等式，求得集合A；由于，所以B有解，解得集合B；再根据集合的关系求得m的取值范围即可．本题考查了奇函数的定义，分式不等式的解法，根据交集运算求参数取值范围，考查了运算求解能力，属于中档题．19.答案：解：由题意得，则，即；当时，函数递减，即有，当时，函数，当时，有最大值，综上可知，当工厂生产12百台时，可使利润最大为60万元．解析：本题考查函数模型在实际问题中的应用，考查函数的最值问题，属于中档题．先求得，再由可得所求；分别求出各段的最值，注意运用一次函数和二次函数的最值求法，即可得到．20.答案：解：在中，对于定义域D内的任意一个自变量，都有函数值，故函数在上不封闭；在中，，在上封闭．的定义域为，对称中心为，当时，函数在上为增函数，只需，解得当时，函数在上为减函数，只需，解得综上，所求a的值等于2．证明：函数在其定义域D上封闭，且单调递增．且，根据单调函数性质，则有唯一的，．解析：根据定义域，求得函数的定义域，利用新定义，即可得到结论；分类讨论，确定函数的单调性，建立不等式组，可求a的值．函数在其定义域D上封闭，且单调递增，根据单调函数性质，则有唯一的，由此能证明．本题以新定义函数为载体，考查新定义，考查学生的计算能力，关键是对新定义的理解，有一定的难度．21.答案：解：当，，当时，，解得或，所以或；当时，，解得，所以；综上所述，不等式的解为．，，，，，由复合函数的单调判断原则，可知在上单调递减，，化简得，在上恒成立，令，则，当时，，当时，，由对勾函数性质可知，在上单调递减，，即，故实数a的取值范围为；函数存在反函数，单调，又在上单调递增，在R上必须单调递增，即，，令，，则，，在上恒成立，当即时，恒成立，，当即时，，解得，综上所述，实数a的取值范围为．解析：把代入函数，分段解不等式即可；，，，，，再由复合函数的单调判断出在上单调递减，从而得到在上恒成立，然后用换元法，令，构造新函数，再求出该函数的最大值即可；由函数存在反函数，可得且；再令，，得其最小值为，然后分类讨论解不等式即可．本题考查函数的综合应用，涉及绝对值函数、指对函数的单调性、函数的恒成立问题，在解题过程中用到换元法、构造法、分类讨论法，考查了学生灵活运用知识的能力和逻辑推理能力，属于难题．。

2019-2020学年上海市高一（上）期末数学试卷第I卷（选择题）一、选择题（本大题共4小题，共12.0分）1.“x2<1”是“x<1”的()条件．A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要2.下列函数中，既是偶函数，又在(−∞,0)上单调递减的是()A. y=1xB. y=e−xC. y=1−x2D. y=x23.设函数f(x)=e x−e−x，g(x)=lg(mx2−x+14)，若对任意x1∈(−∞,0]，都存在x2∈R，使得f(x1)=g(x2)，则实数m的最小值为()A. −13B. −1 C. −12D. 04.设f(x)=x2+bx+c(b,c∈R)，且A={x|x=f(x),x∈R}，B={x|x=f[f(x)],x∈R}，如果A是只有一个元素的集合，则A与B的关系为()A. A=BB. A⫋BC. B⫋AD. A∩B=⌀第II卷（非选择题）二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）5.函数y=ln(3−2x)的定义域是______ ．6.函数f(x)=x2，(x<−2)的反函数是______ ．7.设实数a满足log2a=4.则log a2=______ ．8.幂函数f(x)=(m2−m−1)x m2+m−3在(0,+∞)上为减函数，则m=______ ．9.函数y=log2[(x−2)2+1]的单调递增区间是________10.方程：log2(22x+1−6)=x+log2(2x+1)的解为______ ．11.已知关于x的方程2kx2−2x−5k−2=0的两个实数根一个小于1，另一个大于1，则实数k的取值范围是______．12. 已知a >0且a ≠1，设函数f(x)={x −2,x ⩽32+log a x,x >3的最大值为1，则实数a 的取值范围为____________．13. 设f(x)的反函数为f −1(x)，若函数f(x)的图象过点(1,2)，且f −1(2x +1)=1，则x =__________．14. 已知函数f(x)=2|x |+x 2在区间[−2,m]上的值域是[1,8]，则实数m 的取值范围是__________．15. 若关于x 的方程ln(x −2)+ln(5−x)=ln(m −x)有实根，实数m 的取值范围是______ ．16. 函数f(x)=lnx −14x +34x −1.g(x)=−x 2+2bx −4，若对任意的x 1∈(0,2)，x 2∈[1,2]不等式f(x 1)≥g(x 2)恒成立，则实数b 的取值范围是 ．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17. 设函数f (x )=4x 2+4x， (1)用定义证明：函数f (x )是R 上的增函数；(2)化简f (t )+f (1−t )，并求值：f (110)+f (210)+f (310)+⋯+f (910)；(3)若关于x 的方程k ⋅f (x )=2x 在(−1,0]上有解，求k 的取值范围．18. 设集合A ={x|log 12(x 2−5x +6)=−1}，B ={x|a x−2<(1a )2x−7,a >1}，求A ∩B ．19.某商场经调查得知，一种商品的月销售量Q(单位：吨)与销售价格(单位：万元/吨)的关系可用下图的一条折线表示．(1)写出月销售量Q关于销售价格的函数关系式；(2)如果该商品的进价为5万元/吨，除去进货成本外，商场销售该商品每月的固定成本为10万元，问该商品每吨定价多少万元时，销售该商品的月利润最大？并求月利润的最大值．20.求下列函数的定义域(1)．f(x)=log3(x−5)(2)f(x)=√x+2+11−x21.已知函数g(x)=ax2−2ax+1+b,(a≠0,b>1)在区间[2,3]上的最大值为4，最．小值为1，设函数f(x)=g(x)x(1)求a,b的值及函数f(x)的解析式；(2)若不等式f(2x)−2x−k≥0在x∈[−1,1]时恒成立，求实数k的取值范围．答案和解析1.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查充分条件与必要条件，基础题．根据充分必要条件的定义，分别证明充分性，必要性，从而得出答案．【解答】解：由x2<1解得−1<x<1⇒x<1，但x<1不能推出−1<x<1，所以“x2<1”是“x<1”成立的充分不必要条件．故选A．2.【答案】D是奇函数；y=e−x，不是偶函数；y=1−x2是偶函数，但是在(−∞,0)【解析】解：y=1x上单调递增，y=x2满足题意．故选：D．判断函数的奇偶性以及函数的单调性即可．本题考查二次函数的性质，函数的奇偶性以及函数的单调性，是基础题．3.【答案】A【解析】解：∵f(x)=e x−e−x在(−∞,0]为增函数，∴f(x)≤f(0)=0，∵∃x2∈R，使f(x1)=g(x2)，∴g(x)=lg(mx2−x+1)的值域包含(−∞,0]，4)，显然成立；当m=0时，g(x)=lg(−x+14)的值域包含(−∞,0]，当m≠0时，要使g(x)=lg(mx2−x+14的最大值大于等于1，则mx2−x+14∴{m<04m×14−(−1)24m≥1，解得−13≤m<0，综上，−13≤m≤0，∴实数m的最小值−13故选：A．由题意求出f(x)的值域，再把对任意x1∈R，都存在x2∈R，使f(x1)=g(x2)转化为函数g(x)的值域包含f(x)的值域，进一步转化为关于m的不等式组求解．本题考查函数的值域，体现了数学转化思想方法，正确理解题意是解答该题的关键，是中档题．4.【答案】A【解析】【分析】本题考查集合的相等，但关键难点是二次函数和复合函数的的解的问题，属中高档试题，难度较大，A只有一个元素，所以f(x)=x只有一个实数解，记作x0，则f(x)−x= (x−x0)2，f(x)=(x−x0)2+x，由此得出f[f(x)]=x，化简并提取公因式，可以证明此方程也有且只有一个零点x0，即可证明A=B．【解答】解：∵A只有一个元素，∴f(x)=x只有一个实数解，记作x0，则f(x)−x=x2+(b−1)x+c=(x−x0)2，∴f(x)=(x−x0)2+x，∴f[f(x)]=[(x−x0)2+x−x0]2+[(x−x0)2+x]=(x−x0)4+2(x−x0)3+2(x−x0)2+x，令f[f(x)]=x，即(x−x0)4+2(x−x0)3+2(x−x0)2+x=x(∗)，则(x−x0)4+2(x−x0)3+2(x−x0)2=0，即[(x−x0)2+2(x−x0)+2](x−x0)2=0，∵(x−x0)2+2(x−x0)+2=0的判别式△=4−8=−4<0，∴无解，∴方程(∗)也只有一个实数解x0，综上所述A=B，故选A．5.【答案】(−∞,32)【解析】解：由3−2x>0，得x<32．∴原函数的定义域为(−∞,32).故答案为：(−∞,32).直接由对数式的真数大于0求解x的取值范围得答案．本题考查了函数的定义域及其求法，是基础题．6.【答案】y=−√x,(x>4)【解析】【分析】本题考查反函数的定义的应用，考查计算能力．直接利用反函数的定义求解即可．【解答】解：函数f(x)=x2，(x<−2)，则y>4．可得x=−√y，所以函数的反函数为：y=−√x,(x>4)．故答案为：y=−√x,(x>4)．7.【答案】14【解析】解：∵实数a满足log2a=4，∴a=24=16，∴log a2=log162=lg2lg16=lg24lg2=14．故答案为：14．利用对数性质、运算法则、换底公式求解．本题考查对数式求值，是基础题，解题时要认真审题，注意对数性质、运算法则、换底公式的合理运用．8.【答案】−1【解析】解：知m2−m−1=1，则m=2或m=−1．当m=2时，f(x)=x3在(0,+∞)上为增函数，不合题意，舍去；当m=−1时，f(x)=x−3在(0,+∞)上为减函数，满足要求．故答案为−1根据幂函数的定义列出方程求出m的值；将m的值代入f(x)检验函数的单调性．本题考查幂函数的定义：形如y=xα的函数是幂函数；考查幂函数的单调性与α的正负有关．9.【答案】[2,+∞)【解析】【分析】本题主要考查复合函数的单调性.设t=(x−2)2+1，则y=log2t，分别找出函数t和y 的单调区间，利用同增异减即可求出结果．【解答】解：∵函数y=log2[(x−2)2+1]，∴函数的定义域为R，设t=(x−2)2+1，则y=log2t，∵t在x∈(−∞,2)上单调递减，在[2,+∞)上单调递增，又∵y=log2t在定义域上单调递增，∴函数y=log2[(x−2)2+1]的单调增区间为[2,+∞)．故答案为[2,+∞)．10.【答案】{log23}【解析】解：由22x+1−6>0，得2×4x>6，即4x>3，则方程等价为log2(22x+1−6)=x+log2(2x+1)=log22x+log2(2x+1)=log22x(2x+1)，即22x+1−6=2x (2x +1)，即2(2x )2−6=(2x )2+2x ，即(2x )2−2x −6=0，则(2x +2)(2x −3)=0，则2x −3=0即2x =3，满足4x >3，则x =log 23，即方程的解为x =log 23，故答案为：{log 23}根据对数的运算法则进行化简，指数方程进行求解即可．本题主要考查对数方程的求解，根据对数的运算法则进行转化，结合指数方程，一元二次方程进行转化求解是解决本题的关键．11.【答案】(−∞,−43)∪(0,+∞)【解析】【分析】本题考查二次函数根的分布问题，属于中档题.利用二次函数的性质即可求解．【解答】解：令f(x)=2kx 2−2x −5k −2，因为关于x 的方程2kx 2−2x −5k −2=0的两个实数根一个小于1，另一个大于1， 则函数f(x)有两个不同的零点，且一个小于1，一个大于1．显然k ≠0，且{k <0f(1)=−3k −4>0或{k >0f(1)=−3k −4<0, 解出k <−43或k >0．故答案为(−∞,−43)∪(0,+∞)． 12.【答案】[13,1)【解析】【分析】本题主要考查了分段函数，函数的最值，以及对数函数的性质，属于中档题.直接求解即可．【解答】解：∵函数f(x)={x −2,x ⩽32+log a x,x >3的最大值为1， ∴函数f(x)存在最大值，则由对数函数的性质可知0< a <1，且， 即，即a ≥13， 所以13≤a <1，故答案为[13,1)． 13.【答案】12【解析】由题意函数f(x)的图象过点(1,2)，则其反函数的性质一定过点(2,1)，又f −1(2x +1)=1，故2x +1=2，解得x =12． 14.【答案】[0,2]【解析】【分析】本题考查根据函数值域求参数范围，属于基础题．判断f(x)的奇偶性，再根据单调性求解即可．【解答】解：函数f(x)=2|x |+x 2是R 上的偶函数，当−2≤x ≤0时，函数递减，所以f(−2)=8,f(0)=1，所以可得0≤m ≤2．故答案为[0,2]．15.【答案】(2,6]【解析】解：由题意，{x −2>05−x >0， 解得，2<x <5；ln(x −2)+ln(5−x)=ln(m −x)可化为(x −2)(5−x)=m −x ；故m =−x 2+8x −10=−(x −4)2+6；∵2<x <5，∴2<−(x −4)2+6≤6；故答案为：(2,6]．由题意得{x −2>05−x >0，从而解得2<x <5；从而化ln(x −2)+ln(5−x)=ln(m −x)为(x −2)(5−x)=m −x ；从而求解．本题考查了方程的根与函数图象的关系应用，属于基础题．16.【答案】(−∞,√142]【解析】 【分析】本题考查不等式恒成立问题，利用导数求函数的定值 【解答】由对任意的x 1∈(0,2)，x 2∈[1,2]不等式f(x 1)≥g(x 2)恒成立， 可得f min (x 1)⩾g max (x 2)，又f(x)=lnx −14x +34x −1，易得f ′(x )=−(x−1)(x−3)4x 2，当0<x <1时，f ′(x )<0，故f (x )在(0,1)上递减， 当1<x <2时，f ′(x )>0，故f (x )在(1,2)上递增， 故f min (x )=f (1)=−12．g(x)=−x 2+2bx −4=−(x −b )2+b 2−4，当b ≤1时，g (x )在[1,2]上递减，故g max (x )=g (1)=2b −5≤−12，得b ≤94，又b ≤1，故b ≤1；当1<b <2时，g max (x )=g (b )=b 2−4≤−12，得−√142<b ≤√142，又1<b <2，故1<b ≤√142； 当b ≥2时，g (x )在[1,2]上递增，故g max (x )=g (2)=4b −8≤−12，得b ≤158，又b ≥2，故无解；综上所述，b 的取值范围是 (−∞,√142]．17.【答案】(1)证明：设任意x 1<x 2，则f(x 1)−f(x 2)=4x 12+4x 1−4x 22+4x 2=2(4x 1−4x 2)(2+4x 1)(2+4x 2)， ∵x 1<x 2，∴4x 1<4x 2,∴4x 1−4x 2<0，又2+4x 1>0，2+4x 2>0．∴f(x 1)−f(x 2)<0， ∴f(x 1)<f(x 2)， ∴f(x)在R 上是增函数； (2)对任意t ，f(t)+f(1−t)=4t 2+4t +41−t 2+41−t =4t 2+4t +42⋅4t +4=2+4t 2+4t =1，∴对于任意t ，f(1)+f(1−t)=1，(110)+f(910)=1，f(210)+f(810)=1，∴f(110)+f(210)+f(310)+⋯+f(910)=4+f(510)=92，(3)根据题意可得4x 2+4x·k =2x ，∴k =2+4x 2x，令t =2x ∈(12,1]，则k =t +2t ，且在(12,1]单调递减， ∴ k ∈[3,92)．【解析】本题考查函数的奇偶性、单调性的综合应用、方程根的分布问题，考查转化思想、函数思想，考查学生解决问题的能力． (1)根据函数单调性定义进行证明；(2)根据指数幂的运算法则进行化简可得f(1)+f(1−t)=1，即可求出f(110)+f(210)+f(310)+⋯+f(910)的值， 方程k ⋅f(x)=2x 可化为：4x 2+4x ·k =2x ，令t =2x ∈(12,1]，则可分离出参数k ，进而转化为函数的值域问题，借助“对勾”函数的单调性可求得函数值域．18.【答案】解：A ={x|log 12(x 2−5x +6)=−1}={x|x 2−5x +6=2}={1,4}， B ={x|a x−2<(1a )2x−7,a >1}={x|a x−2<a 7−2x }={x|x −2<7−2x}={x|x <3}，∴A ∩B ={1}．【解析】解对数方程求得A ，解指数不等式求得B ，再根据两个集合的交集的定义求得A ∩B ．本题主要考查对数方程、指数不等式的解法，两个集合的交集的定义，属于中档题．19.【答案】解：(1)由函数图象可知：当5⩽x ⩽8时，Q =−52x +25；当8<x ⩽12时，Q =−x +13；所以得到分段函数Q ={−52x +25,5⩽x ⩽8−x +13,8<x ⩽12; 设月利润与商品每吨定价x 的函数为f (x )，则根据题意得f (x )=Q (x −5)−10， 即f (x )={(−52x +25)(x −5)−10,5⩽x ⩽8−(x −9)2+6,8<x ⩽12={−52(x −152)2+458,5⩽x ⩽8−(x −9)2+6,8<x ⩽12，所以当5⩽x ⩽8时，在x =125，f (x )的取值最大，f (125)=458；当8<x ⩽12时，在x =9，f (x )取值最大，f (9)=6． 所以，当x =9时，f (x )取最大值为6．综上：每吨定价为9万元时，销售该商品的月利润最大，最大利润为6万元．【解析】本题考查了分段函数模型的应用，函数的最值，二次函数的性质，属于中档题． (1)看函数图象知，函数是分段函数，所以分别求两段区间的函数．(2)根据题意得到利润函数式为f (x )=Q (x −5)−10，然后把函数Q (x )展开就又得到利润的分段函数，再分别求两个区间的最大值，然后作比较就可以得到整个函数的最大值，即最大利润．20.【答案】(1)解：根据题意得，x −5>0，解得x >5，即定义域为{x|x >5}(2)解：根据题意可得，{x +2≥01−x ≠0，解得x ≥−2且x ≠1，即定义域为{x|x ≥−2且x ≠1}.故答案为{x|x ≥−2且x ≠1}.【解析】(1)本题主要考查了函数的定义域，属于基础题．(2)本题主要考查了函数的定义域，属于基础题．21.【答案】解：(1)由于二次函数g(x)=ax 2−2ax +1+b 的对称轴为x =1，由题意得：当a >0,{g(2)=1+b =1g(3)=3a +b +1=4，解得{a =1b =0(舍去)当a <0,{g(2)=1+b =4g(3)=3a +b +1=1，解得{a =−1b =3>1∴a =−1,b =3 故g(x)=−x 2+2x +4,f(x)=−x +4x +2 (2)法一：不等式f(2x )−2x −k ≥0，即−2x +42x +2−2x ≥k ，∴k ≤−2⋅2x +42x +2设g(x)=−2⋅2x+42x+2，在相同定义域内减函数加减函数为减函数所以g(x)在[−1,1]内是减，故g(x)min=g(1)=0．∴k≤0，即实数k的取值范围为(−∞,0]．法二：不等式f(2x)−2x−k≥0，即−2x+42x+2−2x−k≥0，∴−2x⋅(2x)2+(2−k)⋅2x+4≥0，令t=2x∈[12,2]，∴化为g(t)=−2⋅t2+(2−k)⋅t+4≥0恒成立，因为g(t)图像开口向下．故只需{g(12)≥0 g(2)≥0。

2019-2020学年上海市上海中学高一上学期期末数学试题一、单选题1．设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在(,0)-∞递增，下列一定正确的是（ ）A ．2332(0)22f f f --⎛⎫⎛⎫>>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B ．()2332322log 4f f f --⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()2332322log 4f f f --⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．233231log 224f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【答案】C【解析】首先根据偶函数在(,0)-∞上递增，得到其在(0,)+∞上递减，将自变量放在同一个单调区间，借助于自变量的大小，得到函数值的大小，从而得到结果 【详解】因为函数()f x 是定义域为R 的偶函数，且在(,0)-∞上递增， 所以函数()f x 在(0,)+∞上递减，因为2332022--<<，所以2332(0)(2)(2)f f f -->>，所以A 项不正确；23323221log 4--<<<，所以23323(2)(2)(log 4)f f f -->>，又因为331log log 44=-，所以3331(log )(log 4)(log 4)4f f f =-=， 观察B 、C 、D 三项很明显C 项正确， 故选：C. 【点睛】该题考查的是有关根据偶函数在给定区间上的单调性，判断函数值的大小的问题，涉及到的知识点有偶函数图象的对称性，偶函数的定义，根据单调性比较函数值的大小，属于简单题目.2．函数()f x 的反函数图像向右平移1个单位，得到函数图像C ，函数()g x 的图像与函数图像C 关于y x =成轴对称，那么()g x =（ ） A ．(1)f x + B ．(1)f x -C ．()1f x +D ．()1f x -【答案】D【解析】首先设出()y g x =图象上任意一点的坐标为(,)x y ，求得其关于直线y x =的对称点为(,)y x ，根据图象变换，得到函数()f x 的图象上的点为(,1)x y +，之后应用点在函数图象上的条件，求得对应的函数解析式，得到结果. 【详解】设()y g x =图象上任意一点的坐标为(,)x y ， 则其关于直线y x =的对称点为(,)y x ，再将点(,)y x 向左平移一个单位，得到(1,)y x +， 其关于直线y x =的对称点为(,1)x y +，该点在函数()f x 的图象上，所以有1()y f x +=， 所以有()1y f x =-，即()()1g x f x =-， 故选：D. 【点睛】该题考查的是有关函数解析式的求解问题，涉及到的知识点有点关于直线的对称点的求法，两个会反函数的函数图象关于直线y x =对称，属于简单题目. 3．设方程3|ln |x x -=的两个根1x 、2x ，则（ ） A ．120x x < B ．121=x xC ．121x x >D ．121x x <【答案】D【解析】作出函数图象，根据图象和对数的运算性质即可求出答案. 【详解】作出函数图象如图所示：若方程3ln xx -=的两根为12,x x ，则1201x x <<<，12123ln ,3ln x x x x --==可得121212ln ln ln ln 330x x x x x x ---=--=->，所以12ln ln 0x x -->，即12ln 0x x <，所以1201x x <<， 故选：D. 【点睛】该题考查的是有关方程的根的大小的判断，涉及到的知识点有对数的运算法则，解决方程根的问题时，可以应用图象的交点来完成，属于简单题目.4．己知函数()y f x =定义域为R ，满足(2)2()f x f x +=，且当2(]0,x ∈时，()(2)f x x x =-，若对任意(,]x m ∈-∞，都32()9f x ≤恒成立，则m 的取值范围为（ ） A ．13,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．14,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．16,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．17,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】B【解析】根据题意，首先求出函数()y f x =在区间(0,2]上的值域为[0,1]，再根据条件(2)2()f x f x +=，判断当6(4],x ∈时()[0,4]f x ∈，32[0,4]9∈，并求解6(4],x ∈时()f x 的解析式，和32()9f x =时对应的两根中较小根，即可得到m 的取值范围. 【详解】当2(]0,x ∈时，2()(2)(1)1f x x x x =-=--+，可求得()[0,1]f x ∈，且在(0,1]上单调增，在[1,2]上单调减， 根据(2)2()f x f x +=，可知当(2,4]x ∈，()[0,2]f x ∈，当6(4],x ∈，()[0,4]f x ∈，且()f x 在(4,5]上单调增，在[5,6]上单调减， 因为32[0,4]9∈，当6(4],x ∈时，()2(2)4(4)f x f x f x =-=-， (42],0x -∈，2()4(4)4[(5)1]f x f x x =-=--+，令2324[(5)1]9x --+=，解得143x =或163x =， 所以对任意(,]x m ∈-∞，都32()9f x ≤恒成立，m 的取值范围为14(,]3-∞，故选：B. 【点睛】该题以分段函数的形式考查了函数的值域，函数解析式的求解，以及利用恒成立求参数取值范围的问题，属于较难题目，解决该题的关键是利用条件可分析函数的图象，利用数形结合比较好分析.二、填空题5．方程lg(21)lg 1x x +-=的解为_________. 【答案】18x =. 【解析】在保证对数式的真数大于0的前提下由对数的差等于商的对数去掉对数符号，求解分式方程得答案. 【详解】因为lg(21)lg 1x x +-=，所以21lglg10x x+=， 所以02102110x x x x⎧⎪>⎪+>⎨⎪+⎪=⎩，解得18x =， 故答案为：18x =. 【点睛】该题考查的是有关对数方程的求解问题，在解题的过程中，注意对数式有意义的条件，对数式的运算法则，属于基础题目.6．函数y =________. 【答案】[0,)+∞【解析】根据指数函数的值域，结合根式有意义的条件，求得函数的值域，得到答案. 【详解】因为1()02x>，所以1()112x->-， 根据根式有意义，有1()102x-≥，所以y =[0,)+∞， 故答案为：[0,)+∞. 【点睛】该题考查的是有关函数的值域的求解问题，属于基础题目. 7．若幂函数图像过点(8,4)，则此函数的解析式是y =________. 【答案】23x【解析】先用待定系数法设出函数的解析式，再代入点的坐标，计算出参数的值即可得出正确选项. 【详解】设幂函数的解析式为y x α=，由于函数图象过点(8,4)，故有48α=，解得23α=， 所以该函数的解析式是23y x =， 故答案为：23x . 【点睛】该题考查的是有关应用待定系数法求幂函数的解析式的问题，属于基础题目. 8．若指数函数x y a =的定义域和值域都是[]2,4，则a =_________；【解析】讨论1a >和01a <<两种情况，根据函数的单调性计算值域得到答案. 【详解】当1a >时：函数()xy f x a ==单调递增，()2422,(4)4f a f a a ====∴=；当01a <<时：函数()xy f x a ==单调递减，()2424,(4)2f a f a ====，无解.综上所述：a =【点睛】本题考查了函数的定义域和值域，分类讨论是一种常用的方法，需要熟练掌握. 9．函数2()4(0)f x x x x =-≤的反函数为_________；【答案】20)x ≥【解析】利用函数表达式解得)20x y =≥，得到反函数.【详解】())22()424(0)20y f x x x x x x y ==-=--≤∴=≥故函数的反函数为1()20)f x x -=≥故答案为20)x ≥【点睛】本题考查了反函数的计算，忽略掉定义域是容易发生的错误.10．若233log 03a a+<+，则实数a 的取值范围是_______.【答案】(0,1)【解析】将0写成1的对数，之后根据函数的单调性整理出关于a 的不等式组，求得结果. 【详解】因为233log 03a a +<+，所以2333log log 13a a+<+，因为函数3log y x =是(0,)+∞上的单调增函数，所以有23013a a+<<+，解得01a <<，所以a 的取值范围是(0,1)， 故答案为：(0,1). 【点睛】该题考查的是有关对数不等式的解法，在解题的过程中，注意结合函数有意义的条件，应用对数函数的单调性，属于简单题目.11．己知函数()f x 定义域为R ，且恒满足()(2)0f x f x +-=，1(1)()f x f x +=-，则函数()f x 的奇偶性为________. 【答案】奇函数 【解析】由1(1)()f x f x +=-，能导出()f x 是周期为2的周期函数，由此能够证明()f x 是奇函数，得到结果. 【详解】 由1(1)()f x f x +=-，得1(2)()(1)f x f x f x +=-=+， 所以()f x 是周期为2的周期函数，所以(2)()f x f x -=-，因为()(2)0f x f x +-=，所以()()0f x f x +-=， 所以()f x 是奇函数， 故答案为：奇函数. 【点睛】该题考查的是有关函数奇偶性的判断问题，在解题的过程中，注意借助于函数的周期性来完成，属于简单题目. 12．函数225xy x x =++单调递增区间为_______.【答案】[【解析】首先判断函数的定义域，得到其图象是不间断的，再讨论当0x ≠时，将函数解析式进行变形得到152y x x=++，再利用5u x x =+的单调区间，结合复合函数的单调性法则，确定出函数225xy x x =++本身的单调增区间，求得结果.【详解】 因为函数225xy x x =++的定义域为R ， 当0x ≠时，152y x x=++， 因为5u x x=+在(,-∞和)+∞上单调递增，在[0)和上单调递减，根据复合函数单调性法则，可知152y x x=++应该在[0)和上单调递增， 而函数225xy x x =++本身在0x =处有意义，且函数图象不间断， 所以函数225xy x x =++的增区间是[，故答案为：[. 【点睛】该题考查的是有关函数单调区间的求解问题，涉及到的知识点有对勾函数的单调区间，复合函数单调性法则，属于简单题目.13．函数42()21x x xcf x ++=+在定义域上单调递增，则c 的取值范围__________. 【答案】(,1]-∞【解析】首先将函数解析式进行化简，之后令21(1,)xt +=∈+∞，将函数化为1cy t t=+-(1,)t ∈+∞，之后结合复合函数的单调性，求得参数的取值范围.【详解】422(21)()2(21)121212121x x x x x xx x x xc c c c f x ++++===+=++-++++， 令21(1,)xt +=∈+∞，且t 随x 的增大而增大，且当0c ≤时，cy t=在(1,)+∞上是增函数， 所以函数1cy t t=+-在(1,)+∞上是增函数， 所以函数42()21x x x cf x ++=+在定义域上是增函数，当0c >时，函数1cy t t=+-在)+∞上是增函数，1，即1c ≤， 所以c 的取值范围为(,1]-∞， 故答案为：(,1]-∞. 【点睛】该题考查的是有关根据函数的单调性确定参数的取值范围的问题，涉及到的知识点有指数型函数的单调性，对勾函数的单调区间，复合函数单调性法则，属于中档题目. 14．关于x 的方程2282x m x -=+有两个不同解，则m 的取值范围为_________.【答案】1,14⎛⎤⎥⎝⎦【解析】根据式子的意义，将式子转化为2228x m x +=-，将方程有两个不同的解转化为28t m t +=-只有一个正根，画出函数图象求得结果. 【详解】因为220x +>恒成立，所以原式可化为2282x m x -=+，可知280x -≠，所以2228x m x +=-，因为方程有两个不同的解，所以0x =不是方程的根， 令2(0,8)(8,)x t =∈+∞U ， 则方程28t m t +=-只有一个正根， 画出函数28t m t +=-的图象如图所示：可知所求m 的取值范围是：1(,1]4，故答案为：1(,1]4.【点睛】该题考查的是有关根据方程根的情况求参数的取值范围的问题，在解题的过程中，注意将问题正确转化，注意应用函数图象解决问题，属于简单题目. 15．已知函数23()4f x ax =+，()ag x x x =+，对任意的1[1,2]x ∈，存在2[1,2]x ∈，使得()()12f x g x ≥恒成立，则a 的取值范围为__________. 【答案】5,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】对任意的1[1,2]x ∈，存在2[1,2]x ∈，使得()()12f x g x ≥恒成立，等价于min max ()()f x g x ≥在区间[1,2]上恒成立，对a 的取值进行分类讨论，利用单调性求出min ()f x 和min ()g x ，列出关于a 的不等式组求得答案.【详解】当0a <时，23()4f x ax =+在区间[1,2]上单调递减，min 3()(2)44f x f a ==+，()ag x x x =+在区间[1,2]上单调递增，min ()1g x a =+， 所以3414a a +≥+，解得112a ≥，因为0a <，所以无解；当0a ≥时，可知min 3()(1)4f x f a ==+，当01a ≤≤时，()ag x x x =+在区间[1,2]上单调递增，其最小值为(1)1g a =+，所以有01314a a a ≤≤⎧⎪⎨+≥+⎪⎩，无解， 当14a <<时，()ag x x x=+在区间上单调减，在4]上单调增，其最小值为g =，所以有1434a a <≤⎧⎪⎨+≥⎪⎩542a ≤≤， 所以a 的取值范围是5[,4]2， 故答案为：5[,4]2. 【点睛】该题考查的是有关根据恒成立求参数的取值范围的问题，涉及到的知识点有根据题意将恒成立问题向最值转化，求含参的函数在给定区间上的最值，属于中档题目.16．已知函数()||1||3|1|f x x x =----，若()246(4)f a a f a +=，则实数a 的取值范围为_______.【答案】3313,4424⎡---+⎧⎫⎡⎫⋃⋃+∞⎨⎬⎢⎪⎢⎩⎭⎣⎭⎣⎦. 【解析】首先利用分类讨论将函数解析式进行化简，从而分析判断要使2(46)(4)f a a f a +=，会出现哪些情况，列出对应的式子求解即可.【详解】因为131,1()131131,13131,3x x x f x x x x x x x x x ⎧-+--<⎪=----=-+--≤<⎨⎪--+-≥⎩，即3,1()25,131,3x f x x x x ≤⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩，画出函数图象如图所示：可以看到(2)(3)1f f ==，要使2(46)(4)f a a f a +=，则有以下几种情况： ①246141a a a ⎧+≤⎨≤⎩313313x ---+≤≤； ②22146 2.514 2.5464a a a a a a ⎧<+≤⎪<≤⎨⎪+=⎩，无解；③222.54632.543464a a a a a a ⎧<+≤⎪<≤⎨⎪+=⎩，无解.④2214631434645a a a a a a ⎧<+≤⎪<≤⎨⎪++=⎩，无解；⑤246343a a a ⎧+≥⎨≥⎩，解得34a ≥， ⑥246243a a a ⎧+=⎨≥⎩，无解；⑦246342a a a ⎧+≥⎨=⎩，解得12a =； 所以a 的取值范围为31331313[,[,)4424--⎧⎫+∞⎨⎬⎩⎭U U ， 故答案为：31331313[][,)24---+⎧⎫+∞⎨⎬⎩⎭U U .【点睛】该题考查的是有关根据函数值相等，求参数的取值范围的问题，涉及到的知识点有含有绝对值的式子的化简，函数值相等的条件，属于中档题目.三、解答题17．已知函数()f x 定义域为R ，当0x >时，2()lg 2f x x x x =--.（1）若()f x 是偶函数，求0x <时()f x 的解析式；（2）若()f x 是奇函数，求x ∈R 时()f x 的解析式.【答案】（1）2()lg(2)f x x x x =+--；（2）22lg(2),(0)()0,(0)lg(2),(0)x x x x f x x x x x x ⎧-->⎪==⎨⎪--+-<⎩【解析】（1）当0x <时，0x ->，代入函数解析式，根据偶函数的定义，求得相应区间上的()f x 的解析式；（2）当0x <时，0x ->，代入函数解析式，根据奇函数的定义，求得相应区间上的()f x 的解析式，再利用(0)0f =，进而求得()f x 在R 上的解析式.【详解】（1）因为()f x 为偶函数，当0x <时，0x ->，则22()()()lg 2()lg(2)()f x x x x x x x f x -=-----=+--=，所以当0x <时，2()lg(2)f x x x x =+--；（2）因为()f x 为奇函数，当0x <时，0x ->， 22()()()lg 2()lg(2)()f x x x x x x x f x -=-----=+--=-，所以2()lg(2)f x x x x =--+-，且(0)0f =， 所以22lg(2),(0)()0,(0)lg(2),(0)x x x x f x x x x x x ⎧-->⎪==⎨⎪--+-<⎩. 【点睛】该题考查的是有关根据函数在某一区间上的解析式，结合函数奇偶性的定义，求得函数的解析式，属于简单题目.18．设关于x 的方程1936(5)0x x k k k +-+-=.（1）若常数3k =，求此方程的解；（2）若该方程在[0,2]内有解，求k 的取值范围.【答案】（1）3log 4x =；（2）182k ≤≤. 【解析】（1）将3k =代入方程，得到3993120x x ⋅-⋅-=，将其整理得到(31)(34)0x x +-=，集合指数函数的值域，得到34x =，从而得到3log 4x =，求得结果；（2）将式子1936(5)0x x k k k +-+-=整理得出309336x x k =-⋅+，令3,[0,2]x t x =∈，则[1,9]t ∈，借助于二次函数在某个区间上的值域求得最后的结果.【详解】（1）当3k =时，方程1936(5)0x x k k k +-+-=即为3993120x x ⋅-⋅-=，化简得93340x x -⋅-=，即(31)(34)0x x +-=，解得31x =-（舍去）或34x =，所以3log 4x =，所以，此方程的解为3log 4x =，（2）由1936(5)0x x k k k +-+-=可得1(936)30x k k +-+=， 所以309336x x k =-⋅+， 令3,[0,2]x t x =∈，则[1,9]t ∈， 所以22315933636()24x x t t t -⋅+=-+=-+， 由[1,9]t ∈可得当32t =时，2315()24t -+最小值为154， 当9t =时，2315()24t -+的最大值为60， 所以130303015609364x x +≤≤-+，即182k ≤≤， 所以k 的取值范围是1[,8]2. 【点睛】该题考查的是有关求方程的解或者方程在某个区间上有解求参数的取值范围的问题，在解题的过程中，注意换元思想的应用，以及二次函数在某个区间上的值域的求解方法，属于中档题目.19．某环线地铁按内、外线同时运行，内、外环线的长均为30千米（忽略内、外环线长度差异），新调整的方案要求内环线列车平均速度为20千米/小时，外环线列车平均速度为30千米/小时，现内、外环线共有18列列车全部投入运行，其中内环投入x 列列车.（1）写出内、外环线乘客的最长候车时间（分钟）分别关于x 的函数解析式；（2）要使内、外环线乘客的最长候车时问之差距不超过1分钟，问内、外环线应各投入几列列车运行？（3）要使内、外环线乘客的最长候车时间之和最小，问内、外环线应各投入几列列车运行？【答案】（1）()*9060,117,18t t x x N x x==≤≤∈-外内；（2）内环线11列列车，外环线7列列车；（3）内环线10列列车，外环线8列列车..【解析】（1）根据题意，结合最长候车时间等于两列列车对应的时间差，列车式子得出结果，注意自变量的取值范围；（2）根据题意，列出对应的不等关系式，求解即可，在解的过程中，注意自变量的取值范围；（3）根据题意，列出式子，结合对勾函数的单调性，求得函数的变化趋势，最后求得取最值时x 的值.【详解】（1）根据题意可知，内环投入x 辆列车，则外环投入(18)x -辆列车， 从而可得内环线乘客的最长候车时间为30906020t x x =⨯=内分钟， 外环线乘客的最长候车时间为30606030(18)18t x x=⨯=--外分钟， 根据实际意义，可知117,x x N *≤≤∈， 所以90t x =内，6018t x=-外(117,)x x N *≤≤∈； （2）由题意可得9060=118t t x x --≤-内外， 整理得221321620016816200x x x x ⎧+-≤⎨-+≤⎩所以16813222x --+≤≤ 因为x N *∈，所以11x =，所以当内环线投入11列列车运行，外环线投入7列列车时，内外环线乘客的最长候车时间之差不超过1分钟；（3）令29060162030()+=1818x u x t t x x x x-=+=--内外 2230(54)30(54)18(54)90(54)3654x x x x x x --==--+-+⨯ 303036543654(54)9090[(54)]5454x x x x==⨯⨯-++--+--可以确定函数在[1,54-上单调递减，在[54-上单调递增， 结合x N *∈的条件，可知当10x =时取得最小值，所以内环线10列列车，外环线8列列车时，内、外环线乘客的最长候车时间之和最小.【点睛】该题考查的是有关函数的应用题，涉及到的知识点有建立函数模型，求解不等式，求函数的最小值，属于较难题目.20．已知集合M 是满足下列性质的函数()f x 的全体：在定义域内存在实数t ，使得(2)()(2)f t f t f +=+.（1）判断函数()f x kx =（k 为常数）是否属于集合M ；（2）若2()ln 1a f x x =+属于集合M ，求实数a 的取值范围； （3）若2()2x f x bx =+，求证：对任意实数b ，都有()f x 属于集合M .【答案】（1）属于；（2）[15a ∈-+；（3）证明见解析【解析】（1）利用()f x kx =时，方程(2)()(2)f t f t f +=+，此方程恒成立，说明函数()f x kx =（k 为常数）属于集合M ；（2）由2()ln1a f x x =+属于集合M ，推出22ln ln ln (2)115a a a x x =++++有实数解，即方程2(5)4550a x ax a -++-=有实数解，分5a =和5a ≠两种情况，得到结果；（3）当2()2x f x bx =+时，方程(2)()(2)f x f x f +=+有解，令()3244x g x bx =⋅+-，则()g x 在R 上的图象是连续的，当0b ≥时，当0b <时，判定函数是否有零点，证明对任意实数b ，都有()f x 属于集合M .【详解】（1）当()f x kx =时，方程(2)()(2)f t f t f +=+(2)2k t kt k ⇔+=+， 此方程恒成立，所以函数()f x kx =（k 为常数）属于集合M ；（2）由2()ln 1a f x x =+属于集合M ， 可得方程22ln ln ln (2)115a a a x x =++++有实数解， 即222455(1)a a x x x =+++，整理得方程2(5)4550a x ax a -++-=有实数解， 当5a =时，方程有实根14-， 当5a ≠时，有2164(5)(55)0a a a ∆=---≥，解得155a -≤<或515a <≤+综上，实数a 的取值范围为[15a ∈-+；（3）当2()2x f x bx =+时，方程(2)()(2)f x f x f +=+有解，等价于2222(2)244x x b x bx b +++=+++有解，整理得32440x bx ⋅+-=有解，令()3244xg x bx =⋅+-，则()g x 在R 上的图象是连续的， 当0b ≥时，(0)10,(1)420g g b =-<=+>，故()g x 在(0,1)上有一个零点，当0b <时，11(0)10,()320b g g b=-<=⋅>， 故()g x 在1(,0)b上至少有一个零点，故对任意的实数b ，()g x 在R 上都有零点，即方程(2)()(2)f x f x f +=+总有解，所以对任意实数b ，都有()f x 属于集合M .【点睛】该题考查的是有关函数的问题，涉及到的知识点有新定义，方程有解转化为函数有零点，分类讨论思想，属于难题.21．对于函数3()3||1f x x x c =--+.（1）当0,()c f x =向下和向左各平移一个单位，得到函数()g x ，求函数()g x 的零点；（2）对于常数c ，讨论函数()f x 的单调性；（3）当0c =，若对于函数()f x 满足()()f x a f x +>恒成立，求实数a 取值范围.【答案】（1）1x =或1x =-；（2）当1c ≥，单调递增；当11c -≤<，在(,]c -∞上递增，[,1]c 上递减，[1,)+∞上递增；当1c <-，在(,1]-∞-递增，[1,1]-递减，[1,)+∞递增；（3）a >【解析】（1）将0c =，求得3()3||1f x x x =-+，利用图象变换原则求得3()(1)31g x x x =+-+，分类讨论去掉绝对值符号，求得函数的零点；（2）将函数解析式中的绝对值符号去掉，得到分段函数，利用导数，分类讨论求得函数的单调性；（3）化简函数解析式，将不等式转化，找出不等式恒成立的关键条件，得到结果.【详解】（1）因为0c =，所以3()3||1f x x x =-+， 根据题意，可得3()(1)31g x x x =+-+，令()0g x =，即3(1)310x x +-+=，当10x +≥时，原式化为2(1)(22)0x x x ++-=，解得1x =-或1x =，当10x +<时，原式化为2(1)(24)0x x x +++=，无解，所以函数()g x 的零点为1x =-或1x =-； （2）333331,()31331,x x c x c f x x x c x x c x c⎧-++≥=--+=⎨+-+<⎩，当x c ≥时，3()331f x x x c =-++， 2'()333(1)(1)f x x x x =-=+-，当x c <时，3()331f x x x c =+-+， 2'()33f x x =+，所以当1c ≥时，'()0f x ≥恒成立，()f x 在(,)-∞+∞上单调递增，当11c -≤<时，令'()0f x ≥，解得x c ≤或1x ≥，所以()f x 在(,]c -∞和[1,)+∞上单调递增，令'()0f x <，解得1c x ≤≤，所以所以()f x 在[,1]c 上单调递减。

复旦附中2020学年第一学期高一年级数学期末考试试卷一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果． 1.函数()2()log 2f x x =+−的定义域为____________. 【答案】()2,4【解析】由已知得，2420x x ⎧⎪⇒<<−>>2.不等式()()2233131x x −>+的解集为____________. 【答案】()1,0−【解析】()()2233131x x −>+>的解， 解得10x −<<3.函数2()log (31),[0,5]f x x x =+∈的反函数是____________.【答案】21,[0,4]3x y x −=∈【解析】由已知得，[][]312,0,5,0,4yx x y +=∈∈所以()f x 的反函数是21,[0,4]3x y x −=∈4.对于实数,,,a b c d ，定义a b ad bc c d−=. 设函数22log (1)1()log 1x f x x −−=，则方程()1f x =的解为 .【答案】2x =【解析】由已知得，222()log (1)log log (1),(1)f x x x x x x =−+=−> 令方程()1f x =，即(1)2x x −=，2,1x x ==−（舍） 故答案为2x = 5.若函数()1axf x x =+在区间(0,)+∞是严格增函数，则实数a 的取值范围是___ _____.【答案】0a >【解析】由已知得，()1()111a x a ax af x a x x x +−===−+++ 因为函数()1axf x x =+在区间(0,)+∞是严格增函数 所以实数a 的取值范围是0a >6.已知函数24()min 1,log f x x x ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭，若函数()()g x f x k =−恰有两个零点，则k 的取值范围为_______________. 【答案】(1,2)【解析】由已知得，当04x <≤时，241log x x +≥，当4x >时，241log x x+< 故241,4()log ,04x f x xx x ⎧+>⎪=⎨⎪<≤⎩ 因为函数()()g x f x k =−恰有两个零点等价于函数()f x 与y k =的图像有两个交点， 作出函数图像可知，k 的取值范围为(1,2)7.已知函数15()||(0)2f x x x x =+−>，则()f x 的递减区间是_______. 【答案】1(0,)2,(1,2)【解析】由已知得，151,021522()||5112222x x x x f x x x x x x ⎧+−<≤≥⎪⎪=+−⎨⎪−−<<⎪⎩=或，则()f x 的递减区间是1(0,)2,(1,2)8.若函数()232x x f x −=+⋅的图像关于直线x m =成轴对称图形，则m =___ . 【答案】3log 212=m 【解析】对任意的R x ∈，)()(x m f m x f −=+成立，故m x x m m x m x −−−−+⋅+=⋅+232232，整理得0)232)(22(=⋅−−−−mmxx，所以0232=⋅−−m m ，即3log 212=m9.若关于x 的不等式1202x x m −−<在区间[0,1]内恒成立，则实数m 的取值范围为_____.【答案】⎪⎭⎫ ⎝⎛223，【解析】题源选自【2017年浦东一模10】 由1|2|02x x m −−<，得122x x m −<，∴11222xx xm −<−<， 即112222xx x xm −<<+在区间[0,1]内恒成立， 函数1()22xx f x =−在区间[0,1]内单调递增，()f x ∴的最大值为32；令1()22x x g x =+，2(12)x t t =≤≤， 则1y t t=+在[1,2]上为增函数，由内函数2x t =为增函数，1()22x xg x ∴=+在区间[0,1]内单调递增，()g x 的最小值为2．∴322m <<．故答案为：322m <<． 10.已知函数22()(815)()f x x x ax bx c =++++是偶函数，若方程21ax bx c ++=在区间[]1,2上有解，则实数a 的取值范围是_____________.【答案】11,83⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】题源选自【2020年普陀一模10】函数整理为()()()()432()815815815f x ax a b x a b c x b c x c =+++++++++，因为函数是偶函数，需80a b +=，1580b c +=，即8b a =−，15158c b a =−=，所以21ax bx c ++=可整理：281510ax ax a −+−=.令()28151g x ax ax a =−+−，对称轴4x =在区间[]1,2的右侧，可保证区间内函数()g x 单调，根据零点存在性定理：()()120g g ⋅≤，即()()81514161510a a a a a a −+−⋅−+−≤，易得11,83a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦11.若函数()221++=+x x af x x ()0x ≥的值域为[),a +∞，则实数a 的取值范围是_____.【答案】(],2−∞【解析】由已知得，()22(1)11(1)(0)1121x x a f x x a a x x x x x +−++++=+−==+≥++因为(0)f a =,所以①当10a −≤ 时，即1a ≤时，1()(1)1a f x x x −=+++在[)0,+∞上的增函数， 所以min ()(0)f x f a ==满足值域为[),a +∞，此时1y x =+为增函数，11a y x −=+也为增函数，因此()y f x =为增函数，②当11a −>时，即2a >时，1()(1)1a f x x x −=+++在1)−上单调递减，在单调递增，min ()1)f x f ∴=−且(0)1)f f >不满足值域为[),a +∞，舍去 ③当011a <−≤时，即12a <≤时，()y f x =在[)0,+∞上单调递增， 所以min ()()(1)f x f x f a ∴≥==满足的值域为[),a +∞ 综上所述，a 的取值范围为2a ≤，即(,2]a ∈−∞12.已知集合[][],14,9A t t t t =+++，0A ∉，存在正数λ，使得对任意a A ∈，都有A aλ∈，则t 的值是____________. 【答案】1或3−【解析】题源选自【2019年上海春考12】 【法一】当0t >时，当[],1a t t ∈+，则[]4,9t t aλ∈++，当[]4,9a t t ∈++，则[],1t t aλ∈+，即当a t =时，9t aλ≤+；当9a t =+时，t aλ≥，即()9t t λ=+；即当1a t =+时，4t aλ≥+，当4a t =+时，1t aλ≤+，即()()14t t λ=++，所以()()()914t t t t +=++，解得1t =.当104t t +<<+时， 当[],1a t t ∈+，则[],1t t aλ∈+，当[]4,9a t t ∈++，则[]4,9t t aλ∈++，即当a t =时，1t aλ≤+，当1a t =+时，t aλ≥，即()1t t λ=+；即当4a t =+时，9t aλ≤+，当9a t =+时，4t aλ≥+即()()49t t λ=++，所以()()()149t t t t +=++，解得3t =−.当90t +<时，同理可得，无解【法二】存在正数λ，使得对任意1a A ∈，都存在2a A ∈，使得12a a λ=， 当0t >时， 思考 当1a t =时，()()124,9a a t t t t λ=∈++⎡⎤⎣⎦ 当11a t =+时，()()()()1214,19a a t t t t λ=∈++++⎡⎤⎣⎦ 当14a t =+时，()()()124,14a a t t t t λ=∈+++⎡⎤⎣⎦ 当19a t =+时，()()()129,19a a t t t t λ=∈+++⎡⎤⎣⎦二、选择题（本大题共4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13.已知()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x <时，()3xf x =，则函数()f x 的值域为（ ）A .()1,1−B ．[)0,1C ．RD ．[]0,1 【答案】A【解析】因为()f x 为定义在R 上的奇函数，所以(0)0f = 又因为0x <时，()3xf x =，所以()(0,1)f x ∈当0x >时，则0x −<所以()()3x f x f x −=−−=−，所以()(1,0)f x ∈− 综上所述，函数的值域为()1,1−，故选A14.中国的5G 技术领先世界，5G 技术的数学原理之一便是著名的香农公式：2log 1S C W N ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C 取决于信道带宽W 、信道内信号的平均功率S 、信道内部的高斯噪声功率N 的大小，其中SN叫做信噪比. 按照香农公式，若不改变带宽W ，而将信噪比SN从1000提升至5000，则C 大约增加了（ ） A ．20% B ．23%C ．28%D ．50%【答案】B 【解析】将信噪比SN从1000提升至5000时，C 大约增加了 222log (15000)log (11000)log (11000)W W W +−++2225000lg1000log 5001log 10012lg 2lg1000log 1001lg 2lg lg −−=≈120.2323%3lg −=≈= 故选B15.若函数1()ln f x x a x=−+在区间(1,)e 上存在零点，则常数a 的取值范围（ ） A. 01a << B.11a e << C. D. 【答案】C【解析】因为1()ln ,(1,)f x x a x e x=−+∈ 1e -1<a <11e+1<a <1所以()()10f f e ⋅<因为1(1)ln110,()ln 0f a f e e a e=−+<=−+> 所以常数a 的取值范围16.设函数()f x 的定义域是R ，已知以下三个陈述句：p ：存在a ∈R 且0a ≠，对任意的x ∈R ，均有(2)(2)()x a x f f f a +<+恒成立；1q ：()f x 严格递减，且()0f x >恒成立；2q ：()f x 严格递增，存在00x <，使得0()0f x =；用这三个陈述句组成了两个命题，命题S ：“若1q ，则p ”；命题T ：“若2q ，则p ”，则关于S,T ，以下说法正确的是（ ）A. 两个命题S,T 都是真命题B. 只有命题S 是真命题C. 只有命题T 是真命题D. 两个命题S,T 都不是真命题 【答案】A【解析】本题考察函数的性质1q ：当0a >时，()0f a >，()f x 单调递减，且()0f x >而()()()222()22x a x x axx f f f f a ''++>⇒<<+ ，()()22()x a x f f f a +⇒<+，符合p所以1q 可推得p ，“若1q ，则p ”成立，所以S 为真2q ：当00a x =<时，()0f a =，()f x 单调递增而,22x a x x a x ++<<()()()()22202()x a x x x f f f f f a +⇒<=+=+ ()()222()x a x f f f a +⇒<+所以2q 可推得p ，“若2q ，则p ”成立，所以T 为真 综上所述，命题S ，T 均为真命题，故选A1e-1<a <1三、解答题（本大题共5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 已知函数()()2151m h x m m x+=−+为幂函数，且为奇函数.（1）求m 的值；（2）求函数()()=+g x h x 在11,2x ⎡⎤∈−⎢⎥⎣⎦的值域.【解析】（1）2511m m −+=， 解得0m =或5m =. 即()h x x =或()6h x x =.又因为函数()h x 为奇函数，所以()h x x =，0m =.（2）()()g x h x x ==+设t =11,2x ⎡⎤∈−⎢⎥⎣⎦，所以t ⎡∈⎣，212tx −=. 所以()22111122t y t t −=+=−−+（此处可用单调性代替）当1t =时，max 1y =，当0t =时，min 12y =，故值域为1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦.18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知函数()12|log |h x x =. （1）求()h x 在11,22a a ⎡⎤⎛⎫> ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭上的最大值；（2）设函数()f x 的定义域为I ，若存在区间A I ⊆，满足：对任何1x A ∈，都存在2x A ∈（其中A 表示A 在I 上的补集），使得()()12f x f x =，则称区间A 为()f x 的“Γ区间”.已知12()|log |h x x =（1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦），若1,2A a ⎡⎫=⎪⎢⎣⎭是函数()h x 的“Γ区间”，求a 的最大值.【解析】（1）()1212h h ⎛⎫==⎪⎝⎭，① 若112a <≤，则()h x 在1,2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以()h x 的最大值为112h ⎛⎫= ⎪⎝⎭； ② 若12a <≤，则()h x 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在[]1,a 上单调递增，因此此时()()1212h a h h ⎛⎫≤==⎪⎝⎭，所以()h x 的最大值为112h ⎛⎫= ⎪⎝⎭； ③ 若2a >，则()h x 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在[]1,a 上单调递增， 因此此时()()122h a h h ⎛⎫≥= ⎪⎝⎭，所以()h x 的最大值为()12|log |h a a =； 综上知：若122a <≤，则()h x 的最大值为1；若2a >，则()h x 的最大值为12|log |a ；（2）由已知： ①当112a <≤时，()f x 在1[,)2a 上的值域为12(|log |,1]a ， ()f x 在[,2]a 上的值域为[0,1]，因为[]12(|log ,1|]0,1a ⊆， 满足条件，所以此时1,2a ⎡⎫⎪⎢⎣⎭是()f x 的“Γ区间”； ②当12a <≤时，()f x 在1,2a ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上得到值域为[]0,1，()f x 在[],2a 上的值域为12|log |,2a ⎡⎤⎣⎦，此时，120|log |,2a ⎡⎤∉⎣⎦所以此时1,2a ⎡⎫⎪⎢⎣⎭不是()f x 的“Γ区间”； 故所求a 的最大值为1. 19.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）新冠肺炎疫情发生以后，口罩供不应求，某口罩厂日夜加班生产，为抗击疫情做贡献. 生产口罩的固定成本为400万元，每生产x 万箱，需另投入成本()p x 万元，当产量不足60万箱时，()21502p x x x =+；当产量不小于60万箱时，()64001011860p x x x=+−. 若每箱口罩售价100元，通过市场分析，该口罩厂生产的口罩可以全部销售完. （1）求口罩销售利润y （万元）关于产量x （万箱）的函数关系式； （2）当产量为多少万箱时，该口罩生产厂在生产中所获得利润最大？ 【解析】（1）当060x <<时，2211100504005040022y x x x x x ⎛⎫=−+−=−+− ⎪⎝⎭；当60x ≥时，6400640010010118604001460y x x x x x ⎛⎫⎛⎫=−+−−=−+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 所以，2150400,060,264001460,60,,x x x x N y x x x N x ⎧−+−<<∈⎪⎪=⎨⎛⎫⎪−+≥∈ ⎪⎪⎝⎭⎩（2）当060x <<时，221150400(50)85022y x x x =−+−=−−+， 当50x =时，y 取得最大值，最大值为850万元； 当60x ≥时，6400146014601300y x x ⎛⎫=−+≤−= ⎪⎝⎭， 当且仅当6400x x=时，即80x =时，y 取得最大值，最大值为1300万元. 综上，当产量为80万箱时，该口罩生产厂在生产中获得利润最大，最大利润为1300万元.20.（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分） 设0a >，函数1()12xf x a =+⋅． （1）若1a =，求()f x 的反函数1()f x −；（2）求函数()()y f x f x ⋅−=的最大值(用a 表示) ；（3）设()()(1)g x f x f x =−−．若对任意(,0]x ∈−∞，)(()0g x g ≥恒成立，求a 的取值范围．【解析】（1）()f x 值域(0,1)21log yx y−= 121()log (01)xf x x x−−=<<（定义域可不写） （2）21(1)(22)x x y a a −=+++2121a a ≤=++当0x =时，等号成立 所以最大值为2121a a ++ （3）2()2232x xag x a a −=⋅++， 令2(0,1]xt =∈，因此223ay a t a t−=++ 在1t =时取得最小值，即22a t t+ 在1t =时取得最小值 由函数22y a t t =+在严减，在)+∞严增得1≥整理得，0a <≤另解，222()(2)322xx x a g x a a −⋅=+⋅+令2(0,1]x t =∈，则2232aty a t at −=++，由已知，当(0,1]t ∈时，2223232at aa t at a a −−≥++++恒成立，整理得，2(1)(2)0t a t −−≥恒成立，由10t −<得，220a t −≤恒成立，得0a <≤21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分） 已知函数()f x x x a =−，其中a 为常数. （1）当1a =时，解不等式()2f x <；（2）若()f x 是奇函数，判断并证明()f x 的单调性； （3）若在[0,2]上存在2021个不同的实数(1,2,,2021)i x i =，122021x x x <<<，使得122320202021()()()()()()8f x f x f x f x f x f x −+−++−=，求实数a 的取值范围.解：(1) 当1x ≥时，220x x −−<，即12x ≤< 当1x <时，220x x −+>，即1x <综上，该不等式的解集为(,2)−∞− (2)0a = 在R 上严增（分0x ≥和0x <两种情况写不给分） 证明略 (3)①当0a ≤时，()()f x x x a =−在[0,2]上是严格增函数122311()()()()()()()()n n n f x f x f x f x f x f x f x f x −∴−+−++−=−，取值范围是(0,2(2)]a −2(2)8a ∴−≥ 解得：2a ≤−②当4a ≥时，()()f x x a x =−在[0,2]上是增函数122311()()()()()()()()n n n f x f x f x f x f x f x f x f x −∴−+−++−=−取值范围是(0,2(2)]a −2(2)8a ∴−≥ 解得：6a ≥③当24a ≤<时，由三角不等式，122312()()()()()()()(0)(2)224(4)44242n n f x f x f x f x f x f x a a af f f a a −−+−++−≤−−=⨯−+=−+<不满足条件 ④当02a <<时，由三角不等式，122312()()()()()()2()(0)()(2)24(4)44222n n f x f x f x f x f x f x a a af f f a f a a −−+−++−≤−−+=−+=−+<，不满足条件综上，a 的取值范围为(,2][6,)−∞−+∞虹口区2020学年第一学期高一年级数学期末考试试卷2021.01一. 填空题1. 已知集合{1,1,2}A =−，2{|0}B x x x =+=，则A B =【答案】{1}−2. 不等式301x x +≤−的解集为 【答案】[3,1)−3. 函数4()f x x x =+，1[,4]2x ∈的值域为【答案】17[4,]24. 计算：7log 222220log 2log 3log 579+−+= 【答案】45. 用“二分法”求方程340x x +−=在区间(1,2)内的实根，首先取区间中点 1.5x =进行判断，那么下一个取的点是x = 【答案】1.256. 已知条件:211p k x k −≤≤−，:33q x −≤<，且p 是q 的必要条件，则实数k 的取 值范围为 【答案】(,2]−∞−7. 不等式|2||1|5x x ++−≤的解集为 【答案】[3,2]−8.（A 组题）已知函数()3x f x a =+的反函数为1()y f x −=，若函数1()y f x −=的图像过 点(3,2)，则实数a 的值为 【答案】6−（B 组题）已知函数||()2x a f x −=在区间[1,)+∞上是严格增函数，则实数a 的取值范围为 【答案】(,1]−∞9.（A 组题）已知集合1{|||3A x x m m =−<+，其中,x m ∈Z ，且0}m >，1{|||3B x x =+< 2m ，其中,x m ∈Z ，且0}m >，则AB 的元素个数为 （用含正整数m 的式子表示） 【答案】2m（B 组题）若集合2{|560}A x x x =+−=，{|30,}B x ax a =+=∈R ，且B A ⊂，则满足条件的实数a 的取值集合为 【答案】1{3,0,}2−10.（A 组题）已知函数2230()30x x x f x x x x ⎧+≥=⎨−<⎩，若2(3)(2)0f a f a −+>，则实数a 的 取值范围为【解析】画图可知，可知()y f x =是R 上的奇函数，严格增函数，由2(3)(2)0f a f a −+>得2(3)(2)(2)f a f a f a −>−=−，所以232a a −>−，解得(,3)(1,)a ∈−∞−+∞.（B 组题）已知函数()y f x =是定义在实数集R 上的偶函数，若()f x 在区间(0,)+∞上 是严格增函数，且(2)0f =，则不等式()0f x x≤的解集为 【答案】(,2](0,2]−∞−二. 选择题11. 已知a 、b 都是实数，那么“a b >”是“33a b >”的（ C ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件12. 函数412x xy +=的图像的对称性为（ B ） A. 关于x 轴对称 B. 关于y 轴对称C. 关于原点对称D. 关于直线y x =对称 13. 已知全集U =R 及集合21{|284a A a −=≤<，且}a ∈Z ，2{|3100Bb b b =+−>， 其中}b ∈R ，则AB 的元素个数为（ B ）A. 4B. 3C. 2D. 114. 已知函数2x y x =+，ln y x x =+，lg y x x =+的零点依次为1x 、2x 、3x ，则1x 、2x 、3x 的大小关系为（ D ）A. 123x x x <<B. 213x x x <<C. 231x x x <<D. 132x x x <<【解析】转化为123()2,()ln ,()lg xf x f x x f x x ===与y x =−交点的横坐标的大小关系，易得132x x x <<，故选D.15.（A 组题）设()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，2()f x x =，若对任意 的[,2]x t t ∈+，不等式()2()f x t f x +≥恒成立，则实数t 的取值范围是（ A ）A. )+∞B. [2,)+∞C. (0,2]D. [1][2,3]−【解析】当0x ≥时，2()f x x =满足2())f x f =，易得在R 上，2())f x f =，则对任意[,2]x t t ∈+，不等式())f x f t +≥恒成立，易得()y f x =是定义在R 上的严格增函数，所以x t +≥恒成立，所以1)t x ≥恒成立，所以1)(2)t t ≥−+，解得)t ∈+∞. （B 组题）若函数||y x a =−−与1ay x =+在区间[1,2]上都是严格减函数，则实数a 的 取值范围为（ D ）A. (,0)−∞B. (1,0)(0,1]−C. (0,1)D. (0,1]三. 解答题16. 已知a 、b 是任意实数，求证：4433a b a b ab +≥+，并指出等号成立的条件.【解析】因为()()()()44334343a b a b ab a a b b ab +−+=−+− ()3333()()()a a b b b a a b a b =−+−=−−()22222213()()24a b a ab b a b a b b ⎡⎤⎛⎫=−++=−++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦故()()44330a b a b ab +−+≥，即4433a b a b ab +≥+，当且仅当a b =时，等号成立.17. 某居民小区欲在一块空地上建一面积为12002m 的矩形停车场，停车场的四周留有人行通道，设计要求停车场外侧南北的人行通道宽3m ，东西的人行通道宽4m ，如图所示（图中单位：m ），问如何设计停车场的边长，才能使人行通道占地面积最小？最小面积是多少？ 【解析】设矩形停车场的南北侧边长为x 米，则其东西侧边长为1200x 米， 人行通道占地面积为12007200(6)81200848S x x x x ⎛⎫=++−=++⎪⎝⎭，由平均值不等式，得7200848482244896S x x =++≥+=⨯+=， 当且仅当72008x x =，即30x =时，min 96S =，此时120040x=， 设计矩形停车场的南北侧边长为30m ，则其东西侧边长为40m ，才能使人行通道占地面积最小，最小面积是2528m .18. 已知函数23||1x y x −=+. （1）作出这个函数的大致图像； （2）讨论关于x 的方程23||1x t x −=+的根的个数. 【解析】（1）因为235211x y x x −==−++， 故先将5y x=−的图像向左平移1个单位，再向上平移2个单位，得到函数521y x =−+的图像，再将函数521y x =−+的图像在x 轴下方部分 翻折到x 轴上方，便得到函数23||1x y x −=+的大致图像； （2）当0t <时，方程23||1x t x −=+的根的个数为0， 当0t =或2t =时，方程23||1x t x −=+的根的个数为1， 当02t <<或2t >时，方程23||1x t x −=+的根的个数为2.19. 已知函数16()1x f x a a+=−+（0a >，1a ≠）是定义在R 上的奇函数.（1）求实数a 的值及函数()y f x =的值域；（2）若不等式()33x t f x ⋅≥−在[1,2]x ∈上恒成立，求实数t 的取值范围. 【解析】（1）由()f x 是定义在R 上的奇函数得6(0)0,10f a a=−=+，解得3a =， 此时31()31x x f x −=+，故对于任意的x R ∈，有3131()()03131x x x x f x f x −−−−+−=+=++，即()f x 是定义在R 上的奇函数，所以3a =，令31()31x x f x y −==+，则1301x y y +=>−，解得11y −<<， 即函数()y f x =的值域为(1,1)−；（2）法一：由（1）得31()31x x f x −=+，于是不等式()33x t f x ⋅≥−可化为()23(2)3(3)0xx t t −+⋅+−≤，令3[3,9]x u =∈（因为[1,2]x ∈），则不等式2(2)(3)0u t u t −+⋅+−≤在[3,9]u ∈上恒成立，令2()(2)(3)g u u t u t =−+⋅+−，则()0g u ≤在[3,9]u ∈上恒成立，等价于(3)0(9)0g g ≤⎧⎨≤⎩，即(3)93(2)(3)0(9)819(2)(3)0g t t g t t =−++−≤⎧⎨=−++−≤⎩151522t t t ≥⎧⎪⇔⇔≥⎨≥⎪⎩，所以，实数t 的取值范围是15,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 法二：由（1）得31()31x x f x −=+，当[1,2]x ∈时，()0f x >，于是不等式()33x t f x ⋅≥−可化为 ()()()()2333131433431()313131x x x xx x x xt f x −+−−−≥===−−−−−， 令31[2,8]x v −=∈（因为[1,2]x ∈），则由函数4()φv v v =−在[2,8]上是严格增函数知max 15()(8)2φv φ==， 所以，实数t 的取值范围是15,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 20.（A 组题）已知函数212log (1)0()log (1)0x x f x x x +≥⎧⎪=⎨−<⎪⎩.（1）判断函数()y f x =的奇偶性；（2）对任意的实数1x 、2x ，且120x x +>，求证：12()()0f x f x +>； （3）若关于x 的方程23[()]()04f x af x a +−+−=有两个不相等的正根，求实数a 取值范围. 【解析】（1）2(0)log (10)0f =+=，当0x >时，0x −<，有122()log [1()]log (1)()f x x x f x −=−−=−+=−，即()()f x f x −=−，当0x <时，0x −>，有212()log [1()]log (1)()f x x x f x −=+−=−−=−，即()()f x f x −=−，综上，函数()y f x =在R 上是奇函数；（2）因为函数2log y x =在(0,)+∞上是严格增函数，函数1u x =+在R 上也是严格增函数，故函数2log (1)y x =+在[0,)+∞上是严格增函数， 由（1）得函数()y f x =在R 上是奇函数，由奇函数的单调性得， 函数12log (1)y x =−在(,0)−∞上也是严格增函数，从而函数()y f x =在R 上是严格增函数，由120x x +>，得12x x >−，所以()()()122f x f x f x >−=−， 即()()120f x f x +>；（3）由（1）得函数()y f x =在R 上是奇函数，故原方程可化为23[()]()04f x af x a −+−=， 令()f x t =，则当0x >时，()0t f x =>，原方程有两个不相等的正根等价于：关于t 的方程2304t at a ⎛⎫−+−= ⎪⎝⎭有两 个不相等的正根，即23401343001,343344a a a a a a a a a a ⎧⎛⎫⎧∆=−−> ⎪⎪⎪<>⎝⎭⎪⎪⎪>⇔>⇔<<>⎨⎨⎪⎪⎪⎪−>>⎩⎪⎩或或，所以实数a 取值范围为3,1(3,)4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.（B 组题）设a 是正常数，函数2()log )f x ax =满足(1)(1)0f f −+=. （1）求a 的值，并判断函数()y f x =的奇偶性；（2）是否存在一个正整数M ，使得()M f x >对于任意x ∈恒成立？若存在，求出M 的最小值，若不存在，请说明理由.【解析】（1）由(1)(1)0f f −+=得22log )log )0a a +=，即()22log 20a −=，注意到0a >，解得1a =，于是)2()log f x x =+，对于任意实数x ||0x x x x >=+≥，0x +>恒成立，故()y f x =的定义域是R ，在R 中任取一个实数x ，都有x R −∈，并且))22()log log f x x x −=−=)22log log ()x f x ==−+=−，故()()f x f x −=−，因此)2log y x =是奇函数；（2）设12,x x 是区间上任意给定实数，且12x x <，易知2212011x x <+<+，故120x x <+<，因为2log y x =在(0,)+∞上是严格增函数，故))2122log log x x +<+，从而)2log y x =在上是严格增函数，此时函数的最大值为2log (2，由()M f x >对于任意x ∈恒成立，得2log (2M >+， 又M 是正整数，故M 的最小值是2.附加题对于定义在D 上的函数()y f x =，设区间[,]m n 是D 的一个子集，若存在0(,)x m n ∈，使得函数()y f x =在区间0[,]m x 上是严格减函数，在区间0[,]x n 上是严格增函数，则称函数()y f x =在区间[,]m n 上具有性质P .（1）若函数2y ax bx =+在区间[0,1]上具有性质P ，写出实数a 、b 所满足的条件； （2）设c 是常数，若函数3y x cx =−在区间[1,2]上具有性质P ，求实数c 的取值范围. 【解析】（1）当函数2y ax bx =+在区间[0,1]上具有性质P 时，由其图像在R 上是抛物线， 故此抛物线的开口向上（即0a >），且对称轴是(0,1)2bx a=−∈， 于是实数a 、b 所满足的条件为20a b −<<；（2）记3()f x x cx =−，设12,x x 是区间[1,2]上任意给定的两个实数，总有()()()()2212121122f x f x x x x x x x c −=−++−，若3c ≤，当12x x <时，总有120x x −<且2211220x x x x c ++−>， 故()()120f x f x −<，因此3y x cx =−在区间[1,2]上是严格增函数，舍去，若12c ≥，当12x x <时，总有120x x −<且2211220x x x x c ++−<， 故()()120f x f x −>，因此3y x cx =−在区间[1,2]上是严格减函数，舍去，若312c <<，当12x x <且12,x x ⎡∈⎢⎣时，总有120x x −<且2211220x x x x c ++−<，因此3y x cx =−在区间⎡⎢⎣上是严格减函数，当12x x <且12,x x ⎤∈⎥⎦时，总有120x x −<且2211220x x x x c ++−>，故()()120f x f x −<，因此3y x cx =−在区间⎤⎥⎦上是严格增函数，因此，当(3,12)c ∈时，函数3y x cx =−在区间[1,2]上具有性质P .控江中学2020学年度第一学期期终考试高一数学试卷一、填空题（本大题共12小题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1.已知全集{}{}210,27U x x A x x =<≤=<<，则A =_________. 【答案】[]7,102.设实数a 满足2log 4a =，则a =_________. 【答案】163.已知幂函数235()(1)m m f x m x −−=−的图像不经过原点，则实数m =_________.【答案】24.函数2()21f x x ax =−−在区间[]1,3上为严格减函数的充要条件是_________. 【答案】3a ≥5.函数22()log (1)f x x =−的定义域为_________. 【答案】(1,1)− 6.设函数2,0(),,0x x f x x x −≤⎧=⎨>⎩若()9f α=，则α=_________. 【答案】3或9−7.若函数()(1)xf x a a =>在[]1,2−上的最大值为4，则其最小值为_________.【答案】128.在同一平面直角坐标系中，函数()y g x =的图像与3xy =的图像关于直线y x =对称，而函数()y f x =的图像与()y g x =的图像关于y 轴对称，若()1f a =−，则a 的值是______.【解析】3()log g x x =，3()log ()()1g a a f a −=−==−，所以13a =−. 9.如果关于x 的方程53x x a −++=有解，则实数a 的取值范围是_________. 【解析】=53(5)(3)8a x x x x −++≥−−+=.10.若定义在R 上的奇函数()f x 在(0,)+∞上是严格增函数，且(4)0f −=，则使得()0xf x >成立的x 的取值范围是_________.【解析】()0xf x >，所以,()x f x 同号，又()f x 在(0,)+∞上是严格增函数且为奇函数，(4)0f −=，所以()f x 在(,0)(0,)−∞+∞和上是严格增函数， (4)(4)(0)0f f f −===画出大致图像，()x f x 和在(,4)(4,)−∞−+∞和上同号， 所以(,4)(4,)x ∈−∞−+∞.11. 函数()lg(221)x xf x a −=++−的值域是R ，则实数a 的取值范围是___________.【解析】2211x xa a −++−≥+，所以101a a +≤⇒≤−.12. 若直角坐标平面内两点,P Q 满足条件：①,P Q 都在函数()f x 的图像上；②,P Q 关于原点对称，则对称点(,)P Q 是函数()f x 的一个“匹配点对”（点对(,)P Q 与(,)Q P 看作同一个“匹配点对”）,已知函数2241,0()2,0x x x x f x x e ⎧++<⎪=⎨≥⎪⎩，则()f x 的“匹配点对”有____个.【解析】根据题意：画出两函数的图像，并把2241(0)y x x x =++>的图像关于原点对称的图像，如图：观察图像可得， 他们的交点个数是：2二、选择题13.函数111y x =−+的值域是（ C ） A.(,1)−∞ B.(1,)+∞ C.(,1)(1,)−∞+∞ D.(,)−∞+∞ 14.若,0a b c a b c >>++=，则下列各式正确的是（ D ） A.ab bc > B.ac bc > C.a b b c > D.ab ac >15.已知函数1,0()0,01,0x f x x x >⎧⎪==⎨⎪−<⎩，若2()()F x x f x =⋅，则()F x 是（ B ）A.奇函数，在(,)−∞+∞上为严格减函数B.奇函数，在(,)−∞+∞上为严格增函数C.偶函数，在(,0)−∞上严格减，在(0,)+∞上严格增D.偶函数，在(,0)−∞上严格增，在(0,)+∞上严格减16.设0a b c >>>，则221121025()a ac c ab a a b ++−+−取得最小值时，a 的值为（ A ）2 C. 4D.【解析】2222111121025(5)()()a ac c a c a ab ab ab a a b ab a a b ++−+−+−+++−=− 211(5)()0224()a c ab a a b ab a a b =−+++−+≥++=−， 当且仅当50,1,()1ac ab a a b −==−=，即25a b c ===时取等号， 故选A.三、解答题17.已知函数2()21f x ax ax =++.（1）若实数1a =，请写出函数()3f x y =的单调区间（不需要过程）； （2）已知函数()y f x =在区间[3,2]−上的最大值为2，求实数a 的值. 【解析】（1）当1a =时，222(())11333xx x f x y +++===，严格增区间是(1,)−+∞，严格减区间是(,1)−∞−； （2）①当0a >时，对称轴1[3,2]x =−∈−，所以(2)4412f a a =++=，解得18a =， ②当0a =时，()1f x =不合题意， ③当0a <时，对称轴1[3,2]x =−∈−， 所以(1)212f a a −=−+=，解得1a =−，综上，18a =或1a =−. 18.设函数()|2|,()2f x x a g x x =−=+.（1）当1a =时，求不等式()()f x g x ≤的解集；（2）求证：1,,222b b f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫− ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭中至少有一个不小于12.【解析】（1）当1a =时，不等式()()f x g x ≤即|21|2x x −≤+，所以12212x x x ⎧≤⎪⎨⎪−+≤+⎩或12212x x x ⎧≥⎪⎨⎪−≤+⎩，解得133x −≤≤， 故解集为1,33⎡⎤−⎢⎥⎣⎦；（2）反证法，假设1,,222b b f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫− ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭都小于12，则111111,,1222222a b a b a −<+<−<−<−<−<，前两式相加，得1122a −<<，由最后一个式子得1322a <<，矛盾，所以1,,222b b f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫− ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭中至少有一个不小于12.19. 研究表明：在一节40分钟的网课中，学生的注意力指数y 与听课时间x （单位：分钟）之间的变化曲线如图所示，当[0,16]x ∈时，曲线是二次函数图像的一部分；当[16,40]x ∈ 时，曲线是函数0.880log ()y x a =++图像的一部分，当学生的注意力指数不高于68时， 称学生处于“欠佳听课状态”. （1）求函数()y f x =的解析式；（2）在一节40分钟的网课中，学生处于“欠佳听课状态” 的时间有多长？（精确到1分钟）【解析】（1）当[0,16]x ∈时，设2()(12)84(0)f x b x b =−+<由(16)80f =，得：2(1612)84=80b −+，故14b =−...............2分 当[16,40]x ∈时，由(16)80f =，得：0.8log (16)8080a ++=， 故15a =−.................4分所以20.81(12)84,[0,16]()4log (15)80,(16,40]x x f x x x ⎧−−+∈⎪=⎨⎪−+∈⎩...........................6分（2）当[0,16]x ∈时，由21(12)84684x −−+≤，得：[0,4]x ∈......................3分当[16,40]x ∈时，由0.8log (15)8068x −+≤，得：12150.829.6x −≥+≈所以[30,40]x ∈...........................3分因此，在一节40分钟的网课中，学生处于“欠佳听课状态”的时间有14分 钟..............8分.20. 已知1()log 1amxf x x −=−（0a >、1a ≠）是奇函数. （1）求实数m 的值；（2）判断函数()f x 在(1,)+∞上的单调性，并给出证明；（3）当(,2)x n a ∈−时，()f x 的值域是(1,)+∞，求实数a 与n 的值. 【解析】（1）因为函数()f x 是奇函数，所以()()0f x f x −+=在定义域内恒成立，所以11log log 011aa mx mx x x +−+=−−−，即11111mx mxx x +−⋅=−−−， 即22211m x x −=−在定义域内恒成立，所以21m =，又当1m =时，111mxx −=−−矛盾，所以1m =−； （2）由（1）得1()log 1a x f x x +=−，设11221111x x t x x x +−+===+−−−， 设12,1,)x x ∈+∞，且12x x >，则()()()211212122221111x x t t x x x x −−=−=−−−−， 因为12,1,)x x ∈+∞，且12x x >，所以122110,10,0x x x x −>−>−<， 所以120t t −<，即12t t <，当1a >时，12log log a a t t <，()()12f x f x <，()f x 严格减， 同理，当01a <<时，()f x 严格增；（3）函数()f x 的定义域为(,1)1,)−∞−+∞，①当21n a <−≤−时，01a <<，所以()f x 在(,2)n a −上严格增，要使得()f x 的值域是(1,)+∞，则1log 1121an n a +⎧=⎪−⎨⎪−=−⎩，无解； ②当12n a ≤<−时，3a >，所以()f x 在(,2)n a −上严格减，要使得()f x 的值域是(1,)+∞，则1,1log 13a n a a =⎧⎪−⎨=⎪−⎩，解得2a =+或2a =，综上，1,2n a ==+.21.若函数()f x 的定义域为D ，集合M D ⊆，若存在非零实数t 使得任意x M ∈都有x t D +∈，且()()f x t f x +>，则称()f x 为M 上的t −增长函数.（1）已知函数()g x x =，判断()g x 是否为区间[]1,0−上的32−增长函数，并说明理由； （2）已知函数()f x x =，且()f x 是区间[4,2]−−上的n −增长函数，求正整数n 的最小值；（3）如果()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x ≥时，22()f x x a a =−−，且()f x 为R 上的4−增长函数，求实数a 的取值范围.【解析】（1）()g x x =是；因为[]1,0x ∀∈−，()3330222g x g x x x ⎛⎫⎛⎫+−=+−=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （2）由题意得，x n x +>对[4,2]x ∈−−恒成立等价于2222x nx n x ++>，即220nx n +>对[4,2]x ∈−−恒成立 因为0n >，所以22nx n +是关于x 的一次函数且单调递增，于是只需280n n −+>，解得8n >，所以满足题意的最小正整数n 为9.（3）由题意得2222222,(),2,x a x a f x x a x a x a x a ⎧+≤−⎪=−−<<⎨⎪−≥⎩已知任意x ∈R ，(4)()f x f x +≥，因为()f x 在22[,]a a −上递减，所以,4x x +不能同时在区间22[,]a a −上，因此2224()2a a a >−−=，注意到()f x 在2[2,0]a −上非负，在2[0,2]a 上非正若22244a a <≤，当22x a =−时，24[0,2]x a +∈，此时(4)()f x f x +≤，矛盾，因此244a >，即(1,1)a ∈−.当244a >时，下证()f x 为R 上的4-增长函数： ①当24x a +≤−，(4)()f x f x +>显然成立，②当224a x a −<+<时，2243x a a <−<−，此时2(4)(4)f x x a +=−+>−，22()2f x x a a =+<−，(4)()f x f x +>③当24x a +≥时，22(4)422()f x x a x a f x +=+−>+≥ 因此()f x 为R 上的4-增长函数综上，为使得()f x 为R 上的4-增长函数a 的取值范围是()1,1−.长宁区2020学年第一学期高一年级数学期末考试试卷（考试时间90分钟，本卷满分100分）一、填空题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．答案填在答题纸相应位置）． 1．已知全集为R ，集合{}32A x x =−≤<，则A = ． 【答案】()[),32,−∞−+∞2．函数y =的定义域为 ．【答案】[)1+∞，3．若幂函数a y x =在区间()0,+∞上是严格减函数，则实数a 的取值范围是 ． 【答案】(),0−∞4．设一元二次方程2630x x −−=的两个实根为1x 、2x ，则2212x x += ． 【答案】425．已知:31x m α<−，:2x β<，若α是β充分条件，则m 的取值范围是 ． 【答案】1m ≤6．若()2log 10x −>，则x 的取值范围是 ． 【答案】2x >7．设a 、b 都为正数，且4a b +=，则11a b+的最小值为 ． 【答案】18．设关于x 的不等式21110a x b x c ++>与22220a x b x c ++>的解集分别为A 、B ，则不等式组2111222200a xb xc a x b x c ⎧++≤⎪⎨++>⎪⎩的解集可以用集合A 、B 的运算表示为 ． 【答案】A B9．已知lg 2a =，103b =，试用a 、b 表示12log 25= ． 【答案】()212a a b−+10．已知函数[]()220,1y x ax x =+∈的最小值为2−，则实数a = ． 【答案】32−11．设关于x 的方程()223,x x ax b a b −+−=+∈R 解集为M ，关于x 的不等式()()2230x x −−≥的解集为N ，若集合M N =，则a b ⋅= ．【答案】15−12．若函数()121log 1,1021,0x x x y x m−−−≤<⎧⎪=⎨⎪−≤≤⎩的值域为[]1,1−，则实数m 的取值范围为 ．【答案】12m ≤≤二、选择题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）13.下列四组函数中，两个函数相同的是（ C ）． .A y =2y =；.B 1y =和0y x =；.C {}()0,1y x x =∈和{}()20,1y x x =∈；.D 2log a y x =和2log a y x =．14.函数1312xy x ⎛⎫=− ⎪⎝⎭的零点所在区间为（ B ）．.A 10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭；.B 11,32⎛⎫⎪⎝⎭；.C 12,23⎛⎫⎪⎝⎭；.D 2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭．15.在同一直角坐标系中，二次函数2y ax bx =+与幂函数()0b ay x x =>图像的关系可能为（ A ）.A .B .C .D 16.已知“非空集合M 的元素都是集合P 的元素”是假命题．给出下列四个命题： ①M 的元素不都是P 的元素； ②M 的元素都不是P 的元素； ③存在x P ∈且x M ∈；④存在x M ∈且x P ∉；这四个命题中，真命题的个数为（ B ）．.A 1个；.B 2个；.C 3个.D 4个；【解析】①④正确.三、解答题（本大题共5小题，共52分．解答要写出文字说明、证明过程或演算步骤）． 17．（本题满分6分）已知集合{}23A x x =−<，集合1207x B xx −⎧⎫=>⎨⎬−⎩⎭．求集合A B ．【解析】{}()231,5A x x =−<=−，1210,772x B xx −⎧⎫⎛⎫=>=⎨⎬ ⎪−⎩⎭⎝⎭，所以()1,7A B =−18．（本题满分8分，共有2小题，第（1）小题4分，第（2）小题4分）． 化简下列代数式（1）())1620a aa +<；（2)010a <<．【解析】（1）()163332a aa a a a a a a +=++=−−+=−；（21lg a ===−.19．（本题满分10分，共有2小题，第（1）小题5分，第（2）小题5分）甲、乙两城相距100km ，某天然气公司计划在两地之间建天然气站P 给甲、乙两城供气．设P 站距甲城km x ，为保证城市安全，天然气站距两城市的距离均不得少于10km ．已知建设费用y （万元）与甲、乙两地的供气距离()km 的平方和成正比（供气距离指天然气站到城市的距离），当天然气站P 距甲城的距离为40km 时，建设费用为1300万元． （1）把建设费用y （万元）表示成P 站与甲城的距离()km x 的函数，并求定义域； （2）求天然气供气站建在距甲城多远时建设费用最小，并求出最小费用的值．【解析】（1）设比例系数为k ，则22(100)(1090)y k x x x ⎡⎤=+−≤≤⎣⎦又40,1300x y ==，所以()2213004060k =+，即14k =， 所以()22211(100)1005000(1090)42y x x x x x ⎡⎤=+−=−+≤≤⎣⎦（2）由（1）可得()22211(100)100500042y x x x x ⎡⎤=+−=−+⎣⎦， 所以()22111005000(50)125022y x x x =−+=−+， 所以当50x =时，y 有最小值为1250万元，所以天然气供气站建在距甲城50km 时费用最小，最小费用的值为1250万元.20．（本题满分14分，共有3小题，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题5分）．设()2121x x f x −=+．（1）判断函数()y f x =的奇偶性，并说明理由； （2）求证：函数()y f x =在R 上是严格增函数； （3）若()()2110f t f t −+−<，求t 的取值范围． 【解析】（1）函数()y f x =为奇函数，证明如下：易知()2121x x f x −=+的定义域为(),−∞+∞，关于原点对称，()()()()22121122112221x xx xx xx x f x f x −−−−−−−−====−+++，所以()y f x =为奇函数； （2）任取12,x x R ∈，且12x x <易知()212122=1212121x x x x xf x −+−==−+++，()()()()()1212212212222222211212121212121x x x x x x x x f x f x −⎛⎫−=−−−=−= ⎪++++++⎝⎭因为12x x <，所以2112210,0,10,22212022x x x x x x >>−<+>+>，所以()()120f x f x −<，即()()12f x f x <， 所以函数()y f x =在R 上是严格增函数； （2）因为()y f x =在R 上是奇函数且严格增，所以()()()()()222110111f t f t f t f t f t −+−<⇔−<−−=−()()221120210t t t t t t ⇔−<−⇔+−>⇔+−>，解得1t >或2t <−，所以t 的取值范围是1t >或2t <−.21．（本题满分14分，共有3小题，第1小题4分，第2小题4分，第3小题6分）设()()2af x x a x=−+∈R ． （1）求不等式()()11f x f x −−>的解集M ； （2）若函数()y f x =在()0,+∞上最小值为114a −+，求实数a 的值；。

复旦附中高一期末数学试卷2019.01一. 填空题1. 3()x f x a -=（0a >且1a ≠）的图像经过一个定点，这个定点的坐标是2.函数y 的定义域是3. 研究人员发现某种物质的温度y （单位：摄氏度）随时间x （单位：分钟）的变化规律 是：1222x x y -=⋅+(0)x ≥. 经过 分钟，该物质温度为5摄氏度4. 函数(3)4,1()log ,1a a x a x f x x x --<⎧=⎨≥⎩是定义在R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围 是5. 函数122()(4174)f x x x -=-+的单调递增区间是6. 函数0.52|log |1x y x =-的零点个数为 个7. 若函数22()lg[(1)(1)1]f x a x a x =-+++的定义域为R ，则实数a 的取值范围是 8. 已知函数22,0()log ,01x x f x x x ⎧≤⎪=⎨<<⎪⎩的反函数是1()f x -，则11()2f -= 9. 当|lg ||lg |a b =()a b <时，则2a b +的取值范围是10. 函数1()42x f x =-的图像关于点 成中心对称 11. 设2{|}M y y x -==，1{|(1)(1)(||1)(2),12}1N y y x m x x m ==+-+--≤≤-， 若N M ⊆，则实数m 的取值范围是 12. 已知函数2()41f x ax x =++，若对任意x ∈R ，(())0f f x ≥恒成立，实数a 的取值 范围是二. 选择题13. 下列四组函数中，不是互为反函数的是（ ）A. 3y x -=和13y x -=B. 23y x =和32y x =(0)x ≥C. 2x y =(0)x >和2log y x =(1)x >D. lg(1)y x =-(1)x >和101x y =+ 14. “1a >”是“函数()(1)x f x a a =-⋅是单调递增”的（ ）条件A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要15. 下列四个函数中，图像如图所示的只能是（ ）A. lg y x x =+B. lg y x x =-+C. lg y x x =-D. lg y x x =--16. 已知n m <，函数122|1|log (1),1()23,x x x n f x n x m ----≤≤⎧⎪=⎨-<≤⎪⎩的值域 是[1,1]-有下列结论：① 当0n =时，(0,2]m ∈； ② 当12n =时，1(,2]2m ∈； ③ 当1[0,)2n ∈时，[1,2]m ∈； ④ 当1[0,)2n ∈时，(,2]m n ∈. 其中，正确的命题为（ ）A. ①②B. ①③C. ②③D. ③④三. 解答题17. 已知幂函数223()m m f x x -++=()m ∈Z 是奇函数，且(1)(2)f f <.（1）求m 的值，并确定()f x 的解析式；（2）求12221log ()log [2()],[,2]2y f x f x x =+∈的值域.18. 已知函数2()log ()f x x a =+，a 为常数，()g x 是定义在[1,1]-上的奇函数.（1）当2a =时，满足|()|1f x >的x 取值范围；（2）当01x ≤≤时，()()g x f x =，求()g x 的反函数1()g x -.19. 如图所示，为一台冷轧机的示意图，冷轧机由若干对轧辊组成，带钢从一端输入，经过各对轧辊逐步减薄后输出.（轧钢过程中，钢带宽度不变，且不考虑损耗）一对对轧辊的减薄率=输入该对的钢带厚度-输出该对的钢带厚度输入该对的钢带厚度（1）输入钢带的厚度为20mm ，输出钢带的厚度为2mm ，若每对轧辊的减薄率不超过 20%，问冷轧机至少需要安装几对轧辊？（2）已知一台冷轧机共有4对减薄率为20%的轧辊，所有轧辊周长均为1600mm ，若第k 对轧辊有缺陷，每滚动一周在带钢上压出一个疵点，在冷轧机输出的刚带上，疵点的间距为 k L ，易知41600L mm =，为了便于检修，请计算1L 、2L 、3L .20. 已知函数2()a f x x x=+（其中a 为常数）. （1）判断函数(2)x y f =的奇偶性；（2）若不等式1(2)242x x x f <++在[0,1]x ∈时有解，求实数a 的取值范围； （3）设1()1x g x x -=+，是否存在正数a ，使得对区间1[0,]2上的任意三个实数m 、n 、p ， 都存在以[()]f g m 、[()]f g n 、[()]f g p 为边长的三角形？若存在，试求出这样的a 的取值 范围；若不存在，请说明理由3k →→21. 函数()y f x =定义域为有理数集，当0x ≠时，()1f x >，且对任意有理数x 、y ， 有()()2()()f x y f x y f x f y ++-=.（1）证明：(0)1f =；（2）比较1()2f -、1()2f 、(1)f 的大小，并说明理由； （3）对任意的,x y +∈Q ，x y <，判断()f x 、()f y 的大小关系，并说明理由.参考答案一. 填空题1. (3,1)2. (,6]-∞3. 14. (1,3)5. 1(,)4-∞ 6. 2 7. 53a >或1a ≤- 8. 1- 9. (3,)+∞ 10. (2,0) 11. (1,0){1}- 12. [3,)+∞二. 选择题13. B 14. A 15. C 16. C三. 解答题17.（1）0m =，3()f x x =；（2）5[,11]4-.18.（1）3(2,)(0,)2--+∞；（2）121[0,1]()12[1,0)x x x g x x --⎧-∈=⎨-∈-⎩.19.（1）11；（2）13125L =，22500L =，32000L =.20.（1）1a =，偶函数；1a =-，奇函数；1a ≠±，非奇非偶函数；（2）(3,3)-；（3）5155(,(,)315153--.21.（1）略；（2）11(1)()()22f f f >=-；（3）()()f x f y <.。