1.3-条件概率与贝叶斯公式

1.3.3 全概率公式与贝叶斯公式在分析计算较为复杂事件的概率时，通过将较为复杂事件分解为有限多个或可列多个互不相容的较为简单事件的和，从而将复杂事件的概率表示为简单事件的概率之和。

该思想是贯穿概率论学科的基本思想。

在有些随机试验中，一个较为复杂的结果A可能与另外若干个不同时发生的结果B,B2,…等相联系，即一次试1验中A只能与B,B2,…中某一个同时发生，且二者同时发1生的概率容易计算，此时计算P(A)可以用下面给出的全概率公式，还可以用贝叶斯(Bayes)公式计算P(B|A),i=1,2,…。

i定理1.3.1(全概率公式)设(Ω,F ,P )为概率空间，111()=()=()(),()0,1,2,,,,i i i i i i i j i i i B F P B i B B i j A P A P AB P B B P A B ∞∞∞>==Φ≠⊂∑∑∈===| 且, 则21112111()=()()i i i i i i i i i i i i i A B A A B AB B B AB AB P A P AB P AB P B P A B ∞∞∞∞∞∞⎛⎫⊂ ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭∑∑1===1=== 由， 知==。

由,,互不相容,,,也互不相容。

根据概率的可列可加性有=()=|证121,,,,, ,nn i i B B B B ==Ω全概率公式中 是样本空间的划分 即1212 ,,,,,, nn A B B B B B B 将导致事件发生的原因（因素、背景）全部列出：就作为划分例1.3.3袋中装有a只白色乒乓球，b只黄色乒乓球。

现从中无放回地摸取两次，每次摸出1球。

试求第二次摸得黄球的概率。

解记A={第二次摸得黄球}。

由于无放回摸取，所以第一次摸取的结果会引起第二次摸取时袋中白球和黄球个数的变化，从而影响到第二次摸取的结果。

所以想到根据第一次摸取的结果来分别计算A的概率。

记B1={第一次摸得白球}，B2={第一次摸得黄球}，则B1和B2互不相容，，用全概率公式得12=ΩB B121122()()()()(|)()(|)111P A P AB P AB P B P A B P B P A B a b b b a a b a b a b a b a b=++-=⋅+⋅=++-++-+ =例1.3.4某工厂有四条生产线制造同一种产品，已知各生产线的产量占总产量的比例分别为15%，20%，30%和35%，并且已知各生产线的产品不合格品率分别为0.05，0.04，0.03和0.02。

全概率公式贝叶斯公式推导过程Standardization of sany group #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN#全概率公式、贝叶斯公式推导过程（1）条件概率公式设A,B是两个事件，且P(B)>0,则在事件B发生的条件下，事件A发生的条件概率（conditional probability)为：P(A|B)=P(AB)/P(B)（2）乘法公式1.由条件概率公式得：P(AB)=P(A|B)P(B)=P(B|A)P(A)上式即为乘法公式；2.乘法公式的推广：对于任何正整数n≥（1）条件概率公式设A,B是两个事件，且P(B)>0,则在事件B发生的条件下，事件A发生的条件概率（conditional probability)为：P(A|B)=P(AB)/P(B)（2）乘法公式1.由条件概率公式得：P(AB)=P(A|B)P(B)=P(B|A)P(A)上式即为乘法公式；2.乘法公式的推广：对于任何正整数n≥2，当P(A1A2...An-1) > 0 时，有：P(A1A2...An-1An)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)...P(An|A1A2...An-1)（3）全概率公式1. 如果事件组B1，B2，.... 满足，B2....两两互斥，即 Bi∩ Bj= ，i≠j ， i,j=1，2，....，且P(Bi)>0,i=1,2,....;∪B2∪....=Ω，则称事件组 B1,B2,...是样本空间Ω的一个划分设B1,B2,...是样本空间Ω的一个划分，A为任一事件，则：上式即为全概率公式（formula of total probability)2.全概率公式的意义在于，当直接计算P(A)较为困难,而P(Bi ),P(A|Bi)(i=1,2,...)的计算较为简单时，可以利用全概率公式计算P(A)。

思想就是，将事件A分解成几个小事件，通过求小事件的概率，然后相加从而求得事件A 的概率，而将事件A进行分割的时候，不是直接对A进行分割，而是先找到样本空间Ω的一个个划分B1,B2,...Bn,这样事件A就被事件AB1,AB2,...ABn分解成了n部分，即A=AB1+AB2+...+ABn, 每一Bi发生都可能导致A发生相应的概率是P(A|Bi)，由加法公式得P(A)=P(AB1)+P(AB2)+....+P(ABn)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+...+P(A|Bn)P(PBn)3.实例：某车间用甲、乙、丙三台机床进行生产，各台机床次品率分别为5%，4%，2%，它们各自的产品分别占总量的25%，35%，40%，将它们的产品混在一起，求任取一个产品是次品的概率。

全概率公式、贝叶斯公式推导过程（1）条件概率公式设A,B是两个事件，且P(B)>0,则在事件B发生的条件下，事件A发生的条件概率（conditional probability)为：P(A|B)=P(AB)/P(B)（2）乘法公式1.由条件概率公式得：P(AB)=P(A|B)P(B)=P(B|A)P(A)上式即为乘法公式；2.乘法公式的推广：对于任何正整数n≥全概率公式、贝叶斯公式推导过程（1）条件概率公式设A,B是两个事件，且P(B)>0,则在事件B发生的条件下，事件A发生的条件概率（conditional probability)为：P(A|B)=P(AB)/P(B)（2）乘法公式1.由条件概率公式得：P(AB)=P(A|B)P(B)=P(B|A)P(A)上式即为乘法公式；2.乘法公式的推广：对于任何正整数n≥2，当P(A1A2...A n-1) > 0 时，有：P(A1A2...A n-1A n)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)...P(A n|A1A2...A n-1)（3）全概率公式1. 如果事件组B1，B2，.... 满足1.B1，B2....两两互斥，即B i ∩ B j = ∅，i≠j ，i,j=1，2，....，且P(B i)>0,i=1,2,....;2.B1∪B2∪....=Ω ，则称事件组B1,B2,...是样本空间Ω的一个划分设 B1,B2,...是样本空间Ω的一个划分，A为任一事件，则：上式即为全概率公式（formula of total probability)2.全概率公式的意义在于，当直接计算P(A)较为困难,而P(B i),P(A|B i) (i=1,2,...)的计算较为简单时，可以利用全概率公式计算P(A)。

思想就是，将事件A分解成几个小事件，通过求小事件的概率，然后相加从而求得事件A的概率，而将事件A进行分割的时候，不是直接对A进行分割，而是先找到样本空间Ω的一个个划分B1,B2,...B n,这样事件A就被事件AB1,AB2,...AB n分解成了n部分，即A=AB1+AB2+...+AB n, 每一B i发生都可能导致A发生相应的概率是P(A|B i)，由加法公式得P(A)=P(AB1)+P(AB2)+....+P(AB n)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+...+P(A|B n)P(PB n)3.实例：某车间用甲、乙、丙三台机床进行生产，各台机床次品率分别为5%，4%，2%，它们各自的产品分别占总量的25%，35%，40%，将它们的产品混在一起，求任取一个产品是次品的概率。

概率论与数理统计公式1.概率公式：
1.1概率加法公式：
P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)
1.2条件概率公式：
P(A，B)=P(A∩B)/P(B)
P(B，A)=P(A∩B)/P(A)
1.3乘法公式：
P(A∩B)=P(A)*P(B，A)
P(A∩B)=P(B)*P(A，B)
1.4全概率公式：
P(A)=ΣP(A，B_i)*P(B_i)
1.5贝叶斯公式：
P(B，A)=P(A，B)*P(B)/P(A)
2.数理统计中的基本概念和公式：
2.1样本均值：
样本均值 = (x1 + x2 + ... + xn) / n
2.2总体均值：
总体均值=(样本均值*n-x)/(n-1)
2.3样本方差：
样本方差 = Σ(xi - x̄)² / (n-1)
2.4总体方差：
总体方差= Σ(xi - µ)² / N
2.5样本标准差：
样本标准差=√(样本方差)
2.6总体标准差：
总体标准差=√(总体方差)
2.7样本中位数：
样本中位数=(x[n/2]+x[(n+1)/2])/2（当n为偶数时）
2.8样本四分位数：
样本四分位数Q1=x[(n+3)/4]
样本四分位数Q3=x[(3n+1)/4]
2.9标准正态分布的累积分布函数的逆函数：
Zα=Φ^(-1)(α)，其中Φ(z)表示标准正态分布的累积分布函数。

2.10卡方分布的累积分布函数的逆函数：
x^2α=χ^2^(-1)(α)，其中χ^2(x)表示卡方分布的累积分布函数。

贝叶斯公式和条件概率的区别
贝叶斯公式和条件概率都属于概率统计的范畴。

它们之间有着明显的区别，主
要可以归结为以下几点：
首先，贝叶斯公式是以贝叶斯定理为基础构建出来的概率学公式，它是用来求
解给定某些条件情况下测试后结果出现的概率。

而条件概率指一定条件下，某事件发生与其他事件发生之间的依存关系，它常常反映了事件间随机变量之间的依存性。

其次，贝叶斯公式通常用来衡量某一个假设（或假设的集合）是否更有可能实
现或发生变化的可能性。

即通过计算某个假设及其所有可能假设出现的概率来对假设进行分析。

而条件概率则是指某一事件发生的概率的变化情况，它可以用来衡量在变化的条件下，某事件发生的可能性。

最后，贝叶斯公式是一种反映事件之间概率关系的数学公式，而条件概率是一
种衡量概率分布情况的概念，它可以用来衡量在某些条件下某事件发生的概率。

总之，贝叶斯公式和条件概率都是常用的概率统计的概念，但它们的使用也存
在着本质的区别。

具体来说，贝叶斯公式可以用来衡量某一个假设的可能性，而条件概率则可以用来衡量某一特定条件下某事件发生的概率。

条件概率贝叶斯公式与条件概率的关系
条件概率是指在已知某一事件发生的条件下，另一事件发生的概率。

而贝叶斯公式则是用来计算在已知一些先验概率和新的证据后，更新我们对某一事件概率的推断。

条件概率和贝叶斯公式之间有着密切的关系。

事实上，贝叶斯公式可以被视为是条件概率的一种特殊形式，其中先验概率和证据的概率都是条件概率。

具体来说，贝叶斯公式可以表示为P(A|B) = P(B|A) * P(A) / P(B)，其中P(A|B)表示在B发生的条件下，A发生的概率；P(B|A)表示在A 发生的条件下，B发生的概率；P(A)表示A发生的先验概率；P(B)表示B发生的总概率。

可以看到，P(A|B)和P(B|A)都是条件概率，而贝叶斯公式则将
它们联系起来，使我们能够在已知一些信息的情况下，计算我们对某一事件概率的更新值。

因此，条件概率和贝叶斯公式都是统计学和机器学习中非常重要的概念，它们在数据分析、预测和决策等方面都有着广泛的应用。

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