1.3-条件概率与贝叶斯公式

例 一盒中混有100只新 ,旧乒乓球，各有红、
白两色，分类如下表。从盒中随机取出一球，若取得
的是一只红球，试求该红球是新球的概率。
解:设 A=“从盒中随机取到一只红球”
B = “从盒中随机取到一只新球”
红白
nA 60
nAB 40
新 40 30
P(B | A) nAB 2 nA 3
旧 20 10
B={(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)}.
AB {(2, 2)}, AB {(1, 3),(3,1)} 于是所求概率为 P( A | B) P( AB) 1 36 1 , P(B) 6 36 6 P( A | B) P( AB) 2 36 1 . P(B) 30 36 15
或 P( A) 60
100
P( AB) 40 100
P(B | A) P( AB) 0.4 2 P( A) 0.6 3
定理1.3.1 乘法公式
若Ｐ(B)>0, 则 P(AB) = P(B)·P(A |B)
若Ｐ(A)>0, 则 P(AB) = P(A)·P(B|A)
上面两式都称为乘法公式，利用它们可以计算两 个事件同时发生的概率.
6
当 B 发生时，样本空间缩减为 B B
在新样本空间B中，A {(1, 3),(3,1)},
于是，
P(A| B) 2 1 . 30 15
例 设某种动物由出生后活ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ20岁的概率为0.8， 活到25岁的概率为0.4，求现龄为20岁的这种动物活到 25岁的概率？
解 设A={活到20岁}，B={活到25岁}， 则
例2 设试验E为掷两颗骰子，观察出现的点数。 用B表示事件“两颗骰子的点数相等”，用A表示事 件“两颗骰子的点数之和为4”，P求( A | B), P( A | B).
解二 当B发生时，样本空间缩减为
B {(1,1),(2, 2),(3, 3),(4,4),(5,5),(6,6)} 在新样本空间B中，A {(2, 2)}, 于是，P( A | B) 1 .
解 A={(男, 男), (男, 女), (女, 男)}， B={(女, 女), (男, 女), (女, 男)}. C={(男, 女), (女, 男)}.
显然，P ( A ) = P ( B ) = 3/4。现在 B 已经发生，排 除了有两个男孩的可能性，相当于样本空间由原来的 缩小到现在的 B = B，而事件相应地缩小到 C ={(男, 女)，(女, 男)}，因此
(1) 若 BC＝Φ，则 P((B∪C)|A)= P(B|A)+ P(C|A).
(2) P(B | A) 1 P(B | A).
条件概率的性质
1 非负性 0 P( A | B) 1, 2 规范性 P( | B) 0 , P( | B) 1,
3 可加性
P( A1 A2 | B) P( A1 | B) P( A2 | B), A1 A2 .
P(A)=0.8, P(B)=0.4. 由于AB，有AB=B，因此P(AB)= P(B)=0.4，
于是所求概率为
P(B | A) P( AB) 0.4 0.5. P( A) 0.8
例 甲、乙两城市都位于长江下游，根据一百余 年气象记录，知道甲、乙两市一年中雨天占的比例分 别为20%和18%，两地同时下雨的比例为12%，求：
P( A | B) 2 2 / 4 P( AB) p( A) 3 3 / 4 P(B)
1.3.1 条件概率与乘法公式
定义1 设 A，B为随机试验 E 的两个事件， 且 P(A)＞0，则称
P(B | A) P( AB) P( A)
为在事件 A已发生的条件下，事件B发生的条件概率. 注：条件概率与普通概率有相类似的性质：
例2 设试验E为掷两颗骰子，观察出现的点数。 用B表示事件“两颗骰子的点数相等”，用A表示事 件“两颗骰子的点数之和为4”，P求( A | B), P( A | B).
解一 以 ( i , j )表示两颗骰子的点数，则样本空间 一共有36个事件。且A={(1, 3), (2, 2), (3, 1)}，
（1）乙市为雨天时，甲市也为雨天的概率； （2）甲市为雨天时，乙市也为雨天的概率.
解 设A={甲市是雨天}，B={乙市是雨天}，
P(A)=0.2， P(B)=0.18， P(AB)=0.12， 则
P( A | B) P( AB) 0.12 0.67 , P(B) 0.18
P(B | A) P( AB) 0.12 0.60, P( A) 0.2
其他概率的性质如单调性,减法公式,加法公式等 条件概率同样具备.
计算条件概率有两种方法:
(1) 在缩减的样本空间A中求B的 概率，就得到P(B|A).
P(B | A) nAB 2
nA 3
(2) 在Ω中,先求P(AB)和P(A),在按定义计算P(B|A)
P(B | A) P( AB) 0.4 2 P( A) 0.6 3
乘法公式还可推广到三个事件的情形：
P(ABC)＝P(A)P(B|A)P(C|AB).
推广
若P(A1 A2… An-1) >0，则 P(A1 A2… An)＝ P(A1 ) P(A2| A1) P(A3| A1 A2) …
解 观察两个小孩性别的随机试验所构成的样本空 间 ={(男,男)、(男, 女)、(女, 男)、(女, 女)}．
设A={两个小孩中至少有一个男孩}，B={两个小孩中 至少有一个女孩}，C={一个男孩子一个女孩}，从而
例1 一个家庭中有两个小孩，已知其中一个是女孩， 问另一是男孩的概率是多大（假定一个小孩是男还是女 是等可能的） ？
§1.3 条件概率与贝叶斯公式
1.3.1 条件概率与乘法公式 1.3.2 全概率公式与贝叶斯公式
实际中，有时会遇到在某一事件A已经发生的条 件下，求另一事件B发生的概率，称这种概率为A发生 的条件下B发生的条件概率，记为 P(B | A)，这种概率
一般不同于 P(B)
例1 一个家庭中有两个小孩，已知其中一个是女 孩，问另一是男孩的概率是多大（假定一个小孩是男 还是女是等可能的） ？