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条件概率与独立性(包含全概率公式、贝叶斯公式)完整版.ppt

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《条件概率》课件

《条件概率》课件
答案2
两次都取到白球的概率为$frac{6}{10} times frac{6}{10} = frac{36}{100} = frac{9}{25}$。解析：第一次取到白球 的概率为$frac{6}{10}$，第二次取到白球的概率为 $frac{6}{10}$，因此两次都取到白球的概率为 $frac{6}{10} times frac{6}{10} = frac{36}{100} =
《条件概率》ppt课件
contents
目录
• 条件概率的定义 • 条件概率的性质 • 条件概率的应用 • 条件概率的实例分析 • 条件概率的习题与解答
CHAPTER 01
条件概率的定义
条件概率的数学定义
定义
在事件B发生的条件下，事件A发生的概率称为条件概率，记作P(A|B)。
公式
P(A|B) = P(A∩B) / P(B)
条件概率的几何意义
条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条 件下，事件A发生的概率，这可以表示 为在事件B发生的条件下，事件A发生 的区域与整个样本空间的比值。
CHAPTER 02
条件概率的性质
条件概率的加法性质
总结词
条件概率的加法性质是ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ当某一事件B发 生时，另一事件A发生的概率等于两事件 A和B同时发生的概率加上A不发生但B发 生的概率。
贝叶斯决策
贝叶斯决策是一种基于贝叶斯定理的决策方法，通过计算不 同行动方案在不同自然状态下的期望效用值，选择最优的行 动方案。贝叶斯决策中需要用到条件概率来计算不同自然状 态下的期望效用值。
在机器学习中的应用
分类器设计
在分类器设计中，常常需要计算不同类别下的条件概率，以设计最优的分类器。例如， 在朴素贝叶斯分类器中，通过计算不同特征在不同类别下的条件概率，实现分类器的设

概率统计教学课件PPT 条件概率与事件的独立性教学课件PPT

概率统计教学课件PPT 条件概率与事件的独立性教学课件PPT

例2 一类动物由出生起活到20或20岁以上的,
概率为0.8,活到25岁以上的概率为0.4,现假设此 类动物中有一动物为20岁,问其活到25岁以上的
概率是多少?
解：设B:活到20或20岁以上; A:活到25岁以上
求P(A|B) AB
P( A | B) P( AB) P(B)
P( A | B) P( A) 0.4 0.5 P(B) 0.8
解 分别用A、B、C表示具有上述品质的姑娘
根据题意有 P(A) 0.01, P(B) 0.01, P(C) 0.00001
则所求概率为 P(ABC) 0.000000001
即十亿分之一。
例 三人独立地去破译一份密码，已知各人能译 出的概率分别为1/5，1/3，1/4，问三人中至少有一人 能将密码译出的概率是多少？
若A1 A2 P(A1 | B) P(A2 | B)
单调性
P(A1 A2 B) P(A1 B) P(A2 B) P(A1A2 B)
加法公式
P(A1 A2 B) P(A1 B) P(A2 B)
P(• B) 是连续的.
半可加性
例1 考虑有两个小孩的家庭,问其中至少有一个女 孩的家庭中, 另一小孩也是女孩的概率有多大? (假设生男,生女是等可能的)
设A、B为独立事件，且P(A)>0,P(B)>0,下面
四个结论中，正确的是：
1. P(B|A)>0 3. P(A|B)=0
2. P(A|B)=P(A) 4. P(AB)=P(A)P(B)
两事件相互独立的性质
性质1. A, B独立 A, B 独立
A, B 独立 A, B 独立.
试证其一 A, B 独立 A, B 独立
注3) 关系式(1) (2)不能互相推出.

《概率论》第1章§1.5 条件概率、全概率公式和贝叶斯公式

《概率论》第1章§1.5 条件概率、全概率公式和贝叶斯公式
B1 B2 Bn S
P( Bi ) 0, i 1, 2, , n
则称 {B1, B2, , Bn}为样本空间 S 的一个分划 将 P( A) 的计算分解到
B1, B2 , , Bn
B1 B2 B4 B3
A
Bn
上计算然后求和
第一章
事件与概率
§1.5 条件概率、全概率公式和贝叶斯公式
13/22
设 {B1, B2, , Bn} 为样本空间 S 的一个分划，即
S B1 B2 Bn
对任何事件 A 有
A AS AB1 AB2 ABn
于是
P( A) P( AB1 AB2 ABn ) P( AB1) P( AB2 ) P( ABn ) P( A | B1) P( B1) P( A | B2 ) P( B2 ) P( A | B n ) P( B n )
第一章
事件与概率
§1.5 条件概率、全概率公式和贝叶斯公式
P( | B)
P( A | B ) 0
3/22
设 P( B) 0, 有
对于任一事件 A有
对于必然事件 S 有
P( S | B) 1
设是 { Ak }两两不相容事件列，则有
P( Ak | B)
k 1 k 1
P( Ak | B)
条件概率是定义的，但条件概率的值通常是根 据实际问题中的具体意义确定的
第一章 事件与概率
§1.5 条件概率、全概率公式和贝叶斯公式
10/22
袋中有 1只红球、n 1只白球，依次将球一个个从 袋中取出. 求第 k 次 (k 1, 2, , n ) 取出红球的概率. 记 Ak { 第 k 次取到红球 } , ( k 1, 2, , n) 则所求概率为 pk P(( A1 是不是所求概率？ P Ak ) Ak 1 Ak )

条件概率全概公式贝叶斯公式PPT课件

条件概率全概公式贝叶斯公式PPT课件
计算P(A|B)时，这个前提条件未变，只是 加上“事件B已发生”这个新的条件。
这好象给了我们一个“情报”，使我们得 以在某个缩小了的范围内来考虑问题。
第4页/共49页
2. 条件概率的定义
设A、B是两个事件，且P(B)>0，则称
P( A | B) P( AB)
(1)
P(B)
为在事件B发生条件下，事件A的条件概率。
A={取到一等品}， B={取到正品}， P(A )=3/10， P(A|B) 3 3 10 P( AB) 。
7 7 10 P(B)
第3页/共49页
A={取到一等品}， B={取到正品}， P(A )=3/10， P(A|B)=3/7。 本例中，计算P(A)时，依据
前提条件是10件产品中一等品 的比例。
容易计算。可用所有 P( Ai B) 之和计算P(B)。
第28页/共49页
我们还可以从另一个角度去理解 全概率公式。 某一事件B的发生有各种可能的原因Ai
(i=1,2,…,n)，如果B是由原因Ai所引起，则 B发生的概率是
P(AiB)=P(Ai)P(B |Ai) 每一原因都可能导致B发生，故 B发生的概率是各原因引起B发生概 率的总和，即全概率公式。
P( B) P( A1 A2 A3 )
P( A1 )P( A2 | A1 )P( A3 | A1 A2 )
r
b
(r c)
。
b r b (r c) (b c) (r c)
第17页/共49页
一场精彩的足球赛将要举行, 但5个球迷只搞到 一张球票，但大家都想去。没办法，只好用抽 签的方法来确定球票的归属。
等。
其他性质请同学们自行写出。
第7页/共49页

2024届新高考一轮总复习人教版 第十章事件的相互独立性、条件概率与全概率公式 课件(33张)

2024届新高考一轮总复习人教版 第十章事件的相互独立性、条件概率与全概率公式 课件(33张)

3．全概率公式 一般地，设 A1，A2，…，An 是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且 P(Ai)>0，
n
i＝1，2，…，n，则对任意事件 B⊆Ω，有 P(B)＝P(Ai)P(B|Ai)，我们称这个公式为全概
i＝1
率公式．
[必记结论] 1．必然事件 Ω，不可能事件∅都与任意事件相互独立．
答案：C
4．(选择性必修第三册 P50 例 5 改编)两台机床加工同样的零件，它们出现废品的概 率分别为 0.03 和 0.02，加工出的零件放在一起．设第一台机床加工的零件比第二台的多 一倍，则任取一个零件是合格品的概率为________.
解析：第一台机床加工的零件比第二台的多一倍，那么第一台机床加工的零件所占 的比例是23，第二台机床加工的零件占13，则任取一件为不合格品的概率为23×0.03＋13 ×0.02＝725，故为合格品的概率为 1－725＝7735.
2．事件 A，B 相互独立的充要条件是 P(AB)＝P(A)·P(B).
3．当 P(A)>0 时，事件 A 与 B 相互独立⇔P(B|A)＝P(B).
4．贝叶斯公式：设 A1，A2，…，An 是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，
且 P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，则对任意事件 B⊆Ω，P(B)>0，有 P(Ai|B)＝P(APi)P(B(B) |Ai)＝
第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布
[课标解读] 1.了解两个事件相互独立的含义． 2.理解随机事件的独立性和条件概 率的关系，会利用全概率公式计算概率．
备考第 1 步——梳理教材基础，落实必备知识
1．条件概率
(1)条件概率的定义
P(AB)

《条件概率与独立性》课件

《条件概率与独立性》课件

卡方检验法
卡方检验法是一种基于概率分布的统计方法， 通过计算观测值和理论值之间的偏差程度来检 验独立性。
条件概率与独立性的应用
金融市场预测
条件概率和独立性等概率理论方 法常用于分析和预测金融市场趋 势、股票涨跌等。
医学诊断
条件概率和独立性等概率理论方 法常用于医学诊断中的病例分析 和风险评估。
药物研发
计算条件概率
1

先决概率
先决概率是指在给定先决条件的情况下，某个事件的概率。
2
全概率公式
全概率公式是计算条件概率的关键公式之一。
3
贝叶斯公式
贝叶斯公式是计算后验概率的重要工具，常用于医疗、金融领域中的决策分析。
独立性的判定
十字乘法判定法
十字乘法判定法是使用最常见的一种方法，它 通过直觉理解就可以判断两个事件之间是否独 立。
条件概率和独立性等概率理论方 法可以帮助科学家系统地评估新 药物的效果和安全性。
练习与总结
本节将提供练习题目，让你进一步巩固和应用所学知识，并对整个课程的内容进行回顾和总结。
条件概率与独立性
本课程以深入浅出的方式介绍了条件概率与独立性的概念、计算方法、判定 准则以及应用场景，并提供实例和练习，帮助你快速掌握这一重要知识点。
条件概率的定义
什么是条件概率？
条件概率指在某个条件下某一事 件发生的概率，常用于计算和预 测。
如何计算条件概率？
根据公式P(A|B)=P(AB)/P(B)，通 过分析样本空间，可以用不同的 方法计算条件概率。
为什么条件概率有用？
条件概率常用于实际应用场景中， 例如医学诊断、金融风险评估、 市场预测等。
独立性的概念
1 什么是独立性？

条件概率、全概率公式PPT课件

条件概率、全概率公式PPT课件

-
14
设 A1,A2,,An 满足上面的两S 条件，则 对任何事件 B 有
B B S B ( A 1 U A 2 U L U A n ) B A 1 U B A 2 U U B A n
于是 P (B ) P (B A 1 U B A 2 U U B A n )
P (B A 1 ) P (B A 2 ) P (B A n )
“点落在圆形区域B内”，
在已知事件A发生的条件下 事件B 发生的条件概率为
A
AB B
S
p B
A
AB的 面 积 A的 面 积
AB的 面 积 A的 面 积 S的 面 积
S的 面 积
p AB pA .
-
3
条件概率 P ( • A ) 的性质
（1）非负性 对任意事件B，有 pBA0;
（2）规范性 对必然事件 S ，有 pS A 1;
-
12
2.2 全概率公式
如何将一个复杂概率计算问 题分解为简单计算问题之和
设 S 为样本空间，若事件 A1,A2,,An满足：
A1,A2,,An 两两不相容，即
A iA j ( i j,i,j 1 ,2 ,,n ) 通常要求
A 1 U A 2 U U A n S ( 或 A 1 U A 2 U P U (A A i)n 0 B ,) i1,2,,n
解 设Ai表示事件“任取的1件产品是第i组生生产的” (i=1,2,3,4)，B表示“任取的1件产品是次品”.
P A1 0 .1 5 ,
P B A1 0 .0 5 ,
P A 2 0 .2 0 ,
P B A 2 0 .0 4 ,
P A 3 0 .3 0 ,
P B A 3 0 .0 3,

条件概率和独立性-PPT文档资料

条件概率和独立性-PPT文档资料

解：由 P (A B C ) 1 P (A B C ) P (A B C )P (A )P (B )P ( C ) P (AB )P (AC )P (BC )P (ABC )
第一讲 古典概型与加法公式 1 1 1 11 由 P 已 ( A B 知 C ) 0 P ( AB ) 4 4 4 16 16 5 P ( A B C ) 1 P ( A B C ) 1 P ( ABC ) 8 又 P ( ABC ) P （ AB ) 0 , P ( ABC ) 0 ,
P A B P A P B P AB
一般加法公式 到也 有可 限推 个广 事件 如的 ：情 形 P (A B C )P (A ) P ( B ) P ( C ) P (AB ) P ( BC ) P (AC ) P (ABC )
第二讲 条件概率与独立性
例1-3-5（95数学一，3分）
设随 A : { 机 X 0 }; B 事 : { Y 件 0 }, 3 4 已 P ( AB 知 ) ; P ( A ) P ( B ) , 则P 求 {max( X ： , Y ) 0 } 7 7
解：设事件 C ｛ max( X , Y ) 0 }, 则： C ｛ max( X , Y ) 0 } { X 0 } { Y 0 } A B
例1-3-3 设P (A) > 0， P (B) > 0 ，将下列四个数： P (A) 、P (AB) 、P (A∪B) 、P (A) + P (B)
用“≤”连接它们，并指出在什么情况下等号成立. 解 P A B P ( A ) P ( B ) P ( AB )

新教材人教B版选择性必修第二册 4.1.2第2课时全概率公式贝叶斯公式 课件(51张)

新教材人教B版选择性必修第二册 4.1.2第2课时全概率公式贝叶斯公式 课件(51张)

贝叶斯公式及其应用
【例 2】 一项血液化验用来鉴别是否患有某种疾病．在患有此 种疾病的人群中，通过化验有 95%的人呈阳性反应，而健康的人通 过化验也会有 1%的人呈阳性反应．某地区此种病的患者仅占人口的 0.5%.若某人化验结果为阳性，问此人确实患有此病的概率是多大？
[解] 设 A＝“呈阳性反应”，B＝“患有此种疾病”，则 P(A)＝
解题．(易错点)
解题，提升数学运算的素养.
情境 导学 探新 知
有三个罐子，1 号装有 2 红 1 黑球，2 号装有 3 红 1 黑球，3 号 装有 2 红 2 黑球．某人从中随机取一罐，再从中任意取出一球，求取 得红球的概率．
问题：如何求取得红球的概率？
1．全概率公式 (1)P(B)＝__P_(_A_)P__(B__|A_)_＋__P_(_－A__)P__(B__|－A__)____； (2)定理 1 若样本空间 Ω 中的事件 A1，A2，…，An 满足： ①任意两个事件均互斥，即 AiAj＝∅，i，j＝1,2，…，n，i≠j； ②A1＋A2＋…＋An＝Ω； ③P(Ai)＞0，i＝1,2，…，n.
从而 P(A)＝P(A|D1)P(D1)＋P(A|D2)P(D2)＋P(A|D3)P(D3)＝0.387 5×0.967 7＋0.262 5×0.8＋0.35×0.5≈0.76.
由贝叶斯公式得
P(D1|A)＝PA|DP1AP D1＝0.387
5×0.967 0.76
7≈0.493
4，
P(D2|A)＝PA|DP2APD2＝0.2602.756×0.8≈0.276 3，
(1)一般地，当 0＜P(A)＜1 且 P(B)＞0 时，有
P(A|B)＝PAPPBB |A PAPB|A

概率论第2章条件概率与独立性精品PPT课件

概率论第2章条件概率与独立性精品PPT课件

解 设Ai 第 i 次考试及格 i 1, 2, 3
B＝{他考试能及格}
则
B A1A2A3 A1A2A3A4 A1A2A3A4 A1A2A3A4
P B = P A1A2A3A4 + P A1A2A3A4 + P A1A2A3A4 + P A1A2A3
= P A1 P A2 A1 P A3 A1A2 P A4 A1A2A3
2、规范性 若A B，则P(B A) 1 特别地，P( A) 1
3、可加性
若B1, B2 , ，Bn , 为一列两两互不相容事件，
则 P( Bk A) P(Bk A)
k1
k1
常用到 P(B | A) = 1 - P(B | A)
例2 一个家庭中有二个小孩，已知其中有一个是女孩， 问这时另一个小孩也是女孩的概率为多大(假定一个小 孩是男还是女是等可能的)？ 解 样本空间Ω={(男,男)，(男,女)，(女,男)，(女,女)}
A={已知有一个是女孩}={(男,女)，(女,男)，(女,女)} B={另一个也是女孩}={(女，女)} 则
P(B | A) P(AB) 1/ 4 1 P(A) 3 / 4 3
例3 设已知某种动物自出生能活过20岁的概率是0.8,能活 过25岁的概率是0.4, 问现龄20岁的该种动物能活过25岁的 概率是多少？ 解 设 A={该种动物能活过20岁}
P(A1A2…An-1)＞0, 则有 P(A1A2…An)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)…P(An|A1A2…An-1) 上式表明，事件积的概率可通过一系列条件概率的乘积来 计算。
证明：当P(A1A2An-1)＞0时， 由于A1A1A2…A1A2…An-1, 则有 P(A1)≥P(A1A2)≥…≥P(A1A2…An-1)＞0 由条件概率的定义，得

条件概率、全概率公式、贝叶斯准则、独立性

条件概率、全概率公式、贝叶斯准则、独立性

条件概率、全概率公式、贝叶斯准则、独⽴性害，选修课报了门⼈⼯智能，康康⼈⼯智能⾥需要的数学。

只有概率论还没了解，但是概率⼜在⼈⼯智能领域⾥占很⼤⽐重，所以最近就⼜开始刷概率。

条件概率条件概率和普通概率啥区别？普通概率问题长这样：你扔两次硬币，两次硬币都扔丢了的概率有多⼤条件概率：你扔两次硬币，第⼀次扔丢了，问两次都扔丢概率有多⼤所以它就是已经确定了最后结果的部分信息，然后在这个基础上对剩下部分的概率进⾏推断。

如果我们忽略上图尴尬的配⾊并假设A=第⼀次扔丢了,B=第⼆次扔丢了，那么中间的A∩B就是所求的。

然后因为现在我们已经知道了第⼀次扔丢了，所以事件A已经发⽣了，结果肯定在A⾥，那么就需要更新A为整个样本空间替换原来的Ω(即蓝⾊框框)。

那现在所求的两次都扔丢的部分就得是P(A∩B)P(A)，这就是条件概率的公式。

P(B|A)=P(A∩B)P(A)P(B|A)意思就是已知A发⽣了，B发⽣的概率，上⾯公式很⾃然，很容易想像。

我们可以把没有条件的概率想象成特殊的条件概率，它的条件就是结果肯定在整个样本空间Ω中，所以P(B|Ω)=P(Ω∩B)P(Ω)=P(B)条件概率公式的变形其实在⼤多数问题⾥，求的不是条件概率，⽽是已知条件概率，让你求P(A∩B)，就⽐如如果天空中5%的概率出现飞机，出现飞机雷达有95%的概率检测出来，然后让你算雷达正确报警(有飞机并检测出来了)的概率。

所以可以把概率公式变下形状P(A∩B)=P(A)P(B|A)同样的，也有P(A∩B)=P(B)P(A|B)这两个公式在全概率公式和贝叶斯准则中都会⽤到全概率公式全概率定理是A1,A2,...,A n是⼀组不相容的事件，并且形成样本空间的⼀个分割，⽽且对于每个i,P(A i)>0，那么对于事件BP(B)=P(A1∩B)+...+P(A n∩B)=P(A1)P(B|A1)+...+P(A n)P(B|A n)展现在图上就是这样，很⾃然，P(B)等于这些不相容事件与B的交集之和。

第二章 条件概率与独立性 优质课件

第二章 条件概率与独立性 优质课件

证 因为


A＝A＝A( Bk ) ABk
k 1
k 1
由概率的完全可加性及乘法定理(已知P (Bk)>0），得



P(A) P( ABk ) P(ABk ) P(Bk )P(A Bk )
证毕。
k 1
k 1
k 1
2019/11/17
图2－2
概率论与数理统计
将这些数据代入式①，得 P(A)=0.15×0.05+0.20×0.04+0.30×0.30+0.35 ×0.02=0.0315
2019/11/17
概率论与数理统计
第18页
第二章 条件概率与独立性
2.2.2 贝叶斯公式 定理4 设B 1 ，B 2 ，…为一系列(有限或无限个)两两
互不相容的事件，有
定理2 设A 1 ，A 2 ，…，A n 为任意n个事件，n≥2， 且P（A 1 A 2 …A n-1 ）>0，则有P(A1A2…A n ）=P （A 1 ）P（A 2 |A 1 ）P（A 3 |A 1 A 2 ）…P（A n |A 1 A 2 …A n-1 ） 证 当P（A 1 A 2 …A n-1 ）>0时，由于
P（A）=P（AB 1 ）+P（AB 2 ）
=P（B 1 ）P（A|B 1 ）+P（B 2 ）P（A|B 2 ）
a a 1 b a a b a b 1 a b a b 1
a ab
2019/11/17
概率论与数理统计
第15页
第二章 条件概率与独立性
例2-4 （抽签问题） 6人分两张球票，抽签决定。问:第一 人抽得球票的概率与第二人抽得球票的概率是否相等? 解 设A=｛第一人得票｝,B=｛第二人得票｝,则
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2.1.2 乘法公式
【例2.3】某厂的产品中有4%的废品，在100件合 格品中有75件一等品，试求在该厂的产品中任取一 件是一等品的概率．
解：设A = "任取的一件是合格品"，B = "任取 的一件是一等品"． 因为 P( A) 1 P( A) 96%, P(B A) 75% 且B A 所以 P(B) P( AB) P( A)P(B A)
又因为A = { bb，bg，gb } ， P(A)=3/4，
P(AB)=P(B)=1/4，
易得
P(B
A)
P( AB) P( A)
1 4
3 4
1. 3
这个结果具有一般性，启发我们给出条件概率的如
下定义：
2.1.1 条件概率
定义2.1 设A与B是同一样本空间中的两事件，
若P(A) > 0，则称
P(B A) P( AB) P( A)
第2章 条件概率与独立性
2.1 条件概率与乘法公式 2.2 全概率公式 2.3 贝叶斯公式 2.4 事件的独立性 2.5 重复独立试验、二项概率公式
1
第2章 条件概率与独立性
2.1 条件概率与乘法公式
2.1.1 条件概率 在实际当中，我们常常碰到这样的问题，就是
在已知一事件发生的条件下，求另一事件发生的概 率．
因为 P( A) 0.8, P(B) 0.4, 由于BA, 所以P(AB)=P(B), 所以 P(B A) P( AB) 0.4 1 .
P( A) 0.8 2
2.1 条件概率与乘法公式
2.1.2 乘法公式
由条件概率公式容易得到下面定理．
定理2.1 设A与B是同一样本空间中的两个事件， 如果P(A) > 0，则
i1
i1
1.4.1 ห้องสมุดไป่ตู้件概率
【例2.2】设某种动物从出生起活20岁以上的概率 为80%，活25岁以上的概率为40%．如果现在有一 个20岁的这种动物，求它能活25岁以上的概率．
解：设 A 表示“ 能活 20 岁以上 ” 的事件， B 表示 “ 能活 25 岁以上”的事件,
则有所求概率为 P(B A) P( AB) . P( A)
96 75 0.72. 100 100
2.1.2 乘法公式
【例2.4】某人忘记了电话号码的最后一位数字， 因而他随意地拨号．求他拨号不超过三次而接通电 话的概率．若已知最后一位数字是奇数，那么此概 率又是多少？
解：设Ai =“第i次接通电话”，i = 1，2，3， B =“拨号不超过3次接通电话”，
P( A1A2 A3 ) P( A1)P( A2 A1)P( A3 A1A2 ). 事实上 由于P( A1) P( A1A2 ) 0, 右侧的条件概率均有意义, 且P( A1A2 A3 ) P(( A1A2 ) A3 ) P( A1A2 )P( A3 A1A2 )
P( A1)P( A2 A1)P( A3 A1A2 ). 可进一步推广如下:
P( AB) P(B A)P( A)
(1.4)
如果P(B) > 0，则
P( AB) P( A B)P(B)
(1.5)
上面均称为事件概率的乘法公式．
定理2.1容易推广到求多个事件积事件概率的 情 况．
2.1.2 乘法公式
推广1 : 设 A1, A2 , A3为事件,且 P( A1 A2 ) 0, 则有
P( A) P( A)
不难验证，条件概率满足概率定义1.5中的三条公 理：
(1) 非负性：对任意事件B，P(B | A) 0；
(2) 规范性：P( | A) = 1；
(3) 可列可加性：设 B1, B2, , Bn, 事件两两互不
相容，则
P( Bi | A) P(Bi A)
i1
i1
所以,条件概率P(·| A)也满足概率的所有其他性
质．
2.1.1 条件概率
例如:
(4) P( A1 A2 B) P( A1 B) P( A2 B) P( A1A2 B);
(5) P( A B) 1 P( A B).
(6) 可列可加性: 设 B1, B2 , , Bn是两两不相容 的事件, 则有
n
n
P Bi A P(Bi A).
例如，我们不能由定义断言 P(B) P(B A) 或 P(B) P(B A)
事实上，当B A时，有
P(B A) P( AB) P(B) P(B). P( A) P( A)
当AB = 时，有 P(B A) 0 P(B)
2.1.1 条件概率
一般地， 0 P(B A) P( AB) P( A) 1
则事件B的表达式为 B A1 A1 A2 A1 A2 A3 利用概率的加法公式和乘法公式
P( B) P( A1 ) P( A1 A2 ) P( A1 A2 A 31) 9 1 9 8 1 3 .
2.1.2 乘法公式
推广2 : 设 A1, A2 , , An 为 n 个事件, n 2,
且 P( A1 A2 An1 ) 0, 则有
P( A1 A2 An ) P( A1 )P( A2 A1 )P( A A1 A2 ) ... P( An1 A1 A2 An2 )P( An A1 A2 An1 ).
下面首先看一个例子:
2.1.1 条件概率
【例2.1】设某家庭中有两个孩子，已知其中有一 个是男孩，求另一个也是男孩的概率（假设男、女 孩出生率相同）．
解：用g代表女孩，b代表男孩， A =“该家庭中至少有一个男孩”， B =“两个都是男孩”，
在已知至少有一个男孩条件下， {bb, bg, gb} A
而 B {bb} 所求概率为1/3，记为 P(B|A)=1/3 ，
称此概率为在事件A发生下事件B发生的条件概率．
2.1.1 条件概率
如果我们去掉条件A，
这时 = {bb，bg，gb，gg}，B = {bb}，
从而 P(B)=1/4.
前面已算出 P(B A) 1/ 3, 故P(B A) P(B).
(1.2)
为在A发生下的B的条件概率．
类似地，当P(B) > 0时，定义在B发生下事件A发 生的条件概率为
P( A B) P( AB) P(B)
(1.3)
要注意区分P(AB) 和 P(B|A) 的不同含义
2.1.1 条件概率
注意，由此定义我们无法断言条件概率P(B|A)与 无条件概率P(B)有什么必然的关系.