数学分析 期末考试试卷

大一上数学分析期末考试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 极限的定义是：如果对于任意的正数ε，都存在正整数N，使得当n>N时，都有|a_n - A| < ε，则称序列{a_n}的极限为A。

A. 正确B. 错误答案：A2. 函数f(x)=x^2在区间(-∞, +∞)上是单调递增的。

A. 正确B. 错误答案：B3. 函数f(x)=x^3在区间(-∞, +∞)上是单调递增的。

A. 正确B. 错误答案：A4. 函数f(x)=sin(x)在区间[0, π]上是单调递增的。

A. 正确B. 错误答案：B5. 函数f(x)=x^2在区间[0, +∞)上是单调递增的。

A. 正确B. 错误答案：A6. 函数f(x)=x^3在区间(-∞, +∞)上是单调递增的。

A. 正确B. 错误答案：A7. 函数f(x)=e^x在区间(-∞, +∞)上是单调递增的。

A. 正确B. 错误答案：A8. 函数f(x)=ln(x)在区间(0, +∞)上是单调递增的。

A. 正确B. 错误答案：A9. 函数f(x)=1/x在区间(0, +∞)上是单调递减的。

A. 正确B. 错误答案：B10. 函数f(x)=x^2在区间(-∞, 0)上是单调递减的。

A. 正确B. 错误答案：A二、填空题（每题4分，共20分）11. 极限lim(x→0) (sin(x)/x) = ________。

答案：112. 极限lim(x→+∞) (1/x) = ________。

答案：013. 极限lim(x→0) (1 - cos(x))/x^2 = ________。

答案：1/214. 函数f(x)=x^3在x=0处的导数为 ________。

答案：015. 函数f(x)=e^x在x=0处的导数为 ________。

答案：1三、计算题（每题10分，共40分）16. 计算极限lim(x→0) (tan(x) - sin(x))/x^3。

解：利用洛必达法则，对分子分母分别求导三次，得到极限为1/2。

3 数学分析试卷
11sin sin 01(),
0 0x y xy y x f x xy ⎧+≠⎪=⎨⎪=⎩
当、已知当()()
000000lim (,),lim lim (,)lim lim (,),x y x x y y f x y f x y f x y →→→→→→判断及是否存在，并说明理由。

2222
2,()1z z z x y x y h z x y ∂++=∂∂、已知=()是由确定的。

试求的值。

222
22231 x y z a b c
++=、求椭球体上任一点的切平面于坐标轴所围四面体体积的最大值。

22
22223/222 0()4(,)(,) 0 0x y x y x y f x y f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩
当、已知，判断的连续性及可微性。

当22265,0
x y z x y z ⎧++=⎨++=⎩、已知曲线方程为求在点(1,-2,1)处的切线方程和法平面方程。

23D 36,D x dxdy y xy
+⎰⎰、求二重积分已知为如图的区域。

7I ().1x y z dxdydz x y z Ω=++Ω++=⎰⎰⎰、计算三重积分其中为平面，
与三个坐标平面围城的空间区域。

2228I cos .1
xdydz ydzdx dxdy x y z ∑++∑++=⎰⎰、求曲面积分=其中为所谓区域的外侧。

L
9I sin . L Pdx x ydy =+⎰、求曲线积分已知如图所示。

S 22I (). S 2xy yz zx dS z x y ax ++=+=⎰⎰10、求曲面积分=已知为柱面所截的曲面。

数学分析试卷及答案6套第一套试卷一、选择题（共20题，每题4分，共80分）1. 若函数f(x) = 3x^2 + 2x - 1，求f(-1)的值是多少？A. -4B. 4C. 0D. 12. 函数f(x) = ln(x^2 + 1)在区间(-∞, 0)上的最小值是多少？A. ln(1)B. ln(0)C. ln(-1)D. 不存在最小值3. 已知函数f(x)在区间[0, 5]上连续，且f(0) = 2, f(5) = 1，证明在该区间上存在一个点c，使得f(c) = 3.（请写出证明过程）4. 求不等式2x - 5 < 3x + 2的解集。

A. x < -7B. x > -7C. x > -3D. x < -35. 设函数f(x)在区间[a, b]上连续，且f(a) = f(b)，证明在该区间上至少存在两个不同的点c和d，使得f(c) = f(d).（请写出证明过程）..................第一套答案一、选择题1. B2. A3. (证明过程略)4. A5. (证明过程略)二、填空题（共5题，每题4分，共20分）1. 若e^x = 2，则x = ln(2)；2. 设a, b为实数，若a^2 + 2ab + b^2 = 0，则a = -b；3. lim(x→∞) (x^2 - 2x - 3)/(3x + 1) = 1；4. 若函数f(x) = x^2 + 3x - 2，则f(-1) = -6；5. 若f(x) = √(2x + 1)，则f'(x) = 1/√(2x + 1)。

三、解答题（共3题，每题20分，共60分）1. 设函数f(x) = x^3 - 2x + 1在区间[-2, 2]上的一个驻点为c，请求该驻点c的值以及f(c)的极值。

（请写出解题过程）2. 求函数f(x) = x^3 - 3x + 1的所有零点。

（请写出解题过程）3. 若函数f(x) = 3x^4 + 4x^3 - 12x^2 + 4在区间[0, 3]上的导函数f'(x)恰有一个零点c，并且f(c) = 2，求函数f(x)在该区间上的最大值。

1. 下列数中，是整数的有（）A. 0.5B. 2.3C. -3D. 1.252. 若a、b是实数，且a < b，则下列不等式中正确的是（）A. a + 1 < b + 1B. a - 1 < b - 1C. a + 2 < b + 2D. a - 2 < b - 23. 已知数列{an}的通项公式为an = 2n - 1，则数列{an}的第10项是（）A. 19B. 18C. 20D. 174. 下列函数中，是反比例函数的是（）A. y = 2x + 3B. y = 3/xC. y = x^2 + 1D. y = 3x - 25. 若x > 0，则下列不等式中正确的是（）A. x^2 > 0B. x^3 > 0C. x^4 > 0D. x^5 > 06. 已知等差数列{an}的首项a1 = 3，公差d = 2，则数列{an}的前5项和S5是（）A. 20B. 25C. 30D. 357. 下列各式中，正确的是（）A. (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2B. (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2C. (a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3D. (a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^38. 下列函数中，是奇函数的是（）A. y = x^2B. y = |x|C. y = x^3D. y = x^49. 若函数y = kx + b（k ≠ 0）是增函数，则k的取值范围是（）A. k > 0B. k < 0C. k ≠ 0D. k ≥ 010. 下列各式中，正确的是（）A. sin 45° = √2/2B. cos 45° = √2/2C. tan 45° = 1D. cot 45° = 111. 已知数列{an}的通项公式为an = 3n - 2，则数列{an}的第7项是______。

数学分析期末考试A 卷一、填空题（每空1分，共9分）1.函数()f x x =的定义域为________________2.已知函数sin ,1()0,1x x f x x ⎧<⎪=⎨≥⎪⎩，则(1)____,()____4f f π== 3.函数()sin f x x =的周期是_____4.当0x →时，函数tan sin x x -对于x 的阶数为______5.已知函数()f x 在0x x =处可导，则00011()()23lim ____h f x h f x h h→+--= 6.曲线y =在点1(,2)4处的切线方程为______________,法线方程为________________ 7.函数2()f x x =在区间[0,3]上的平均值为________二、判断题（每小题1.5分，共9分）1.函数()f x x =与()g x =（ ） 2.函数()x xe ef x x-+=是奇函数。

（ ） 3.极限0lim x x x→不存在。

（ ） 4.函数1,0()1,0x f x x >⎧=⎨-<⎩是初等函数，而1,0()0,01,0x g x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩不是初等函数。

（ ）5.函数()f x x =在区间[1,1]-上满足罗尔中值定理。

（ ）6.函数()f x 在区间[,]a b 上连续，则一定可积；反之不成立。

（ ）三、计算题1.求出下列各极限（每小题4分，共20分）（1）111lim(...)1223(1)n n n →∞+++⨯⨯⨯+ （2）...n →∞ （3）0x → （4）tan 01lim ()x x x →+ （5）2211lim 1x t x x e dt x →-⎰ 2.求出下列各导数（每小题4分，共16分）（1）2()xt x f x e dt --=⎰ （2）cos ()(sin )x f x x = (3) sin 1cos x t t y t =-⎧⎨=-⎩ （4）由方程arctan y x=()y f x =。

数学分析1 期末考试试卷（B 卷）一、填空题（本题共5个小题，每小题4分，满分20分） 1、设0111,1n nx x x +==+， 则 lim n n x →∞= 。

2、（归结原则）设0()(;)o f x U x δ在内有定义，0lim ()x xf x →存在的充要条件是：3、设)1ln(2x x y ++=，则=dy 。

4、当x = 时，函数()2x f x x =取得极小值。

5、已知)(x f 的一个原函数是cos xx，则()xf x dx '=⎰。

二、单项选择题（本题共5个小题，每小题4分，满分20分） 1、设()232x x f x =+-，则当0x →时（ ）。

（A ）()f x x 与是等价无穷小。

（B ）()f x x 与是同阶但非等价无穷小。

（C ）()f x x 为的高阶无穷小量。

（D ）()f x x 为的低阶无穷小量。

2、设函数()f x x a =在点处可导，则函数()f x 在x a =处不可导的充分条件是（ ）。

（A ）()0()0.f a f a '==且 （B ）()0()0.f a f a '>>且（C ）()0()0.f a f a '=≠且 （D ）()0()0.f a f a '<<且 3、若),()()(+∞<<-∞=-x x f x f 在)0(，-∞内0)(,0)(<''>'x f x f ，则)(x f 在),0(+∞内有（ ）。

（A ）0)(,0)(<''>'x f x f 。

（B ）0)(,0)(>''>'x f x f 。

（C ）0)(,0)(<''<'x f x f 。

（D ）0)(,0)(>''<'x f x f 。

数学分析期末考试试题一、选择题（每题2分，共20分）1. 函数f(x)=x^2-3x+2在区间[1,3]上的最大值是：A. 0B. 2C. 4D. 62. 以下哪个选项不是闭区间[a, b]上连续函数的性质？A. 有界性B. 保号性C. 介值性D. 可微性3. 函数f(x)=sin(x)在x=0处的导数是：A. 0B. 1C. -1D. 24. 函数f(x)=x^3+2x^2-3x+1在x=-1处的泰勒展开式（展开到x^2项）是：A. -1+2x-x^2B. 1-2x+x^2C. -1+2x+x^2D. 1+2x-x^25. 以下哪个级数是发散的？A. 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ...B. 1^2 + 1/2^2 + 1/3^2 + ...C. 1 - 1/2 + 1/4 - 1/8 + ...D. 1 - 1/2^2 + 1/3^2 - 1/4^2 + ...6. 函数f(x)=x^2在x=1处的高阶导数f^(n)(x)（n≥2）是：A. 0B. 1C. 2D. 47. 函数f(x)=e^x的原函数是：A. e^x + CB. ln(x) + CC. sin(e^x) + CD. cos(e^x) + C8. 函数f(x)=x^2在[0,1]上的定积分是：A. 1/3B. 1/2C. 1D. 2/39. 函数f(x)=|x|在x=0处的导数是：A. 1B. -1C. 0D. 不存在10. 以下哪个函数是周期函数？A. f(x)=x^2B. f(x)=e^xC. f(x)=sin(x)D. f(x)=ln(x)二、填空题（每题2分，共10分）11. 若函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6在x=2处取得极小值，则f'(2)=_________。

12. 若函数f(x)=x^3+bx^2+cx+d在x=-1处取得最大值，则b=_________。

13. 函数f(x)=ln(x)的原函数是_________。

浙江师范大学《数学分析》（期末考试）试卷（2004-2005学年第一学期）考试类别： 考试 使用学生： 初阳学院数学专业03级 考试时间：150分钟 出卷时间2005年1月2日 说明：考生应将全部答案都写在答题纸上，否则作无效处理。

一、（15%）选择题（每小题3分，共15分）1、 设32()3f x x x x =+，则()(0)n f 存在的最高阶数n 为(A)0 (B)1 (C)2 (D)32、 函数23()(2)f x x x x x =---不可导点的个数是(A)3 (B)2 (C)1 (D)03、 设(0)0f =，则f()x 在0x =可导的充要条件为(A)201lim (1cos )h f h h →-存在. (B)01lim(1)h h f e h→-存在. (C)201lim (1sin )h f h h→-存在.(D)[]01lim (2)()h f h f h h→-存在4、 设2()d f x x x C =+⎰，则2(1)d xf x x -=⎰（）.(A )222(1)x C --+(B)222(1)x C -+(C)221(1)2x C --+(D)221(1)2x C -+ 5、 双纽线22222()x y x y +=-所围成的平面区域面积可用定积分表示为(A)π402cos 2d θθ⎰ (B )π404c o s 2d θθ⎰(C)2θ⎰(D )π2401(c o s 2)d2θθ⎰ 二、（24%）填空题（每小题3分，共24分）1、 已知曲线的极坐标方程为e r θ=，若在直角坐标系中，yk x b =+是该曲线在参数为π2θ=的点处的切线方程，则k = ① ，b = ② .2、 设 (ln )2f x x '=-，则 ()f x = ③ .3、 设曲线()nf x x = 在点()1,1处的切线与y 轴的交点为n t ，则lim ()n n f t →∞= ④4、 设1()1f x '=-，则011lim(2)()x xf x x f x x →=--- ⑤ .5、x =⎰⑥ .6、 设21,0(),0xx x f x e x -⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，则30(2)f x dx -=⎰ ⑦ .7、函数1()(2x f x u =-⎰（0x >）的单调下降区间为 ⑧ . 三、（21%）计算题（每小题7分，共21分）1、 求10lim(sin 2cos )xx x x →+2、 求12ln(1)d (2)x x x +-⎰3、 求d sin 22sin xx x +⎰四、（40%）证明题（每小题8分，共40分）1、设函数()f x 在[0,2]上连续，在(0,2)可导，且21()d (0)f x x f =⎰证明存在一点(0,2)c ∈，使()0f c '=2、设f ()0x ''<，f(0)0=，证明对任何10x >，20x >，有1212()()()f x x f x f x +≤+3、设lim 5n n a →∞=，试用定义证明12lim5nn a a a n→∞+++=4、设()f x 在[0,π]上连续，π()d 0f x x =⎰，π0()cos d 0f x x x =⎰，则在(0,π)内至少存在不同的两点12,ξξ，使12()()0f f ξξ==5、设()f x 在[0,1]上具有二阶导数，且满足条件()f x a ≤，()f x b ''≤， 其中,a b 都是非负常数，c 是(0,1)内的任一点，证明()22bf c a '≤+。

数学分析期末试题A答案doc2024年数学分析期末试题A及答案一、选择题1、以下哪个函数在 x = 0 处连续？ A. $f(x) = x^2$ B. $f(x) = \frac{1}{x}$ C. $f(x) = sin x$ D. $f(x) = e^x$ 答案：D解析：在 x = 0 处，只有选项 D 中的函数 e^x 是连续的。

因此，答案为 D。

2、设 $f(x) = x^2$，则 $f(3x - 2) =$ __________。

A. $x^2$ B. $(3x - 2)^2$ C. $(3x - 2)^3$ D. $(3x - 2)^2 + 1$ 答案：B解析：将 $x$ 替换为 $3x - 2$，得 $f(3x - 2) = (3x - 2)^2$。

因此，答案为 B。

3、下列等式中，错误的是： A. $\int_{0}^{1}x^2dx =\frac{1}{3}x^3|{0}^{1}$ B. $\int{0}^{\pi}\sin xdx = \cosx|{0}^{\pi}$ C. $\int{0}^{2\pi}\sin xdx = 0$ D.$\int_{0}^{1}(2x + 1)dx = (x^2 + x)|_{0}^{1}$ 答案：A解析：等式两边取极限，只有 A 选项等式两边不相等，因此 A 选项是错误的。

4、下列哪个导数是常数函数？ A. $y = x^3$ B. $y = \sin x$ C. $y = e^x$ D. $y = log_a(x)$ 答案：C解析：常数函数的导数为零。

在选项中，只有 C 中的函数 e^x 的导数为常数函数，其导数为 $e^x$。

因此，答案为 C。

高一生物期末考试试题及答案doc高一生物期末考试试题及答案doc高一生物期末考试是一次重要的学业水平测试，旨在考察学生在本学期学习生物课程的效果。

以下是本次考试的部分试题及其答案，供大家参考。

一、选择题1、下列哪一种生物不是由细胞构成的？ A. 细菌 B. 植物 C. 动物D. 病毒答案：D2、哪一个器官属于消化系统？ A. 口腔 B. 食道 C. 胃 D. 大肠答案：C3、在光合作用中，哪一个物质是植物从空气中吸收的？ A. 氧气 B. 二氧化碳 C. 葡萄糖 D. 水答案：B二、填空题1、病毒是一种生物，但它不能 _______ 和保持生命活动，必须_______ 在细胞内。

学习资料收集于网络，仅供参考2007-2008学年第一学期期末数学分析（1）考试试题（A 卷）参考答案及评分标准、判断题（本题共 10小题，每小题2分，共20分）1. X2. X3. V4. X5. V6.、填空题（本题共 8小题，每空2分，共20分） 1.f (n 1)(. )+ ------ ( (x -x o )n* ,:介于 x 与x o 之间. (n 1)!三、计算题（本题共 5小题，第1—4小题每题5分，第5小题10分，共30分）3.(6)1. 设y = x e ,试求y .解基本初等函数导数公式，有(x 3) =3x 2,(x 3) =6x,(x 3) =6,(x 3)(k)=0, k =4,5,6, (e x 严=e x ,k =1,2,111,6,应用莱布尼兹公式（n =6）得(6)3 x2 xxxy x e 6 3x e 15 6xe 20 6e32x=(x 18x 90x 120)e .2. 4 co sx2- s x2e 2叫23. e x f( f( e)) f(x e ) 4. 6 (x - 1) 5. -In二.6. 0, 17. y =x , y - -xx 7. V 8. x 9. V 10. xf (n) (Kn)nf(x)=f(x o ) f(x o )(x -x o )中^r (x -x o )8.学习资料收集于网络，仅供参考x = a（t -sint）,2.试求由摆线方程《所确定白^函数y=f（x）的二阶导数.y = a（1 - cost）学习资料收集于网络，仅供参考dy (a(1 - cost)) dx (a(t-sint))sint x t ------ 二 cot 一，1 - cost 2…t1 2t 2I cotcsc _dy 2 2 22 一 _ .一dx (a(t-sint)) a(1 -cost) 1 4 t——csc - ....................... .......4a 23.试求f (x) =ln(1 +x 2)到x 6项的带佩亚诺型余项的麦克劳林公式 解因为2 3. x x 3ln(1+x)=x ———+—+o(x ),.......2 3所以f(x) =ln(1 +x 2)到x 6项的带佩亚诺型余项的麦克劳林公式为4622x x 6ln(1 x )= x -——一■ o(x ).2 34. 试求极限 解通分后连续使用两次洛必达法则，得 x e - x -1xx(e -1)x e -1 e x(x 1)-1 xelim - ---- x 山 e x(x - 2)3分2分3分2分-- 3 2 5.试求函数y ^2x -9x +12x|在［-1,3］上的最值和极值解 32y 二|2x -9x 12x|一 2_ 一二|x(2x -9x 12) |I x(2x 2 -9x 12), -1 < x < 0,一 2x(2x -9x 12), 0 二 x <3,在闭区间［-1,3］上连续，故必存在最大最小值.-6x 2 18x-12, 6x 2 -18x 12 -6(x-1)(x-2), 6(x-1)(x-2),令y' = 0,得稳定点为x=1,2.又因 匚(0) =—12, f ；(0) =12,故y 在x = 0处不可导.列表如下所以x = 0和x = 2为极小值点，极小值分别为 f (0) = 0和f (2) = 4 , x = 1为极大值点f(1)= 5.又在端点处有f (-1) = 23 , f (3) = 9,所以函数在x = 0处取最小值0,在x = -1处取最大值................................ 2分四、 证明题(本题共3小题，每小题10分，共30分).21 .证明不等式e x>1 +x+— (x>0) 22、一人vx一证令 f (x) =e 一一 -x -1 , x >0, 2f (x) = e x- x -1, x 0 f (x) -e x-1 0 , x 0,且 f(0) = f (0) =0,............................. 3 分当x A0时有f "(x) >0,所以f'(x)严格递增， 又f (x)在x=0处连续，所以f (x) > f (0) =0, x >0, ................................ 3 分-1 < x :二 0, 0 x <极大值为23.所以f(x)严格递增，又f(x)在x = 0处连续，所以f (x) > f (0) =0, x>0, ................................ 3 分x x2即e >1+x + ——,x >0. ............................. 1 分22.设f为(血，十a)上的连续函数，对所有x, f (x) >0 ,且lim f (x) = lim f (x) =0 ,证明f (x)必x ；：：x :.能取到最大值.证由题设f(0)>0,取8=*0■，由lim f(x) = lim f (x) = 0，m X >0,当| x |A X 时，2 x『二xf(x)<S<f(0). ................................ 4 分又f在［-X , X ］上连续，由闭区间上连续函数的最大、最小值定理知，f在［-X, X］能取到最大值................................ 4分且此最大值为f在(—叫+如)上的最大值. .................................. 2分3.若函数f(x)在［0,1］上二阶可导，且f(0)=0, f(1) = 1, f'(0)= f'(1) = 0,则存在c^(0,1)使得|f (c)|_2.证法一：v x w (0,1),把f (x)在0, 1两点处分别进行泰勒展开到二阶余项，有f ( J 2f (x) =f(0) f (0)(x-0) ^^x ,f , 0； 1 <x- <1,f(x) =f(1) f (1)(x-1) -4^(x-1)2,2!上两式相减，有f ( 1) f ( 2)(x-1)2.记| f ”(c)尸max{| f 7 -1) |,| f 'J) |},则有1《|f (c)|［x2 (x-1)2］1\|f (c)|,即存在cw(0,1)使得| f *(c)住2.证法二：在［0,1］上对f(x)应用拉格朗日中值定理有f (D = f ⑴—f (0) =1 , 0 ＜1 .当0 时，在［0,可上对f '(x)应用拉格朗日中值定理有1 .1 = f 注)—f (0) = f “(c)L =| f “(c)|=f “(c) =不之2, 2(0,与二(0,1)................................. 3分当白＜匚＜1时，在［匕1］上对f'(x)应用拉格朗日中值定理有11 = f ( ) - f (1) = f (c)( -1),=|f(c)|=—— 2, c ( ,1) (0,1).1 -................................ 2分综上证明知存在cW(0,1)使彳#|f”(c)户2. ................................ 2分。

数学分析1 期末考试试卷（A 卷）一、填空题（本题共5个小题，每小题3分，满分15分）1、设 82lim =⎪⎭⎫⎝⎛-+∞→xx a x a x ， 则 =a 。

2、设函数)2(1)(--=x x e x f x ，则函数的第一类间断点是 ，第二类间断点是 。

3、设)1ln(2x x y ++=，则=dy 。

4、设)(x f 是连续函数，且dt t f x x f )(2)(10⎰+=，则=)(x f 。

5、xdx arctan 1⎰= 。

二、单项选择题（本题共5个小题，每小题3分，满分15分）1、设数列n x 与数列n y 满足0lim =∞→n n n y x ，则下列断言正确的是（ ）。

（A ）若n x 发散，则n y 必发散。

（B ）若n x 无界，则n y 必无界。

（C ）若n x 有界，则n y 必为无穷小。

（D ）若nx 1为无穷小，则n y 必为无穷小。

2、设函数x x x f =)(，则)0(f '为（ ）。

（A ） 1。

（B ）不存在。

（C ） 0。

（D ） -1。

3、若),()()(+∞<<-∞=-x x f x f 在)0(，-∞内0)(,0)(<''>'x f x f ，则)(x f 在),0(+∞内有（ ）。

（A ）0)(,0)(<''>'x f x f 。

（B ）0)(,0)(>''>'x f x f 。

（C ）0)(,0)(<''<'x f x f 。

（D ）0)(,0)(>''<'x f x f 。

4、设)(x f 是连续函数，且⎰-=dt t f x F x e x)()(，则)(x F '等于（ ）。

（A ）())(x f e f e x x ----。

数学分析期末考试题一、单项选择题（从给出的四个答案中，选出一个最恰当的答案填入括号内，每小题2分，共20分）1、 函数)(x f 在 [a,b ] 上可积，那么（ ） A )(x f 在[a,b ]上有界 B )(x f 在[a,b ]上连续C )(x f 在[a,b ]上单调D )(x f 在[a,b ]上只有一个间断点 2、函数)(x f 在 [a,b ] 上连续，则在[a,b ]上有（ ）A )()(x f dx x f dx d b a =⎰B )()(x f dt t f dx d x a =⎰C )()(x f dt t f dx d b x -=⎰D )()(x f dt t f dxd b x =⎰ 3、 在[a ，+∞]上恒有)()(x g x f ≥，则（ ） A ⎰+∞a dx x f )(收敛⎰+∞adx x g )(也收敛 B ⎰+∞adx x g )(发散⎰+∞adx x f )(也发散C⎰+∞adx x f )(和⎰+∞adx x g )(同敛散 D 无法判断4、级数∑∞=1n na收敛是（ ）对p =1,2…，0)(lim 21=++++++∞→p n n n n a a aA 充分条件B 必要条件C 充分必要条件D 无关条件 5、若级数∑∞=+111n n α收敛，则必有（ ）A 0≤αB 0≥αC 0<αD 0>α 6、)()(1x ax f n n∑∞==在[a ，b ]一致收敛，且a n (x )可导（n =1,2…），那么（ ）A f （x ）在[a ，b ]可导，且∑∞==1'')()(n nx ax fB f （x ）在[a ，b ]可导，但)('x f 不一定等于∑∞=1')(n nx aC∑∞=1')(n nx a点点收敛，但不一定一致收敛D∑∞=1')(n nx a不一定点点收敛7、下列命题正确的是（ ） A)(1x an n∑∞=在[a ，b ]绝对收敛必一致收敛B)(1x an n∑∞=在[a ，b ] 一致收敛必绝对收敛C)(1x an n∑∞=在[a ，b ] 条件收敛必收敛D 若0|)(|lim =∞→x a n n ，则)(1x an n∑∞=在[a ，b ]必绝对收敛8、∑∞=--1)11()1(n n nx n 的收敛域为（ ） A (-1,1) B (-1,1] C [-1,1] D [-1,1） 9、下列命题正确的是（ ）A 重极限存在，累次极限也存在并相等B 累次极限存在，重极限也存在但不一定相等C 重极限不存在，累次极限也不存在D 重极限存在，累次极限也可能不存在10、函数f (x,y )在（x 0,,y 0）可偏导，则（ ）A f (x,y )在（x 0,,y 0）可微B f (x,y )在（x 0,,y 0）连续C f (x,y )在（x 0,,y 0）在任何方向的方向导数均存在D 以上全不对二、计算题：（每小题6分，共30分）1、)0(21lim1>++++∞→p n n p pp p n 2、计算由曲线2x y =和2y x =围成的面积 3、求极限)1sin 11(lim 2222)0,0(),(x y y x y x y x +-+++→4、 已知),(yx x f z =，求yzx z ∂∂∂∂, 5、 计算nn n n x n ∑∞=--112)1(的收敛半径和收敛域 三、讨论判断题（每小题10分，共30分）1、讨论dx x x qp p⎰∞++--01|1|的敛散性 2、 判断∑∞=--+122)11(n n n 的敛散性3、 判断∑∞=+-121sin )1(n n n nx的一致收敛性 四、证明题（每小题10分，共20分）1、设f (x )是以T 为周期的函数，且在[0，T ]上可积，证明⎰⎰=+TTa adx x f dx x f 0)()(2、设级数∑∞=10n n n x α收敛，则当0αα>时，级数∑∞=1n nn x α也收敛参考答案一、1、A 2、B3、D4、A5、D6、D7、C8、A9、D10、D 二、1、由于px 在[0，1]可积，由定积分的定义知（2分）=++++∞→121lim p p p p n n n 11)21(1lim 10+==++⎰∞→p dx x n n n n n pp p p p p p n （4分） 2、 、两曲线的交点为（0，0），（1，1）（2分）所求的面积为：31)(12=-⎰dx x x （4分） 3、解：由于x1sin 有界，01sin lim )0,0(),(=→x y y x （2分）)1sin 11(lim 2222)0,0(),(x y y x y x y x +-+++→=)11)(11()11)((lim22222222)0,0(),(+++-++++++→y x y x y x y x y x （3分）=111lim22)0,0(),(+++→y x y x =2（1分）4、解：xz∂∂=y f f 121+（3分）y z ∂∂=22y x f -（3分）5、解：212)1(lim 1=--∞→n nn n n ，r =2（3分） 由于x =-2，x =2时，级数均不收敛，所以收敛域为（-2，2）（3分）三、1、解、因为被积函数可能在x =0和x =1处无界，所以将其分为dx x x q p p ⎰∞++--01|1|=dx x x p q p ⎰-+-101|1|1+dx x x q p p⎰∞++--11|1|（2分） 考虑奇点x =0应要求p-1<1；奇点x =1应要求p+q<1；（4分）当+∞→x 时，由于1211~)1(1-++--q p q p p xx x ，知2p+q -1>1时积分收敛（2分） 所以反常积分满足p <2且2(1-p)<q<1-p 收敛，其余发散（2分） 2、解：由于nn n n n 1~112112222-++=--+（6分），又∑∞=11n n 发散（2分）所以原级数发散（2分）3、解：2211sin )1(n n nx n ≤+-（6分），由weierstrass 判别法原级数一致收敛性（4分）四、证明题（每小题10分，共20分）1、证明：⎰⎰⎰⎰++++=Ta TT aTa adx x f dx x f dx x f dx x f )()()()(00（1）（4分）⎰⎰⎰=+++=+aaTa Tdt t f T t d T t f t T x dx x f 0)()()()(（2）（4分）将式（2）代入（1）得证（2分）2、证明：∑∑∞=-∞==11)1)((00n n n n n nx n x αααα（4分）01αα-n 单调下降有界（3分）由Abel 定理知原级数收敛（3分）。

《数学分析（II ）》试题2004.6一．计算下列各题：1．求定积分∫+e x x dx 12)ln 2(；2．求定积分； ∫−222),1max(dx x3．求反常积分dx x x ∫∞++021ln ；4．求幂级数()∑∞=−+1221n n n x n n 的收敛域；5．设，求du 。

yz x u =二．设变量代换可把方程⎩⎨⎧+=−=ay x v y x u ,20622222=∂∂−∂∂∂+∂∂y z y x z x z 简化为02=∂∂∂v u z ，求常数。

a三．平面点集(){}⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⎟⎠⎞⎜⎝⎛L U ,2,11sin ,10,0n n n是否为紧集？请说明理由。

四．函数项级数n nn n x x n +⋅−∑∞=−1)1(11在上是否一致收敛？请说明理由。

]1,0[五．设函数在上连续，且满足)(x f ),(∞+−∞1)1(=f 和)arctan(21)2(20x dt t x tf x =−∫。

求。

∫21)(dx x f六．设函数在上具有连续导数，且满足)(x f ),1[∞+1)1(=f 和22)]([1)(x f x x f +=′，+∞<≤x 1。

证明：存在且小于)(lim x f x +∞→41π+。

七．设如下定义函数：dt t t x f x x t1sin 21)(2∫⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=，。

1>x 判别级数∑∞=2)(1n n f 的敛散性。

八．设∫=40cos sin πxdx x I n n （L ,2,1,0=n ）。

求级数的和。

∑∞=0n n I《数学分析（II ）》试题（答案）2004.6一．1．421π⋅； 2．320； 3．； 4． 0)2/1,2/1(−； 5．⎟⎠⎞⎜⎝⎛++=xdz y xdy z dx x yz x dz yz ln ln 。

二．。

3=a 三． 是紧集。

四．一致收敛。

五．43。

六．因为，所以单调增加，因此0)(>′x f )(x f 1)1()(=>f x f 。

第三学期数学分析考试题一、 判断题（每小题2分，共20分）1.开域是非空连通开集，闭域是非空连通闭集． （ ）2.当二元函数的重极限与两个累次极限都存在时，三者必相等． （ ）3.连续函数的全增量等于偏增量之和． （ ）4.xy y x f =),(在原点不可微． （ ）5.若),(),(y x f y x f yx xy 与都存在，则),(),(y x f y x f yx xy =． （ ）6.dy y x xyy )1(sin 21+⎰+∞在)1,0(内不一致收敛． （ ） 7.平面图形都是可求面积的． （ ） 8.学过的各种积分都可以以一种统一的形式来定义. （ ）9.第二型曲面积分也有与之相对应的“积分中值定理”． （ ） 10.二重积分定义中分割T 的细度T 不能用}{max 1i ni σ∆≤≤来代替． （ ）二、 填空题（每小题3分，共15分）1.设)sin(y x e z xy+=，则其全微分=dz ． 2.设32),,(yz xy z y x f +=，则f 在点)1,1,2(0-P 处的梯度=)(0P grad ． 3.设L 为沿抛物线22x y =,从)0,0(O 到)2,1(B 的一段，则⎰=+Lydx xdy ．4.边长为a 密度为b 的立方体关于其任一棱的转动惯量等于 ．5.曲面273222=-+z y x 在点（3,1,1）处的法线方程为 ． 三、计算题（每小题5分，共20分） 1．求极限xy y x y x )(lim22)0,0(),(+→．2． 设),(y x z z =是由方程ze z y x =++所确定的隐函数，求xy z ． 3．设]1,0[]1,0[⨯=A ，求⎰⎰++=Ay x ydxdyI 2322)1(. 4．计算抛物线)0()(2>=+a axy x 与x 轴所围的面积.四、(10分)密度22),,(y x z y x +=ρ的物体V 由曲面222y x z +=与2=z 所围成，求该物体关于z 轴的转动惯量． 五、（10分）求第二类曲面积分⎰⎰++S dxdy z dzdx y dydz x222其中S 是球面2222)()()(R c z b y a x =-+-+-并取外侧为正向． 六、（第1小题8分，第2小题7分，共15分）．1. 求曲线6222=++z y x ，22y x z +=在点（1，1，2）处的切线方程和法平面方程． 2．证明：221140π=+⎰+∞dx x ． 七、（10分）应用积分号下的积分法，求积分)0(ln )1cos(ln 10>>-⎰a b dx xx x x ab ．第三学期数学分析参考答案及评分标准一、 判断题（每小题2分，共20分）1.开域是非空连通开集，闭域是非空连通闭集． （⨯） 2.当二元函数的重极限与两个累次极限都存在时，三者必相等． （ √ ） 3.连续函数的全增量等于偏增量之和． （ ⨯） 4.xy y x f =),(在原点不可微． （ √ ）5.若),(),(y x f y x f yx xy 与都存在，则),(),(y x f y x f yx xy =． （ ⨯）6.dy y x xyy )1(sin 21+⎰+∞在)1,0(内不一致收敛． （ √ ）7.平面图形都是可求面积的． （⨯） 8.学过的各种积分都可以以一种统一的形式来定义. （ √ ）9.第二型曲面积分也有与之相对应的“积分中值定理”． （⨯）10.二重积分定义中分割T 的细度T 不能用}{max 1i ni σ∆≤≤来代替． （ √ ） 二、 填空题（每小题3分，共15分） 1.设)sin(y x e z xy+=，则其全微分=dzdy y x y x x e dx y x y x y e xy xy )]cos()sin([)]cos()sin([+++++++．2.设32),,(yz xy z y x f +=，则f 在点)1,1,2(0-P 处的梯度=)(0P grad (1,-3,-3)． 3.设L 为沿抛物线22x y =,从)0,0(O 到)2,1(B 的一段，则⎰=+Lydx xdy 2 ．4.边长为a 密度为b 的立方体关于其任一棱的转动惯量等于b a 532． 5.曲面273222=-+z y x 在点（3,1,1）处的法线方程为111193--=-=-z y x ． 三、计算题（每小题5分，共20分） 1．求极限xy y x y x )(lim22)0,0(),(+→．解：先求其对数的极限)ln(lim22)0,0(),(y x xy y x +→．由于)0,(0ln )ln(2222222+→=+→≤+r r y x r r y x xy 令，所以)ln(lim22)0,0(),(y x xy y x +→=0，故xy y x y x )(lim22)0,0(),(+→=1．2． 设),(y x z z =是由方程ze z y x =++所确定的隐函数，求xy z ． 解：方程ze z y x =++两边对x ，y 求偏导数，得 xze x z z∂∂=∂∂+1 y z e y z z ∂∂=∂∂+1 解得11-=∂∂=∂∂z e y z x z 32)1()1()11(-=∂∂⋅--=-∂∂=z zz z z xy e e y z e e e y z 。

数学分析期末考试题一、叙述题：(每小题5分，共10分）1、 叙述反常积分a dx x f ba ,)(⎰为奇点收敛的cauchy 收敛原理2、 二元函数),(y x f 在区域D 上的一致连续 二、计算题：（每小题8分，共40分） 1、)212111(lim nn n n +++++∞→2、求摆线]2,0[)cos 1()sin (π∈⎩⎨⎧-=-=t t a y t t a x 与x 轴围成的面积 3、求⎰∞+∞-++dx xx cpv 211)(4、求幂级数∑∞=-12)1(n nnx 的收敛半径和收敛域5、),(yx xy f u =， 求yx u ∂∂∂2三、讨论与验证题：（每小题10分，共30分） 1、yx yx y x f +-=2),(，求),(lim lim ),,(lim lim 0000y x f y x f x y y x →→→→；),(lim)0,0(),(y x f y x →是否存在？为什么？2、讨论反常积分⎰∞+0arctan dx xx p的敛散性。

3、讨论∑∞=-+133))1(2(n nnn n 的敛散性。

四、证明题：（每小题10分，共20分）1、 设f （x ）在[a ,b ]连续，0)(≥x f 但不恒为0，证明0)(>⎰ba dx x f2、 设函数u 和v 可微，证明grad (uv )=ugradv +vgradu参考答案一、1、,0.0>∃>∀δε使得δδδ<<<∀210，成立εδδ<⎰--21)(a a dx x f2、设2RD ⊂为点集，mRD f →:为映射，,0.0>∃>∀δε使得D x x x x ∈<-∀2,121,δ，成立ε<-)()(21x f x f二、1、由于x +11在[0，1]可积，由定积分的定义知（2分）)212111(lim nn n n +++++∞→ =2ln 11)11211111(1lim1=+=+++++⎰∞→dx xnn nnnn（6分）2、 、所求的面积为：22023)cos 1(a dx x a ππ=-⎰（8分）3、 解：π=++=++⎰⎰-+∞→∞+∞-AAA dx xx dx xx cpv 2211lim11)( (3分）4、解：11lim2=∞→nn x，r=1（4分）由于x =0，x =2时，级数均收敛，所以收敛域为[0，2]（4分） 5、解： yu ∂∂=221yx f x f -（3分）322112212yx f xy f yf f yx u -++=∂∂∂（5分）三、1、解、0limlimlim ,1limlimlim 220020==+-==+-→→→→→→yyyx yx xx y x yx y x y x y x （5分）由于沿kx y =趋于（0，0）极限为k+11所以重极限不存在（5分）2、解：⎰⎰⎰∞+∞++=11arctan arctan arctan dx xx dx xx dx xx ppp（2分），对⎰1arctan dx x x p，由于)0(1arctan 1+→→-x xx x pp 故p <2时⎰1arctan dx xx p 收敛（4分）；⎰∞+1arctan dx xxp，由于)(2arctan +∞→→x xx xppπ（4分）故p >1⎰∞+1arctan dx xx p收敛，综上所述1<p <2，积分收敛 3、解：13123])1(2[lim3<+=-++∞→nnnn n 所以级数收敛（10分）四、证明题（每小题10分，共20分）1、证明：由0)(≥x f 但不恒为0，至少有一点],[0b a x ∈ f （x ）在[a ,b ]连续（2分），存在包含x 0的区间],[],[b a d c ⊂，有0)(>x f （4分），0)()(>≥⎰⎰dcbadx x f dx x f （4分）2、证明：以二元函数为例ugradvvgradu v v u u u v u v u v v u v u u v v u u v v u uv grad y x y x y x y x y y x x +=+=+=++=),(),(),(),(),()(（10分）。