九年级数学等腰梯形的性质和判定
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初中数学等腰梯形的性质和定理学习技巧学习初中数学中关于等腰梯形的性质和定理时,以下是一些有效的学习技巧:1.理解定义:首先确保你清楚等腰梯形的定义:等腰梯形是一组对边平行,另一组对边不平行但相等的四边形。
理解这个定义是掌握等腰梯形性质的基础。
2.掌握基本性质:等腰梯形有一些基本的性质,如两腰相等、两底平行、对角线相等、同一底上的两个角相等。
深入理解和记忆这些性质,它们将是你解题的关键。
3.学习判定定理:等腰梯形的判定定理主要有两条对角线相等的梯形是等腰梯形,以及一组对边平行,另一组对边相等的四边形是等腰梯形等。
理解这些定理的条件和结论,并能够灵活应用它们。
4.大量练习:通过做大量的练习题来巩固对等腰梯形性质和定理的理解。
从简单的题目开始,逐步挑战更复杂的题目,提升解题能力。
5.图形直观:利用图形来辅助学习。
绘制等腰梯形并标记出重要的元素(如腰、底、对角线、角等),这样可以更直观地理解等腰梯形的性质和定理。
6.关联与对比:将等腰梯形的性质与矩形、平行四边形、菱形等其他四边形进行对比和关联,找出它们之间的异同点,加深对等腰梯形知识的理解。
7.总结归纳:将学习到的等腰梯形性质和定理进行归纳整理,形成自己的知识体系。
这样可以帮助你更好地记忆和应用这些知识。
8.参与讨论:与同学或老师讨论等腰梯形相关的问题,通过交流和分享来加深对等腰梯形性质和定理的理解。
9.持续复习:定期复习等腰梯形的性质和定理,确保你能够长期记忆和应用它们。
在复习过程中,可以不断回顾和巩固之前学过的知识,形成更加完整的知识体系。
遵循这些学习技巧,你将能够更好地掌握初中数学中等腰梯形的性质和定理,提高解题能力。
九年级数学等腰梯形、三角形中位线、梯形中位线华东师大版【同步教育信息】一. 本周教学内容:等腰梯形、三角形中位线、梯形中位线1. 等腰梯形:性质:等腰梯形的同一底边上的两个内角相等。
等腰梯形的两条对角线相等。
判定:同一条底边上的两个内角相等的梯形是等腰梯形,两条对角线相等的梯形是等腰梯形。
2. 三角形的中位线定义:我们把连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
定理:三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半。
3. 梯形的中位线定义:连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线。
定理:梯形的中位线平行于两底边,并且等于两底和的一半。
【典型例题】例1. 已知等腰梯形ABCD 中,AB=CD ,∠===B AD cm BC cm 601549°,,,求它的腰长。
A D分析:要求腰长,也就是求AB 的长,通过作辅助线将已知条件集中到一个三角形中,过A 作AE//CD 交BC 于E ,得到一个平行四边形AECD 和△ABE ,易知△ABE 是等边三角形,由BE=BC -AD ,这样问题就解决了。
解:过A 作AE//DC 交BC 于E∵四边形ABCD 是等腰梯形 ∴∠=∠=B C 60°又∵AD//BC ,AE//DC ∴四边形AECD 是平行四边形。
∴====∴=AD EC cm AE DCAB CD AB AE 15,,∴△ABE 是等边三角形。
又 BC cm =49∴=-=∴==BE cm AB BE cm49153434() A DC例2. 已知:如图所示,在等腰梯形ABCD 中,对角线AC=BC+AD ,求∠DBC 的度数。
分析:由等腰梯形的性质得AC=BD ,又题设与对角线有关,考虑平移对角线BD 到AE 的位置,则∠=∠DBC E ,需求∠E ,猜想△ACE 是等边三角形。
解:过A 作AE//BD 交CB 的延长线于E ,则四边形AEBD 是平行四边形。
∴==∴=+=+=AE DB AD BE CE BC BE BC AD AC, ∵梯形ABCD 是等腰梯形。
【初中数学】初中数学等腰梯形的性质知识点总结【—等腰梯形总结】知识要点:一组对边平行且不相等,另一组对边不平行但相等的平面四边形,叫做等腰梯形。
等腰梯形的性质1、等腰梯形同一底上的两个内角相等。
2.两腰相等,两底平行,对角线相等。
3、由托勒密定理可得等腰梯形abcd,有ab*cd+bc*ad=ac*bd。
4.中线长度为上下边缘长度之和的一半。
5、两条对角线相等,是轴对称图形,只有一条对称轴,上底和下底的中垂线就是它的对称轴。
6.对角分割的四个三角形有三对全等形状和一对相似形状。
7、等腰梯形的面积公式等于(上底+下底)*高*1/2。
8.特殊面积计算:对角线垂直时:(BD)×ac)/2 。
9、性质定理:等腰梯形在同一底上的两个底角相等,等腰梯形的两条对角线相等。
几何语言:∵ 四边形ABCD是等腰梯形∵ a+∠ B=180°,∠ C+∠ d=180°(两条直线平行,同侧内角互补)等腰梯形判定定理同底两等角的梯形为等腰梯形。
几何语言:∵∠bad=∠adc,∠dcb=∠abc∴四边形abcd是等腰梯形(在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形)。
10.对角线的平方等于腰部的平方和上下底部的乘积。
bd=ac=ab+ad·bc=dc+ad·bc11、等腰梯形是轴对称图形,对称轴是通过两底中点的直线。
等腰梯形的确定1、同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形。
2.一组对边平行且不相等,另一组对边相等且不平行的四边形为等腰梯形。
3、对角线相等且能形成两个等腰三角形的四边形是等腰梯形。
4.对角互补梯形为等腰梯形。
5、对角线相等的梯形是等腰梯形。
梯形面积公式梯形的面积=(上底+下底)×高/2;用“a”、“B”和“H”分别表示梯形的上底、下底和高度,“s”表示梯形的面积则s=(a+b)h/2。
特殊情况包括以下算法:1、若对角线互相垂直,则面积为1/2两对角线的乘积。
中考数学专题复习第二十二讲梯形【基础知识回顾】一、 梯形的定义、分类、和面积:1、定义:一组对边平行,而另一组对边的四边形,叫做梯形。
其中,平行的两边叫做两底间的距离叫做梯形的2、分类:梯形3、梯形的面积:梯形= (上底+下底) X 高【赵老师提醒:要判定一个四边形是梯形,除了要注明它有一组对边外,还需注明另一组对边不平行或的这组对边不相等】二、等腰梯形的性质和判定:1、性质:⑴等腰梯形的两腰相等,相等⑵等腰梯形的对角线⑶等腰梯形是对称图形一般梯形特殊梯形等腰梯形:两腰 的梯形叫做等腰梯形直角梯形:一腰与底 的梯形叫做直角梯形2、判定:⑴用定义:先证明四边形是梯形,再证明其两腰相等⑵同一底上两个角的梯形是等腰梯形⑶对角线的梯形是等腰梯形【赵老师提醒:1、梯形的性质和判定中同一底上的两个角相等“不被成”两底角相等2、等腰梯形所有的判定方法都必须先证它是梯形3、解决梯形问题的基本思路是通过做辅助线将梯形转化为形式常见的辅助线作法有要注意根据题目的特点灵活选用辅助线】【重点考点例析】考点一:梯形的基本概念和性质例1 (2012•内江)如图,四边形ABCD是梯形,BD=AC且BD⊥AC,若AB=2,CD=4,则S梯形ABCD= 9.思路分析:过点B作BE∥AC交DC的延长线于点E,过点B 作BF⊥DC于点F,判断出△BDE是等腰直角三角形,求出BF,继而利用梯形的面积公式即可求解.解答:解:过点B作BE∥AC交DC的延长线于点E,过点B 作BF⊥DC于点F,则AC=BE,DE=DC+CE=DC+AB=6,又∵BD=AC 且BD⊥AC,∴△BDE是等腰直角三角形,∴BF=DE=3,故可得梯形ABCD的面积为(AB+CD)×BF=9.故答案为:9.点评:此题考查了梯形的知识,平移一条对角线是经常用到的一种辅助线的作法,同学们要注意掌握,解答本题也要熟练等腰直角三角形的性质,难度一般.对应训练1.(2012•无锡)如图,梯形ABCD中,AD∥BC,AD=3,AB=5,BC=9,CD的垂直平分线交BC于E,连接DE,则四边形ABED 的周长等于()A.17B.18C.19D.201.考点:;.分析:由CD的垂直平分线交BC于E,根据线段垂直平分线的性质,即可得DE=CE,即可得四边形ABED的周长为AB+BC+AD,继而求得答案.解答:解:∵CD的垂直平分线交BC于E,∴DE=CE,∵AD=3,AB=5,BC=9,∴四边形ABED的周长为:AB+BE+DE+AD=AB+BE+EC+AD=AB+BC+AD=5+9+3=17.故选A.点评:此题考查了线段垂直平分线的性质.此题比较简单,注意掌握数形结合思想与转化思想的应用是解此题的关键.考点二:等腰梯形的性质例2 (2012•呼和浩特)已知:在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AC⊥BD,AD=3,BC=7,则梯形的面积是()A.25B.50C.25 D.思路分析:过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E,作DF⊥BC 于F,证平行四边形ADEC,推出AC=DE=BD,∠BDE=90°,根据等腰三角形性质推出BF=DF=EF= BE,求出DF,根据梯形的面积公式求出即可.解答:解:过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E,∵AD∥BC (已知),即AD∥CE,∴四边形ACED是平行四边形,∴AD=CE=3,AC=DE,在等腰梯形ABCD中,AC=DB,∴DB=DE (等量代换),∵AC⊥BD,AC∥DE,∴DB⊥DE,∴△BDE是等腰直角三角形,作DF⊥BC于F,则DF=BE=5,S梯形ABCD=(AD+BC)•DF=(3+7)×5=25,故选A.点评:本题主要考查对等腰三角形性质,平行四边形的性质和判定,等腰梯形的性质,等腰直角三角形等知识点的理解和掌握,能求出高DF的长是解此题的关键.对应训练2.(2012•厦门)如图,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,对角线AC与BD相交于点O,若OB=3,则OC= 3.2.3考点:.分析:先根据梯形是等腰梯形可知,AB=CD,∠BCD=∠ABC,再由全等三角形的判定定理得出△ABC≌△DCB,由全等三角形的对应角相等即可得出∠DBC=∠ACB,由等角对等边即可得出OB=OC=3.解答:解:∵梯形ABCD是等腰梯形,∴AB=CD,∠BCD=∠ABC,在△ABC与△DCB中,∵,∴△ABC≌△DCB,∴∠DBC=∠ACB,∴OB=OC=3.故答案为:3.点评:本题考查的是等腰梯形的性质及全等三角形的判定与性质,熟知在三角形中,等角对等边是解答此题的关键.考点三:等腰梯形的判定例3 (2012•襄阳)如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,E为BC的中点,BC=2AD,EA=ED=2,AC与ED相交于点F.(1)求证:梯形ABCD是等腰梯形;(2)当AB与AC具有什么位置关系时,四边形AECD是菱形?请说明理由,并求出此时菱形AECD的面积.考点:;;.分析:(1)由AD∥BC,由平行线的性质,可证得∠DEC=∠EDA,∠BEA=∠EAD,又由EA=ED,由等腰三角形的性质,可得∠EAD=∠EDA,则可得∠DEC=∠AEB,继而证得△DEC≌△AEB,即可得梯形ABCD是等腰梯形;(2)由AD∥BC,BE=EC=AD,可得四边形ABED和四边形AECD均为平行四边形,又由AB⊥AC,AE=BE=EC,易证得四边形AECD是菱形;过A作AG⊥BE 于点G,易得△ABE是等边三角形,即可求得答案AG的长,继而求得菱形AECD的面积.解答:(1)证明:∵AD∥BC,∴∠DEC=∠EDA,∠BEA=∠EAD,又∵EA=ED,∴∠EAD=∠EDA,∴∠DEC=∠AEB,又∵EB=EC,∴△DEC≌△AEB,∴AB=CD,∴梯形ABCD是等腰梯形.(2)当AB⊥AC时,四边形AECD是菱形.证明:∵AD∥BC,BE=EC=AD,∴四边形ABED和四边形AECD均为平行四边形.∴AB=ED,∵AB⊥AC,∴AE=BE=EC,∴四边形AECD是菱形.过A作AG⊥BE于点G,∵AE=BE=AB=2,∴△ABE是等边三角形,∴∠AEB=60°,∴AG=,∴S菱形AECD=EC•AG=2×=2。
数学等腰梯形知识点总结归纳等腰梯形(isosceles trapezium)是一组对边平行(不相等),另一组对边不平行但相等的四边形。
等腰梯形是一个平面图形,是一种特殊的梯形。
一、等腰梯形的性质1. 等腰梯形的两条腰相等。
2. 等腰梯形在同一底上的两个角相等。
3. 等腰梯形的两条对角线相等。
4. 等腰梯形是轴对称图形,对称轴是上下底中点的连线所在直线(过两底中点的直线)。
二、等腰梯形的判定1. 两腰相等的梯形是等腰梯形;2. 同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形;3. 对角线相等的梯形是等腰梯形。
三、等腰梯形的其他相关性质1. 等腰梯形中,高、中线、角平分线重合(即“三线合一”)。
2. 等腰梯形对角线互相垂直。
3. 等腰梯形中位线长是上底加下底和的一半。
四、等腰梯形的面积公式设等腰梯形的上底长为a,下底长为b,高为h,则等腰梯形的面积公式为:面积= (a + b) × h / 2。
五、等腰梯形与三角形的联系等腰梯形可以划分成三个等腰直角三角形。
等腰梯形的上底与下底的垂直平分线即为等腰三角形的高,上下底之间的距离即为等腰三角形的高,等腰三角形的底即为等腰梯形的腰。
等腰梯形的两腰即为两个等腰直角三角形的腰。
六、等腰梯形与平行四边形的联系若等腰梯形上底为0,即为平行四边形。
七、等腰梯形与矩形的联系若等腰梯形两腰垂直于底,则为矩形。
八、等腰梯形与正方形的联系若等腰梯形两腰垂直于底且上底为0,即为正方形。
九、实例解析1. 已知等腰梯形两腰长分别为5cm和5cm,上底长为3cm,下底长为7cm,求等腰梯形的面积。
解:根据等腰梯形的面积公式,面积= (a + b) × h / 2,其中a为上底长,b为下底长,h为高。
因为等腰梯形的两腰相等,所以梯形的高即为腰与上下底垂直平分线的长度。
这里可以使用勾股定理求解高,设高为h,则有h² = 5² - (2)² = 21,所以h = √21cm。