初中数学圆的基本性质定理知识点

初中数学知识点最全总结(精选)初中数学知识点最全总结(精选)小伙伴们处在中考复习阶段,我们好好梳理知识点是非常重要的一个环节。

数学知识点是很重要的,下面小编给大家整理了关于初中数学知识点最全总结的内容，欢迎阅读，内容仅供参考!初中数学知识点最全总结1圆的基本性质1.半圆或直径所对的圆周角是直角。

2.任意一个三角形一定有一个外接圆。

3.在同一平面内，到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆。

4.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等。

5.同弧所对的圆周角等于圆心角的一半。

6.同圆或等圆的半径相等。

7.过三个点一定可以作一个圆。

8.长度相等的两条弧是等弧。

9.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等。

10.经过圆心平分弦的直径垂直于弦。

直线与圆的位置关系1.直线与圆有唯一公共点时，叫做直线与圆相切。

2.三角形的外接圆的圆心叫做三角形的外心。

3.弦切角等于所夹的弧所对的圆心角。

4.三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心。

5.垂直于半径的直线必为圆的切线。

6.过半径的外端点并且垂直于半径的直线是圆的切线。

7.垂直于半径的直线是圆的切线。

8.圆的切线垂直于过切点的半径。

2平行线的两条判定定理(1)两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么两直线平行。

简称：内错角相等，两直线平行。

(2)两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么两直线平行。

简称：同旁内角互补，两直线平行。

补充平行线的判定方法：(1)平行于同一条直线的两直线平行。

(2)垂直于同一条直线的两直线平行。

(3)平行线的定义。

3投影投影的定义：用光线照射物体，在地面上或墙壁上得到的影子，叫做物体的投影。

平行投影：由平行光线(如太阳光线)形成的投影称为平行投影。

中心投影：由同一点发出的光线所形成的投影称为中心投影。

24、视图当我们从某一角度观察一个实物时，所看到的图像叫做物体的一个视图。

物体的三视图特指主视图、俯视图、左视图。

初中数学知识点：圆的基本性质与定理
1。

点P与圆O的位置关系（设P是一点，则PO是点到圆心的距离）：
P在⊙O外，PO＞r；P在⊙O上，PO＝r；P在⊙O内，PO＜r。

2。

圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线。

圆也是中心对称图形，其对称中心是圆心。

3。

垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。

逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。

4。

在同圆或等圆中，如果2个圆心角，2个圆周角，2条弧，2条弦中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量都分别相等。

5。

一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

6。

直径所对的圆周角是直角。

90度的圆周角所对的弦是直径。

7。

不在同一直线上的3个点确定一个圆。

8。

一个三角形有唯一确定的外接圆和内切圆。

外接圆圆心是三角形各边垂直平分线的交点，到三角形3个顶点距离相等；内切圆的圆心是三角形各内角平分线的交点，到三角形3边距离相等。

9。

直线AB与圆O的位置关系（设OPAB于P，则PO 是AB到圆心的距离）：
AB与⊙O相离，PO＞r；AB与⊙O相切，PO＝r；AB与⊙O相交，PO＜r。

10。

圆的切线垂直于过切点的直径；经过直径的一端，并且垂直于这条直径的直线，是这个圆的切线。

11。

圆与圆的位置关系（设两圆的半径分别为R和r，且Rr，圆心距为P）：
外离P＞R+r；外切P=R+r；相交R-r＜P＜R+r；内切P=R-r；内含P＜R-r。

•知识定位圆在初中几何或者竞赛中占据非常大的地位，它的有关知识如圆与正多边形的关系，圆心角、三角形外接圆、弧、弦、弦心距间的关系，垂径立理是今后我们学习综合题目的重要基础。

圆的基本性质以及应用，必须熟练掌握。

本Yj我们通过一些实例的求解，旨在介绍数学竞赛中圆相关问题的常见题型及其求解方法本讲将通过例题来说明这些方法的运用。

「知识梳理1、圆的定义：（1）描述性泄义：在一个平而内，线段OA绕它固左的一个端点。

旋转一周，另一个端点A 随之转所形成的图形叫做圆，其中固逹端点。

叫做圆心，OA叫做半径.（2）集合性泄义：平而内到泄点的距离等于左长的点的集合叫做圆，顶点叫做圆心，定长叫做半径.（3）圆的表示方法：通常用符号。

表示圆，泄义中以。

为圆心，％为半径的圆记作“OO”, 读作“圆°"。

（4）同圆、同心圆、等圆：圆心相同且半径相等的圆叫同圆；圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；能够重合的两个圆叫做等圆.注意：同圆或等圆的半径相等.2、弦和弧：（1）弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦.（2）直径：经过圆心的弦叫做圆的直径，直径等于半径的2倍.（3）弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距.（4）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以人B为端点的圆弧记作AB,读作（5）等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧.（6）半圆：圆的任意一条宜径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆•（7）优弧、劣弧：大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧.（8）弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形.3、垂径定理：（1）垂径泄理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.推论1：①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧：②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧：③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧. 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等.24、 圆心角和圆周角：（1） 圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.将整个圆分为360等份，每一份的弧对应1°的 圆心角，我们也称这样的弧为1°的弧.圆心角的度数和它所对的呱的度数相等.（2） 圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角.（3） 圆周角泄理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等：同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等. 推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90。

初三数学知识点总结归纳初三数学复习五大方法初三新学期数学知识点一、圆的定义1、以定点为圆心，定长为半径的点组成的图形。

2、在同一平面内，到一个定点的距离都相等的点组成的图形。

二、圆的各元素1、半径：圆上一点与圆心的连线段。

2、直径：连接圆上两点有经过圆心的线段。

3、弦：连接圆上两点线段（直径也是弦）。

4、弧：圆上两点之间的曲线部分。

半圆周也是弧。

（1）劣弧：小于半圆周的弧。

（2）优弧：大于半圆周的弧。

5、圆心角：以圆心为顶点，半径为角的边。

6、圆周角：顶点在圆周上，圆周角的两边是弦。

7、弦心距：圆心到弦的垂线段的长。

三、圆的基本性质1、圆的对称性（1）圆是图形，它的对称轴是直径所在的直线。

（2）圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心。

（3）圆是对称图形。

2、垂径定理。

（1）垂直于弦的直径平分这条弦，且平分这条弦所对的两条弧。

（2）推论：平分弦（非直径）的直径，垂直于弦且平分弦所对的两条弧。

平分弧的直径，垂直平分弧所对的弦。

3、圆心角的度数等于它所对弧的度数。

圆周角的度数等于它所对弧度数的一半。

（1）同弧所对的圆周角相等。

（2）直径所对的圆周角是直角;圆周角为直角，它所对的弦是直径。

4、在同圆或等圆中，两条弦、两条弧、两个圆周角、两个圆心角、两条弦心距五对量中只要有一对量相等，其余四对量也分别相等。

5、夹在平行线间的两条弧相等。

6、设⊙O的半径为r，OP=d。

初三数学知识点总结归纳（二）1.数的分类及概念数系表：说明：分类的原则：1）相称（不重、不漏）2）有标准2.非负数：正实数与零的统称。

（表为：x0）性质：若干个非负数的和为0，则每个非负数均为0。

3.倒数：①定义及表示法②性质：A.a1/a（a1）;B.1/a中，aC.04.相反数：①定义及表示法②性质：A.a0时，aB.a与-a在数轴上的位置;C.和为0,商为-1。

5.数轴：①定义（三要素）②作用：A.直观地比较实数的大小;B.明确体现绝对值意义;C.建立点与实数的一一对应关系。

初中关于圆的解题技巧
初中数学中，圆是一个重要的知识点，掌握一些解题技巧对于解决圆的题目非常有帮助。

以下是一些关于圆的解题技巧：
1. 熟练掌握圆的性质：包括圆的直径、半径、周长、面积等基本性质，以及圆心角、弦、弧等之间的关系。

2. 灵活运用垂径定理：垂径定理是解决圆问题的一个重要定理，掌握这个定理可以帮助我们快速找到解题思路。

3. 掌握切线的判定方法：切线的判定是解决圆问题的另一个重要知识点，通过切线的判定方法可以快速确定切线的位置。

4. 熟悉圆与圆的位置关系：包括相切、相交、相离等关系，掌握这些关系可以帮助我们解决一些综合性的题目。

5. 善于利用代数方法：对于一些较为复杂的圆问题，可以通过代数方法进行求解，例如设未知数、列方程等。

6. 学会总结归纳：对于一些常见的题目类型，可以总结归纳出一些通用的解题方法，这样可以提高解题效率。

总之，解决圆的题目需要熟练掌握圆的基本性质和定理，同时也要善于运用各种解题技巧，通过不断的练习和总结，提高自己的解题能力。

初中数学圆的基本性质在初中数学的学习中，圆是一个非常重要的图形，它具有许多独特而有趣的基本性质。

这些性质不仅在数学理论中有着重要的地位，而且在实际生活中的各种应用也随处可见。

首先，让我们来了解一下圆的定义。

圆是平面内到一定点的距离等于定长的所有点组成的图形，这个定点称为圆心，定长称为半径。

形象地说，就好像我们用一根绳子的一端固定在一个点上，另一端绑着一支笔，然后让笔绕着这个固定点旋转一周，所形成的轨迹就是一个圆。

圆的半径是决定圆大小的重要因素。

半径越大，圆就越大；半径越小，圆就越小。

而且，在同一个圆中，所有的半径长度都相等。

这是圆的一个基本特征。

接下来，我们看看圆的直径。

通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。

直径是圆中最长的线段，它的长度等于半径的两倍。

圆的周长是圆的另一个重要性质。

圆的周长是指绕圆一周的长度。

我们用字母 C 表示周长，用字母 r 表示半径，那么圆的周长公式就是C ＝2πr。

其中，π是一个数学常数，约等于 314159。

这个公式告诉我们，只要知道了圆的半径，就能很容易地计算出圆的周长。

圆的面积也是一个关键的概念。

圆的面积是指圆所占据的平面大小。

我们用字母 S 表示面积，那么圆的面积公式是 S ＝πr²。

这个公式可以帮助我们计算出给定半径的圆的面积。

在圆中，还有弧和扇形的概念。

弧是圆上任意两点之间的部分，扇形则是由圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形。

圆心角的度数决定了扇形的大小。

圆具有很好的对称性。

圆既是轴对称图形，对称轴是任意一条通过圆心的直线；圆也是中心对称图形，其对称中心就是圆心。

这种对称性使得圆在很多几何问题中具有独特的优势。

再来说说圆与直线的位置关系。

当直线与圆没有公共点时，称为直线与圆相离；当直线与圆有且仅有一个公共点时，称为直线与圆相切；当直线与圆有两个公共点时，称为直线与圆相交。

我们可以通过圆心到直线的距离 d 与圆的半径 r 的大小关系来判断直线与圆的位置关系。

苏教版九年级上册数学知识点归纳【篇一】一、圆的定义1、以定点为圆心，定长为半径的点组成的图形。

2、在同一平面内，到一个定点的距离都相等的点组成的图形。

二、圆的各元素1、半径：圆上一点与圆心的连线段。

2、直径：连接圆上两点有经过圆心的线段。

3、弦：连接圆上两点线段(直径也是弦)。

4、弧：圆上两点之间的曲线部分。

半圆周也是弧。

(1)劣弧：小于半圆周的弧。

(2)优弧：大于半圆周的弧。

5、圆心角：以圆心为顶点，半径为角的边。

6、圆周角：顶点在圆周上，圆周角的两边是弦。

7、弦心距：圆心到弦的垂线段的长。

三、圆的基本性质1、圆的对称性(1)圆是图形，它的对称轴是直径所在的直线。

(2)圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心。

(3)圆是对称图形。

2、垂径定理。

(1)垂直于弦的直径平分这条弦，且平分这条弦所对的两条弧。

(2)推论：平分弦(非直径)的直径，垂直于弦且平分弦所对的两条弧。

平分弧的直径，垂直平分弧所对的弦。

3、圆心角的度数等于它所对弧的度数。

圆周角的度数等于它所对弧度数的一半。

(1)同弧所对的圆周角相等。

(2)直径所对的圆周角是直角;圆周角为直角，它所对的弦是直径。

4、在同圆或等圆中，两条弦、两条弧、两个圆周角、两个圆心角、两条弦心距五对量中只要有一对量相等，其余四对量也分别相等。

5、夹在平行线间的两条弧相等。

6、设⊙O的半径为r，OP=d。

7、(1)过两点的圆的圆心一定在两点间连线段的中垂线上。

(2)不在同一直线上的三点确定一个圆，圆心是三边中垂线的交点，它到三个点的距离相等。

(直角的外心就是斜边的中点。

)8、直线与圆的位置关系。

d表示圆心到直线的距离，r表示圆的半径。

直线与圆有两个交点，直线与圆相交;直线与圆只有一个交点，直线与圆相切;直线与圆没有交点，直线与圆相离。

9、中，A(x1，y1)、B(x2，y2)。

10、圆的切线判定。

(1)d=r时，直线是圆的切线。

切点不明确：画垂直，证半径。

(2)经过半径的外端且与半径垂直的直线是圆的切线。

初中数学复习圆的切线与切点性质圆的切线与切点是初中数学中的重要知识点。

在学习这部分内容之前，我们要先了解圆的基本性质和术语。

圆是由一条曲线组成，其中每一个点到圆心的距离都相等，这个距离被称为半径。

圆上的任意一条线段叫做弦，而连接圆心和圆上一点的线段则被称为半径。

本文将重点介绍圆的切线和切点的性质。

1. 切线的定义在圆上的点上作一条直线，如果这条直线与圆只有一个交点，那么这条直线叫做圆的切线。

换句话说，切线与圆只有一个公共点。

根据切线的定义，我们可以得出结论：切线与半径垂直。

2. 切点的定义切线与圆的交点被称为切点。

根据圆的定义可知，切点处切线与圆相切，也就是说，切线通过切点和圆的切点处垂直。

3. 切线的性质(1) 切线与半径的垂直性质：切线与通过切点的半径垂直相交。

(2) 切线的唯一性质：一条圆的切线只有一个。

(3) 切线和切点的关系：切点与切线的连线垂直于切线。

4. 切点的性质(1) 由切线与半径的垂直性质可知，切线与半径的切点处的角度为90度。

(2) 连接切点与圆心的线段是切线的垂直线。

(3) 通过圆的切点可以作一个唯一的切线。

(4) 以圆心为顶点，切点为底边的角是直角。

5. 圆的切线定理在圆上的一个点P，如果作一条切线PT，那么PT与半径OP（O为圆心）垂直相交。

反过来也成立，即如果PT与半径OP垂直相交，那么PT是圆的切线。

6. 圆的切线与切点的应用圆的切线与切点的性质在解决几何问题时经常被使用。

例如，通过切线与半径的垂直性质，我们可以求得切线与半径的夹角；通过切点与圆心的连线垂直于切线，我们可以求得切线的斜率等。

总结起来，圆的切线与切点是圆中重要的性质和概念。

切线与圆只有一个公共点，且与半径垂直相交；切点处的切线与圆相切，并且切点处的切线与切点相垂直。

这些性质和定理有着广泛的应用，能够帮助我们更好地理解和解决与圆相关的几何问题。

希望通过本文的整理和归纳，初中数学学习者能够对圆的切线与切点性质有更加全面和深入的了解，并能够运用这些性质进行问题的解答和拓展。

人教版九年级数学上册第二十四章圆《24.1圆的有关性质》第3课时说课稿一. 教材分析人教版九年级数学上册第二十四章《圆的有关性质》是整个初中数学的重要内容，也是九年级数学的重点和难点。

这一章节主要介绍了圆的基本性质，包括圆的定义、圆的方程、圆的半径和直径、圆的周长和面积等。

这些内容不仅是进一步学习圆的计算和应用的基础，而且对于培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力具有重要意义。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的几何基础，对图形的认识和理解有了基本的掌握。

但是，对于圆的性质和概念的理解还需要进一步的引导和培养。

此外，由于圆的概念较为抽象，学生可能存在一定的理解难度，因此需要教师在教学中注重启发和引导，帮助学生建立清晰的概念。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：通过本节课的学习，学生能够理解和掌握圆的基本性质，包括圆的定义、圆的方程、圆的半径和直径、圆的周长和面积等。

2.过程与方法目标：通过观察、思考和交流，学生能够培养空间想象能力和逻辑思维能力，能够运用圆的性质解决实际问题。

3.情感态度与价值观目标：学生能够积极参与课堂活动，对数学产生浓厚的兴趣，培养自主学习和合作学习的能力。

四. 说教学重难点1.教学重点：圆的定义、圆的方程、圆的半径和直径、圆的周长和面积等基本性质的理解和掌握。

2.教学难点：圆的性质的推导和证明，以及运用圆的性质解决实际问题。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、合作学习法和引导发现法进行教学。

通过提出问题，引导学生思考和探索，激发学生的学习兴趣和动力。

2.教学手段：利用多媒体课件和教具进行教学，通过展示图形和动画，帮助学生直观地理解和掌握圆的性质。

六. 说教学过程1.导入：通过展示一些与圆相关的实际问题，引起学生的兴趣和思考，从而引入圆的基本性质的学习。

2.知识讲解：引导学生通过观察和思考，发现圆的性质，并进行证明和推导。

通过示例和练习，帮助学生理解和掌握圆的性质。

圆的基本性质知识定位圆在初中几何或者竞赛中占据非常大的地位，它的有关知识如圆与正多边形的关系，圆心角、三角形外接圆、弧、弦、弦心距间的关系，垂径定理是今后我们学习综合题目的重要基础。

圆的基本性质以及应用，必须熟练掌握。

本节我们通过一些实例的求解，旨在介绍数学竞赛中圆相关问题的常见题型及其求解方法本讲将通过例题来说明这些方法的运用。

知识梳理1、圆的定义：（1）描述性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A 随之转所形成的图形叫做圆，其中固定端点O叫做圆心，OA叫做半径．（2）集合性定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，顶点叫做圆心，定长叫做半径．⊙”，（3）圆的表示方法：通常用符号⊙表示圆，定义中以O为圆心，OA为半径的圆记作“O读作“圆O”。

（4）同圆、同心圆、等圆：圆心相同且半径相等的圆叫同圆；圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；能够重合的两个圆叫做等圆．注意：同圆或等圆的半径相等．2、弦和弧：（1）弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦．（2）直径：经过圆心的弦叫做圆的直径，直径等于半径的2倍．（3）弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距．、为端点的圆弧记作AB，读作（4）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A B弧AB．（5）等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．（6）半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆．（7）优弧、劣弧：大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．（8）弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形．3、垂径定理：（1）垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．推论1：①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等．4、圆心角和圆周角：（1）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．将整个圆分为360等份，每一份的弧对应1︒的圆心角，我们也称这样的弧为1︒的弧．圆心角的度数和它所对的弧的度数相等．（2）圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．（3）圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等．推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90︒的圆周角所对的弦是直径．推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．（4）圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等．推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等．5、正多边形：各边相等，各角也相等的多边形是正多边形。

圆的基本性质章节必考点全梳理考点1 巧用圆的半径相等解决此类问题的关键是连接半径，抓住圆的半径相等是关键.例题1如图，OA是⊙O的半径，B为OA上一点（且不与点O、A重合），过点B作OA的垂线交⊙O于点C．以OB、BC为边作矩形OBCD，连结BD．若BD＝10，BC＝8，则AB的长为（）A．8B．6C．4D．2【分析】如图，连接OC，在Rt△OBC中，求出OB即可解决问题．【解析】如图，连接OC．∵四边形OBCD是矩形，∴∠OBC＝90°，BD＝OC＝OA＝10，∴OB=√OC2−BC2=√102−82=6，∴AB＝OA﹣OB＝4，故选：C．变式1如图，⊙O的直径AB与弦CD的延长线交于点E，若DE＝OB，∠AOC＝84°，则∠E等于（）A．42°B．28°C．21°D．20°【解析】连结OD，如图，∵OB＝DE，OB＝OD，∴DO＝DE，∴∠E＝∠DOE，∵∠1＝∠DOE+∠E，∴∠1＝2∠E，而OC＝OD，∴∠C＝∠1，∴∠C＝2∠E，∴∠AOC＝∠C+∠E＝3∠E，∴∠E=13∠AOC=13×84°＝28°．故选：B．【小结】本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．也考查了等腰三角形的性质．变式2如图，点A、D、G、M在半圆O上，四边形ABOC、DEOF、HMNO均为矩形，设BC＝a，EF＝b，NH＝c，则下列各式中正确的是（）A．a＞b＞c B．a＝b＝c C．c＞a＞b D．b＞c＞a【解析】连接OA、OD、OM，如图所示：OA＝OD＝OM，∵四边形ABOC、DEOF、HNMO均为矩形，∴OA＝BC＝a，OD＝EF＝b，OM＝NH＝c，∴a＝b＝c；故选：B．变式3如图，两个正方形都在⊙O的直径MN的同侧，顶点B、C、G都在MN上，正方形ABCD的顶点A和正方形CEFG的顶点F都在⊙O上，点E在CD上．若AB＝5，FG＝3，则OC的长为．【解析】连接AO，OF，∵四边形ABCD，EFGC是正方形，∴∠ABC＝∠FGC＝90°，∴AB2+BO2＝OG2+FG2，∴52+（5﹣OC）2＝（3+OC）2+32∴OC＝2，故答案为：2．【小结】本题考查了正方形的性质，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．考点2 点与圆的位置关系（求范围）解决此类问题关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内．例题2在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝3√3，以点A为圆心作圆A，要使B、C两点中的一点在圆A外，另一点在圆A内，那么圆A的半径长r的取值范围是．【解析】∵Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝3√3，∴AB＝6，如果以点A为圆心作圆，使点C在圆A内，则r＞3，点B在圆A外，则r＜6，因而圆A半径r的取值范围为3＜r＜6．故答案为3＜r＜6；变式4在直角坐标平面内，点O是坐标原点，点A的坐标是（3，2），点B的坐标是（3，﹣4）．如果以点O为圆心，r为半径的圆O与直线AB相交，且点A、B中有一点在圆O内，另一点在圆O外，那么r 的值可以取（）A．5B．4C．3D．2【解析】∵点A的坐标是（3，2），点B的坐标是（3，﹣4），∴OA=√32+22=√13，OB=√32+42=5，∵以点O为圆心，r为半径的圆O与直线AB相交，且点A、B中有一点在圆O内，另一点在圆O外，∴√13＜r＜5，∴r＝4符合要求．故选：B．变式5矩形ABCD中，AB＝10，BC＝4√2，点P在边AB上，且BP：AP＝4：1，如果⊙P是以点P为圆心，PD长为半径的圆，那么下列结论正确的是（）A．点B、C均在⊙P外B．点B在⊙P外，点C在⊙P内C．点B在⊙P内，点C在⊙P外D．点B、C均在⊙P内【解析】如图，∵四边形ABCD为矩形，∴AD＝BC＝4√2，∵AB＝10，BP：AP＝4：1，∴AP＝2，BP＝8，在Rt△ADP中，∵AP＝2，AD＝4√2，∴DP=√AD²+AP²=√4+32=6，在Rt△PBC中，CP=√BP²+BC²=√64+32=4√6，∵8＞6，4√6＞6，∴点B，点C均在⊙P外，故选：A．变式6如图，在每个小正方形的边长均为1的5×5的网格中，选取7个格点（小正方形的顶点），若以点A为圆心，r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有3个点在圆内，则r的取值范围是（）A．3＜r＜√10B．√2＜r＜√5C．√10＜r＜√13D．√5＜r≤3【解析】给各点标上字母，如图所示．∵AB=√12+22=√2，AC＝AD=√12+22=√5，AG＝3，AF=√12+32=√10，AE=√22+32=√13所以以A为圆心，r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内，这三个点只能为B、C、D点，∴√5＜r≤3，故选：D．【小结】本题考查了点与圆的位置关系以及勾股定理，利用勾股定理求出各格点到点A的距离是解关键．考点3 点与圆的位置关系（求最值）例题3如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，点D是半径为1的⊙A上的一个动点，点E为CD的中点，连结BE，则线段BE长度的最小值为．【分析】取AC的中点N，连接AD、EN、BN．利用直角三角形斜边中线的性质，三角形的中位线定理求出BN，EN，再利用三角形的三边关系即可解决问题．【解析】如图，取AC的中点N，连接AD、EN、BN．∵在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，∴AC=√AB2+BC2=√32+42=5，∵AN＝NC，∴BN=12AC=52，∵AN＝NC，DE＝EC，∴EN=12AD=12，∴BN﹣EN≤BE≤BN+EN，∴52−12≤BE≤52+12，∴2≤BE≤3，∴BE的最小值为2，变式7如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，点D是半径为4的⊙A上一动点，点M 是CD的中点，则BM的最大值是．【解析】如图，取AC的中点N，连接MN，BN．∵∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，∴AC＝10，∵AN＝NC，∴BN=12AC＝5，∵AN＝NC，DM＝MC，∴MN=12AD=2，∴BM≤BN+NM，∴BM≤5+2＝7，即BM的最大值是7．【小结】本题考查直角三角形斜边的中线的性质，三角形的中位线定理，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．变式8 如图，在平面直角坐标系中，C （0，4），A （3，0），⊙A 半径为2，P 为⊙A 上任意一点，E 是PC 的中点，则OE 的最小值是（ ）A ．1B ．32C ．2D ．√2【解析】如图，连接AC ，取AC 的中点H ，连接EH ，OH ．∵CE ＝EP ，CH ＝AH ，∴EH =12P A ＝1，∴点E 的运动轨迹是以H 为圆心半径为1的圆， ∵C （0，4），A （3，0），∴H （1.5，2），∴OH =√22+1．52=2.5， ∴OE 的最小值＝OH ﹣EH ＝2.5﹣1＝1.5，故选：B ．变式9 如图，点A ，B 的坐标分别为A （2，0），B （0，2），点C 为坐标平面内一点，BC ＝1，点M 为线段AC 的中点，连接OM ，则OM 的最大值为（ ）A ．√2+1B ．√2+12C ．2√2+1D ．2√2−12【解析】如图，∵点C 为坐标平面内一点，BC ＝1，∴C 在⊙B 上，且半径为1，取OD ＝OA ＝2，连接CD ， ∵AM ＝CM ，OD ＝OA ，∴OM 是△ACD 的中位线，∴OM =12CD ，当OM 最大时，即CD 最大，而D ，B ，C 三点共线时，当C 在DB 的延长线上时，OM 最大， ∵OB ＝OD ＝2，∠BOD ＝90°，∴BD ＝2√2，∴CD ＝2√2+1， ∴OM =12CD =√2+12，即OM 的最大值为√2+12；故选：B ．考点4 弧、弦、角、之间的关系在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等，其中圆心角的度数与它所对的弧的度数相等.例题4如图，⊙O的弦AB、CD的延长线相交于点P，且P A＝PC．求证：AB̂=CD̂．【解析】证明：连接AC、OA、OB、OC、OD，∵P A＝PC，∴∠P AC＝∠PCA，∵∠P AC=12∠BOC，∠PCA=12∠AOD，∴∠BOC＝∠AOD，∴AD̂=BĈ，∴AD̂−BD̂=BĈ−BD̂，即AB̂=CD̂．变式10如图，在⊙O中，点C是优弧ACB的中点，D、E分别是OA、OB上的点，且AD＝BE，弦CM、CN分别过点D、E．（1）求证：CD＝CE．（2）求证：AM̂=BN̂．【解析】（1）证明：连接OC．∵AĈ=BĈ，∴∠COD＝∠COE，∵OA＝OB，AD＝BE，∴OD＝OE，∵OC＝OC，∴△COD≌△COE（SAS），∴CD＝CE．（2）分别连结OM，ON，∵△COD≌△COE，∴∠CDO＝∠CEO，∠OCD＝∠OCE，∵OC＝OM＝ON，∴∠OCM＝∠OMC，∠OCN＝∠ONC，∴∠OMD＝∠ONE，∵∠ODC＝∠DMO+∠MOD，∠CEO＝∠CNO+∠EON，∴∠MOD＝∠NOE，∴AM̂=BN̂．变式11如图，已知半⊙O的直径AB为3，弦AC与弦BD交于点E，OD⊥AC，垂足为点F，AC＝BD，则弦AC的长为．【解析】∵OD⊥AC，∴AD̂=CD̂，∠AFO＝90°，又∵AC＝BD，∴AĈ=BD̂，即AD̂+CD̂=CD̂+BĈ，∴AD̂=BĈ，∴AD̂=CD̂=BĈ，∴∠AOD＝∠DOC＝∠BOC＝60°，∵AB＝3，∴AO＝BO=32，∴AF＝AO sin∠AOF=32×√32=3√34，则AC＝2AF=3√32；变式12如图，⊙O中，弦AB⊥CD，垂足为E，F为CBD̂的中点，连接AF、BF、AC，AF交CD于M，过F作FH⊥AC，垂足为G，以下结论：①CF̂=DF̂；②HC＝BF：③MF＝FC：④DF̂+AĤ=BF̂+AF̂，其中成立的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解析】∵F为CBD̂的中点，∴CF̂=DF̂，故①正确，∴∠FCM＝∠F AC，∵∠FCG＝∠ACM+∠GCM，∠AME＝∠FMC＝∠ACM+∠F AC，∴∠AME＝∠FMC＝∠FCG＞∠FCM，∴FC＞FM，故③错误，∵AB⊥CD，FH⊥AC，∴∠AEM＝∠CGF＝90°，∴∠CFH+∠FCG＝90°，∠BAF+∠AME＝90°，∴∠CFH＝∠BAF，∴CĤ=BF̂，∴HC＝BF，故②正确，∵∠AGF＝90°，∴∠CAF+∠AFH＝90°，∴AĤ的度数+CF̂的度数＝180°，∴CĤ的度数+AF̂的度数＝180°，∴AĤ+CF̂=AĤ+DF̂=CĤ+AF̂=AF̂+BF̂，故④正确，故选：C．考点5 圆的对称性（最短路线）例题5 如图，MN 是⊙O 的直径，MN ＝4，点A 在⊙O 上，∠AMN ＝30°，B 为弧AN 的中点，P 是直径MN 上一动点，则P A +PB 的最小值为 ．【解析】作点A 关于MN 的对称点A ′，连接A ′B ，与MN 的交点即为点P ，P A +PB 的最小值即为A ′B 的长，连接OA ′、OB 、OA ，∵A ′点为点A 关于直线MN 的对称点，∠AMN ＝30°，∴∠AON ＝∠A ′ON ＝2∠AMN ＝2×30°＝60°， 又∵弧AN 的中点，∴AB ̂=NB ̂，∴∠BON ＝∠AOB =12∠AON =12×60°＝30°， ∴∠A ′OB ＝∠A ′ON +∠BON ＝60°+30°＝90°，又∵MN ＝4，∴OA ′＝OB =12MN =12×4＝2， ∴Rt △A ′OB 中，A ′B =√22+22=2√2，即P A +PB 的最小值为2√2．变式13 如图，AB 是⊙O 的直径，AB ＝2，点C 在⊙O 上，∠CAB ＝30°，D 为弧BC 的中点，P 是直径AB 上一动点，则PC +PD 的最小值为（ ）A ．2√2B ．√2C ．1D ．2【解析】作出D 关于AB 的对称点D ′，连接OC ，OD ′，CD ′． 又∵点C 在⊙O 上，∠CAB ＝30°， D 为弧BC 的中点，即BD ̂=BD′̂， ∴∠BAD ′=12∠CAB ＝15°． ∴∠CAD ′＝45°．∴∠COD ′＝90°．则△COD ′是等腰直角三角形． ∵OC ＝OD ′=12AB ＝1，∴CD ′=√2．故选：B ．变式14 如图，AB 是⊙O 的直径，AB ＝8，点M 在⊙O 上，∠MAB ＝20°，N 是MB̂的中点，P 是直径AB上的一动点，则PM +PN 的最小值为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7【解析】作N 点关于AB 的对称点N ′，连接MN ′交AB 于P ′，如图，则P ′N ＝P ′N ′，∴P ′M +P ′N ＝P ′M +P ′N ′＝MN ′，∴此时P ′M +P ′N 的值最小，∵∠MAB ＝20°，∴∠MOB ＝40°， ∵N 是弧MB 的中点，∴∠NOB ＝20°，∵N 点关于AB 的对称点N ′，∴∠N ′OB ＝20°，∴∠MON ′＝60°，∴△OMN ′为等边三角形，∴MN ′＝OM ＝4，∴P ′M +P ′N ＝4，即PM +PN 的最小值为4．故选：A ．变式15 如图，MN 是⊙O 的直径，A ，B ，C 是⊙O 上的三点，∠ACM ＝60°，B 点是AN̂的中点，P 点是MN 上一动点，若⊙O 的半径为1，则P A +PB 的最小值为（ ）A ．1B ．√22C ．√2D ．√3−1【解析】作点B 关于MN 的对称点B ′，连接OA 、OB 、OB ′、AB ′，则AB ′与MN 的交点即为P A +PB 的最小时的点，P A +PB 的最小值＝AB ′，∵∠ACM ＝60°，∴∠AOM ＝2∠ACM ＝2×60°＝120°，∴∠AON ＝60°，∵点B为劣弧AN的中点，∴∠BON=12∠AON=12×60°＝30°，由对称性，∠B′ON＝∠BON＝30°，∴∠AOB′＝∠AON+∠B′ON＝60°+30°＝90°，∴△AOB′是等腰直角三角形，∴AB′=√2OA=√2×1=√2，即P A+PB的最小值=√2．故选：C．考点6 垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。

圆的基本性质内容分析圆的基本性质是初中数学九年级下学期第一章第一节的内容．需要掌握点与圆的位置关系，理解圆心角、弧、弦、弦心距的概念和掌握它们之间的关系，重点是这四者关系的灵活运用，以及垂径定理及其推论的应用．知识结构模块一：圆的确定知识精讲1、圆的概念圆：平面上到一个定点的距离等于定长的所有点所成的图形．圆心：以上概念中的“定点”；以点O 为圆心的圆称为“圆O”，记作O ．半径：联结圆心和圆上任意一点的线段；以上概念中的“定长”是圆的半径长．2、点与圆的位置关系设一个圆的半径长为R，点P 到圆心的距离为d，则有以下结论：当点P 在圆外时，d > R；当点P 在圆上时，d = R；当点P 在圆内时，0 ≤d <R ．反之亦然．3、相关定理：不在同一直线上的三个点确定一个圆．三角形的三个顶点确定一个圆．经过一个三角形各顶点的圆叫做这个三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做这个三角形的外心；这个三角形叫做这个圆的内接三角形．如果一个圆经过一个多边形的各顶点，那么这个圆叫做这个多边形的外接圆，这个多边形叫做这个圆的内接多边形．OlHa 2aAB【例1】 在平面直角坐标系内，A （ -3 ， - tan 30︒ ），B （ ，0）， A 的半径为 4，试说明点 B 与 A 的位置关系．【例2】 过一个点可以画个圆，过两个点可以画 个圆，过三个点可以画个圆．【例3】 已知，如图，在 O 中，AB 、BC 为弦，OC 交 AB 于点 D ．求证：（1） ∠ODB > ∠OBD ；（2） ∠ODB > ∠OBC ．OBAD C【例4】 如图， O 的半径为 15，O 到直线 l 的距离 OH = 9，A 、B 、C 为直线 l 上的三个点，AH = 9，QH = 12，RH = 15，请分别说明点 A 、B 、C 与 O 的位置关系．【例5】 若 A （a ， -27 ）在以点 B （ -35 ， -27 ）为圆心，37 为半径的圆上，求 a 的值．【例6】 如图，作出 AB 所在圆的圆心，并补全整个圆．例题解析EBD O C A【例7】如图，CD 是半圆的直径，O 是圆心，E 是半圆上一点，且∠EOD = 45︒，A 是DC 延长线上一点，AE 与半圆交于B，若AB = OC，求∠EAD 的度数．【例8】已知，如图，AB 是O 的直径，半径OC ⊥AB ，过OC 的中点D 作EF // AB．求证：∠ABE =1∠CBE ．2CE D FAOB【例9】已知：AB 是O 的直径，点P 是OA 上任意一点，点C 是O 上任意一点．求证：PA ≤PC ≤PB ．CAO B知识精讲1、圆心角、弧、弦、弦心距的概念圆心角：以圆心为顶点的角叫做圆心角；弧：圆上任意两点之间的部分叫做圆弧，简称弧；弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过圆心的弦就是直径；弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距．2、半圆、优弧、劣弧半圆：圆的任意一条直径的两个端点将圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．优弧：大于半圆的弧叫做优弧．劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧．如图，以A、C 为端点的劣弧记作AC，读作“弧AC”；以A、C 为端点的优弧记作ABC，读作“弧ABC”．3、等弧和等圆能够重合的两条弧称为等弧，或者说这两条弧相等．若AB 与A' B ' 是等弧，记作AB A' B ' ．半径相等的两个圆一定能够重合，我们把半径相等的两个圆称为等圆．4、圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等．5、圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的定理的推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条劣弧（或优弧）、两条弦、两条弦的弦心距得到的四组量中有一组量相等，那么它们所对应的其余三组量也分别相等．模块二：圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系ADEOCB【例10】 下列命题中真命题的个数是（ ）○ 1 相等的圆心角所对的弧也相等；○ 2 在同圆中，如果两条弦相等，那么所对的弧也相等； ○ 3 A 、B 是 O 上任意两点，则 AO + BO 等于 O 的直径长； ○ 4 三角形的外心到三角形三边的距离相等．A ．1 个B ．2 个C ．3 个D ．4 个 【例11】 一条弦把圆分成 1 : 3 两部分，则弦所对的圆心角为 °．A【例12】 如图，在 O 中， AB = AC ， ∠B = 70︒ ，则∠BAC = ．OBC【例13】 如图，已知 O 的半径是 6， ∠BOD = 30︒ ， BD = BC ，CD =．【例14】 如图， O 1 和O 2 是等圆，P 是O 1O 2 的中点，过点 P 作直线 AD 交 O 1 于点 A 、B ，交 O 2 于点C 、D ． 求证：AB = CD ．【例15】 已知，如图，AB 、CD 是 O 的直径，弦 AE // CD ，联结 CE 、BC ． 求证：BC = CE ．例题解析AOCBDDCBPAC DAM O N B【例16】如图，O 是∆ABC 的外接圆，AO 平分∠BAC ，∠AOB =∠BOC ，判断∆ABC 的形状，并说明理由．AOB C【例17】已知，如图，AB 是O直径，M、N 分别是AO、BO 的中点，CM ⊥AB ，DN ⊥AB ．求证：AC =BD ．【例18】如图，以点O 为圆心的圆弧上依次有四个点A、B、C、D，且∠A O B求证：四边形ABCD 是等腰梯形．=∠C O D．OA DB C1、 垂径定理如果圆的一条直径垂直于一条弦，那么这条直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的弧． 2、 相关结论（1）如果圆的直径平分弦（这条弦不是直径），那么这条直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的弧．（2）如果圆的直径平分弧，那么这条直径就垂直平分这条弧所对的弦． （3）如果一条直线是弦的垂直平分线，那么这条直线经过圆心，并且平分这条弦所对的弧．（4）如果一条直线平分弦和弦所对的一条弧，那么这条直线经过圆心，并且垂直于这条弦．（5）如果一条直线垂直于弦，并且平分弦所对的一条弧，那么这条直线经过圆心， 并且平分这条弦．总结：在圆中，对于某一条直线“经过圆心”、“垂直于弦”、“平分弦”、“平分弦所对的弧”这四组关系中，如果有两组关系成立，那么其余两组关系也成立．【例19】 O 的直径为10，圆心O 到弦AB 的距离OM 的长为3，则弦AB的长为 ． 【例20】 在半径为2 的 O 中，弦AB 的长为2 2 ，则弦AB 所对的圆心角∠AOB =°．【例21】 如图， O 是∆ABC 的外接圆，圆心 O 在这个三角形的高 CD 上，点 E 和点 F分别是边 AC 和 BC 的中点． 求证：四边形 CEDF 是菱形．模块三：垂径定理知识精讲例题解析CE OF A DBCGQODER FPHOBCA【例22】 如图，一根横截面为圆形的输水管道，阴影部分为有水部分，此时水面宽 AB为 0.6 米，污水深 CD 为 0.1 米，求圆形的下水管道的直径．【例23】 如图，在 O 中，弦 CD 、EF 的延长线相交于点 P ，G 、H 分别是CD 、EF 的中点，GH 与 PC 、PE 分别相交于 Q 、R 两点，试判断∆PQR 的形状，并证明所得到的结论．【例24】 如图，P 是 O 的弦 AB 的中点，PC ⊥ OA ，垂足为 C ，求证：PA PB = AC AO ．【例25】 位于本市浦东临港新城的滴水湖是圆形人工湖．为测量该湖的半径，小智和小方沿湖边选取 A 、B 、C 三根木柱，使得 A 、B 之间的距离与 A 、C 之间的距离相等，并测得 BC 长 240 米，A 到 BC 的距离为 5 米，如图所示．请你帮他们求出滴水湖的半径．O A D BCBPACO【例26】 如图，弦 CD 垂直于 O 的直径 AB ，垂足为 H ，且CD = 2 2 ， BD = 3 ，则AB的长为 ．C B HODA【例27】 已知 O 的半径r = 4 ，AB 、CD 为 O 的两条弦，AB 、CD 的长分别是方程x 2 - (4 + 4)x + 16 = 0 的两根，其中 AB > CD ，且 AB // CD ，求 AB 与 CD 间的距离．【例28】 已知，如图， O 1 与 O 2 交于 A 、B ，过 A 的直线分别交 O 1 与 O 2 于 M 、N ，C 是 MN 的中点，P 是O 1O 2 的中点．【例29】 如图，已知四边形 ABCD 外接圆 O 的半径为 2，对角线 AC 与 BD 的交点为E ，AE = EC ， AB = 2AE ，且 BD = 2 ，求四边形 ABCD 的面积．ABD EOCB P NC AM3 3 3BDCEOA【例30】 如图，在半径为 2 的扇形 AOB 中，∠AOB = 90︒ ，点 C 是弧 AB 上的一个动点（不与点 A 、B 重合）， OD ⊥ BC ， OE ⊥ AC ，垂足分别为 D 、E ．（1）在∆DOE 中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度， 如果不存在，请说明理由．（2）设 BD = x ， ∆DOE 的面积为 y ，求 y 关于 x 的函数关系式，并写出它的定义域．BA C EFOBD【习题1】已知 半径为 5，若点 P 不在上，则线段 OP 的取值范围为．【习题2】 如图，AB 是直径， BC = CD = DE ， ∠BOC = 40︒ ，则∠AOE = ．EDCAOB【习题3】如图，为方便三个村庄居民子女的上学问题，上级镇政府决定在 A 、B 、C 三个村庄旁边造一所学校，要求它到各村庄的距离相等，请你在图中画出学校的位置．（保留作图痕迹）【习题4】如图， AB = CD ， OE ⊥ AB ， OF ⊥ CD ， ∠OEF = 25︒ ，求∠EOF 的度数．【习题5】 如图，在∆ABC 中， ∠B = 90︒ ， ∠A = 60︒ ，以点 B 为圆心，AB 为半径画圆，交 AC 于点 D ，交 BC 于点 E ．求证：（1）AD = 2DE ；（2）D 是 AC 的中点．随堂检测ACADBECO OA OB CA O BDCECEFO D【习题6】如图，AB 为O直径，E 为BC的中，OE 交BC 于点D，BD = 3，AB = 10，则AC = ．【习题7】如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（即图中的CD），点O 是CD的圆心，其中CD = 600 米，E 为CD 上一点，且OE ⊥CD ，垂足为F，EF = 90 米，求这段弯路的半径．【习题8】如图，在∆ABC 中，∠A = 70︒，O 截∆ABC 的三边所得的弦长都相等，求∠BOC 的度数．【习题9】已知，如图，∆ABC 是等边三角形，AB 是O 的直径，AE =EF =FB ，CE、CF 交AB 于点M、N．求证：AM = MN = NB．CA M NOBE F【习题10】 如图，AB 为 O 的直径，CD 为弦，过点C 、D 分别作CN ⊥ CD 、DM ⊥ CD ，分别交 AB 于点 N 、M ，请问图中的 AN 与 BM 是否相等，说明理由．【作业1】在下列命题中，正确的个数是（）○ 1 圆心角相等，则它们所对的弦必相等；○ 2 经过线段的两个端点及线段所在直线外一点可以确定一个圆； ○ 3 直径平分弦，则必垂直于弦；○ 4 如果同圆中，两条弦互相平分，那么这两条弦都是直径．A ．0 个B ．1 个C ．2 个D ．3 个【作业2】在∆ABC 中，∠C = 90︒ ，D 、E 分别是 AB 、AC 的中点，AC = 7，BC = 4．若以点 C 为圆心，BC 为半径作圆，判断点 D 、E 与 C 的位置关系．【作业3】已知直线 a 和直线外两点 A 、B ，经过 A 、B 作一圆，使它的圆心在直线 a上．aM BAN OCD课后作业ABD E F C AGOB【作业4】已知 O 外一点 A 和圆上的点最大距离为 23 厘米，最小距离为 10 厘米，则 O 的半径为厘米．【作业5】如图，在 O 中， 2AB BC ，试确定 AB 与 2BC 的大小关系．【作业6】如图，矩形 ABCD 与圆心在 AB 上的 O 交于点 G 、B 、F 、E ，GB = 8 厘米，AG = 1 厘米，DE = 2 厘米，则 EF =厘米．【作业7】 已知点 A （1，0），B （4，0）， P 是经过 A 、B 两点的一个动圆，当与 y 轴相交，且在 y 轴上两交点的距离为 3 时，求圆心 P 的坐标．【作业8】 已知，如图，在 O 中，弦 AB 的长是半径 OA 的 3 倍，C 为 AB 的中点，AB 、OC 相交于 P ．求证：四边形 OACB 为菱形．BAOCCBAP OPCAPOB D EF 【作业9】 已知：过圆 O 内一点 P 作弦 AB 、CD ，且 AB = CD ，在 BD 上取两点 E 、F ，且 BE = DF ．求证：直线 PO 是 EF 的垂直平分线．【作业10】 如图，O 1 与 O 2 交于 A 、B ，M 为O 1O 2 的中点，过点 A 作 EF ⊥ AM 分别 交 O 1 与 O 2 于点 E 、F ．若∠O 1 AO 2 = 90︒ ， AO 1 AO 2 = O 1O 2 = m （ m ≥ 2 ）， 求 EF 的长．BMFAE。

内容基本要求略高要求较高要求圆的有关概念 理解圆及其有关概念 会过不在同一直线上的三点作圆；能利用圆的有关概念解决简单问题圆的性质 知道圆的对称性，了解弧、弦、圆心角的关系能用弧、弦、圆心角的关系解决简单问题能运用圆的性质解决有关问题圆周角 了解圆周角与圆心角的关系；了解直径所对的圆周角是直角会求圆周角的度数，能用圆周角的知识解决与角有关的简单问题能综合运用几何知识解决与圆周角有关的问题一、圆周角定理圆心角和圆周角1． 圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．将整个圆分为360等份，每一份的弧对应1︒的圆心角，我们也称这样的弧为1︒的弧．圆心角的度数和它所对的弧的度数相等． 2． 圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角． 3． 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等． 推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90︒的圆周角所对的弦是直径．推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．4． 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等．推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等．圆是平面几何中的一个重要内容．由于圆与直线型图形可组合成一些复杂的几何问题，所以它经常出现在数学竞赛中． 圆的基本性质有：⑴ 直径所对的圆周角是直角． ⑵ 同弧所对的圆周角相等．⑶ 经过圆心及一弦中点的直线垂直平分该弦．二、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦的弦心距中有一组量相等，其它各组量都相等。

三、点与圆的位置关系点与圆的位置关系知识点睛中考要求第十讲圆周角定理及点与圆关系点与圆的位置关系有：点在圆上、点在圆内、点在圆外三种，这三种关系由这个点到圆心的距离与半径的大小关系决定．设O⊙的半径为r，点P到圆心O的距离为d，则有：点在圆外⇔d r>；点在圆上⇔d r<.=；点在圆内⇔d r确定圆的条件1. 圆的确定确定一个圆有两个基本条件：①圆心(定点)，确定圆的位置；②半径(定长)，确定圆的大小．只有当圆心和半径都确定时，圆才能确定．2. 过已知点作圆⑴经过点A的圆：以点A以外的任意一点O为圆心，以OA的长为半径，即可作出过点A的圆，这样的圆有无数个．⑵经过两点A B、、的圆：以线段AB中垂线上任意一点O作为圆心，以OA的长为半径，即可作出过点A B 的圆，这样的圆也有无数个．⑶过三点的圆：若这三点A B C、、三点不共线时，圆心是线段AB、、共线时，过三点的圆不存在；若A B C与BC的中垂线的交点，而这个交点O是唯一存在的，这样的圆有唯一一个．n≥个点的圆：只可以作0个或1个，当只可作一个时，其圆心是其中不共线三点确定的圆的圆⑷过n()4心．3. 定理：不在同一直线上的三点确定一个圆．注意：⑴”不在同一直线上”这个条件不可忽视，换句话说，在同一直线上的三点不能作圆；⑵”确定”一词的含义是”有且只有”，即”唯一存在”．4. 三角形的外接圆⑴经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形．⑵三角形外心的性质：①三角形的外心是指外接圆的圆心，它是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等；②三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合.⑶锐角三角形外接圆的圆心在它的内部；直角三角形外接圆的圆心在斜边中点处(即直角三角形外接圆半径等于斜边的一半)；钝角三角形外接圆的圆心在它的外部.四、相交弦定理（选讲）相交弦定理：圆内的两条相交弦被交点分成的两条线段长的乘积相等．如图，弦AB和CD交于O⋅=⋅．⊙内一点P，则PA PB PC PDP ODC BA相交弦定理的推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项．教学重点：圆周角的概念和圆周角定理教学难点：圆周角定理的证明中由“一般到特殊”的数学思想方法和完全归纳法的数学思想．一、圆周角定理【例1】 (08山西太原)如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，连接AC AD ，，若35CAB ∠=，则ADC ∠的度数为 ．【解析】 直径所对圆周角是90°且同弧所对圆周角相等． 所以得55°． 【巩固】⑴(08龙岩)如图，量角器外沿上有A B 、两点，它们的度数分别是7040︒︒、，则1∠的度数为_________．⑵ 如图，ABC △的三个顶点都在O ⊙上，302cm C AB ∠==，，则O ⊙的半径为______cm ．O1BAOCBAOCBA【解析】 ⑴ ()117040152∠=︒-︒=︒． ⑵ 连接OA ，OB∵30C ∠=︒，∴260O C ∠=∠=︒，又∵OA OB =，∴OAB ∆为等边三角形， ∴2OA AB ==，即O 的半径为2．【巩固】⑴ 已知O ⊙的弦AB 长等于圆的半径，求该弦所对的圆周角．⑵ (06年安徽课改)如图所示，在ABC ∆中，45C ∠=︒，4AB =，则O ⊙的半径为( )A.22B.4C.23D.5CBD OA重、难点例题精讲BABA【解析】 ⑴ 连接OA 、OB ，设弦AB 所对的圆周角为ACB ∠．∵AB OA OB ==∴AOB ∆是等边三角形 ∴60AOB ∠=︒∴当点C 在AB 上时(劣弧上)，1(360)2ACB AOB ∠=︒-∠1(36060)1502=⨯︒-︒=︒．当点C 在AmB 上时(优弧上)，1302ACB AOB ∠=∠=︒故该弦所对的圆周角为30︒或150︒． ⑵ 如右图所示连接OA 、OB ，因为45C ∠=︒，290AOB C ∠=∠=︒4AB=，所以半径为OA OB ==．【例2】 (07年威海中考题)如图，AB 是O 的直径，点C ，D ，E 都在O 上，若C D E ==∠∠∠，求A B +∠∠．B ABA【解析】 连接AC 、BC∵AB 是O 的直径，∴90ACB ∠=︒，∴90CAB CBA ∠+∠=︒， 又∵D CBA ∠=∠，E CAB ∠=∠，∴90D E ∠+∠=︒， 又∵DCE D E ∠=∠=∠，∴45DCE D E ∠=∠=∠=︒，∴9045135DAB EBA DCB ECA ACB DCE ∠+∠=∠+∠=∠+∠=︒+︒=︒， 即135A B +=︒∠∠【巩固】(08年济宁改编)如图，四边形ABCD 中，AB AC AD ==，若7613CAD BDC ∠=︒∠=︒，，则CBD ∠=_________，BAC ∠=__________．DCBA【解析】 以A 为圆心，AB 为半径作辅助圆则C D 、均在A ⊙上，∴1382CBD CAD ∠=∠=︒，226BAC BDC ∠=∠=︒．【例3】 如图，AB 为O ⊙的直径，CD 是O ⊙的弦，AB CD 、的延长线交于点E ，若218AB DE E =∠=︒，，求AOC ∠的度数．EE【解析】 连结OD∵AB 是直径，2AB DE =，∴12DE AB OD ==∴18DOE E ∠=∠=︒，∴36ODC DOE E ∠=∠+∠=︒∵OC OD =，∴36OCD ODC ∠=∠=︒， ∴54AOC OCD E ∠=∠+∠=︒．【巩固】如图所示CD 是O ⊙的直径，87EOD ∠=︒，AE 交O ⊙于B ，且AB OC =，求A ∠ 的度数．DD【解析】 连结OB∵AB OC =，OB OC =，∴OB AB = 设A x ∠=，则BOA x ∠=． ∴2OBE BOA A x ∠=∠+∠=． ∵OE OB =，∴2OEA OBE x ∠=∠=．∴387EOD E A x ∠=∠+∠==︒ ∴29x =︒，即29A ∠=︒．【巩固】如图，已知AB 为⊙O 的直径，20E ∠=︒，50DBC ∠=︒，则CBE ∠=______．B【解析】 连结AC ．设∠DCA ＝x°，则∠DBA ＝x°，所以∠CAB ＝x°＋20°．因为AB 为直径，所以∠BCA＝90°，则∠CBA ＋∠CAB ＝90°．又 ∠DBC ＝50°，∴ 50＋x ＋(x ＋20)＝90． ∴ x ＝10．∴∠CBE ＝60°．所以答案是60°．【例4】 (07重庆)已知，如图：AB 为O ⊙的直径，AB AC =，BC 交O ⊙于点D ，AC 交O ⊙于点E ，45BAC ∠=︒．给出以下五个结论：①22.5EBC ∠=︒，；②BD DC =；③2AE EC =；④劣弧AE 是劣弧DE 的2倍；⑤AE BC =．其中正确结论的序号是 ．【解析】 由题意可知122.52EBC BAC ∠=∠=︒，故①正确，连接AD 可得90ADB ∠=︒，由等腰三角形三线合一的性质可知BD DC =，故②正确；2ABE EBD ∠=∠，由弧的度数和它所对的圆心角是相等的，可知2AE DE =，故④正确， ∴正确结论的序号是：①②④．【例5】 如图AB 是半圆O 的直径，点C D 、在弧AB 上，且AD 平分CAB ∠，已知106AB AC ==，，求AD的长．【解析】 延长AC 交BD 的延长线于E ，∵AB 是半圆的直径，AD 平分CAB ∠， 则可得10AE AB ==，BD ED =， ∴4CE AE AC =-=，∵90ACB ∠=︒，∴8BC =，在RtBCE ∆中，BE =，∴BD DE ==∴AD =【例6】 (08乌鲁木齐)如图所示的半圆中，AD 是直径，且32AD AC ==，，则sin B 的值是________．DCA B【例7】 ⑴(09河北)如下左图，四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形，A B O 、、是小正方形顶点，O ⊙的半径为1，P 是O ⊙上的点，且位于右上方的小正方形内，则APB ∠等于__________．PO BAB⑵(09四川成都)如上右图，ABC ∆内接于O ⊙，120AB BC ABC =∠=︒，，AD 为O ⊙的直径，6AD =，那么BD =_________．⑶(09山东泰安)O ⊙的半径为1，AB 是O ⊙的一条弦，且AB =AB 所对圆周角的度数为_____________．【解析】 ⑴45︒；⑵60︒或120︒．【例 1】 (07年枣庄中考题)如图，ABC ∆内接于O ⊙，120BAC ∠=︒，AB AC =，BD 为O ⊙的直径，6AD =，则BC = .A【解析】 连接CD .证明ABD CDB ∆∆≌，∴6BC AD ==.【例8】 如图，过O ⊙的直径AB 上两点M N ，，分别作弦CD EF ，，若CD EF AC BF =，∥．求证：⑴BEC ADF =；⑵ AM BN =．【解析】 ⑴ ∵AC BF =，∴AC BF =， ∵AB 是直径，∴AEB ADB =，∴AEB AC ADB BF -=-，即BEC ADF =． ⑵ 由⑴可知CAM FBN ∠=∠，∵CD EF ∥，∴CMA DMB FNB ∠=∠=∠，又AC BF =，∴ACM BFN ∆∆≌，∴AM BN =．【例9】 如图，点A B C 、、是O ⊙上的三点，AB OC ∥．⑴ 求证：AC 平分OAB ∠；⑵ 过点O 作OE AB ⊥于点E ，交AC 于点P ．若230AB AOE =∠=︒，，求PE 的长．【解析】 ⑴ ∵AB OC ∥，∴BAC C ∠=∠，∵OA OC =，∴OAC C ∠=∠，∴BAC OAC ∠=∠，∴AC 平分OAB ∠．⑵ ∵OE AB ⊥，∴112AE AB ==，在Rt AOE ∆中，9030OEA AOE ∠=︒∠=︒，，∴22AO AE OE ==，以下可以用两种不同方法解答：解法一：∵AB OC ∥，∴12AE PE OC OP ==∴13PE OE =解法二：由⑴得AC 平分OAB ∠，∴2OA OPAE PE==，∴13PE OE =【例10】 ⑴如图，AB 是O ⊙的直径，CD AB ⊥，设COD α∠=，则2sin 2AB AD α⋅=_____________．O PFEDC B A⑵ 如图，AB 是O ⊙的直径，弦PC 交OA 于点D ，弦PE 交OB 于点F ，且OC DC OF EF ==，．若C E ∠=∠，则CPE ∠=___________．⑶ 已知：如图，MN 是O ⊙的直径，点A 是半圆上一个三等分点，点B 是AN 的中点，P 是MN 上一动点，O ⊙的半径为1，则PA PB +的最小值是_____________．【解析】 ⑴1；⑵40︒；⑶作B 点关于MN 的对称点B ′，连结AB ′与MN 交于点P ， 易证得，此时PA PB +取得最小值．根据圆的对称性，B ′点在O ⊙上，且B N BN =′， ∵A 是半圆的三等分点，∴13AN MAN =，∴60AON ∠=︒，∵B 是AN 的中点，∴1302BON AON ∠=∠=︒，∴30B ON ∠=︒′，∴90AOB AON B ON ∠=∠+∠=︒′′， ∵O ⊙半径为1，∴1OA OB ==′，∴AB ′，∴PA PB +【巩固】(09浙江衢州)如图，AD 是O ⊙的直径．⑴ 如图1，垂直于AD 的两条弦11B C ，22B C 把圆周4等分，则1B ∠的度数是___________，2B ∠的度数是____________；⑵ 如图2，垂直于AD 的三条弦112233B C B C B C 、、把圆周6等分，分别求123B B B ∠∠∠，，的度数；⑶ 如图3，垂直于AD 的n 条弦112233n n B C B C B C B C ，，，…，把圆周2n 等分，请你用含n 的代数式表示n B ∠的度数(只需直接写出答案)．图3图2图1-1n -2B n 3B B 2【解析】 ⑴ 22.567.5︒︒，；⑵ ∵圆周被6等分，∴111223360660B C C C C C ===÷=︒．∵直径11AD B C ⊥，∴1111302AC B C ==︒，∴()()12311153060453060607522B B B ∠=︒∠=⨯︒+︒=︒∠=⨯︒+︒+︒=︒，，．⑶ ()()90451136036012222n n B n n n n -︒︒︒⎡⎤∠=⨯+-⋅=⎢⎥⎣⎦(或3604590908nB n n ︒︒∠=︒-=︒-)【例11】 已知如图，ACD ∆的外角平分线CB 交其外接圆于B ，连接BA 、BD ，求证：BA BD =．N【解析】 ∵ACB BCN ∠=∠，又∵ACB ADB ∠=∠；BCN BAD ∠=∠， ∴BAD BDA ∠=∠， ∴BA BD =．【巩固】已知如图，ACD ∆的外角平分线CB 交其外接圆于B ，连接BA 、BD ，过B 作BM AC ⊥于M ，BN CD ⊥于N ，则下列结论中一定正确的有 ．①CM CN =；②MBN ABD ∠=∠；③AM DN =；④BN 为⊙O 的切线．【解析】 可证得BCM ∆≌BCN ∆．∴CM CN =，故①正确；四边形BMCN 的内角和为360︒可知，180MBN MCN ∠+∠=︒， 又∵180MCN ACD ∠+∠=︒， ∴MBN ACD ∠=∠， ∵ACD ABD ∠=∠，∴MBN ABD ∠=∠，故②正确；利用外角平分线易证AB BD =，又∵BM BN =，AMB DNB ∠=∠， ∴ABM DBN ∆∆≌，∴AM DN =，故③正确；若BN 为⊙O 的切线，则NBC BAC ∠=∠， ∵90NBC BCN ∠+∠=︒，而BCN ACB ∠=∠， ∴90BAC ACB ∠+∠=︒， ∴AC 为O ⊙直径．而AC 不一定为O ⊙直径，故④不正确．【巩固】(09辽宁)已知∆ABC 中，=AB AC ，D 是∆ABC 外接圆劣弧AC 上的点(不与点A C ，重合)，延长BD 至E ．⑴ 求证：AD 的延长线平分∠CDE ；⑵ 若30∠=︒BAC ，∆ABC 中BC边上的高为2∆ABC 外接圆的面积．AB CD【解析】 ⑴ 如图，设F 为AD 延长线上一点∵D 在∆ABC 外接圆上(A B C D 、、、四点共圆) ∴∠=∠CDF ABC又=AB AC ，∴∠=∠ABC ACB ， 且∠=∠ADB ACB ，∴∠=∠ADB CDF对顶角∠=∠EDF ADB ，故∠=∠EDF CDF ， 即AD 的延长线平分∠CDE ．⑵ 设O 为外接圆圆心，连接AO 交BC 于H ，则⊥AH BC ． 连接OC ，由题意15∠=∠=︒OAC OCA ，75∠=︒ACB ， ∴60∠=︒OCH ．设圆半径为r，则2+=r 2=r ，外接圆的面积为4π．二、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系【例12】 如图所示在O ⊙中，2AB CD =，那么( )A.2AB CD >B.2AB CD <C.2AB CD =D.AB 与2CD的大小关系不能确定【解析】 如图所示，作DE CD =，则2CE CD =，∵在CDE ∆中CD DE CE +>，∴2CD CE >， ∵2AB CD =，∴AB CE >，∴AB CE >，即2AB CD >． 故选A ．【例13】 已知AB AC 、是O ⊙的弦，AD 平分BAC ∠交O ⊙于D ，弦DE AB ∥交AC 于P ，求证：OP 平分APD ∠．【解析】 过O 点分别作OF AC OG DE ⊥⊥，，垂足分别为F G 、．∵DE AB ∥，∴BAD D ∠=∠，∵AD 平分BAC ∠，∴BAD CAD ∠=∠，∴CAD D ∠=∠， ∴AE CD =，∴AE EC CD EC +=+，即AC DE = ∴AC DE =， ∵OF AC OG DE ⊥⊥，，∴OF OG =，∴点O 在APD ∠的平分线上，即OP 平分APD ∠．【巩固】已知，如图M N ，为O 中劣弧AB 的三等分点，E F ，为弦AB 的三等分点，连接ME 并延长，交直线MF 于点P ，连接AP BP ，交O 于C D ，两点，求证：3AOB APB ∠=∠．PNMOFEDCBAQPNMOFEDCBA【解析】 连接CN AN ，，ON OM ，，连接MN 并延长，交PA 的延长线于Q ．∵M N ，三等分AB ，∴AM BN =，故MN AB ∥，由AE EF =，可证得QM MN =， 由AM MN =得AM MN =， ∴MA MQ MN ==， ∴QAN ∠为直角，∴90CAN ∠=︒，故CN 为O 直径， 故O 在CN 上∴22AON ACN MON ∠=∠=∠∴MON ACN ∠=∠，故OM AP ∥， 同理可证：ON AB ∥于是可证得：MON APB ∠=∠，∵3AOB MON ∠=∠，∴3AOB APB ∠=∠．【例14】 (2008年广州市数学中考试题)如图，射线AM 交一圆于点B C ，，射线AN 交该圆于点D 、E ，且BC DE =．⑴ 求证：AC AE =⑵ 分别作线段CE 的垂直平分线与MCE ∠的平分线，两线交于点F ．求证：EF 平分CEN ∠．NME【解析】 ⑴ 作OP AM ⊥，OQ AN ⊥，由BC DE =，得OP OQ =，证APO AQO ∆∆≌，可得AP AQ =， 由BC CD =，得CP EQ = ∴AC AE =． ⑵ ∵AC AE =，∴ACE AEC ∠=∠，∴MCE NEC ∠=∠， ∵F 在线段CE 的中垂线上， ∴FC FE =，∴FCE FEC ∠=∠，∵12FCE MEC ∠=∠，∴12FEC NEC ∠=∠，即EF 平分CEN ∠．三、点与圆的位置关系【例15】 一个已知点到圆周上的点的最大距离为5cm ，最小距离为1cm ，则此圆的半径为______．【解析】 ⑴ 当点在圆外时，512cm 2r -==，⑵ 当点在圆内时，513cm 2r +==．【例16】 已知：四边形ABCD 中，AB CD ∥，AD BC =，135BAD ∠=︒，20AB =，40CD =，以A 为圆心，AB 长为半径作圆．求证：在A ⊙上，在A ⊙内，A ⊙外都有线段DC 上的点.C【解析】 如图所示，作AE CD ⊥于E∵ABCD 是等腰梯，AE CD ⊥，135BAD ∠=︒，20AB =，40CD =∴20AD =<，20AC = ∴D 点在A ⊙内，C 点在A ⊙外，圆内一点与圆外一点的连线，必与圆有一交点， 所以A ⊙上，A ⊙内， A ⊙外都有线段DC 上的点.【例17】 在平面直角坐标系内，以原点O 为圆心，5为半径作O ⊙，已知A ，B ，C 三点的坐标分别为()34A ，，()33B --，，(4C ，，试判断A ，B ，C 三点与O ⊙的位置关系.【解析】∵5OA =5OB =5OC >∴点A 在O ⊙上，点B 在O ⊙内，点C 在O ⊙外.【点评】要判定点与圆的位置关系，就是要比较点到圆心的距离与半径的大小关系.【例18】 在ABC ∆ 中，90C ∠=︒，4AC =，5AB =，以点C 为圆心，以r 为半径作圆，请回答下列问题，并说明理由.⑴ 当r 取何值时，点A 在C ⊙上，且点B 在C ⊙内部？⑵ 当r 在什么范围内取值时，点A 在C ⊙外部，且点B 在C ⊙的内部？ ⑶ 是否存在这样的实数r ，使得点B 在C ⊙上，且点A 在C ⊙内部？CBA【解析】 如右图所示在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，4AC =，5AB =，根据勾股定理得：3BC ==⑴ 当4r =时，点A 在C ⊙上，且点B 在C ⊙内.因为4AC r ==，所以点A 在C ⊙上，34BC r =<=，所以B 在C ⊙内； ⑵ 当34r <<时，点A 在C ⊙的外部，且点B 在C ⊙的内部.由于3BC =，要使点B 在C ⊙的内部，必须C ⊙的半径3r >；又由于4AC =，要使点A 在C ⊙的外部，必须C ⊙的半径4r <. 综合上述两方面可知，34r <<.⑶ 不存在这样的实数r ，使得点B 在C ⊙上，且点A 在C ⊙内部.因为3BC =，要使点B 在C ⊙上，必须3r =，此时，由于4AC r =>，所以点A 在C ⊙的外部，点A 不在C ⊙的内部，所以这样的实数r 不存在.【例19】 已知ABC ∆中，90C ∠=︒，2AC =，3BC =，AB 的中点为M ，⑴ 以C 为圆心，2为半径作C ⊙，则点A ，B ，M 与C ⊙的位置关系如何？ ⑵ 若以C 为圆心作C ⊙，使A ，B ，M 三点至少有一点在C ⊙内，且至少有一点在C ⊙外，求C ⊙半径r 的取值范围．M CBA【解析】 如右图所示⑴ ∵2AC =，且C ⊙的半径也为2，即AC r =∴点A 在C ⊙上.又∵3BC =，2R =，BC r > ∴点B 在C ⊙外.在ABC ∆中，AB = ∵M 为AB 的中点∴122MC AB ==<∴点M 在C ⊙内； ⑵ ∵2AC =，3BC =，MC ∴BC AC MC >>∴要使A ，B ，M 三点中至少有一点在C ⊙内，且至少有一点在C ⊙外，则C ⊙的半径r 的3r <<.【点评】⑴ 要判定点A ，B ，M 与C ⊙的位置关系，只要比较AC ，BC ，MC 的长度与C ⊙的半径的大小关系即可；⑵ 由⑴求得AC ，BC ，MC 的长度即可确定C ⊙的半径r 的取值范围.【例20】 ABC ∆中，10AB AC ==，12BC =，求其外接圆的半径．【解析】 作高AD ，设点O 是ABC ∆OB∵AB AC =，AD BC ⊥，∴16BD BC ==在Rt ABD ∆中，8AD 设O ⊙的半径为R ，则OB AO R ==，8OD R =-. 在Rt OBD ∆中， 222OB BD OD =+∴2226(8)R R =+-，解得254R =.∴外接圆的半径为254.【点评】运用外心到三角形的三个顶点的距离相等这一性质，注意，三角形的外心在等腰三角形底边的中垂线上.四、相交弦定理（选讲）相交弦定理：圆内的两条相交弦被交点分成的两条线段长的乘积相等．如图，弦AB 和CD 交于O ⊙内一点P ，则PA PB PCPD ⋅=⋅．相交弦定理的推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项． 【例21】 ⑴ 如下左图，在O ⊙中，弦AB 与CD 相交于点P ，已知3cm 4cm 2cm PA PB PC ===，，，那么PD = cm ．⑵ 如下中图，在O ⊙中，弦AB 与半径OC 相交于点M ，且OM MC =，若 1.54AM BM ==，，则OC 的长为( )A． BC． D ．⑶ 如下右图，在O ⊙中，P 为弦AB 上一点，PO PC ⊥，PC 交O ⊙于C ，那么( )A ．2OP PA PB =⋅ B ．2PC PA PB =⋅C ．2PA PB PC =⋅D ．2PB PA PC =⋅【解析】 ⑴6；⑵D ；⑶B ．【例22】如图，圆的半径是A C 、两点在圆上，点B 在圆内，6AB =，2BC =，90ABC ∠=︒求点B到圆心的距离．【解析】 连结OB ，则线段OB 的长就是所求点B 到圆心的距离．连结OA ，延长AB 交O ⊙于D ，过O 点作OE AD ⊥于E ，延长CB 交O ⊙于F ． 设BD x =，由相交弦定理可得AB BD BC BF ⋅=⋅，则3AB BDBF x BC⋅==，∵OE AD ⊥，∴()()11166222AE AD x BE x ==+=-，，()()11132232222OE CF BC x x =-=+-=-，在Rt AOE ∆中，90AEO ∠=︒，∴222OE AE OA +=，即()()22113265044x x -++=，解得4x =，∴()()1134256412OE BE=⨯-==-=，，OB =【例23】 如图，正方形ABCD 内接于O ⊙，点P 在劣弧AB 上，连结DP 交AC 于点Q ．若QP QO =，则QCQA的值为___________．【解析】 连结DO ，设O ⊙半径为r ，QO m =，则QP m QC r m QA r m ==+=-，，．在O ⊙中，根据相交弦定理得QA QC QP QD ⋅=⋅，即()()r m r m mQD -+=，∴22r m QD m-=，由勾股定理得222QD DO QO =+，即22222r m r m m ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，解得33m r =． ∴313231QC r m QA r m ++===+--．【习题1】 (2007浙江温州)如图，已知ACB ∠是O 的圆周角，50ACB ∠=︒，则圆心角AOB ∠是( )A ．40︒B ． 50︒C ． 80︒D ． 100︒【解析】 考察同弧所对圆心角圆周角关系．答案选：D ．【习题2】 如图，将圆沿AB 折叠后，圆弧恰好经过圆心，则AmB 等于 ．A ． 60°B ． 90°C ． 120°D ． 150°mBAO【解析】 答案选C ．【习题3】 (09四川凉山)如图，O ⊙是ABC ∆的外接圆，已知50ABO ∠=︒，则ACB ∠的大小为__________．OCBA【解析】 40︒．【习题4】 (09四川南充)如图，AB 是O ⊙的直径，点C D 、在O ⊙上，110BOC ∠=︒，AD OC ∥，则AOD ∠=___________．OD CBA家庭作业【解析】 40︒．【习题5】 如果两条弦相等，那么( )A ．这两条弦所对的弧相等B ．这两条弦所对的圆心角相等C ．这两条弦的弦心距相等D ．以上答案都不对【解析】 考察圆心角定理，关键是这些条件成立的前提是在同圆或等圆中．所以选D ．【习题6】 如图，AB 为⊙O 的直径，AC 交⊙O 于E 点，BC 交⊙O 于D 点，CD =BD ，∠C =70°． 现给出以下四个结论：①∠A =45°； ②AC =AB ； ③AE BE =； ④22CE AB BD ⋅=． 其中正确结论的序号是A ．①②B ．②③C ．②④D ．③④ED C BAO【解析】 考察利用圆中角可推出等弧，等弦，相似．答案选 C ．【习题7】 如图，量角器外缘边上有A P Q ，，三点，它们所表示的读数分别是180，70，30，则PAQ ∠的大小为( )A ．10B ．20C ．30D ．40【解析】 考察同弧所对圆心角是圆周角的2倍．答选 B ．【习题8】 (首师大附中2008-2009初三月考)定义：定点A 与O ⊙上的任意一点之间的距离的最小值称为点A 与O ⊙之间的距离．现有一矩形ABCD 如图，14cm 12cm AB BC ==，，K ⊙与矩形的边AB BC CD 、、分别相切于点E F G 、、，则点A 与K ⊙的距离为______________．GEK DB A【解析】 连结KE AK 、，由题意可知K ⊙的半径为6cm ，6cm EK AB BE ⊥=，，∴8cm AE =，∴2210cm AK AE EK =+=， ∴点A 与K ⊙的距离为1064cm -=．【备选1】 如图，CD 为O ⊙的直径，过点D 的弦DE 平行于半径OA ，若D ∠的度数是50︒，则C ∠的度数是 A ．25︒ B ．40︒ C ．30︒ D ．50︒O EDCA【解析】 A ．【备选2】 (08泰安)如图，在O ⊙中，AOB ∠的度数为m ，C 是ACB 上一点，D E 、是AB 上不同的两点(不与A B 、两点重合)，则D E ∠+∠的度数为____________．OEDCBA【解析】 ()136018022mD E m ∠+∠=︒-=︒-．【备选3】 如图，已知⊙O 的弦AB 、CD 相交于点E ，AC 的度数为60°，BD 的度数为100°，则AEC∠等于( )A ． 60°B ． 100°C ． 80°D ． 130°EDC BO A【解析】 连结BC ，则∠AEC ＝∠B ＋∠C ＝21×60°＋21×100°＝80°．所以答案是C ．【备选4】 设Rt ABC ∆的两条直角边长分别为3，4则此直角三角形的内切圆半径为 ，外接圆半径为【解析】 内切圆半径为1()12r a b c =+-=；外接圆半径为 2.52cR ==.【备选5】 等边三角形的外接圆的半径等于边长的( )倍．月测备选A ．23B ．33C ．3D ．21【解析】 考察等边三角形与外接圆半径的关系，所以选B【备选6】 (08山东滨州)如图所示，AB 是⊙O 的直径，AD=DE ，AE 与BD 交于点C ，则图中与∠BCE相等的角有( )BAA ． 2个B ． 3个C ． 4个D ． 5个【解析】 考察同弧，等弧所对圆周角相等，所以选B ．【备选7】 (宜宾)已知：如图，四边形ABCD 是O ⊙的内接正方形，点P 是劣弧CD 上不同于点C 的任意一点，则BPC ∠的度数是( )A.45︒ B .60︒ C.75︒ D.90︒P【解析】 连接BO ，CO ，可得90BOC ∠=︒，∴1452BPC BOC ∠=∠=︒，故选A ．【备选8】 (09浙江温州)如图，80AOB ∠=︒，则弧AB 所对圆周角ACB ∠的度数是A ．40︒B ．45︒C ．50︒D ．80︒【解析】 A ．【备选9】 Rt ABC ∆的两条直角边3BC =，4AC =，斜边AB 上的高为CD ，若以C 为圆心，分别以12r =，2 2.4r =，33r =为半径作圆，试判断D 点与这三个圆的位置关系.DCBA【解析】 在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，4AC =，3BC =，∴5AB =由面积相等得，AC BC AB CD ⋅=⋅.∴122.45AC BC CD AB ⋅===∴ 2.4d CD ==∴1d r >， 2d r =， 3d r <∴点D 与三个圆的位置关系分别是：在圆外，在圆上，在圆内.【点评】要判定点与圆的位置关系，就是要比较点到圆心的距离与半径的大小关系.。

初中数学竞赛辅导讲义---圆的基本性质到定点(圆心)等于定长(半径)的点的集合叫圆，圆常被人们看成是最完美的事物，圆的图形在人类进程中打下深深的烙印．圆的基本性质有：一是与圆相关的基本概念与关系，如弦、弧、弦心距、圆心角、圆周角等；二是圆的对称性，圆既是一个轴对称图形，又是一中心对称图形．用圆的基本性质解题应注意：1．熟练运用垂径定理及推论进行计算和证明；2．了解弧的特性及中介作用；3．善于促成同圆或等圆中不同名称等量关系的转化．熟悉如下基本图形、基本结论：【例题求解】【例1】在半径为1的⊙O 中，弦AB 、AC 的长分别为3和2，则∠BAC 度数为 ．作出辅助线，解直角三角形，注意AB 与AC 有不同的位置关系．注： 由圆的对称性可引出许多重要定理，垂径定理是其中比较重要的一个，它沟通了线段、角与圆弧的关系，应用的一般方法是构造直角三角形，常与勾股定理和解直角三角形知识结 合起来．圆是一个对称图形，注意圆的对称性，可提高解与圆相关问题周密性．【例2】 如图，用3个边长为1的正方形组成一个对称图形，则能将其完全覆盖的圆的最小半径为( )A ．2B ．25C ．45D ．16175思路点拨 所作最小圆圆心应在对称轴上，且最小圆应尽可能通过圆形的某些顶点，通过设未知数求解．【例3】 如图，已知点A 、B 、C 、D 顺次在⊙O 上，AB=BD ，BM ⊥AC 于M ，求证：AM=DC+CM ．思路点拨 用截长(截AM)或补短(延长DC)证明，将问题转化为线段相等的证明，证题的关键是促使不同量的相互转换并突破它．【例4】 如图甲，⊙O 的直径为AB ，过半径OA 的中点G 作弦C E ⊥AB ，在CB 上取一点D ，分别作直线CD 、ED ，交直线AB 于点F ，M ．(1)求∠COA 和∠FDM 的度数；(2)求证：△FDM ∽△COM ； (3)如图乙，若将垂足G 改取为半径OB 上任意一点，点D 改取在EB 上，仍作直线CD 、ED ，分别交直线AB 于点F 、M ，试判断：此时是否有△FDM ∽△COM? 证明你的结论．思路点拨 (1)在Rt △COG 中，利用OG=21OA=21OC ；(2)证明∠COM=∠FDM ，∠CMO= ∠FMD ；(3)利用图甲的启示思考．注：善于促成同圆或等圆中不同名称的相互转化是解决圆的问题的重要技巧，此处，要努力把圆与直线形相合起来，认识到圆可为解与直线形问题提供新的解题思路，而在解与圆相关问题时常用到直线形的知识与方法(主要是指全等与相似)．【例5】 已知：在△ABC 中，AD 为∠BAC 的平分线，以C 为圆心，CD 为半径的半圆交BC 的延长线于点E ，交AD 于点F ，交AE 于点M ，且∠B=∠CAE ，EF ：FD ＝4：3．(1)求证：AF ＝DF ；(2)求∠AED 的余弦值；(3)如果BD ＝10，求△ABC 的面积．思路点拨 (1)证明∠ADE ＝∠DAE ；(2)作AN ⊥BE 于N ，cos ∠AED ＝AEEN ，设FE=4x ，FD ＝3x ，利用有关知识把相关线段用x 的代数式表示；(3)寻找相似三角形，运用比例线段求出x 的值．⌒ ⌒ ⌒ ⌒注：本例的解答，需运用相似三角形、等腰三角形的判定、面积方法、代数化等知识方法思想，综合运用直线形相关知识方法思想是解与圆相关问题的关键．学历训练1．D是半径为5cm的⊙O内一点，且OD＝3cm，则过点D的所有弦中，最小弦AB= ．2．阅读下面材料：对于平面图形A，如果存在一个圆，使图形A上的任意一点到圆心的距离都不大于这个圆的半径，则称图形A被这个圆所覆盖．对于平面图形A，如果存在两个或两个以上的圆，使图形A上的任意一点到其中某个圆的圆心的距离都不大于这个圆的半径，则称图形A被这些圆所覆盖．例如：图甲中的三角形被一个圆所覆盖，图乙中的四边形被两个圆所覆盖．回答下列问题：(1)边长为lcm的正方形被一个半径为r的圆所覆盖，r的最小值是cm；(2)边长为lcm的等边三角形被一个半径为r的圆所覆盖，r的最小值是cm；(3)长为2cm，宽为lcm的矩形被两个半径都为r的圆所覆盖，r的最小值是cm．(2003年南京市中考题)3．世界上因为有了圆的图案，万物才显得富有生机，以下来自现实生活的图形中都有圆：它们看上去多么美丽与和谐，这正是因为圆具有轴对称和中心对称性．(1)请问以下三个图形中是轴对称图形的有，是中心对称图形的有(分别用下面三个图的代号a，b，c填空)．(2)请你在下面的两个圆中，按要求分别画出与上面图案不重复的图案(草图) (用尺规画或徒手画均可，但要尽可能准确些，美观些)．a ．是轴对称图形但不是中心对称图形．b ．既是轴对称图形又是中心对称图形．4．如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，若AB=10cm ，CD ＝8cm ，那么A 、B 两点到直线CD 的距离之和为( )A ．12cmB ．10cmC ． 8cmD ．6cm5．一种花边是由如图的弓形组成的，ACB 的半径为5，弦AB ＝8，则弓形的高CD 为( )A ．2B ．25C ．3D ．316 6．如图，在三个等圆上各自有一条劣弧AB 、CD 、EF ，如果AB+CD=EF ，那么AB+CD 与E 的大小关系是（ ）A ．AB+CD ＝EFB ．AB+CD=FC ． AB+CD<EFD ．不能确定7．电脑CPU 芯片由一种叫“单晶硅”的材料制成，未切割前的单晶硅材料是一种薄形圆片，叫“晶圆片”．现为了生产某种CPU 芯片，需要长、宽都是1cm 的正方形小硅片若干．如果晶圆片的直径为10．05cm ，问：一张这种晶圆片能否切割出所需尺寸的小硅片66张?请说明你的方法和理由(不计切割损耗)．8．如图，已知⊙O 的两条半径OA 与OB 互相垂直，C 为AmB 上的一点，且AB 2+OB 2=BC 2，求∠OAC 的度数．9．不过圆心的直线l 交⊙O 于C 、D 两点，AB 是⊙O 的直径，AE ⊥l ，垂足为E ，BF ⊥l ，垂足为F ．(1)在下面三个圆中分别补画出满足上述条件的具有不同位置关系的图形；(2)请你观察(1)中所画图形，写出一个各图都具有的两条线段相等的结论(不再标注其他字母，找结论的过程中所连辅助线不能出现在结论中，不写推理过程)；(3)请你选择(1)中的一个图形，证明(2)所得出的结论．⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒10．以AB 为直径作一个半圆，圆心为O ，C 是半圆上一点，且OC 2＝AC ×BC ， 则∠CAB=．11．如图，把正三角形ABC 的外接圆对折，使点A 落在BC 的中点A ′上，若BC=5，则折痕在△ABC 内的部分DE 长为 ．12．如图，已知AB 为⊙O 的弦，直径MN 与AB 相交于⊙O 内，MC ⊥AB 于C ，ND ⊥AB 于D ，若MN=20，AB=68，则MC —ND= ．13．如图，已知⊙O 的半径为R ，C 、D 是直径AB 同侧圆周上的两点，AC 的度数为96°，BD 的度数为36°，动点P 在AB 上，则CP+PD 的最小值为 ．14．如图1，在平面上，给定了半径为r 的圆O ，对于任意点P ，在射线OP 上取一点P ′，使得OP ×OP ′=r 2，这种把点P 变为点P ′的变换叫作反演变换，点P 与点P ′叫做互为反演点．(1)如图2，⊙O 内外各有一点A 和B ，它们的反演点分别为A ′和B ′，求证：∠A ′=∠B ；(2)如果一个图形上各点经过反演变换得到的反演点组成另一个图形，那么这两个图形叫做互为反演图形．①选择：如果不经过点O 的直线与⊙O 相交，那么它关于⊙O 的反演图形是( )A ．一个圆B ．一条直线C ．一条线段D ．两条射线②填空：如果直线l 与⊙O 相切，那么它关于⊙O 的反演图形是 ，该图形与圆O 的位置关系是 ．15．如图，已知四边形ABCD 内接于直径为3的圆O ，对角线AC 是直径，对角线AC 和BD 的交点为P ，AB=BD ，且PC=0．6，求四边形ABCD 的周长．16．如图，已知圆内接△ABC 中，AB>AC ，D 为BAC 的中点，DE ⊥AB 于E ，求证：BD 2-AD 2=AB×AC ．⌒ ⌒ ⌒17．将三块边长均为l0cm 的正方形煎饼不重叠地平放在圆碟内，则圆碟的直径至少是多少?(不考虑其他因素，精确到0．1cm)18．如图，直径为13的⊙O ′，经过原点O ，并且与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，线段OA 、OB(OA>OB)的长分别是方程0602=++kx x 的两根．(1)求线段OA 、OB 的长； (2)已知点C 在劣弧OA 上，连结BC 交OA 于D ，当OC 2=CD ×CB 时，求C 点坐标；(3)在⊙O ，上是否存在点P ，使S △POD =S △ABD ?若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由．⌒参考答案。