高中数学知识点：不等式的性质及解法

不等式1、不等式的性质：（1）同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：若，则（若，则），但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减；（2）左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘：若，则（若，则）；（3）左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：若，则或；（4）若，，则；若，，则。

特别提醒：如果对不等式两边同时乘以一个代数式，要注意它的正负号，如果正负号未定，要注意分类讨论。

如（1）对于实数中，给出下列命题：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧，则。

其中正确的命题是______（答：②③⑥⑦⑧）；（2）已知，，则的取值范围是______（答：）；（3）已知，且则的取值范围是______（答：）2.不等式大小比较的常用方法：（1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；（2）作商（常用于分数指数幂的代数式）；（3）分析法；（4）平方法；（5）分子（或分母）有理化；（6）利用函数的单调性；（7）寻找中间量（一般先把要比较的代数式与“0”比，与“1”比，然后再比较它们的大小）或放缩法；(8)图象法：利用有关函数的图象（指数函数、对数函数、二次函数、三角函数的图象），直接比较大小。

其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。

如（1）设，比较的大小（答：当时，（时取等号）；当时，（时取等号））；（2）设，，，试比较的大小（答：）；（3）比较1+与的大小（答：当或时，1+＞；当时，1+＜；当时，1+＝）特值法是判断不等式命题是否成立的一种方法，此法尤其适用于不成立的命题。

3. 利用重要不等式求函数最值时，你是否注意到：“一正二定三相等，和定积最大，积定和最小”这17字方针。

常用的方法为：拆、凑、平方。

如（1）下列命题中正确的是A、的最小值是2B、的最小值是2C、的最大值是D、的最小值是（答：C）；（2）若，则的最小值是______（答：）；（3）正数满足，则的最小值为______（答：）；4.常用不等式有：（1）(根据目标不等式左右的运算结构选用) ；（2）a、b、c R，（当且仅当时，取等号）；（3）若，则（糖水的浓度问题）。

完整版高中数学不等式知识点总结高中数学中的不等式是学习数学中非常重要的一部分，在中高考中，不等式占据了较多的分数比重。

本文将对高中数学中的不等式进行全面的总结，内容涵盖了不等式的概念、基础知识、理论与定理、解题思路、常用不等式以及与其他章节的联系等方面。

一、不等式的概念与基础知识不等式是指含有不等关系的算式，一般表示成 a<b 或a>b，其中 a、b 可以是实数、分数或代数式等。

当 a<b 时，称 a 小于 b，也可以写成 b 大于 a；当 a>b 时，称 a 大于b，也可以写成 b 小于 a。

在不等式中，表示关系的符号“<”和“>”称为不等号。

解不等式可以用图像法、正推反证法和直接法等方法。

图像法：绘制不等式所代表的曲线或图形，在图形中表示不等关系所代表的区域，最终得出解不等式的集合。

正推反证法：通过推理判断得出不等式的解，其中正推法是根据不等式的性质进行推导和运算，而反证法则是通过推翻假设得出结论。

直接法：对不等式进行变形、化简和运算，得出解的过程。

不等式的基础知识：1. 加减法原则：若 a<b，则 a+c<b+c，a-c<b-c（c 为任意实数）。

2. 乘除法原则：若 a<b 且 c>0，则 ac<bc，a/c<b/c；若 a<b 且 c<0，则 ac>bc，a/c>b/c。

3. 平均值不等式：对于任意两个正数 a 和 b，有(a+b)/2>=√ab，等号当且仅当 a=b 时取到。

二、不等式的理论与定理1. 不等式传递性：若 a<b，b<c，则 a<c。

2. 柯西-施瓦茨不等式：对于任意两个实数序列a1,a2,...,an 和 b1,b2,...,bn，有(a1b1+a2b2+...+anbn)^2<=((a1^2+a2^2+...+an^2)(b1^2+b2^ 2+...+bn^2))，等号当且仅当 a1/b1=a2/b2=...=an/bn 时取到。

高一数学不等式知识点梳理在高中数学中，不等式是一个重要的概念和内容，在各个章节中都会涉及到不等式的相关知识和应用。

下面将对高一数学中的不等式知识点进行梳理和总结，以帮助同学们更好地理解和掌握不等式的相关内容。

一、不等式的基本概念1. 不等式的定义：不等式是数之间的大小关系的一种表示方式，用符号“<”、“>”、“≤”、“≥”等表示。

2. 不等式的解集：不等式的解集是使得不等式成立的所有实数的集合。

二、一元一次不等式1. 一元一次不等式的解法：(1) 通过绘制数轴法确定解集；(2) 利用性质将不等式转化为等价的形式求解。

2. 一元一次不等式的性质：(1) 加减性质：若a<b，则a±c<b±c（其中c为常数）；(2) 倒置性质：若a<b，则-b<-a；(3) 倍增性质：若a<b，则ac<bc（c>0）或ac>bc（c<0）；(4) 倒数性质：若a<b，则1/b<1/a（a>0，b>0）。

三、一元二次不等式1. 一元二次不等式的解法：(1) 使用根的性质来解决一元二次不等式；(2) 利用配方法将一元二次不等式转化成平方完全性质的形式求解。

2. 一元二次不等式的性质：(1) 零点性质：若x1、x2为一元二次不等式的解，则x1+x2=-b/a、x1*x2=c/a；(2) 符号性质：当a>0时，一元二次不等式y=ax²+bx+c的解集随x的增加而递增，当a<0时，解集随x的增加而递减；(3) 洛必达不等式：若0<a<b，则0<ln(a/b)<a/b<1。

四、绝对值不等式1. 绝对值不等式的解法：(1) 利用绝对值的定义进行讨论求解；(2) 利用绝对值的性质化简不等式，并得出解集。

2. 常见的绝对值不等式：(1) |x|<a（a>0）的解集为(-a, a)；(2) |x|>a（a>0）的解集为(-∞, -a)∪(a, +∞)；(3) |x-a|<b（b>0）的解集为(a-b, a+b)；(4) |x-a|>b（b>0）的解集为(-∞, a-b)∪(a+b, +∞)。

高中不等式知识点总结1. 不等式的定义和基本性质不等式是数学中用来表示大小关系的符号。

一般地，设a、b是实数，可以有以下四种不等式关系：•$ a < b $ ：表示a小于b，即a严格小于b；•$ a > b $ ：表示a大于b，即a严格大于b；•$ a b $ ：表示a小于等于b，即a小于或等于b；•$ a b $ ：表示a大于等于b，即a大于或等于b。

基本性质：•对于不等式的加减运算：若a小于等于b，则a+c小于等于b+c，a-c小于等于b-c（c为实数）；•对于不等式的乘法运算：若a小于等于b且c大于0，则ac小于等于bc，若c小于0，则ac大于等于bc；•对于不等式的除法运算：若a小于等于b且c大于0，则a/c小于等于b/c，若c小于0，则a/c大于等于b/c（c不等于0）。

2. 一元一次不等式2.1 不等式的解集表示一元一次不等式的解集可以用数轴上的区间表示。

对于形如ax+b>0或ax+b<0的一元一次不等式，可以先求出方程的零点x=-b/a，再根据a的正负判断不等式的解集：•当a>0时，不等式的解集为x<−b/a或x>−b/a；•当a<0时，不等式的解集为x>−b/a或x<−b/a。

2.2 一元一次不等式的性质•当且仅当不等式两边同时加上（或减去）同一个正数时，不等号的方向不变；•当且仅当不等式两边同时乘以（或除以）同一个正数时，不等号的方向不变；•当且仅当不等式两边同时乘以（或除以）同一个负数时，不等号的方向改变。

3.1 不等式的解集表示一元二次不等式的解集可以用数轴上的区间表示。

对于形如ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0的一元二次不等式，可以先求出抛物线的顶点和判别式D的值，再根据D的正负判断不等式的解集。

•当a>0时，不等式的解集为抛物线顶点的左右两侧；•当a<0时，不等式的解集为抛物线顶点的外侧。

高中数学教案不等式的性质和解法高中数学教案：不等式的性质和解法在高中数学中，不等式是一个重要的概念，它可以帮助我们描述数值大小的关系。

掌握不等式的性质和解法对于学生的数学素养的提高至关重要。

本教案将介绍不等式的基本性质以及常用的解法方法，帮助学生深入理解不等式的本质和应用。

一、不等式的基本性质1. 不等式的传递性：不等式具有传递性的性质，即如果对于实数a、b和c，若a < b，b < c，则有a < c。

这是由实数集的有序性决定的。

2. 不等式的加法性：对于实数a、b和c，若a < b，则有a + c < b + c。

这是由实数加法运算的性质决定的。

3. 不等式的乘法性：对于实数a、b和c，若a < b且c > 0，则有ac < bc。

若a < b且c < 0，则有ac > bc。

这是由实数乘法运算的性质决定的。

4. 已知不等式的平方：对于实数a，若a > 0，则有a^2 > 0。

若a < 0，则有a^2 > 0。

这是由实数平方的性质决定的。

二、不等式的解法方法1. 图解法：利用数轴上的点、线段和箭头等图形表示不等式的解集。

可以通过图示的方式直观地观察解集的范围。

2. 代数法：通过代数方法，利用不等式的性质，将不等式转化为若干等价的不等式，再通过解等价不等式得到原不等式的解集。

3. 数值法：对于一些简单的不等式，可以通过列举数字的方式求解。

将不等式中的变量替换为具体的数值，并逐个验证是否满足不等式，从而得到解集。

4. 增减法：通过逐步增减变量的值，缩小不等式的解集范围。

通过观察变量的增减趋势，可以确定不等式的解集。

三、应用实例例1：求解不等式2x + 5 > 10。

解：首先，由不等式的加法性质，可以将不等式转化为2x > 5。

然后，再利用不等式的乘法性质，将不等式进一步转化为x > 2.5。

高中不等式知识点总结一、知识点1.不等式性质比较大小方法：(1)作差比较法(2)作商比较法不等式的基本性质①对称性：a > bb > a②传递性: a > b, b > ca > c③可加性: a > b a + c > b + c④可积性: a > b, c > 0ac > bc;a > b, c < 0ac < bc;⑤加法法则: a > b, c > d a + c > b + d⑥乘法法则：a > b > 0, c > d > 0 ac > bd⑦乘方法则：a > b > 0, an > bn (n∈N)⑧开方法则：a > b > 0,2.算术平均数与几何平均数定理：(1)如果a、b∈R,那么a2 + b2 ≥2ab(当且仅当a=b时等号)(2)如果a、b∈R+,那么(当且仅当a=b时等号)推广：如果为实数，则重要结论1)如果积xy是定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值2;(2)如果和x+y是定值S，那么当x=y时，和xy有最大值S2/4。

3.证明不等式的常用方法：比较法：比较法是最基本、最重要的方法。

当不等式的两边的差能分解因式或能配成平方和的形式，则选择作差比较法;当不等式的两边都是正数且它们的商能与1比较大小，则选择作商比较法;碰到绝对值或根式，我们还可以考虑作平方差。

综合法:以已知或已证明的不等式为基础，根据不等式的性质推导出待证明的不等式。

平均不等式常用于综合法的标度。

分析方法:不等式两边的关系不够清晰。

通过寻找不等式成立的充分条件，对待证明的不等式进行逐步转化，直到找到一个容易证明或已知成立的结论。

4.不等式的解法(1) 不等式的有关概念同解不等式:如果两个不等式有相同的解集，那么这两个不等式称为同解不等式。

同解变形:当一个不等式转化为另一个不等式时，如果这两个不等式是同解不等式，那么这种变形称为同解变形。

高中数学知识点不等式的性质及解法高中数学中，不等式的性质及解法是一个重要的知识点。

它涉及到不等式的基本性质、不等式的加减乘除、不等式的等价变形以及一元一次不等式、一元二次不等式等不等式类型的解法。

下面将详细介绍不等式的性质及解法。

一、不等式的性质1.两边加减同一个数不等号方向不变。

2.两边乘除同一个正数不等号方向不变，同一个负数不等号方向改变。

3.如果两个不等式成立，则它们的和、差、乘积、商仍然成立。

4.如果两个不等式的符号方向相反，求和时不等式方向不确定，求差时等式方向不确定，求积时反而求商时等式方向相反。

5.无论何时，两边加上相等的数，不等式的大小不变。

二、一元一次不等式对于一元一次不等式，常规的解法是将其转化为等价的不等式进行求解。

具体步骤如下：1. 化简：将不等式中的所有项移到一边，化简为标准形式ax+b<0或ax+b>0。

2.等价变形：根据不等式的性质，进行乘除法或加减法，将不等式变形为更简单的形式。

3.解不等式：根据等价变形后的不等式，确定x的取值范围。

三、一元二次不等式对于一元二次不等式，可以利用抛物线的性质进行求解。

具体分为以下几种情况：1.一元二次不等式的根在抛物线的两侧，此时，可以通过求解抛物线与x轴的交点来确定不等式的解集。

2.一元二次不等式的根在抛物线上，此时，可以通过根的位置确定抛物线在不等式中的符号。

3.一元二次不等式的根在抛物线的一侧，此时，可以根据抛物线的开口方向来确定不等式的解集。

四、综合应用在实际问题中，不等式的应用非常广泛，比如在经济学、物理学、生物学等领域中的一些实际问题往往可以转化为不等式进行求解。

这时候，除了要掌握不等式的基本性质和解法外，还需要注意问题的本质，合理进行变量的定义和范围的确定。

综上所述，不等式的性质及解法在高中数学中占据很重要的地位。

掌握不等式的基本性质，熟悉不等式的加减乘除运算，能够灵活运用不等式的等价变形以及一元一次不等式、一元二次不等式的解法，对于提高解题能力和培养数学思维都非常有帮助。

不等式知识点总结及题型归纳一、解不等式1、一元二次不等式的解法一元二次不等式()00022≠<++>++a c bx ax c bx ax 或的解集：设相应的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的两根为2121x x x x ≤且、，ac b 42-=∆，则不等式的解的各种情况如下表： 0>∆0=∆0<∆二次函数c bx ax y ++=2（0>a ）的图象c bx ax y ++=2c bx ax y ++=2c bx ax y ++=2一元二次方程()的根002>=++a c bx ax有两相异实根 )(,2121x x x x < 有两相等实根ab x x 221-==无实根的解集)0(02>>++a c bx ax{}21x x x x x ><或⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠a b x x 2R的解集)0(02><++a c bx ax{}21x x xx <<∅∅2、简单的一元高次不等式的解法： 标根法：其步骤是：1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶弹回；3）根据曲线显现()f x 的符号变化规律，写出不等式的解集。

()()()如：x x x +--<1120233、分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。

解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。

()()0()()0()()0;0()0()()f x g x f x f x f x g x g x g x g x ≥⎧>⇔>≥⇔⎨≠⎩4、不等式的恒成立问题：常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题 若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()min f x A > 若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()max f x B <二、线性规划1、用二元一次不等式（组）表示平面区域二元一次不等式Ax +By +C ＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax +By +C =0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线） 2、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法由于对在直线Ax +By +C =0同一侧的所有点(y x ,)，把它的坐标（y x ,)代入Ax +By +C ，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x 0,y 0)，从Ax 0+By 0+C 的正负即可判断Ax +By +C ＞0表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C ≠0时，常把原点作为此特殊点） 3、线性规划的有关概念：①线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量x 、y 的约束条件，这组约束条件都是关于x 、y 的一次不等式，故又称线性约束条件． ②线性目标函数：关于x 、y 的一次式z =a x +b y 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x 、y 的解析式，叫线性目标函数．③线性规划问题：一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题． ④可行解、可行域和最优解：满足线性约束条件的解（x ,y ）叫可行解． 由所有可行解组成的集合叫做可行域．使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解． 4、求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的步骤： 1）寻找线性约束条件，列出线性目标函数； 2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；3）依据线性目标函数作参照直线a x +b y ＝0，在可行域内平移参照直线求目标函数的最优解.三、基本不等式2a bab +≤1、若a,b ∈R ,则a 2+b 2≥2ab ,当且仅当a=b 时取等号.2、如果a,b 是正数，那么).""(2号时取当且仅当==≥+b a ab ba 变形： 有:a+b ≥ab 2；ab ≤22⎪⎭⎫⎝⎛+b a ,当且仅当a=b 时取等号.3、如果a,b ∈R+,a·b=P (定值),当且仅当a=b 时,a+b 有最小值P 2;如果a,b ∈R+,且a+b=S (定值),当且仅当a=b 时,ab 有最大值42S .注：1）当两个正数的积为定值时，可以求它们和的最小值，当两个正数的和为定值时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． 2）求最值的重要条件“一正，二定，三取等” 4、常用不等式有：12211a b a b+≥≥≥+(根据目标不等式左右的运算结构选用) ； 2）a 、b 、c ∈R ，222a b c ab bc ca ++≥++（当且仅当a b c ==时，取等号）； 3）若0,0a b m >>>，则b b ma a m+<+（糖水的浓度问题）。

高中不等式知识点总结（最新版）目录一、高中不等式知识点总结二、不等式的基本性质1.对称性2.传递性3.可加性4.可积性三、不等式性质的运用1.作差比较法2.作商比较法四、高中数学不等式知识点总结五、结语正文一、高中不等式知识点总结在高中数学的学习中，不等式是一个重要的知识点。

不等式是指用大于号（>）、小于号（<）或大于等于号（≥）、小于等于号（≤）等符号连接的式子。

不等式在数学中有着广泛的应用，因此掌握不等式的相关知识点至关重要。

二、不等式的基本性质不等式具有以下几个基本性质：1.对称性：如果 a>b，那么 b<a；如果 a<b，那么 b>a。

即不等式的方向可以随意改变，不等式仍然成立。

2.传递性：如果 a>b，且 b>c，那么 a>c。

即不等式可以按照顺序进行传递。

3.可加性：如果 a>b，且 c>d，那么 a+c>b+d。

即两个不等式相加，不等号的方向不变。

4.可积性：如果 a>b，且 c>d，那么 ac>bd。

即两个不等式相乘，不等号的方向不变。

三、不等式性质的运用在实际解题过程中，我们可以运用不等式的基本性质来进行计算和比较大小。

例如，在比较两个数的大小时，我们可以通过作差比较法或作商比较法来判断。

作差比较法是指将两个数相减，比较差值的大小；作商比较法是指将两个数相除，比较商的大小。

四、高中数学不等式知识点总结在高中数学中，不等式的知识点涉及到一元一次不等式、一元二次不等式、绝对值不等式、不等式组等。

对于这些不等式，我们需要掌握其解法和性质，并能够熟练运用到实际题目中。

五、结语不等式是高中数学中的一个重要知识点，掌握好不等式的相关性质和解法，对于提高数学成绩具有重要意义。

高中数学-不等式的性质及其解法-不等式专题第一部分：基础回顾 一、不等式的主要性质：(1)对称性：a b b a <⇔> (2)传递性：c a c b b a >⇒>>, (3)加法法则：c b c a b a +>+⇒>； d b c a d c b a+>+⇒>>,(4)乘法法则：bc ac c b a >⇒>>0,；bc ac c b a <⇒<>0,；bd ac d c b a >⇒>>>>0,0(5)倒数法则：ba ab b a110,<⇒>> (6)乘方法则：)1*(0>∈>⇒>>n N n b a b a nn且 (7)开方法则：)1*(0>∈>⇒>>n N n b a b a n n且二、一元二次不等式02>++c bx ax 和)0(02≠<++a c bx ax 及其解法0>∆0=∆0<∆二次函数c bx ax y ++=2（0>a）的图象))((212x x x x a cbx ax y --=++=))((212x x x x a c bx ax y --=++=c bx ax y ++=2一元二次方程()的根002>=++a c bx ax有两相异实根 )(,2121x x x x <有两相等实根abx x 221-==无实根的解集)0(02>>++a c bx ax{}21x x x x x><或⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠a b x x 2R的解集)0(02><++a c bx ax{}21x x x x<<∅∅注意：一般常用因式分解法、求根公式法求解一元二次不等式 顺口溜：在二次项系数为正的前提下：大于型取两边，小于型取中间第二部分：不同题型不等式的解法1、高次不等式例1解不等式：（1）015223>--xxx；（2）0)2()5)(4(32<-++xxx．解：（1）原不等式可化为0)3)(52(>-+xxx把方程0)3)(52(=-+xxx的三个根3,25,0321=-==xxx顺次标上数轴．然后从右上开始画线顺次经过三个根，其解集如下图的阴影部分．∴原不等式解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧><<-325xxx或（2）原不等式等价于⎩⎨⎧>-<-≠⇔⎩⎨⎧>-+≠+⇔>-++245)2)(4(5)2()5)(4(32xxxxxxxxx或∴原不等式解集为{}2455>-<<--<xxx x或或说明：用“穿根法”解不等式时应注意：①各一次项中x的系数必为正；②对于偶次或奇次重根可转化为不含重根的不等式，也可直接用“穿根法”，但注意“奇穿偶不穿”．2、分式不等式例2 解下列分式不等式：（1）22123+-≤-xx；（2）12731422<+-+-xxxx分析：①0)()()()(<⋅⇔<xgxfxgxf②0)()()()()()()()()()(<⋅=⇔≤⎩⎨⎧≠≤⋅⇔≤x gx fx fx gx fx gx gx fx gx f或或（1）解：原不等式等价于⎩⎨⎧≠-+≥+-+-⇔≥+-+-⇔≤+-++-⇔≤+---+⇔≤+--⇔+≤-)2)(2()2)(2)(1)(6()2)(2()1)(6()2)(2(65)2)(2()2()2(32232232xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx∴原不等式解集为[)[)+∞⋃-⋃--∞,62,1)2,(。

不等式的性质及解法知识要点：不等式与等式有许多不同，主要包括：1、等式两边同乘（或除）以一个数（或式），等式仍然成立；不等式两边同乘（或除）以一个数（或式），不等式能否成立，要考虑该数（式）的符号，即a b ac bc c ac bc c ac bc c >⇒>>>=<<⎧⎨⎪⎩⎪()()()0002、解方程时允许出现不等价转化，出现增根时以验根弥补；解不等式要求必须是等价转化。

3、解方程组时，方程组中的方程之间允许进行加、减等运算，以达到消元目的；解不等式组时，不等式组中的不等式之间只能独立求解，再求交集。

不等式的性质可分为：1、公理a b a b a b a b >⇔-><⇔-<⎧⎨⎩0这也是将不等式问题——比较两个实数a 、b 的大小，转化为恒等变形问题的依据。

2、基本性质：（1） 对称性 a b b a >⇔<这个性质等式中也存在，即a b b a =⇔=，对称性说明了每一个已知的不等式都有两种形式，如：a b ab a b R +≥∈2(,) 这个基本不等式本身就有a b ab 222+≥及222ab a b ≤+两种形式，要能灵活运用。

当然若进行等价转化还会有许多变式。

（2） 传递性 a b b c a c >>⇒>,这个性质是媒介法比较两个实数大小的依据，是放缩法证明不等式的依据。

（3） 移项法则 a b a c b c >⇔+>+如：x x +>⇔>-321,相当于在x +>32这个不等式两边同时加上－3得到的。

3、运算性质：（1）加法运算：a b c d a c b d >>⇒+>+,（2）减法运算：统一成加法运算 a b c d a b d c a d b c >>⇒>->-⇒->-,, （3）乘法运算：a b o c d ac bd >>>>⇒>>,00 （4）除法运算：统一成乘法运算a b c d a b d c a d bc>>>>⇒>>>>⇒>>0001100,,（由y x =1在（0，+∞）上是减函数，c d d c>>⇒>>0110）（5）乘方运算：a b a b n N n n n >>⇒>∈≥02(,)（6）开方运算：a b a b n N n n n >>⇒>∈≥02(,)4、函数的单调性：（1）a b a b >⇒>33 （y x =-∞+∞3在上是增函数(,)） （2）a b a b >⇒>22 （y x =-∞+∞2在上是增函数(,)）诸如此类：a b a b y x >>⇒<=+∞00121212log log (log (,)在上是减函数)已知幂函数、指数函数、对数函数等函数的单调性可做为不等式的性质运用。

不等式1、不等式的性质：（1）同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：若,a bc d >>，则a c b d +>+（若,a b c d ><，则a c b d ->-），但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减；（2）左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘：若0,0a b c d >>>>，则ac bd >（若0,0a b c d >><<，则a b c d>）；（3）左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：若0a b >>，则n n a b >>；（4）若0ab >，a b >，则11a b <；若0ab <，a b >，则11a b >。

特别提醒：如果对不等式两边同时乘以一个代数式，要注意它的正负号，如果正负号未定，要注意分类讨论。

如（1）对于实数c b a ,,中，给出下列命题：①22,bc ac b a >>则若；②b a bc ac >>则若,22；③22,0b ab a b a >><<则若；④ba b a 11,0<<<则若；⑤b a a b b a ><<则若,0；⑥b a b a ><<则若,0；⑦bc b a c a b a c ->->>>则若,0；⑧11,a b a b>>若，则0,0a b ><。

其中正确的命题是______ ； （2）已知11x y -≤+≤，13x y ≤-≤，则3x y -的取值范围是______ ；（3）已知c b a >>，且,0=++c b a 则a c 的取值范围是______ 2. 不等式大小比较的常用方法：（1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；（2）作商（常用于分数指数幂的代数式）；（3）分析法；（4）平方法；（5）分子（或分母）有理化；（6）利用函数的单调性；（7）寻找中间量（一般先把要比较的代数式与“0”比，与“1”比，然后再比较它们的大小）或放缩法 ；(8)图象法：利用有关函数的图象（指数函数、对数函数、二次函数、三角函数的图象），直接比较大小。

高中数学知识点归纳不等式的性质与求解方法高中数学知识点归纳——不等式的性质与求解方法不等式是数学中常见的一种关系表达式，它描述了两个数或者表达式之间大小的关系。

不等式是数学中重要且广泛应用的概念，在高中数学学习中，学生需要掌握不等式的性质及求解方法。

本文将对不等式的性质及求解方法进行归纳总结。

一、不等式的基本性质1. 不等式的传递性不等式的传递性是指如果a>b，b>c，则有a>c。

这个性质在求解不等式问题时经常会使用到。

2. 不等式的加减性对于不等式a>b和一个非负实数c，有以下结论：a+c > b+ca-c > b-c利用这个性质可以对不等式进行加减运算，从而简化不等式的形式。

3. 不等式的乘除性对于不等式a>b和一个正实数c，有以下结论：a*c > b*c (当c>0时)a*c < b*c (当c<0时)同样地，利用这个性质可以对不等式进行乘除运算，从而简化不等式的形式。

4. 不等式的倒置性对于不等式a>b，将不等式两边同时取负，得到-b>-a，即b<a。

这就是不等式的倒置性。

二、不等式的求解方法1. 图像法图像法是一种简单可行的不等式求解方法。

对于一元一次不等式，可以将其转化为一条直线，根据直线在数轴上的位置来判断不等式的解集。

2. 实数集合法通过观察不等式中的变量范围，结合实数集合的性质，可以得到不等式的解集。

例如，对于不等式2x-3<5，可以通过观察得到x的范围应该是(-∞, 4)。

3. 符号法符号法是一种常用的不等式求解方法，通过对不等式两边进行推导和变形，利用不等式的性质进行运算，最终得到不等式的解集。

4. 区间法对于一元一次不等式，可以通过构造不等式的区间来求解。

例如，对于不等式x+2>5，可以通过将不等式两边同时减去2，得到x>3，表示x的取值范围是(3, +∞)。

三、不等式的分类与求解1. 一元一次不等式一元一次不等式是最简单的一类不等式，通常形式为ax+b>c或者ax+b<c，其中a、b和c为已知实数，x为未知数。

高中数学不等式知识点不等式知识点归纳:一、不等式的概念与性质1、实数的大小顺序与运算性质之间的关系：0>-⇔>b a b a 0<-⇔<b a b a 0=-⇔=b a b a 2、不等式的性质：（1）a b b a <⇔> ， a b b a >⇔< （反对称性） （2）c a c b b a >⇒>>, ，c a c b b a <⇒<<, （传递性） （3）c b c a b a +>+⇒>，故b c a c b a ->⇒>+ （移项法则） 推论：d b c a d c b a +>+⇒>>, （同向不等式相加） （4）bc ac c b a >⇒>>0,，bc ac c b a <⇒<>0, 推论1：bd ac d c b a >⇒>>>>0,0 推论2：n n b a b a >⇒>>0 推论3：n n b a b a >⇒>>0不等式的性质是解、证不等式的基础，对于这些性质，关键是正确理解和熟练运用，要弄清每一个条件和结论，学会对不等式进行条件的放宽和加强。

3、常用的基本不等式和重要的不等式（1）0,0,2≥≥∈a a R a 当且仅当”取“==,0a （2）ab b a R b a 2,,22≥+∈则 （3）+∈R b a ,，则ab b a 2≥+（4）222)2(2b a b a +≤+4、最值定理:设,0,x y x y >+≥由（1）如积P y x P xy 2(有最小值定值），则积+=（2）如积22(）有最大值（定值），则积S xy S y x =+即:积定和最小，和定积最大。

运用最值定理求最值的三要素：一正二定三相等 5、均值不等式:证法一：（比较法）a b b a R b a -=∴=+∈1,1,,()()2222259224()22a b a b a b ∴+++-=+++- 2222911(1)4222()0222a a a a a =+-+-=-+=-≥即()()2252222≥+++b a （当且仅当21==b a 时，取等号）。

高中数学不等式知识点一、概述不等式是数学中的一个重要概念，它描述了两个数或两个式子之间的大小关系。

在高中阶段，学生需要掌握不等式的基本概念、性质及解不等式的方法。

本文将对高中数学不等式的知识点进行详细介绍。

二、不等式的定义及表示方式1. 不等式的定义：不等式是两个数或两个式子之间的大小关系的描述。

2. 不等式的表示方式：不等式可以用符号“<”（小于）、“>”（大于）、“≤”（小于等于）、“≥”（大于等于）来表示。

例如，x < y 表示x小于y，x ≤ y 表示x小于等于y。

三、不等式的基本概念1. 大于与小于：对于任意两个实数a和b，如果a-b大于零，则称a大于b，表示为a > b；如果a-b小于零，则称a小于b，表示为a < b。

2. 大于等于与小于等于：对于任意两个实数a和b，如果a-b大于等于零，则称a大于等于b，表示为a ≥ b；如果a-b小于等于零，则称a小于等于b，表示为a ≤ b。

四、不等式的性质1. 加减法性质：对于任意实数a、b和正数c，有以下性质：- 若a > b，则a + c > b + c；- 若a < b，则a + c < b + c；- 若a > b，则a - c > b - c；- 若a < b，则a - c < b - c。

2. 乘除法性质：对于任意实数a、b和正数c，有以下性质：- 若a > b且c > 0，则ac > bc；- 若a > b且c < 0，则ac < bc；- 若a < b且c > 0，则ac < bc；- 若a < b且c < 0，则ac > bc。

3. 反方向性质：对于任意实数a和b，有以下性质：- 若a > b，则-b > -a；- 若a < b，则-b < -a；- 若a > b，则1/b > 1/a（a、b为正数）；- 若a < b，则1/b < 1/a（a、b为正数）。