数值分析最佳平方逼近

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第三章 函数逼近与计算
定义3.8 设 0(x), 1(x), … , n-1(x)在[a,b]上连续如果 a00(x)+a11(x)+… +ann(x)=0 对任意 x[a, b]成立
当且仅当 a0= a1=… =an=0，则称 0(x), 1(x), … , n-1(x) 在[a,b]上是线性无关的。
I 0 a k
(k 0,1,, n),
(k 0,1,, n),
(k 0,1,, n).
( ( x), ( x))a
j 0 k j
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n
j
( f ( x ), k ( x ))
b
则称{ k ( x)} 是 [a, b] 上带权 ( x )的正交函数族. 若 Ak 1，则称之为标准正交函数族. 三角函数族 1, cos x , sin x , cos 2 x , sin 2 x , 区间 [ , ]上的正交函数族.
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第三章 函数逼近与计算
3.3.2 函数的最佳平方逼近 对f ( x ) C[a, b]及C[a, b]中的一个子集 span{ 0 ( x ),1 ( x ),, n ( x )}
b b
b
b
I 2a0 0 ( x ), k ( x ) 2a1 1 ( x ), k ( x ) 即 ak 2an n ( x),k ( x) 2 f ( x),k ( x)
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则称 X 为内积空间。
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第三章 函数逼近与计算
3、内积的性质
设 X 是一内积空间，则对任意的 x, y X，有
（1）柯西—许瓦兹不等式：
( x, y) ( x, x)( y, y)
2
（2）三角不等式：
x ( x)dx 存在，(n = 0, 1, 2, …)；
n
(3) 对非负的连续函数g (x) 若
则在(a, b)上g (x) 0。

b
a
g ( x) ( x)dx 0
称满足上述条件的 (x)为[a, b]上的权函数。
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第三章 函数逼近与计算
2、内积空间定义
设 X 为(实)线性空间, 在 X 上定义了内积是指 对 X 中每一对元素 x, y , 都有一实数，记为 x, y 与之对应， 且这个对应满足:
（1）
（2） （3） （4）
x, x 0, x 0 x, x 0; x, y y, x , x, y X ; x, y x, y , x, y X ; R; x y, z x, z y, z , x, y, z X ;
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第三章 函数逼近与计算
3.3.1 内积空间
1、权函数的定义
设 (x)定义在有限或无限区间[a, b]上，如果具有下列性质： (1) 对任意x [a, b]， (x) ≥0； (2) 积分

b
a
x y 2 x 2 y
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2
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第三章 函数逼近与计算
4、两种重要的内积空间
n R n维欧氏空间 ，内积就是两向量的数量积，即
x, y x
T
y xi yi .
连续函数空间 C a, b ，内积可以定义为积分的运算 或带权函数的积分运算，即
如果存在
S * ( x) a0 *0 ( x) a1 *1( x) an *n ( x)
使得
2 || f ( x ) S * ( x ) ||2 inf || f ( x ) S ( x ) || 2 2 S ( x )
inf
S ( x ) a
举例 选取常数a,b使
π 2 0

π 2 0
[ax b sin x ]2 dx 达到最小
解答 设 I (a , b) [ax b sin x ]2 dx
即
I I 0, 0. 确定a,b使 I (a , b) 最小，必须满足 a b π π π π 2 2 2 2 2 a x dx b xdx x sin xdx 20 x[ax b sin x ]dx 0 0 0 0 π π π π 2 2 [ax b sin x ]dx 0 a 2 xdx b 2 dx 2 sin xdx 0 0 0 0 π3 π2 a b1 24 16 2 π a π b 1 a 0.6644389，b 0.1147707. 2 16
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第三章 函数逼近与计算
定理3.5
对于任何 f , g C a, b , 下列结论成立： 1、
f , g
f
2
g
2
（Cauchy-Schwarz不等式）
2、 3、
f g 2 f
2
2
j 0 的最小值 . 的二次函数， (a ,0 a a ) 1是关于 a(0 ,na ,a ( )1 a,0 (, , )a1 ,1 ,n )an n( 0 n, nn n, f ) I
利用多元函数求极值的必要条件
n
即
b ( x)) ( n ( aIj j ( x), f ( x), k ( x)) ( f ( x) S ( x), k ( x)) 0 k 2 ( x )[ a j j ( x) f ( x)] k ( x)dx j 0 a ak j 0 (k 0,1,, n).
Gn 1 G ( 0 , 1 , , n 1 ) ( 0 , 0 ) ( , ) 1 0 ( n 1 , 0 ) ( 0 , 1 ) ( 1 , 1 ) ( n 1 , 1 ) ( 0 , n 1 ) ( 1 , n 1 ) 0 ( n 1 , n 1 )
第三节 最佳平方逼近
1Байду номын сангаас
第三章 函数逼近与计算
* P 如果存在 n ( x) H n 使得
|| f ( x ) P ( x ) ||2
* n PH n

b
a
[ f ( x ) Pn* ( x )]2 dx
inf || f ( x ) P ( x ) ||2
则称 Pn* ( x) 是 f ( x ) 在 H n 中的最佳平方逼近多项式。
g
2
2
(三角不等式)
f g 2 f g 2 2 f

2 2
g
2 2

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(平行四边形定律)
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第三章 函数逼近与计算
6、正交
定义3.7若 f ( x ), g( x ) C[a , b], ( x ) 为 [a , b] 上的权函数且满足
这个关于 a0 , a1 ,, an 的线性方程组，称为法方程.
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第三章 函数逼近与计算
n b I 2 ( x )[ a j j ( x ) f ( x )] k ( x )dx a ak j 0
2a ( x )[a00 ( x ) an n ( x ) f ( x )] k ( x )dx 2a a0 ( x ) 0 ( x ) k ( x )dx 2a an ( x ) n ( x ) k ( x )dx 2a ( x ) f ( x ) k ( x )dx
( f ( x ), g( x )) f ( x ) g( x )dx,
a
b
f ( x ), g( x ) C[a, b]
或
( f ( x ), g( x )) ( x ) f ( x ) g( x )dx,
a
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( f ( x ), g( x )) ( x ) f ( x ) g( x )dx 0
a b
则称 f ( x ) 与 g ( x )在 [a , b] 上带权 ( x )正交. 若函数族 0 ( x ), 1 ( x ), , n ( x ), 满足关系
j k. 0, ( j , k ) ( x ) j ( x ) k ( x )dx a j k. Ak 0,
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第三章 函数逼近与计算
n I 2 a j j ( x ), k ( x ) 2 f ( x ), k ( x ) 即 ak j 0 I 0 令 ak
得
a ( x ),
n j 0 j j
k
( x ) f ( x ), k ( x ), k 0,1,, n