2017年高三模拟试题专题汇编之解三角形含解析

专题五解三角形【母题来源一】【2017全国卷1文数11】【母题原题】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知sin sin(sin cos)0B AC C+-=，a=2，c=2，则C=A．π12B．π6C．π4D．π3【答案】B【考点】解三角形【名师点睛】在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适,或是两个定理都要用,要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理;以上特征都不明显时,则要考虑两个定理都有可能用到．【母题来源二】【2016全国卷1文数4】【母题原题】△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知a =2c =，2cos 3A =，则b=（（B（C ）2 （D ）3【答案】D 【解析】试题分析：由余弦定理得3222452⨯⨯⨯-+=b b ，解得3=b （31-=b 舍去），选D.【考点】余弦定理【名师点睛】本题属于基础题,考查内容单一，根据余弦定理整理出关于b 的一元二次方程，再通过解方程求b .运算失误是基础题失分的主要原因,请考生切记! 【母题来源三】【2015全国卷1文数17】【母题原题】已知,,a b c 分别是ABC ∆内角,,A B C 的对边，2sin 2sin sin B A C =。

(I)若a b =，求cos ;B (II ）若90B =,且a =求ABC ∆的面积。

【答案】(I ）14（II)1试题解析:（I ）由题设及正弦定理可得22b ac .又ab ,可得2bc ,2ac ,由余弦定理可得2221cos 24a cb B ac。

（II)由(1）知22b ac .因为B 90°，由勾股定理得222ac b 。

故222ac ac ，得2ca.所以ABC 的面积为1.【考点定位】正弦定理;余弦定理；运算求解能力【名师点睛】解三角形问题的主要工具就是正弦定理、余弦定理，在解题过程中要注意边角关系的转化，根据题目需要合理选择合理的变形复方向，本题考查利用正余弦定理解三角形和计算三角形面积，是基础题.【命题意图】考查正弦定理、余弦定理及三角形面积公式，考查三角函数中同角三角函数关系、诱导公式、两角和与差三角函数公式、二倍角公式在恒等变形中的应用，考查化简变形能力、数形结合思想、等价转换思想。

【母题原题1】 【2017全国Ⅱ，文16】ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2cos cos cos b B a C c A =+，则B = ．【答案】π3【解析】由正弦定理可得1π2sin cos sin cos sin cos sin()sin cos 23B B AC C A A C B B B =+=+=⇒=⇒=． 【考点】正弦定理【名师点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的．其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向． 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化． 第三步：求结果．【母题原题2】【2016全国Ⅱ，文15】△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若4cos 5A =，5cos 13C =，a =1，则b =____________． 【答案】2113【考点】 正弦定理，两角和、差的三角函数公式【名师点睛】在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．【母题原题3】【2015全国Ⅱ，文17】△ABC 中D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，BD =2DC ． （I ）求sin sin BC∠∠ ；（II ）若60BAC ∠=，求B ∠． 【答案】（I ）12；30．试题解析：（I ）由正弦定理得,,sin sin sin sin AD BD AD DCB BADC CAD==∠∠∠∠ 因为AD 平分∠BAC ，BD =2DC ，所以sin 1.sin 2B DC C BD ∠==∠． （II ）因为()180,60,C BAC B BAC ∠=-∠+∠∠=所以()1sin sin sin .2C BAC B B B ∠=∠+∠=∠+∠ 由（I ）知2sin sin B C ∠=∠，所以tan 30.B B ∠=∠= 【考点定位】本题主要考查正弦定理及诱导公式的应用，意在考查考生的三角变换能力及运算能力． 【名师点睛】三角形中的三角变换常用到诱导公式，()()sin sin ,cos cos ,A B C A B C +=+=-()tan tan A B C +=-，就是常用的结论，另外利用正弦定理或余弦定理处理条件中含有边或角的等式，常考虑对其实施“边化角”或“角化边．”【命题意图】考查正余弦定理和三角形面积公式，考查三角函数中同角三角函数关系、诱导公式、两角和与差三角函数公式、二倍角公式在恒等变形中的应用，考查数形结合思想、等价转换思想在解题中的应用．【命题规律】解三角形是高考的必考内容，重点是正余弦定理和三角形面积公式，考题灵活多样，选择题、填空题和解答题都有可能考到，难度中等偏下．考查方向首先是确定研究对象：为某一三角形，其次会利用正余弦定理和三角形面积公式进行有效的边角转换，最后根据范围及隐含条件确定解的取值．【答题模板】解答本类题目，以2017年试题为例，一般考虑如下三步：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向． 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化． 第三步：求结果． 【方法总结】1．三角形中判断边、角关系的具体方法： (1)通过正弦定理实施边角转换； (2)通过余弦定理实施边角转换； (3)通过三角变换找出角之间的关系；(4)通过三角函数值符号的判断以及正、余弦函数的有界性进行讨论；(5)若涉及两个(或两个以上)三角形，这时需作出这些三角形，先解条件多的三角形，再逐步求出其他三角形的边和角，其中往往用到三角形内角和定理，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)求解．2．三角形的有关性质在解三角形问题中起着重要的作用，如利用“三角形的内角和等于π”和诱导公式可得到sin(A ＋B )＝sin C ，sinA ＋B2＝cos C2等，利用“大边对大角”可以解决解三角形中的增解问题，如：在斜三角形中，用正弦定理求角时，若已知小角求大角，则有两解；若已知大角求小角，则只有一解，注意确定解的个数3．如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．已知两角和一边或两边及夹角，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性4．三角函数考题大致可以分为以下几类：与三角函数单调性有关的问题，应用同角变换和诱导公式求值、化简、证明的问题，与周期性、对称性有关的问题，解三角形及其应用问题等．其中解三角形可能会放在测量、航海等实际问题中去考查（常以解答题的形式出现）．主要通过给定条件进行画图，利用数形结合的思想，找准需要研究的三角形，利用正弦、余弦定理进行解题．5．高考中经常将三角变换与解三角形知识综合起来命题，期中关键是三角变换，而三角变换中主要是“变角、变函数名和变运算形式”，其中的核心是“变角”，即注意角之间的结构差异，弥补这种结构差异的依据就是三角公式．6．高考解答题对三角三角函数的考查主要以三角恒等变形，三角函数的图象和性质，利用正余弦定理解三角形为主，难度中等，因此只要掌握基本的解题方法与技巧即可，在三角函数求值问题中，一般运用恒等变换，将未知角变换为已知角求解，在研究三角函数的图象和性质问题时，一般先运用三角恒等变形，将表达式转化为一个角的三角函数的形式求解，对于三角函数与解三角形相结合的题目，要注意通过正余弦定理以及面积公式实现边角互化，求出相关的边和角的大小．7．正、余弦定理是应用极为广泛的两个定理，它将三角形的边和角有机地联系起来，从而使三角与几何产生联系，为求与三角形有关的量(如面积、外接圆、内切圆半径和面积等)提供了理论依据，也是判断三角形形状、证明三角形中有关等式的重要依据．其主要方法有：化角法，化边法，面积法，运用初等几何法．注意体会其中蕴涵的函数与方程思想、等价转化思想及分类讨论思想．8．三角函数的起源是三角形，所以经常会联系到三角形，这类型题是在三角形这个载体上的三角变换，第一：既然是三角形问题，就会用到三角形内角和定理和正、余弦定理以及相关三角形理论，及时边角转换，可以帮助发现问题解决思路；第二：它也是一种三角变换，只不过角的范围缩小了，因此常见的三角变换方法和原则都是适用的．9．解三角形问题不是孤立的，而是跟其他相关知识紧密联系在一起，通过向量的工具作用，将条件集中到三角形中，然后利用三角恒等变换、正弦定理和余弦定理及其相关知识解题，是常见的解题思路，为此，熟练掌握向量的基本概念和向量的运算，熟练进行三角变换和熟练运用正弦定理以及余弦定理是解题的关键．10． （1）在解决三角形的问题中，面积公式B ac A bc C ab S sin 21sin 21sin 21===最常用，因为公式中既有边又有角，容易和正弦定理、余弦定理联系起来；（2）在三角形中，知道两边和一角，该三角形是确定的，其解是唯一的，利用余弦定理求第三边． （3）若是已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据大边对大角进行判断． （4）在三角形中，注意π=++C B A 这个隐含条件的使用，在求范围时，注意根据题中条件限制角的范围．1．【2017湖南娄底二模】在ABC 中，角A ， B ， C 的对边分别是，，，已知b = 5c =，且2B C =，点D 为边BC 上一点，且3CD =，则ADC 的面积为__________． 【答案】6【解析】由正弦定理得5sin sin 2sin cos C B C C ==，可得c o s C =，从而1362ABC S ∆=⨯⨯=2．【2017重庆二诊】设ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若ABC ∆222，则C =_______． 【答案】30︒3．【2017北京丰台5月综合测试】在ABC 中，角A ，B ，C 对应的边长分别是a ，b ，c ，且sin cos B b A =，则角A 的大小为________．【答案】π6【解析】因为sin cos B b A =，由正弦定理得sin sin cos A B B A =，显然sin 0B ≠，所以tan A =6A π=．点睛：在解三角形中，正弦定理与余弦定理都涉及到边角关系，因此解三角形时可能有两个方向的转化，一是化“角”为“边”，一是化“边”为“角”，关键是看要求的是什么，还有转换后再变形时的难易程度．本题由正弦定理化边为角后，可直接得出A 的正切值，从而易求得A 角．4．【2017安徽马鞍山三模】在锐角ABC ∆中，内角A ， B ， C 的对边分别为，，，且()()()sin sin sin sin c b C B a A B +-=-．若c =22a b +的取值范围是___．【答案】(]20,24【点睛】本题考查了三角恒等变换和利用正弦定理解三角形，考查了转化与化归的能力，以及计算和变形能力，本题的一个难点是如何表示22a b +，如果使用余弦定理和基本不等式只能得到一边的范围，所以这个题比较好的方法是利用正弦定理，用角表示边，这样转化为利用三角函数的有界性求取值范围．5．【2017陕西汉中二模】在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且bsinA = （1）求角B 的大小（2）若b ＝3，sinC=2sinA ，求a 、c 的值及△ABC 的面积【答案】（1）3B π=（2【解析】【试题分析】（１）依据题设运用正弦定理及同角关系求解；（２）借助正弦定理及余弦定理求出边长，再运用三角形的面积公式求解：(1) 由bsinA =及正弦定理得sinBsinA =sin 0A ≠ tan sinB B ∴=⇒=，而()0,B π∈故3B π=(2) 由sinC=2sinA 及sin sin a b A B=得c=2a ①． 又b ＝3由余弦定理2222cos b a c ac B =+- 得229a c ac =+- ②由①②得a c ==∴△ABC 的面积1sin 2S ac B ==6．【2017福建4月质检】ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ， 2cos 2b C c a -=． （1）求B 的大小；（2）若3a =，且AC 边上的中线长为2，求的值． 【答案】（1）23B π=；（2）5c =．因为()0,B π∈，所以23B π=． （2）由（1）得， 222239b a c ac c c =++=++，①又因为在ABC ∆中， 222cos 2a b c C ab+-=，取AC 中点D ，连结BD ．因为3,a BD ==， 在CBD ∆中， 222221944cos 2?b a BC CD BD C BC CD ab+-+-==， 所以2221992944b b c ⎛⎫+-=+- ⎪⎝⎭，② 把①代入②，化简得23100c c --=， 解得5c =，或2c =-（舍去），所以5c =．点睛：考察解三角形，要注意运用正余弦定理得边化角和角化边7．【2017四川资阳4月模拟】在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知21sin sin sin 24B C B C -+=． (Ⅰ) 求角A 的大小；(Ⅱ) 若a =ABC ∆b c +的值． 【答案】（Ⅰ）2π3A =（Ⅱ）3试题解析： （Ⅰ）由已知得()1cos 1sin sin 24B C B C --+=， 化简得1cos cos sin sin 1sin sin 24B C B C B C --+=，整理得1cos cos sin sin 2B C B C -=，即()1cos 2B C +=，由于0πB C <+<，则π3B C +=，所以2π3A =．（Ⅱ）因为11sin 2222ABC S bc A bc ∆==⨯=，所以2bc =．根据余弦定理得()2222222π2cos3b c bc b c bc b c bc =+-⋅=++=+-， 即()272b c =+-，所以b ＋c ＝3．8．【2017福建漳州5月质检】ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，其中b c ≠，且cos cos b B c C =，延长线段BC 到点D ，使得4430BC CD CAD ==∠=︒，．（Ⅰ）求证： BAC ∠是直角； （Ⅱ）求tan D ∠的值．【答案】(1)详见解析；（2）2【解析】 证明：（Ⅱ）设,1,4ADC CD BC α∠===，在ABC ∆中，因为90,30BAC ACB α∠=︒∠=︒+，所以()cos 30=ACBC α︒+，所以()4cos 30AC α=︒+． 在ABC ∆中， sin sin AC CD CAD α=∠，即1=21sin 2AC α=， 所以2sin AC α=， 所以()cos 30=2sin αα︒+，即12sin sin 2ααα⎫-=⎪⎪⎝⎭2sin αα=，所以tan α=，即tan ADC ∠=． 9．【2017河北唐山三模】在ABC 中，角A ， B ， C 所对应的边分别为，，， cos a b b C -=． （1）求证： sin tan C B =； （2）若1a =， 2b =，求． 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）（Ⅱ）由cos a b b C -=，且1a =， 2b =，得1cos 2C =-， 由余弦定理， 22212cos 1421272c a b ab C ⎛⎫=+-=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，所以c =10．【2017河北五邑三模】如图，在ABC ∆中， 4B π=，角A 的平分线AD 交BC 于点D ，设,sin 5BAD αα∠==． （1）求sin C ； （2）若·28BA BC =，求AC 的长．【答案】（1（2）5AC =（2）由正弦定理，得sin sin AB BC C BAC =∠45BC =，∴8AB BC =， 又·28BA BC =，∴28AB BC =，由上两式解得BC = 又由sin sin AC BC B BAC =∠45BC =，∴5AC =．。

2017高考解三角形汇总1. （2017全国│文，11）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知sin B+sin A （sin C ―cosC ）=0,a =2, c=√2, 则C=A.π12B. π6C. π4D. π32. （2017全国Ⅱ文，16）△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若2b cosB=a cosC+c cosA,则B=3. （2017全国Ⅲ文，15）△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,，已知3,6,600===c b C ，则=A ________4. （2017山东文，17）△ABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知b=3，AB⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−6,S △ABC =3,求A 和a 。

5. （2017山东理，9）锐角△ABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且sinB(1+2cosC)=2sinAcosC+cosAsinC,则下列成立的是（）A.a=2bB.b=2aC.A=2BD.B=2A6. （2017浙江文（理），14）已知△ABC ，AB =AC =4，BC =2． 点D 为AB 延长线上一点，BD =2，连结CD ，则△BDC 的面积是______，cos ∠BDC =_______．7. （2017全国│理，17）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为23sin a A（1）求sin B sin C ;（2）若6cos B cos C =1,a =3,求△ABC 的周长8. （2017全国Ⅱ理，17）ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知2sin()8sin 2B AC +=． (1)求cos B(2)若6a c += , ABC ∆面积为2,求.b9. （2017全国Ⅲ理，17）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin A cos A =0，a ,b =2.（1）求c ；（2）设D 为BC 边上一点，且AD ⊥ AC,求△ABD 的面积.10. （2017北京理，15）在△ABC 中， =60°，c = 37a . （Ⅰ）求sin C 的值；（Ⅱ）若a =7,求△ABC 的面积.11. （2017天津理，15）在中，内角所对的边分别为.已知，，. （Ⅰ）求和的值； （Ⅱ）求的值.12. （2017天津文，15）在中，内角所对的边分别为.已知，.（I ）求的值； （II ）求的值. A ∠。

一、填空题1. 【2016高考冲刺卷（9）【江苏卷】】已知()23tantan 1,sin 3sin 222ααβαβ+==+，则()tan αβ+=2. 【2016高考冲刺卷（7）【江苏卷】】直线3=y 与曲线)0(sin 2>=ωωx y 相距最近的两个交点间距离为6π，则x y ωsin 2=的最小正周期为 ． 【答案】π【解析】由直线3=y 与曲线)0(sin 2>=ωωx y得23233sin ,2336x x T ππππωωπωπω-==∴=∴=∴= 3. 【2016高考冲刺卷（6）【江苏卷】】已知θ是第三象限角，且52cos 2sin -=-θθ，则=+θθcos sin【答案】2531-【解析】法一：由平方关系得1cos )52cos 2(22=+-θθ，且0cos <θ，解之得257cos -=θ从而2524sin -=θ，故2531cos sin -=+θθ 法二：设t =+θθcos sin ，则与52cos 2sin -=-θθ联立得15232sin -=t θ， 15231cos +=t θ，由平方关系式得1)15231()15232(22=++-t t ，因θ是第三象限角，故0<t ，解之得2531-=t ，即2531cos sin -=+θθ法三：由52cos 2sin -=-θθ得552)sin(-=-ϕθ，其中51cos =ϕ，52sin =ϕ 因θ是第三象限角，故5511)cos(-=-ϕθ，从而2524)sin(sin -=+-=ϕϕθθ，同理257cos -=θ，从而2531cos sin -=+θθ 4. 【2016高考冲刺卷（5）【江苏卷】】已知312sin =α，则⎪⎭⎫ ⎝⎛-4cos 2πα=_____▲____．【答案】32【解析】2cos[2()]1cos(2)1sin 21242cos 42223ππααπαα-+-++⎛⎫-==== ⎪⎝⎭． 5. 【2016高考冲刺卷（3）【江苏卷】】将函数()sin(),(0,)22f x x ππωϕωϕ=+>-<<图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移4π个单位长度得到sin y x =的图象，则()6f π= ．6. 【2016高考冲刺卷（1）【江苏卷】】若α、β均为锐角，且1cos 17α=，47cos()51αβ+=-，则cos β= ．【答案】13【解析】由于αβ、都是锐角，所以αβ+∈(0,)π，又1cos 17α=，47cos()51αβ+=-，所以122sin 17α=，142sin()51αβ+=，cos cos[()]βαβα=+-cos()cos sin()sin αβααβα=+++4715117=-⨯+ 1421225117⨯13=． 7. 【江苏省苏中三市（南通、扬州、泰州）2016届高三第二次调研测试数学试题】若将函数)4sin(πω+=x y 的图象向左平移6π个单位长度后，与函数)4cos(πω+=x y 的图象重合，则正数ω的最小值为_____________.8. 【江苏省南京市2016届高三年级第三次学情调研适应性测试数学】将函数f (x )＝sin(2x＋θ) ()22ππθ-<<的图象向右平移φ(0＜φ＜π)个单位长度后得到函数g (x )的图象，若f (x )，g (x )的图象都经过点3P ，则φ的值为 ▲ ．【答案】56π【解析】试题分析：由题意得： ()sin(22)g x x ϕθ=-+，因此33sin 2)θθϕ=-=，因为22ππθ-<<，所以3πθ=，因为0ϕπ<<，所以452,.336πππϕϕ-=-= 9. 【2016高考冲刺卷（2）【江苏卷】】已知函数f (x )＝|sin |x －kx (x ≥0，k ∈R )有且只有三个零点，设此三个零点中的最大值为0x ，则0200(1)sin 2x x x +＝ ▲ ． 【答案】12【解析】试题分析：由题意得y kx =与sin ,(,2)y x x ππ=-∈相切，切点为00(,sin )x x -，由导数几何意义得0cos k x =-，因此00000000sin sin cos sin cos x kx x x x x x x =-⇒-⋅=-⇒=，即00220000020sin cos 1.sin (1)sin 22(1)2sin cos cos x x x x x x x x x ==++10. 【2016高考押题卷（3）【江苏卷】】已知函数b a x b x a x f ,(cos sin )(+=为常数，且R x a ∈≠,0），若函数)4(π+=x f y 是偶函数，则)4(π-f 的值为 ．11. 【2016高考押题卷（3）【江苏卷】】设α为锐角，若31)6sin(=-πα，则αcos 的值为 ． 【答案】6162-． 【解析】因20πα<<且31)6sin(=-πα，故366ππαπ<-<-， 所以322)31(1)6cos(2=-=-πα，而]6)6cos[(cos ππαα+-=， 故61622131233226sin)6sin(6cos)6cos(cos -=⨯-⨯=---=ππαππαα 12. 【2016高考押题卷（3）【江苏卷】】如图，在平面四边形ABCD 中，若090,2,2,1=∠===ACD DC AD BC AB ，则对角线BD 的最大值为 ．【答案】3．【解析】设t DC =，则t AC =，在ABC ∆中，由余弦定理得22cos A 2222CB t t∠==，则22224242228(3)182161sin A 1()8222222t t t t t t t CB t t t t--+----+-∠=-===． 在DBC ∆中，由由余弦定理得220222cos(90)DB t t ACB =+-∠+2222222sin 28(3)t t ACB t t =++∠=++--，即2222)3(82--++=t t DB ，不妨设)20(cos 2232πθθ<<=-t ，则222(sin cos )5DB θθ=++54sin()4πθ=++，所以当4πθ=时，9max2=DB，即对角线BD 的最大值为3．13. 【2016高考押题卷（1）【江苏卷】】将函数()3cos sin y x x x =+?¡的图像向左平移()0m m >个单位长度后，所得的图像关于y 轴对称，则m 的最小值是_______.14. 【2016年第四次全国大联考【江苏卷】】已知sin 2cos αα+=，那么tan2α的值为_______.【答案】34-【解析】由sin 2cos αα+=平方得225sin +4sin cos +4cos ,2αααα=因此1cos21cos25+2sin 2+4,222ααα-+⨯=即3cos22sin 2+02αα=,即3tan 2.4α=- 15. 【2016年第三次全国大联考【江苏卷】】已知]4,4[ππθ-∈，且314cos -=θ，则=--+)4(sin )4(sin 44πθπθ ．【答案】36±【解析】由条件得3112cos 22-=-θ，又]4,4[ππθ-∈，得]2,2[2ππθ-∈，于是312cos =θ， 原式==+-+)4(cos )4(sin 44πθπθ)4(cos )4(sin 22πθπθ+-+θπθ2sin )4(2cos =+-=36±=. 16. 【 2016年第二次全国大联考（江苏卷）】已知1sin tan(),(,)72ααβαπ=+=∈π，那么tan β的值为_______. 【答案】3【解析】由sin (,)2ααπ=∈π得cos tan 2αα==-，因此127tan tan() 3.21()7βαβα+=+-==+-二、解答题1. 【 2016年第二次全国大联考（江苏卷）】（本小题满分14分）在ABC △中，角CB A 、、分别是边c b a 、、的对角，且b a 23=，（Ⅰ）若ο60=B ，求C sin 的值； （Ⅱ）若2cos 3C=，求sin()A B -的值．所以5sin()cos 3c A B A b -=-=-=- .......14分 2. 【 2016年第二次全国大联考（江苏卷）】（本小题满分16分）如图，290,,3OC km AOB OCD πθ=∠=∠=,点O 处为一雷达站，测控范围为一个圆形区域（含边界），雷达开机时测控半径r 随时间t 变化函数为3r t tkm =，且半径增大到81km 时不再变化．一架无人侦察机从C 点处开始沿CD 方向飞行,其飞行速度为15/min km ．(Ⅰ) 当无人侦察机在CD 上飞行t 分钟至点E 时，试用t 和θ表示无人侦察机到O 点的距离OE ；（Ⅱ）若无人侦察机在C 点处雷达就开始开机，且4πθ=，则雷达是否能测控到无人侦察机？请说明理由.则无人侦察机在CD 上飞行总时间为(45326923615=而3819r t t ==⇒=，OC DEABθ（Ⅱ） 雷达不能测控到无人侦察机。

2017年高三模拟理数试题专题之相似三角形含解析一、选择题(本大题共14小题，共70.0分)1.如图，在矩形ABCD中，AD=6，AE⊥BD，垂足为E，ED=3BE，点P，Q分别在BD，AD上，则AP+PQ的最小值为（）A. B. C. D.2.如图所示，在直角梯形ABCD中，AB=7，AD=2，BC=3．如果AB边上的点P使得以P，A，D为顶点的三角形和以P，B，C为顶点的三角形相似，那么这样的点P有（）A.1个B.2个C.3个D.2个3.如图所示，在▱ABCD中，E为CD上一点，DE：CE=2：3，连接AE，BE，BD，且AE，BD交与点F，则S△DEF：S△EBF：S△ABF等于（）A.4：10：25B.4：9：25C.2：3：5D.2：5：254.若三角形的三条边之比为3：5：7，与它相似的三角形的最长边为21cm，则其余两边的长度之和为（）A.24cmB.21cmC.19cmD.9cm5.在△ABC中，∠BAC=90°，AD是BC边上的高，则相似三角形共有（）A.0对B.1对C.2对D.3对6.如图所示，在△ABC中，M在BC上，N在AM上，CM=CN，且=，下列结论中正确的是（）A.△ABM∽△ACBB.△ANC∽△AMBC.△ANC∽△ACMD.△CMN∽△BCA7.如图所示，给出下列条件：①∠B=∠ACD；②∠ADC=∠ACB；③=；④AC2=AD•AB．其中能够单独判定△ABC∽△ACD的个数为（）A.1B.2C.3D.48.如图所示，AB∥CD∥EF，且AO=OD=DF，BC=6，则BE等于（）A.9B.10C.11D.129.在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，DE：EC=2：3，连接AE、BE、BD，且AE、BD交于点F，则S△DEF：S△EBF：S△ABF=（）A.4：10：25B.4：9：25C.2：3：5D.2：5：2510.如图所示，圆内接四边形ABCD的一组对边AD，BC的延长线相交于点P，对角线AC，BD相交于点Q，则图中相似三角形共有（）A.4对 B.2对 C.5对 D.3对11.如图所示，P为△ABC内一点，且满足△ABC∽△CPB，∠ABC=∠CPB=90°，，BC=2，则PA=（）A.7B.C.D.12.如图，在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，AD平分∠BAC，则BD的值为（）A. B. C. D.13.如图，已知=，DE∥BC，则等于（）A. B. C. D.14.如图所示，l1∥l2∥l3，下列比例式正确的是（）A.=B.=C.=D.=二、填空题(本大题共12小题，共60.0分)15.如图，点P是▱ABCD边AB上的一点，射线CP交DA的延长线于点E，若=，则= ______ ．16.如图，在△ABC中，AE：EB=1：3，则的值为BD：DC=2：1，AD与CE相交于点F，______ ．17.若两个相似的三角形的对应高度的比为2：3，且周长的18.在△ABC中，D是AB的中点，过点D作DE∥BC，交AC于点E，若DE=4，则BC= ______ ．19.如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥CD，且AB=2，AD=，则AF=______ ．20.如图，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，CB⊥AB，AB=AD=a，CD=，点E，F分别为线段AB，AD的中点，则EF= ______ ．21.如图D在AB上，DE∥BC，DF∥AC，AE=4，EC=2，BC=8．则CF= ______ ．22.如图，已知O为△ABC的重心，∠BOC=90°，若4BC2=AB•AC，则A的大小为______ ．23.在△ABC中，，B=60°，BC边上的高，则BC= ______ ．24.如图，在同一地平面上，有一枝竖直地面的竹杆AB和球O，竹杆的长度和球的直径都是3米，一束太阳光照到竹杆AB留下背影AC长为4米，则该太阳光同时照到球O留下背影DE长为______ 米．25.如图所示，在四边形ABCB'中，△ABC≌△AB'C，AB⊥AB'，cos∠BCB'=，BC=2，则△BCB'外接圆的面积为______ ．26.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC∥EF，E是AB的中点，F是CD的中点，EF交BD于G，交AC于H，若AD=5，BC=8，则GH= ______ ．三、解答题(本大题共18小题，共216.0分)27.已知正方形ABCD中，点E在BC上，连接AE，过点B作BF⊥AE于点G，交CD 于点F．（1）如图1，连接AF，若AB=4，BE=1，求AF的长；（2）如图2，连接BD，交AE于点N，连接AC，分别交BD、BF于点O、M，连接GO，求证：GO平分∠AGF；（3）如图3，在第（2）问的条件下，连接CG，若CG⊥GO，求证：AG=CG．28.如图，在△ABC中，∠CAB=45°，∠CBA=30°，CD⊥AB，DE⊥AC，DF⊥BC．（1）证明：A，E，F，B四点共圆；（2）求的值．29.如图所示，D为△ABC中边BC上的一点，∠CAD=∠B，若AD=6，AB=8，BD=7，求DC的长．30.如图，已知BE∥CF∥DG，AB：BC：CD=1：2；3，CF=12cm，求BE，DG的长．31.已知：如图所示，AB∥CD，OD2=BO•OE．求证：AD∥CE32.如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD平分∠BAC交BC于D，交△ABC的外接圆于E．（1）求证：；（2）若AB=3，AC=2，BD=1，求AD的长．33.如图，已知锐角△ABC的面积为1，正方形DEFG是△ABC的一个内接三角形，DG∥BC，求正方形DEFG面积的最大值．34.如图，梯形ABCD中，AD∥BC，EF是中位线，BD交EF于P，已知EP：PF=1：2，AD=7cm，求BC的长．35.如图，平行四边形ABCD中，AE：EB=1：2，△AEF的面积为6，求△ADF的面积．36.如图，过点P作圆O的割线PBA与切线PE，E为切点，连接AE，BE，∠APE的平分线与AE，BE分别交于点C，D．（1）求证：=；（2）若∠PCE=2∠AEB，求∠PDB的大小．37.如图所示，已知AB是⊙O的直径，C为圆上任意一点，过C的切线分别与过A，B两点的切线交于P，Q．求证：AB2=4AP•BQ．38.已知点P是圆O外的一点，过P作圆O的切线PA，PB，切点为A，B，过P作一割线交圆O于点E，F，若2PA=PF，取PF的中点D，连接AD，并延长交圆于H．（1）求证：O，A，P，B四点共圆；（2）求证：PB2=2AD•DH．39.如图所示，AB为圆O的直径，BC为圆O的切线，连接OC，D为圆O上一点，且AD∥OC．（1）求证：CO平分∠DCB；（2）已知AD•OC=8，求圆O的半径．40.如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．求证：AE•AB=AF•AC．41.已知△ABC中，AB=AC，以点B为圆心，以BC为半径的圆分别交AB，AC于D，E两点，且EF为该圆的直径．（1）求证：∠A=2∠F；（2）若AE=EC=1，求BC的长．42.图，P是O一点PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相点，C，PC=2P，D为中，AD的延长线交⊙OE，证明：A•DE2PB2．43.已知点P是O的一点，过P作O的线A，PB切为A，，过P作一割线交圆O于点EF，若PA=PF取PF的中点，接AD，并延长交于．证：PB2AD•DH．44.如图（1）所示，小明将一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片如图（2）所示，量得三角形纸片的斜边长为10cm，较小锐角为30°，再将这两张三角形纸片摆成如图（3）所示的形状．最后将图（3）中的△ABF绕直线AF翻转180°得到△AB1F，AB1交DE于点H，如图（4）所示，请你帮小明证明：AH=DH．【答案】1.D2.C3.A4.A5.D6.B7.C8.A9.A 10.A 11.C 12.B 13.C 14.D15.16.17.20cm，30cm18.819.120.21.22.23.1或224.25.8π26.27.（1）解：∵四边形ABCD是正方形，∴BC=CD=AD=AB=4，∠ABE=∠C=∠D=90°，AC⊥BD，∠ABO=45°，∴∠ABG+∠CBF=90°，∵BF⊥AE，∴∠ABG+∠BAE=90°，∴∠BAE=∠CBF，在△BCF和△ABE中，，∴△BCF≌△ABE（ASA），∴CF=BE=1，∴DF=CD=CF=3，∴AF==5；（2）证明：∵AC⊥BD，BF⊥AE，∴∠AOB=∠AGB=∠AGF=90°，∴A、B、G、O四点共圆，∴∠AGO=∠ABO=45°，∴∠FGO=90°-45°=45°=∠AGO，∴GO平分∠AGF；（3）证明：连接EF，如图所示：∵CG⊥GO，∴∠OGC=90°，∴C、E、G、F四点共圆，∴∠EFC=∠EGC=180°-90°-45°=45°，∴△CEF是等腰直角三角形，∴CE=CF，同（1）得：△BCF≌△ABE，∴CF=BE，∴CE=BE=BC，∴OA=AC=BC=CE，由（1）得：A、B、G、O四点共圆，∴∠BOG=∠BAE，∵∠GEC=90°+∠BAE，∠GOA=90°+∠BOG，∴∠GOA=∠GEC，又∵∠EGC=∠AGO=45°，∴△AOG∽△CEG，∴==，∴AG=CG．28.（1）证明：∵CD⊥AB，DE⊥AC，∴∠A=∠CDE，又∵DF⊥BC，∴∠CED=∠CFD=90°，则C、E、D、F四点共圆，所以∠CDE=∠CFE，∴∠A=∠CFE，故∠A+∠EFB=180°，A、E、F、B四点共圆；（2）解：由△CEF～△ACB得，．29.解：∵∠C=∠C，∠CAD=∠B∴△CAD∽△CBA∴，∴．设CD=x，则解得x=9，∴CD=9．30.解∵BE∥CF，∴，∵AB：BC=1：2，∴AE：AF=1：3．∵CF=12cm，∴BE=12×=4（cm）．∵CF∥DG，∴．∴=．∴DG=•CF=24（cm）．31.证明：∵AB∥CD，∴．∵OD2=OB•OE，∴．∴．∴AD∥CE．32.（1）证明：如图，过D作DM∥AB交AC于M，连接BE．∴又∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，又DM∥AB，∴∠BAD=∠ADM，∴∠CAD=∠ADM．∴AM=MD．∴，由①②知…（5分）（2）解：∵AD•DE=BD•DC，又，∵△ADC∽△ABE．∴，∴AD•AE=AB•AC，∴AD•（AD+DE）=AB•AC，∴，∴…（10分）33.解：过点A作AN⊥BC交DG于点M，交BC于点N，设AN=h，DE=x=MN=DG，∴BC•h=1，∵DG∥BC，∴△ADG∽△ABC，故，即，∴h2x-2h+2x=0，由根的判别式可得，即正方形最大面积为．34.解：∵EF是梯形中位线，得EF∥AD∥BC，∴．∵PE：PF=1：2，∴BC=2PF=14cm．35.解：由题意可得△AEF∽△CDF，且相似比为1：3，由△AEF的面积为6，得△CDF的面积为54．则△PED∽△PAC，则=①，又PD平分∠BPE，∴=②，∵PE2=PA•PB，∴①×②可得：=（5分）（2）解：∠PCE=∠A+∠APC=∠PED+∠EPC=∠EDC=∠PDB，∴∠PCE+∠AEB+∠EDC=180°，∴∠AEB=36°，∴∠PDB=72°．（10分）37.证明：如图所示，过P作BQ的垂线PD，垂足为D．∵AP，BQ，PQ切⊙O于A，B，C，∴∠A=∠B=90°，AP=PC，CQ=BQ．∴四边形ABDP为矩形，PQ=AP+BQ，AP=BD，AB=PD．在R t△PQD中，利用勾股定理得：PQ2=PD2+QD2，∴（AP+BQ）2=AB2+（BQ-AP）2．∴AB2=4AP•BQ．38.证明：（1）连接OA，OB，∵PA，PB为圆O的切线，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠PAO+∠PBO=180°，∴O，A，P，B四点共圆；（2）由切割线定理可得PA2=PE•PF，∵PF=2PA，∴PA2=PE•2PA，∴PA=2PE，∴PE=ED=PA，由相交弦定理可得AD•DH=ED•DF，∴AD•DH=PA2，∵PB=PA，∴PB2=2AD•DH．39.证明：（1）连接OD，BD，AB是直径，所以：AB⊥BD，OC⊥BD．…（1分）AD∥OC，所以：∠BOE=∠DOE设BD∩OC=E，且OD=OB，OE=OE，所以：△BOE≌△DOE，则：BE=DE，BD⊥OC，所以：CO平分∠DCB．（2）由于：AO=OD，所以：∠OAD=∠ODA，则：∠OAD=∠DOC，…（7分）所以：R t△BDA∽R t△CDO，所以：AD•OC=AB•OD=2OD2=8所以所求的圆的半径为2．40.证明：∵AD⊥BC，∴△ADB为直角三角形，又∵DE⊥AB，由射影定理知，AD2=AE•AB．同理可得AD2=AF•AC，∴AE•AB=AF•AC．41.解：（1）因为AC=AB，所以∠ABC=∠ACB，又因为BC=BE，所以∠BEC=∠ECB，所以∠BEC=∠ABC，所以∠A=∠EBC=2∠F．（5分）（2）由（1）可知△ABC∽△BEC，从而，由AE=1，EC=2，AC=3，得．（10分）42.∵AD•E=BDDC，∵PA切线，A为切点割PBC与相交于点B，C，∴PD=2B，∴E是的中，∴∠PAD=∠A，∴BDDC=B2PB，∵PC=2A，∴O⊥BC，∴EA+∠CE=∠OAE∠PA=90°，∴PA2=P•C，∴PA=P，证明：连接OE，A，则OAE=∠OEA，∠A90，BE=EC；∴AD•DE=2B．43.∴PA2P•2PA，∴OA⊥AOB⊥PB，∴A•DH=PA，O，A，P，B四点共；∵PB=A，∵，PB为圆O的切线，∴∠PO+∠PBO=1°，切线理可得PA2=PE•PF，相交弦理可得A•DH=E•DF，证明：接OAOB，∴P22AD•DH．44.证明：△AHE与△DHB1中，∵∠FAB1=∠EDF=30°，∴FD=FA，EF=FB=FB1，∴FD-FB1=FA-FE，即AE=DB1，又∵∠AHE=∠DHB1，∴△AHE≌△DHB1（AAS），1. 解：设BE=x，则DE=3x，∵四边形ABCD为矩形，且AE⊥BD，∴△ABE∽△DAE，∴AE2=BE•DE，即AE2=3x2，∴AE=x，在R t△ADE中，由勾股定理可得AD2=AE2+DE2，即，解得x=，∴AE=3，DE=，如图，设A点关于BD的对称点为A′，连接A′D，PA′，则A′A=2AE=6=AD，AD=A′D=6，∴△AA′D是等边三角形，∵PA=PA′，∴当A′、P、Q三点在一条线上时，A′P+PQ最小，又垂线段最短可知当PQ⊥AD时，A′P+PQ最小，∴AP+PQ=A′P+PQ=A′Q=DE=，故选D．在R t△ABE中，利用三角形相似可求得AE、DE的长，设A点关于BD的对称点A′，连接A′D，可证明△ADA′为等边三角形，当PQ⊥AD时，则PQ最小，所以当A′Q⊥AD 时AP+PQ最小，从而可求得AP+PQ的最小值等于DE的长，可得出答案..本题主要考查轴对称的应用，利用最小值的常规解法确定出A的对称点，从而确定出AP+PQ的最小值的位置是解题的关键，利用条件证明△A′DA是等边三角形，借助几何图形的性质可以减少复杂的计算．2. 解：①当△DAP∽△CBP时，AD：AP=BC：BP，将已知代入得AP=；②当△DAP∽△PBC时，AD：AP=PB：BC，将已知代入得AP=1或AP=6所以这样的点有3个．故选C．分两种情况进行分析，△DAP∽△CBP或△DAP∽△PBC，从而可求得点P的个数．此题主要考查相似三角形的判定及梯形的性质的综合运用．3. 解：由题意得△DFE∽△BFA∴DE：AB=2：5，DF：FB=2：3∴S△DEF：S△EBF：S△ABF=4：10：25．故选A．根据已知可得到相似三角形，从而可得到其相似比，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方就可得到答案．本题用到的知识点为：相似三角形的面积比等于相似比的平方，同高的三角形的面积之比等于底的比．4. 解：设其余两边的长分别是xcm，ycm，由题意得x：y：21=3：5：7，根据相似三角形对应边的比相等解答即可．本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形对应边的比相等是解题的关键．5. 解：如图所示，△ACD∽△BAD，△ACD∽△BCA，△ABD∽△CBA，共有3对．故选D．利用直角三角形的性质及相似三角形的判定方法，可得结论．本题考查直角三角形的性质及相似三角形的判定方法，比较基础．6. 解：∵CM=CN，∴∠CNM=∠CMN．∵∠CNA=∠CMN+∠MCN，∠AMB=∠CNM+∠MCN，∴∠CNA=∠AMB．∵AM：AN=BM：CM，∴AM：AN=BM：CN，∴△ANC∽△AMB．故选B．证明AM：AN=BM：CN，∠CNM=∠CMN，即可得出结论．本题考查三角形相似的判定，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．7. 解：由于∠A公用，因此条件①∠B=∠ACD；②∠ADC=∠ACB；④AC2=AD•AB．都能够单独判定△ABC∽△ACD，故选：C．利用三角形相似的条件即可判断出结论．本题考查了三角形相似的条件，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8. 解：∵CD∥EF，OD=DF，∴OC=CE=OE=3，∵AB∥CD，AO=OD，∴OB=OD=3，∴BE=9，故选：A．根据平行线分线段成比例定理得到OC=CE=3，OB=OD=3，得到答案．本题考查平行线分线段成比例定理，灵活应用定理、找准对应关系是解题的关键．9. 解：由已知易得△DEF∽△BAF，且相似比为2：5故S△DEF：S△ABF=4：25而△BEA 与△BED有同底BE，高之比为2：5故S△BEA：S△BED=2：5即S△DEF+S△BEF：S△ABF+S△BEF=2：5由比例的性质可得：S△DEF：S△EBF：S△ABF=4：10：25故选A根据三角形相似的性质可以得到，面积之比等于相似比的平方，再结合同底三角形面积之比等于高之比，及比例的性质不难给出答案．相似的性质：线之比等比相似比，面积之比等于相似比的平方，体积之比等于相似比的立方．10. 解：∵∠DAQ=∠CBQ，∠BCQ=∠ADQ，∴△DAQ∽△CBQ，同理可得：△DCQ∽△ABQ，∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠PDC=∠PBA，∠PCD=∠PAB，∴△PCD∽△PAB，∵∠DPB=∠CPA（公共角），∠PBD=∠PAC（同弧所对的圆周角相等），根据圆周角定理，圆内接四边形的性质等知识，找出图中的相等角，然后根据相等角去找相似三角形．本题考查圆周角定理、相似三角形的判定、圆内接四边形等知识的应用能力．11. 解：由题意，∠CAB=∠BCP=30°，BP=1，∠ABP=30°，由余弦定理可得PA==．故选C．由题意，∠CAB=∠BCP=30°，BP=1，∠ABP=30°，由余弦定理可得PA．本题考查三角形相似的运用，考查特殊角的三角函数，考查余弦定理，属于中档题．12. 解：∵在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，AD平分∠BAC，∴根据内角平分线定理可知，∴=，∴BD==，故选：B．根据内角平分线定理可知，即可得出结论．本题考查内角平分线定理，考查学生的计算能力，比较基础．13. 解：∵=，∴=，∵DE∥BC，∴==，故选：C．由=，可得=，DE∥BC，根据平行线分线段成比例定理可得=，即可得出结论．本题考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键是找出对应线段．14. 解：∵直线l1∥l2∥l3，∴=，故A错误；=，故B错误；=，故C错误；=，故D正确；故选：D根据平行线分线段成比例定理得出相应的线段对应成比例，进而逐一判断四个答案的正误，可得答案．15. 解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，∴△AEP∽△CBP，∵=，∴=，则=（）2=．故答案为．由四边形ABCD是平行四边形，可证得△AEP∽△CBP，由=，推得=，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可证得结论．本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解决问题的关键．16. 解：作EG∥BC交AD于G，则有AE：EB=1：3，即AE：AB=1：4，得EG=BD=CD，∴EF：FC=EG：CD=1：2，作DH∥AB交CE于H，则DH=BE=AE，∴AF：FD=AE：DH=1，∴=+1=．故答案为．先过E作EG∥BC，交AD于G，再作DH∥BC交CE于H，由平行线分线段成比例定理的推论，再结合已知条件，可分别求出EF：FC和AF：AD的值，相加即可．本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等，解题时要注意比例式的变形．17. 解：∵两个相似三角形的相似比为2：3，∴它们的周长比为：2：3．∵周长的和为50cm，∴这两个相似三角形的周长分别为20cm，30cm．故答案为：20cm，30cm．根据相似三角形的性质：周长比等于相似比即可解得．此题主要考查相似三角形的性质：相似三角形的周长比等于相似比．18. 解：∵DE∥BC，D是AB的中点，D是AB的中点，∴DE=BC，∵DE=4，∴BC=8．故答案为8．由于DE∥BC，利用三角形中位线的性质，可得结论．此题主要考查的是角形中位线的性质，比较基础．19. 解：∵在△ABC中，DE∥BC，EF∥CD，且AB=2，AD=，∴=，∴AF===1．故答案为：1．由已知得△ADE∽△ABC，△AFE∽△ADC，从而=，由此能求出AF===1．本题考查三角形中线段长的求法，是基础题，解题时要注意相似三角形的性质的合理运用．20. 解：连接DE，∵四边形ABCD为直角梯形，AB=AD=a，CD=，CB⊥AB，点E，F分别为线段AB，AD的中点∴△AED为直角三角形．则EF是RT△AED斜边上的中线，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得，EF=DE=AB=．故答案为：要求EF的长，关键是关键是构造一个三角形，使EF位于该三角形，解三角形即可求解：连接DE，构造含有线段EF的直角三角形是解答本题的关键，由此可得，解决平面几何的求值和证明问题，辅助线的添加是基础．21. 解：∵DE∥BC，AE=4，EC=2，∴AD：DB=2：1，∵DF∥AC，∴CF：CB=AD：AB=2：3，∵BC=8，∴CF=．故答案为：．利用平行线分线段成比例定理，即可求得结论．本题考查平行线分线段成比例定理，考查学生的计算能力，比较基础．22. 解：cos A=，连接AO并且延长与BC相交于点D．设AD=m，∠ADB=α．则AB2=-2××mcosα，AC2=m2+-2m××cos（π-α），相加可得：AB2+AC2=2m2+．m2=（3OD）2==．又4BC2=AB•AC，∴cos A=，A∈（0，π）∴A=，故答案为：．利用余弦定理、直角三角形的性质、三角函数求值即可得出．本题考查了余弦定理、中线长定理、三角函数求值、直角三角形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．23. 解：∵B=60°，BC边上的高，∴AB=3在△ABC中，由余弦定理可得，AC2=AB2+BC2-2AB•BC cos B，把已知AC=，AB=3，B=60°代入可得，7=32+BC2-2×3×BC×，整理可得，BC2-3BC+2=0，∴BC=1或2．故答案为1或2．先求出AB，再在△ABC中，由余弦定理可得BC2-3BC+2=0，即可得出结论．本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，解答本题的关键是求出AB，属于基础试题．24. 解：如图示：，作OM⊥ME，DP⊥ME，OP⊥DN，由题意得：OD=，∠ODP=∠E=∠C，而sin C=，cos C=，∴DP=OD cos∠ODP=，∴DN=DP+PN=，∴DE===，故答案为：．本题考查了三角函数的性质，考查圆的性质，是一道中档题．25. 解：由题意，BB′2=28+28-2×=14，∴BB′=，∵cos∠BCB'=，∴sin∠BCB'=，∴2R==4，∴，∴△BCB'外接圆的面积为=8π，故答案为8π．利用余弦定理求出BB′，利用正弦定理求出△BCB'外接圆的半径，即可求出△BCB'外接圆的面积．本题考查△BCB'外接圆的面积，考查余弦定理，考查正弦定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．26. 解：梯形ABCD中，AD=5，BC=8，E是AB的中点，F是CD的中点，故EF是梯形ABCD的中位线，故EF=（AD+BC）=，∵AD∥BC∥EF，∴EG，FH分别是△ABD和△ACD的中位线，故EG=FH=AD=，故GH=EF-EG-FH=，故答案为：．根据梯形中位线等于两底和的一半，三角形中位线等于底边长的一半，分别求出EF，EG，HF的长度，可得GH的长．本题考查的知识点是平行线分线段成比例定理，三角形中位线定理，梯形中位线定理，难度中档．27.（1）由正方形的性质得出BC=CD=AD=AB=4，∠ABE=∠C=∠D=90°，AC⊥BD，∠ABO=45°，证出∠BAE=∠CBF，由ASA证明△BCF≌△ABE，得出CF=BE=1，因此DF=CD-CF=3，由勾股定理求出AF即可；（2）证明A、B、G、O四点共圆，由圆周角定理得出∠AGO=∠ABO=45°，求出∠FGO=453，即可得出结论；（3）连接EF，证明C、E、G、F四点共圆，由圆周角定理得出∠EFC=∠EGC=45°，证出△CEF是等腰直角三角形，CE=CF，同（1）得：△BCF≌△ABE，得出CF=BE，因此CE=BE=BC，得出OA=AC=CE，由（1）得：A、B、G、O四点共圆，由圆周角定理得出∠BOG=∠BAE，证出∠GOA=∠GEC，得出△AOG∽△CEG，由相似三角形的对应边成比例得出==，即可得出结论．本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、四点共圆、圆周角定理、等腰直角三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，本题综合性强，难度较大，特别是（3）中，需要证明四点共圆和三角形相似才能（1）证明：∠A+∠EFB=180°，即可证明A，E，F，B四点共圆；（2）由△CEF～△ACB得的值．本题考查四点共圆的证明，考查三角形相似性质的运用，属于中档题．29.两个角对应相等证明两个三角形相似，根据相似三角形的性质求出DC的长．本题关键是根据相似三角形的性质得出AC，BC关系，代入数据即可得出BC的长，从而得出DC的长．30.利用平行线分线段成比例，即可得出结论．本题考查平行线分线段成比例，考查学生的计算能力，比较基础．31.利用平行线的性质与判定，即可证明结论．本题考查平行线的性质与判定，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．32.（1）过D作DM∥AB交AC于M，连接BE，利用平行线的性质，结合三角形的角平分线性质，即可得证；（2）先求出DC，再利用三角形相似得出AD•（AD+DE）=AB•AC，即可求AD的长．本题考查平行线的性质，三角形的角平分线性质，考查三角形相似性质的运用，属于中档题．33.过点A作AN⊥BC交DG于点M，交BC于点N，设AN=h，DE=x=MN=DG，根据DG∥BC，再由△ADG∽△ABC即可求出x的表达式，由根的判别式可得，即可求正方形DEFG面积的最大值．本题考查的是相似三角形的判定与性质，根据题意构造出直角三角形是解答此题的关键．34.直接利用梯形中位线的性质以及利用三角形中位线的性质与判定得出即可．此题主要考查了梯形中位线的性质，正确运用梯形中位线的性质以及利用三角形中位线的性质是解题关键．35.根据题意，可得S△ADF∽S△CDF，根据相似的性质我们可知，面积比等于相似比的平方，我们可以求出两个三角形的相似比，易得到答案．在求三角形面积时，如果三角形的各边、角值未知，直接求三角形面积不易求出，可尝试利用相似的性质，面积比等于相似比的平方，寻找一个与未知三角形相关的三角形，间接的求未知三角形的面积．36.（1）由题意可知，∠EPC=∠APC，∠PEB=∠PAC，从而△PED∽△PAC，结合PD平分∠BPE，切割线定理，由此能证明=；（2）由∠PCE=∠A+∠APC=∠PED+∠EPC=∠EDC=∠PDB，能求出∠PDB的大小．本小题主要考查平面几何的证明，具体涉及到弦切角定理以及三角形相似等内容．本小题重点考查考生对平面几何推理能力．37.如图所示，过P作BQ的垂线PD，垂足为D，证明四边形ABDP为矩形，PQ=AP+BQ，本题考查圆中切线的性质，考查勾股定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．38.（1）利用对角互补，证明O，A，P，B四点共圆；（2）由切割线定理证明出PA=2PE，由相交弦定理可得AD•DH=ED•DF，即可证明：PB2=2AD•DH．本题考查的知识点是与圆相关的比例线段及圆内接四边形的判定，考查切割线定理、相交弦定理的运用，属于中档题．39.（1）首先利用三角形的全等的判定证明△BCD为等腰三角形，从而得出结论．（2）利用三角形的相似进一步得出线段成比例最后转化出结果．本题考查的知识要点：三角形全等和三角形相似的判定和性质的应用，平行线性质的应用．40.由AD⊥BC于D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，则射影定理我们易得AD2=AE•AB且AD2=AF•AC，根据等量代换思想易得答案．本题考查的知识点是直角三角形的射影定理，射影定理适用范围是“双垂直”，即直角三角形中又有斜边上的高．41.（1）利用等腰三角形以及圆周角与圆心角的关系，推出∠A=∠EBC=2∠F．（2）通过△ABC∽△BEC，直接求解即可．本题考查直线与圆的位置关系的应用，三角形相似的证明，考查计算能力．42.连接E，O，明OE⊥C，可得E 是的中，从而BE=C；利切割定理证明D=2PB，PBBD，合相弦定理可AD•E=2PB2．题考查与圆关的比例线段，考查割线定相弦定理，考查学分析解决问题的力，属于中题．43.利用互补，证明O，AP，B四点圆；切割线定理证明出P2PE，由交弦定理可得AD•=•DF，即可证：PB=2AD•DH．本题考查的知识点是与圆关的比线段及圆内接四边形的判定，查切割定理相定用，属于中档题．44.证明△AHE≌△DHB1，即可证明结论．本题考查三角形全等的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．。

2）因为3⋅=，BA BC=）可知cos Bac2017届高三数学专题练习解三角形解析【重点把关】1．解析：由正弦定理可得sin A===．因为a=<b=，所以0<A<，所以A=，故选B．2．解析：已知等式利用正弦定理化简得=，即c2-b2=ac-a2，所以a2+c2-b2=ac，所以cos B==，因为B为三角形的内角，所以B=．故选C．3．解析：因为bcos B=acos A，所以sin Bcos B=sin Acos A，所以sin 2A=sin 2B，所以A=B或2A+2B=180°，即A=B或A+B=90°，即△ABC为等腰或直角三角形，故选C．4．解析：因为△ABC中，asin Asin B+bcos2A=a，所以根据正弦定理，得sin2Asin B+sin Bcos2A=sin A，可得sin B(sin2A+cos2A)=sin A，因为sin2A+cos2A=1，所以sin B=sin A，可得=．故选C．5．解析：因为在锐角△ABC中，sin A=，S△ABC=，所以bcsin A=bc×=，所以bc=3，①又a=2，A是锐角，所以cos A==，由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A，即(b+c)2=a2+2bc(1+cos A)=4+6(1+)=12，所以b+c=2，②由①②得解得b=c=．故选A．6．解析：因为b2+c2+bc-a2=0，所以cos A==-，所以A=120°．由正弦定理可得====．故选B．7．解析：因为82+52-2×8×5×cos(π-D)=32+52-2×3×5×cos D⇒cos D=-，所以AC==7．答案：78．解析：因为∠A=60°，所以∠BOC=120°．又·=-，设△ABC外接圆半径为R，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，所以·=R2·cos∠BOC=-．所以R=1．由正弦定理得，=2R，所以a=2×sin 60°=．由余弦定理得，a2=b2+c2-2bccos A，即3=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc≥(b+c)2-3×()2，所以b+c≤2，所以a+b+c≤3，即三角形ABC周长的最大值为3．答案：39．【能力提升】10．解析：依题意可知1-cos Acos B-cos2=0，因为cos2===，所以1-cos Acos B-=0，整理得cos(A-B)=1，所以A=B，所以三角形为等腰三角形．故选B．11．解析：因为BD=2DC，所以设CD=x，AD=y，则BD=2x，因为cos ∠DAC=，cos C=，所以sin ∠DAC=，sin C=，则由正弦定理得=，即=，即y=x，sin ∠ADB=sin(∠DAC+∠C)=×+×=，则∠ADB=，∠ADC=，在△ABD中，AB2=BD2+AD2-2AD·BDcos ，即2=4x2+2x2-2×2x×x×=2x2，即x2=1，解得x=1，即BD=2，CD=1，AD=，在△ACD中，AC2=AD2+CD2-2AD·CDcos =2+1-2××(-)=5，即AC=．答案：。

专题10 解三角形1．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A −b sin B =4c sin C ，cos A =14-，则bc= A ．6 B ．5 C ．4D ．3【答案】A【解析】由已知及正弦定理可得2224a b c -=，由余弦定理推论可得2222214131cos ,,,422424b c a c c c A bc bc b +---==∴=-∴=3462b c ∴=⨯=，故选A ． 【名师点睛】本题考查正弦定理及余弦定理推论的应用．先利用余弦定理推论得出a ，b ，c 关系，再结合正弦定理边角互换列出方程，解出结果.2．【2019年高考北京卷文数】如图，A ，B 是半径为2的圆周上的定点，P 为圆周上的动点，APB ∠是锐角，大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为A ．4β+4cos βB ．4β+4sin βC ．2β+2cos βD ．2β+2sin β【答案】B【解析】设圆心为O ，如图1，连接OA ，OB ，AB ，OP ，则22AOB APB ∠=∠=β，所以22242OABS ⨯==扇形ββ，因为ABP AOB OAB S S S S =+-△△阴影扇形，且AOB OAB S S △扇形，都已确定， 所以当ABP S △最大时，阴影部分面积最大.观察图象可知，当P 为弧AB 的中点时（如图2），阴影部分的面积S 取最大值，此时∠BOP =∠AOP =π−β，面积S 的最大值为ABP AOB OAB S S S S =+-△△阴影扇形=4β+S △POB + S △POA =4β+12|OP ||OB |sin （π−β）+12|OP ||OA |sin （π−β）=4β+2sin β+2sin β=4β+4 sin β，故选B. 【名师点睛】本题主要考查阅读理解能力、数学应用意识、数形结合思想及数学式子变形和运算求解能力，有一定的难度.关键是观察分析区域面积最大时的状态，并将面积用边角等表示.3．【2018年高考全国Ⅲ文数】ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若ABC △的面积为2224a b c +-，则C =A ．2πB ．3π C ．4πD ．6π【答案】C【解析】由题可知2221sin 24ABCa b c S ab C +-==△，所以2222sinC a b c ab +-=， 由余弦定理2222cos a b c ab C +-=，得sin cos C C =，因为()0,πC ∈，所以π4C =， 故选C.【名师点睛】本题主要考查余弦定理与三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查考生的运算求解能力，考查的核心素养是数学运算.解三角形的题型一般有两类：一是边角关系的转化，考生需对所给的边角关系进行恒等变形；二是有几何背景的题型，难点在于涉及两个或两个以上的三角形，解决此类问题可利用正、余弦定理进行求解，同时要重视三角函数的知识在解三角形中的运用.4．【2018年高考全国Ⅱ文数】在ABC △中，cos25C =，1BC =，5AC =，则AB =A ． BCD ．【答案】A【解析】因为cos2C =cos C =22cos 2C −1=2×2−1=35-.于是，在△ABC 中，由余弦定理得AB 2=AC 2+BC 2−2AC × BC ×cos C =52+12−2×5×1×(35-)=32，所以AB =故选A.【名师点睛】本题主要考查二倍角公式、余弦定理，考查考生的运算求解力，考查的数学核心素养是数学运算.解三角形是近几年高考中的高频者点，将解三角形与其他知识巧妙地融合在一起，既体现了试题设计的亮点，又体现了对所学知识的交汇考查.5．【2017年高考全国Ⅰ文数】△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知sin sin (sin cos )0B A C C +-=，a =2，c ，则C =A ．π12 B ．π6 C ．π4D ．π3【答案】B【解析】由题意sin()sin (sin cos )0A C A C C ++-=得sin cos cos sin sin sin sin cos 0A C A C A C A C ++-=，即πsin (sin cos )sin()04C A A C A +=+=，所以3π4A =．由正弦定理sin sin a c A C =得23πsin sin 4C =，即1sin 2C =， 因为c <a ，所以C<A ， 所以π6C =，故选B ． 【名师点睛】在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．6．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知b sin A +a cos B =0，则B =___________. 【答案】3π4【解析】由正弦定理，得sin sin sin cos 0B A A B +=．(0,),(0,)A B ∈π∈πQ ，sin 0,A ∴≠ ∴sin cos 0B B +=，即tan 1B =-，3.4B π∴=【名师点睛】本题考查利用正弦定理转化三角恒等式，渗透了逻辑推理和数学运算素养．采取定理法，利用转化与化归思想解题．本题容易忽视三角形内角的范围致误，三角形内角均在(0,π)范围内，化边为角，结合三角函数的恒等变化求角．7．【2019年高考浙江卷】在ABC △中，90ABC ∠=︒，4AB =，3BC =，点D 在线段AC 上，若45BDC ∠=︒，则BD =___________，cos ABD ∠=___________．【答案】5，10【解析】如图，在ABD △中，由正弦定理有：sin sin AB BD ADB BAC =∠∠，而3π4,4AB ADB =∠=，5AC ，34sin ,cos 55BC AB BAC BAC AC AC ∠==∠==，所以5BD =.ππcos cos()cos cos sin sin 4410ABD BDC BAC BAC BAC ∠=∠-∠=∠+∠=.【名师点睛】本题主要考查解三角形问题，即正弦定理、三角恒等变换、数形结合思想及函数方程思想.在ABD △中应用正弦定理，建立方程，进而得解.解答解三角形问题，要注意充分利用图形特征.8．【2018年高考北京卷文数】若ABC △)222a c b +-，且∠C 为钝角，则∠B =_________；ca的取值范围是_________. 【答案】60︒，()2,+∞【解析】)2221sin 2ABC S a c b ac B =+-=Q △，2222a c b ac +-∴=，即cos B =，sin πcos 3B B B ∴=∠=，则2π1sin cos sin sin 1132sin sin sin tan 2A A Ac C a A A A A ⎛⎫⎛⎫---⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭====+， C ∠Q 为钝角，ππ,036B A ∠=∴<∠<，)1tan ,tan A A ⎛∴∈∈+∞ ⎝⎭，故()2,ca∈+∞.故答案为60︒，()2,+∞.【名师点睛】此题考查解三角形的综合应用，能够根据题干给出的信息选用合适的余弦定理公式是解题的第一个关键；根据三角形内角πA B C ++=的隐含条件，结合诱导公式及正弦定理，将问题转化为求解含A ∠的表达式的最值问题是解题的第二个关键.9．【2018年高考浙江卷】在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c．若a =b =2，A =60°，则sin B =___________，c =___________．【答案】7，3 【解析】由正弦定理得sin sin a A b B =，所以πsin sin 3B == 由余弦定理得22222cos ,742,3a b c bc A c c c =+-∴=+-∴=（负值舍去）.【名师点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化为边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.解答本题时，根据正弦定理得sin B ，根据余弦定理解出c .sin sin 4sin sin b C c B a B C +=，2228b c a +-=，则△ABC 的面积为________．【解析】根据题意，由sin sin 4sin sin b C c B a B C +=，结合正弦定理可得sin sin sin sin B C C B +4sin sin sin A B C =，即1sin 2A =，由2228b c a +-=，结合余弦定理可得2cos 8bc A =，所以A 为锐角，且cos A =，从而求得3bc =，所以ABC △的面积为111sin 22323S bc A ==⨯=，故答案是3. 【名师点睛】本题主要考查正、余弦定理的应用与三角形的面积公式，考查考生的化归与转化能力、运算求解能力，考查的数学核心素养是数学运算.解答本题时，利用正弦定理，通过sin sin b C c B +=4sin sin a B C ，可以求出1sin 2A =，再利用余弦定理求出bc =，然后利用三角形的面积公式求解即可.11．【2018年高考江苏卷】在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为 ▲ ． 【答案】9【解析】由题意可知，ABC ABD BCD S S S =+△△△，由角平分线的性质和三角形的面积公式得111sin1201sin 601sin 60222ac a c ︒=⨯⨯︒+⨯⨯︒，化简得ac a c =+，即111a c+=，因此1144(4)()559c a a c a c a c a c +=++=++≥+=，当且仅当23c a ==时取等号，则4a c +的最小值为9.【名师点睛】本题主要考查三角形的面积公式、基本不等式，考查分析问题、解决问题的能力，考查的核心素养是数学运算.应用基本不等式求解最值时，要注意对条件“一正、二定、三相等”进行检验，尤其是等号成立的条件.2cos cos cos b B a C c A =+，则B = .【答案】π3【解析】由正弦定理可得1π2sin cos sin cos sin cos sin()sin cos 23B B AC C A A C B B B =+=+=⇒=⇒=. 故答案为π3. 【名师点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向. 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化. 第三步：求结果.13．【2017年高考全国Ⅲ卷文数】△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知C =60°，b，c =3，则A =_________. 【答案】75°【解析】由正弦定理sin sin b c B C=，得sin 2sin 3b C B c ===，结合b c <可得45B =o ，则18075A B C =--=o o .【名师点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理，结合已知条件灵活转化为边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向. 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化. 第三步：求结果.14．【2017年高考浙江卷】已知△ABC ，AB =AC =4，BC =2． 点D 为AB 延长线上一点，BD =2，连结CD ，则△BDC 的面积是______，cos ∠BDC =_______．【答案】,24【解析】取BC 中点E ，由题意：AE BC ⊥，△ABE 中，1cos 4BE ABC AB ∠==，∴1cos ,sin 4DBC DBC ∠=-∠==∴1sin 22△BCD S BD BC DBC =⨯⨯⨯∠=． ∵2ABC BDC ∠=∠，∴21cos cos 22cos 14ABC BDC BDC ∠=∠=∠-=，解得cos 4BDC ∠=或cos 4BDC ∠=-（舍去）．综上可得，△BCD ，cos BDC ∠=． 【名师点睛】利用正、余弦定理解决实际问题的一般思路：（1）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可以利用正弦定理或余弦定理求解；（2）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个或两个以上三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，再逐步解其他三角形，有时需要设出未知量，从几个三角形中列出方程（组），解方程（组）得出所要的解．15．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】ABC △的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知sin sin 2A Ca b A +=． （1）求B ；（2）若△ABC 为锐角三角形，且c =1，求△ABC 面积的取值范围．【答案】（1）B =60°；（2）()82. 【解析】（1）由题设及正弦定理得sin sinsin sin 2A CA B A +=． 因为sin A ≠0，所以sinsin 2A CB +=． 由180A BC ︒++=，可得sincos 22A C B +=，故cos 2sin cos 222B B B=． 因为cos02B ≠，故1sin 22B =，因此B =60°．（2）由题设及（1）知△ABC的面积4ABC S a =△． 由正弦定理得()sin 120sin 1sin sin 2tan 2C c A a C C C ︒-===+．由于△ABC 为锐角三角形，故0°<A <90°，0°<C <90°，由（1）知A +C =120°，所以30°<C <90°，故122a <<，ABC S <<△． 因此，△ABC面积的取值范围是82⎛⎝⎭． 【名师点睛】这道题考查了三角函数的基础知识，以及正弦定理的使用（此题也可以用余弦定理求解），最后考查V ABC 是锐角三角形这个条件的利用，考查的很全面，是一道很好的考题. 16．【2019年高考北京卷文数】在△ABC 中，a =3，–2b c =，cos B =12-． （1）求b ，c 的值； （2）求sin （B +C ）的值． 【答案】（1）7b =，5c =；（2）14. 【解析】（1）由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得2221323()2b c c =+-⨯⨯⨯-．因为2b c =+，所以2221(2)323()2c c c +=+-⨯⨯⨯-． 解得5c =． 所以7b =． （2）由1cos 2B =-得sin 2B =．由正弦定理得sin sin a A B b ==在ABC △中，B C A +=π-．所以sin()sin 14B C A +==． 【名师点睛】本题主要考查余弦定理、正弦定理的应用，两角差的正弦公式的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.17．【2019年高考天津卷文数】在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知2b c a +=，3sin 4sin c B a C =.（1）求cos B 的值；（2）求sin 26πB ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.【答案】（1）14-；（2）【解析】（1）在ABC △中，由正弦定理sin sin b cB C=，得sin sin b C c B =， 又由3sin 4sin c B a C =，得3sin 4sin b C a C =，即34b a =．又因为2b c a +=，得到43b a =，23c a =． 由余弦定理可得222222416199cos 22423a a a a cb B ac a a +-+-===-⋅⋅． （2）由（1）可得sin 4B ==，从而sin 22sin cos 8B B B ==-，227cos 2cos sin 8B B B =-=-，故717sin 2sin 2cos cos 2sin 666828216B B B πππ⎛⎫+=+=--⨯=-⎪⎝⎭． 【名师点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定理、余弦定理等基础知识．考查运算求解能力．18．【2019年高考江苏卷】在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．（1）若a =3c ，b，cos B =23，求c 的值； （2）若sin cos 2A B a b =，求sin()2B π+的值．【答案】（1）3c =；（2）5.【解析】（1）因为23,3a cb B ===，由余弦定理222cos 2a c b B ac +-=，得2222(3)323c c c c+-=⨯⨯，即213c =.所以3c =. （2）因为sin cos 2A Ba b =， 由正弦定理sin sin a b A B =，得cos sin 2B Bb b=，所以cos 2sin B B =. 从而22cos (2sin )B B =，即()22cos 41cos B B =-，故24cos 5B =.因为sin 0B >，所以cos 2sin 0B B =>，从而cos 5B =.因此πsin cos 25B B ⎛⎫+== ⎪⎝⎭ 【名师点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、诱导公式等基础知识，考查运算求解能力.19．【2019年高考江苏卷】如图，一个湖的边界是圆心为O 的圆，湖的一侧有一条直线型公路l ，湖上有桥AB （AB 是圆O 的直径）．规划在公路l 上选两个点P 、Q ，并修建两段直线型道路PB 、QA ．规划要求：线段PB 、QA 上的所有点到点O 的距离均不小于圆．．．．O 的半径．已知点A 、B 到直线l 的距离分别为AC 和BD （C 、D 为垂足），测得AB =10，AC =6，BD =12（单位：百米）． （1）若道路PB 与桥AB 垂直，求道路PB 的长；（2）在规划要求下，P 和Q 中能否有一个点选在D 处？并说明理由；（3）在规划要求下，若道路PB 和QA 的长度均为d （单位：百米）.求当d 最小时，P 、Q 两点间的距离．【答案】（1）15（百米）；（2）见解析；（3）17+. 【解析】解法一：（1）过A 作AE BD ⊥，垂足为E .由已知条件得，四边形ACDE 为矩形，6, 8DE BE AC AE CD =====.' 因为PB ⊥AB ，所以84cos sin 105PBD ABE ∠=∠==. 所以12154cos 5BD PB PBD ===∠. 因此道路PB 的长为15（百米）.（2）①若P 在D 处，由（1）可得E 在圆上，则线段BE 上的点（除B ，E ）到点O 的距离均小于圆O 的半径，所以P 选在D 处不满足规划要求.②若Q 在D 处，连结AD ，由（1）知10AD ==，从而2227cos 0225AD AB BD BAD AD AB +-∠==>⋅，所以∠BAD 为锐角.所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径. 因此，Q 选在D 处也不满足规划要求. 综上，P 和Q 均不能选在D 处. （3）先讨论点P 的位置.当∠OBP <90°时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求；当∠OBP ≥90°时，对线段PB 上任意一点F ，OF ≥OB ，即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径，点P 符合规划要求.设1P 为l 上一点，且1PB AB ⊥，由（1）知，1P B =15，此时11113sin cos 1595PD PB PBD PB EBA =∠=∠=⨯=； 当∠OBP >90°时，在1PPB △中，115PB PB >=. 由上可知，d ≥15. 再讨论点Q 的位置.由（2）知，要使得QA ≥15，点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求.当QA =15时，CQ ===此时，线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.综上，当PB ⊥AB ，点Q 位于点C 右侧，且CQ =时，d 最小，此时P ，Q 两点间的距离PQ =PD +CD +CQ =17+因此，d 最小时，P ，Q 两点间的距离为17+. 解法二：（1）如图，过O 作OH ⊥l ，垂足为H.以O 为坐标原点，直线OH 为y 轴，建立平面直角坐标系.因为BD =12，AC =6，所以OH =9，直线l 的方程为y =9，点A ，B 的纵坐标分别为3，−3. 因为AB 为圆O 的直径，AB =10，所以圆O 的方程为x 2+y 2=25. 从而A （4，3），B （−4，−3），直线AB 的斜率为34. 因为PB ⊥AB ，所以直线PB 的斜率为43-， 直线PB 的方程为42533y x =--.所以P （−13，9），15PB ==. 因此道路PB 的长为15（百米）.（2）①若P 在D 处，取线段BD 上一点E （−4，0），则EO =4<5，所以P 选在D 处不满足规划要求. ②若Q 在D 处，连结AD ，由（1）知D （−4，9），又A （4，3），所以线段AD ：36(44)4y x x =-+-剟.在线段AD 上取点M （3，154），因为5OM =<=，所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径. 因此Q 选在D 处也不满足规划要求. 综上，P 和Q 均不能选在D 处. （3）先讨论点P 的位置.当∠OBP <90°时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求；当∠OBP ≥90°时，对线段PB 上任意一点F ，OF ≥OB ，即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径，点P 符合规划要求.设1P 为l 上一点，且1PB AB ⊥，由（1）知，1P B =15，此时1P （−13，9）； 当∠OBP >90°时，在1PPB △中，115PB PB >=. 由上可知，d ≥15. 再讨论点Q 的位置.由（2）知，要使得QA≥15，点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求.当QA =15时，设Q （a ，9），由15(4)AQ a ==>，得a =4+Q （4+9），此时，线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.综上，当P （−13，9），Q （4+9）时，d 最小，此时P ，Q 两点间的距离4(13)17PQ =+-=+.因此，d 最小时，P ，Q 两点间的距离为17+.【名师点睛】本小题主要考查三角函数的应用、解方程、直线与圆等基础知识，考查直观想象和数学建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力.20．【2018年高考天津卷文数】在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知b sin A =a cos(B –π6)． （1）求角B 的大小；（2）设a =2，c =3，求b 和sin(2A –B )的值．【答案】（1）π3；（2）b ；sin(2A –B )=14【解析】（1）在△ABC 中，由正弦定理sin sin a bA B=，可得sin sin b A a B =，又由πsin cos()6b A a B =-，得πsin cos()6a B a B =-，即πsin cos()6B B =-，可得tan B =又因为(0π)B ∈，，可得B =π3．（2）在△ABC 中，由余弦定理及a =2，c =3，B =π3，有2222cos 7b a c ac B =+-=，故b ．由πsin cos()6b A a B =-，可得sin A =因为a <c ，故cosA =．因此sin 22sin cos A A A ==21cos 22cos 17A A =-=．所以，sin(2)sin 2cos cos 2sin A B A B A B -=-=11727214⨯-⨯= 【名师点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系，两角差的正弦与余弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定理、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力．在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．21．【2017年高考天津卷文数】在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．已知sin 4sin a A b B =，222)ac a b c =--．（1）求cos A 的值； （2）求sin(2)B A -的值．【答案】（1）5-2）5-． 【解析】（1）由sin 4sin a A b B =及sin sin a bA B=，得2a b =．由222)ac a b c =--及余弦定理，得2225cos 2b c aA bcac +-=== （2）由（1）可得sin A =，代入sin 4sin a A b B =，得sin sin 4a A B b ==． 由（1）知A为钝角，所以cos B ==． 于是4sin 22sin cos 5B B B ==，23cos 212sin 5B B =-=，故43sin(2)sin 2cos cos 2sin (55B A B A B A -=-=⨯-=． 【名师点睛】利用正弦定理进行“边转角”可寻求角的关系，利用“角转边”可寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系可求角，利用两角和差的三角公式及二倍角公式可求三角函数值．利用正、余弦定理解三角形是高考的高频考点，常与三角形内角和定理、三角形面积公式等相结合，利用正、余弦定理进行解题．解答本题时，（1）首先根据正弦定理sin sin a bA B=得到2a b =，再根据余弦定理即可求得cos A 的值；（2）根据（1）的结论和条件，由cos A 求得sin A ，然后根据sin 4sin a A b B =求得sin B ，再求cos B ，然后由二倍角公式求sin 2,cos 2B B ，最后代入sin(2)B A -的展开式即可．22．【2017年高考山东卷文数】在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b =3，6AB AC ⋅=-u u u r u u u r，3ABC S =△，求A 和a .【答案】3=π,4A a 【解析】因为6AB AC ⋅=-u u u r u u u r，所以cos 6bc A =-，又3ABC S =△，所以sin 6bc A =， 因此tan 1A =-，又0πA <<， 所以3π4A =， 又3b =，所以c =由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得29823(2a =+-⨯⨯-，所以a =【名师点睛】正、余弦定理是应用极为广泛的两个定理，它将三角形的边和角有机地联系起来，从而使三角与几何产生联系，为求与三角形有关的量(如面积、外接圆、内切圆半径和面积等)提供了理论依据，也是判断三角形形状、证明三角形中有关等式的重要依据．其主要方法有：化角法，化边法，面积法，运用初等几何法．注意体会其中蕴涵的函数与方程思想、等价转化思想及分类讨论思想. 23．【2017年高考江苏卷】如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm ，容器Ⅰ的底面对角线AC 的长为，容器Ⅱ的两底面对角线EG ，11E G 的长分别为14cm 和62cm ．分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm ．现有一根玻璃棒l ，其长度为40cm ．（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）（1）将l 放在容器Ⅰ中，l 的一端置于点A 处，另一端置于侧棱1CC 上，求l 没入水中部分的长度； （2）将l 放在容器Ⅱ中，l 的一端置于点E 处，另一端置于侧棱1GG 上，求l 没入水中部分的长度．【答案】（1）16 cm(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为24cm)；（2）20 cm(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为20cm)．【解析】（1）由正棱柱的定义，1CC ⊥平面ABCD ，所以平面11A ACC ⊥平面ABCD ，1CC AC ⊥． 记玻璃棒的另一端落在1CC 上点M 处．因为40AC AM ==，所以30MC ==，从而3sin 4MAC =∠， 记AM 与水面的交点为1P ，过1P 作P 1Q 1⊥AC ，Q 1为垂足， 则P 1Q 1⊥平面ABCD ，故P 1Q 1=12，从而AP 1=1116sin P MACQ =∠．答：玻璃棒l 没入水中部分的长度为16cm ．(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为24cm)（2）如图，O ，O 1是正棱台的两底面中心．由正棱台的定义，OO 1⊥平面EFGH ，所以平面E 1EGG 1⊥平面EFGH ，O 1O ⊥EG ． 同理，平面E 1EGG 1⊥平面E 1F 1G 1H 1，O 1O ⊥E 1G 1． 记玻璃棒的另一端落在GG 1上点N 处．过G 作GK ⊥E 1G 1，K 为垂足，则GK =OO 1=32． 因为EG = 14，E 1G 1= 62，所以KG 1=6214242-=，从而140GG ===． 设1,,EGG ENG αβ==∠∠则114sin sin()cos 25KGG KGG απ=+==∠∠．因为2απ<<π，所以3cos 5α=-．在ENG △中，由正弦定理可得4014sin sin αβ=，解得7sin 25β=． 因为02βπ<<，所以24cos 25β=． 于是42473sin sin()sin()sin co 3s cos sin ()5252555NEG αβαβαβαβ=π--=+=+=⨯+-⨯=∠．记EN 与水面的交点为P 2，过P 2作P 2Q 2⊥EG ，Q 2为垂足，则P 2Q 2⊥平面EFGH ， 故P 2Q 2=12，从而EP 2=2220sin P NEGQ =∠．答：玻璃棒l 没入水中部分的长度为20cm ．(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为20cm)【名师点睛】解答本题时，（1）转化为直角三角形ACM 中，利用相似性质求解AP 1；（2）转化到三角形EGN 中，先利用直角梯形性质求角1EGG ∠，再利用正弦定理求角ENG ∠，最后根据直角三角形求高，即为l 没入水中部分的长度．解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的．其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向；第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化；第三步：求结果．。

1.ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，已知()22,21sin a b c b C ==-，则C =（ ）A ．34π B ．3π C ．4πD ．6π【答案】C试题分析：由()22,21sin a b c b C ==-，由余弦定理得2222222cos 22a b c b c C ab b+--== ()222221sin sin 2b b C Cb --==，即tan 1C =，所以4C π=，故选C ．考点:余弦定理． 2.ABC ∆中，若()sin 3cos sin cos C A A B =+,则（)A ．3B π= B ．2b a c =+C ．ABC ∆是直角三角形D ．222a b c =+或2B A C =+【答案】D考点：解三角形．3。

设锐角△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 成等比数列，且3sin sin 4A C =,则角B =（ ）A ．6π B ．3π C ．4πD ．23π【答案】B考点：1、等比数列的性质;2、正弦定理及特殊角的三角函数。

4。

在△ABC 中，a ,b ，c 分别是A ∠,B ∠，C ∠的对边长,23cos A A =且222a c b mbc -=-，则实数m =．【答案】1试题分析：因为23cos A A =两边平方可得22sin 3cos A A =即()()2cos 1cos 20A A -+=,解得： 1cos 2A =，而222a c b mbc -=-可以变形为22222b c a mbc +-=，即1cos 22m A ==，所以，1m =，故答案为1。

考点:1、余弦定理的应用；2、同角三角函数之间的关系。

5。

如图所示，为测一树的高度，在地面上选取,A B 两点,从,A B 两点分别测得树尖的仰角为30，45,且,A B 两点间的距离为60m ,则树的高度为（ ) A ．(30303)m + B ．(30153)m + C ．(15303)m +D ．(15153)m +【答案】A试题分析：在PAB ∆中,()30,15,60,sin 15sin 4530PAB APB AB ∠=∠====-232162sin 45cos30cos 45sin 302222-=-=⨯=,由正弦定理得:(1602,3062sin 30sin1562PB AB PB ⨯=∴==-，树的高度为(2sin 453062303032PB m =⨯=+， 故选A.考点：1、仰角的定义及两角和的正弦公式；2、阅读能力、建模能力及正弦定理的应用。

1.【2017课标1，理9】已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +2π3)，则下面结论正确的是 A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2【答案】D 【解析】【考点】三角函数图像变换.【名师点睛】对于三角函数图像变换问题，首先要将不同名函数转换成同名函数，利用诱导公式，需要重点记住sin cos(),cos sin()22ππαααα=-=+；另外，在进行图像变换时，提倡先平移后伸缩，而先伸缩后平移在考试中经常出现，无论哪种变换，记住每一个变换总是对变量x 而言. 2.【2017课标3，理6】设函数f (x )=cos (x +3π)，则下列结论错误的是 A ．f (x )的一个周期为−2πB ．y =f (x )的图像关于直线x =83π对称 C ．f (x +π)的一个零点为x =6π D ．f (x )在(2π,π)单调递减 【答案】D 【解析】【考点】 函数()cos y A x ωϕ=+ 的性质【名师点睛】(1)求最小正周期时可先把所给三角函数式化为y ＝Asin (ωx ＋φ)或y ＝Acos (ω x ＋φ)的形式，则最小正周期为2T πω=；奇偶性的判断关键是解析式是否为y ＝Asin ωx 或y ＝Acos ωx ＋b 的形式.(2)求f (x )＝Asin (ωx ＋φ)(ω≠0)的对称轴，只需令()2x k k Z πωϕπ+=+∈，求x ；求f (x )的对称中心的横坐标，只需令ωx ＋φ＝kπ(k ∈Z )即可.3.【2017课标3，理12】在矩形ABCD 中，AB =1，AD =2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上.若AP =λAB +μAD ，则λ+μ的最大值为A ．3B ．22C ．5D ．2【答案】A 【解析】试题分析：如图所示，建立平面直角坐标系【考点】 平面向量的坐标运算；平面向量基本定理【名师点睛】(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.4.【2017北京，理6】设m ,n 为非零向量，则“存在负数λ，使得λ=m n ”是“0<⋅m n ”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件【答案】A【解析】试题分析：若0λ∃<，使m n λ=，即两向量反向，夹角是0180，那么0cos1800m n m n m n ⋅==-<T ，若0m n ⋅<，那么两向量的夹角为(0090,180⎤⎦ ，并不一定反向，即不一定存在负数λ，使得λ=m n ，所以是充分不必要条件，故选A. 【考点】1.向量；2.充分必要条件.【名师点睛】判断充分必要条件的的方法：1.根据定义，若,p q q p ⇒≠>，那么p 是q 的充分不必要 ，同时q 是p 的必要不充分条件，若p q ⇔，那互为充要条件，若p q <≠>，那就是既不充分也不必要条件，2.当命题是以集合形式给出时，那就看包含关系，若:,:p x A q x B ∈∈,若A B ≠⊂，那么p 是q的充分必要条件，同时q 是p 的必要不充分条件，若A B =，互为充要条件，若没有包含关系，就是既不充分也不必要条件，3.命题的等价性，根据互为逆否命题的两个命题等价，将p 是q 条件的判断，转化为q ⌝是p ⌝条件的判断.5.【2017天津，理7】设函数()2sin()f x x ωϕ=+，x ∈R ，其中0ω>，||ϕ<π.若5()28f π=，()08f 11π=，且()f x 的最小正周期大于2π，则 （A ）23ω=，12ϕπ= （B ）23ω=，12ϕ11π=- （C ）13ω=，24ϕ11π=- （D ）13ω=，24ϕ7π=【答案】A【考点】求三角函数的解析式【名师点睛】有关sin()y A x ωϕ=+问题，一种为提供函数图象求解析式或某参数的范围，一般先根据图象的最高点或最低点确定A ，再根据周期或12周期或14周期求出ω，最后再利用最高点或最低点坐标满足解析式，求出满足条件的ϕ值，另一种时根据题目用文字形容的函数图象特点，如对称轴或曲线经过的点的坐标，根据题意自己画出图象，再寻求待定的参变量，题型很活，求ω或ϕ的值或最值或范围等. 6.【2017课标II ，理12】已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小是（ ）A.2-B.32-C. 43- D.1- 【答案】B【解析】【考点】 平面向量的坐标运算；函数的最值【名师点睛】平面向量中有关最值问题的求解通常有两种思路：一是“形化”，即利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断；二是“数化”，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决。

2017高考解三角形汇总1. （2017全国│文，11）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知sin B+sin A （sin C ―cosC ）=0,a =2, c= , 则C=A. B. C. D.2. （2017全国Ⅱ文，16）△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若2b cosB=a cosC+c cosA,则B=3. （2017全国Ⅲ文，15）△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,，已知3,6,600===c b C ，则=A ________4. （2017山东文，17）△ABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知b=3，,S △ABC =3,求A 和a 。

5. （2017山东理，9）锐角△ABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且sinB(1+2cosC)=2sinAcosC+cosAsinC,则下列成立的是（）A.a=2bB.b=2aC.A=2BD.B=2A6. （2017浙江文（理），14）已知△ABC ，AB =AC =4，BC =2． 点D 为AB 延长线上一点，BD =2，连结CD ，则△BDC的面积是______，cos ∠BDC =_______．7. （2017全国│理，17）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为23sin a A（1）求sin B sin C ;（2）若6cos B cos C =1,a =3,求△ABC 的周长8. （2017全国Ⅱ理，17）ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知2sin()8sin 2B AC +=． (1)求cos B(2)若6a c += , ABC ∆面积为2,求.b9. （2017全国Ⅲ理，17）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin AA =0，a,b =2.（1）求c ；（2）设D 为BC 边上一点，且AD ⊥ AC,求△ABD 的面积.10. （2017北京理，15）在△ABC 中， =60°，c = a . （Ⅰ）求sin C 的值；（Ⅱ）若a =7,求△ABC 的面积.11. （2017天津理，15）在中，内角所对的边分别为.已知，，.（Ⅰ）求和的值； （Ⅱ）求的值.12. （2017天津文，15）在中，内角所对的边分别为.已知，.（I ）求的值； （II ）求的值. A ∠欢迎您的下载，资料仅供参考！致力为企业和个人提供合同协议，策划案计划书，学习资料等等打造全网一站式需求。

命题猜想九 三角恒等变换与解三角形【考向解读】正弦定理和余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容，1.和差角公式、二倍角公式是高考的热点，常与三角函数式的求值、化简交汇命题．既有选择题、填空题，又有解答题，难度适中，主要考查公式的灵活运用及三角恒等变换能力．2.预测2017年高考仍将以和差角公式及二倍角公式为主要考点，复习时应引起足够的重视．3.边和角的计算；4.三角形形状的判断；5.面积的计算；6.有关的范围问题．【命题热点突破一】三角恒等变换例1、(1)(2016·高考全国乙卷)已知θ是第四象限角，且sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝35，则tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝________.解析：基本法：将θ－π4转化为⎝⎛⎭⎫θ＋π4－π2.由题意知sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝35，θ是第四象限角，所以cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4>0，所以cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝1－sin 2⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝45.tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4－π2＝－1tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝－cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝－4535＝－43.答案：－43速解法：由题意知θ＋π4为第一象限角，设θ＋π4＝α，∴θ＝α－π4，∴tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝tan ⎝⎛⎭⎫α－π2＝－tan ⎝⎛⎭⎫π2－α.如图，不妨设在Rt △ACB 中，∠A ＝α，由sin α＝35可得，BC ＝3，AB ＝5，AC ＝4，∴∠B ＝π2－α，∴tan B ＝43，∴tan B ＝－43.答案：－43(2)若tan α＞0，则( )A ．sin α＞0B ．cos α＞0C ．sin 2α＞0D ．cos 2α＞0答案：C【感悟提升】 解决三角函数问题的基本思想是“变换”，通过适当的变换达到由此及彼的目的．在三角函数问题中变换的基本方向有两个：一个是变换函数名称，一个是变换角的形式．变换函数名称可以使用诱导公式、同角三角函数的基本关系等；变换角的形式可以使用两角和、差的三角函数公式、倍角公式，对角进行代数形式的变换等． 【变式探究】(1)已知sin ⎝⎛⎭⎫5π2＋α＝14，那么cos 2α＝________．(2)已知sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＋sin α＝－4 35，则cos ⎝⎛⎭⎫α－π3等于( )A ．－45B ．－35 C.45 D.35 【答案】（1）－78 （2）A【解析】 （1）依题意得cos α＝14，所以cos 2α＝2cos 2α－1＝2×⎝⎛⎭⎫142－1＝－78.（2）由sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＋sin α＝－4 35，得3sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝－4 35，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝－45，于是cos ⎝⎛⎭⎫α－π3＝cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6－π2＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝－45.【命题热点突破二】 正、余弦定理例2、【2016高考山东理数】（本小题满分12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知tan tan 2(tan tan ).cos cos A BA B B A+=+ （Ⅰ）证明：a +b =2c ;（Ⅱ）求cos C 的最小值. 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）12（Ⅱ）由（Ⅰ）知2a bc +=, 所以 2222222cos 22a b a b a b cC abab++-+-==（）311842b a a b =+-≥（），当且仅当a b =时，等号成立. 故 cos C 的最小值为12. 【感悟提升】 关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正弦、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，这是使问题获得解决的突破口．求三角形中的角，关键是利用正弦定理或余弦定理求出某角的正弦值或余弦值，再根据角的范围求出对应的角的大小．解题时要注意利用三角形内角和定理，即A ＋B ＋C ＝π. 【答案】 23π【解析】 ∵cos B cos C ＋2a c ＋bc ＝0， ∴ccos B ＋2acos C ＋bcos C ＝0，由正弦定理得sin Ccos B ＋2sin Acos C ＋sin Bcos C ＝0， ∴sin （B ＋C ）＋2sin Acos C ＝sin A ＋2sin Acos C ＝0，∵sin A≠0，∴cos C ＝－12，∴C ＝23π.【变式探究】在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且csin B ＝bcos C ＝3. (1)求b ；(2)若△ABC 的面积为212，求c.【感悟提升】 求解三角形的边和面积的关键是利用正、余弦定理求出相关角度和边长．正弦定理揭示了三角形三边和其对角的正弦的比例关系，余弦定理揭示了三角形的三边和其中一个内角的余弦之间的关系．正弦定理可以使各边的比值和各个内角的正弦的比值相互转化．只要知道了三角形三边之间的比例关系即可利用余弦定理求出三角形的内角． 【命题热点突破三】 正、余弦定理的实际应用例3、已知一块四边形园地ABCD 中，A ＝45°，B ＝60°，C ＝105°.若AB ＝2 m ，BC ＝1 m ，则该四边形园地ABCD 的面积等于________m 2. 【答案】6－34【解析】 如图所示，连接AC.根据余弦定理可得AC ＝ 3 m ，易知△ABC 为直角三角形，且∠ACB ＝90°，∠BAC ＝30°，所以∠DAC ＝15°，∠DCA ＝15°，故△ADC 为等腰三角形.设AD ＝DC ＝x m ，根据余弦定理得x 2＋x 2＋3x 2＝3，即x 2＝32＋3＝3（2－3）.所以四边形园地ABCD 的面积为12×1×3＋12×3×（2－3）×12＝2 3＋6－3 34＝6－34 m 2.【感悟提升】 使用正、余弦定理解三角形的关键是把求解目标归入到可解三角形中(可解三角形指符合正弦定理、余弦定理的应用条件，能够求出三角形各个元素的三角形)，在一些复杂的问题中，需要把求解目标分解到两个或者更多个可解三角形之中．【变式探究】如图所示，一学生在河岸紧靠河边笔直行走，在A 处时，经观察，在河对岸有一参照物C 与学生前进方向成30°角，学生前进200 m 后，测得该参照物与前进方向成75°角，则河的宽度为( )A．50(3＋1)m B．100(3＋1)mC．50 2 m D．100 2 m【答案】A【解析】在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ACB＝75°－30°＝45°，AB＝200，由正弦定理得BC＝200×sin 30°sin 45°＝100 2（m），所以河的宽度为BCsin 75°＝100 2×2＋64＝50（3＋1）（m）.【命题热点突破四】正、余弦定理解具有空间结构的三角形综合问题例4、如图所示，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30 °的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75 °的方向上，仰角为30 °，则此山的高度CD＝________m.【答案】100 6【解析】依题意，在△ABC中，AB＝600，∠BAC＝30°，∠ACB＝75°－30°＝45°.由正弦定理得BCsin∠BAC＝ABsin∠ACB，即BCsin 30°＝600sin 45°，所以BC＝300 2.在△BCD中，∠CBD＝30°，CD＝BCtan∠CBD＝300 2·tan 30°＝100 6.【感悟提升】解三角形与三角函数的综合题，要优先考虑角的范围和角之间的关系；对最值或范围问题，可以转化为三角函数的值域来求．【变式探究】如图所示，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°，以及∠MAC＝75°，从C点测得∠MCA ＝60°.已知山高BC＝100 m，则山高MN＝________m.【答案】150【易错分析】 对于求解有空间结构的三角形问题，有两个易错点：一是方位角的确定；二是选择合适的三角形，并在相关三角形中进行边和角的转换． 【高考真题解读】1.【2016高考新课标2理数】若3cos()45πα-=，则sin 2α=（ ） （A ）725（B ）15 （C ）15- （D ）725-【答案】D【解析】2237cos 22cos 12144525ππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=⋅-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ，且cos 2cos 2sin 242ππααα⎡⎤⎛⎫⎡⎤-=-=⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦，故选D.2.【2016高考新课标3理数】若3tan 4α= ，则2cos 2sin 2αα+=（ ） (A)6425 (B) 4825 (C) 1 (D)1625【答案】A 【解析】 由3tan 4α=，得34sin ,cos 55αα==或34sin ,cos 55αα=-=-，所以2161264cos 2sin 24252525αα+=+⨯=，故选A ．3.【2016年高考四川理数】22cossin 88ππ-= .【答案】2【解析】由二倍角公式得22cossin 88ππ-=cos 4=π 1.【2016高考新课标3理数】在ABC △中，π4B =，BC 边上的高等于13BC ,则cos A =（ ）（A （B （C ）- （D ）-【答案】C2.【2016高考新课标2理数】ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若4cos 5A =，5cos 13C =，1a =，则b = ． 【答案】2113【解析】因为45cos ,cos 513A C ==，且,A C 为三角形的内角，所以312sin ,sin 513A C ==，63sin sin[π()]sin()sin cos cos sin 65B AC A C A C A C =-+=+=+=，又因为sin sin a b A B =，所以sin 21sin 13a Bb A ==.3.【2016高考天津理数】在△ABC 中，若AB ，120C ∠= ,则AC = （ ） （A ）1（B ）2（C ）3（D ）4【答案】A【解析】由余弦定理得213931AC AC AC =++⇒=,选A.4.【2016高考江苏卷】在锐角三角形ABC 中，若sin 2sin sin A B C =，则tan tan tan A B C 的最小值是 ▲ . 【答案】8. 【解析】s i n s i n ()2s i n A B +C B C B C B C==⇒+=，又t a n t a n ta nt an t a n1B +C A=B C -，因tata AB=++即最小值为8.1.【2016年高考四川理数】（本小题满分12分） 在△ABC 中，角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,且cos cos sin A B Ca b c+=.（I ）证明：sin sin sin A B C =； （II ）若22265b c a bc +-=，求tan B . 【答案】（Ⅰ）证明详见解析；（Ⅱ）4.（Ⅱ）由已知，b 2+c 2–a 2=65bc ，根据余弦定理，有 cos A=2222b c a bc+-=35．所以45． 由（Ⅰ），sin Asin B=sin Acos B+cos Asin B ，所以45sin B=45cos B+35sin B ， 故tan B=sin cos BB=4．2.【2016高考浙江理数】（本题满分14分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 已知b +c =2a cos B. （I ）证明：A =2B ；（II ）若△ABC 的面积2=4a S ，求角A 的大小.【答案】（I ）证明见解析；（II ）2π或4π．（Ⅱ）由24a S =得21sin 24a ab C =，故有1sin sin sin 2sin cos 2B C B B B ==，因为sin 0B ≠，所以sin cos C B =． 又B ，()0,πC ∈，所以π2C B =±． 当π2B C +=时，π2A =； 当π2C B -=时，π4A =．综上，π2A =或π4A =．3.【2016高考山东理数】（本小题满分12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知tan tan 2(tan tan ).cos cos A BA B B A+=+ （Ⅰ）证明：a +b =2c ; （Ⅱ）求cos C 的最小值. 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）12【解析】（Ⅱ）由（Ⅰ）知2a bc +=, 所以 2222222cos 22a b a b a b c C abab++-+-==（）311842b a a b =+-≥（），当且仅当a b =时，等号成立. 故 cos C 的最小值为12.1.【2015高考四川，理12】=+75sin 15sin .【答案】.【解析】法一、6sin15sin 75sin15cos152sin(1545)+=+=+=.法二、6sin15sin 75sin(4530)sin(4530)2sin 45cos30+=-++==.法三、6sin15sin 75442-+=+=.2.【2015高考浙江，理11】函数2()sin sin cos 1f x x x x =++的最小正周期是 ，单调递减区间是 ．【答案】π，]87,83[ππππk k ++，Z k ∈.【解析】1cos 2sin 23()1)2242x x f x x π-=++=-+，故最小正周期为π，单调递减区间为]87,83[ππππk k ++，Z k ∈.3.【2015高考天津，理15】（本小题满分13分）已知函数()22sin sin 6f x x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，R x ∈ (I)求()f x 最小正周期；(II)求()f x 在区间[,]34p p-上的最大值和最小值.【答案】(I)π; (II)max ()f x =,min 1()2f x =-. 【解析】(I) 由已知，有1cos 21cos21113()cos22cos222222x x f x x x xπ⎛⎫-- ⎪⎛⎫-⎝⎭=-=- ⎪⎝⎭112cos2sin 24426x x x π⎛⎫--=- ⎪⎝⎭.所以()f x 的最小正周期22T ππ==.(II)因为()f x 在区间[,]36p p --上是减函数，在区间[,]64p p -上是增函数，11(),(),()346244f f f πππ-=--=-=，所以()f x 在区间[,]34p p -上的最大值为4，最小值为12-.4.【2015高考重庆，理18】 已知函数()2sin sin 2f x x x xπ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（1）求()f x 的最小正周期和最大值；（2）讨论()f x 在2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性.【答案】（1）最小正周期为p，最大值为；（2）()f x 在5[,]612ππ上单调递增；()f x 在52[,]123ππ上单调递减.【解析】（1）2()sin sin cos sin cos 2)2f x x x x x x x π⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭11sin 2cos 2)sin 22sin(2)223x x x x x p =-+=--=--,因此()f x 的最小正周期为p，最大值为.（2）当2[,]63x ππ∈时，有023x ππ≤-≤，从而当0232x ππ≤-≤时,即5612x ππ≤≤时，()f x 单调递增，当223x πππ≤-≤时,即52123x ππ≤≤时，()f x 单调递减， 综上可知，()f x 在5[,]612ππ上单调递增；()f x 在52[,]123ππ上单调递减.5.【2015高考上海，理14】在锐角三角形C AB 中，1tan 2A =，D 为边C B 上的点，D∆AB 与CD ∆A 的面积分别为和．过D 作D E ⊥AB 于E ，DF C ⊥A 于，则D DF E⋅= ．【答案】1615-【解析】由题意得：1sin sin 242A A AB AC A AB AC ==⋅⋅=+⇒⋅=，又112,43222AB DE AC DF AB DE AC DF DE DF ⋅=⋅=⇒⋅⨯⋅=⇒⋅=因为DEAF 四点共圆，因此D DF E⋅=16cos()(15DE DF A π⋅⋅-==-6.【2015高考广东，理11】设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为，，，若a = 1sin 2B =，6C =π，则b = .【答案】1．【解析】因为1sin 2B =且()0,B π∈，所以6B π=或56B π=，又6C π=，所以6B π=，23A B C ππ=--=，又a =sin sin a b A B =即2sin sin36bππ=解得1b =，故应填入1．7.【2015高考湖北，理12】函数2π()4cos cos()2sin |ln(1)|22x f x x x x =---+的零点个数为 ． 【答案】2【解析】因为2π()4cos cos()2sin |ln(1)|22x f x x x x =---+|)1ln(|sin 2sin )cos 1(2+--+=x x x x |)1ln(|2sin +-=x x所以函数)(x f 的零点个数为函数x y 2sin =与|)1ln(|+=x y 图象的交点的个数， 函数x y 2sin =与|)1ln(|+=x y 图象如图，由图知，两函数图象有2个交点， 所以函数)(x f 有2个零点.8.【2015高考重庆，理13】在ABC 中，B =120o，ABA 的角平分线AD则AC =_______.9.【2015高考福建，理12】若锐角ABC ∆的面积为，且5,8AB AC == ，则BC 等于________． 【答案】7【解析】由已知得ABC ∆的面积为1sin 20sin 2AB AC A A ⋅==sin A =，(0,)2A π∈，所以3A π=．由余弦定理得2222cos BC AB AC AB AC A =+-⋅=49，7BC =．10.【2015高考新课标2，理17】（本题满分12分）ABC ∆中，D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，ABD ∆面积是ADC ∆面积的2倍． (Ⅰ) 求sin sin BC ∠∠；(Ⅱ)若1AD =，2DC =，求BD 和AC 的长．【答案】(Ⅰ)12；(Ⅱ)．【解析】(Ⅰ)1sin 2ABD S AB AD BAD ∆=⋅∠，1sin 2ADC S AC AD CAD ∆=⋅∠，因为2ABDADC S S ∆∆=，BAD CAD ∠=∠，所以2AB AC =．由正弦定理可得sin 1sin 2B AC C AB ∠==∠．(Ⅱ)因为::ABD ADC S S BD DC ∆∆=，所以BD =ABD ∆和ADC ∆中，由余弦定理得2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-⋅∠，2222cos AC AD DC AD DC ADC =+-⋅∠． 222222326AB AC AD BD DC +=++=．由(Ⅰ)知2AB AC =，所以1AC =．。

母题六解三角形【母题原题1】【2017新课标3，文15】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b，c。

已知C=60°,b=6，c=3,则A=_________。

【答案】75°【考点】正弦定理【名师点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题,这就需要根据正、余弦定理，结合已知条件灵活转化为边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的。

其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化。

第三步:求结果.【母题原题2】【2017新课标3,文9】在ABC△中，π4B，BC边上的高等于1BC，则sin A（）3（A ）310 （B ）1010（C ）55（D)31010【答案】D 【解析】试题分析：设BC 边上的高线为AD ，则3,2BC AD DC AD ==，所以225AC AD DC AD =+=．由正弦定理，知sin sin AC BCB A=,即53sin 22AD ADA =，解得310sin 10A =,故选D ．【考点】正弦定理【方法点拨】在平面几何图形中求相关的几何量时，需寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件,常常将所涉及到已知几何量与所求几何集中到某一个三角形，然后选用正弦定理与余弦定理求解．【命题意图】 高考对本部分内容的考查主要体现在下面几个方面：（1)考查余弦定理、三角形面积公式,考查方程思想、运算能力,是历年常考内容.（2)考查利用正、余弦定理判断三角形的形状．(3）考查利用正、余弦定理解任意三角形的方法．【命题规律】高考试题对该部分内容考查的主要角度有两种：1。

利用正、余弦定理求三角形中的边、角及其面积问题是高考考查的热点．2.常与三角恒等变换相结合，综合考查三角形中的边与角、三角形形状的判断等.【答题模板】解答本类题目，以2017年试题为例，一般考虑如下三步：第一步:定条件，即确定三角形中的已知和所求,在图形中标出来，然后确定转化的方向。

2017高考理科解三角形试题预测及高真题(含答案解析）结论总结：（1)正弦定理:错误!＝错误!＝错误!（2)余弦定理:a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ,c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ． 余弦定理可以变形为：cos A ＝错误!，cos B ＝错误!，cos C ＝错误!。

（3）S △ABC ＝错误!ab sin C ＝错误!bc sin A ＝错误!ac sin B（4）已知两边和其中一边的对角，解三角形时，注意解的情况．如已知a ，b ，A ，则A 为锐角A 为钝角或直角图形关系 式 a ＜b sin A a ＝b sin Ab sin A ＜a ＜b a ≥b a ＞b a ≤b解的 个数无解 一解 两解 一解 一解 无解常用二级结论：（1）在三角形中，大角对大边,大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC 中，A ＞B ⇔a ＞b ⇔sin A ＞sin B .（2）正弦定理的变形：错误!＝错误!＝错误!＝2R ，其中R 是三角形外接圆的半径． ①a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ； ②a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C ;③sin A ＝错误!，sin B ＝错误!，sin C ＝错误!等形式，以解决不同的三角形问题．（4）三角形的面积公式:S △ABC ＝错误!ab sin C ＝错误!bc sin A ＝错误!ac sin B ＝错误!＝错误!(a ＋b ＋c ）·r (R 是三角形外接圆半径，r 是三角形内切圆的半径）,并可由此计算R ,r 。

（5）解三角形的常用途径：①化边为角；②化角为边，并常用正弦(余弦）定理实施边、角转换．考点交汇展示：(1）与三角函数的图像与性质的交汇【2015高考山东，理16】设()2sin cos cos 4f x x x x π⎛⎫=-+⎪⎝⎭。

专题10 解三角形1．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A −b sin B =4c sin C ，cos A =14-，则bc= A ．6 B ．5 C ．4D ．3【答案】A【解析】由已知及正弦定理可得2224a b c -=，由余弦定理推论可得2222214131cos ,,,422424b c a c c c A bc bc b +---==∴=-∴=3462b c ∴=⨯=，故选A ． 【名师点睛】本题考查正弦定理及余弦定理推论的应用．先利用余弦定理推论得出a ，b ，c 关系，再结合正弦定理边角互换列出方程，解出结果.2．【2019年高考北京卷文数】如图，A ，B 是半径为2的圆周上的定点，P 为圆周上的动点，APB ∠是锐角，大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为A ．4β+4cos βB ．4β+4sin βC ．2β+2cos βD ．2β+2sin β【答案】B【解析】设圆心为O ，如图1，连接OA ，OB ，AB ，OP ，则22AOB APB ∠=∠=β，所以22242OABS ⨯==扇形ββ，因为ABP AOB OAB S S S S =+-△△阴影扇形，且AOB OAB S S △扇形，都已确定， 所以当ABP S △最大时，阴影部分面积最大.观察图象可知，当P 为弧AB 的中点时（如图2），阴影部分的面积S 取最大值，此时∠BOP =∠AOP =π−β，面积S 的最大值为ABP AOB OAB S S S S =+-△△阴影扇形=4β+S △POB + S △POA =4β+12|OP ||OB |sin （π−β）+12|OP ||OA |sin （π−β）=4β+2sin β+2sin β=4β+4 sin β，故选B. 【名师点睛】本题主要考查阅读理解能力、数学应用意识、数形结合思想及数学式子变形和运算求解能力，有一定的难度.关键是观察分析区域面积最大时的状态，并将面积用边角等表示.3．【2018年高考全国Ⅲ文数】ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若ABC △的面积为2224a b c +-，则C =A ．2πB ．3π C ．4πD ．6π【答案】C【解析】由题可知2221sin 24ABCa b c S ab C +-==△，所以2222sinC a b c ab +-=， 由余弦定理2222cos a b c ab C +-=，得sin cos C C =，因为()0,πC ∈，所以π4C =， 故选C.【名师点睛】本题主要考查余弦定理与三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查考生的运算求解能力，考查的核心素养是数学运算.解三角形的题型一般有两类：一是边角关系的转化，考生需对所给的边角关系进行恒等变形；二是有几何背景的题型，难点在于涉及两个或两个以上的三角形，解决此类问题可利用正、余弦定理进行求解，同时要重视三角函数的知识在解三角形中的运用.4．【2018年高考全国Ⅱ文数】在ABC △中，cos25C =，1BC =，5AC =，则AB =A ． BCD ．【答案】A【解析】因为cos2C =cos C =22cos 2C −1=2×2−1=35-.于是，在△ABC 中，由余弦定理得AB 2=AC 2+BC 2−2AC × BC ×cos C =52+12−2×5×1×(35-)=32，所以AB =.故选A.【名师点睛】本题主要考查二倍角公式、余弦定理，考查考生的运算求解力，考查的数学核心素养是数学运算.解三角形是近几年高考中的高频者点，将解三角形与其他知识巧妙地融合在一起，既体现了试题设计的亮点，又体现了对所学知识的交汇考查.5．【2017年高考全国Ⅰ文数】△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知sin sin (sin cos )0B A C C +-=，a =2，c C =A ．π12B ．π6 C ．π4D ．π3【答案】B【解析】由题意sin()sin (sin cos )0A C A C C ++-=得sin cos cos sin sin sin sin cos 0A C A C A C A C ++-=，即πsin (sin cos )sin()04C A A C A +=+=，所以3π4A =．由正弦定理sin sin a c A C =得23πsin sin 4C =，即1sin 2C =， 因为c <a ，所以C<A ， 所以π6C =，故选B ． 【名师点睛】在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．6．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知b sin A +a cos B =0，则B =___________.【答案】3π4【解析】由正弦定理，得sin sin sin cos 0B A A B +=．(0,),(0,)A B ∈π∈π，sin 0,A ∴≠∴sin cos 0B B +=，即tan 1B =-，3.4B π∴=【名师点睛】本题考查利用正弦定理转化三角恒等式，渗透了逻辑推理和数学运算素养．采取定理法，利用转化与化归思想解题．本题容易忽视三角形内角的范围致误，三角形内角均在(0,π)范围内，化边为角，结合三角函数的恒等变化求角．7．【2019年高考浙江卷】在ABC △中，90ABC ∠=︒，4AB =，3BC =，点D 在线段AC 上，若45BDC ∠=︒，则BD =___________，cos ABD ∠=___________．【解析】如图，在ABD △中，由正弦定理有：sin sin AB BD ADB BAC =∠∠，而3π4,4AB ADB =∠=，5AC ，34sin ,cos 55BC AB BAC BAC AC AC ∠==∠==，所以BD =ππcos cos()cos cos sin sin 4410ABD BDC BAC BAC BAC ∠=∠-∠=∠+∠=.【名师点睛】本题主要考查解三角形问题，即正弦定理、三角恒等变换、数形结合思想及函数方程思想.在ABD △中应用正弦定理，建立方程，进而得解.解答解三角形问题，要注意充分利用图形特征.8．【2018年高考北京卷文数】若ABC △)222a c b+-，且∠C 为钝角，则∠B =_________；c a 的取值范围是_________.【答案】60︒，()2,+∞【解析】)2221sin 2ABC S a c b ac B =+-=△，2222a c b ac +-∴=，即cos B =，sin πcos 3B B B ∴=∠=，则2π1sin cos sin sin 1132sin sin sin tan 2A A Ac C a A A A A ⎛⎫⎛⎫---⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭====+， C ∠为钝角，ππ,036B A ∠=∴<∠<，)1tan ,tan A A ⎛∴∈∈+∞ ⎝⎭，故()2,ca∈+∞.故答案为60︒，()2,+∞.【名师点睛】此题考查解三角形的综合应用，能够根据题干给出的信息选用合适的余弦定理公式是解题的第一个关键；根据三角形内角πA B C ++=的隐含条件，结合诱导公式及正弦定理，将问题转化为求解含A ∠的表达式的最值问题是解题的第二个关键.9．【2018年高考浙江卷】在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c．若a =b =2，A =60°，则sin B =___________，c =___________．，3 【解析】由正弦定理得sin sin a A b B =，所以πsin sin ,37B == 由余弦定理得22222cos ,742,3a b c bc A c c c =+-∴=+-∴=（负值舍去）.【名师点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化为边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.解答本题时，根据正弦定理得sin B ，根据余弦定理解出c .10．【2018年高考全国Ⅰ文数】ABC △的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，已知sin sin 4sin sin b C c B a B C +=，2228b c a +-=，则△ABC 的面积为________．【解析】根据题意，由sin sin 4sin sin b C c B a B C +=，结合正弦定理可得sin sin sin sin B C C B +4sin sin sin A B C =，即1sin 2A =，由2228b c a +-=，结合余弦定理可得2cos 8bc A =，所以A 为锐角，且cos A =，从而求得3bc =，所以ABC △的面积为111sin 22323S bc A ==⨯=，. 【名师点睛】本题主要考查正、余弦定理的应用与三角形的面积公式，考查考生的化归与转化能力、运算求解能力，考查的数学核心素养是数学运算.解答本题时，利用正弦定理，通过sin sin b C c B +=4sin sin a B C ，可以求出1sin 2A =，再利用余弦定理求出bc =，然后利用三角形的面积公式求解即可.11．【2018年高考江苏卷】在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为 ▲ ． 【答案】9【解析】由题意可知，ABC ABD BCD S S S =+△△△，由角平分线的性质和三角形的面积公式得111sin1201sin 601sin 60222ac a c ︒=⨯⨯︒+⨯⨯︒，化简得ac a c =+，即111a c+=，因此1144(4)()559c a a c a c a c a c +=++=++≥+=，当且仅当23c a ==时取等号，则4a c +的最小值为9.【名师点睛】本题主要考查三角形的面积公式、基本不等式，考查分析问题、解决问题的能力，考查的核心素养是数学运算.应用基本不等式求解最值时，要注意对条件“一正、二定、三相等”进行检验，尤其是等号成立的条件.12．【2017年高考全国Ⅱ卷文数】ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2cos cos cos b B a C c A =+，则B = .【答案】π3【解析】由正弦定理可得1π2sin cos sin cos sin cos sin()sin cos 23B B AC C A A C B B B =+=+=⇒=⇒=. 故答案为π3. 【名师点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向. 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化. 第三步：求结果.13．【2017年高考全国Ⅲ卷文数】△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知C =60°，b，c =3，则A =_________.【答案】75°【解析】由正弦定理sin sin b c B C=，得sin 2sin 32b C Bc ===，结合b c <可得45B =，则18075A B C =--=.【名师点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理，结合已知条件灵活转化为边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向. 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化. 第三步：求结果.14．【2017年高考浙江卷】已知△ABC ，AB =AC =4，BC =2． 点D 为AB 延长线上一点，BD =2，连结CD ，则△BDC 的面积是______，cos ∠BDC =_______．【答案】,24【解析】取BC 中点E ，由题意：AE BC ⊥，△ABE 中，1cos 4BE ABC AB ∠==，∴1cos ,sin 4DBC DBC ∠=-∠==∴1sin 22△BCD S BD BC DBC =⨯⨯⨯∠=． ∵2ABC BDC ∠=∠，∴21cos cos 22cos 14ABC BDC BDC ∠=∠=∠-=，解得cos 4BDC ∠=或cos 4BDC ∠=-（舍去）．综上可得，△BCD ，cos BDC ∠=． 【名师点睛】利用正、余弦定理解决实际问题的一般思路：（1）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可以利用正弦定理或余弦定理求解；（2）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个或两个以上三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，再逐步解其他三角形，有时需要设出未知量，从几个三角形中列出方程（组），解方程（组）得出所要的解．15．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】ABC △的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知sin sin 2A Ca b A +=． （1）求B ；（2）若△ABC 为锐角三角形，且c =1，求△ABC 面积的取值范围．【答案】（1）B =60°；（2）(82. 【解析】（1）由题设及正弦定理得sin sinsin sin 2A CA B A +=． 因为sin A ≠0，所以sinsin 2A CB +=． 由180A BC ︒++=，可得sincos 22A C B +=，故cos 2sin cos 222B B B=． 因为cos02B ≠，故1sin 22B =，因此B =60°．（2）由题设及（1）知△ABC的面积4ABC S a =△． 由正弦定理得()sin 120sin 1sin sin 2tan 2C c A a C C C ︒-===+．由于△ABC 为锐角三角形，故0°<A <90°，0°<C <90°，由（1）知A +C =120°，所以30°<C <90°，故122a <<ABC S <<△． 因此，△ABC面积的取值范围是⎝⎭．【名师点睛】这道题考查了三角函数的基础知识，以及正弦定理的使用（此题也可以用余弦定理求解），最后考查V ABC 是锐角三角形这个条件的利用，考查的很全面，是一道很好的考题. 16．【2019年高考北京卷文数】在△ABC 中，a =3，–2b c =，cos B =12-． （1）求b ，c 的值； （2）求sin （B +C ）的值． 【答案】（1）7b =，5c =；（2）14. 【解析】（1）由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得2221323()2b c c =+-⨯⨯⨯-．因为2b c =+，所以2221(2)323()2c c c +=+-⨯⨯⨯-． 解得5c =． 所以7b =． （2）由1cos 2B =-得sin 2B =．由正弦定理得sin sin 14a A Bb ==． 在ABC △中，B C A +=π-．所以sin()sin 14B C A +==． 【名师点睛】本题主要考查余弦定理、正弦定理的应用，两角差的正弦公式的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.17．【2019年高考天津卷文数】在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知2b c a +=，3sin 4sin c B a C =.（1）求cos B 的值；（2）求sin 26πB ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.【答案】（1）14-；（2）【解析】（1）在ABC △中，由正弦定理sin sin b cB C=，得sin sin b C c B =， 又由3sin 4sin c B a C =，得3sin 4sin b C a C =，即34b a =．又因为2b c a +=，得到43b a =，23c a =． 由余弦定理可得222222416199cos 22423a a a a cb B ac a a +-+-===-⋅⋅． （2）由（1）可得sin 4B ==，从而sin 22sin cos 8B B B ==-，227cos 2cos sin 8B B B =-=-，故717sin 2sin 2cos cos 2sin 666828216B B B πππ⎛⎫+=+=--⨯=-⎪⎝⎭． 【名师点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定理、余弦定理等基础知识．考查运算求解能力． 18．【2019年高考江苏卷】在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．（1）若a =3c ，b，cos B =23，求c 的值； （2）若sin cos 2A B a b =，求sin()2B π+的值．【答案】（1）3c =；（2）5.【解析】（1）因为23,3a cb B ===，由余弦定理222cos 2a c b B ac +-=，得2222(3)323c c c c+-=⨯⨯，即213c =.所以3c =. （2）因为sin cos 2A Ba b =， 由正弦定理sin sin a b A B =，得cos sin 2B Bb b=，所以cos 2sin B B =. 从而22cos (2sin )B B =，即()22cos 41cos B B =-，故24cos 5B =.因为sin 0B >，所以cos 2sin 0B B =>，从而cos B =.因此πsin cos 25B B ⎛⎫+== ⎪⎝⎭【名师点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、诱导公式等基础知识，考查运算求解能力.19．【2019年高考江苏卷】如图，一个湖的边界是圆心为O 的圆，湖的一侧有一条直线型公路l ，湖上有桥AB （AB 是圆O 的直径）．规划在公路l 上选两个点P 、Q ，并修建两段直线型道路PB 、QA ．规划要求：线段PB 、QA 上的所有点到点O 的距离均不小于圆．．．．O 的半径．已知点A 、B 到直线l 的距离分别为AC 和BD （C 、D 为垂足），测得AB =10，AC =6，BD =12（单位：百米）．（1）若道路PB 与桥AB 垂直，求道路PB 的长；（2）在规划要求下，P 和Q 中能否有一个点选在D 处？并说明理由；（3）在规划要求下，若道路PB 和QA 的长度均为d （单位：百米）.求当d 最小时，P 、Q 两点间的距离．【答案】（1）15（百米）；（2）见解析；（3）17+. 【解析】解法一：（1）过A 作AE BD ⊥，垂足为E .由已知条件得，四边形ACDE 为矩形，6, 8DE BE AC AE CD =====.' 因为PB ⊥AB ，所以84cos sin 105PBD ABE ∠=∠==. 所以12154cos 5BD PB PBD ===∠. 因此道路PB 的长为15（百米）.（2）①若P 在D 处，由（1）可得E 在圆上，则线段BE 上的点（除B ，E ）到点O 的距离均小于圆O 的半径，所以P 选在D 处不满足规划要求. ②若Q 在D 处，连结AD ，由（1）知10AD ==，从而2227cos 0225AD AB BD BAD AD AB +-∠==>⋅，所以∠BAD 为锐角.所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径. 因此，Q 选在D 处也不满足规划要求. 综上，P 和Q 均不能选在D 处. （3）先讨论点P 的位置.当∠OBP <90°时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求；当∠OBP ≥90°时，对线段PB 上任意一点F ，OF ≥OB ，即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径，点P 符合规划要求.设1P 为l 上一点，且1PB AB ⊥，由（1）知，1P B =15，此时11113sin cos 1595PD PB PBD PB EBA =∠=∠=⨯=； 当∠OBP >90°时，在1PPB △中，115PB PB >=. 由上可知，d ≥15. 再讨论点Q 的位置.由（2）知，要使得QA ≥15，点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求.当QA =15时，1C Q =此时，线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.综上，当PB ⊥AB ，点Q 位于点C 右侧，且CQ =d 最小，此时P ，Q 两点间的距离PQ =PD +CD +CQ =17+因此，d 最小时，P ，Q 两点间的距离为17+. 解法二：（1）如图，过O 作OH ⊥l ，垂足为H.以O 为坐标原点，直线OH 为y 轴，建立平面直角坐标系.因为BD =12，AC =6，所以OH =9，直线l 的方程为y =9，点A ，B 的纵坐标分别为3，−3. 因为AB 为圆O 的直径，AB =10，所以圆O 的方程为x 2+y 2=25. 从而A （4，3），B （−4，−3），直线AB 的斜率为34. 因为PB ⊥AB ，所以直线PB 的斜率为43-， 直线PB 的方程为42533y x =--.所以P （−13，9），15PB ==. 因此道路PB 的长为15（百米）.（2）①若P 在D 处，取线段BD 上一点E （−4，0），则EO =4<5，所以P 选在D 处不满足规划要求. ②若Q 在D 处，连结AD ，由（1）知D （−4，9），又A （4，3），所以线段AD ：36(44)4y x x =-+-剟.在线段AD 上取点M （3，154），因为5OM =<=，所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径. 因此Q 选在D 处也不满足规划要求. 综上，P 和Q 均不能选在D 处. （3）先讨论点P 的位置.当∠OBP <90°时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求；当∠OBP ≥90°时，对线段PB 上任意一点F ，OF ≥OB ，即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径，点P 符合规划要求.设1P 为l 上一点，且1PB AB ⊥，由（1）知，1P B =15，此时1P （−13，9）； 当∠OBP >90°时，在1PPB △中，115PB PB >=. 由上可知，d ≥15. 再讨论点Q 的位置.由（2）知，要使得QA≥15，点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求.当QA =15时，设Q （a ，9），由15(4)AQ a ==>，得a =4+Q （4+，9），此时，线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.综上，当P （−13，9），Q （4+9）时，d 最小，此时P ，Q 两点间的距离4(13)17PQ =+-=+.因此，d 最小时，P ，Q 两点间的距离为17+.【名师点睛】本小题主要考查三角函数的应用、解方程、直线与圆等基础知识，考查直观想象和数学建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力.20．【2018年高考天津卷文数】在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知b sin A =a cos(B –π6)． （1）求角B 的大小；（2）设a =2，c =3，求b 和sin(2A –B )的值．【答案】（1）π3；（2）b ；sin(2A –B )=14【解析】（1）在△ABC 中，由正弦定理sin sin a bA B=，可得sin sin b A a B =，又由πsin cos()6b A a B =-，得πsin cos()6a B a B =-，即πsin cos()6B B =-，可得tan B =又因为(0π)B ∈，，可得B =π3．（2）在△ABC 中，由余弦定理及a =2，c =3，B =π3，有2222cos 7b a c ac B =+-=，故b ．由πsin cos()6b A a B =-，可得sin A =因为a <c ，故cosA =．因此sin 22sin cos A A A ==21cos 22cos 17A A =-=．所以，sin(2)sin 2cos cos 2sin A B A B A B -=-=11727214⨯-⨯= 【名师点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系，两角差的正弦与余弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定理、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力．在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．21．【2017年高考天津卷文数】在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．已知sin 4sin a A b B =，222)ac a b c =--．（1）求cos A 的值； （2）求sin(2)B A -的值．【答案】（1）5-2）5-． 【解析】（1）由sin 4sin a A b B =及sin sin a bA B=，得2a b =．由222)ac a b c =--及余弦定理，得2225cos 2b c aA bcac +-=== （2）由（1）可得sin A =，代入sin 4sin a A b B =，得sin sin 4a A B b ==． 由（1）知A为钝角，所以cos B ==． 于是4sin 22sin cos 5B B B ==，23cos 212sin 5B B =-=，故43sin(2)sin 2cos cos 2sin (55B A B A B A -=-=⨯-=． 【名师点睛】利用正弦定理进行“边转角”可寻求角的关系，利用“角转边”可寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系可求角，利用两角和差的三角公式及二倍角公式可求三角函数值．利用正、余弦定理解三角形是高考的高频考点，常与三角形内角和定理、三角形面积公式等相结合，利用正、余弦定理进行解题．解答本题时，（1）首先根据正弦定理sin sin a bA B=得到2a b =，再根据余弦定理即可求得cos A 的值；（2）根据（1）的结论和条件，由cos A 求得sin A ，然后根据sin 4sin a A b B =求得sin B ，再求cos B ，然后由二倍角公式求sin 2,cos 2B B ，最后代入sin(2)B A -的展开式即可．22．【2017年高考山东卷文数】在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b =3，6AB AC ⋅=-，3ABC S =△，求A 和a .【答案】3=π,4A a 【解析】因为6AB AC ⋅=-，所以cos 6bc A =-， 又3ABC S =△，所以sin 6bc A =， 因此tan 1A =-，又0πA <<， 所以3π4A =， 又3b =，所以c =由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得29823(2a =+-⨯⨯-，所以a =【名师点睛】正、余弦定理是应用极为广泛的两个定理，它将三角形的边和角有机地联系起来，从而使三角与几何产生联系，为求与三角形有关的量(如面积、外接圆、内切圆半径和面积等)提供了理论依据，也是判断三角形形状、证明三角形中有关等式的重要依据．其主要方法有：化角法，化边法，面积法，运用初等几何法．注意体会其中蕴涵的函数与方程思想、等价转化思想及分类讨论思想. 23．【2017年高考江苏卷】如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm ，容器Ⅰ的底面对角线AC 的长为cm ，容器Ⅱ的两底面对角线EG ，11E G 的长分别为14cm 和62cm ．分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm ．现有一根玻璃棒l ，其长度为40cm ．（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）（1）将l 放在容器Ⅰ中，l 的一端置于点A 处，另一端置于侧棱1CC 上，求l 没入水中部分的长度； （2）将l 放在容器Ⅱ中，l 的一端置于点E 处，另一端置于侧棱1GG 上，求l 没入水中部分的长度．【答案】（1）16 cm(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为24cm)；（2）20 cm(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为20cm)．【解析】（1）由正棱柱的定义，1CC ⊥平面ABCD ，所以平面11A ACC ⊥平面ABCD ，1CC AC ⊥． 记玻璃棒的另一端落在1CC 上点M 处．因为40AC AM ==，所以30MC ==，从而3sin 4MAC =∠， 记AM 与水面的交点为1P ，过1P 作P 1Q 1⊥AC ，Q 1为垂足， 则P 1Q 1⊥平面ABCD ，故P 1Q 1=12，从而AP 1=1116sin P MACQ =∠．答：玻璃棒l 没入水中部分的长度为16cm ．(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为24cm)（2）如图，O ，O 1是正棱台的两底面中心．由正棱台的定义，OO 1⊥平面EFGH ，所以平面E 1EGG 1⊥平面EFGH ，O 1O ⊥EG ． 同理，平面E 1EGG 1⊥平面E 1F 1G 1H 1，O 1O ⊥E 1G 1． 记玻璃棒的另一端落在GG 1上点N 处． 过G 作GK ⊥E 1G 1，K 为垂足，则GK =OO 1=32． 因为EG = 14，E 1G 1= 62，所以KG 1=6214242-=，从而140GG ===． 设1,,EGG ENG αβ==∠∠则114sin sin()cos 25KGG KGG απ=+==∠∠．因为2απ<<π，所以3cos 5α=-．在ENG △中，由正弦定理可得4014sin sin αβ=，解得7sin 25β=． 因为02βπ<<，所以24cos 25β=． 于是42473sin sin()sin()sin co 3s cos sin ()5252555NEG αβαβαβαβ=π--=+=+=⨯+-⨯=∠． 记EN 与水面的交点为P 2，过P 2作P 2Q 2⊥EG ，Q 2为垂足，则P 2Q 2⊥平面EFGH ， 故P 2Q 2=12，从而EP 2=2220sin P NEGQ =∠．答：玻璃棒l 没入水中部分的长度为20cm ．(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为20cm)【名师点睛】解答本题时，（1）转化为直角三角形ACM 中，利用相似性质求解AP 1；（2）转化到三角形EGN 中，先利用直角梯形性质求角1EGG ∠，再利用正弦定理求角ENG ∠，最后根据直角三角形求高，即为l 没入水中部分的长度．解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的．其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向；第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化；第三步：求结果．。

专题4.3 解三角形【三年高考】1. 【2021高考新课标3理数】在ABC △中，π4B ，BC 边上高等于13BC ,那么cos A 〔 〕〔A 〕31010 〔B 〕1010〔C 〕 〔D 〕 【答案】C2.【2021高考新课标2理数】ABC ∆内角,,A B C 对边分别为,,a b c ，假设，，1a =，那么b = ． 【答案】2113【解析】因为，且,A C 为三角形内角，所以，13sin sin[()]sin()sin cos cos sin 65B AC A B A C A C π=-+=+=+=，又因为， 所以.3．【2021高考上海理数】ABC ∆三边长分别为3,5,7，那么该三角形外接圆半径等于_________. 73【解析】由3,5,7a b c ===，∴，∴，∴4．【2021年高考北京理数】在∆ABC 中，2222+=a c b ac . 〔1〕求B ∠ 大小；〔22cos cos A C + 最大值.5．【2021高考新课标1卷】 ABC ∆内角A ,B ,C 对边分别为a ,b ,c ,2cos (cos cos ).C a B+b A c = 〔I 〕求C ； 〔II 〕假设7,c ABC =∆33,求ABC 周长． 【解析】〔I 〕由及正弦定理得,()2cosC sin cos sin cos sinC A B+B A =,即()2cosCsin sinC A+B =．故2sinCcosC sinC =．可得,所以．〔II 〕由,．又,所以6ab =．由及余弦定理得,222cosC 7a b ab +-=． 故2213a b +=,从而()225a b +=．所以C ∆AB 周长为57．6. 【2021 高考上海，理14】在锐角三角形C AB 中，，D 为边C B 上点，D ∆AB 与CD ∆A 面积分别为2和4．过D 作D E ⊥AB 于E ，DF C ⊥A 于F ，那么D DF E⋅= ． 【答案】1615-【解析】由题意得：1sin sin 24125255A A AB AC A AB AC =⋅⋅=+⇒⋅=112,43222125AB DE AC DF AB DE AC DF DE DF ⋅=⋅=⇒⋅⨯⋅=⇒⋅=因为DEAF 四点共圆，因此D DF E⋅=16cos()(151255DE DF A π⋅⋅-==-7.【2021 高考湖北，理13】如图，一辆汽车在一条水平公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30方向上，行驶600m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75方向上，仰角为30，那么此山高度CD = m.【答案】61008.【2021 高考山东，理16】设()2sin cos cos 4f x x x x π⎛⎫=-+⎪⎝⎭. 〔Ⅰ〕求()f x 单调区间；〔Ⅱ〕在锐角ABC ∆中，角,,A B C 对边分别为,,a b c ,假设,求ABC ∆面积最大值.【解析】〔I 〕由题意知()1cos 2sin 2222x x f x π⎛⎫++ ⎪⎝⎭=-sin 21sin 21sin 2222x x x -=-=- 由222,22k x k k Z ππππ-+≤≤+∈ 可得,44k x k k Z ππππ-+≤≤+∈，由3222,22k x k k Z ππππ+≤≤+∈ 可得3,44k x k k Z ππππ+≤≤+∈，所以函数()f x 单调递增区间是(),44k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦ ； 单调递减区间是()3,44k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦〔II 〕由 得 ，由题意知A 为锐角，所以 ，由余弦定理：2222cos a b c bc A =+- ，可得：22132bc b c bc =+≥ ，即：23,bc ≤+ 当且仅当b c =时等号成立.因此 ，所以ABC ∆面积最大值为9.【2021 高考四川，理19】 如图，A ，B ，C ，D 为平面四边形ABCD 四个内角. 〔1〕证明：〔2〕假设180,6,3,4,5,A C AB BC CD AD +=====求tantan tan tan 2222A B C D+++值.A BCD222cos AB AD AB AD A +-⋅222cos BC CD BC CD A =++⋅，那么2222222265343cos 2()2(6534)7AB AD BC CD A AB AD BC CD +--+--===⋅+⋅⨯+⨯，于是223210sin 1cos 1()7A A =-=-=.连结AC ，同理可得2222222263541cos 2()2(6354)19AB BC AD CD B AB BC AD CD +--+--===⋅+⋅⨯+⨯，于是221610sin 1cos 1()19B B =-=-=tan tan tan tan 2222A B C D +++. 10. 【2021全国2高考理第4题】钝角三角形ABC 面积是12，AB=1，2，那么AC=( ) 5【答案】B11.【2021天津高考理第12题】在ABC 中，内角,,A B C 所对边分别是,,a b c ．，2sin 3sin B C ，那么cos A 值为_______． 【答案】14-． 【解析】因为32sin 3sin ,23,,2B C b c bc 代入得2a c ，由余弦定理得2221cos 24b c a Abc． 12.【2021高考浙江理第18题】在ABC ∆中，内角,,A B C 所对边分别为,,a b c .,3a b c ≠=22cos -cos 3cos 3cos .A B A A B B =〔I 〕求角C 大小；〔II 〕假设，求ABC ∆面积.【三年高考命题回忆】纵观前三年各地高考试题, 解三角形问题，是每年高考必考知识点之一，题型一般是选择和填空形式，大题往往结合三角恒等变换，也有单独解三角形,主要考察正弦定理或余弦定理运用，以及在三角形中运用三角公式进展三角变换能力和利用三角形面积求边长等,考察利用三角公式进展恒等变形技能，以及根本运算能力，特别突出算理方法考察．【2021年高考复习建议与高考命题预测】由前三年高考命题形式可以看出 , 高考对解三角形考察，以正弦定理、余弦定理综合运用为主，从近几年高考试题来看，正弦定理、余弦定理是高考热点，主要涉及三角形边角转化、三角形形状判断、三角形内三角函数求值以及三角恒等式证明问题，立体几何体空间角以及解析几何中有关角等问题.今后高考命题会以正弦定理、余弦定理为知识框架，以三角形为主要依托，结合实际应用问题考察正弦定理、余弦定理及应用.题型一般为选择题、填空题，也可能是中、难度解答题, 主要考察学生分析问题、解决问题能力和处理交汇性问题能力．故在2021年复习备考中，注意掌握利用正弦定理、余弦定理转化为三角形中各边之间关系或各角之间关系，并结合三角形内角和为180°，诱导公式，同角三角函数根本关系，两角和与差正弦、余弦、正切公式进展化简求值．预测2021年高考仍将以正弦定理、余弦定理，尤其是两个定理综合应用为主要考点，重点考察计算能力以及应用数学知识分析和解决问题能力．【2021年高考考点定位】高考对解三角形考察有两种主要形式：一是直接考察正弦定理、余弦定理；二是以正弦定理、余弦定理为工具考察涉及三角形边角转化、三角形形状判断、三角形内三角函数求值以及三角恒等式证明问题.从涉及知识上讲，常与诱导公式，同角三角函数根本关系，两角和与差正弦、余弦、正切公式,向量等知识相联系，小题目综合化是这局部内容一种趋势.【考点1】利用正余弦定理在三角形中求三角函数值、求角、求边长 【备考知识梳理】1．直角三角形中各元素间关系：如图，在ABC 中，90C =︒，,,AB c AC b BC a ===. 〔1〕三边之间关系：222a b c +=.〔勾股定理〕 〔2〕锐角之间关系：90A B +=︒； 〔3〕边角之间关系：〔锐角三角函数定义〕 ，，.46810a b c CBA2．斜三角形中各元素间关系：如图，在ABC 中，,,A B C 为其内角，,,a b c 分别表示,,A B C 对边. 〔1〕三角形内角和：A B C π++=.〔2〕正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角正弦比相等2sin sin sin a b cR A B C===.〔R 为外接圆半径〕 变形：2sin a R A =，2sin b R B =，2sin c R C =;sin ,sin ,sin 222a b cA B C R R R===; ::sin :sin :sin a b c A B C =；2sin sin sin sin a b c aR A B C A++==++.〔3〕余弦定理：三角形任何一边平方等于其他两边平方和减去这两边与它们夹角余弦积两倍2222cos a b c bc A =+-；2222cos b a c ac B =+-；2222cos c a b ab C =+-.推论：;;.变形：2222cos bc A b c a =+-;2222cos ac B a c b =+-;2222cos ab C a b c =+-.【规律方法技巧】解斜三角形常规思维方法是：〔1〕两角和一边〔如,,A B c 〕，由A B C π++=求C ，由正弦定理求,a b ；〔2〕两边和夹角〔如,,a b C 〕，应用余弦定理求c 边；再应用正弦定理先求较短边所对角，然后利用A B C π++=，求另一角；〔3〕两边和其中一边对角〔如,,a b A 〕，应用正弦定理求B ，由A B C π++=求C ，再由正弦定理或余弦定理求c 边，要注意解可能有多种情况；A 为锐角 A 为钝角或直角 图形关系 式 a ＜b sin A a ＝b sin A b sin A ＜a ＜b a ≥ba ＞b a ≤b解 个数无解 一解 两解 一解 一解 无解也可设出第三边,利用余弦定理,建立方程,解方程即可.〔4〕三边,,a b c ，应余弦定理求,A B ，再由A B C π++=，求角C .(5)熟练运用余弦定理及其推论，同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中运用．(6)在含有三角形内角三角函数和边混合关系式中要注意变换方向选择．正弦定理、余弦定理、三角形面积公式本身就是一个方程，在解三角形试题中方程思想是主要数学思想方法，要注意从方程角度出发分析问题．(7)如何恰中选择正弦定理与余弦定理解题利用正弦定理解三角形时，可将正弦定理视为方程或方程组，利用方程思想处理量与未知量关系.熟记正弦定理同三角形外接圆半径、三角形面积之间关系等结论，对于相关问题是十分有益.利用正弦定理可解决以下两类问题：一是两角和一角对边，求其他边角；二是两边和一边对应角，求其他边角，由于此时三角形不能确定，应对它进展分类讨论.利用正弦定理解题一般适应特点〔1〕如果所给等式两边有齐次边形式或齐次角正弦形式，可以利用正弦定理进展边角互换，这是高考中常见形式；〔2〕根据所给条件构造〔1〕形式，便于利用正弦定理进展边角互换，表达是转化思想灵活应用.余弦定理与平面几何知识、向量、三角函数有着密切联系，常解决一下两类问题：一是两边和它们夹角，求其他边角；二是三边求三角.由于这两种情形下三角形是唯一确定，所以其解也是唯一. 余弦定理重要应用(8)三角形余弦定理作为解决三角形问题利剑，必须熟练掌握应用.为此，就其常见几种变形形式，介绍如下.①联系完全平方式巧过渡:由222()2b c b c bc +=+-那么22222cos ()2(1cos )a b c bc A b c bc A =+-=+-+. ②联系重要不等式求范围：由222b c bc +≥，那么2222cos 22cos 2(1cos )a b c bc A bc bc A bc A =+-≥-=-当且仅当b c =等号成立.③联系数量积定义式妙转化：在ABC ∆中，由222222cos cos 22a b c a b c CA CB CA CB C ab C ab ab +-+-⋅====. (9)在三角形内求值、证明或判断三角形形状时，要用正、余弦定理完成边与角互化，一般是都化为边或都化为角，然后用三角公式或代数方法求解，从而到达求值、证明或判断目．解题时要注意隐含条件． 【考点针对训练】1. 【2021年山西三校高三联考】在ABC ∆ 中，2,B A ACB =∠ 平分线CD 把三角形分成面积比为4:3两局部，那么cos A = . 【答案】232. 【2021年湖北省八校高三第二次联考】如图，在平面四边形ABCD 中，AB AD ⊥，1AB =，7AC =，23ABC π∠=，3ACD π∠=. 〔Ⅰ〕求sin BAC ∠； 〔Ⅱ〕求DC 长.【解析】〔Ⅰ〕在ABC ∆中，由余弦定理得：2222cos AC BC BA BC BA B =+-⋅，即260BC BC +-=，解得：2BC =，或3BC =-〔舍〕， 由正弦定理得：sin 21sin .sin sin 7BC AC BC B BAC BAC B AC =⇒∠==∠【考点2】利用正余弦定理求三角形面积 【备考知识梳理】ACDB(第17题图)三角形面积公式：〔1〕111222a b c S ah bh ch ===〔,,a b c h h h 分别表示,,a b c 上高〕； 〔2〕111sin sin sin 222S ab C bc A ac B ===； 〔3〕()()()222sin sin sin sin sin sin 2sin 2sin 2sin a B C b A C c A B S B C A C A B ===+++； 〔4〕22sin sin sin S R A B C =；〔R 为外接圆半径〕〔5〕S =Rabc 4； 〔6〕S =△＝))()((c s b s a s s ---；；〔7〕S rS =.〔r 为内切圆半径,〕【规律方法技巧】利用来求ABC 面积是在两边及夹角前提下来求，事实上，两边及夹角中某个(或两个)量需要通过解三角形求出，这就需要先利用正、余弦定理解三角形．求解此类三角形根本量技巧：先将几何问题转化为代数问题，正确分析等式中边角关系，利用正弦定理、余弦定理、任意三角形面积公式等工具进展三角形中边角互化，假设要把“边〞化为“角〞，常利用“2sin a R A =，，2sin b R B =，2sin c R C =;〞，假设要把“角〞化为“边〞，常利用sin ,sin ,sin 222a b c A B C R R R===，;;等；然后利用三角形内角和定理、大边对大角等知识求出三角形根本量．解三角形中，应特别注意问题中隐含条件，正弦定理和余弦定理，三角形面积公式，三角形中边角关系，内角和定理等．例如利用边值判断隐含条件b a ≤或b c ≤，极其隐蔽．另外常见错误还有：(1)在化简三角函数式子时要注意恒等变形不要轻易约分(消去某一个式子)等，(2)在利用正弦定理解三角形两边和其中一边对角求另一边对角，进而求出其他边和角时，有时可能出现一解、两解或无解，所以要进展分类讨论．【考点针对训练】1. 【2021届邯郸市一中高三第十研】如图，在Rt ABC ∆中，090A ∠=，,D E 分别是,AC BC 上一点，满足030ADB CDE ∠=∠=，4BE CE =．假设CD =BDE ∆面积为________．【答案】435 2. 【2021届河北省石家庄市高三二模】在ABC ∆中，c b a 、、分别是角C B A 、、所对边，且满足C b a cos 3=.〔Ⅰ〕求值；〔Ⅱ〕假设3tan ,3==A a ，求ABC ∆面积.【解析】〔I 〕由正弦定理2sin sin sin a b c R A B C===可得： 2sin =32sin cos R A R B C ⨯, A B C π++=sin sin()=3sin cos A B C B C ∴=+，即sin cos cos sin =3sin cos B C B C B C +cos sin =2sin cos B C B C ∴ ,故．【考点3】利用正余弦定理判断三角形形状【备考知识梳理】解斜三角形主要依据是：设ABC 三边为,,a b c ，对应三个角为,,A B C .〔1〕角与角关系：A B C π++=；〔2〕边与边关系：a b c +>，b c a +>，c a b +>，,,a b c b c a c a b -<-<-<；〔3〕边与角关系：正弦定理 2sin sin sin a b c R A B C===.〔R 为外接圆半径〕； 余弦定理 2222cos a b c bc A =+-；2222cos b a c ac B =+-；2222cos c a b ab C =+-.它们变形形式有：2sin a R A =，，.5．三角形中三角变换三角形中三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身特点.〔1〕角变换因为在ABC 中，A B C π++=，所以sin()sin A B C +=；cos()cos A B C +=-；tan()tan A B C +=-.2sin 2cos ,2cos 2sin C B A C B A =+=+； 〔2〕三角形边、角关系定理及面积公式面积公式r 为三角形内切圆半径，p 为周长之半.〔3〕在ABC 中，熟记并会证明：,,A B C 成等差数列充分必要条件是60B =︒；ABC 是正三角形充分必要条件是,,A B C 成等差数列且,,a b c 成等比数列.【规律方法技巧】依据条件中边角关系判断三角形形状时，主要有如下两种方法：1．利用正、余弦定理把条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边相应关系，从而判断三角形形状；2．利用正、余弦定理把条件转化为内角三角函数间关系，通过三角函数恒等变形，得出内角关系，从而判断出三角形形状，此时要注意应用A B C π++=这个结论．如何利用余弦定理判定三角形形状由于cos A 与222b c a +-同号，故当2220b c a +->时，角A 为锐角；当2220b c a +-=时，三角形为直角三角形；当2220b c a +-<时，三角形为钝角三角形．三角形中常见结论(1) A B C π++=.(2)在三角形中大边对大角，反之亦然．(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．(4)在ABC 中，sin sin A B >是A B >充要条件【考点针对训练】1. 【2021届福建省泉州市高三5月质检】,,a b c 分别是ABC ∆ 中角,,A B C 对边sin 4sin 4sin ac A C c A +=.〔1〕求a 值；〔2〕圆O 为ABC ∆外接圆〔O 在ABC ∆内部〕, ABC ∆面积为,判断ABC ∆形状, 并说明理由.【解析】〔1〕由正弦定理可知,sin ,sin 22a c A C R R==, 那么2sin 4sin 4sin 44ac A C c A a c c ac +=⇔+=,()2220,444420c a c c ac a a a ≠∴+=⇔+=⇔-=,可得2a =.2. 【2021年山西榆林高三月考】如图，平面上直线12//l l ，,A B 分别是12,l l 上动点，C 是12,l l 之间一定点，C 到1l 距离1CM =，C 到2l 距离3CN =ABC ∆三内角A ∠、B ∠、C ∠所对边分别为,,a b c ，a b >，且cos cos b B a A =.〔1〕判断ABC ∆形状；〔2〕记()11,ACM f AC BC θθ∠==+，求()f θ最大值.【解析】〔1〕由正弦定理得：，结合cos cos b B a A =，得sin 2sin 2B A =，又a b >，所以A B >，且(),0,A B π∈，所以22A B π+=，∴，所以ABC ∆是直角三角形;〔2〕ACM θ∠=，由〔1〕得，那么()131132,BC ,cos sin cos cos sin 363AC f AC BC πθθθθθθ⎛⎫===+=+=- ⎪⎝⎭， 所以时，()f θ最大值为233.【考点4】正、余弦定理实际应用【备考知识梳理】仰角和俯角在同一铅垂平面内水平视线和目标视线夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角．(如图(a))．2．方位角从某点指北方向线起按顺时针转到目标方向线之间水平夹角叫做方位角．如B 点方位角为α(如图(b))．3．方向角正北或正南方向线与目标方向线所成锐角，通常表达为北(南)偏东(西)××度．易混点：易混淆方位角与方向角概念：方位角是指北方向与目标方向线按顺时针之间夹角，而方向角是正北或正南方向线与目标方向线所成锐角．【规律方法技巧】三角形应用题解题要点：解斜三角形问题，通常都要根据题意，从实际问题中寻找出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形得出所要求量，从而得到实际问题解．有些时候也必须注意到三角形特殊性，如直角三角形、等腰三角形、锐角三角形等．正确理解和掌握方位角、俯角、仰角对于解决三角形应用题也是必不可少．把握解三角形应用题四步：(1)阅读理解题意，弄清问题实际背景，明确与未知，理清量与量之间关系；(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题模型；(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解；(4)将三角形问题复原为实际问题，注意实际问题中有关单位问题、近似计算要求等．求距离问题考前须知：(1)选定或确定要求解三角形，即所求量所在三角形，假设其他量那么直接解；假设有未知量，那么把未知量放在另一确定三角形中求解．(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算定理．求解高度问题应注意：(1)在测量高度时，要理解仰角、俯角概念，仰角和俯角都是在同一铅垂面内，视线与水平线夹角；(2)准确理解题意，分清条件与所求，画出示意图；(3)运用正、余弦定理，有序地解相关三角形，逐步求解问题答案，注意方程思想运用．解决测量角度问题考前须知：(1)明确方位角含义；(2)分析题意，分清与所求，再根据题意正确画出示意图，这是最关键、最重要一步；(3)将实际问题转化为可用数学方法解决问题后，注意正、余弦定理“联袂〞使用．【考点针对训练】1. 【2021届福建厦门双十中学高三下热身考】为了应对日益严重气候问题，某气象仪器科研单位研究出一种新“弹射型〞气象仪器，这种仪器可以弹射到空中进展气象观测．如下图，,,A B C三地位于同一水平面上，这种仪器在C地进展弹射实验，观测点,A B两地相距100米，60BAC∠=︒，在A地听到弹射声音时间比B地晚217秒．在A地测得该仪器至最高点H处仰角为30．〔Ⅰ〕求A，C两地距离；〔Ⅱ〕求这种仪器垂直弹射高度HC〔声音传播速度为340米/秒〕．2. 【2021届江苏省清江中学高三下学期周练】如图是某设计师设计Y 型饰品平面图，其中支架OA ，OB ，C O 两两成120，C 1O =，C AB =OB+O ，且OA >OB ．现设计师在支架OB 上装点普通珠宝，普通珠宝价值为M ，且M 与OB 长成正比，比例系数为k 〔k 为正常数〕；在C ∆AO 区域〔阴影区域〕内镶嵌名贵珠宝，名贵珠宝价值为N ，且N 与C ∆AO 面积成正比，比例系数为3k ．设x OA =，y OB =．〔1〕求y 关于x 函数解析式，并写出x 取值范围；〔2〕求N-M 最大值及相应x 值．【应试技巧点拨】1. 余弦定理重要应用三角形余弦定理作为解决三角形问题利剑，必须熟练掌握应用.为此，就其常见几种变形形式，介绍如下. ①联系完全平方式巧过渡:由222()2b c b c bc +=+-那么22222cos ()2(1cos )a b c bc A b c bc A =+-=+-+.②联系重要不等式求范围：由222b c bc +≥，那么2222cos 22cos 2(1cos )a b c bc A bc bc A bc A =+-≥-=-当且仅当b c =等号成立.③联系数量积定义式妙转化： 在ABC ∆中，由222222cos cos 22a b c a b c CA CB CA CB C ab C ab ab +-+-⋅====. 2.如何恰中选择正弦定理与余弦定理解题利用正弦定理解三角形时，可将正弦定理视为方程或方程组，利用方程思想处理量与未知量关系.熟记正弦定理同三角形外接圆半径、三角形面积之间关系等结论，对于相关问题是十分有益.利用正弦定理可解决以下两类问题：一是两角和一角对边，求其他边角；二是两边和一边对应角，求其他边角，由于此时三角形不能确定，应对它进展分类讨论.利用正弦定理解题一般适应特点〔1〕如果所给等式两边有齐次边形式或齐次角正弦形式，可以利用正弦定理进展边角互换，这是高考中常见形式；〔2〕根据所给条件构造〔1〕形式，便于利用正弦定理进展边角互换，表达是转化思想灵活应用.3. 三角函数起源是三角形，所以经常会联系到三角形，这类型题是在三角形这个载体上三角变换，第一：既然是三角形问题，就会用到三角形内角和定理和正、余弦定理以及相关三角形理论，及时边角转换，可以帮助发现问题解决思路；第二：它也是一种三角变换，只不过角范围缩小了，因此常见三角变换方法和原那么都是适用.4. .解决三角实际问题关键有三点：一是仔细审题，准确理解题意，分析条件和结论，明确问题实际背景，理清问题中各个量之间数量关系；二是合理选取参变量，设定变元，寻找它们之间内在联系，选用恰当代数式表示问题中关系；三是建立与求解相应三角函数模型.将文字语言、图形语言、符号语言转化为数学语言，利用数学知识建立相应数学模型，求解数学模型，得出数学结论.二年模拟1. 【2021届山西省四校高三年级第四次联考】 在ABC ∆中，2,105,4500===BC C A 那么AC = .【答案】1【解析】在ABC ∆中，由A B C π++=，0045,105A C ==，那么030B =，由正弦定理得 00sin sin 3021sin sin 45B AC b a A ⇒==⨯==. 2. 【河北省衡水中学2021届高三七调】在ABC 中，5,,BC G O =分别为ABC 重心和外心，且5OG BC ⋅=，那么ABC 形状是〔 〕A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．上述三种情况都有可能【答案】B3. 【2021届湖北省级示范高中联盟高三模拟】22cos ,sin ,,33a OA a b OB a b ππ⎛⎫==-=+ ⎪⎝⎭，假设OAB ∆是以O 为直角顶点等腰直角三角形，那么OAB ∆面积等于〔 〕A ．1B ．12 C ．2 D ．32 【答案】B【解析】因OAB ∆是等腰三角形,故||||OB OA =,又AOB ∠是直角,故0OA OB ⋅=，即022=-b a ,也即1||||==b a ,所以OAB ∆面积为,应选B.4. 【2021届宁夏石嘴山三中高三下四模】ABC ∆三内角,,A B C 所对边长分别是c b a ,,，假设sin sin 3sin B A a c C a b-+=+，那么角B 大小为〔 〕 A ．6π B ．3π C ．32π D ．65π 【答案】D【解析】由sin sin 3sin B A a c C a b-+=+得,即ac c a b 32222++=,故，，故应选D. 5. 【2021届福建厦门双十中学高三下热身考】在ABC ∆中，角C B A ,,所对边分别为c b a ,,.假设A b A a sin cos =，且，那么C A sin sin +最大值是〔 〕A ．2B ．89 C ．1 D ．87 【答案】B6. 【2021届海南省农垦中学高三考前押题】在ABC ∆中， 60=A ，10=BC ，D 是AB 边上一点，2=CD ，BCD ∆面积为1，那么AC 长为〔 〕A.32B.3C.33D.332 【答案】D【解析】因为1=∆BCD S ，可得1sin 21=∠⨯⨯⨯DCB BC CD ，即，所以，在BCD ∆中，由余弦定理5522cos 222=⋅-+=∠BC CD BD BC CD DCB ，解得2=BD ，所以101032cos 222=⋅-+=∠BC BD CD BC BD DBC △ABC 中，由正弦定理可知，可得,应选D.7. 【2021届广西来宾高中高三5月模拟】如图，平面四边形ABCD 中，005,22,3,30,120AB AD CD CBD BCD ===∠=∠=，那么ADC ∆面积S 为_____________．【答案】8. 【2021届湖南省郴州市高三第四次教学质量检测】在ABC ∆中, 角,,A B C 对边分别为,,a b c ,且33b c =.〔1〕假设2B C =,求sin B 值；〔2〕假设3,c ABC =∆面积为32求a . 【解析】〔1〕2B C =,∴由33b c =得，解得，216632sin 1cos 1sin sin 22sin cos 233C C B C C C ∴=-=-=∴====〔2〕3,323,23,c b c b ABC ==∴=∆面积为116sin 32332,sin 22bc A A A =⨯⨯==那么,291212a ∴=+±,解得333a a ==或 9. 【2021届宁夏银川二中高三5月适应性训练】设△ABC 内角A 、B 、C 对边长分别为a 、b 、c ，设S 为△ABC 面积，满足. 〔1〕求B ； 〔2〕假设3b =A x =，(3-1)2y a c =+（），求函数()y f x =解析式和最大值.10. 【2021届安徽六安一中高三下学期第三次模拟】ABC ∆内角C B A ,,对边分别为c b a ,,假设()(),cos ,cos cos ,1,2A C a A c n b m +== 且n m //.〔1〕求角A 值.〔2〕假设ABC ∆面积，试判断ABC ∆形状.【解析】〔1〕由n m //，得0cos cos cos 2=+-A c C a A b ，由正弦定理，得C A A C A B cos sin cos sin cos sin 2+=， 即()B C A A B sin sin cos sin 2=+=，在ABC ∆中，0sin >B ， 所以，又()π,0∈A ，所以.〔2〕由ABC ∆得面积，得bc a =2，由余弦定理，得()bc c b A bc c b a +-=-+=2222cos 2，所以()02=-c b ，所以c b =，此时有c b a ==，所以ABC ∆为等边三角形.11. 【湖南省怀化市中小学课程改革教育质量监测2021 届高三期中】由以下条件解ABC ∆,其中有两解是〔 〕A ．︒=︒==80,45,20c A bB ．︒===60,28,30B c aC ．︒===45,16,14A c aD ．3,42,60a b A ===︒【答案】C【解析】∵︒===45,16,14A c a ，∴sin 16242sin 1sin sin 14a c c A C A C a =⇒===<，∴C 有两个解.12.【2021-2021 学年度上学期省五校协作体高三期中考试】在ABC 中，角,,A B C 所对应边分别为,,a b c ，cos cos b C c B b += ，那么ab=______ .【答案】113.【黄冈中学2021年秋季高三年级11月月考】ABC ∆中内角为,,A B C ，重心为G ，假设2sin 3sin 3sin 0A GA B GB C GC ⋅+⋅+⋅=，那么cos B = .【解析】112设,,a b c 为角,,A B C 所对边，由正弦定理得2330aGA bGB cGC ++= ，那么2333()aGA bGB cGC c GA GB +=-=---，即()()23330a c GA b c GB -+-=，又因为,GA GB 不共线，那么23=0a c -, 33=0b c -,即233,a b c ==所以，2221cos 212a cb B ac +-∴==.14.【河南省信阳市2021 届高中毕业班第二次调研检测】在ABC 中，内角,,A B C 对边分别为,,a b c ,假设ABC 面积为S ,且222()S a b c =+-，那么tan C 等于 〔 〕 (A)34(B)43(C) 43-(D)34- 【答案】C15.【2021 届江西省高安中学高三命题中心模拟押题一】在ABC ∆中，角A B C 、、所对边分别为a b c 、、，sin()2cos()06A B C π+++=．〔1〕求A 大小；〔2〕假设6=a ，求b c +取值范围． 【解析】〔1〕由条件结合诱导公式得，从而所以cos 0A ≠，tan 3A =，因为0A π<<，所以．〔2〕由正弦定理得：643sin sin sin 3b c B C π===，所以43sin b B =，43sin c C =，所以243(sin sin )43sin sin()3b c B C B B π⎡⎤+=+=+-⎢⎥⎣⎦333143sin cos 12sin cos 2222B B B B ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为5666B πππ<+<，所以，即612b c <+≤〔当且仅当3B π=时，等号成立〕．拓展试题以及解析1. ,,a b c 为ABC ∆三个角,,A B C 所对边，假设3cos (13cos )b C c B =-，那么sin :sin C A =〔 〕 A ．2︰3 B ．4︰3 C ．3︰1 D ．3︰2 【答案】C【入选理由】此题主要考察了正弦定理、余弦定理等根底知识，意在考察综合应用和计算能力.此题难度适中，出题有一定新意,应选此题.△ABC 中，角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，假设,b c 是方程2560x x -+=两根，且，那么a = 〔 〕A.2B.3 D.7 【答案】C【解析】因为,b c 是方程2560x x -+=两根，故5b c +=，6bc =，由余弦定理，得()222212cos 22cos 25262672a b c bc A b c bc bc A =+-=+--=-⨯-⨯⨯=，∴a =C ．【入选理由】此题主要考察了余弦定理，以及一元二次方程根与系数关系等根底知识，意在考察根本运算能力及推理能力.此题符合高考要求, 难度适中，应选此题.3.△ABC 三个内角A 、B 、C 所对边分别为a 、b 、c ，a A b B A a 2cos sin sin 2=+，那么角A 取值范围是〔 〕A. B. C. D. 【答案】C【解析】在△ABC 中，由正弦定理化简等式得A A B B A A sin 2cos sin sin sin sin 2=+， 即A A A B sin 2)cos (sin sin 22=+，所以A B sin 2sin =，由正弦定理得a b 2=，由余弦定理得2343243442cos 22222222=≥+=-+=-+=ac ac ac c a ac a c a bc a c b A 〔当且仅当223a c =，即a c 3=时取等号，因为A 为△ABC 内角，且x y cos =在),0(π上是减函数，所以，那么角A 取值范围是．应选C. 【入选理由】此题主要考察了正弦定理、余弦定理，以及同角三角函数关系，三角函数单调性等根底知识，意在考察综合分析问题,转化与化归能力,以及函数单调性巧妙结合一起,难度适中，符合高考小题目综合化要求,应选此题.ABC ∆中，角,,A B C 对边分别是,,,a b c 且满足2sin sinA sinC B =⋅，cos 12,ac B a c =+则= .【答案】【入选理由】此题主要考察了正弦定理、余弦定理，以及同角三角函数关系等根底知识，意在考察综合分析问题,转化与化归能力,以及计算能力. 此题是三角恒等变换、三角函数求值和解三角形综合运用，灵活运用正弦定理和余弦定理，结合转化思想和方程思想求解三角形问题.综合性强,应选此题. 5．如图，在四边形ABCD 中，，:2:3AB BC =，7AC =．〔1〕求sin ACB ∠值；〔2〕假设，1CD =，求CD ∆A 面积．【解析】〔1〕由:2:3AB BC =，可设2AB x =，3BC x =．又∵7AC =，，∴由余弦定理，得222(7)(3)(2)232cos3x x x x π=+-，解得1x =，∴2AB =，3BC =，由正弦定理，得32sin 212sin 77AB ABCACB AC⨯∠∠===．【入选理由】此题主要考察正弦定理、余弦定理、三角变换等根底知识，意在考察学生识图能力、空间想象能力、运算求解能力，以及考察转化思想、方程思想．此题考察比拟综合，难度适中，符合高考题型，应选此题. 6.如图，290,,3OCkm AOB OCD πθ=∠=∠=,点O 处为一雷达站，测控范围为一个圆形区域〔含边界〕，雷达开机时测控半径r 随时间t 变化函数为3r t tkm =，且半径增大到81km 时不再变化．一架无人侦察机从C 点处开场沿CD 方向飞行,其飞行速度为15/min km ．(Ⅰ) 当无人侦察机在CD 上飞行t 分钟至点E 时，试用t 和θ表示无人侦察机到O 点距离OE ； 〔Ⅱ〕假设无人侦察机在C 点处雷达就开场开机，且，那么雷达是否能测控到无人侦察机？请说明理由.【解析】(Ⅰ) 在COE △中，90,15,OC CE t OCE θ==∠=，由余弦定理可知：22222cos 2252700cos 8100OE OC CE OC CE t t θθ=+-⋅=-+，那么21512cos 36OE t t θ=-+.【入选理由】此题考察解三角形，利用导数研究函数单调性等根底知识，意在考察根本运算能力、 分类讨论思想、分析问题和解决问题能力． 三角应用题每过几年都会涉及，要么为选择题，要么为解答题，故押此题．7.在锐角三角形ABC ，角,,A B C 对边分别为,,a b c ，且满足222()sin cos cos()b a c A A ac A C --=+. (1)求角A ； (2)假设2a =△ABC 面积最大值.【解析】〔1〕由余弦定理得2222cos a c b ac B +-=，代入式222()sin cos cos()b a c A A ac A C --=+得：2cos sin cos cos(π)cos ac B A A ac B ac B -=-=-， 〔*〕又因为cos 0B ≠，所以化简〔*〕式得：2sin cos 1A A -=-，所以sin 21A =，因为,所以. 〔2〕22222a b c 2bccos A 2b c 2bc=2=+-=+，即，222bc b c 22bc 2=+-≥-，。

一、填空题1. 【2016高考冲刺卷（9）【江苏卷】】已知()23tantan 1,sin 3sin 222ααβαβ+==+，则()tan αβ+=2. 【2016高考冲刺卷（7）【江苏卷】】直线3=y 与曲线)0(sin 2>=ωωx y 相距最近的两个交点间距离为6π，则x y ωsin 2=的最小正周期为 ． 【答案】π【解析】由直线3=y 与曲线)0(sin 2>=ωωx y得2233sin ,2336x x T ππππωωπωπω-==∴=∴=∴= 3. 【2016高考冲刺卷（6）【江苏卷】】已知θ是第三象限角，且52cos 2sin -=-θθ，则=+θθcos sin【答案】2531-【解析】法一：由平方关系得1cos )52cos 2(22=+-θθ，且0co s <θ，解之得257cos -=θ从而2524sin -=θ，故2531cos sin -=+θθ 法二：设t =+θθcos sin ，则与52cos 2sin -=-θθ联立得15232sin -=t θ， 15231cos +=t θ，由平方关系式得1)15231()15232(22=++-t t ，因θ是第三象限角，故0<t ，解之得2531-=t ，即2531cos sin -=+θθ法三：由52cos 2sin -=-θθ得552)sin(-=-ϕθ，其中51cos =ϕ，52sin =ϕ 因θ是第三象限角，故5511)cos(-=-ϕθ，从而2524)sin(sin -=+-=ϕϕθθ，同理257cos -=θ，从而2531cos sin -=+θθ 4. 【2016高考冲刺卷（5）【江苏卷】】已知312sin =α，则⎪⎭⎫ ⎝⎛-4cos 2πα=_____▲____． 【答案】32【解析】2cos[2()]1cos(2)1sin 21242cos 42223ππααπαα-+-++⎛⎫-==== ⎪⎝⎭． 5. 【2016高考冲刺卷（3）【江苏卷】】将函数()sin(),(0,)22f x x ππωϕωϕ=+>-<<图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移4π个单位长度得到sin y x =的图象，则()6f π= ．6. 【2016高考冲刺卷（1）【江苏卷】】若α、β均为锐角，且1cos 17α=，47cos()51αβ+=-，则cos β= ．【答案】13【解析】由于αβ、都是锐角，所以αβ+∈(0,)π，又1cos 17α=，47cos()51αβ+=-，所以sin α=sin()αβ+=，cos cos[()]βαβα=+-cos()cos sin()sin αβααβα=+++4715117=-⨯+13=． 7. 【江苏省苏中三市（南通、扬州、泰州）2016届高三第二次调研测试数学试题】若将函数)4sin(πω+=x y 的图象向左平移6π个单位长度后，与函数)4cos(πω+=x y 的图象重合，则正数ω的最小值为_____________.8. 【江苏省南京市2016届高三年级第三次学情调研适应性测试数学】将函数f [x ]＝sin[2x＋θ] ()22ππθ-<<的图象向右平移φ[0＜φ＜π]个单位长度后得到函数g [x ]的图象，若f [x ]，g [x ]的图象都经过点P ，则φ的值为 ▲ ． 【答案】56π【解析】试题分析：由题意得： ()sin(22)g x x ϕθ=-+，因此sin 2)θθϕ=-=，因为22ππθ-<<，所以3πθ=，因为0ϕπ<<，所以452,.336πππϕϕ-=-= 9. 【2016高考冲刺卷（2）【江苏卷】】已知函数f [x ]＝|sin |x －kx [x ≥0，k ∈R ]有且只有三个零点，设此三个零点中的最大值为0x ，则0200(1)sin 2x x x +＝ ▲ ． 【答案】12【解析】试题分析：由题意得y kx =与sin ,(,2)y x x ππ=-∈相切，切点为00(,sin )x x -，由导数几何意义得0c o s k x =-，因此0000000sin sin cos sin cos x kx x x x x x x =-⇒-⋅=-⇒=，即002200000sin cos 1.sin (1)sin 22(1)2sin cos cos x x x x x x x x x ==++10. 【2016高考押题卷（3）【江苏卷】】已知函数b a x b x a x f ,(cos sin )(+=为常数，且R x a ∈≠,0），若函数)4(π+=x f y 是偶函数，则)4(π-f 的值为 ．11. 【2016高考押题卷（3）【江苏卷】】设α为锐角，若31)6sin(=-πα，则αc o s 的值为 ． 【答案】6162-． 【解析】因20πα<<且31)6sin(=-πα，故366ππαπ<-<-， 所以322)31(1)6cos(2=-=-πα，而]6)6cos[(cos ππαα+-=， 故61622131233226sin )6sin(6cos)6cos(cos -=⨯-⨯=---=ππαππαα 12. 【2016高考押题卷（3）【江苏卷】】如图，在平面四边形ABCD 中，若090,2,2,1=∠===ACD DC AD BC AB ，则对角线BD 的最大值为 ．【答案】3．【解析】设t DC =，则t AC =，在A B C ∆中，由余弦定理得22cos ACB ∠==则sin A CB ∠==．在DBC ∆中，由由余弦定理得2202cos(90)DB t ACB =+-∠+222sin 2t ACB t =++∠=++，即2222)3(82--++=t t DB ，不妨设)20(cos 2232πθθ<<=-t ，则2cos )5DB θθ=++54sin()4πθ=++，所以当4πθ=时，9max2=DB，即对角线BD 的最大值为3．13. 【2016高考押题卷（1）【江苏卷】】将函数()sin y x x x =+?¡的图像向左平移()0m m >个单位长度后，所得的图像关于y 轴对称，则m 的最小值是_______.14. 【2016年第四次全国大联考【江苏卷】】已知sin 2cos αα+=，那么tan 2α的值为_______.【答案】34-【解析】由sin 2cos αα+=平方得225sin +4sin cos +4cos ,2αααα=因此1cos21cos25+2sin 2+4,222ααα-+⨯=即3cos22sin 2+02αα=,即3tan 2.4α=- 15. 【2016年第三次全国大联考【江苏卷】】已知]4,4[ππθ-∈，且314cos -=θ，则=--+)4(sin )4(sin 44πθπθ ．【答案】36±【解析】由条件得3112cos 22-=-θ，又]4,4[ππθ-∈，得]2,2[2ππθ-∈，于是312cos =θ， 原式==+-+)4(cos )4(sin 44πθπθ)4(cos )4(sin 22πθπθ+-+θπθ2sin )4(2cos =+-=36±=. 16. 【 2016年第二次全国大联考（江苏卷）】已知1sin tan(),(,)72ααβαπ=+=∈π，那么tan β的值为_______. 【答案】3【解析】由sin (,)2ααπ=∈π得cos tan 2αα==-，因此127t a nt a n ()3.21()7βαβα+=+-==+-二、解答题1. 【 2016年第二次全国大联考（江苏卷）】（本小题满分14分）在ABC △中，角CB A 、、分别是边c b a 、、的对角，且b a 23=，（Ⅰ）若 60=B ，求C sin 的值； （Ⅱ）若2cos 3C=，求sin()A B -的值．所以sin()cos 3c A B A b -=-=-=- .......14分 2. 【 2016年第二次全国大联考（江苏卷）】（本小题满分16分）如图，290,,3O C k m A O B O C Dπθ=∠=∠=,点O 处为一雷达站，测控范围为一个圆形区域（含边界），雷达开机时测控半径r 随时间t变化函数为3r =，且半径增大到81km 时不再变化．一架无人侦察机从C 点处开始沿CD 方向飞行,其飞行速度为15/min km ．[Ⅰ] 当无人侦察机在CD 上飞行t 分钟至点E 时，试用t 和θ表示无人侦察机到O 点的距离OE ；（Ⅱ）若无人侦察机在C 点处雷达就开始开机，且4πθ=，则雷达是否能测控到无人侦察机？请说明理由.则无人侦察机在CD上飞行总时间为(4515=而3819r t ==⇒=，OC DEABθ（Ⅱ） 雷达不能测控到无人侦察机。

专题4.3 解三角形试题 文【三年高考】1. 【2016高考新课标1文数】△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知a =2c =,2cos 3A =,则b=（ ）（A （B （C ）2 （D ）3 【答案】D2. 【2016高考山东文数】ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知22,2(1sin )b c a b A ==-,则A =（ ）（A ）3π4（B ）π3（C ）π4（D ）π6【答案】C【解析】因为,b c =所以由余弦定理得：()2222222cos 22cos 21cos a b c bc b b b =+-A =-A =-A ，又因为()2221sin a b =-A ，所以cos sin A =A ，因为cos 0A ≠，所以tan 1A =，因为()0,πA∈，所以4πA =，故选C.3．【2016高考上海文科】已知ABC ∆的三边长分别为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于_________.【解析】由已知3,5,7a b c ===，∴2221cos 22a b c C ab +-==-，∴sin C =，∴2sin c R C ==4．【2016高考北京文数】在△ABC 中，23A π∠= ，a =，则b c =_________.【答案】15．【2016高考浙江文数】在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知b +c =2a cos B ． （Ⅰ）证明：A =2B ；（Ⅱ）若cos B =23，求cos C 的值． 【解析】（I ）由正弦定理得sin sin 2sin cos B C A B +=，故2sin cos sin sin()sin sin cos cos sin A B B A B B A B A B =++=++，于是，sin sin()B A B =-，又,(0,)A B π∈，故0A B π<-<，所以()B A B π=--或B A B =-，因此，A π=（舍去）或2A B =， 所以，2A B =.（II ）由2cos 3B =，得sin B =，21cos 22cos 19B B =-=-，故1cos 9A =-，sin A =，22cos cos()cos cos sin sin 27C A B A B A B =-+=-+=.6. 【2015高考广东，文5】设C ∆AB 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若2a =，c =，cos 2A =，且b c <，则b =（ ）A ．2 C ．．3 【答案】B【解析】由余弦定理得：2222cos a b c bc =+-A ，所以(222222b b =+-⨯⨯，即2680b b -+=，解得：2b =或4b =，因为bc <，所以2b =，故选B ．7.【2015高考湖北，文15】如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山 顶D 在西偏北30的方向上，行驶600m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此 山的高度CD =_________m.【答案】.8.【2015高考湖南，文17】设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,,tan a b c a b A =. （I ）证明：sin cos B A =；(II) 若3sin sin cos 4C A B -=，且B 为钝角，求,,A B C . 【解析】（I ）由tan a b A =及正弦定理，得sin sin cos sin A a AA b B==，所以sin cos B A =。