最新2019年高考数学一轮复习：正态分布

xyO课题：正态分布知识点一、正态分布1.正态分布概念：若连续型随机变量ξ的概率密度函数为),(,21)(222)(∞+-∞∈=--x ex f x σμσπ，其中,σμ为常数，且0σ>，则称ξ服从正态分布，简记为ξ～()2,Nμσ。

()f x 的图象称为正态曲线。

2.正态分布的期望与方差：若ξ～()2,N μσ，则2,E D ξμξσ==3.正态曲线的性质：（1）曲线在x 轴的上方，与x 2）曲线关于直线x=μ对称； （3）曲线在x=μ时位于最高点．（4）当x<μ时，曲线上升；当x>μ时，曲线下降．并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x 轴为渐进线，向它无限靠近；（5）当μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中．4.在标准正态分布表中相应于0x 的值()0x Φ是指总体取值小于0x 的概率即 ()()00x P x x Φ=<00≥x 时，则)(0x Φ的值可在标准正态分布表中查到00<x 时，可利用其图象的对称性获得)(1)(00x x -Φ-=Φ来求出，5.两个重要公式：（1） （2）6.()2,Nμσ与()0,1N 的关系：（1）若ξ～()2,Nμσ，则ξμησ-=～()0,1N ，有()()000x P x F x μξσ-⎛⎫<==Φ ⎪⎝⎭标准正态分布曲线)(0x Φ())()(1221x x x x P Φ-Φ=<<ξ())(100x x -Φ-=Φ（2）若ξ～()2,Nμσ，则()2112x x P xx x μμσσ--⎛⎫⎛⎫<<=Φ-Φ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【典型例题】例1.已知随机变量ξ服从正态分布2(2)N σ，，(4)0.84P ξ=≤，则(0)P ξ=≤（ ）A ．0.16B ．0.32C ．0.68D ，0.84例2.已知随机变量ξ服从标准正态分布()22,N σ，()40.84P ξ≤=则()0P ξ≤=( ) 例3.设随机变量ξ服从标准正态分布()0,1N ，若()1P p ξ>=，则()10P ξ-<<=（ ） A.2pB. 1p -C. 12p -D. 12p -例4.设随机变量),(~2σμξN ，且 )()(c P c P >=≤ξξ，则c 等于（ ） 例5.设随机变量~X N (3,1),若(4)P X p >=,,则P(2<X<4)=( ) A.12p + B.—p C ．l2p D ．12p - 例6某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为( )A ．100B ．200C ．300D ．400【举一反三】1．设随机变量ξ服从正态分布()0,1N ，记()()＜x P x ξΦ=，则下面不正确的是（ ） A ．()102Φ= B ．()()1x x Φ=-Φ- C ．()()()＜21＞0Pa a a ξ=Φ- D ．()()()＞1＞0P a a a ξ=-Φ2．以()x Φ表示标准正态总体在区间(),x -∞内取值的概率，若随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ，则概率()Pξμσ-<等于（ ）A.()()μσμσΦ+-Φ-B. ()()11Φ-Φ-C. 1μσ-⎛⎫Φ⎪⎝⎭D. ()2μσΦ+ 3．设随机变量ξ服从标准正态分布()0,1N ，已知()1.960.025Φ-=，则()1.96Pξ<=( )4．设口袋中有黑球、白球共7个，从中任取2个球，已知取到白球个数的数学期望值为67，则口袋中白球的个数为( )A ．3B ．4C ．5D ．2 5．已知三个正态分布密度函数φi (x )＝12πσi e －x －μi 22σi 2(x ∈R ，i ＝1,2,3)的图象如图所示，则( )A ．μ1<μ2＝μ3，σ1＝σ2>σ3B ．μ1>μ2＝μ3，σ1＝σ2<σ3C ．μ1＝μ2<μ3，σ1<σ2＝σ3D ．μ1<μ2＝μ3，σ1＝σ2<σ3【课堂巩固】1．标准正态分布的均数与标准差分别为( ) A ．0与1 B ．1与0 C ．0与0 D ．1与12．正态分布有两个参数μ与σ，( )相应的正态曲线的形状越扁平。

离散型随机变量的均值与方差、正态分布一、基础知识1.均值一般地，若离散型随机变量X的分布列为：则称E(X)＝x1p1＋x2p2i i n n.它反映了离散型随机变量取值的平均水平.(1)期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均.,(2)E(X)是一个实数，由X的分布列唯一确定，即作为随机变量，X是可变的，可取不同值，而E(X)是不变的，它描述X取值的平均状态.,(3)E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋x n p n直接给出了E(X)的求法，即随机变量取值与相应概率分别相乘后相加.2.方差设离散型随机变量X的分布列为：则(x i－E(X))2描述了x i(i＝)＝(x i－E(X))2p i为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度.称D(X)为随机变量X的方差，并称其算术平方根D(X)为随机变量X的标准差.(1)随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度.D(X)越大，表明平均偏离程度越大，X的取值越分散.反之，D(X)越小，X的取值越集中在E(X)附近.,(2)方差也是一个常数，它不具有随机性，方差的值一定是非负.3.两个特殊分布的期望与方差4.正态分布(1)正态曲线的特点①曲线位于x轴上方，与x轴不相交；②曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；③曲线在x＝μ处达到峰值1σ2π；④曲线与x轴之间的面积为1；⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移；⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散.(2)正态分布的三个常用数据①P (μ－σ＜X ≤μ＋σ)≈0.682 6；②P (μ－2σ＜X ≤μ＋2σ)≈0.954 4；③P (μ－3σ＜X ≤μ＋3σ)≈0.997 4.二、常用结论若Y ＝aX ＋b ，其中a ，b 是常数，X 是随机变量，则 (1)E (k )＝k ，D (k )＝0，其中k 为常数； (2)E (aX ＋b )＝aE (X )＋b ，D (aX ＋b )＝a 2D (X )； (3)E (X 1＋X 2)＝E (X 1)＋E (X 2)； (4)D (X )＝E (X 2)－(E (X ))2；(5)若X 1，X 2相互独立，则E (X 1·X 2)＝E (X 1)·E (X 2).(6)若X ～N (μ，σ2)，则X 的均值与方差分别为：E (X )＝μ，D (X )＝σ2. 三、考点解析考点一 离散型随机变量的均值与方差例、为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动.该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元(不足1小时的部分按1小时计算).有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为14，16；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为12，23；两人滑雪时间都不会超过3小时.(1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；(2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量ξ(单位：元)，求ξ的分布列与数学期望E (ξ)，方差D (ξ).跟踪训练1.随机变量X 的可能取值为0,1,2，若P (X ＝0)＝15，E (X )＝1，则D (X )＝( )A.15B.25C.55D.1052.随着网络营销和电子商务的兴起，人们的购物方式更具多样化.某调查机构随机抽取10名购物者进行采访，5名男性购物者中有3名倾向于选择网购，2名倾向于选择实体店，5名女性购物者中有2名倾向于选择网购，3名倾向于选择实体店.(1)若从10名购物者中随机抽取2名，其中男、女各一名，求至少1名倾向于选择实体店的概率； (2)若从这10名购物者中随机抽取3名，设X 表示抽到倾向于选择网购的男性购物者的人数，求X 的分布列和数学期望.考点二 二项分布的均值与方差例、某部门为了解一企业在生产过程中的用水量情况，对其每天的用水量做了记录，得到了大量该企业的日用水量的统计数据，从这些统计数据中随机抽取12天的数据作为样本，得到如图所示的茎叶图(单位：吨).若用水量不低于95吨，则称这一天的用水量超标.(1)从这12天的数据中随机抽取3个，求至多有1天的用水量超标的概率；(2)以这12天的样本数据中用水量超标的频率作为概率，估计该企业未来3天中用水量超标的天数，记随机变量X 为未来这3天中用水量超标的天数，求X 的分布列、数学期望和方差.[解题技法]二项分布的期望与方差(1)如果ξ ～B (n ，p )，则用公式E (ξ)＝np ，D (ξ)＝np (1－p )求解，可大大减少计算量.(2)有些随机变量虽不服从二项分布，但与之具有线性关系的另一随机变量服从二项分布，这时，可以综合应用E (a ξ＋b )＝aE (ξ)＋b 以及E (ξ)＝np 求出E (a ξ＋b )，同样还可求出D (a ξ＋b ).跟踪训练1.设X 为随机变量，且X ～B (n ，p )，若随机变量X 的数学期望E (X )＝4，D (X )＝43，则P (X ＝2)＝________.(结果用分数表示)2.一个盒子中装有大量形状、大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的重量(单位：克)，重量分组区间为[5,15]，(15,25]，(25,35]，(35,45]，由此得到样本的重量频率分布直方图(如图).(1)求a 的值，并根据样本数据，试估计盒子中小球重量的众数与平均值；(2)从盒子中随机抽取3个小球，其中重量在[5,15]内的小球个数为X ，求X 的分布列和数学期望(以直方图中的频率作为概率).考点三 均值与方差在决策中的应用例、某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品.检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验.设每件产品为不合格品的概率都为p (0＜p ＜1)，且各件产品是否为不合格品相互独立. (1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f (p )，求f (p )的最大值点p 0.(2)现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以(1)中确定的p 0作为p 的值.已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用. ①若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X ，求EX ； ②以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？[解题技法]离散型随机变量的期望和方差应用问题的解题策略(1)求离散型随机变量的期望与方差关键是确定随机变量的所有可能值，写出随机变量的分布列，正确运用期望、方差公式进行计算.(2)要注意观察随机变量的概率分布特征，若属于二项分布，可用二项分布的期望与方差公式计算，则更为简单.(3)在实际问题中，若两个随机变量ξ1，ξ2，有E (ξ1)＝E (ξ2)或E (ξ1)与E (ξ2)较为接近时，就需要用D (ξ1)与D (ξ2)来比较两个随机变量的稳定程度.即一般地将期望最大(或最小)的方案作为最优方案，若各方案的期望相同，则选择方差最小(或最大)的方案作为最优方案.跟踪训练某投资公司在2019年年初准备将1 000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：项目一：新能源汽车.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率分别为79和29；项目二：通信设备.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能损失30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为35，13和115.针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由.考点四 正态分布例、(1)设X ～N (μ1，σ21)，Y ～N (μ2，σ22)，这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中正确的是( )A.P (Y ≥μ2)≥P (Y ≥μ1)B.P (X ≤σ2)≤P (X ≤σ1)C.对任意正数t ，P (X ≤t )≥P (Y ≤t )D.对任意正数t ，P (X ≥t )≥P (Y ≥t ) (2)已知随机变量X 服从正态分布N (3,1)，且P (X ≥4)＝0.158 7，则P (2＜X ＜4)＝( ) A.0.682 6 B.0.341 3 C.0.460 3 D.0.920 7(3)某校在一次月考中有900人参加考试，数学考试的成绩服从正态分布X ～N (90，a 2)(a ＞0，试卷满分150分)，统计结果显示数学考试成绩在70分到110分之间的人数约为总人数的35，则此次月考中数学考试成绩不低于110分的学生约有________人.[解题技法]正态分布下2类常见的概率计算(1)利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线x ＝μ对称，曲线与x 轴之间的面积为1.(2)利用3σ原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与正态变量的μ，σ进行对比联系，确定它们属于(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)中的哪一个.跟踪训练1.已知随机变量ξ服从正态分布N (μ，σ2)，若P (ξ＜2)＝P (ξ＞6)＝0.15，则P (2≤ξ＜4)等于( ) A.0.3 B.0.35 C.0.5 D.0.72.为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸(单位：cm).根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N (μ，σ2). (1)假设生产状态正常，记X 表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件数，求P (X ≥1)及X 的数学期望；(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查. ①试说明上述监控生产过程方法的合理性； ②下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95经计算得x ＝9.97，s ≈0.212，其中x i 为抽取的第i 个零件的尺寸，i ＝1,2， (16)用样本平均数x 作为μ的估计值μ^，用样本标准差s 作为σ的估计值σ^，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除(μ^－3σ^，μ^＋3σ^)之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ(精确到0.01).附：若随机变量Z 服从正态分布N (μ，σ2)，则P (μ－3σ＜Z ＜μ＋3σ)＝0.997 4.0.997 416≈0.959 2，0.008≈0.09.课后作业1.口袋中有编号分别为1,2,3的三个大小和形状完全相同的小球，从中任取2个，则取出的球的最大编号X 的期望为( )A.13B.23C.2D.832.已知随机变量X 服从正态分布N (a,4)，且P (X ＞1)＝0.5，P (X ＞2)＝0.3，则P (X ＜0)＝( ) A.0.2 B.0.3 C.0.7 D.0.83.已知某公司生产的一种产品的质量X (单位：克)服从正态分布N (100,4)，现从该产品的生产线上随机抽取10 000件产品，其中质量在[98,104]内的产品估计有( )(附：若X 服从N (μ，σ2)，则P (μ－σ＜X ＜μ＋σ)＝0.682 7，P (μ－2σ＜X ＜μ＋2σ)＝0.954 5) A.4 093件 B.4 772件 C.6 827件 D.8 186件4.某篮球队对队员进行考核，规则是①每人进行3个轮次的投篮；②每个轮次每人投篮2次，若至少投中1次，则本轮通过，否则不通过.已知队员甲投篮1次投中的概率为23，如果甲各次投篮投中与否互不影响，那么甲3个轮次通过的次数X 的期望是( )A.3B.83C.2D.535.某学校为了给运动会选拔志愿者，组委会举办了一个趣味答题活动.参选的志愿者回答三个问题，其中两个是判断题，另一个是有三个选项的单项选择题，设ξ为回答正确的题数，则随机变量ξ的数学期望E (ξ)＝( )A.1B.43C.53D.26.一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X 表示抽到的二等品件数，则D (X )＝________.7.若随机变量ξ的分布列如表所示，E (ξ)＝1.6，则a －b ＝________.8.一个人将编号为1,2,3,4每个盒子放一个小球，球的编号与盒子的编号相同时叫做放对了，否则叫做放错了.设放对的个数为ξ，则ξ的期望值为________. 9.某市对大学生毕业后自主创业人员给予小额贷款补贴，贷款期限分为6个月、12个月、18个月、24个月、36个月五种，对于这五种期限的贷款政府分别补贴200元、300元、300元、400元、400元，从2018年享受此项政策的自主创业人员中抽取了100人进行调查统计，选择的贷款期限的频数如下表：. (1)某大学2019年毕业生中共有3人准备申报此项贷款，计算其中恰有2人选择的贷款期限为12个月的概率；(2)设给某享受此项政策的自主创业人员的补贴为X 元，写出X 的分布列；该市政府要做预算，若预计2019年全市有600人申报此项贷款，则估计2019年该市共要补贴多少万元.10.某厂有4台大型机器，在一个月中，1台机器至多出现1次故障，且每台机器是否出现故障是相互独立的，出现故障时需1名工人进行维修.每台机器出现故障的概率为13.(1)问该厂至少有多少名工人才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修的概率不少于90%?(2)已知1名工人每月只有维修1台机器的能力，每月需支付给每位工人1万元的工资.每台机器不出现故障或出现故障能及时维修，就能使该厂产生5万元的利润，否则将不产生利润.若该厂现有2名工人，求该厂每月获利的均值.提高练习1.某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p ，各成员的支付方式相互独立.设X 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，DX ＝2.4，P (X ＝4)＜P (X ＝6)，则p ＝( )A.0.7B.0.6C.0.4D.0.32.设随机变量ξ服从正态分布N (μ，σ2)，函数f (x )＝x 2＋4x ＋ξ 没有零点的概率是12，则μ等于( )A.1B.2C.4D.不能确定 3.已知离散型随机变量X 的分布列如表所示，若E (X )＝0，D (X )＝1，则P (X ＜1)＝________.4.甲、乙两家外卖公司，元，每单送餐员抽成4元；乙公司，无底薪，40单以内(含40单)的部分送餐员每单抽成6元，超出40单的部分送餐员每单抽成7元.假设同一公司的送餐员一天的送餐单数相同，现从这两家公司各随机选取一名送餐员，并分别记录其50天的送餐单数，得到如下频数表：甲公司送餐员送餐单数频数表乙公司送餐员送餐单数频数表(1)现从记录甲公司的50天送餐单数中随机抽取3天的送餐单数，求这3天送餐单数都不小于40的概率.(2)若将频率视为概率，回答下列两个问题：①记乙公司送餐员日工资为X(单位：元)，求X的分布列和数学期望E(X)；②小王打算到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日工资的角度考虑，请利用所学的统计学知识为小王作出选择，并说明理由.5.计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站.过去50年的水文资料显示，水库年入流量X(年入流量：一年内上游来水与库区降水之和.单位：亿立方米)都在40以上.其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年，将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的入流量相互独立.(1)求未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率；(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制，并有如下关系：800万元.欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？。

高考复习资料之正态分布一、 基础知识回顾1.正态分布：若总体密度曲线就是或近似地是函数()22()2(),,x f x x μσ--=∈-∞+∞的图象 其中：π是圆周率；e 是自然对数的底；x 是随机变量的取值,为正态分布的平均值；σ是正态分布的标准差．这个总体是无限容量的抽样总体，其分布叫做正态分布．正态分布由参数μ,σ唯一确定，记作ξ~2(,)N μσ,E(ξ)=μ,D(ξ)=2σ.2.函数f(x)图象被称为正态曲线．(1)从形态上看，正态分布是一条单峰、对称呈钟形的曲线，其对称轴为．．．．x=μ．．．，并在．．．x=μ．．．时取最大．．．．值．。

(2)从x =μ点开始，曲线向正负两个方向递减延伸，不断逼近x 轴，但永不与x 轴相交，因此说曲线在正负两个方向都是以x 轴为渐近线的,(3)当μ的值一定时, σ越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散；σ越小，曲线越“高”．总体分布越集中．3. 把ξ~(0,1)N 即μ=0,σ=1称为标准正态分布，这样的正态总体称为标准正态总体,其密度函数为212()x f x -=，x ∈(-∞，+∞)，相应的曲线称为标准正态曲线． ４.利用标准正态分布表可求得标准正态总体在某一区间内取值的概率.(1)对于标准正态总体(0,1)N ，)(0x Φ是总体取值小于0x 的概率，即：)()(00x x P x <=Φ，其中00>x ，其值可以通过“标准正态分布表”查得，也就是图中阴影部分的面积，它表示总体取值小于0x 的概率．(2)标准正态曲线关于y 轴对称。

因为当00>x 时，)()(00x x P x <=Φ；而当00<x 时，根据正态曲线的性质可得：)(1)(00x x -Φ-=Φ，并且可以求得在任一区间),(21x x 内取值的概率：)()()(1221x x x x x P Φ-Φ=<<,显然Φ(0)=0.5.5.对于任一正态总体ξ~),(2σμN ,都可以通过ξμησ-=使之标准化η~(0,1)N ,那么, P(x ξ<)=P(η<x μσ-)=()x μσ-Φ，求得其在某一区间内取值的概率. 例如: ~ξN(1,4),那么,设η=12ξ-,则η~(0,1)N ,有P(ξ<3)=P(η<1)=(1)Φ=0.8413. 6. Φ(1)=0.8413、Φ(2)=0.9772、Φ(3)=0.9987二、例题1.下面给出三个正态总体的函数表示式，请找出其均值μ和标准差σ．（1）2221)(x e x f -=π，（-∞＜x ＜+∞) （2）2(1)8()x f x --=，（-∞＜x ＜+∞) （3）22(1)()x f x -+=，（-∞＜x ＜+∞) 2.正态总体的函数表示式是22(1)()x f x -+=，（-∞＜x ＜+∞)（1）求f （x ）的最大值； （2）利用指数函数性质说明其单调区间，以及曲线的对称轴．3.利用标准正态分布表(Φ(1)=0.8413、Φ(2)=0.9772、Φ(3)=0.9987)求标准正态总体在下面区间取值的概率．（1）（0，1）；（2）（1，3）；（3）（-1，2）．４.利用标准正态分布表((Φ(1)=0.8413、Φ(1.84)=0.9671)，求正态总体在下面区间取值的概率．（1）在N(1,4)下，求F(3)（2）在),(2σμN 下，求P(μ-1.84σ<X<μ+1.84σ)*５.对于正态总体),(2σμN 取值的概率：（１）(μ-σ，μ+σ）：（２）(μ-2σ，μ+2σ）：（３）(μ-3σ，μ+3σ）：取值的概率分别为68.3%、95.4%、99.7%。

高考数学之正态分布知识点一、引言在高考数学中，正态分布是一个非常重要的知识点。

正态分布作为一种大量自然现象的模型，可以广泛应用于各个领域。

通过深入了解正态分布的性质和相关计算方法，对解决实际问题具有重要意义。

本文将从概念、性质、计算方法等多个方面介绍高考数学中与正态分布相关的知识点。

二、概念和性质1. 正态分布的定义正态分布是一种连续型概率分布，其特点是在均值处呈现对称的钟型曲线。

对于一个具有均值μ 和标准差σ 的正态分布，其概率密度函数可以表示为f(x) = (1/σ√(2π)) * e^((-1/2) * ((x-μ)/σ)^2)，其中 e 是自然对数的底数，π 是圆周率。

2. 正态分布的性质正态分布有一些重要性质需要了解：- 对称性：正态分布曲线呈现关于均值的对称性，即左右两侧的面积相等。

- 均值与中位数与众数的关系：正态分布的均值、中位数和众数都相等。

- 标准正态分布：当均值为0，标准差为1时的正态分布称为标准正态分布。

对于任意一个正态分布，都可以通过标准化处理，将其转化为标准正态分布。

- 正态分布的累积分布函数：通过积分得到的累积分布函数可以用来计算正态分布在某个区间内的概率。

三、计算方法1. 标准正态分布的计算标准正态分布在高考数学中经常出现，因此了解其计算方法是必要的。

为了求得标准正态分布在某个区间内的概率，可以通过使用查表法或计算机软件进行计算。

查表法是将标准正态分布的累积分布函数值进行预先编制，然后通过查表得到相应的概率值。

当找不到准确的值时，可以通过线性插值或逆推法获得近似解。

2. 一般正态分布的计算对于一般正态分布的计算，可以通过标准化处理来简化计算过程。

步骤如下：- 将要求解的问题转化为标准正态分布的问题。

- 对所需的区间进行标准化处理，即通过计算 z 值来转化为标准正态分布的问题。

- 根据标准正态分布的累积分布函数求得相应的概率。

四、应用实例正态分布作为一种模型，在数理统计和实际问题中有广泛的应用。

第66课时 正态分布【考点点知】知己知彼，百战不殆正态分布的知识点在新课标高考中常与函数的图象和性质相结合,要充分利用函数的知识来解决有关正态分布的题目.正态分布广泛存在于自然现象生产及科学技术的许多领域之中,在概率与统计中占有重要的地位.考点一:正态密度曲线 (1)正态密度曲线的定义由频率分布直方图，估计总体分布密度曲线,()y x μσϕ=，如果总体密度曲线是以下函数的图象：,()x μσϕ22()2x μσ--，),(+∞-∞∈x式中的实数μ、σ(σ>0)是参数，分别表示总体的平均数与标准差，这个总体是有无限容量的抽象总体.我们称,()x μσϕ的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线.(2) 正态密度曲线图象的特征①曲线在x 轴的上方，与x 轴不相交； ②曲线是单峰的，它关于直线x =μ对称； ③曲线在x =μ④曲线与x 轴之间的面积为1；⑤当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x 轴平移；⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定.σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体越分散；σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中.（4）3σ规则：从理论上讲，服从正态分布的随机变量ξ的取值范围是R ，但实际上ξ取区间(μ-3σ，μ+3σ)外的数值的可能性微乎其微（0.3%），在实际问题中常常认为它是不会发生的.因此，往往认为它的取值是个有限区间，即区间(μ-3σ，μ+3σ)，这即实用中的三倍标准差规则，也叫3σ规则.在企业管理中，经常应用这个规则进行产品质量检查和工艺生产过程控制.考点二:正态分布 (1)正态分布的定义如果随机变量X 的概率密度为：22)(21)(σμσπ--=x ex f . （σμ,,R x ∈为常数，且0 σ），称X 服从参数为σμ,的正态分布，用X ～),(2σμN 表示.(2)正态分布的概率情况如果ξ～),(2σμN ,则随机变量X 在μ的附近取值的概率很大,在离μ很远处取值的概率很小.随机变量ξ取值落在区间(,)μσμσ-+上的概率大约为68.3% 落在区间(2,2)μσμσ-+上的概率大约为95.4% 落在区间(3,3)μσμσ-+上的概率大约为99.7%. 考点三:标准正态分布与非标准正态分布的转化 (1)标准正态分布当0,1μσ==时,正态分布(0,1)N 称为标准正态分布 (2) 非标准正态分布的转化对任一正态分布X ～),(2σμN 来说,可以通过X Z μσ-=转化为标准正态分布.【小题热身】明确考点，自省反思1.（2010山东卷）已知随机变量ξ服从正态分布2(0,)N σ，若(2)0.023P ξ>=，则(22)P ξ-≤≤= .2. (2010广东卷)已知随机变量X 服从正态分布()1,3N ,且()6826.042=≤≤X P ，则()=>4X P.3.（2009安徽卷）若随机变量X ～2(,)μσ，则()P X μ≤=________．【考题点评】分析原因，醍醐灌顶例1.已知(0,1)X N ,且(20)0.4P x -≤≤=,则(2)P X >= . 思路透析:因(0,1)X N ,所以(2)(2),(02)(20)0.4P X P X P X P X >=≤-≤≤=-≤≤=,又因为 (2)(02)(20)(2)1P X P X P X P X >+≤≤+-≤≤+≤-=,所以 2(2)0.81P X >+=,故(2)0.1.P X >=点评:本题是考查标准正态分布的基础题.求标准正态分布概率的计算要熟记以下公式:如(0,1)X N ,则当00x ≥时, 00()()P X x x φ≤=,00()1()P X x P X x >=-≤01()x φ=-,()()()P a X b b a φφ<≤=-.例 2.公共汽车门的高度是按照保证成年男子与车门顶部碰头的概率在1%以下设计的．如果某地成年男子的身高η~N （175，36）（单位：cm ），则车门设计应为多高？思路透析:设公共汽车门设计为x cm 高，依题意，()P x η≥<001.,又η~N （175，36），知μσ==1756，,所以()()P x P x x ηη≥=-<=--⎛⎝⎫⎭⎪<111756001Φ.得()ΦΦx -⎛⎝⎫⎭⎪>=1756099233..,所以x ->1756233.，得x >18898. 故公共汽车门的高度至少应设计为189cm ．点评:这是一个与实际结合问题，只要通过数学建模，就可以知道其本质就是一个“正态分布下求随机变量在某一范围内取值的概率”的问题；本题的第二问是一个逆向式问法，只要把握实质反向求值即可．实际应用问题，分析可知：求的是门的最低高度，可设其为)cm (x ，使其总体在不低于x 的概率值小于1％，即：%101.0)(=<≥x P ξ，从中解出x的范围．例3.设2(,)X N μσ ,且总体密度的函数表达式为:2214(),x x f x x R -+-=∈(1)求,μσ (2)求(1P x -<和(11P x <的值.思路透析(1)由于22214()x x f x -+-==根据一般正态分布的密度函数表达式有1,μσ=故(1X N .(2)(1(11(1(1P x P x F F -<=<<=+-(2)(1)(2)(1)10.97720.841310.8185φφφφφφ=-=--=+-=+-= 点评:在解决数学问题的过程中,将未知的问题转化为已知的或已解决的问题是我们常用的手段和思考问题的出发点,也是化归的数学思想.通过本题我们会发现一般正态分布和标准正态分布间的内在联系.例 4.在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似服从正态分布(70,100)N .已知成绩在90分以上（含90分）的学生有12名.（Ⅰ）试问此次参赛学生总数约为多少人？（Ⅱ）若该校计划奖励竞赛成绩排在前50名的学生，试问设奖的分数线约为多少分？可共查阅的（部分）标准正态分布表00()()x P x x Φ=<思路透析:（Ⅰ）设参赛学生的分数为ξ，因为ξ～N(70，100)，由条件知， P(ξ≥90)＝1－P （ξ<90）＝1－F(90)＝1－Φ)107090(- ＝1－Φ(2)＝1－0.9772＝0.228.这说明成绩在90分以上（含90分）的学生人数约占全体参赛人数的2.28％，因此， 参赛总人数约为0228.012≈526（人）.（Ⅱ）假定设奖的分数线为x 分，则P(ξ≥x )＝1－P （ξ<x ）＝1－F(90)＝1－Φ)1070(-x ＝52650＝0.0951，即Φ)1070(-x ＝0.9049， 查表得1070-x ≈1.31，解得x ＝83.1.故设奖得分数线约为83.1分.点评:本题考查正态分布的实际应用,对独立事件的概念和标准正态分布的查阅,培养学生灵活运用所学知识的能力.本题中的随机变量ξ～N(70，100),在计算它在某个区间内的概率时,要注意先将其转化为标准正态分布. 【即时测评】学以致用，小试牛刀1. 若随机变量2(,)X N μσ ,则32X Y -=服从的正态分布记为( )A. 2131(,)422Y N μσ-B. 211(,)24Y N μσC. 2131(,)224Y N μσ-D. 211(,)22Y N μσ2. 如果随机变量2(,)N ξμσ ，且3,1E D ξξ==，则(11)P ξ-<≤等于( ) A. Φ（4）－Φ（2） B. Φ（1）－Φ（-1） C. Φ（3）－Φ（2） D. Φ（4）－Φ（1）3. 如果随机变量ξ～N (2,1σ-),且P （13-≤≤-ξ）=0.4，则P （1≥ξ） 等于( )A. 0.1B. 0.2C. 0.3D. 0.4 4. 设(3,4)x N ，则x 的总体密度曲线的函数式为( )A. 2(2)27()x f x --= B. 2(2)8()x f x --=C. 2(3)9()x f x --=D. 2(3)8()x f x --=【课后作业】学练结合，融会贯通一、填空题:1.如果随机变量ξ～N (1,0),标准正态分布表中相应0x 的值为)(0x Φ则)(0x Φ= .2.设随机变量2~(5,3)N ξ,则可知35~ξ-_________________3.设随机变量ξ服从正态分布N(0,1),记()()x P x ξΦ=<.给出下列结论：①1(0)2Φ=;②()1()x x Φ=-Φ-;③(||)2()1P a a ξ=Φ-<;④(||)1()P a a ξ=-Φ>.其中正确命题的个数为 个.4. 已知随机变量X 服从正态分布2(0)N σ，且(20)P X -≤≤0.4=则(2)P X >= .5.已知随机变量ξ服从正态分布2(2)N σ，，(4)0.84P ξ=≤，则(0)P ξ=≤ .6. 在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布2(1)(0)N σσ>，．若ξ在(01)，内取值的概率为0.4，则ξ在(02)，内取值的概率为 ．二、解答题:7.设η服从)2,5.1(2N 试求：（1）);5.3(<ηP （2）);4(-<ηP （3）);2(≥ηP （4）).3(<ηP8.将温度调节器放在贮存有某种液体的容器内,调节器设在0d C ,液体的温度X (单位:0C )是一个随机变量,且2(,0.5)X N d .(Ⅰ)如果90d =,求89X <的概率.(Ⅱ)如要求保持液体的温度至少为80的概率不低于0.99,问d 至少是多少?(其中:若(0,1)Y N ,查表得(2)(2)0.9772,( 2.327)( 2.327)0.01P Y P Y φφ=<=-=<-=)第66课时 正态分布参考答案【小题热身】1. 0.9542. 0.15873. 12【即时测评】1.C2. A3. A4. D【课后作业】一、填空题:1. 0()P x ξ<2. 2(10,9)N3. 34. 0.15. 0.166. 0.8 二、解答题:7.解析:（1）;8413.0)1(25.15.3)5.3(=Φ=⎪⎭⎫⎝⎛-Φ=<ηP （2）;0030.0)75.2(1)75.2(25.14)4(=Φ-=-Φ=⎪⎭⎫⎝⎛--Φ=-<ηP （3）;4013.0)25.0(125.121)2(1)2(=Φ-=⎪⎭⎫⎝⎛-Φ-=<-=≥ηηP P （4）⎪⎭⎫ ⎝⎛--Φ-⎪⎭⎫⎝⎛-Φ-=<=<25.1325.131)2()3(ηηP P)]25.2(1[7734.0)25.2()75.0(Φ--=-Φ-Φ= .7612.0)9878.01(7734.0=--=8.解：(Ⅰ)9089908990(89)()()0.50.50.5X P X P φ---<=<= (2)1(2)10.97720.0228φφ=-=-=-=(Ⅱ)由已知d 满足: 0.99(80)P X ≤≥,又808080(80)()1()1()0.50.50.50.50.5X d d X d d d P X P P φ-----≥=≥=-<=- 即800.991()0.5d φ-≤-,得80()0.010.5d φ-≤,所以80 2.3270.5d-≤- 解得81.1635d ≥,故d 至少为81.1635.。

高考正态分布知识点归纳作为中国高等教育的重要选拔方式，高考在很大程度上决定了学生的命运。

而统计学中的正态分布是高考中常出现的一个重要概念。

了解和掌握正态分布的相关知识点对于高考数学考试至关重要。

本文将从不同角度对高考正态分布知识点进行归纳和总结，以帮助考生更好地应对相关考题。

一、正态曲线和标准正态分布正态曲线是一种在统计学中经常使用的函数图形。

它呈现出钟形曲线的形状，具有中心对称、均值和标准差两个重要参数的特征。

高考中常见的正态分布问题会涉及到正态曲线的图形特点、标准差的计算等内容。

标准正态分布是指均值为0、标准差为1的正态分布。

对于任意一个正态分布，我们都可以通过标准化处理，将其转化为标准正态分布。

标准正态分布具有良好的性质，比如其面积一定等于1，可以使用标准正态分布表进行查找。

二、正态分布的性质和应用正态分布具有许多重要的性质，这些性质在高考中常常会涉及到。

首先是标准差的性质。

标准差越大，曲线越扁平；标准差越小，曲线越陡峭。

这个性质可以帮助我们察觉数据的分散程度。

其次是与正态分布有关的概率问题。

根据正态分布的特点，我们可以计算某个数值在一定范围内的概率。

例如，高考中常见的题目会要求计算某个班级或某个学生在全省排名中的百分位数。

最后是正态分布在抽样理论中的应用。

正态分布是许多统计方法的基础，比如样本均值的抽样分布、样本比例的抽样分布等。

这些应用在高考数学考试中也经常会出现。

三、正态分布与假设检验高考中的数学考卷通常涉及到学生的实际生活问题。

与实际问题相关的统计假设检验也常常和正态分布有关。

假设检验是一种通过收集样本数据，根据样本数据对总体参数进行推断的方法。

在高考中，常见的假设检验问题可能涉及到学生的身高、成绩等方面。

其中，若总体服从正态分布，则可以使用正态分布的性质进行假设检验。

对于高考数学考试中的假设检验问题，我们需要熟悉正态分布的假设检验步骤和相关公式，以便正确地解答相关题目。

四、高考试题中的正态分布问题在高考数学试卷中，正态分布相关的题目通常出现在概率与统计部分。

专题55正态分布知识必备除了离散型随机变量外，还有大量问题中的随机变量不是离散型的，他们的取值充满整个区间甚至整个实轴，但取一点的概率为0，我们称这类随机变量为连续性随机变量.1正态曲线（1）定义我们把函数f(x)=1√2πσe(xμ)22σ2，x∈R（（其中μ∈R，σ>0（为数数）称为正态密度函数，它的图象称为正态密度曲线，简称正态曲线正态曲线呈钟形，即中间高，两边低.（2）正态曲线的性质①曲线位于x轴上方，与x轴不相交；②曲线是单峰的，它关于直线x=μ对称，且在x=μ处达到峰值（（最大值）√2πσ，当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴；③曲线与x轴之间的面积为1；④当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图所示：⑤当μ一定时，曲线的形状由σ确定σ越小，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图所示：2正态分布（1）定义：如果随机变量X的概率分布密度函数为正态密度函数，则称随机变量X服从正态分布，记为X∼N(μ，σ2)特别地，当μ=0，σ=1时，称随机变量X服从标准正态分布.若X∼N(μ，σ2)（，落在区间（a，b]（的概率P(a<X≤b)（，即为由正态曲线，过点(a，0)（点点1(b，0)（的两 x（轴的线线，及x（轴所成的的平面图形的面积（图图中影部分分的面积是是X（落在区间（a，b]的概率.若X∼N(μ，σ2)，则E(X)=μ，D(X)=σ2.数数μ是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本的均值去估计；σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本的标准差去估计.注：由于一个随机变量取值的概率为0，故有P(a<X≤b)=P(a≤X≤b)=P(a≤X<b).（2）3σ原则若X∼N(μ，σ2)，对于给定的k∈N∗，P(μkσ≤X≤μkσ)是一个只与k有关的定值.特别地，P(μσ≤X≤μσ)=06827； P(μ2σ≤X≤μ2σ)=09545；P(μ3σ≤X≤μ3σ)=09973.由于P(μ3σ≤X≤μ3σ)=09973，所以X的取值几乎总是落在区间(μ3σ，μ3σ)之内，而在此区间以外取值的概率大约只有00027，通常认为这种情况几乎不可能发生，即为小概率事件在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取[μ3σ，μ3σ]之间的值，并简称之为3σ原则.典型例题【例题1】设随机变量X服从正态分布，且相应的概率密度函数为f(x)=1√6πe x24x46，则（（）Aμ=2，σ=3Bμ=3，σ=2 Cμ=2，σ=√3Dμ=3，σ=√3【例题2】已知正态分布密度函数φμ，σ(x)=1√2πσe(xμ)22σ2，x∈(∞，∞)，以图关于正态曲线的说法错误的是（）A曲线与x轴之间的面积为1B曲线在x=μ处达到峰值1√2πσC当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移D当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“矮胖”【例题3】已知三个正态分布密度函数φi(x)=1√2πσi e(xμ)22σi2(x∈R，i=1，2，3)（（其中，e为自然对数的底数）的图象如图所示，则图列结论正确的是（）2Aσ1=σ2>σ3Bμ1>μ3Cσ2<σ3Dμ1=u2【例题4】设随机变量X服从正态分布N(0，1)，若P(X>1)=p，则P(1<X<0)=__________【例题5】已知随机变量X服从正态分布N(3，1)，且P(X≥4)=01587，则P(2<X<4)= ( )A06826B03413C04603D09207【例题6】已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ<4)=08，则P(0<ξ<4)=( )A06B04C03D02【例题7】设X∼N(1，1)（，其正态分布密度曲线如图所示，那么向正方形ABCD（中随机掷 10000个点，则落入影部分分的点的个数的估计值是（）（注：若X∼N(μ，σ2)，则P(μσ<X<μσ)=6826%，P(μ2σ<X<μ2σ)=9544%）A7539B6038C7028D6587【例题8】设X∼N(μ1，σ12)，Y∼N(μ2，σ22)，这两个正态分布密度曲线如图所示图列结论中正确的是（）3A P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1)B P(X≤σ2)>P(X≤σ1)C对任意正数t，P(X≤t)>P(Y≤t)D对任意正数t，P(X≥t)>P(Y≥t)【例题9】为了研究新冠疫情期间学生上网课的学习效果，学生返校复课后，某市对高三年级组织了一次调研考试，考试后统计的数学的绩服从正态分布，其密度曲线函数为f(x)=1 9√2πe (x 85)2162，x∈(∞，∞)，则图列说法正确的是（）A 本次调研考试的平均分为85B 本次调研考试的方差为81C 随机抽查一名学生，其的绩在125分以上的概率比的绩在45分以图的概率大D 本次调研考试，其的绩在(75，85)点在(85，95)的人数大致一样多【例题10】在某次数学考试中，学生的绩X服从正态分布(100，δ2)若X在(85，115)内的概率是05，则从数加这次考试的学生中任意选取3名学生，恰有2名学生的的绩不低于85的概率是（）A2764B964C34D916【例题11】已知随机变量X（服从正态分布X∼N(8，σ2)，P(x≥10)=m，P(6≤x≤8)=n（，则12m 8n的最小值为________【例题12】已知随机变量X∼N(1，22)，且P(X≤0)P(1≤X≤m)=12，则图列说法正确的是（）A m=2B m=4C函数y=x(m x)的最大值为1D X的正态曲线关于x=2对称【例题13】某地组织普通高中数学竞赛初赛共有20000名学生数赛，统计得考试的绩X（（满分150分）服从正态分布N(110，100)考试的绩140分及以上者可以进入决赛本次考试可以进入决赛的人数大约为（）附：P(μσ<X<μσ)=06826，P(μ2σ<X<μ2σ)=09544，P(μ3σ<X<μ3σ)=09974.A26B52C456D13【例题14】在某次数学考试中，考生的的绩ξ服从正态分布，即ξ∼N(100，100)，已知满分为150分.（1）试求考试的绩ξ位于区间（80，120]内的概率；（2）若这次考试共有2000名考生数加，试估计这次考试及格（不小于90分）的人数.注：若X∼N(μ，σ2)，则P(μσ≤X<μσ)=06826，P(μ2σ≤X<μ2σ)=09544，P(μ3σ≤X<μ3σ)=09974.【例题15】某共享单车集团为了进行项目优化，对某市月卡用户随机抽取了200人，统计了他们在同一月的使用次数（（假设每月使用次数均在8至36之间）将样本数据分的[8，12），45 [12，16），[16，20），[20，24），[24，28），[28，32），[32，36]，七组，绘制的如图所示的频率分布直方图，并用样本的频率分布估计总体的频率分布.（1）求图中的a值；（2）设该市月卡用户每月使用次数近似服从正态分布N(μ，σ2)（，其中μ（近似为样本的平均数（各区间数据用中点值近似计算），取σ=316，若该城市恰有1万个用户，试估计这些用户中，月使用次数X位于区间[1236，25]内的人数；（3）现从该市月卡用户中随机抽取10人，其中月使用次数在[24，28）的有Y人，记“事件Y=k”的概率为P(Y=k)，其中k=0，1，2，…，10，当P(Y=k)最大时，求k的值.数考数据：若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μσ≤ξ≤μσ)≈06827，P(μ2σ≤ξ≤μ2σ)≈09545， P(μ3σ≤ξ≤μ3σ)≈09973.【例题16】已知某高校共有10000名学生，其图书馆阅览室共有994个座位，假设学生是否去自习是相互独立的，且每个学生在每天的晚自习时间去阅览室自习的概率均为0 1.（1）将每天的晚自习时间去阅览室自习的学生人数记为X，求X的期望点方差；（2）18世纪30年代，数学家棣莫弗发现，如果随机变量X服从二项分布B(n，p)，那么当n比较大时，可视为X（服从正态分布N(μ，σ2)（任意正态分布可可变为为标准正态分布（μ=0（且σ=1的正态分布），如果随机变量Y∼N(μ，σ2)，那么令Z=Yμσ，则可以证明Z∼N(0，1)当Z∼N(0，1)时，对于任意实数a，记Φ(a)=P(Z<a).已知如表为标准正态分布表（节选），该表用于查询标准正态分布对应的概率值（例如当a=016时，由于016=01006，则先在表的最左列找到数字01（（位于第三行），然后在表的最上行找到数字006（位于第八列），则表中位于第三行第八列的数字05636便是Φ(016)的值.（i）求在晚自习时间阅览室座位不够用的概率；（ii）若要使在晚自习时间阅览室座位够用的概率高于07，则至少需要添加多少个座位？a000001002003004005006007008009 000500504050805120516051995239527953195359015398543854785517555755965636567557145753025793583458715910594859876026606461036141 030000000000617962176255629363316368640464436480651704655465910628666467006736677268086844687905691569506985701970547088712371577190722467。

概率与统计 专题三： 正态分布一、知识储备1、若随机变量X 的概率分布密度函数为对任意的x R ∈,()0f x >,它的图象在x 轴的上方.可以证明x 轴和曲线之间的区域的面积为 1.我们称()f x 为正态密度函数,称它的图象为正态密度曲线,简称正态曲线,如上图所示.若随机变量X 的概率分布密度函数为()f x ,则称随机变量X 服从正态分布(normal dis-tribution ),记为2(,)XN μσ.特别地,当0,1μσ==时,称随机变量X 服从标准正态分布，即(0,1)X N .由X 的密度函数及图象可以发现，正态曲线有以下特点： （1）曲线在x 轴的上方，与x 轴不相交。

（2）曲线是单峰的，它关于直线x μ=对称. （3）曲线在x μ=处达到峰值(最高点)（4）当||X 无限增大时，曲线无限接近x 轴. （5）X 轴与正态曲线所夹面积恒等于1 . 2、正态分布的3σ原则22()2(),,x f x x R μσ--=∈()0.6827P X μσμσ-≤≤+≈(22)0.9545P X μσμσ-≤≤+≈ (33)0.9973P X μσμσ-≤≤+≈二、例题讲解1．（2022·湖南高三其他模拟）数学建模是高中数学核心素养的一个组成部分数学建模能力是应用意识和创新意识的重要表现．为全面推动数学建模活动的开展，某学校举行了一次数学建模竞赛活动已知该竞赛共有60名学生参加，他们成绩的频率分布直方图如下．（1）为了对数据进行分析，将60分以下的成绩定为不合格，60分以上（含60分）的成绩定为合格．为科学评估该校学生数学建模水平决定利用分层抽样的方法从这60名学生中选取10人，然后从这10人中抽取4人参加座谈会．记ξ为抽取的4人中，成绩不合格的人数，求ξ的分布列和数学期望；（2）已知这60名学生的数学建模竞赛成绩X 服从正态分布()2,N μσ，其中μ可用样本平均数近似代替，2σ可用样本方差近似代替（用一组数据的中点值作代表），若成绩在46分以上的学生均能得到奖励，本次数学建模竞赛满分为100分，试估计此次竞赛受到奖励的人数．（结果根据四舍五入保留到整数位）解题中可参考使用下列数据：()0.6827P X μσμσ-<≤+≈，()220.9545P X μσμσ-<≤+≈，()330.9973P X μσμσ-<≤+≈．2．（2022·全国高三其他模拟）中国人民解放军装甲兵学院（前身蚌埠坦克学院），建校至今为我国培养了一大批优秀的军事人才.在今年新入学的学生中，为了加强爱校教育，现在从全体新入学的学生中随机的抽取了100人，对他们进行校史问卷测试，得分在45~95之间，分为[)45,55，[)55,65，[)65,75，[)75,85，[]85,95五组，得到如图所示的频率分布直方图，其中第三组的频数为40.（1）请根据频率分布直方图估计样本的平均数X 和方差2s （同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（2）根据样本数据，可认为新人学的学生校史问卷测试分数X 近似服从正态分布()2,N μσ，其中μ近似为样本平均数X ，2σ近似为样本方差2s . （i ）求()47.279.9P X <<；（ii ）在某间寝室有6人，求这6个人中至少有1人校史问卷测试分数在90.8分以上的概率.参考数据：若()2,XN μσ，则()0.6826P X μσμσ-<<+=，()220.9544P X μσμσ-<<+=10.9≈，60.95440.76≈，50.97720.89≈，60.97720.87≈.三、实战练习1．（2022·全国高三专题练习（理））在创建“全国文明卫生城”过程中，某市“创城办”为了调查市民对创城工作的了解情况，进行了一次创城知识问卷调查(一位市民只能参加一次).通过随机抽样，得到参加问卷调查的1000人的得分(满分100分)统计结果如下表所示.（1）由频数分布表可以大致认为，此次问卷调查的得分z 服从正态分布(,210)N μ，μ近似为这1000人得分的平均值(同一组数据用该组数据区间的中点值表示)，请用正态分布的知识求(3679.5)P Z <≤； （2）在（1）的条件下，“创城办”为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案: (ⅰ)得分不低于μ的可以获赠2次随机话费，得分低于μ的可以获赠1次随机话费； (ⅰ)每次获赠送的随机话费和对应的概率为:现有市民甲要参加此次问卷调查，记X (单位:元)为该市民参加问卷调查获赠的话费，求X 的分布列与数学期望.14.5，若2~(,)X N μσ， 则①()0.6827P X μσμσ-<≤≤=；②(22)0.9545P X μσμσ-<≤+=；③3309().973P X μσμσ-<≤+=.2．（2022·沙坪坝·重庆八中高三月考）消费扶贫是社会各界通过消费来自贫困地区和贫困人口的产品与服务，帮助贫困人口增收脱贫的一种扶贫方式，是社会力量参与脱贫攻坚的重要途径.某地为了解消费扶贫对贫困户帮扶情况，该地民政部门从本地的贫困户中随机抽取2000户时2021年的收入进行了一个抽样调查，得到如表所示的频数表：（1）将调查的2000户贫困户按照收入从低到高依次编号为1，2，3，……，2000，从这些贫困户中用系统抽样方法等距抽取50户贫困户进行深度帮扶，已知8号被抽到；（i ）收入在[)12,14和[]16,18的贫困户卬被抽到进行深度帮扶的户数分别为多少？（ii ）收入在[)12,14和[]16,18的贫困户中被抽到进行深度帮扶的凡中随机选取2户，记选取的2户中来自[)12,14的户数为X ，求X 的分布列和数学期望；（2）由频率分布表可认为该地贫困户的收入X 近似服从正态分布()211,2.6N .现从该地的所有贫困户中随机抽取10户，记收入在(]8.4,16.2之外的户数为Y ，求()2P Y ≥(精确到0.001).参考数据1：当()2~,t N μσ时，()0.6827P t μσμσ-<≤+=，()220.9545P t μσμσ-<≤+=，()330.9973P t μσμσ-<≤+=.参考数据2：100.81860.135≈，90.81860.165≈.3．（2022·湖北高三开学考试）从某企业生产的某种产品中抽取1000件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布表和频率分布直方图.（1）求m ，n ，a 的值；（2）求出这1000件产品质量指标值的样本平均数x (同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；（3）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z 服从正态分布()2,N μσ，其中μ近似为样本平均数x ，2σ近似为样本方差2s ，其中已计算得252.6σ=.如果产品的质量指标值位于区间()10.50,39.50，企业每件产品可以获利10元，如果产品的质量指标值位于区间()10.50,39.50之外，企业每件产品要损失100元，从该企业一天生产的产品中随机抽取20件产品，记X 为抽取的20件产品所获得的总利润，求()E X .7.25，()0.6826P x μσμσ-<<+=，()220.9544P x μσμσ-<<+=.4．（2022·四川高三其他模拟（理））在创建“全国文明城市”过程中，我市“创城办”为了调查市民对创城工作的了解情况，进行了一次创城知识问卷调查（一位市民只能参加一次）通过随机抽样，得到参加问卷调查的100人的得分统计结果如表所示：（1）由频数分布表可以大致认为，此次问卷调查的得分(),198Z N μ，μ近似为这100人得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的左端点值作代表）， ①求μ的值；②利用该正态分布，求()74.588.5P Z <≤；（2）在（1）的条件下，“创城办”为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案： ①得分不低于μ的可以获赠2次随机话费，得分低于μ的可以获赠1次随机话费； ②每次获赠的随机话费和对应的概率为：现有市民甲参加此次问卷调查，记X （单位：元）为该市民参加问卷调查获赠的话费，求X 的分布列与数学期望．14≈．若2~(,)X N μσ，则()0.6826P X μσμσ-<≤+=，(22)0.9544P X μσμσ-<≤+=，(33)0.9974P X μσμσ-<+=≤.5．（2022·辽宁）《中国制造2025》提出，坚持“创新驱动、质量为先、绿色发展、结构优化、人オ为本”的基本方针，通过“三步走”实现制造强国的战略目标：第一步，到2025年迈入制造强国行列；第二步，到2035年中国制造业整体达到世界制造强国阵营中等水平；第三步，到新中国成立一百年时，综合实力进入世界制造强国前列．质检部门对设计出口的甲、乙两种“无人机”分别随机抽取100架检测某项质量指标，由检测结果得到如下的频率分布直方图：（1）写出频率分布直方图（甲）中a 的值；记甲、乙两种“无人机”100架样本的质量指标的方差分别为2212,S S ，试比较2212,S S 的大小（只需给出答案）；（2）若质检部门规定质量指标高于20的无人机为优质产品，根据上面抽取的200架无人机的质量指标进行判断，是否有95%的把握认为甲、乙两种“无人机”的优质率有差异？22()().()()()()n ad bc K n a b c d a b c d a c b d -==+++++++)20k（3）由频率分布直方图可以认为，乙种“无人机”的质量指标值Z 服从正态分布()2,N μσ．其中μ近似为样本平均数2,x σ近似为样本方差22S ，设X 表示从乙种无人机中随机抽取10架，其质量指标值位于（11.6，35.4）的架数，求X 的数学期望．注：①同一组数据用该区间的中点值作代表，计算得211.9S ；②若()2,Z N μσ~，则(P Z μσ-<<0.6826,(22)0.9544P Z μσμσμσ+=-<<+=．6．（2022·山西高三三模（理））2022年是中国共产党百年华诞.中国站在“两个一百年”的历史交汇点，全面建设社会主义现代化国家新征程即将开启.2022年3月23日，中宣部介绍中国共产党成立100周年庆祝活动八项主要内容，其中第一项是结合巩固深化“不忘初心､牢记使命”主题教育成果，在全体党员中开展党史学习教育.这次学习教育贯穿2022年全年，总的要求是学史明理､学史增信､学史崇德､学史力行，教育引导党员干部学党史､悟思想､办实事，开新局.为了配合这次学党史活动，某地组织全体党员干部参加党史知识竞赛，现从参加人员中随机抽取100人，并对他们的分数进行统计，得到如图所示的频率分布直方图.（1）现从这100人中随机抽取2人，记其中得分不低于80分的人数为ξ，试求随机变量ξ的分布列及期望；（2）由频率分布直方图，可以认为该地参加党史知识竞赛人员的分数X 服从正态分布()2,N μσ，其中μ近似为样本平均数，2σ近似为样本方差2s ，经计算2192.44s =.现从所有参加党史知识竞赛的人员中随机抽取500人，且参加党史知识竞赛的人员的分数相互独立，试问这500名参赛者的分数不低于82.3的人数最有可能是多少？13.9≈，()0.6827P X μσμσ-<+=，()220.9545P X μσμσ-<+=，()330.9974P X μσμσ-<+=.7．（2022·全国高三其他模拟）从2021年开始，部分高校实行强基计划，选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生，越来越多的学生通过参加数学竞赛来证明自己的数学实力.某省举行的数学联赛初赛有10000名学生参加，成绩数据服从正态分布N （80，100），现随机抽取了某市50名参赛学生的初赛成绩进行分析，发现他们的成绩全部位于区间[50，110]内.将成绩分成6组：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100），[100，110]，得到如图所示的频率分布直方图，该50名学生成绩的平均分是77分.（1）求a，b的值（同一组数据用该组区间的中点值为代表）.（2）（i）若要在全省选拔15.865%的同学通过初赛进入决赛，则分数线应定为多少？（ii）若给成绩位于全省前228名的同学颁发初赛一等奖的证书，现从本市这50名同学里面能成功进入决赛的同学中任意抽取3人，记这3人中得到初赛一等奖的数为X，求X的分布列和数学期望.附：若X~N（μ，σ²），则P（μ﹣σ≤X≤μ+σ）≈0.6827，P（μ﹣2σ≤X＜μ+2σ）≈0.9545，P(μ﹣3σ≤X≤μ+3σ）≈0.9973.8．（2022·河南郑州·（理））已知某生产线的生产设备在正常运行的情况下，生产的零件尺寸X（单位：mm）N．服从正态分布(280,25)（1）从该生产线生产的零件中随机抽取10个，求至少有一个尺寸小于265mm的概率；（2）为了保证生产线正常运行，需要对生产设备进行维护，包括日常维护和故障维修，假设该生产设备使用期限为四年，每一年为一个维护周期，每个周期内日常维护费为5000元，若生产设备能连续运行，则不会产生故障维修费；若生产设备不能连续运行，则除了日常维护费外，还会产生一次故障维修费．已知故障维修费第一次为2000元，此后每增加一次则故障维修费增加2000元．假设每个维护周期互相独立，每个周期内设备不能连续运行的概率为14．求该生产设备运行的四年内生产维护费用总和Y 的分布列与数学期望．参考数据：若~(,2)Z N μσ，则()0.6827P p Z σμσ-<<+=，(22)0.9545P Z μσμσ-<<+=，(33)0.9974Z μσμσ-<<+=，100.99870.9871≈．9．（2022·通辽新城第一中学高三其他模拟（理））近年来，学生职业生涯规划课程逐渐进入课堂，考生选择大学就读专业时不再盲目扎堆热门专业，报考专业分布更加广泛，之前较冷门的数学、物理、化学等专业报考的人数也逐年上升．下表是某高校数学专业近五年的录取平均分与当年该学校的最低提档线对照表：（1）根据上表数据可知，y 与t 之间存在线性相关关系，用最小二乘法求y 关于t 的线性回归方程； （2）据以往数据可知，该大学每年数学专业的录取分数X 服从正态分布(,16)N μ，其中μ为当年该大学的数学录取平均分，假设2022年该校最低提档分数线为540分．（i ）若该大学2022年数学专业录取的学生成绩在584分以上的有3人，本专业2022年录取学生共多少人？进入本专业高考成绩前46名的学生可以获得一等奖学金．一等奖学金分数线应该设定为多少分？请说明理由．（ii ）若A 同学2022年高考考了562分，他很想报考这所大学的数学专业，想第一志愿填报，请利用概率与统计知识，给该同学一个合理的建议．（第一志愿录取可能性低于60%，则建议谨慎报考）参考公式：()()()1122211ˆnnii i i i i nniii i tty y t y ntybtttnt ====---==--∑∑∑∑，x ˆˆay bt =-． 参考数据：()0.683P X μσμσ-<≤+≈，(22)0.954P X μσμσ-<≤+≈，(33)0.997P X μσμσ-<≤+≈10．（2022·合肥一六八中学高三其他模拟（理））2021年是全面建成小康社会之年，是脱贫攻坚收官之年．莲花村是乡扶贫办的科学养鱼示范村，为了调查该村科技扶贫成果，乡扶贫办调查组从该村的养鱼塘内随机捕捞两次，上午进行第一次捕捞，捕捞到60条鱼，共105kg ，称重后计算得出这60条鱼质量（单位kg ）的平方和为200.41，下午进行第二次捕捞，捕捞到40条鱼，共66kg ．称重后计算得出这40条鱼质量（单位kg ）的平方和为117．（1）请根据以上信息，求所捕捞100条鱼质量的平均数z 和方差2s ； （2）根据以往经验，可以认为该鱼塘鱼质量X 服从正态分布()2,N μδ，用z 作为μ的估计值，用2s作为2δ的估计值．随机从该鱼糖捕捞一条鱼，其质量在[]1.21,3.21的概率是多少？（3）某批发商从该村鱼塘购买了1000条鱼，若从该鱼塘随机捕捞，记ξ为捕捞的鱼的质量在[]1,21,3.21的条数，利用（2）的结果，求ξ的数学期望．附：（1）数据1t ，2t ，…n t 的方差()22221111nn i i i i s t tt nt n n ==⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭∑∑， （2）若随机变量X 服从正态分布()2,N μδ，则()0.6827P X μδμδ-≤≤+=；()22P X μδμδ-≤≤+0.9545=；()330.9973P X μδμδ-≤≤+=．13．（2022·湖南师大附中高三其他模拟）某工厂引进新的生产设备M ，为对其进行评估，从设备M 生产零件的流水线上随机抽取100件零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表：经计算，样本的平均值65μ=，标准差 2.2σ=，以频率值作为概率的估计值.（1）为评估设备M 对原材料的利用情况，需要研究零件中某材料含量y 和原料中的该材料含量x 之间的相关关系，现取了8对观测值，求y 与x 的线性回归方程. 附：①对于一组数据()()()()112233,,,,,,,,n n x y x y x y x y ，其回归直线ˆˆˆy bx a =+的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为1221ˆni ii nii x y nx ybxnx ==-=-∑∑，ˆˆˆay bx =-；②参考数据：8152i i x ==∑，81228i i y ==∑，821478i i x ==∑，811849i ii x y==∑.（2）为评判设备M 生产零件的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为X ，并根据以下不等式进行评判(P 表示相应事件的概率)；①()0.6826P X μσμσ-<+；②(22)0,9544P X μσμσ-<+； ③(33)0.9974P X μσμσ-<+.评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足其中两个，则等级为乙；若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁，试判断设备M 的性能等级.（3）将直径小于等于2μσ-或直径大于2μσ+的零件认为是次品.从样本中随意抽取2件零件，再从设备M 的生产流水线上随意抽取2件零件，计算其中次品总数Y 的数学期望E (Y ).。

2019年高考数学一轮复习：正态分布正态分布1．正态曲线的性质 (1）正态曲线的定义 函数φμ，σ（x ）＝错误!222)(eσμ--x ,x ∈（－∞，＋∞),其中实数μ和σ（σ>0)为参数，我们称φμ，σ（x ）的图象(如图)为正态分布密度曲线．简称__________．（2)正态曲线的性质:①曲线位于x 轴____________，与x 轴不相交; ②曲线是单峰的,它关于直线____________对称; ③曲线在x ＝μ处达到峰值__________； ④曲线与x 轴之间的面积为____________; ⑤当σ一定时,曲线的位置由μ确定，曲线随着________的变化而沿x 轴平移，如图甲所示．⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越__________，曲线越“瘦高”,表示总体的分布越集中；σ越__________，曲线越“矮胖"，表示总体的分布越分散，如图乙所示．2．正态分布的定义与简单计算 （1）正态分布的定义及表示如果对于任何实数a ，b (a 〈b )，随机变量X 满足P （a <X ≤b )＝__________,则称随机变量X 服从正态分布,记作__________．（2)正态总体在三个特殊区间内取值的概率 ①P (μ－σ<X ≤μ＋σ)＝0。

682 6； ②P （μ－2σ〈X ≤μ＋2σ)＝0。

954 4； ③P （μ－3σ<X ≤μ＋3σ)＝0。

997 4.可以看到，正态总体几乎总取值于区间（μ－3σ，μ＋3σ)之内．而在此区间以外取值的概率只有0。

0026,通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生．在实际应用中，通常认为服从于正态分布N （μ,σ2）的随机变量X 只取（μ－3σ，μ＋3σ)之间的值，并简称之为3σ原则．自查自纠1．(1)正态曲线(2)①上方 ②x ＝μ ③错误! ④1 ⑤μ ⑥小 大2．（1）∫错误!φμ，σ（x )dx X ～N (μ,σ2)(2015·湖北）设X ～N (μ1，σ错误!）,Y ～N （μ2，σ2，2）,这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是（ )A ．P （Y ≥μ2）≥P (Y ≥μ1)B ．P （X ≤σ2)≤P （X ≤σ1)C ．对任意正数t ，P （X ≤t )≥P （Y ≤t )D ．对任意正数t ，P （X ≥t ）≥P (Y ≥t ） 解:由正态密度曲线的性质可知，X ～N (μ1,σ2，1），Y ～N （μ2,σ错误!）的密度曲线分别关于直线x ＝μ1,x ＝μ2对称,因此结合所给图象可得μ1<μ2，所以P （Y ≥μ2)<P （Y ≥μ1）,A 错误；又X ～N (μ1,σ错误!）的密度曲线较Y ~N （μ2，σ错误!）的密度曲线“瘦高”，所以0<σ1<σ2，所以P （X ≤σ2)〉P （X ≤σ1),B 错误；对任意正数t ,P （X ≤t )≥P （Y ≤t ），P (X ≥t ）≤P （Y ≥t ），C 正确，D 错误，故选C.(2017·惠州二调)已知随机变量ξ服从正态分布N (1，1），若P （ξ<3)＝0.977,则P (－1<ξ〈3）＝（ )A ．0。