牛顿迭代法实验报告
1．功能
本程序采用牛顿法，求实系数高次代数方程
f(x)=a0x n+a1x n-1+…+a n-1x+a n=０（a n≠０）（1）
的在初始值x0附近的一个根。
2.使用说明
（1）函数语句
Y=NEWTON_1(A,N,X0,NN,EPS1)
调用M文件newton_1.m。
（2）参数说明
A n+1元素的一维实数组，输入参数，按升幂存放方程系数。
N整变量，输入参数，方程阶数。
X0 实变量，输入参数，初始迭代值。
NN整变量，输入参数，允许的最大迭代次数。
EPS1实变量，输入参数，控制根的精度。
3．方法简介
解非线性议程f(x)=0的牛顿法是把非线性方程线性化的一种近似方法。把f(x)在x0点附近展开成泰勒级数
f(x)=f(x0)+(x－x0)fˊ(x0)+(x－x0)2
!2)
(0x
f''
+…
取其线性部分，作为非线性方程f(x)=0的近似方程，则有
f(x0)+fˊ(x0)(x－x0)=0
设fˊ(x0)≠0则其解为
x1=x0－f(x0)/fˊ(x0)
再把f(x)在x1附近展开成泰勒级数，也取其线性部分作f(x)=0的近似方程。若f(x1)≠0，则得
x2=x1－f(x1)/fˊ(x1)
这样，得到牛顿法的一个迭代序列
x n+1=x n－f(x n)/fˊ(x n)
4．newton_1.m程序
function y=newton_1(a,n,x0,nn,eps1)
x(1)=x0；
b=1；
i=1；
while(abs(b)>eps1*x(i))
i=i+1；
x(i)=x(i-1)-n_f(a,n,x(i-1))/n_df(a,n,x(i-1))；
b=x(i)-x(i-1)；
if(i>nn)error(ˊnn is fullˊ)；
return；
end
end
y=x(i)；
i
5．程序附注
（1）程序中调用n_f.m和n_df.m文件。n_f.m是待求根的实数代数方程的函数,n_df.m 是方程一阶导数的函数。由使用者自己编写。
（2）牛顿迭代法的收敛速度：如果f(x)在零点附近存在连续的二阶微商，ξ是f(x)的一个重零点，且初始值x0充分接近于ξ，那么牛顿迭代是收敛的，其收敛速度是二阶的，即平方收敛速度。
6．例题
用牛顿法求下面方程的根
f(x)=x3+2x2+10x-20
7．运行结果
>>a=[1,2,10,-20] ；
>>n=3；
>>x0=1；
>>nn=1000；
>>eps1=1e-8；
>>y=newton_1(a,n,x0,nn,eps1)
y=
1.368808107821373e+000
i=
6
程序中调用的n_f.m和n_df.m文件如下：
function y=n_f(a,n,x)
y=０.0；
for i=(n+1)(n+1)
y=y+a(i)*xˆ(n+1-i)；
end
function y=n_df(a,n,x)
y=0.0；
for i=1:n
y=y+a(i)*(n+１-i)*xˆ(n-i)；
end
参考文献：
张培强. MA TLAB语言---演算纸式的科学工程语言. 合肥：中国科技大学出版社，1995
