浅析排列组合中的三类问题

例析排列组合问题类型及解题常用方法排列组合问题是数学中的一个重要分支，广泛应用于概率论、统计学、组合数学等多个领域。

在解决排列组合问题时，我们需要明确问题类型，并选用适当的方法进行求解。

下面将介绍几种常见的排列组合问题类型及解题常用方法。

1.组合问题组合问题是在给定的元素集合中，选择出若干个元素的子集，并以不同的顺序来表示这些子集。

组合问题的典型例子有"从n个不同的元素中，选取m个元素的组合个数是多少"。

解题方法：1)使用组合数公式进行计算，公式为C(n,m)=n!/(m!(n-m)!)，其中C表示组合数，n表示元素个数，m表示要选择的元素个数。

2)利用递归方法求解，即对问题进行拆解，递归地求解子问题，然后将子问题的解合并得到原问题的解。

2.排列问题排列问题是将一组元素进行有序的排列，即考虑元素的顺序。

典型例子有"从n个不同的元素中，选择m个元素进行排列，有多少种不同的排列方式"。

解题方法：1)使用排列数公式进行计算，公式为P(n,m)=n!/(n-m)!，其中P表示排列数，n表示元素个数，m表示要选择的元素个数。

2)利用递归方法求解，将问题分解成子问题，进行子问题的排列，然后按照不同的顺序进行合并，得到原问题的解。

3.重复元素的排列组合问题重复元素的排列组合问题是在给定元素集合中，包含有重复元素的情况下，选择出若干个元素的子集，并以不同的顺序来表示这些子集。

解题方法：1)使用重复组合数公式进行计算，公式为C'(n,m)=(n+m-1)!/(m!(n-1)!)，其中C'表示重复组合数，n表示元素个数，m表示要选择的元素个数。

2)使用重复排列数公式进行计算，公式为P'(n,m)=n^m，其中P'表示重复排列数，n表示元素个数，m表示要选择的元素个数。

4.包含条件的排列组合问题包含条件的排列组合问题是在给定一组元素和一组条件的情况下，选择满足条件的子集，并以不同的顺序进行排列。

初二数学中常见的排列组合问题解析在初二数学学习中，排列组合是一个重要的概念，在解决问题时经常会遇到。

本文将对初二数学中常见的排列组合问题进行解析，并提供一些解题技巧和方法，以帮助学生更好地理解和应用排列组合知识。

一、排列问题的解析排列是指从若干对象中，按照一定的次序进行选择，形成一个有序的组合方式。

在初二数学中，常见的排列问题有全排列、不重复排列和循环排列。

1. 全排列全排列指的是从给定的一组对象中选取全部的对象进行排列，例如从1、2、3三个数字中找出所有不重复的排列。

求全排列的个数可以使用阶乘的方法，即n的全排列个数为n!（n的阶乘）。

2. 不重复排列不重复排列是指从给定的一组对象中选取一部分进行排列，要求排列中不能有重复的情况。

例如从1、2、3三个数字中选取两个数字进行排列，不重复排列的个数可以使用公式P(n, m)来表示，其中n为对象总数，m为选取的对象个数，计算公式为P(n, m) = n! / (n-m)!。

3. 循环排列循环排列是指从给定的一组对象中选取一部分进行排列，要求排列中可以存在重复的情况。

例如从1、2、3三个数字中选取两个数字进行排列，循环排列的个数可以使用公式A(n, m)来表示，其中n为对象总数，m为选取的对象个数，计算公式为A(n, m) = n^m。

在解决排列问题时，可以通过列出所有情况的方法进行计算，也可以利用排列数的性质和公式进行快速计算。

在实际解题过程中，需要根据具体问题的要求来选择适合的方法。

二、组合问题的解析组合是指从给定的一组对象中选取若干个对象进行组合，不考虑次序的排列方式。

在初二数学中，常见的组合问题有无重复组合和有重复组合。

1. 无重复组合无重复组合指的是从给定的一组对象中选取一部分进行组合，要求组合中不能有重复的情况。

无重复组合的个数可以使用公式C(n, m)来表示，其中n为对象总数，m为选取的对象个数，计算公式为C(n, m)= n! / (m! * (n-m)!)。

高中数学排列组合解题技巧在高中数学中，排列组合是一个重要的概念和考点。

它涉及到对一组对象进行有序或无序地选择和排列的问题，常常出现在数学竞赛和高考中。

掌握排列组合的解题技巧对于提高数学成绩至关重要。

本文将介绍一些常见的排列组合题型，并提供解题技巧和例题分析，帮助高中学生和家长更好地掌握这一知识点。

一、排列问题排列问题是指从给定的一组对象中，按照一定的顺序选择一部分或全部对象的问题。

常见的排列问题有全排列、循环排列和有条件的排列等。

1. 全排列全排列是指从n个不同的元素中，按照一定的顺序选取m个元素进行排列的问题。

全排列的计算公式为P(n, m) = n! / (n-m)!，其中n!表示n的阶乘。

例题1：从1、2、3、4中任选3个数字，共有多少种排列方式？解析：根据全排列的计算公式，P(4, 3) = 4! / (4-3)! = 4! / 1! = 4 × 3 × 2 = 24。

因此，共有24种排列方式。

2. 循环排列循环排列是指将n个不同的元素排成一个环状，不计顺序的排列问题。

循环排列的计算公式为C(n) = (n-1)!，其中n!表示n的阶乘。

例题2：将1、2、3、4排成一个环状，共有多少种循环排列方式？解析：根据循环排列的计算公式，C(4) = (4-1)! = 3! = 3 × 2 = 6。

因此，共有6种循环排列方式。

二、组合问题组合问题是指从给定的一组对象中，按照一定的顺序选择一部分对象的问题。

与排列不同的是，组合不考虑对象的顺序，只关注对象的选择。

常见的组合问题有选择问题和有条件的组合等。

1. 选择问题选择问题是指从n个不同的元素中，按照一定的顺序选取m个元素的问题。

选择问题的计算公式为C(n, m) = n! / (m! × (n-m)!)。

例题3：从1、2、3、4中任选3个数字，共有多少种选择方式？解析：根据选择问题的计算公式，C(4, 3) = 4! / (3! × (4-3)!) = 4! / (3! × 1!) = 4。

高中数学排列组合中的“分组分配”问题详解
数学好教师 2020-02-06
不同种元素
分组问题
将n个不同元素按照某些条件分成k组，称为分组问题。

分组问题有平均分组、不平均分组、和部分平均分组三种情况。

1. 平均分组
1
2. 不平均分组
2
3. 部分平均分组
3
分配问题：
如果把不同的元素分配给几个不同对象，并且每个不同对象可接受的元素个数没有限制，那么实际上是先分组后分配的问题，即分组方案数乘以不同对象数的全排列数。

所以针对分配问题，需要遵守的原则是：先分组，后分配
同种元素
分组问题：
1
分配问题：
对于同种元素的分配问题，通常有两种解法：常规法和隔板法
常规法：
隔板法：
常规法：
隔板法：
经典练习题
1：将五位老师分到三个学校任教，每个学校至少分一位老师，总共有多少种分法。

(答案：150种)
2：有4个不同小球放入4个不同盒子，其中有且只有一个盒子留空，有多少种不同放法？(答案：144种)
3：7个人参加义务劳动，选出6个人，分成2组，每组都是3个人，有多少种不同分法？(答案：70种)
4：10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？(答案：84种)
5：现有7个完全相同的小球，将它们全部放入编号为1，2，3的三个盒子中
(1)若每个盒子至少放一个球，共有多少种不同的放法？(答案：15种)
(2)若允许出现空盒，共有多少种不同的放法？(答案：36种)
6：现有12个相同的小球，将它们全部放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，要求每个盒子中的小球个数不小于其编号数，问不同的放法有多少种？(答案：10种)。

高中数学排列与组合算法解题思路在高中数学中，排列与组合是一个重要的概念，也是解题的常见考点之一。

掌握排列与组合的算法解题思路，对于高中学生来说是非常重要的。

本文将以具体的题目为例，分析和说明排列与组合的考点和解题技巧，帮助读者更好地理解和应用这一知识点。

一、排列问题排列问题是指从给定的元素中选取若干个元素按照一定的顺序排列的问题。

常见的排列问题有全排列、循环排列等。

1. 全排列问题全排列问题是指从给定的元素中选取所有的元素按照一定的顺序排列的问题。

下面以一个具体的例题来说明全排列的解题思路。

例题：有三个不同的字母A、B、C，从中选取两个字母进行排列，列出所有可能的情况。

解题思路：根据排列的定义，我们知道在这个问题中，有3个元素，选取2个进行排列。

根据排列的计算公式，可以得到全排列的个数为3 × 2 = 6。

我们可以使用穷举法列出所有的情况：AB, AC, BA, BC, CA, CB通过这个例题，我们可以看到全排列问题的解题思路是通过穷举法列出所有的情况，根据排列的计算公式计算出全排列的个数。

2. 循环排列问题循环排列问题是指从给定的元素中选取若干个元素按照一定的顺序排列，并且最后一个元素与第一个元素相连的问题。

下面以一个具体的例题来说明循环排列的解题思路。

例题：有三个不同的字母A、B、C，从中选取两个字母进行循环排列，列出所有可能的情况。

解题思路：根据循环排列的定义，我们知道在这个问题中，有3个元素，选取2个进行循环排列。

循环排列的个数等于全排列的个数除以元素个数，即6 ÷ 3 = 2。

我们可以使用穷举法列出所有的情况：AB, BC, CA通过这个例题，我们可以看到循环排列问题的解题思路是先计算出全排列的个数，然后除以元素个数得到循环排列的个数，最后使用穷举法列出所有的情况。

二、组合问题组合问题是指从给定的元素中选取若干个元素进行组合的问题。

常见的组合问题有从n个元素中选取m个元素的组合、有重复元素的组合等。

排列组合问题的类型及解答策略
排列组合问题是组合数学的基本问题，主要涉及对象的排列和组合，一般分为以下几种类型：
1. 排列问题：求n个不同元素按照一定规律排列的方案数，其中每个元素只能出现一次。

例如，从8个人中选取3个人组成一支队伍，求按照一定顺序排列的方案数。

解策略：使用排列公式an = n！/ (n-r)！，其中n表示元素个数，r表示选取个数。

2. 组合问题：求n个不同元素中选取r个元素的方案数，其中
元素的顺序不重要。

例如，从8个人中选取3个人组成一支队伍，不考虑人的排列顺序，求方案数。

解策略：使用组合公式Cn,r = n!/ (r!(n-r)! )，其中n表示元素
个数，r表示选取个数。

3. 含有限制条件的问题：在组合问题的基础上，加入限制条件，例如某些元素必须或者不能一起选取。

例如，从6个男人和4
个女人中选择3人组成一个委员会，其中必须有至少一名女性。

解策略：分别考虑满足和不满足限制条件的情况，分别计算方案数并相加。

4. 区分问题与不区分问题：确定是否考虑对象间的区分性。

例如，从8个相同的球中选取3个球，不考虑球的区分性，求方
案数。

解策略：对于不区分问题，使用组合公式；对于区分问题，使用排列公式。

5. 带替换问题：从n个元素中选取r个元素，其中每个元素可以重复选取s次。

例如，从5个牌子中选取3个牌子，其中每个牌子可以选取多次。

解策略：使用带替换的组合公式，即C(n+r-1,r)。

通过以上不同类型排列组合问题的解答策略，能够有效解决各种实际问题。

高中数学解题技巧之排列组合问题在高中数学中，排列组合是一个重要的概念和考点。

它不仅在数学中有广泛的应用，而且在生活中也有很多实际的应用场景。

掌握排列组合的解题技巧对于高中学生来说非常重要。

本文将介绍一些常见的排列组合问题，并提供解题技巧和实例，帮助读者更好地理解和应用。

一、排列问题排列是指从给定的元素中选取若干个元素按照一定的顺序排列的方式。

在排列中，元素的顺序是重要的。

例题1：某班有5名男生和3名女生，要从中选出3名学生组成一个小组，问有多少种不同的组合方式？解析：这是一个典型的排列问题，要求选出3名学生组成一个小组。

由于男生和女生是区分开的，我们可以分别计算男生和女生的组合方式，然后再将两者相乘得到最终的结果。

男生的组合方式为从5名男生中选出3名，即C(5,3) = 5! / (3! * (5-3)!) = 10种。

女生的组合方式为从3名女生中选出0名，即C(3,0) = 1种。

最终的结果为男生的组合方式乘以女生的组合方式，即10 * 1 = 10种。

例题2：某班有6名学生，要从中选出3名学生组成一个小组，其中2名学生是男生，3名学生是女生，问有多少种不同的组合方式？解析：这个问题相比例题1稍微复杂一些，因为要考虑到男生和女生的区分。

我们可以分别计算男生和女生的组合方式，然后将两者相乘得到最终的结果。

男生的组合方式为从2名男生中选出2名，即C(2,2) = 1种。

女生的组合方式为从3名女生中选出1名，即C(3,1) = 3种。

最终的结果为男生的组合方式乘以女生的组合方式，即1 * 3 = 3种。

二、组合问题组合是指从给定的元素中选取若干个元素，不考虑元素的顺序。

例题3：某班有5名学生，要从中选出3名学生组成一个小组，问有多少种不同的组合方式？解析：这是一个典型的组合问题，要求选出3名学生组成一个小组。

由于不考虑元素的顺序，我们可以直接计算组合的方式。

组合的计算公式为C(5,3) = 5! / (3! * (5-3)!) = 10种。

几何有关的排列组合题的解法在几何学中，排列组合是一种常见的解决问题的方法。

通过对图形的排列和组合，我们可以探索出许多有趣和实用的结论。

本文将介绍几何有关的排列组合题的解法，帮助读者更好地理解和解决这类问题。

一、组合问题组合问题是指从一组元素中选取若干个元素，并按照一定规则组合在一起的问题。

在几何学中，常见的组合问题包括圆排列、线排列等。

下面以圆排列为例进行说明。

1. 圆排列问题圆排列是指将若干个不同的圆按一定规则排列在平面上的问题。

一般来说，圆排列可以分为两类：相离圆排列和相切圆排列。

相离圆排列问题是指将若干个不相交的圆排列在平面上的问题。

在解决相离圆排列问题时，我们可以利用排列组合的方法进行求解。

假设有n个圆，我们可以选择其中的m个圆进行排列。

圆的排列数量可以通过组合数公式求得，即C(n,m)。

相切圆排列问题是指将若干个相切的圆排列在平面上的问题。

在解决相切圆排列问题时，我们可以利用等比数列的性质进行求解。

假设有n个圆相切，我们将最大的圆设为第一个圆，其半径为r，那么第i个圆的半径为r/i。

通过求解前n项的和，即可得到圆的总面积。

二、排列问题排列问题是指将一组元素按一定顺序排列的问题。

在几何学中，常见的排列问题包括点线面的排列等。

下面以点线面的排列为例进行说明。

1. 点线排列问题在点线排列问题中，我们需要计算在给定的几何形状中，将若干个点或线按一定规则排列的情况。

这种情况下，排列的顺序非常重要。

例如，给定一个正方形的四个顶点，我们需要计算在这四个顶点中选择若干个点排列成线段的情况。

我们可以根据线段的个数进行分类讨论，分别计算可能的排列情况。

2. 点面排列问题在点面排列问题中，我们需要计算给定的若干个点和若干个面排列成几何形状的情况。

这种情况下，排列的顺序也非常重要。

例如，给定一个平面上的四个点和一个矩形，我们需要计算在这四个点中选择若干个点作为矩形的顶点的情况。

我们可以根据矩形的边的个数进行分类讨论，分别计算可能的排列情况。

问题一：均匀分组与不均匀分组的问题方法技巧 均匀分组与不均匀分组的问题处理均匀分组与不均匀分组、无序分组与有序分组是组合问题的常见题型．解决此类问题的关键是正确判断分组是均匀分组还是不均匀分组，无序均匀分组要除以均匀组数的阶乘数，还要充分考虑到是否与顺序有关；有序分组要在无序分组的基础上乘以分组数的阶乘数．【示例】 按下列要求分配6本不同的书，各有多少种不同的分配方式？(1)分成三份，1份1本，1份2本，1份3本；(2)甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本；(3)平均分成三份，每份2本；(4)平均分配给甲、乙、丙三人，每人2本；(5)分成三份，1份4本，另外两份每份1本；(6)甲、乙、丙三人中，一人得4本，另外两人每人得1本；(7)甲得1本，乙得1本，丙得4本．解 (1)无序不均匀分组问题．先选1本，有C 16种选法；再从余下的5本中选2本，有C 25种选法；最后余下3本全选，有C 33种选法．故共有分配方式C 16·C 25·C 33＝60(种)． (2)有序不均匀分组问题． 由于甲、乙、丙是不同的三人，在(1)题基础上，还应考虑再分配，共有分配方式C 16·C 25·C 33·A 33＝360(种)．(3)无序均匀分组问题．先分三组，则应是C 26·C 24·C 22种方法，但是这里出现了重复．不妨记六本书为A ，B ，C ，D ，E ，F ，若第一步取了AB ，第二步取了CD ，第三步取了EF ，记该种分法为(AB ，CD ，EF )，则C 26·C 24·C 22种分法中还有(AB ，EF ，CD )，(CD ，AB ，EF )，(CD ，EF ，AB )，(EF ，CD ，AB )，(EF ，AB ，CD )，共有A 33种情况，而这A 33种情况仅是AB ，CD ，EF 的顺序不同，因此只能作为一种分法，故分配方式有C 26·C 24·C 22A 33＝15(种)． (4)有序均匀分组问题．在(3)的基础上再分配给3个人，共有分配方式C 26·C 24·C 22A 33·A 33＝C 26·C 24·C 22＝90(种)．(5)无序部分均匀分组问题． 共有分配方式C 46·C 12·C 11A 22＝15(种)． (6)有序部分均匀分组问题．在(5)的基础上再分配给3个人，共有分配方式C 46·C 12·C 11A 22·A 33＝90(种)． (7)直接分配问题．甲选1本，有C 16种方法；乙从余下的5本中选1本，有C 15种方法；余下4本留给丙，有C 44种方法，共有分配方式C 16·C 15·C 44＝30(种)．问题二：同元问题“隔板法”例. 10本完全相同的书，分给4个同学，每个同学至少要有一本书，共有多少种分法？ 分析：在排列成一列的10本书之间，有九个空位插入三块“隔板”.如图：×× × ××× ××××一种插法对应于一种分法，则共有39C ＝84种分法.该题的数学模型为：方程++21x x ……)n m ,N n m ,(m x *n ≥∈=+有1-n 1-m C 个正整数解。

排列组合问题也是公考中一个比重较大的问题，也是公考的重点和难点之一，也是进一步解答概率的基础。

事实上，许多概率问题也可归结为排列组合问题。

这一类问题不仅内容抽象，解法灵活，而且解题过程极易出现“重复”和“遗漏”的错误，这些错误甚至不容易检查出来，所以解题时要注意不断积累经验，总结解题规律，掌握若干技巧，最终达到能够灵活运用。

先说排列组合，分类用加法，分步用乘法，排列P与顺序有关，排列C与顺序无关两个大类：1、分类计数原理(加法原理) 完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法，…，在第n类办法中有m n种不同的方法，那么完成这件事共有：N=m1+m2+…+m n种不同的方法．2、分步计数原理（乘法原理）完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n步有m n种不同的方法，那么完成这件事共有：N=m1.m2…m n种不同的方法．分类计数原理和分步计数原理区别：1、分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。

2、分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件．解决排列组合综合性问题的一般过程如下1.认真审题弄清要做什么事2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。

3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素.排列组合问题是高考的必考题，它联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，不易掌握，实践证明，掌握题型和解题方法，识别模式，熟练运用，是解决排列组合应用题的有效途径以下是解解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略排列组合从解法上看，大致有以下几种：(1)有附加条件的排列组合问题，大多需用分类讨论的方法；(2)排列与组合的混合型问题，需分步骤，要用乘法原理解决；(3)不相邻问题插空法，相邻问题捆绑法；(4)排除法，将不符合条件的排列或组合剔除掉；(5)枚举法，将符合条件的所有排列或组合一一写出来，或写出一部分发现规律；(6)定序问题“无序化”，即若某几个元素必须保持一定的顺序，则可按通常排列后再除以这几个元素的排列数；(7)隔板法，例如：10个相同的小球分给三人，每人至少1个，有多少种方法？可将10个球排成一排，再用2块“隔板”将它们分成三个部分，有C92种方法。

排列组合问题的类型及解答策略排列组合问题是数学中一个重要的分支，主要研究给定一组对象（元素）的排列和组合形式。

在各个领域中，排列组合问题都有很多实际应用，如密码学、统计学、概率论等。

下面将介绍排列组合问题的类型及解答策略，并给出相关参考内容。

1. 排列问题排列问题是指从给定的n个元素中，选取m个元素进行排列，其中m<=n。

排列问题中的元素顺序是重要的，即同样的元素组成的不同排列被认为是不同的结果。

解答策略：排列问题可以使用递归、回溯法或动态规划等方法进行解答。

参考内容：- 《Introduction to the Theory of Computation》(第3版) by Michael Sipser- 《Discrete Mathematics and Its Applications》(第7版) by Kenneth H. Rosen- 《Concrete Mathematics: A Foundation for Computer Science》(第2版) by Ronald L. Graham, Donald E. Knuth, and Oren Patashnik2. 组合问题组合问题是指从给定的n个元素中，选取m个元素进行组合，其中m<=n。

组合问题中的元素顺序不重要，即同样的元素组成的不同组合被认为是相同的结果。

解答策略：组合问题可以使用递归、回溯法或组合数学的相关公式进行解答。

其中，组合数学中的二项式系数的性质是解决组合问题的关键。

参考内容：- 《Concrete Mathematics: A Foundation for Computer Science》(第2版) by Ronald L. Graham, Donald E. Knuth, and Oren Patashnik- 《Combinatorial Mathematics for Recreation》 by Ronald L. Graham, Edouard Lucas, and Donald E. Knuth- 《Applied Combinatorics》(第6版) by Alan Tucker3. 排列组合问题排列组合问题是指在从给定的n个元素中选取m个元素的基础上，对选取出的元素进行排列的问题。

高考中排列组合的五类题型江苏 韩文美排列、组合是高中数学的重要内容，是进一步学习后继内容和高等数学的基础知识之一,也是高考数学命题的重要内容．笔者结合近年来的高考数学试题加以分析总结，向大家介绍排列组合中常见的并带有一定规律性的典型考题及其解法．一、相邻、不相邻、相间问题 此类问题的常用解决方法是: （1）相邻问题：捆绑法； (2）不相邻问题：插入法；（3）相间问题：位置分析法（问题双方元素的个数相等或相差1）．例1 用1，2，3，4，5,6,7，8组成没有重复数字的八位数，要求1与2相邻,3与4相邻，5与6相邻,而7与8不相邻,这样的八位数共有______个（用数字作答）．解析：组成这样的八位数可以分成三步：第一步是把1与2，3与4，5与6看作三个整体排成一列，共有33A 种排法；第二步是把7与8插入第一步中的三个整体之间，共有24A 种排法；第三步是第一步当中的1与2，3与4,5与6之间的位置可以交换，共有222222A A A ··种排法．所以组成这样的八位数共有3222234222576A A A A A····个,即填576．二、特殊元素顺序问题此类问题的常用解决方法是：定位法、等几率法．例2五个工程队承建某项工程的5个不同的子项目，每个工程队承建1项,其中甲工程队不能承建1号子项目,则不同的承建方案共有（ ）．Ａ．1444C C ·种 Ｂ．1444C A ·种 Ｃ．44C 种 Ｄ．44A 种解析：承建方案分为两步：第一步是由于甲工程队不能承建1号子项目,那么就从剩下的四个不同的子项目中挑选一个让甲工程队承建,有14C 种方案；第二步是其他四个工程队承建四个不同的子项目，共有44A 种方案．所以不同的承建方案共有1444C A ·种方案．三、互斥问题此类问题的常用解决方法是：分类法．例3从集合｛O ，P ，Q ，R ，S ｝与{0,1，2,3，4,5，6，7，8,9}中各任取2个元素排成一排（字母和数字均不能重复）．每排中字母O ,Q 和数字0至多只出现一个的不同排法种数是__________．（用数字作答）解析：把排法分成三类:①当无字母O ，Q 和数字0时，有排法224394C C A ··种;②当无字母O ，Q ，但有数字0时，有排法214394C C A ··种；③当无数字0，但有字母O ，Q 其中之一时，有排法11242394C C C A ···种．综上，符合题意的不同排法种数是224214112439439423948424C C AC C A C C C A ++=·······．四、不同元素的分组分配问题此类问题的常用解决方法是：先分组再分配．例4 北京《财富》全球论坛期间，某高校有14名志愿者参加接待工作．若每天排早、中、晚三班,每班4人，每人每天最多值一班,则开幕式当天不同的排班种数为（ ）Ａ．124414128C C C ·· Ｂ．124414128C A A ·· Ｃ．12441412833C C C A ·· Ｄ．12443141283C C C A ···解析：分配14名志愿者参加接待工作分两步完成：第一步先从14名志愿者中抽取12名志愿者参加开幕式当天的接待工作，有1214C 种排班种数；再把12名志愿者排早、中、晚三班，有4441284C C C ··，即44128C C ·种排班种数．因此，开幕式当天不同的排班种数为124414128C C C ··，应选A ．五、一对一禁位排列问题（贝努利—-欧拉错装信封问题） 此类问题的常用解决方法是：公式法．其一般形式：把编号为1，2，…，n 的n 个不同的球装入编号为1，2，…,n 的n 个盒子中，要求球的编号与盒子的编号不同,求不同的装球方法种数．n 个元素一对一禁位排列问题的公式：111(1)()!2!3!4!!n f n n n ⎡⎤-=-+-+⎢⎥⎣⎦．例5 将标号为1，2，…,10的10个球放入标号为1，2，…，10的10个盒子内,每个盒内放一个球,则恰好有3个球的标号与其所在盒子的标号不一致的放入方法共有______种．（以数字作答)解析：恰好有3个球的标号与其所在盒子的标号不一致的放入可分成两步：第一步是从10个球中选定3个球的标号与其所在盒子的标号不一致，有310C 种选法；第二步是3个球的一对一禁位排列问题，共有排列方法11(3)3!22!3!f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭种．所以恰好有3个球的标号与其所在盒子的标号不一致的放入方法共有310(3)240Cf =种．。

排列组合问题的类型及解答策略排列组合问题是概率论的一个重要内容，常见于数学和统计学的相关考试中。

它涉及将一组元素按照一定的规则进行排列或组合，从而求解出不同可能性的个数。

在数学领域中，排列与组合属于不同的问题类型，需要采用不同的解答策略。

首先，我们来讨论排列问题。

排列指的是从给定的一组元素中按照一定顺序选取若干个元素，形成一个有序的排列。

对于排列问题，常见的求解策略有全排列和有限排列两种。

全排列问题是指将给定的所有元素进行排列，即对于每一个元素都有可能处于不同的位置。

解答全排列问题时，可以使用递归算法。

首先确定第一个位置的元素，然后将剩余的元素进行全排列，依次确定后面的位置，直到所有元素都被排列。

全排列问题的解答策略比较直接，但对于元素较多的情况下，可能会导致运行时间较长。

有限排列问题是指从给定的一组元素中选取若干个元素进行排列，但排列的长度有限制，即不一定需要将所有元素都排列出来。

解答有限排列问题时，可以使用递归算法或迭代算法。

递归算法的思路与全排列问题类似，需要确定每个位置的元素，但要考虑到排列的长度限制。

迭代算法则可以通过循环来实现，每次选取一个元素并确定位置，直到达到排列长度限制或所有元素都被选取。

接下来，我们讨论组合问题。

组合指的是从给定的一组元素中选取若干个元素，形成一个无序的组合。

对于组合问题，常见的求解策略有全组合和有限组合两种。

全组合问题是指将给定的所有元素进行组合，即对于每一个元素都有可能被选取或不被选取。

解答全组合问题时，可以使用位运算的思想。

假设元素个数为n，可以使用n位二进制数表示每个元素的选取状态，0表示不选取，1表示选取。

通过遍历所有可能的二进制数，即可得到全组合的解。

有限组合问题是指从给定的一组元素中选取若干个元素进行组合，但组合的个数有限制。

解答有限组合问题时，可以使用递归算法或迭代算法。

递归算法的思路是从第一个元素开始选取，然后对剩余元素进行组合，依次确定后面的元素，直到达到组合个数限制或所有元素都被选取。

排列组合常见小技巧华图教育 曹贞排列组合问题被考生称为数量关系中“最难啃的硬骨头”，其实在排列组合问题中有三类特殊小题型，可以被考生作为规律性题型记忆下来，形成套路。

这三类题型分别为捆绑、插空、隔板，下面我们就三类问题分别进行讲解。

（一）捆绑法如果题目要求一部分元素必须在一起，则需要先将要求在一起的元素视为一个整体，再与其他元素一起进行排列。

【例1】四对情侣排成一队买演唱会门票，已知每对情侣必须排在一起，问共有多少种不同的排队顺序（ ）A. 24种B. 96种C. 384种 D . 40320种【解析】每对情侣必须排在一起，故可将每对情侣捆绑起来，4对情侣全排列有44A =24种排法；每对情侣又可以互相调换位置，即每对情侣又有2种排列方式，4对情侣互相调换有42种排法，故一共有4442384A ⨯=种排法，因此选择C 。

【注解】题目中明确要求“必须排列在一起”，因此符合捆绑法，先计算4对情侣的排列情况，再计算每对情侣内部的排列情况。

（二）插空法如果题目要求一部分元素不能在一起，则需要先排列其他主体，然后把不能在一起的元素插空到已经排列好的元素中间。

【例2】某市至旱季水源不足，自来水公司计划在下周七天内选择两天停止供水，若要求停水的两天不相连，则自来水公司共有（ ）种停水方案。

A. 21B. 19C. 15D. 6【解析】2天停水，5天不停水，不停水的日期中间有六个空隙中选出两个空隙26C ＝15，因此选择C 。

【注解】题目中明确要求停水的两天不相连，符合插空法，需要先排列其他5天形成6个空，将剩下停水的2天插入到6个空中。

（三）隔板法如果题目表述为相同的元素m 个分成数量不等的n 组，要求每组至少一个元素，则将隔板插入元素之间，总数为n-1m-1C 种。

【例3】将7个大小相同的桔子分给4个小朋友，要求每个小朋友至少得到1个桔子，一共有几种分配方法（ ）A. 14B. 18C. 20D. 22【解析】直接代入公式中，41371620C C --==种，因此选择C 。

思路探寻排列组合问题的命题方式一般较为灵活，命题者常将排列与组合问题混合在一起，以增加问题的难度.对此，我们在解题时首先需仔细读题，明确问题的类型，抓住问题的本质，其次要灵活运用两个基本原理和公式进行求解，同时还要注意讲究一些方法、技巧.下面介绍几种常见的排列组合问题以及解法，以帮助同学们提高解答此类问题的效率.一、含有特殊元素的问题有些排列组合问题常会涉及一些特殊的元素或对某些元素有特殊的要求，对于此类含有特殊元素的排列组合问题，在解题时，我们需先处理特殊元素，然后再考虑其他元素的排列顺序.例1.5张相同形状、大小的卡片上分别标有0，1，2，3，6，取出3张卡片，使其构成一个没有重复数字的三位数.若6可以看成9进行使用，则可以组成_____个不同的三位数.分析：显然0，6为特殊元素，需优先考虑，即在求解时要优先考虑0，6所处的位置，再考虑其他的元素和位置.解：①若只取0不取6.可先将0排在个位和十位上，有C 12种情况，再从剩下的3个数字选取2个排在剩下的两个位置上，有A 23种情况，所以一共可组成C 12A 23=12个三位数.②若只取6不取0.需从1，2，3中任取2个数字放在个、十、百位上，有C 23A 33种情况.再将6看成9使用，则一共有2C 23A 33=36个三位数.③若不取0、6.需将1，2，3分别放在个、十、百位上，一共有A 33=6个三位数；④若0、6都取.可先将0排在个位或十位，有C 12种情况，再从剩下的3个数字中选取1个，并将这个数字和6一起排在剩下的两个位置上，有C 13A 22种情况，则一共可组成C 13C 12A 22种情况.再将6看成9使用，所以有2C 13C 12A 22=24个三位数.综上所述，一个可以组成12+36+24+6=78个三位数.二、元素相邻问题对于元素相邻问题，我们一般考虑采用捆绑法来求解.即首先把要求相邻的元素捆绑起来看作一个大元素，与其他元素一起进行排列.若m 个元素中有n个元素要求相邻，则这m 个元素有C nm A nn 种排法，然后将剩下的m -n 个元素与这个大元素一起排列，则有A m -n +1m -n +1种排法.例2.现有3对孪生兄弟站在一排照相，仅有1对孪生兄弟相邻的排法有____种.A.72B.144C.240D.288解：先选1对孪生兄弟，并将他们捆绑在一起看作一个元素A ，有C 13A 22=6种排法.现有5个位置，若A 处于队伍的两端，需将另外2对孪生兄弟拆开，有2C 14C 12=16种排法；若A 处于队伍左边或右边数的第二个位置，有2C 14C 12=16种排法；若A 处于队伍中间，有C 14C 12A 22=16种排法，由分步计数原理可得，共有6×()16+16+16=288种排法.故选D .三、元素均分问题有些排列组合问题中的元素被要求均分，若n 个元素被要求平均分成m 组，每组有nm个元素，需要在排列出元素的顺序后除以A mm ，以避免出现重复的情况.例3.把A ,B ,C ,D ,E ,F 这6个元素分为3组，不同的分法有____种.解：若3组的人数分别为1，1，4，那么其中两组就需要平均分组，每组均有1个元素，则剩下4个元素组成1组，共有C 16C 15C 44A 22=15分法；若3组的人数分别为1，2，3，那么就不需要均匀分组，则有C 16C 25C 33=60分法；若3组的人数分别为2，2，2，那么就要均匀分组，有C 26C 24C 22A 33=15分法；综上所述，共有15+60+15=90种不同的分法.元素均分包含局部均分以及整体均分两种情况，无论是哪种情况，都需除以均分的组数.通过上述分析，同学们对排列组合问题中的三类问题：含有特殊元素问题、元素相邻问题、元素均分问题及其解法有了一定的了解.由此我们可以发现，解答排列组合问题的关键是，仔细读题，明确题目条件对元素的要求，如对某个元素有特殊要求、要求某些元素相邻、要求将某些元素均分等，在明确问题的类型后再选择与之相对应的方法来解题.（作者单位：江苏省泰州市姜堰区蒋垛中学）52Copyright©博看网 . All Rights Reserved.。

知识导航排列组合问题一般和实际生活息息相关.排列组合问题主要考查事件中可能出现的情况的种数.要顺利解答此类问题,我们需灵活运用两个计数原理:分类计数原理和分步计数原理.排列组合问题的命题形式有很多种,如求数字的排列顺序的种数、求排队的顺序种数、求线路的条数、求染色的可能情况数等.本文重点探讨以下三类排列组合问题及其解法.一、路线问题路线问题是一类综合性较强的排列组合问题，一般求最短路线的组合方案数.解答这类排列组合问题，需首先明确从起点到终点要分多少步走，然后找出几种可能的路线，根据分步计数原理分别求出每条线路中可能出现的情况数，最后运用分类计数原理求得结果.例1.图1为某城市的道路规划图，共有7条纵向道路，有5条横向道路.若公交车队从A处出发到B处且经过C处的最短路线有______条.图1解析：从A处到C处有2条纵向道路、3条横向道路，所以从A处到C处有C25种走法；从C处到B处有2条纵向道路、3条横向道路，所以从C处到B处有C25种走法，根据分步计数原理可得共有C25C25=100种走法.即从A处出发到B处且经过C处的最短路线有100条.解答线路问题，需要明确线路的方向和行走的步骤，合理运用分步计数原理和分类计数原理来分析每条路线中可能出现的情况.二、染色问题染色问题是指将几个不同的区域染上不同颜色的问题.解答染色问题应从颜色的种类以及问题的特殊要求两方面考虑.首先应考虑选取的颜色种数，然后根据题目的要求将不同的区域分情况进行填色，最后根据分类计数原理即可得到染色方案的总数.例2.某一地区可分为5个区域，如图2所示.现在要给这块地图涂色，要求每相邻的区域不能使用相同的颜色，现在有4种颜色可供选择，则不同的涂色方法共有____种.图2解析：①若使用4种颜色，可先涂第1区域，将剩下的3种颜色涂满剩下的4个区域，那么相对的2个区域就要使用同1种颜色，则有4×C12×2×A22=48种涂法；②若使用3种颜色，就要从4种颜色选出3种，且2、4区域，3、5区域都要涂同一种颜色，则有C34×3×2=24种涂法；综上所述，一共有48+24=72种涂法.染色问题较为复杂，一般需分几种情况进行讨论，然后逐步对每一种情况进行分析，从而完成涂色任务.三、排队问题排队问题也是排列组合中常见的问题之一，此类问题常常会对排队的顺序和队员有特殊的要求.解答这类问题应从问题中的特殊要求切入，若要求n个队员中有m个队员不相邻，可以采用插空法求解；若要求n个队员中有m个队员相邻，则考虑用捆绑法求解；若要求将部分队员均匀分组，就需要对分组的情况进行讨论.例3.现有3名男生和5名女生排成一排合照，如果两端都不排女生，则有____种排法.解析：首先从3名男生中任选2名放在队伍的两端，有C23A22=6种排法；然后将剩余的6人随意排列，有A66=720种排法；根据分步计数原理可得共有6×720=4320种排法.对于有特殊要求的问题，我们一般优先处理特殊元素或者位置.对于本题，需优先考虑排队伍的两端，然后再排剩余的位置.路线问题、染色问题以及排队问题都是常见的排列组合问题，都需灵活运用分类、分步计数原理来求解.因此在解题时，我们需明确事件的类型，完成做每一件事所要求的步骤，然后逐类、逐步进行操作，根据两个计数原理找出可能出现的情况，求得问题的答案.（作者单位：福建省石狮市华侨中学）蔡振树37。